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Betrachtung zweier Kurven die auf hnliche Art wie die Ellipse und Hyperbel entstehen.

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vrr,
I v c n t i von rwei felkcn Yunkteti oils mchrere Pear43
voii Litlien t i a h atidern I'unkten gezogcu wcrden,
fo bilden lick Ureiecke, wtlche alIe die gerade Li)lie zwifchcn jerieri smei fellen Put:ktett ZUF Giwtidliriit hirben, a i d dereti Sclieukel iiiizitilig veckhiedene Lagen u!id Griil'scri h u h bii!incu. I n To t k i r
diirch dit Spilzen diclhr Ilreiccke rille Lillie, fie;
rode oder krunim, gezogen wird iienliea wir die
heiderr Sclirttkcl, die Yectorsn dider durcli die
J)i&ckslpitre
beitiinniteu Linie.
Ivpetid ein Ge-
lkiz tiiv die G r i i l k der beitleu Sclierrkel jedcs Dreb
eck3, baltimtrit die Geiirlt dcr Litiie, tvelchc durch
die Spike geht. %wei I'ulchcGeliilze ltrllen uns die
hcd&cii,ilte
Ellilp uric1 qvperbrl dot.. Uas Ge-
l&, die Summe d*r beidcn 1)reieckl'clleukel oder
Vectorerr [ill imnier licli gleich hlaihttn, gieht die
Ellipfe, L)os Gelilz, dar L;nterJ:hied der beiden
EiZ
c
183 3
Scltenkel roll immcr dcrfelbe bleiberr, giebt die
Wyperbel.
Datei ilt es nun felir natiirlich nuf den EinFall
EU geratlien: was liur Liuien etitftehen denn f u r ondcre Geliitze? z. H. fur die beiden, die fclr glcich
zuJchR anhietan; iii'mlicli er-lich : clns Prodiikt
des leiden Vectorett ah Pactoserr, foll gleich b h i ben; und zweitens: der Quotient, oder das Yetiiiiltnfs defetten fill cort/lant feyn.
L)a der Eitiiall To naturlich in, To habe ich ilin
vielleicht niclit zucrlt, aher doch von CeIbR; ich erinnere mich niimlich niclrt irgeodwo etwas davorr
gefunden zu habeti, und hahe zu wenig Ztit, urn
Jornach zu ruchen. Ich nelime allb die Hetrachtung vor, uls ob lie ueu wire, uod ohne die Ablicht,
den Gcgenfiand zu errchiipfea.
Icb ruche nlro merft: welche Lit& darnua en€/Is&, wenn dar Proahit der teiden Vectoren conJnnt Iieibt.
Fur den Fall, wo beide Vectoren cinander
gleich lind, in das Produkt ein Quadrat, dcITen
Wurzel ich den milL2er.n Vector nenne und durch r
bezeichne. Allgciriein bezeichne icli die Vectoren
durcli Y und w ; jener 1bU der reyn der von dem fe
Men Punkte, Breoopuukte F, ditfer der welchcr
vou demBrennpunkte c aurgelrt. DasProdukt oder
Rechteck ow fool1 alfo immer gleich P Teyn.
Urndie zurammengehorigenVectoren zu finden,
errichte ich {'l'af. II.Fig. 1.) eine Lioic PiV renkrecht
atif cincBalis, und macho EiVgleich dem gcgebeneo
,
,
,
I
189 7
mittiern Vector =r, und berchreibe aus F und QUJ
heliebigen reitwarts vori Fliegenden Punkten I, 2, 3,
Hilbkreife, indem ich den Zirkel iinmer bei N eriiffne, Ib Cchneidea diefe auf dcr Balisdie zufammengehorigan Vectoren ab. So gehoren z. J3. zulimrnen zuvorderlt d i e beiden gltichen Vectoren
FJ uud F a , lb fernel- F K und F L u. f w., endlich F A und FB. W i e diefe letzten beiden Ech
beliimrneu, w i r d Iich bald in der l'olge zeigen.
