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Brownsche Bewegung und Widerstandsrauschen.

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H . F . Mature. Bro wnsche Bewegung w i d 6Fiderstandsrauschen 271
Brownsche Bewegung und Widerstnndsruuschen.
FTon H . F . M a t a r B
(Mit I Abbildungi
Es wird gezeigt, daB sich die sogenannte S y q u i s t s c h e Formel fur das
Widerstandsrauschen bereits aus einer Berechnung der spontanen Elektronenbewegung ( B r o w n s c h e Bewegung) in einer leitenden liette, wie sie von
G. L. d e H a a s - L o r e n t z durchgefiihrt wurde, sowie aus der von A. E i n s t e i n
gegebenen verallgemeinerten Schwankungsformel ergibt.
Einleitung
Die Berechnung der GroBe der the1 mischen Rauschspannung
von Widerstanden wurde yon N y q u i s t ' ) aus einer Betrachtung der
Verbindungsleitung zweier Widerstande der absoluten Temperatur T
hergeleitet. Durch die Annahme, daB diese Leitung durch die
Widerstinde R von der GroBe ihres Wellenwiderstandes abgeschlossen
sei, liiBt sich die von jedem Widerstand an die Leitung abgegebene
mittlere Rauschleistung innerhalb eines Frequenzintervalls d v bestimmen, wenn man jedem Freiheitsgrad die mittlere Energie k T
(k = B o l t z m a n n s c h e Konstante) znerteilt, iielche zur einen Halfte
magnetisch, zur anderen elektrisch ist. F u r die am Widerstand auftretende Rauschspannung ergibt sich d a m :
(1'1
ii2 = 4 k T R d v .
Die dem \\.iderstand niaxinial entziehbare Leistung je Hertz Brandhreite (v in Hertz) ist danach:
N = 1kT.
Eine von A. E i n s t e i n z, auf Grund vie1 allgemeinerer Betrachtungen
gefundene Schwankungsformel ergibt, bei entsprechender Uniformung,
die gleiche Forniel fur das Widerstandsrauschen*L Xuf einem
*) Von noch grbSerer Allgemeingiiltigkeit ist die von S. F o k k e r ' ) gegebene Ableitung, bei der von der erweiterten E i n s t e i n s c h e n Formel ( E i n s t e i n - F o k k e r s c h e Gleichung)
l
a
117(q)f(q)T- W ( q ) R + r - { W ( ~ ) ~ ' ~ = o
'2 a q
ausgegangen ist,
p = charakteristischer Parameter des Bewcgungszustandes,
I = Zeitmoment,
R = VergrGBernng von p im Interval1 T (Strahlung),
f (q) = Verringernngsfunktion von q (Reibung),
11' (p) = Verteilungsfunktion.
27.3
Annalen der P h p i k . 5. Folge. Band 43. 1943
anderen Weg fand G. L. H a a s - L o r e n t z 3 ) ebenfalls eine Formel
fur die spontanen Elektrizitiitsschwankungen in einer leitenden Kette,
die mit der E i n s t e i n s c h e n identisch ist. Ihre Herleituug sol1 hier
kiirz durchgef'uhrt werden. dn sie in der Darstellurig y o n G.L. d e H a n s Lorentsr nicht zusammenhiingend gebracht wird, und ihre Voraussetzungen niit der S y q u i s tsclien Frage&4lung witgehend identisch sind.
Das thermiache RPuschen einer Kette aua Selbstinduktion, Kapaeitiit
und 0 hmechem Widerstand
Die Kapazitiit C trage die I~adiirig(I (Abh. 1\! tlaun gilt f u r
einen in die Kette fliebenden Stiom
n
CT
R
n
'r'
>fit u werde die elektromotorische Kraft bezeichnet, welche in der Kette durch Wiirmebewegung hervorgerufen wird. Daun gelten die
Gleichungen :
di + R i + ; = u .
dt
Diese Gleichungen sind nun analog den Bewegungsgleichungen fur ein Masseteilchen aufgebaut. Es entsprechen dann einander
Abb. 1
Strorn i und Teilchengescl~windigk~it.
Induktivitiit L und Masse,
Leitungswiderstand R u n d Reibungswiderstand.
Hiervon ausgehend werdeu sie in dcr von K i n s t e i n und Hopf5)
gegebenen Weise von G. L. d e H a a s - L o r e n t z behandelt.
Zur Losung werde G1. (2) init eirier Konstrnten CI multipliziert
und zu (3) addiert:
d
--(ff(I
at
+ Li)+ -C1q + ( R - r?;i = u.
Wir unterwerfen u der Bedingiing:
u : L = C'' : \ R - u )
oder der quadratischen Gleichung:
(5)
2- U R + C
=0
mit den Wurzeln rt, und
a2. -
H.F. Matarb. Brow nsche Bewegung und Widerstandsrauschen 273
D a m entsteht das symmetrische Gleichungspaar:
d
-(Li
(6)
at
a1
d
=(Li
(7)
+ u,q) + c (1 L i + ulq) = u .
