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Berechnung der hyperbolischen dunkeln Bschel welche die farbigen Ringe zweiaxiger Krystalle durchschneiden.

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273
Vl
In
Berechnung der hyperbolischen dunkeln BGschef, welche die farbigen Ringe zweiaxiger
Krystalle durchschneiden;
von J. Miiller in Gigsen.
einer Platte; die aus einem zweiarigen Erystall so
geschnitten ist, dafs ihre Oberflschen senkrecht auf der
Mittellinie stehen, sieht man, wenn sie sich zwischen gekreuzten Turmaliuplatten befindet , ein System farbiger
Lemniscaten. Durch jeden der beiden Pole dieser Lemniscaten geht ein dunkler hyperbolischer Biische?, dessen
Lage und Gestalt sich andert, wenn die Ebene der optischen Axen ihre Lage gegen die Polarisationsebenen
der Turmalinplatten andert. 1st der Winkel der beiden
optischen Axen zu grofs, so fallen die Pole der Lemniscaten aufserhalb des Gesichtsfeldes, welches man in der
senkrecht auf die Mittellinie geschnittcnen Platte Bbersehen kann. In solchen Krystallen, fiir melche der W i n kel der optischen Axen grofs ist, kann man deshalb bekanntlich zu gleicher Zeit nur eines der Ringsysteme iibersehen, welche die Pole umgeben, wenn die Oberfllchen
der Platte senkrecht, oder doch nahe senkrecht auf der
einen optischen Axe sind. Auch in diesem Falle, dafs
man nur das eine Ringsystem sieht, erscheint es ebenfalls durch einen dunkeln Biischel durchschnitten, dessen
Lage sich mit der Lage des Krystalls zwischen den Turmalinen Sndert. Unter den Krystallen, deren optische
k e n niir einen kleinen Winkel mit einander machen,
in denen man also leicht die beiden Ringsysteme zugleich
iibersehen kann, ist wohl der Salpeter am htiufigsten zn
Beobachtungen angewendet worden. Fast in allen phpsikalischen und optischen Lehrbuchern findet man die
m Salpeter zu beobachtendcn Lemniscaten abgebildet:
PopgcndorfPs Xnnd. Bd. XXXXIV.
18
274
W t h r e n d in diesen Abbildungen die Form der Lemniscaten selbst gut mit der Beobachtung iibereinstimmt, ist
die Zeichnung der schwarzen BUschel fast durchgangig
so ungenau, dafs schon eine oberflachliche Betrachtung
des Phanomens selbst die Incorrectheit der Zeichnungen
zu Geniige danuthun im Stande istr Der Grund davon
liegt unstreitig darin, dafs man das geometrische Gesetz
der Lemniscaten kennt, dafs man diese Lemniscaten also
construiren kann, wshrend die hgperbolischen B[ischel
wahrscheinlich nur nach einer oberfllrhlichen Beobachtudg gezeichnet worden sind. So vie1 geht wenigstens
aus diesen Figuren hervor, dafs man das Gesetz, nach
welchem sich diese Hyperbelu construiren lassen, nicht
kannte.
In dem Folgenden will ich versuchen, die Gestalt
dieser hyperbolischen Biischel aus den Gesetzen der
doppelten Brechung zweiaxiger Krystalle selbst zu bereccbnen.
Jeder Lichtstrahl, welcher nach dem Durchgang durch
die Krystailplatte und die zweite Turmalinplatte in das
Auge trifft, wird durch die Interferenz zweier, in gleicher Ricbtnag aus dem Krystall austretender Strnhlen
gebildet, die im Krystall nach verschiedenen Richtugen
sich bewegten, und deren Polarisationsebenen r o r der
Zerlegung durch die zweite Turmalinplatte rechtwinklig
zu ehander waren. Die Intensitat eines solchen, das
Auge treffenden Strabls h g t nun ab 1) von der Anzabl 6 dcr Wellenkngen, urn welche der eine der beiden interferirenden Strahlen dem andern vorangeeilt ist;
und 2) von der Grbfse des Winkels, welchen die Polarisationsebenen der beiden Strahlen im Krystall mit der
Polarisationsebene der Zerlegungsplatte machen.
W l r e dieser Winkel Q unverlnderlich, so wiirde
man die Lemniscnten ohne alle Unterbrechung durch
dnnkle BUschel sehen. Dahingegen wiirde man keine
Lemniscaten, sondern nur die schwanen Biischcl sehen,
wenn sich die Anzahl 4 der Wellenllngen, nicbt %idcrte, urn welche der eine der interferirenden Strahlen
irn Krystall dem andern vorausgeeilt ist. ES geht dara m hervor, dafs, urn die Form der Lernniscaien zu finden, man nur den Zusammenhang zwischen 4 und der
Richtung des austretcoden Strahls zu untersuchen hat;
will man hingegen die Form der hyperbolischen Biischel
a u s h d i g machen, so hat man die Relation zwischen 4p
und der Richtung der austretenden Strahlen zu untersu&en. Durch diese Trennung wird die LBsung eines jeden dcr beiden Probleme erleichtert; hat man aber erst
einmal die Form der Leinniscateu und der hyperbolischen Blischcl, jedes fiir sich, bestimmt, so giebt die
Combination beider die vollstandige Erscheinung.