Dafs die Vectoren To dem Gefetze gemafsgenommen werden, ill aus der hekannten Gleichung
des KreiTes klar, indem To wohl JF. FE alu KF. FL,
als e n d l i c h A F . r U , = F ~ 2 , a l l b uberall V I U I I ' ~ ilt.
Uekhreibt man nun auerlt m i t den beiden gIeG
chen Vecloren F'J und F E F i g . I . , uber d e r gegebeneo Grundliuie F G Fig. 2. das Ureieck F D G ,
foilsnu mit X P und P L Fig. I. das Dreieck Fa1 G
Fig. 2 , und fu f o r t Iinks und rechts und oben u n d
unten, To erhSlt man die Ellipfe, melche Fig. 2. daisItellt, und die ich beliebiger Kiirze wegen einrtwci]en meine ELlkfi ueiinen will. Pindct fich ein Andcrei., der fruhere Anfpriiche hat, li, trete ich lie
nb: das kann einem Welluml'egler mit einern Eilancle hegegnen, warurn nicht auch eincm Geometer
m i t einer Eilinie.
Auf das Erkhiipfen noch ein 3rd ausdriicklich
verzichtenci, fuclie ich nur eiri l'nor Haupteigenl'chafteu meiner Ellipl'e. Icli netine die groLel-ialhPcIIL;: C A = a , die kleine Halbachfe C U = 6 die
Eccentricitit C F e. Zuerlt slfo die Aufjp be :
,
e
'90
I
die Eccenfticrtat a
die k l e m e und g r o J b Ach$e zu finden.
W e n n der mittlere vector.r und
Regehen Jnd,
Zuvorclerfl iR rogleichlfur die kleine Hi11baclife
ea. I)& alfo e kleiner als r l>yn muflu,
verficht Ech V O I I Tclbllt. Uebrigeue kann man uucli
fchreiben 6" = ( r + c ) ( r - a ) , l u Pig. 1. ili CJ=
r c iiud CE' = r e, alfo CD die kleine Halbach.
fe, iyeun niimlicti CF die Bcceiitricirit in,
b2 = rz
+-
-
-
Fiir die grofsc ETalha~hTeergiebt Gdh der AUS,
clruck aus der Gleichung v w = rz. Ua nimlicli die'lk Glvichung fGr jedea Piinkt dicrer Ellipfe, Cilli,
aucll fiir den Scheitelpuukt A g i l t , w o w = G A 7
C A + C G = a + e , und v = F A = C A Y C F z
n- e i & , To ilk fiir dieferi Punkt A, Y W T= cla
ea
= ( n - - 2 ) , ( a + e ) . Alfo G~ - ez = r* oder a2 =;
rz e'. Uahcr ift in Fig. I , wo F L V rr l F C z e
jfi, die Hypoihek C N die grol'se HalbechTe, und
-
+-
der darnit bekbriehcne Ihlbkreis hut einen DurchmeKerdB, der die grofse Achl'e darficllt. Nur Z W ~ .
Tcllen F rind C fig. I , brnucht man d f o Mittclpullk.
t e zu d c n Halbkreireii zu nehmen, welche die ZUfclnimeogehiirigei1 Vecloreti aMchneiden Tollen, A1.
le aufser dieCea G r k x o q wurden unnutz feyp? rveil
die Abkhuitte, n-clche lie geljen, niclit als Vecios
rea dier?en ki;rinen, d3 fich nicht mehr Bogen r?us
.F und G Fig. 2. h m i e b c r c i ~ c i b c rlairen,
~
die IicIl
li.iii.eider. k6lJ!leent
rlfo
W i e hieraus dieZeichnung zu mrclien fey, eeigt
die nntere Hallte der Figur 3.
NSmlicb erfllich, umsdea rnittlern Yeclot r zu
finden, miche man die Linie A B gleich der gegehenen groken Achfc; ziehe fcnkreoht durch dcren
M i t t e die klcine Aclife, 6 daCs CD die eitie Hiitfie
undCEdie andere wird; ziehe dieMypothcoufe'eE,
uod beli.lircibe uber diel'e einen Holbkrcis und in
dcufelben die Sehnen von go Grad A R und ER,
To ili einc rolche Selinc der mil tlere Vector. Uenn
esilLnRZ=Ln~a=f(ACf+CE").