+ u z q ) + r (1a¶L i + u 2 @= u
oder mit den Abkurzurigen:
+
g = Li a14 ,
11 = Li + a,q,
Bei Betrachtung einer Reihe nufeinanderfolgender Zeitelemente t sind
lo;6,; &
* .
bzw.
*
111; 112
%I;
..*
die Werte am Anfang des ersten, zweiten usw. Zeitelementes. Bei
Integration von (8) und (9) uber das k-te Zeitelement ergibt sich:
oder mit
J u d t = qLl (Schwankungsimpuls),
tw
(k)
I
gk
=
1
[I - Cn, 5 ) Z L - 1
+
xA,
Bezeichnen wir
1
Ca,
1 - __ t = L1 ,
(11)
1--
(12)
so wird:
1
c a*
~=i.?,
lo +
El
= I,,
111
= I., 90
9
+ 21
Fur die aufeinander folgenden Zeitelemente gilt einfach :
g, + xL ;
zj3 = I , i2
+ x3 ;
&
= I.,
g2 = I,, to+ j., 5 , + x2 ;
g3 = 4 3 E~ + 2 x1 + x2 i- x3
Annalen der Physik. 5. Polge. 43.
18
USW.
Annalen der Pliysik. 5. Folge. Band 43.
274
Ebenso fur
9,
q2 = Xza 9;"
q3 = j.23q,
1943
+ i., x1 + x2 ,
+ j . 2 2 x I + i z x 2+ x9 usw.
I n allgemeiner Form liiBt sich also die Summation der Zeitelemente
durch die Reihen darstellen:
(13) Li+ u , q = & =i.~ijo+j.y-izl+I.;-?
( 14)
.
L, i + u2q = lit = A 9jo +j.;:'
tl
+ I . ] xo,-,+i:xn,
x2+
,+ i: x,, .
x1 +
x2 + * . . I., xn-
GI. (13) uiid (14) gelteu also fur eine groBe Zahl n von Impulsen
nach eirier groBen Zahl k von Zeitelementeu t.
Durch Subtrdktion erhalt man
(u,
- (la>
q =
j.y
6"- /.2. n ?jo + x1( *I n. ~ - j.;-')
+ z2(j.','-'
+ x,,-,
.. .
+ zn (j: - j:) .
- j.;e2) +
- 1,)
Die Bildun'g des quadratischen Mittelwertes ergibt, unter Beachtung
der Gleichheit aller mittleren Impulse iik :
2
.2n
1
(a,- a 2 ) 2 # = i . : n - ~ o - ~
.?lo
.2
13.
- 2 3 + " ( ~ ~ 1 . ~ )+' (+i~. , ~ . , , ) " - ~ + . . . j . ~ i . ~ +
LaBt man jetzt 71 unbegrenzt wachsen, so kommen die Glieder
mit &, und qo in Fortfall, d a i., < 1 bzw. R, < 1. M'ir konnen
darin (15) schreiben:
((L, q? = ;'[I + i.,2 + 1.: . . i<cn-l
1
+ -
/y2f
+ I;+).:+
- ~ f ' [ l + j.lj.2+
+;'[I
. . . -2(n- I']
(j.li.2)2+
-
\I.,I.~)~-'].
Durch Sumnieribildung der einzelnen Reihen ergibt sich:
(U,
- UZ)*q z =
zz
I '
--
1 - ) . ~ 2
1
+ -~
- ~- .
I-).~
2 l
i-i,.a,
Durch Multiplikation ron (12) iriit ciz und (13)mit ul erhalt man
durch Differenzbildung und Quadrierung eine (14) eutsprechende Form:
H . F. iiatar6. Br o wnsche Bewegung und WiderstandsrnII.rcheii
275
Nun besteht noch die Aufgabe, 1, und ii, nach (9) und [lo) sowie
und aa nach (4)zu substituieren.
Nach (9) ist:
2
1
12 = 1 - ---*
+CY alY t 2 '
c
a1
a1
nach (10)
2
CuL
222=l--r+-
CSa2'
tz.
Die in T quadratischen Glieder sollen infolge der Kleinheit der betrachteten Zeitintervalle in Fortfall kommen. Dann ergibt sich durch
Einsetzen von i. i n (15) und (16)
Nach (4)gilt nun:
a,
+ u2 = R ;
U]
a2 =
L
C
-*
Dies setzen wir in
und
als Ausdruck f u r die mittlere magnetische und elektrische Energie.
Wie N y q u i s t l) die in ihren Eigenfrequenzen schwingende Doppelleitung zwischen zwei Widerstanden betrachtet, lakit sich auch
die leitende Kette, gebildet aus L, C und R berechnen. Bei
harmonischen Schwingungen ist die potentielle Energie im Mittel
IS*
Annaleii der 1'Iiysik. 5. Folye. I l a d 43. 1943
276
gleich der kinetischen.
