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Cauchy's neue Methode zur Bestimmung der Intensitt des reflectirten und gebrochenen Lichts.

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1840.
ANNALEN
JTO.
7.
DER PHYSIK UND CHEMIE.
B A N D L.
I. Cauchy's neue Methode zur Bestimmung
der 3niensitat des rPJlectirten unJ gebrochenen Lichts.
Frei Jargcrtellr von A. v. E t t i n g s h r u s e n , PruC drr Physik an der
Unirersitzt zu Wien.
S e i t lnnger Zeit ist man im Standc bei jedcr Bcscliaffcnhcit zweier an cinmder grjinzendeu Mcdicn dic Richtuug des reflectirtcn und gebroclieuen Lirhtcs nus jcner
des cinfallenden abzuleiten ; die Bestimmung der Iijtensitiitcn beitlcr Strnlilen blieb aber rinbcrulirt, und konnte
aucli ohne die Entdeckung der Polarisatioii, mit der sie
in innigem Zusammenhange steht , nicht bcwcrkstelligt
werdcn. F I e s n e 1's ungewblinlichein Scharfsinne war
cs vorbehalten auf dcm neuen Felde die Bahri zu breclicn; er gab ziterst die Formcln zur Vcrglcicliung der
IatensitZten des einfd!encIen u i d refleetirten, auch wolll
des gcbrochenen Strahls bei jcder Iacidenz fur an eiiiaoder grsnzende einfach brechende Medien , nachdem
Y o u n g und P o i s s o u bereits den Fall der senkrechtcn Incidcnz betrachtet hatten. Obgleich aber der Weg,
dcn F r c s 11 e I zur Auffiodung dieser Formeln einschlug,
auch spiiteren Forsclicrn bei erweiterten Schritten zum
Muster dientc, so koiinten doch Geometer, dic auf Streoge
dcr Bemeisfuhruog halten, mit den auf mehr oder zvcnigcr willkiihrlichcn Voraussetzungen sich stiitzenden Ableituiigcn nicht zufrieden seyn, und mufsten cine haltbarcre tlieoretische Begriindung der Formeln urn so mehr
wiinschen , als die Richtigkeit derselben bereits auf dem
M'ege dcs Experiments aufser Zweifel gestellt schicn.
Dcr ausgezeichnetc Geometer C a u ch y, dcm dic analyPq~cndorll's Annal. Bd. L.
27
410
tische Ausbildung der Uudulalionstliebrie der Lichtcrschcinungcn hereits so vie1 verdankt, hat nacli rastlosem
Iiemiiheo entllich auch die'ser Forderung, uiid zwnr a u l
eine sehr einfache Wcise , entsproclwn. Sciiic h i s t u n g
mufs als ein bedeutcndcr Fortschrilt bctrachtct wcrdcn,
und diirfte dahcr eine kurze freie Darstellung sciner Dcduction, in sofern selbe sicli auf cinfach brechcnde Medien bezieht, wodurch zugleich der W e g zur allgctneineren Beliandluug des Problems angedeutct wirtl , dcii
Lcscrn diescr Annnfen nictit unwilfkoinuicn scyn.
Sind Z,3; z dic reclitwinklichcn Coordinatcn cines
Aethertheilchens in der Position des Gleichgewichts; z+$,
y+q , z+< die Coordinnten dcssclbcn wiilirciid der Ucwegung am Ende dcr Zcit L, inithin {, 17, dic dicscin
Zeitpunkte entsprechenden Componenten der Abwciclluag
dcs Theilchcns von sciner Gleicligcwiclitslagc; so hcstchen fiir cin Medium, welches dns Licht nach allcu IticIi.
tungcn auf einerlei Weisc fortptlanzt ( C a u c h g n c i ~ i i t
derlci Mcdien isophane, auch isorrope), in erslcr Anniiherung (wobei die Dispersion vernach1;issigt wird) folgende Differentialgleichungen :
<
worin zur Abkunung:
gesetzt worden, und G, H Constanten bedeuten, dercn
Werthe sich nach der speciellen Beschaffenheit des Mediums richten.