Diese in der Untersuchring gcmachte Trennung lafst
sich aucb beim Versuch theilweise ausfuhren, wenigstens
kann man die schwarzen Biischel verschwinden machen
(Airy, fiber einen neuen Lichtzerleger, diese Annalen,
Bd. XXVI), so dafs nun die Lemniscaten vbllig nnunterbrocben erscheinen. Die Lemniscaten aber kann man
nicht verschwinden machen. Die Lemniscaten sind jedoch sebr stbrend, wenn es sich darum handelt, niir die
Form der schwarzen Biischel zu beobachten. Urn diesen stilrenden Einfluls m6glichst zu vermindern, mahlt
man am zweckmafsigsten sehr dicke Krystallplatten; In
solchen namlich verscbwinden die Lelnniscateo zwischen
den beiden Polen fast ganz, dicht urn die Pole selbst
erscheint nur noch eine Reihe ganz feiner Ringe, die
wegen ihrer Kleinheit die Beobachtung der BLischel nicht
stbren. Ich babe Salpeterplatten von 3 bis 5 Linien
Dicke angewandt, um die Resultate der folgenden Rechnungen mit der Erscheinung zu vergleicben.
W e n n wir die drei Elasticit5tsaxen eines zmeiaxigen doppeltbrechenden Krystalls als drei Coordinatcnaxen betracbten, so kaun man durch die Gleichung:
t=O
.
. . (1)
.
. .
.
IS *
276
die auf der Mittellinie des Krystalls senkrechte Oberfllche darstellen, wenn die Axe der 2 mit der Mittellinie
des Krystalls zusammenfillt. Die gerade Linie, nach
welcher sich ein Lichtstrahl wahrend seines Durchgangs
durch eine scnkrecht auf dic Mittellinie geschnittene Platte
bewegt , kann durch die Gleichungen :
dargestellt werdee. Die Gleichung einer Ebene, welche
auf dieser Linie senkrecht stebt, und durch den Mittelpunkt des iiber die drei Elasticitatsaxen construirten Ellipsoids geht, ist alsdann:
z-=BBy+Cz
.... .
(3)
Die Schwingungea des in der Richtung der Linie ( 2 )
sicb fortpflanzenden Strahles gcschehen, wi.e bekannt, in
der Ebene (.3); ftir jeden in der Ebene (3) liegenden
Lei tstrahl haben wir a ber :
cosX=Bcos Y + C c o s Z
(4)
wenn X, Y und 2 die Winkel bezeichnen, die er mit
den entsprechend bezeichneten Coordinaten.axen macht.
W e i l der Lichtstrahl ( 2 ) sich in einem doppeltbrechenden Krystall fortpflanzt, so kilnnen die Schwingungen, die ihn bildea, nicht nach jeder beliebigen Richtung in der Ebene (3) stattiinden, oder, mit anderen
Worten, nicht nach allen in der Gleichung ( 4 ) befalten Leitstrablen kfinoen die Schwingungen vor sich gehen, welche den Lichtstrahl (2) fortpflanzen, sondern nur
nach zwei derselben, welche rechtwiuklig auf einander stehen. Der eine dieser beiden Lichfstrahlen ist der grdtte,
der andere der kleinste untcr allen Leitstrahlen, welche
sich von dem Mittelprinkte der Elasticitatsoberflache zu
dem Durchschnitt derselben mit der Ebene ( 3 ) ziehen
lassen. Die Bedingnngsgleichuiig, durch welche die Lage
dieser beiden Leitstrahlen Lestimlnt wird, ist :
...
277
a2
c o s X ( B ~ o s 2 -CCOS
Y)+b*cos Y(CCOSX+COS
Z)
- c ~ c o s Z ( B c o s X + c o sY)=O
. ( 5 ) *)
.
Eine durch die Linie ( 2 ) und einen der erwlhnten Lichtstlahlen gelegtc Ebene ist die Polarisatiousebene des eincn der beiden Strahlen, welche slch in der Ricbtung
dcr Liuie (2) durch den Kryshll fortpflanzen. Die Gleichung dieser Pohisationsebcne sey :
~=9jy+gz
(6)
Sol1 sie durch die Linie ( 9 ) gehen, so haben wir die
Zcdingung :
1
56.B
3- 7(E =o
.
c
.
. . .
+
und daraus:
c=-
'c-.
