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Combinatorische Entwicklung der Krystallgestalten.

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ANNALEN
DER PHYSIK UND CHEMIE.
JAHRGANG 1833, ERGANZUNGSHEFT.
I.
Cornbinntorische En t wick lung cler Krystallgestalten ;
von J. G. G r a f s m a n n .
W e m man drei sicb gegenseitig
halbirende Linien im
- _
Raume annimrnt , und zwisclien ihren Schenkeln combinirt, so gelangt inan auf eine huchst einfache Weise zu
einem Aggregat von Complesionen , welche unter gewissen Bedingungen alle in der Natur vorkomrnenden Krystailgestalten darstellen kannen. Die Verknupfung und
Zerlegung dieser Coniplexionen giebt uber alle Verhaltnisse der Gestalten als solcher geniigende Auskunft, und
es entspringt daraus eine eigenthumliche Art von schernatischer Darstellung oder Rechnung, welche von allen bestimmten GrSfsenverhaltnissen der Elemente unabhangig
ist, und bloEs die Art der Gestalt (ob sie z. B. ein
Prisma , ein Rhomboeder, eine gIeichschenklige oder ungleichschenklige 4, 6 oder mehrseitige Pj-ramide ist etc.)
nnd die Verfialtnisse der Ableitung und des Zusammenhanges verschiedener Gestalten betrilft.
Die grofse Leichtigkeit, mit welcher nach dieser Methode die sSmmtlichen Krystallgestalten erfolgeo, erweckt
der Krystallographie und der Combinationslehre vielleicht
neue Freunde, und der systematische Ueberblick, welcheu
1
A n d . d. Physik. 1833. Ergiinzungsbd. Liefr.1.
2
sie iiber den Zusammcnliaiig derselben aus cinem neiien
Gcsicbtsponlrte gewahrt, Mst niich lioffcn, dafs auch die
der Krystallographie kundigen Leser dieser Annalen cine
kulze Darstellung dieser Methode hier nicht ungern finden werden *).
Ich will hier zuerst die Complexionen entwickeln,
und dann zu ihrer Bildung iibergchrn. Es inogen deinnach
BB, CC, DD' (Fig. 1.Taf. 11.) drei iiicht in Einer Ebenc
liegende , sich gegenseitig balbireiide Linien scyn. Uin
eine fiir die Combinationen bequcinc lmrze Bezeichnun~
211 erhalten, nennen wir die beiden fI$lften der ersten b
und b', die der andern cund c', und die der drittcn d mid
d', und die erste Dimension die Hiihe, die anderc die
Breite, die dritte die Ticfe, sie miigen nun senkrecht auf
einander seyn oder nicht. Diefs sind nun die Elemenlc
fur unsere Combination. 3%setzcn soglcich f a t , dafs
zwischen zwei gleichnamigen, sich auf dicselbe Linie bcziehenden Elementen keine Combination statt finden diirfc,
und wenn im L a d e der Entwicklung zwei solche gleichnamige Elemente doc11 zusamlnentreffen sollten, das einc
in Beziehung auf das andcre nls ncgativ betrachtet werdc.
Bei den Complexionen kann nun entweder die Wicderholung der Elemente gestattet seyn, oder nicht. Iln
letztern Falle erhzlt man:
1) die Unionen, d. 11. die 6 Elemente selbst;
2) die Binionen, wenil man jedes Element vor die
spatern setzt;
3) die Ternionen, deren jede alle drei ungleichnamigen Elemente enthHIt.
Auf beigefiigter Formentafel (Taf. I.) sind diese Complexionen unter F(3,F&9, FPpi3 dargestellt. Da ihre Entwickeh n g ohne alle Vorbereitung init der grofsten Leiclitigkeit
erfolgt, so wollen wir nur bernerken, dafs die Ternio*) Ausfiifirlicher h b c i c h diesen Gegenstand in einer kIeinen
,,Zur physischen Krystallonomie und geornetrischen Combinationslehre, Stcttin 1829 ," beliandclt.