Urn zweitens die Eccenlricitst zu finden, kann
man entweder, nechdem der rnittlere Vector r gefunden ill, mil diefem aus D einen Kreisbogen IhcI'chreiben, der die groSse Achfi i t t 1' u n d G ol:, den
beiden nrcnnpunkten Tclitlcidet, dr denn C P = CG
die Eccentricititifi; oder oboe r gcfunden eu )inat - 1%
bcn, kmn man den obigen Ausdruck e'=
P
I 19% 3
fo kongruiren: M a n berchreihe uber C B = a eitirn
Halbkreis, trnge in denl'elben die kleine Halbrrchlh
i n CS, &lie die ubaige Sehne RS, bel'chreibe wieder uber dierer einenHalbkreis, und t r q e i n diereti
die Schnen von go Grad SQ und B Q. Eine rolche
Sehne ift = e. Uenn es ift
SQz=i BSZ= ( CB2- C
S
'
) =$( A @ - CE2)
Dritre Ailf5;abe. Eine G l e i c h n g fur Absciflcn vom BZiftebtinkte und (kdinaten zu j'inden.
Es fey CP = z. Nun ill PXz = P X 2
F P , dar ik
~ z = y z + ( e - z > ~ j und fo aucl~ ( ; d 1 2 z P i u z + C P , das iTt
&=y2
( e f 2)s.
Er ift fcrner v w = r Z , alfo v z i u 2 = P ,
+
+
dan ill ( f l + ( e - z ) z ) . ( y t + ( e + z ) z ) = P .
Alfo y4+( (e + ~ ) ~ + ( e - z ) z ). y Z + ( e
2)". ( a -:)t = A
dar ifi y4
3 (ez
zz)y2
(el
ZZ)~=
oiler
a ( ez
r.z)~?=#-(
$ - zz)z.
Alfo Sp z (ez+z")yz+ (2+zZ)= + - ( c ~ - z Z ) Z +
(e2+z2;"
dds ifi y2 f 9
z')a=++
4 3 zz
dfo ya
e2
z"=r( P
4 ezza)
ond
y2 =Y(++ 4 a 2 z 2 ) - ( e * + z").
+ +
+ +
+
+
+ -+
+
-
+
+,
+
Fur den Parameter ill z = e , wenn wir a l b den
Halbpararneter FII (Fig. 0 . ) durch p bezeichnen,
fo iR pa =V (
4 e*) -2 e2.
O h n e mich hier a u f weitere Entwickelungen
eitizulalren, Rellc ich nur noch ein I'aar Vergleichungen zwirchen meiner Ellipfe und d e r gewShnlichen an.
Bei der gemeinen Ellipre iR die grofse Halbachfe darn mittlern Vector gleich n = t, boi der mcinigen a b c i ilt n 3 y r z + c f , alli, hei gleichem
++
I.. 193 J
t n i t h r n Vectv:. .dl gleicber ISccetiLricitit (nlfu Ibei
glelcher tlcinerrr idire) ilk meiric Ellipre 15itglicficr
01s die gemeine.
Hei der gcmeiaen Ellipre iR I' = a, bei tier rucinigeri r = r n ) - e2, alfo hei gleicher grofscn Acli1B und EccentricilHl iR der miltlc!rc Vrclor, iiiid Ij
danri aucli die kleino Aclire
yra ea, bei meirier I4lipfe kleiner als bei dcr gcmci ttcn.
Bei dcr gcineioen Ellipre ilk es = ( t 2 b', hci
-
-
dcr mciiiigen oher ill $ =
a
,
- I)= , alfo bei gtr-iII
cher groTscn utid kleinen Achfe ilt die Eccentricitit,
dcr nieinigeti klriner (die BrennweiLe all; griifier)
;tlu bei der gerneiiien, und zwar verhiilt fich die ISccentricitit meiuer Elliylb u1 der Rcceutriciht der
gemsincn, wie 8 :Y n .
lclr bctrachte jetzt die Linie, welche aus dem
Gefetze entfieht ;dnJ &r Quotient der beiden Vectoren, oder Dreieo.+IienAeE, immer einc conJiante
CrbjeJeynfoU, oder mit andern Worteo : drlb die
Vectoren immer glei'ches Verliiiltiiil's gcgen eiiiauder liaben lollen. Wir werden dabei das Vergniigcn liabcn, cinen alten Bekoontcn erfcheiacn zu
feheo, der Manchen durch kine vialleicht riicht ere
wartete Erkheiiiong atigenrhrn ultercaltbeu wircf.