Es ist ein fiir die aualgfische Behandlung der Licht-
411
phiiuomenc uacli tfcr Undulationstheorie sehr bequcuier
Uinstaud, dafs inan, ziir Ahleilung dcr Gesetze dicser
l'liiinomcue aus den I)iffcrcutialgleiclirrngeo fur die schwingeudc Bewcgung dcs Acthers, dcr allgemeincn Integrale
dicscr Glcicbhungen iiiclit bedarr, sondcrn siclr Icdiglich
nuf die Ilctraclitung sclir eiufaclicr particuliirer Integrale
beschrlukeu kaun, aus dcuen sich iibrigens die allgeiiieincn Integrale bildcii lasscn. Uicsc particuliiren Intt*gralc geben die Wcrllic der Griifsen E , 7, j in d e r
Forin pcriodisclrcr Fanctioueii dcs lincarcii Ausdruckes
sl+ux+uy+wvt,
worin s, u , o, IY von I, x , y , z
iinabhiingig sind. Da das SO c b o i geuanntc (2uadriiiom
bei eincin bestimiiiten Wcrtlic von I fur alle Actlrct~lieilcben denselbcn W e r t h erhdt, fur welchc u z f uy+wz
coustant ist, so bcschzltigt innn sictr also Iiicr zuriiiclrst
blurs init ciiier solclien Art dcr B e w c g i q dca Acthers,
bei dcr allc Tbcilchen, die im Ruliestandc in cincr Ebcnc
liegcu, welclic der Ebene uz+uy+
w z = O pnrallcl ist,
stets in vollkomlneiiem Einklangc sicli bcwcgcn, und inaii
crforsclit, untcr welclien Eedingungen die Beweguiig, die
durcli die fur t , 7 , 5 angcnommciicn Formcln rcprlsentirt wird, mit der vorausgesetztcn Natur dcs Acthers vcrtriiglicli ist, uiid in soferu zu den iniiglicheii Bewcguugsweisen dcsselbcn gebiirt. Acudert sich die Zcit C urn die
Differem Y
', so fiudet sich der friiherc W e r t h des Ausdruckcs ~ I + u ~ + u ~ + w z in dcrjeuigcn Ebeuc wicdcr,
hinsichtlicli welclier der Bctrag von U Z + V ~ + W Z
gegen dcii vorigcn uin die Differeuz --s Y' ab*veicht, WOiiacli es leiclit ist eiuzuschen, dafs iiiaii .es hier init ebenen W c l l c n , d. h. init ciner Bcwcgungsforin des Aethcrs
211 tliuii hat, bci dcr rin gewisscr, allen in einer E b e n e
l i e g p d e u Thcilchen eigencr Zustniid successiv auf dic
Theilclicii in benachbarteu parallelen Ebenen iibertiagen
wird.
Die Grirfscn f , 8 , 5 siud ibrer Natur nach reell;
27
412
allein auf dem rein analytischen Standpunkte kihnen
auch ilnaginarc Wertbe derselbcn dcu Diffcrentialgleichungen der Aetherbewegung Genuge Icistcn.
Bringt
niau derlei imaginare Wcrthe auf die Form P+ (Cv-1,
so bieten, wie aus der Iinearen Gestalt der Differ&iaIglcicbungen folgt, die reellen Theile P ebenfnlls Auflosungen derselben dar. C a u c h y konute dalier in seinen
Forrneln fur E , 17, j nu die Stclle reeller KreisfunctioDen die iinaginaren Exponeiitinlgrarsen setzcn, welchc
dieSe Kreisfunclionen zu reellen Tbcilcu haben. Diefs
rnacht niclit blofs dic Rechnung geschmeidiger, sondern
inufs vielinehr deshalb als einer der glucklichstcn Einfiille betrachtet werdcn, weil biedurcli die Zusaininenfassung mclirercr Erscheinungen unter ciuem gcmeiiiscliaftlicheii Gcsichtspunkt inijglicli wird, dic fruhcr isolirt und
fast paradox da staiidcii, wie z. B. die Absorption des
Lichtes, die sonacli als cin unlnittelbares Ergebnifs der
Gesctze der Fortpflanzung der vibrirenden Bcwegung im
Actlier bci einer gewisscu Gestaltuug desselben erschcint ;
fcrncr die Umstaltuiig geraddliuig polarisirteu Liclits in
ciliptiscli oder circular polarisirtes bci der Rellerion an
MetallflSchen und bci der totalcn Zuruckwerfung des
Lichts, wobei auch der bislier so mysteriilsc Gcbrauch,
den f i r e s n e l von der imagioarctr Gestalt zii inachcu
wufste, die seine Intcnsitatsforineln in dieseui Fallc BUnchrnen, auf klare Begriffe zuruckgefuhrt wird.
Es scyeu zwei isotrope Medicn durch eiue ebeue
Grsnztlache von eioander gcschieden, und es sclireite in
cinem derselben eine ebene Welle gegcn die Trennungsflsche fort. Man nehmc diese Trenuuugsflzclie fur die
Ebene der Y Z an, uod lasse die A x e der z der Wellenebene parallel segn, so werden 6, 7;1, 5 von z unabhangig, und die Differentialgleichungen der Aetherbeweguug rcduciren sich sowohl fur das cine, wie auch fur
das andere Medium, in soferii G und H die gebiirigcu
Werthe erhalteo, auf :
413
-wobei v=
+'?!f
dz
dy
Man setze jetzt:
E=
ist.