. . . . (7)
l+%.B
Die Bedingung, da& diE_EbcnZ (6)-auch durch den
Leitstrahl gehen sotl, wetcber die Winkel X, Y und
Z mit din Coordinatenaxen macht, ist :
x s !lj, cas Y +g cos 2, $.
c o s x = ~ , . o s Y - I t % . cos cos
oder :
c
Sctzt man in ( 6 ) z=O,
60
*
(9)
sind
l ... .- .
==(I
x=By
(9)
die Gleichungen der Dlzrcbschnittslinie der Polarisationsebcnc mit der Oberfliicbe de3 Krystalls, und daraus gelit
berror, dats 56 die trigonometrische Tangente des Winkels w ist, den diescr Durchscbnitt mit der h e der 5
macht.
Eliminirt man cos X, COJ Y und cos 2 aus den Gleichungcn ( t ) , ( 5 ) und (8): so erhYlt man eine Gleichung
zwischen %, oder, w a d dasseibe ist, zwischcn tangw, B
und c. Wem man in dicse GIcicbung fiir den Win*) I:resncl,
Bd. XliIII
;Mmaoirr sur /u d o ~ & l rrr/mction.
s. 498.)
(Diere AnnJm,
278
kel w einen bestimmtcn Werth setzt, so erhiilt man eine
GIeichung zwischcn den die Richtung der Linie bestimmenden G r b t e n B und C, welcbe erfullt scyn muis,
wenn die Polarisationsebene des nach der Liuic (2) sich
bewegenden Strahles die Oberflache des Krystalls in einer Linie schneiden soll, welche einen bestimmten Winkel y mit der Axe dcr x macbt. Gehen wir nun zur
Ausffihrung dieser Eliminationen iiber. Aus den GIeichungen (4') ind (8) folgt :
B cos Y + Ccos Z=fangw .cos Y- I +fang w . B BOS z ,
C
daraos :
cosy=
C'>+I
+tang w . B cos
-
i
i
T
S
a
.
(10)
Diesen Werth. in ( 4 ) substituirt :
cos
B +( B ' + ).tang w cos . . (11)
x= - cfl -f a n g w )
c
2
Setzt man diese W e r t n e in GleLhung (5), so kommt
nach Ausfilhrung d l e r Reductionen:
6 [C2++L+Btang w ] tang w a2 [B+(B' +Cz)
fangw ]
+cz(B-tang~)~+Bfun~w)=O
(12)
welches die gesuchte Bedingnngsgleichung ist.
Die Form der Lichterscbeiuungen, welche man in
einer zwischen den Turmalinplatten liegenden Krystallplatte beobachtet, hgngt aber zuniichst nicht von der
Ricbtung der Lichtstrahlen in der Platte, sondern von
der Eichtung &, in welcher die anstretenden Strahleu
das Auge ueffen. Es komIpt demnach nun darauf an
die Richtung zu bestimlpen, in welcher sich ein Licht
strahl nach seinem Austritt aus dcr Platte foripllanzt,
der den K p t a l l in der durch die Gleichuog ( 2 ) bestiiiimte~Liuie durchlief. In der Richtung der Linie ( 2 )
geht abcr ein ordiniirer und ein extraordinsrer Strahl
durch den Krystall, welche, streng genommen, nach dem
Austritt aus der Platte divergiren, wshrend nach g1eir:her
Richtuug solche StrahIen austreten , welche im Krystall
-
. ..
279
divcrgirteu. Es seyen 0 und E die beiden StrahlelJ,
die ill1 Krystall gleiche Richtung haben, E' der estraor&n;ire Strahl, der mit 0 uach gleicher Richtung austritt.
I)a die Divergenz der heiden extraordinaren Strahlen E
wid E im Krystall jedeofalls sehr unbedeutend ist, so Laun
~ n a n ohne allen merklicheii Fehler annehmen, dafs ihre
Polarisationscbenen dieselbe Richtung haben. Urn also
die Polarisatioiisebene des Strahls zu bestimmen, der nach
dem Aiistritt aus dem Krystall mit dem austretenden Strahl
0 dieselbc Richtung bat, habeu wir m r die Polarisationsttbene dcs extraordinzren Stralils zu bestimmen, dessen Richfung im Krystall init 0 zusammenldlt.
Bezciclinen wir rnit 9 den Winkel, den der austretcnde Strahl init dem Einfallslothc macht, durch a den
Winkel, den die Projection des austretenden Strahls auf
dcr OberflYche des Krystalls mit der Are der 2 macht,
so sind die Gleichungen der Linie. in welche sich der
austretende Strahl fortpflanzt :
. >. . . .
y =sin a. tang y t
x =cosa . fang cp. z
(13)
Die Richtung, oacb welchcr sich der n a c h . ( l 3 ) anstretende ordinare Strahl im Krystall fortpflanzt, Islst sich
aber fur unsere Untersuchuug rnit hinlanglicher Genauigkcit bestimmen, wenn man annimmt, dals die Brecbung
eine geirdhnliche und b der Brechuogsexpooent sey. Diefs
vorausgesetzt, ware also, wenn rp' den W i n k e l bezeichnety den der Strahl im. Krpstall mit dern Einfallslothc
macht :
sin y'=b sin 9
und also:
Die Gleichungeil der Liuie, nach welcher sich der Strahl
im Krystall forlpflanzt, wzren demnach:
Diese Linie aber SOU mit (2) identisch seyn, man hat also:
bsin cp
- 18-Vcos
l-b2siny2
a.