Es ili nur fchadc, dars man feineo Lcfern bcim
fcliriftlichen Vortrage dao Vergnugen dcr Ueberral'cliung, was man leinen Zuhiirer beirn miindtichen Vorlrage mit geniefsen lall'en krnn, Celbft oerr
dorben rnulh, indem inan ihnen eine fclion vollfiin.
c 19% I
dig gezcichnete Figur vor Augeq&gt.
Dos Iifst
lich nun eiu Ma1 niclit iiudero, a i f q zuviirdcrIt die
Zeichnaog der Tigur.
Uie Entfernung der beiden fefien P u n G t e F und
C ,V O D denen die Vectoren ausgehen rollen, ift gegeben. Man maclie all; in Fig. 3. die Lioie P G , ols
gemeinTc11aftliche BaGs aller Ureyecke, der gcgcbeiieii h t J e r n u n g gleich.
I)a hlos das Verhiitnil's
der Vectoren heIiirnmt ift, li, kaiin ihre abfolute
GrGI'se aucli 10 klein wcrdcn, dnls fie Iich cwijLlien
den l'unlrten P uiid C; bcriihren ( w i e bci d e r gemeinen H y p e r b e l ) , da dann beide zulhmmen die
Linie E G ausmaclien.
D s tiun nllcnthalben, alfo. auch fur d i e h Fa11
daITelbe VerhiiltiiiTs Statt finden Toll, 10 Lheilt man.
die Linie F G in dem gegebenen Verliaitnils der,
Vectoreu in A.
Uin die zulhmmengehorigen Yectoren zu er-.
I d t e n , wird folgende Zeichnungsrnetliade om bequemlten fuyu.
Mail betchreibe mit C: A cinen Kreisbogen tram
ge i n denklben d F i n A l a l s Sehne ein, ziehe durcli
G u n d . I c i n e Linie G H , d e r e u L i n g a wir,fiir jetzt
noch unbefiimrnt nelimen, bel'chreibe immer aus
Jeml'elben Brennpunkte C; mit beliebigeii Haibmeffern G H , G S , G Q, G M K r e i s b a g e n , wvelclrc die
LeiderIcits verliugerte BaGs T G in D , T,R , F
I'cIweiJen, lo Iind eben jene I-lalbmclI'el* und die
Sehnen dielkr' Bogen die zulomrnetigrl16rigen Vectoren, uirnlich G H i n d ND, To auch G S und S'l'
,
I
195 J
fo cruch c' Q iind @ A 11. f. w. blit den erilernVecLoreii G 11, CS, C;Q u. K \v. liird die Bogen L'choa
aus dem eirien lheimpriiikte C: befclrricbeo, man
nehme a l l l dic erwiihnten Selinen, &lze den Zirkel in dem nudern Urennputikt P ein, and d~trcli.
l'ckoeide jenc Bogen. Z.B.man nehmeST, lctze ioE
ein uud durchfchncide den 13ogen ST in U ;fernec
nebme man die Sehrie QR letxe in F cin, uiid
durclifchrieide den.13ogcn QB in N u. C w, .Und
io verfihre man unler und uhcr dcr Achfe 11E,urid
liriks uiid rechts voo der Milte C, 1; erhilt wan
die Yuok~c,durch wclche man cndliclr die L i n h
zirheii kana, die dein ouogc1j)rochenen Gel'ctzc gem5fs ill,
A r t diefer Linie fillt iius nuo zuerfi*foJgende
Eigenlclialt nuf:
L)a die Vectoren alle eincrlei VerIrtiltriiC~gegen eiaaiidcr halen, niimlich die, dcr'rlicile der Halis C A : FA, lo Folgt aus eiiier bekanrilen EigenCchaft der Iheiecke, d.$. clllo Linieu vonc &heitel
A nnulr belicltqen PrrnL-ten deer &rue, den r e c t o ,
rentuitrtal furllirsm; rLU Iidbirt den Winkel FMG,
fo iucti AN l d b i r t dcn Wiukel FAG, uird To bei
ollen iibrigcn.