Ae ( S C t . X + V ) " = i
r-t; - Ce(s'+l=+'7)V-1
&(*t+ux+vY)"=
rind untersucbe in wieferu diese Wertlie den Differentialgleicbungen ohne vorliiifige Beachtung der Degr3nzung dcs Mediums Geniige leisteo.
Nach gehfiriger Substitution erhiilt man :
szA= G (u2 +0 7 A+ Hu(Au+Bv)
s2B=G(u*+v2 )B+tlu(Au+B~)
s2 C = G ( u 2 + v 2 ) C .
Die dritte dieser Gleichungen giebt
entwedcr s 2 = G ( u 2 + a z ) oder C=O.
Aus den beiden andern folgt (lurch Multiplication
der crsten mit u , der zweiten mit v und Addition dcr
Producte :
S 2 (Au-I-Bo)= G (u2 a9 ) ( A u +Ba)
+
-j-tl(u2 +u2 )( Au+ Bo),
i h o entwcder
A u + B v = O oder s'=(
G+H)(u2+02)
Dic Annahmc Au+Bo=O
fiihrt nnch jeder.der
zwei ersten obiger Gleichungen a u l 5' =G(u* +'v ),
und dabei bleibt, der dritten Gleichung wegco, C unbestimmt; setzt man aber s 2 = ( G + H ) ( u 2 - i - v 2 ) , so
gicbt die dritte Gleicbuog C=O iind aus den zwei ersten folgt:
414
n(U2+V~)=14(Au+Bu)
B(u~+CJ~)=CJ(Alr+BCJ),
inithiu :
A
-=-B
u
u
Es linden somit lediglich folgende zwei Fdle statt :
I ) 5 7 = G ( u 2 + u ? ) und zugleich Au+Bu=O und
C willkuhrlich; inati kniin dabei A = K u , B = - K u
sctzeu, und es bleibt K imbcstimint.
2) s 7 = ( G + i l ) ( u ? + 0 7 )
uud zugleich
c=O,
-=
u
0'
so dafs man .4=L14, B=Lu setzen knnii, wobci L willkiihrlicli bleibt.
I m erstcn Fallc hat man:
t-
Kue('*"X+'Y)'-?
5-
7)=-
K u e(3t+ax+VY)V=
<=
Ce(Yt+ul+.y)v=i
wobci S, U, o durcli die Gleicliung s 2 = G ( u 2 t o 2 )
mit cinandcr zusamnrenh%ngcn; und im zweiteii Fdle ist:
8 =L
e(3*.'+.7)v-l
7 ) = L Ue(''+"'t'Y)"-I
-
j=o
wobei s, u, o durch die Glcichung ~ ~ = ( G + H ] ( U * + O ~ )
mit einandcr verkuiiyft sind.
Sind 5 , U, u reelle Grdfsen, und setzt man die reellen Theile obiger Ausdriicke an die Stellc von & 17, <,so
euispreclien den Aethertheilclien in beiden Fillen geradlinige Bewegungen; our erfolgeo diesclbcn im ersten Falle
in der Wellenebene und im zweiten auf diese Ebenc
senkrecht. Es geschelien daher die Schwiuguogen beziiglich dcr Richtung, nach welclier die Welleuebene
fortschreitet, im ersten Fall transversal und im zweilen
longitudinal. In der Theorie des Licbts findcn, aus bekannten Griindeo , b l o t Scbwingungen der ersten Art
Anwendung
#
415
Uczielicii wir uun obigc Ausdrucke fur
8,
q,
vor-
crsl nuf dns Mcdiuin, iii welchcm dcr positive Theil der
Arc J e r x licgt. So lange inan niir solche Aethertheilchen in's Auge fal'st, die dcr Trcnnuiigsfliiche nicht sebr
nithe steheo, d. 11. fur welchc P nicht sclir kleiu ist, habcii die obiFen Kesultatc volle Giiltigkeit.