Sclrrift
hen, nls jedesmal alle drei ungleichnamigen Elemente enthallend, schotl durch die blofse Stelle der Accente dargestellt merden, wie solches neben <!$9p geschehen ist,
wo der punkt die Stelle eines nicht accentuirten (positiven) Elements hezeichnet.
Die Complexiouen mit VC.'iederholungen benennen
wir 1111r nach dcr Zahl der darin entlialtenen wirklich
~ersrhiedenenElemente. SO ist bbb oder b3 (lies b in
der 'STiederholung 3) uns nicht eine Combination der
drilteii, sondern der ersten Classe, eine singulure oder
einc Union; bbbcc oder b 3 c 2 eine binare oder Binion;
bbbccdd oder b J c c ? d 2eine ferni-ire oder Ternion. Die
an die Buchstaben gesetzten ZahIen heifsen Wiederholungsexpouenten (mofiir zur Abkurzung TVpten). Zur
Bezeichnung unbestilnm~erWiederl~olu~~gsexponenten
bedienen mir uns der griechischen Euehstahen.
Sind die Wpten der Elemente alle glrich (=/3),
so
unterscheidcn sich die so erhaltenen Complexionen mit Wiederholungen von dcnen ohne Wiedeiholungeu in nichts
Wesentlichem , betiurfen daher keiner neuen Entwicklung. Sind sie aber nicht gleich, so kann man zwar abermals die Complexioncn ohne Wiedetholung zum Grunde
Iegen, mufs dann aher jede SO oft, als eiue Vertnuschung
moglirh ist , mit den jedesmalverwechselten W p t c n setzen.
Hiernach hat die Entwicklung der Binioneu, wie sie F&
darstellt, aus F@$ nicht die mindeste Schwierigkeit.
Da bei den Ternionen die Elemente b c d stets in derselben Folge zu Grunde gelegt sind, so kiinnten sie ganzIich meggelassen, und die Accente an die W'pten gesetzt
werden. Es bedeutet also y,4'3" eigentlich: 67 c'pd'a. Man
kann diefs auch so ansehen, als o b statt der Ternionen
der Form @,!?/3 nur die danehen gesetzten Accente den
W p t e n untergelegt waren. Sind 2 W p t e n gleich, so sind
die beiden Eille zu unterscheidcn, wenn der dritte ungleiche W p t e kleiner und' wenn er griifser ist, als jeder
der beiden gleicheii. Der erste ist F;3,5'y, der andere
l*
4
FPy y dargesiellt, indem stets p> y>S
vorausgesetzt ist.
I ) n 3 Dinqe, wenn alle verschieden sind, 1.2.3=6, wenn
1.2.3
= 3 verschiedene Anordnungen
davon 2 gleich s i d
1.2
oder Vertauschungen gestatten, so hat die Entwicklung der
drei letzten Formen der Tafel eben so wenig Schnierigkeiten, als die vorhergehenden. Man legt die Ternioneu
der F@p/?zuin Grunde, und versetzt die Wpten an jeder so oft als bs angeht.
Statt der unbestimmten Wpten p, y, 8, kiinnen beliebige Zahlen gesetzt, und die Complcxionen unlnittelbar
d a d bezeichnct werden. W e n n lieine der W p t m grijk e r als 9 ist, so lese man sie wie gewiihnliche Zahlen;
z. B. 213 will sagen h'c' d 3 . Eben diese Bezeichnunq
kann arich auf die Biniouen und Unionen ange~+andtwerden; z. R. 302 bezeicbnet b3 d' ; 030 bezeichnet c 3 etc.