Feriier Lehcn wir: dafs zwei entflegen gebtete
mid v o ~ isinwider at@briderto Kurven critl!e!ren,
wie bei der geineirren Hyperbel.
Fvrncr : wenn wir uaterfuclien, wio grok fiir
cine ditfer lCurvaa, 6. J3, fur die apr Linker) der
,
c
196 1
Vector G D wcrden kiinne, To ergiebt Gch fe1gendes:
Es ilk zuviirderlt k l a r , dafs, To
wie die beiden
Vec~oi*en
ewqchen P i i t i d G i n A zufommeutreIikn
kocirien, lie aucli jenfeeils P und C: i n der verliugert e n M i s i n D uudE zulbmmeutreffbll wrrdee, weldies oil'enbor dann Slalt findet, wenn man i l l diek r Achfe zweiLiriien G D u u d F D i n d e m gegeberrcn
Verhi'ltnifs clcr Vectoreri nimmt. Jede der heiden
Kurven wird d r o , nicht wie die gemeirie 11yperl)el
u neiidliclie Scherikel hahen, londern aine gel'chlol:.
I'cne Figur bilden.
\Venn nun olfo feyn roll
FA: G A
= FD
:
GD
w o die beiden letzten Glieder unbekannt find, fo
muG ouch feyn
6A
wo
- FA G A = G D
- FD
;
GD
hlos das letite Glied unbekaont ill, weil G D
FD = J'G eine gcgebene GrOCSe i k
-
Uieren griil'sten Vector in d e r Zeichnungzu beliimmen ( u m nicht unnutzer WeiCe Vectoren zu
&bclien, die lich vielleicht nicht mphr erreichen),
trogc m a n FA ilus I i n IX, ziehe XF und darnit
parallel durch I eine Lillie ID, To ilt GD beltimmt.
Niimlich es i R
das iTt G A
GX: C I = G F : G D
: G A = GD
FD
- FA
-
:CD
N u n noch folgende Eigenfchoft. Fur irgeud
cinen beliebigen Punkt 31 ziehe man die Vectoren
C vi I
F.lfund GJl und tragc FA1 in lllY
Auch ziehe
man r o n Y nacli F und r o n A-p iiaclr deli lcirleu
Scheiteln A uiid D.
L)a riun fryrr fdl
C J I : Fat = CD : FD
dab ifi C Y : 2"V
= C D : FU,
P F pornllrl i i i i t ND.
Es ill o l w r F N P ein gleic~il'chenklic~ies
Dreieck
To ilt
und H A holbirt den Wiukel on der Spitzo (iiach
Obigem), fdglich iG IIU I'enkrecht auf FV.
J h nuti F Y mit &I. einen rechten tViakt.1
macht, und AID rniLPFparalle1 in, 1'1) mncht aucli
MD :nit M A eiacii reclrten 'Winkel, uiid folgliclr
(hier haben a i r dcri alten Bekantrten) ill die F i p r
ein Kreia oder vielmehr ein Paar Zwillingskre&-,
Ein Yaar Aufgrrbeti, die Lich nacli Obigem leicli t
aufliiren l a l h , find folgeade.
Die Siandpunkte LU & h a ,
von (YO w a drai in grrodcr
Linir liegrnde Objrcie P, A, C unier g k i d e n fiheinbaren ErrtI h w a g e n von einander geJehen wer&n.
An h e r geRebenrrb Cruncllinie FG ?Xi? untrr einrm gegeberen Winkel rinr L i n k F N von noch unlr/iimmta Lunge
itfan JO11 den Punki M in diefer t i n r e br@wen
die Schenkrl PU, C X dnr Kcgebenr VeWtnif* iabm.
&t%t.
DeKiau den 30. Uec.
,
YO
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