B
-=
C
s i n a . bsin cpV1--b?siny'
und daraus:
cos a . bsin cp
B=
-tang a.
Setzt man dieae Werthe von c und B in die Crlcicbung
bei ( 12), 80 kommt nach Ausfiihrung aller Reductionen:
sri)cp~=Ttangwx
az-b2
( - ~ c ~ - a ~ + ~ ~ ~ - c ~ ~ t a n g w ~n~ s i n a c o s
+(2cz-a2--b~&sin
a% tg W + ( U ~ - C ~ ) ~~ 1~ - l (15)
Bestimmt man die Ricbtung der Linie (13) dadurch, dafs
man fur 'p und a numerische Werthe setzt, so kann man,
wenn man dieselben Wertbe in (15) setzt, den Winliel
W , und dadurch die Lage der Polarisationsebenen der
beiden nach (13) sich fortpflanzenden Strahlen bestimmen. Die Gleichung (15) giebt nYmlich ztvei Werthe
fiir tung w , welche die Polarisationsebene des ordinarcn
und des extraordinaren nacb ( 1 4 ) , und nach dem obigen Raisonnernent auch die Lage der Polarisafionsebene
fiir den ordinaren und estraordinaren nach (13) austretendcn Strahl bestimmen. Setzt man aber in Gleichung
(15) fiir m einen bestimmten numerischen Werth, so
erhalt man eine Gleichung zwischen den beiden ver8nderlichen cp und a, welchc nichts anderes ist als die
281
Glcichung einer conoidischen Oberflzche, welche die Gesaoimthcit aller derjenigen austretendeo StrahIen in sich
farst, deren Polarisationsebene die namliche, durch den
Wiokcl w bestimmte Lage hat. Das Conoid wird nun
von der Oberflacbe des Krystalls in einer krummen Linie
gcschnitteo, deren Polargleichung eben die Gleichuog (13)
iet, wenn wir sie als Polargleichung einer ebenen Curve
betrachten; a ist der Winkel, den der Leitstrahl sin 'p
mit der Axe der x macht. Streng gcnommen erhielte man
erst die Gleichuog der Curve, wenn ma. aus GleichuoC;
(13) den Werth von tmg y 2 bestimmte; wegen der Kleinhcit des Wiokels cp aber kann mau mit hiolhglicher Genauigkeit die Gleichung (15) selb'st afs Gleichung der
Curve betrachten. Denken wir uns nun das Auge in
die Spilze des erwahnten Cono'ids gebracht, so wurden
alle von der Curve (15) in das Auge treffende Strablen gleiche Intensitat baben, wenn ihre Lichtstlirke nur
von der Lage der Polarieationsebenen abhinge, die wir
ja hier ganz allein betrachten wolleo. Die Curve (15)
haben wir also als eine solche zu betrachten, deren einzelne Punkte alle gleich hell erscheineo.
Untersuchen wir nun die Natnr der Curve (15).
Die Gleichung (15) ist die Polargleichung einer Hyperbet. Sol1 die grolse Axe zugleich die Axe der PoIarcoordinnten seyu, so mufs die Gleichung die Form:
sin y ? =
M
N sin 0 2 - P
hahcn, und auf diese Form I&
sicb Gleichung (15)
drirch Vcrlegung der Coordiiiatenaxen zuruckfiihreo. Nehmen wir an, dafs die neuc A x e einen %Yiirkel p rnit der
nltcu alacht, bczeichneii wir ferricr dic anf die oeue h s e
bczogeaen W i a k e l rnit u , so erhzlt m a u die Polargleicllung der €I.ypcrbel a u f die n e w Axe Iwzogeu, wcim
mnu v+(,
stalt a iii Gleichung (15) selzt. Es kommt
alsd null:
282
a2-b2
sin 4p2 =
<-
tg w (sin u . cos Y [ R cos2 9 +S
b
+R(l-2sinoa)sinqcose).S(sinu2
is w sin21
02sinp~)tgw
COS~~+COS
.... . . .. ...
+(Q2-Ca)igut)-1
(16)
wenn alle Reductiouen aiisgefiilirt sind, und
c2
a 2 +(b2 - c * ) t g
w2 = R
-
2c~-a'--b2=S
gesefzt wird.
Setzt man den Factor von sin 0 . cos Y gleich Null,
so erhalt man eioe Bedinguagsgleichung :
Rcos2g=-S~ta1~~w,si~~
. 2 ~ (17)
zwischen q und w , welche erfiillt seyn muk, wenn die
Hauptaxe der Hyperbel aucli die Axe der Polarcoordinaten sepn soll; die Cleichuug (16) reducirt sich dadurch auf:
.