Eine Coinplexion wird mit einer andern zusamniengesetzt oder combinirt, wenn man jede in ihre Elemente
zerlcgt, und die glrichnamigeu d a m zusammenstellt, TVObei dic nesativen Elemente aIs solche behaudelt werden
mussen. Ilaraus ergiebt sich leicht, mie man eine Coniplexion in zwei andere zerlegen kann, von denen die eine
gegebcn isf. Da diesc Operation d r r arithmetischen Addition und Subtraction viillig analog ist, so konnen wir
von diesel die Zeichen borgen, und sie in Beziehung auf
den liirr davon geinacliteri Gebrauch mit eitietn Hiibcberi
versehen. So ist b 3 ~ ~ d T b ' ~-~ d ~ ~ ;
b bj 3cc G
' t dd' l T
~ b ' 5 C fd
3 s A b ' 2 C ' S d ; b 4 ~ ' 3 d ? 2 b 2 ~ ' 4 d' Jb2
_n
T T ~ ~
das Zeichen 2 in T zu verwandeln, darf wan nur die ;ircentuirung des Subtrahendus, wie bei der arithinctischen
Subtraction, umkehren. Mit Weglassnng der Elemente ist
3 5 2 ' r - 4 ' 2 ' 5 ' & 3 5 2 ' ~ 4 2 5 27'73. Das allgeineine Zei&en istbi2cY d'JT b ~ c ' x d ~ & b t ?CY-Xd'-detc.
+~
Auf
diesel] auf dm ersten Blick klaren Verhiiltnissen berultt,
wie sich s p e r wigen m i d , die ganze Ableitunq. Man
iibersieht leicht, tlaCs clns i Zeichen auch zwischen den
5
EIcmenten einer Complexion gesetzt werdcn darf, und
dafs b* c d 2 b b ;c C J , da dieses Zeicben ja ebin nu.
eine Combination andeutet.
A ~ diesen
S
Complexionen geht nun der ganzc Inbeg i f f aller Krystallgestalten hemor. Die einfachen Gestalten der 4 Hauptsysterne, des regelmafsigen, prismatischen
(z%vei-nnd zwcigliedrigen), pyramidalen (vier- und zweigliedrigen) und rhomboedrischen, sind fur gevr isse Wertbe
der Wpten um und neben die Complexionen der Formentafel gezeicbnet, uild auch die der iibrigen Krystallsysteme lassen sich leicht daraus evolviren. Sip hangen
aber so mit denselben zusammen, dafs jedc einzclne Corn.
plexion sich auf eine Flache der dabei stehenden Gestalt
bezieht, diese also jedesmal so vie1 Flachen hat, afs verschiedene Complexionen dabei stehen.
D a j diese Gcsialten aber aus den Cornbimh'onen
ivirklich eifolgen , uitd d a b die erwahnten cornbinaiorischen Becliriungsarten iiber alle Frerhaltuisse der Gestalten als sokhe, hkreichende Aitshimft geben , bleibt niin
vocfi nachzuweisen; letzteres kann aber , der Kiirze wegen, nur an einigen Beispielen geschehen.
Von jenen Linien, auf dencn wir die Elemente unsrer Combinationen annehmen, ist uns nun eine jede TrZger (radius constructor) zweier darauf senLrecIitei , mithin paralleler Ebeneii; diese Ebenen denlien wir uns vom
Mittelpunkte der Gestalt auf ihren Tragrrn uacli jc zwei
en tsegengesetzten Richtuiigen vorruckend, und betrachtm
die von der Gesammtheit jener Ebeirr construirte und
unischlossene Gestalt. ITnsre Elementr stelleu also Richlungen und Maahe von Bewegung vor; diese hiinnen
sich zusamrncnsetzen oder roinbiniren , nnd so neue Bewegunsen hervorbringen, dercii Eichtung und Maafs durch
die Diagonale des Parallelograintns oder Parallelepipedunis
der Bewegung (der Krefte) bestimmt w i d , rind eine solche
Zusammensetzung nennen wir eine Combination der Bewegungen. Solchc dorch Combination zweier oder dreiec
6
Bewegungen entstandene Linien sind nun nicht nur selbst
Triiger voii Ebenen, sondern kbnnen unter sich und mit
den Elcnientartrsgern wieder in Combination trcten, und
so Complelionen von allen Formen hervorbrinqen. So
ist aus b ~ c ~ b c ; b c ~ b ~b 2bc $2 bcc ;;b 3 c 2 etc.