In der Nahe
der Trcnnuiigsfliiclie dagegen , wo die Beschnffcnlieit der
Media drircli ihre gegcuseitigc Eiuwirkuug verandert ist,
die Gleicbartigkcit nach allen Riclitungen, worauf sich
die Form obigcr Differeiitialgleichungen griindet , nicht
stattliudet, vcrliereii die gcgebeneii Wcrtbc von g, 77, 5
ilirc Aiiwendbarkeit. Wir diirfen uns jedoch irnrner vorstelleii, d a k die obigcn L)ifl'crcntialglcichungen aucb nocb
die an der Griinzlliiche liegende Schicht dcs Mediums
umfossen, menu nur zu denselben gewisse Glieder, die
wir sfCrungs&eder nenucn wollen, hinzukommen, welcite nor fur sehr kleine W c r t h e der positiven G d s e x
merkliclie W r r t h e erhalten, dagegen ober, sobald x griifser gciiominen wird, als einc bcslimmte, von dcr W i r huiipvcite dcr Molecularkriifte ablkiiigende, scbr klcine
pojitivs Griifse, als villlig vcrscbwindcnd bchandelt wertleii Jurfcn. W i r wollen uns nun Wertbe von 8 , q , 5
vsrschaffeii, die den so modificirten Differentialgleicbungcn Geuuge Icisten, wobei uns dcr Umstand filrderlich
scyn wird, d n k , in sofern isotrope Medieu an einander
granzcn , die Zusatzglieder zu den niffcrentiaIgIeichunsen blok voni Z,niclit aber von y und z , abhsngen.
Gcbeii wir den GrilBen s uiid u bestilnmte Wertlic, so ki)iincn wir, der Relation s z = G ( u 2 + o ' )
geI
w i k , iiur eiitcveder
setzen. Wir wollen im Folgendcn diese zwei W e r t b e
drirch die Zciclieii u und - u , und die ibneo beigeordncteu W c r t h e voii K durch K und K vorstellen.
416
Ebcn so giebt uns die GIeichung S~=(G+H)(U'+V,')
entweder
u=+l/-GH-u2
oder u=u2.
v&f,-
Diese zwei Wertbc sollen w und - w , uud dic dcnsclben beigeordiictcn Wcrthe von L sollen L und L' heiken. Zur Abiiirzung scbreiben wir ooch Y statt
e(91+~)
Pz.
Da dic zwei ersten obiger Differentinlgleichuogcn
fur sich allciii bclinndclt werdrn kijnucn, so wvullcn wir
unscre Aufmerksaaikcit zucrst auf sie richten. Bei Ilinweglassung der Stijruogsglieder leisten ilincn, ilircr lincarcn Form wcgco, folgcnde allgcmeincn Wcrthe fur E uucl
T,I Ceniige:
i<7e" s v=1 +Koe--"s v=l +Lwe""v-' -L'me-"sV-') y
E-(
?=( - ~ ~ ~ u d ' = i + ~ t ~ ~ - u =V +LVeaxv=i
- i
+ L n v e - a x V=I) y
Kacli eiiicr im Gebietc dcr Analysis bci deli mannigfaltigqtcn Clelcgcnlicitcu in -4uwcndung lrominenden Mclliode, deren crslc Spur sich schoo bci L c i b i i i t z findct, die aber erst durch L a g r a o g e ihre vallige Entwickluug crhicll, Iassen sich diese Ausdriicke auch auf
die mil den Stdruogsgliedern versclienen Differentialglcicbungen dadurch ausdehnen, dafs man die Coelficientcn
K , K', L,L' als Fuoclionea von J bebandclt, und es
erheischt der Succcfs der Methode, dafs die Differcutiald5 d??dieselbe Form behalteo, welche sie
quotienten dx ' d r
besifzen,' wahrend K,-K*, L , L' constant sind, so dafs
417
Bildet man nun die zweiten Differenrialquotienten
und substituirf man Alles in die Differcntialgleichungen,
so heben sich alle Glieder auf, jene, worin die Diffc:
rentialquotienten der Griifseii K, K', L , L' nach I vorkommen, und die Stilrungsglieder ausgenommen, wonach
der weitere W e g zur Bestimmung von K , K',L,L'
als Functioneo yon x offen stelit.
Da die Bescbaffenheit der Storungsgliedcr bis jetzt
noch unerortert gcblieben ist, so wSre zur Erreichung
unseres Ziels noch eine bedeutende Arbeit iibrig, weun
die so eben angcdeutetc Methode der Vuriafion der arbifraren Conslanten ganz durchgeftihrt werden miilte.