+S(sin u 2 cose2 + c o s u 2 s i i e 2 ) t g w
+(a2--c2)fgw)-1
. ....
(18)
Eliminirt man au8 ( l S ) , mit Hiilfe der Gleichung
(17), e, setzt inan alsdann fur w einen bestimmten Wertb,
so ist sie die Gleichuog einer Hyperbel, welche die Eigeuschaft hat, daL die Polarisationsebeneo aller von ihm
i n s Auge kommenden Strahlen parallel sind, und zwar,
daCs sie die Oberfliche des Krystalls in einer Linie schneiden, welche einen Winkel cv mit der h e der z macht.
blle Stralilen also, welche von dieser auf der Oberfliiche des Krystalls liegenden Hyperbel iu's Auge treffen, babeo gleiche Intensitat. ( Vorausgesetzt, dafs die
Intensitat nur von der Lage der Polarisationsebene abhinge.)
Setzt man umgekehrt in ( 1 7 ) und (18) fur 4 einen
aonstanten W e r t h , uud eliminirt man alsdann IP, so erhalt man die Gleichung eiuer Hyperbel, deren Axe einen
283
W i n k e l 0 mit der Axe der z macht, und fur welche IV
dcn ails ( 17) gezogenen W e r t h hat. Aus ( 17 ) folgt :
H = S tung w .tang 29.
Selzt man diesen W e r t h von R in (IS), so hebt
sich tang w , und es bleibt:
aa-b 2
sin 91' = --b(-~fg2g(I-2sino~)sin~cos~
- .
selzt man in dieser Gleichung a=O,
so kommt:
Sobald man in (20) fur Q einen bestimmten W e r t h setzt,
die Entfernung der Spitze der Hyperbel, welche die Gleiclluug (19) darstellt, wenn man i n derselben fur Q dcnselben W e r t h setzt. Betrachtet man g als
verlnderlich., so ist (20) die GIeichung einer krumrnen
Linie, welche (lurch die Spitzen aller den verschiedenen
W e i t h e n von Q entsprechendon Hgperbeln p h t , Wir
wollen deshalb diese Curve Spilzencwoe nennen.
Setzcn wir in ( 2 0 ) . ffir S seinen W e r t h , ti0 wird
die Gleichung der Spitzencurve :
a*-ba
1
siny:=Y
b
(u2+b2-2c2 )(t@gsin g cos ?-sin g2)+al-c2
D e r Factor tang 2 9 .sin 0 cos 0 -sin 9' reducirt sich
sin p c
abcr auf - -- ; diefs in die vorige Gleichung substituirt,
cos 2 g
koinint :
a?-b2
cos 2 p
siny??=-b2 ( U ~ + ~ ~ - ~ C ~ ) J ~ ~ ~ ~ + ( ~ ? - C
odcr :
I
so ist siny
.
-
Die Form diescr Curve 1iifst siclr dorck ein einfaches
Raisonncmcnt ubersehen. F u r 8 = O wird '
~ ) C O S ~ ~
284
LSTst inan 0 von 0 an wachsen, so nimmt der aus (21)
gezogene Werth von sin rp ab, und wird endlich zu Null
fur e = 4 5 O .
Von p=45* an wird der Wertb vqn
e zu 3.13O oder
zu 135O gewachsen ist. Fur q=135O ist sin yabermals
0, und w3chst bis q=180° geworden
ist, wo siny aber-
sing," negativ, also sing, imaginar bis
mals sein Maximum
-6.'- a2 -6 %
( 0 2 -c2)
erreiclit.
Dieselbe
Reihe von Veriinderuogen erleidet s i n q , wenn man e
nach der entgegengesetzten Seite von 0" -bis 160° wachsen lafst. Es ergiebt sich daraus, d a t die Spitzencurve
die Form Fig. 15 Taf. I1 hat, welche Figur die Curve fiir
Salpeter darstellt. FUr Salpeter ist :
a2=0,56l09
b l = O;56081
CI
=o,mm
mitbin ist die Gl'eichung der Spitzencurve fiir diesen b y staU :
28. C O S 2 Q
sin cpz =
56081 ( 0,12483 0,00028 sin p 2 ) .
Daraus ergeben sich folgeude zusarnmengehori& Werthe
von 4 und p:
-
00
9
18
27
36
45
0,063
0,06.2
0,056
0,048
3Q37'
3 32
3 13
0,035
2 17
2 1
0
0
Beim Salpeter kilt die Mittellinie mit der kleinsten
Elasticitatsaxe zusammen; allc vorangehendcn uud folgcnden Fonnelu beziehen sich auch eigentlich nur auf
solche Krystalle, bei dcncu dieL dcr Fall ist. Will
285
man die Formcln auf solclie Krystalle anwenden, bei
(lcncn die Mittellinie mit der grolsten Elasticitatsase ZUsammenfillt, SO darf man our u und c vcrtauschen.