Die sammiliclen CompZexionen uon sj?eiccher Form
(d. h. diejenigen, bei welchen die W p t e n gleiche Zalilwerthe haben ) bringen niin jedesmal cine eiifache, von
Zauter congruenien Flachen umschlossene Gestalt hervor, wenn sic zusleicit gleichwerthg, d. h. von gleiclier
Grope sind Die Richtiqkeit dieses Satzes lafst sich fur
alle einzelneFSlle durch die Congruenz JerTrsger und gctragencn Flachen darlhiin, wenn inan sic nach einandcr
in verschiedene Lagen bringt, ergiebt sich aber iioch leicliter au5 dem dic Coiigruenz bedingenden Grundsatze: W a s
mit einein nndern vollkommen gleich bestiinmt, uncl durcli
diese Bestiinmnng zugleich vollstandig gegcben ist, muCs
ihm glrirh s c p
S a c h dicsen Vorbereitungcn kiinnen wir sogleidi nii
die Entwicklung der Gestalten gehen. Das Krptallsystem, welchein sie anjiehorcn, hgngt davon ab, ob die
Winkel der Triiger rechte oder schiefe, und ob die Trsger selbst, so wie die schiefen Wiiihel, welche sic etwn
bilden, gleich oder ungleich sind. Die Reihe aber, welcher die so entstehenden Krystallgestnlten angehoren, wird
durch die Zahlwerthe jenes Verhaltnisses, und die GIiif5e
der schiefen Winkel bestimmt.
R e g e l m s f s i g e s S i s tern.
Sind alle 'I'rager gleich, und jeder auf den bciden
iibrigen s d r e c h t , so geharen die Gestalten, welche sicli
aus den Coinbinationen derselben rrgeben, dem regelmS€sigen Systeine an. T'nter diesen Brdingungen siiid a h
Complexionen von gleicher Form a i d gleiciwerthig, u ~ i d
ilire Gesauiintlieit giebt dalier jedesmal eiiie eiiifaclie Gestalt.
Nacli Ausweis derFormentafe1 (Taf. I.) giebt es daher nicljt
7
inelir uiid iiiclit weniger als sieben oolkuhlz&?, der Art
nach verschiedene Gestalten im regelmafsigen Systeme.
Nehmen wir zuerst die Unionen, d. h. die Elemente
selbst, geben einer jeden seine Ebene, und bringen die
shimtlichen getragenen Ebenen auf gleiche Entfernung vom
Mittelpunbte, so erhalten wir den W‘iirfel (S/?
100) *).
Dieser ist hier in eine solche Stellung gebracht, dafs der
eine Triiger vertical, der andere nach reclits und links,
dcr dritte nach vorwarts uiid riickwfrts gerichtet ist. Alle
iibrigen Gestalten, die sich iiber den entwickelten Complcxionen befinden, sind ails dem Wiirfel in dieser Stellung nbgeleitet.
Jede Binion aus den einfachen Elementen, als die
rechtminklige Zusammenselzung zweier gleiclien Bewegunsen, giebt einen gegen die Mitte der Wiirfc.lkan~c Serichtetcii ronibiriirten TrS;;er. Giebt man diesem in seineiii
Endpunkte die darauf senkreclite Ebene, so lie@ sie durch
die Wiirfelltante, unter 45’ gegen die beiden angrenzend e n i.”iirfetfi~chtn geneigt. Complexionen dieser Form,
die in P@,Y
eiitwickelt siod, giebt es 12, und man findet
lcicht, dafs die zwdf getragenen Ebenen, so wcit sie
sich Segenseitig begenzen, das Rhombendodekaeder geben (F. 110.).