Da die auf den Freiheitsgrad entfallende
1
Energie - k To ( T = T o = 300° K. Kauschtemperatur = Zimmer2
temperatur) betrtigt, ist die Gesamtenergie kT,, die sich dann zur
einen H d f t e aus magnetischer, zur anderen aus elektrischer Energie
zusammensetzt. Yach (21) ist also:
oder
(22)
Dies ist die von E i n s t e i n auf anderem Wege gefundene Gleichung*).
X u n ist nach (10)
der Impuls der Schwankungen innerhalb des Zeitintervalls 5. Die
Impulsparameter erfahren eine Verlnderung im Interval1 T, die von
der Einwirkung der unregelmabigen Wiirmebewegung herriihrt. Das
ist gleichbedeutend mit einer Vergr6Berung oder Verkleinerung der
Spannungen u, durch welche die Schwankungsimpulse erzeugt werden.
Die Veriinderung von qr)kann positiv oder negativ sein, man kennt
nur das arithmetische Mittel .&, und das quadratische Mittel zfcl.
Dabei sind diese Mittelwerte vom Bewegungszustand der Ladungs*) In ,,Untersurhung iiber die Theorie der B r o w nschen Bewegung",
(Ostwalds-Klassiker Nr. 199) zeigt E i n s t e i n , daB der Mittelnert der Quadrate
der durch den unregelmaBigen \V2'lrrneprozeb wahrend der Zeit z hervorgerufenen
Anderuugen cines beobachtbaren Parameters a gegeben ist durch
A*= Z k l ' H r ,
B = J3eweglichkeit dea Systems in bezug auf den Pmameter u. A
=
-U
a@
an-' =
Anderung von n durch die dem Potential (I, ent3prechendc Krdft. Die Identitit
mit ( 2 2 ) ist datlarch gegeben, daB auf einen stromdurchflossenen Widerstand
bezogen, A = q , die in der Zeit durch den Querschnitt des Leiters verschobene
Elt~ktrizitBtsmengeist. Darnit ist
Die Beweglichkeit R bedeutet hier den elektrischen Leitwert 1;R womit (22)
verifiziert ist. Die von E i n s t e i n gegebene Formel fur den elektrischen
Fall lautet
H . F. Matart?. Bro wnsche Bewegung und Widerstandsrauschen 277
trager abhangig, d. h. ist ein Impulswert durch xtr,charakterisiert,
so hangt die W'ahrscheinlichkeit @(%)cis
bzw. @(u)du,daI3 x bzw. u
im Interval1 t eine VergroBerung zwischen 5 und z + d x bzw. u
und u + du erhalten. vom urspriinglichen Wert von x bzw. u ab.
Dabei ist die Form von @(u)unbekannt, wahrend allgemein geschrieben werden kann:
j i ( q a u = 1*).
(23)
-W
F u r den arithmetischen Mittelwert erhalt man
j:b(u)au=a.
(24)
-m
Der arithm2tische Mittelwert der Impulse ist also in allgemeiner Form:
\
qr)= S(-$;rnp)a,
(25)
I at = at.
(7 1
F u r die quadratischen Mittelwerte ergiht sich analog:
+W
(26)
a2 =
j&qU)au,
-w
7tZ,=
J [-J.
@(u)du
(27)
fr)
Nach (22) geninnt man damit:
t dt
1
= -a2
1
T?,
2
4RtkT,,,
t12t2=
I
<lie N y q u i s t s c h e Forni, wenn
1
-
=
dv die wirksame Bandbreite dar-
stellt, innerhalb deren die Rauschenergie iibertragen wird. Mit andern
\!'orten 2 stellt das Rausclispannungsquadrat des 0 h m schen Anteils
der Kette dar.
1) H. N y q u i s t , T
Literatur
.ma1 agitation of electric charge in conductors. Phys.
Rev. 11. 32. S. 110. 1928.
2) A. E i n s t e i n , Untersuchungen fiber die Theorie der B r o w n s c h e n Bewegung. Herausgegeben von R. Fiirth, Leipzig 1922. Ostwalds Klassiker d.
ex. Wisa. Nr. 199.
*)
Vgl. 4); 6).
278
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 43. 1943
3) G. L. d e H a a s - L o r e n t z , D i e B r o w n s c h e Bewegung und verwsndte
Erscheinungen. Ssmmlung Vieweg 6’2. 1913.
4) 6.F o k k e r , Archives NBerlandsises des sciences exactes Sdrie 111 A 5.
1918-1921.
5) A. E i n s t e i n u. L. H o p f , Ann. d. Phys. 33. S. 1106. 1910.
6) H. A. L o r e n t z , .Lea theories statistiques en thermodynamique. ConMrences faites a u coll&ge de France 1912. RBdigBes Berlin - Leipzig 1916,
Teubner 1913.
7) S. F o k k e r , Ann. d. Phys. 43. S. 810. 1914.
8) A . E i n s t e i n , Phys. Ztschr. 15. S. 121. 1908.
9) R. F i i r t h , Schwankungserscheinungen in d. Physik. Sammlung Vieweg
Nr. 48, Rrsunschweig 1920.
Berlin.
(Eingegangen 26. Juni 1943)
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