Gliicklicherweise ist aher diefs zu dem vorliegendcn
Zbvecke gar nicht niithig. Es genugt die blofsc Kcnnt-
- dz;l Aus
d r ' &'
der Voraussetzung dcr Stabilitat des CleichgewicLtes der
Medien ergiebt sicli unmittelbar, dafs in den Ausdriicken
fur diese Werthc keine Glicder vorkommen kilnnen, die
Exponcntialgriilsen als Factoreu enthnlten , in dcrcn Exponcntcn x mit cincm rcellen positiven Cocfficientcn behaftct ware. Zeigte sich also z. B.
nifs der Form der Werthe von
. so dafs die Griifse
vvz-
g,
q , d5
S'
Frecll, mithin w
+ I
ima-
ginVr ausfiele, so kiiiinte in den genannten Ausdriickcn
der CoEfficicnt L' kcincn anderen Werth als Null Iiabcn. Auch ist lcicht eiuzusehen, dals die von x abhsngeuden ZusYtze zu den Constanten, wie I<, K' in dcn
Gliedern, worin ( vorausgesetzt , dafs u reel1 ist) blofs
Kreisfunctionen von x vorkommcn, ganz insensible Werthe erhalten, so d a b cs crlaubt ist anzunebmen, diesc
Constanten scyeu, des Hinzutretens dcr Stiirungsglieder
.
418
zii den Dirrereolialgleichungen ungeaclitct , unvariirt Geblicbeu l ).
In der That, bedicnt inan sich der obigen vier Glcichungen, urn die Werthe der Griifscn K , K', L , L'
durch
6, r j ,
3
darzustellcn, so Gndet inan fur jedc
dx ' dx
dersclben, z. B. fur L', citicn Ausdruck von der Form:
aus wclchcm sich
ergicbt.
Setzt mail hicrein statt
d2rj
dieausdcii
dx' ' dlz'
L)ifferentialgleichungen folgendcn Werthc, so heben sich
alle Theile auf, dicjenigcn ausgenomlncu, in welclie dic
SWungsglicder eingehen. llczeiclinet inaii den lube-
griff lctztcrcr Glicder in dcm Ausdruckc fur
- tlurcli
d2'
dxZ
2 B durch V,so wird:
X , uiid in jencn fur ddx2
d- -L=' ( y X + J Y ) p e 1 d=i,
dr
mithin d e r variabIe Theil de? Wertfies voii
L
1
=fox(
y
x +s Y >7e1
uJ=i
dx.
1) Dierc ~emcrkungcnmaclien die Basis der wicli~igco ncuco 'I'licorie
Cauchy's au9, und dcJialL irt zu be;lwecn, Jars 3w grofse Gcometer bei der Ver6fTentlicliung seiner cietinoigeo Untcrsuchungen gerade eioe Form des Vortrages gewjhlr hat, durch wclche die Gruodhge derselben minder fallich erscheint.
Olfenbar mufs es diesem
Urnstaodc zugetchriebco werden, warurn dic Zahl Deriroigen, wclche
von den letttcn Arbeiten deselben Notiz genommen Iraben, d c r Orten gerioger is(, als es untcr aodcrn Uinst$nden der Fall gcwescn
4
w5re.
419
Aehnliche husdrucke erhalt man fur die von x a b h b
genden Theile der Wertbe vou K, K’, L , wonach es,
mit Riicksicht auf eine plausible Voraussetzung fiber die
Natur der GrijLen X, Y,nicht schwer ist, sich von dcr
Richtigkeit obiger Behaoptuogen zu iibeneugen.
Bezeichnen wir hier die uncorrigirten, also nur in
merklicher Entfernuug von der Granzflache des Mediums
geltenden Werthe der Griifsen 6, 7;1 durch diese einfachcn Buchstaben; die mit Kiicksicht auf die Stiirungsglieder aber corrigirteu Werthe dersetben durch (E), (q);
setzen wir ferner, unter der Annahme, dafs u reell sey:
l= ( K u e ~ ~ V ~ + K ’ o e - ~ ~ v ~ ) V
7 =(- KueoxV-l +K’ Ue-o.V-1)
‘so haben wiry uoter der. Annahme, d a t w imaginHr ausfillt, wobei w s v x mit dem negativen Zeichen auftrill :
(E)
=~+LweJ=T.
(7)= q + L u e
&lsVzi
v
.Y’)
mithin :
und wenn wir den gemeinschafilicheu Werth dieser Bruche durch y vorstellen:
1 ) Diese Ausdnicke umfasren in ihrer physikalischen Bederrtung die in
sensibler Dishnr yon der GrSnrflSche des Mediums erldsdrendcn Longituclinalvibrationen, weldre an diuer FlSclre dureh die dort ankommenden transversalcn gewcJt werden.