Nach den in obigcr Tabclle angegcbenen Werthen
ist dic Curve construirt. Die Lhgeneinheit, nach welcher die in der zweiten Columnc stchenden Wertbe aufgetragen sind, ist der hessische Fufs ( 4 Fufs = 1 Meter), und also angenommen, d a b das Auge sich 1 Furs
hoch 9ber dem Papier befiiode, denn nur in diesem Falle
erscheint dcm Auge die Zeichnung in den der Wirklichkeit entsprecbenden Dimensionen.
Eetracbten wir nun die durch Gleichung (19) dargestclltcn Hyperbeln sclbst. Urn zu fiodeu, K O diese
Hypcrbcln die Axe der reschnciden, hat man in (19)
nur u=q zu setzeu, man erhrilt alsdann:
sin c p 2 =
U'
b'
-b2
(02
-c1>'
Da dieser Werth von sin cpz eine constante Gr6rse und
von e unabhangig ist, so ist klar, dafs alle Hpperbelo,
welche die Gleichung (19) darstellen kaon, wenn man
nach und nach verschicdene Wcrthe fur Q in die Gleichung setzt, die Axe der x doch in demselben Punkte
scbneiden, wie es in Fig. 16 Taf. I1 dargestellt ist. Dieser Durchschnittspunkt, in welchcm sich alle Hyperbeln
schneiden, ist zuglcich der Gipfelpunkt der Spitzencurve.
Stellen wir uns eine der durcb Gleichung (20) dargestcllten Hyperbeln mit ihren Asymptoten vor. Der
Punkt, in welchem die Asymptote die Hyperbel schncidet, liegt unendlich weit cntfernt, folglich ist die Linie,
welche man sich vom Augc nach diesem Punkt gezogcn
denken kann, mit der Obcrfliche der Platte parnllel, fiir
dicsen Gesichtsstrahl ist also der Winliel p ein rechter,
folglich fur dcnsclben sin rp=1; sctzt m3n demnach in
Glcichuug (19) den Zahler dcin Ncnncr gleicli, so crh d t man eine Glcichung, aus der sicli der Winkel, den
286
die Asymptote mit der Hauptaxe der Hyperbel macht,
bestimmen Isfst; diese Gleichung ist :
t ( 2 c2--a Z-b?)(sin
woraus sich crgicbt:
sin 2
-
02
cos (P+sin 62 cos o ~ ) + a ~ - c ~ - j ,
~ o a - ~ a - ~ ( o ' - c ')]c n r 2 ~~1 (2 3 --n '--l)
('F
--Jinqacor
b1(2c'-u2-6.1)
2q
1
Setzt man in dicsen W e r t h von silt o fur a2,6 2 und c2
die dem Salpeler eulsprechenden Werthe, so erhaIt man:
5ino2=;
, sino=l/;,
also :
o=450
Der Winkel also, welchen eine Asymptote mit der
Hauptaxe der Hyperbel macbt, ist fiir alle 4 5 O , die Hyperbeln sind also sarnrnflich gleichschmki&.
In Fig. 16 Taf. I1 sind die Resultate der Rechnungen dargestellt ; die dort gezeichoeten sind eine Reihc
von Hyperbcln, welche verscbiedenen Werthen vou p
entsprechen. J e d e Ngperbel schueidet den willktibriich
gezogenen, die Figur begriinzenden Kreis in zwei Punkten, die zur leichteren Uebersicht mit gleichen Buchstaben bezeicbnet sind; jedoch ist diese Bezeicbnung nur
auf der einen Halfte der Figur gemacht. Aus derzweiten Columne der hicr bcigeltigten Tafcl crsieht man, wie
groL der WinkeI p fur jede dieser Hyperbeln ist.
u, I .
YUO
2 -2
e -e
d ' - d'
36
27
18
9
0
9
9
38
27
36
45
5-4
c' - c '
I8
63
b'-b'
a'--(z'
27
36
36
27
18
9
z
45
90
0
a -a
b -b
c -c
d -d
-%I
I
61
72
63
54
43
287
Die erste und letzte der bier angefiihrlen Hyperbelo, Z--t und Z - z ' , fallen mit ihren Asymptoten ZUsainmcn, der Gipfel der Hyperbel liegt iin Mittclpunkte
der Figur, die beiden Aeste dersclben fallen ganz mit
d e r A r e der x und y zusninmen.