Jede Ternion aus den einfachcn Elementen, \vie bcd,
’) M i t dem Zeichen Einer Flzche bczeiehne ich, dem Gebrauche
der Krystnllographie folgend , zuglsich den Inbegriff der gleichwerthigen E’lichen, d. h. die einfache Gestalt. W c l r h c van den
F l i c h e n hierru geivbhlt w i d , ist zwar gans beliebig, i n d d s habc
i c h , urn die Miihe des Aufsuchens i n der Formentafsl zu erleichtern, in der Regel die erste hierzu gewshlt. Die W p t e n
Tertreten die SteJle der CoGCGcicnten nach der W e i l s ’ s c h e n
Xethode, die Elemente lronntcn aber weggelasseu wcrden, da sic
stets i n derselben Folge untergelegt sind. Das Zeichen 100 ist
also analog mit [ b : o c : o d ] . E b e n so ist 110 analog mit
[ b : c : o d ] ; 32’1 analog 136 : 2c‘ : d ] u s. w., beaieht sichbci
mir aber auC die Coordinaten dcs TrSgers e h e r Fldche, uud
w i i J so aucli zur Bedeichnung der b.an/.cn Gcstalt angewondt.
8
als die rechtwinklige Zusammensetzung dreier gleichen Bcwegungen, giebt einen gegen die Wurfelecke gerichteten
Trager. Solcher Complexionen giebt es 8, die in FPPP
entwickelt sind. Giebt man jedem dieser 8 Tr%ger in
seinem Endpunkte seine darauf senkrechte Ebene, welche
durch die Wiirfelecke geht, und gcgen die in derselben
zusammeiistofseiiden Flachen gleich geneigt ist, so erhalt
inan das regelmafsige Octaeder (F. 111.).
Diefs sind nun die vollkommen bestinlinten Gestalten, dereii jede in ihrer Art nur eininal vorhanden ist,
und ihre Trager bilden die 3 Systeme der Aren, welche
inau iiacli der Art, wie sie hier erhalteu sind, die singnliiren (aus den Unionen oder den Elementen selbst), die
binsren (aus den Binionen) und die ternarer? (atis den
Ternionen) iiennen kann. Letztere werden auch die rhoniboedrischen Axen genannt.
W i e nun die Coniplexionen ohne Wiederholung die
Grundlage fur die init Wiederholung sind, so sind aucli
die aus ihnen folgenden und so eben entwickelten Gestalten die Grundlage aller iibrigen einfachen Gestalten
des regelm$fsigen System. Diesf entlinlten aber der Art
iiach alle einfachen Gestalten der iibrigen Systeme, welche
sich aus ihnrn, wenn man sie in die gehiSrige Stelluog
bringt, ohne die mindesten Schwierigkeiten entnickeln lassen.
W e n n bierbei fur die Wpten verschiedene Zahlwerthe angenommen werden, so erhalt man zwar Gestalten von andern Abmessungen, aber keinesweges der Art
nach verschiedene Gestalten; man kann daher fiiglich auf
diejenigen Complexionen, welche unter dasselbe allgemeine Schema passen, ohne fur die Wpten gleiche Zahlwerthe zu enthalten, gleicbartige, oder von gleichartiger
Form nenuen, wahrend diejenigen, bei denen die Wpteu
auch gleiche Zahlwerthe haben , Complexionen von gleicher Form tieifsen.