Bei dcr Anwendung dcr obigen particulfren Intcgralc zur Darstellung eines gewissen mirglichcn Schwingungszustandes des Licht~tlrers sieht man nicht darauf,
wie dieser Zustand eutstanden seyn mag; man nimint ilin
als schon vorhandcn an, und wcnn davon die Rede ist,
nach welchen Gesetzen eiu Lichtstrahl an der Griinzc
zweier Medico reflectirt odcr gebrochen werdc, so hat man
our zu untersuchcn , welche Uewcguiigsformeu in bciden
Medicn zu cinein barinouischcn Complex verbundcn wcrden kiinnen. Uicfs wird geleistet, ivenn man erforscht,
unter welchen Umstfndcn aus der Annahme, dals dic
Wcrthc ron
(2) , ( q ) ,
dx
*I.)
' dx
fur die Trennungs-
flzche, d. h. fur x=O, aus den fur beidc Medien aufgestellten Formeln in viilliger Gleichheit hervortreten,
baltbare Relationen entspringen. Probirt man in dieser
Hiusicht die rerschiedcncn Zusammenstellungen , welchc
obige partictilike Integrale, auf die aneinandcr%riinzcnden
Medien angcwendct, darbieten (einc Probc, die wir, iiin
die Grguzen dieses Aufsatzes niclrt zii iiberschreiten, der
Geduld des geneigten Lesers iiberlassen miissen) SO findet man, dafs man nur in sofcru auf brauchbarc Rcsultate kommt, als man annimmt, dals 1) die Griilsen s
und u liir beide Medien gleiche Wertlre Iiabcn, weil
sonst die Gleichheit der Werthe von ( 5 ) , ( q ) 11. S. W.
fur z d nicht independent r o n 1 uud y bestehen kiinntc;
2 ) dafs IL recll und w imaginzr, und dabei
3) fur das cine Medium
421
-.
t = K v e ' s V Z . V , q=- KueuXv-l V ist.
W i r wollen die bcideii letzteren W c r l h e von f und
77, wic such die denselben correspondirenden Wertlie
von u, w und K d u r c h eineo dcn Bucbstsben untea angchiingtcu Acccut kennllich msclien, uiid dcin gcinSfs
E,r=K,ueU+Vq.
V
, q,=- K,u1euJ'Z
.v
sclireibcn. Nclitnca wir dic Griifsc U,I, in demselben Sinne,
so hsben wir auf gleiclie W e i s c wvic oben, jedoch mit
der uiierltifsliclien Rucksicht auf dcn Umsiand, dafs in
detn zweileu Medium der ncgativc Theil dcr Ase dcr x
liegt, initliin
w,N=L
ncgntiv crschcint:
-
( 6 , ) - t l =-W,'P,
( '1,)
-
77,
=
0%
fur x=O ist nun t = ( K + K ' ) u Y , oder wenn wir aucli
noch t = O , y=O setzen, um dcn Factor Y nicht mitlulircu
zu miissen, dcr doch zuletzt, wcil wir s und v fur bcide
422
Medien identisch nehmen, aus unserer Reclruuog binausfrllt :
,
=(K+K')v
77
=-(K-K')u
Setzt man diese Werthe in die erstc und viertc obigcr
Gleichungen , so hat man soglcich :
(K+ K')(U? +v a >=
K,(uI* +u2 ).
Ferner folgt aus den drei ersten Gleichungen, nach gehirriger Elimination von 11 uod v,:
[u("~+ww,)+u~(o-~,>]
I(CU("*+Ww,>-"~(W-(U,)]-K'
Hierdurch
K'
(0'
72- =("2
K,
K-=
=qu,(o?+ww,)--u~ ( w - w ,)1.
ergiebt sich eiidlich :
-UU,)(U' +w u,)+ (U + - w,) UU,
f uu,)
+ w , ) +o 2 ( u,-u) ( w - w,) +u,
(v2
"2
("2
11,) (W
* 11
IiJ
(u'+ o ' ) ( v ? + w ( U , )
f uu,)("'+ w w,>+ o1 ( u , - U ) ( w - w , )
2u
- u+u;
Es eriibrigt noch die Betrachtung der Gr&c 5, <,,
dercn Wcrtlie der dritten Dirferentialgleichung entspcchen. Da dicsc Grirfse verschwindet , sobald zwischcn
s, u , o eine andere Bcziehung als s 2 = G ( u 2 + o z ) f a t gesetzt wird, SO geht w in die husdriicke fur <, <, nicht
ein, und wir haben, die obige Bezeichnuugswcise bcibehaltend:
5 =( c p x V = i
+ C'e-uxV=T
w
423
mitbin Cur z=O:
424
E~ = 5 hlpn
-K,
q,=
e W V G i + x co8al+y sin a,$'=
cos a,.eb,(WG,+x ~ O ~ sin
~ a4bvx
I S Y
5, = C eb,(tVOl+xcos
a,+y i i n a l l V z
.