Es bleibt jelzt nur noch die Lage der Polarisationsebenen far die von den verschiedcnen Hypcrbeln kommenden Stralilen zu bestirnmen obrig. Von jedcrn Punkt
irgend einer Hypetbel gcht ein ordinsrer und ein extraordinarer Strahl in's Augc, deren Polarisationsebenen auf
eioander rechtwinklig stehen. W l r e die Richlung dcs
austretenden Strabls rechtwiuklig auf der Oberflache des
Krystnlls, so wurden auch die Durchschoitfslinien der
beiden Polarisotionsebenen mit der Krystalloberflache
rechtwinklig auf einander steheo; da aber diefs nicht
dcr Falf ist, so machen auch diesc beiden DurclischnirtsIinien keinen rechten Winkel mit einander, weil jedoch
die Strahlen sehr nahe senkrecht eiofallen, kaun inan
diese Differeoz ganz unbeachtet lasseo. Aus Gleichung
(17) zieht man:
wcnn man fiir R und S vorher ihre W e r t h c gesefzt hat.
Die beiden W e r t h e von w bestimmeu die Lage der Polarisationsebeneu der beiden, nach derselben Richtung
austretenden Strahlen. Bezeichncn wir wit P ' und w"
die beiden aus der letzten Gleichung gezogenen W c r l h e
vou W, SO mird nach obigem Raisonnemeot d + w " nicht
vie1 von 90° differiren. Ftir Salpeter w i d die Ietzte
Gleichung sich sehr nahe auf:
tmg w = t a n g 2 g * V 1 + t a n g ~ e ~
. (22)
reduciren, also :
tang w' .tang w"
=(lung ~?+V~+tan,g
2e) (rang?g--Vl+tang 2q i,
t a ~ g w ~ . t a ~ g w " = t g 2-cl -) t~u n g 2 p 2 = - l ,
woraus ebenfalls folgt, d d s die beiden, durch die Win-
.
288
kel UJ' und W" bestimmten Durchschnittslinien wirklich
nahe rechtwinklig zu einander sind. Mittelst der Gleichnng (22) kann man nun die jedem 0 entsprechenden
Werthe von w berechnen. In obiger Tabelle sind die
Werthe von w, welche den von 9 O zu 90 fortlaufcnden
Werthen von p entsprechen, eingetragen.
Diese Resultate reichen nun hin, die game Erscheinung der schwarzen Blischel in Salpeterplatten zu construiren.
Bezeichnet man durch I die Intensitat des einfallenden Lichtcs, durch p den Winkel, welchcn die Polarisationsebene des ordinaren Strahls in der Krystallplatte mit der Polarisationsebene des ersten Turmalios
macht, durch 4 die Anzahl der Wellenlangen, um die
der eine dcr beiden interferirenden Strahlen dem andern
vorangeeilt ist , so ist bekanntlich :
I s i n 2 p .sin n 8
die Vibrationsintensittit der durch die Interferenz gebildeten, das Auge treffenden Strahlen, wenn die Turmalinplatten gekrenzt sind. In unserer Betrachtuog lassen
wir die Veranderlichkeit der Gr6fse 4 (von der die Lemniscaten herriihren) ganz unberiicksichtigt, und setzen
dcshnlb Sin n 4 gleich einer constanten GrBfse, am bequemsten gleich 1. Die Intensitat der das Auge treffenden Strahlen ware demnach :
I . s i n 2p.
Legt man nun die Salpeterplatte SO zwischen die gekreuzten Turmaiinplatten, d a t die h e der x mit der Polarisationsebene der einen, die Axe der y mit der Polarisationsebene der andern Turmalinplatte zusammenfallt,
so ist fur alle, von der Curve z z kommenden Strahlen
p=O, also ist die Intensitiit, mit welcher das die Fig. 16
Taf. 11 durchschneideude Kreuz dem huge erscheint,
gleicli 0.
Fur die VOD der Curve (LO ins Auge kommenden
Strnhlen ist in diescm Falle p=9", also die Vibrationsin-
2S9
inteasitst der yon der Hyperbel aa in’s Auge kommeliden Strahlen :
I.sin 1 8 O .
Dick ist such die Vibrationsintensitjlt fur die von
a ’ n ‘ koinmenden Strablen. F u r die tibrigen Hyperbeln
cler Fig. 16 Taf. I1 ergeben sich folgendc Intensitsten:
I
Vibratioosintensitjt.
-
c’c‘
d‘d’
Lichtstirtc.
0
zz
93 1
3481
636 1
9025
10000
a a’ und a a
b’b’
1
bb
cc
dd
ee
Legt man die Salpeterplatte so zwischen die Turmalios, dafs die Axe der x einen Winkel VOD go mit
der Polarisationsebene der einen Tormalioplatte macht,
uod zwar so, d a t die Polarisationsebenen det von a n
kommenden Strahlen mit den Polarisationsebenen der
Turmaline zusammenfallen, so ergeben sich far die von
den verschiedenen Hyperbeln in’s Auge kommenden Strahleu folgende Werthe:
Vibrationiintenritit.
Lichutirke.
~~
tt
uod 66
aa
c c und a’a’
dd
b’b’
e e - C‘C’
b’b’
I
1.sin 1 8 O = I . 0’31
I.sin 0 =O
I . sin 36 = I . 0,59
I.sin3-i
I.sin72
I.sin90
93 I
0
3491
636 1
9025
=I.0,81
=1.0,95
=I
10000
Macht die h e der x einen Winkel von 4 5 O mit
der Polarisationsebene dcr Turmaline, so ergeben sich
fur die verscbiedenen Hyperbeln folgende Werthe der
Vibrationsintensitlit :
PogggendorBr Annal. Bd.
XXXXIV.
19
Vibrationriotensitit.
zz
aa und a'a'
bb
cc
dd
-
-
-
ce
b'b'
c'c'
d'd'
I . sin 9~
I.sin72
I . sin 54
I . sin 36
I . sin 18
I.sin 0
=I
=I.(),%
= I . 0.81
=I.
0.59
=I. 0 3
=O
1,ichtirke.
10000
9025
656L
3.181
931
0
Die Stiirkc des Lichteindrucks ist dem Quadrat der
VibrationsinleositZt proportional, daraus ergeben sich die
Verhaltnilszahlen in der dritten Columne der drei Ietzten Tabellen, welche das Verh5ltuifs der Lichtstarke der
verschiedenen Hgperbeln aogebcn. Sich ungefahr nach
den in dcr dritten Columiie der ersten Tabelle richtend,
ist Fig. 17 Taf. I1 schattirt, nach Tabelle 2 die Fig. lS,
uud nach TabeIle 3 die Fig. 19.
Vergleicht man diese Figuren mit der Erfahrung, so
w i d man finden, dals sie mit d e r Erschcinung in einer
Salpeterplatte rollkommen iibereinstimmen ; damit jedoch
die Leumiscaten bei dieser Vergleichuug nicht binderlicb
sind, inufs man, wie schon bemerkt, dicke Salpeterplattcn wslilen.
Aus der Erschcinung an Salpeterplatten 13fst sich
nuu auch auf die Erscheinung i n andern zweiarigen Krystollen schlicfsen, hei denen der Axcnwinkcl grbfser ist.
J e mehr dcr Artcnwinkel wiiclist, desto mehr entfernen
sich die beidcn Punkte, in dern sich die HJperbeln schneiden (die Pole der Lemniscaten), von dem Mittelpuukte
der Fignr. J e mehr aber diese Entferniing znnimmt, desto
geringer w i l d auch die Kruminung des Theils dcr Hppcrbcln werdcii, welcher in die Nshe der Pole bllt.
Am Pol ist die Hgperbel e e am stlrksten gekriimmt;
der Axenwinkc1 knrin aber so zanehmen, dak selbst diese
Kriiinmiing nur noch unbcdeutcnd ist. Schneidet man
dahcr einen solchcn Krystall scnkrccht auf die eine Ase,
so crsclieiut dirs fiiosspfcrn stots durch einen schwar-
291
zcn Biischel durchscbnitten. 1st noch eine Krummung
dcs Blischels wahrzunehmeo, so ist sic am stgrksten, wenn
dic Eberie der optischen Axen der Krystallplatte den
Winkel der Polarisationsebene der Turmaline halbirt.
Die andcre Axe liegt alsdann nach der Seite hin, nach
wclcher die Krummung gerichtet ist.
Wegen des Nichtzusammenfallens der h r e n fur verschiedenfarbige Strablen haben die Buscbel beim Salpeter in dcr Babe der Pole nach Innen einen blauen, nach
Aufscn einen rothen Teint.
V I[
Ueler eirie tier Schw@saure entsprechende
Chlorserbindung des Schw~$els;
con H e i n r i c h H o s e .
'
V o r einiger Zeit habe ich zu zeigen gesocht, dafs bei
der Einwirkung des Chlorgases auf Schwefel, und aiif
einige Sclrwcfelmetalle, wie Schwefelzinn, Schwefeltitan
und Schwefelantimon , eine Chlorvcrbindung entstehe,
wclchc der schweflichten Saure analog zusammengeectzt
sey, und welche durch Behandlung mit Wasser in ChlorwPasserstoffsYnre, in SchwefelsYure und in unterschweflichte Sgure zerfalle I ) .
Da diese CbIorverbindung im
isolirten Zustande nicht zu existiren scheint, sondern nur
in Verbindung mit Schwefel und einigen Chlormetallen,
so schicn es mir wahrscheinlich, dak, wenn es eine hahere, der Schwefelsaure analoge Chlorverbinduug des
Schwefels @be, diese noch weniger irn isolirten Zustande
dargestellt werdcn kilnnte, zumal da die derselben entsprechenden Chlorverbindungen des Chroms, des Wolfr a m und des Molybdgns nur in Verbindung mit den
ihnen aualog zusammengesetzten Sauren bestehen k6n1 ) Diue h n n ~ l e n ,Bd. XXXXII S.61i.
19 ?+
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