Es ist lcicht zu sehcn, dafs dic reellen Glicder der crsten Theile dcr Ausdriicke fur {, q , j auf das einfallende, die der zweiten Theilc auf das reflcctirte, die reellen Glieder der Ausdrifcke fur &, q,, aber auf das
gebrochene Licht sich bezichen, wobci cc den Einfallswinkel, CL, den Brecliuiigswinkel vorstellt, und der einfallcnde Strahl so gegen die Axen der Coordioatcn licgt,
dafs bci dcm Fortschrcitcn desselbcn in dcr Ebcne ry
die positivcn Wcrthe von z uod y abnehmcn. Dcr Gcgensatz dcr Zeiclieu vou C O S ~in bcidcn Thcilcn von t,
9, 5, rcclitfertigt das Gesetz dcr Rcflciion, die Glcichheit der Wcrthe von s dic Unvcrhdcrlichkcit der Farbe
und die Glcichung s i n a , . V G=sincc.V GI das Gcsctz
der Brecliung. Die Griirscn I/ G und V GI sind die Ausdriickc der Fortpflanzungsgeschwindigkciten trnnsvcrsaIcr Schmingungcn in bciden Medien. Auch ist klar, dars
5 , 6 dic auf dic Einfallsebenc scnkrcchtcn Componcuten dcr Schwingringen in den Strahlcn darbictcn, wiilirend 8, 7 ,El, q, zur Kenntnifs des mit dcr Einfallscbenc
/
parallelen Antheils dcr Vibration fuhrcn.
Die so ebcn gefundenen Formeln gestattcn schr wichtige Folgerungen. . Ich begniige mich fur gcgcnwertigen
Augenblick damit, einige dcrsclben nnzudeutea. An die
Spitze derselben geliijrt die Beantworiung der Frage:
Unter welchcn UuistYndcn kcinc Rcfleiiou dcs Lichtcs
statt Iiabe.
Damit der reflectirtc Strahl vcrscliwinde,
mussen dic Grilrscn K' und C'gleich Null weiden. Dn
der Fall u,=n hicr in keinc Anwcndung komrnt, so
setzt das Verschwioden von C' jenes von Cvornus. Es
mufs also im fraglichen Falle
scyn, d. h. die Schwingungen durfcn. keine scnkrecht gegcn die Einfallsebeue
gestellte Componentc darbieten. Damit nun auch K'= 0
wcrde
cl
c=O
425
wcrdc, iiiurs u = 3 , uiid zugleicll cos(a+ai)=O
seyn.
Lctztcrc 13cdiuguug spricht das I3 r cw s t e r'sche Gcsetz
aus; dic erstcre fordcrt dafs
aucii H
---- Gf?
, scy.
,
cr
G
G +I F
mys
inithin
I)a die Erfahrung lehrt, dafs nur
polarisirtcs Licht , dcssen Polarisatioiiscbene gcgeo die
F3iifallscbciic scnltrccht gestcllt ist, sich dcr l\cllcxiou
ciitzicht, so ist hicinit cndlich entscllicden, days die
Scliwiit~uit,nsrichlui~~
irn gewohdich polarisirfen Lichic
rnil clcr Polarisa fionsebene einen rechlen Winkel bildei,
uud L I o y d's .4ussprucli, daL eiiist ciuc gebihige Tlieorie der Kellexiou die bisherigen Zweifel liiscn wcrdc, erI i d t seine volle Bestiifiguilg.
Wcnn die nuciiiaiidcr granzcndeu Mcdicii dcr Bcdiugung
I1
=
y
T=;
gcniigcn, d. 11. u--8,=0
Icn acicli die iinaRiiiiircn
(;lieder
-
fur
K'
und
aus den Ausdrucken
Kh
- ' 2 wcg, und man erhalt:
Kh
tan,n(cc-u,)
K'
w i d , so fa1-
R=ian,n(cr+a,) '
2 sin n,.coscc
Kh-s~n(a+n,)cos(a-a,)'
K h ,-
C' und
welche Foriiieln, so wic jene fur C
ci
c,
mit den-
jeuigcn ubercinsliinmcn , welche F r e s n e I der Vergleicbuog der Iqtensitiit dcs reflectirteu und gcbrochencn
Lichts mit jener dcs eiufallcnden zu Grunde legte.
h i n i t dic Grilfscn 3,- s.. fur jcdcn noch so kleioen
U'crth voii a, a, well bleiben milsscn
'
G
GI
K H ' . W.
notliwendig negativ erschcinen, was uur stattfindet, wenn
If
I t G , 1+Gi negative Werthe haben. Bann aber sind
die Medien zur FortpJantung longiiudinaler Aethervibra
tionen wenigsiens mii constanter Iniensiiai nicht gee&PoggendorU'a Xnoal. Bd.
L.
2s
426
net
I).
C a u c h y findet sich sognr zu der Anuahine bc-
wogen, daL der numerische W c r t h dcs Qiiotienten
H
-i
G
i n den gewbhnlichen Fallca stets der Einhcit schr nahe
liege, wonach die loogitridiualen Acthervibrationcn in
Medicn diescr Art, iin Sinn der ersten Approxiinntion
gesprochen, insensibel seyn wiirden.
H
f.
Die Bedingung G=ZT; Godet nicli
jcderzeit statt,
wenn isotrope Medicn aneinande@inzeii, woraus dic
Erklaruog der bisher so paradoxen Erscheinung tlicl‘zl,
dafs gewissc einfach brcchciidc KBrpcr, wic z. S. tlcr
Diamant, das Licht nicht vollkommcii polarisiren. Obist!
Rcsultatc bieten sogar die Miltel d a r , die Gesetzc tlicser Erscheinung auzugcbcii.
I n den Fnlleii
Kin[ imaginiirc Wertlic crlinllcii, scy cs,
Kh
(Jars
wciiii
8
- ti,
K’
.-
I<
,
,011
d e r Hull verschicdcn ist, odcr aucli d a k selbst iintrr
der Voraussetzung u - u,= 0 die Glcichuiig
sin a,.I/’G =sin a . \/ G,
den W e r t h von sin a, gr6fser als die Einheit, mithiri
c05
’
a, irnaginSr gicbt, in welchein Falle auch
C’
c,
r’c
imaginzr werden, lassen sich die Coi;fficiciiten K’ , I<,h,,
C’, C, in den Forlneln fur 5 , q , 5 , & , 7,, 6, a u l
die Gestalt MePv= bringen, wonacli die reellen Glied e r dieser’ Ausdrucke modificirt werden. Hiedurch erklaren sich die Besonderliei(ei1 ber Reflexion des Lichts
an Metallfliichen und bei der totalcn Zuruckwcrfuug im
Inuern durchsichtiger Substanzen. Insbesondere gicbt
sich das Erlllschen des die reflectirende Flache durcbdringenden Lichts durcb die hnweseiheit einer die reel1) Es driickt n5mlich
-
die FortpOaozungsgerchwiodigkeit longitudinaler Vibrationen aw, und o mufs unter uwahnten Umstjnden,
wcnn G poritiv ist, G+W negativ adireten.
427
lei1 Tlieilc
0011
t,, q,, j.,
als Factor begleitenden ExpoXX
nentialgrilfsc voii der Forin e ZII erkennen, deren rasche Abnalmc bpi dein Anwachscn dcs ncgativcn Wcrtlies von 2 die ExcilIsionen cler scliwiiigenden Aethertheilchcn i:i gcringcin Abstandc jcnseits clcr reflcctirenden F I k h e gnnz unmerklich werden hkt.
11.
CTt.f,rr die sic/jec/icen iVacJibil,lcr und Nebenhikler; vori G . Th. F e c h n e r .
( S c l r l u l s v o n S.221.)
Drittcr Abschnitt.
h nd eu t u n g e n ei n er The u r i e d er s u b ie c Ii v e n h’ach b i Id e r.
V o r hllein handelt es sicli urn Entschcidung dcr Frage,
ob dcr coinpleinentare Eiiifluk im Auge dcm prirnsren
succcdire oder sich init ilim als glcichzeitig complicire.
Ersteres ist die Ansicht 1’ 1 a t e a u’s, letzteres meine eigne,
die ich durch folgende Grunde unterstutze.
Z u v h d e r s t spriclit clcr Uinstand, dnCs jede Faube
schon wallrend ilircr Bctrnclituug unscheinbarer wird, dafur, dafs schon wiihrend dcr Einwirkung dcs directen
Lichts sich der complerneutare Einflufs geltend ma&;
uin so inehr also gewifs nach Beseiligung des directen
Lichts w#hrend des blofsen Fortklingens seines Eindrucks.
Eiuen andern Beweis tinde ich in folgendem Urnstande. Kach P l a t e a u’s Ansicht sollte man erwarten,
dafs, je intensiver der directe Farbeneindruck war, desto iotensiver auch der nachfolgende coinplementare seyn
mufste. Einer hohcn W e l l e folgt im Allgemeinen eine
entsprechend t i d e Welle. Es wPre zu erwarten, dafs,
wenn man drirch ein farbiges Glas in die Soone gesehen, zwar anfangs die primare Farbe des Glases irn Auge
inteusiv fortbestande, dann aber auch in eine entspre28 *
I
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