Uic Complexionen von gleicher Form, welche unter
-
9
das Schema bP ti' passen oder dainit gleichartig sind, geben ejnen von 24 FlSchen uinschlossenen Korper, welchen
220 Fpy fur den Fall darsteilt, dafs 8=2, y = l ist.
I)a bier die Bcdeutuiig des W p t e n sich zuerst geltend macht, so mufs bestiinnit werden, in welcliem Sinne
dcrselbe zu nehmen sey. Ein combinatorischer Ausdruck,
wie b 2 c, will weiter nichts sagen, als dafs die Comple.;ion bc mit b combinatorisch verbunden werden soll. Ob
diese Verbindung aber eine Multiplication odcr Addition,
oder was sonst, bedeute, mufs jedesmal, ehe inan davon
einen arithmetischen Gebrauch macht, untersucht werden.
W e n n nun auch ein solcher Gebrauch bier nicht erforderlich ist, indem die Lage des zusaminengesetzten l'ragers auch so ohne Zweideutigkeit gegeben ist, so kann es
doch den Ausdruck erleichtern und der Vorstellungsliraft zu
Hulfe kommen, wcnn eiiie solche Bcstiminung vorlicrgcht.
Es sey demnach (Fig. 2. Taf. 11.) MP=h, MI.l=c,
so ist, wenn man das ParalIelogramm vollendet, M S das
Ergebnifs der Combination b c. Nun soll b c wicder mit 6,
d. h. JZS mit M P combinirt w erclen, urn b? c zu erhalten. Hier ist M S T P das Parallelograinm der Hewegung, inithin M T der aus dcr Complexion b'c cntspringcnde Trager. Zieht nian T Q parallel M R , so ist auch
MI2 T Q ein Paralielograinm und P Q = PIP, wcshalh
M T auch als diejenige niittlere Bewegung angeseheu werden kann, welche aus der Combination von Ji'Q = 2b,
und M R = c entsprungen ist. Da sich dasselbc aueh
fur andere Wpten und fur 3 Elemente auf dieselbe W-eke
zeigen Iafst, so schliefsen wir hieraus iiberhaupt, dafs die
W p t e n als Coefficienten dcr Elemente, bei welchen sic
stehen, angesehen werden kiinnen, und daCs b P c y d s diejenige mittlere Bemegung ist, deren Seiteiibewegungen pb,
y c und 6d sind. Beilaufig will ich noch darauf aufinerksaw machen, dais ein zusammengesetzter Trsger , mithin
auch die getrageiie Flgche, imnier naher nacb demjeiiiyen
-
10
Elemcntc bingezogcn w i d , wclches den griifsfeu Wpieii
triigt. - Siiid bcidc gleich, so hat sie auch gegcn bcide
gleiche Lage.
Wir Irehren nun zu der zu ehtwickelnden Gestalt
zuriick. Die Binionen ohne Wiederholung oder niit gleichen W p t e n gaben uns das RhomhendodekaCder. TR'erdeli nun die W p t e n ungleich, so wird jede Binion, \vie bc,
iu zwei andere, b p c v und bucg, lniiliin auch die getragene FlSche in zwei andere zerfallcn. Jeder Rhombus
wird in seiner kurzcn Diagonale, der Wiirfelknntc, gebrochen, und zcrhllt in zwei sich der darunterliegcndeii
Wiirfclflache zuncigende, und dcmgeiniifs in ihrem gegeuscitigen Durchschnilte sich verkiirzendc Brciecke. Giebt
man nun den W p m bestimnte Werthe, so orlizlt innn
aus dem Inbegriff der CompIexionen von gleicher Form
jcdesrnal einen viillig bestirnlnteii Kiirper, welcher ejii Pyratnidenwiirfel genannt wird. Fig. 220 (Taf. I.) stellt i l i a
fur den Fall dar, clafs 8=2, y=2 ist.
Sind drei Wp:en vorbanden, dic Complexion 1:iitliin
tcrngr, so m f s das Bclni'rler untergelegt werden. Jedc
Ternion, wic bcd, zerCAllt in 3 odcr 6 verscl!iedene Conipiesionen, die Octnederfliiche rnitliin auch i n oder 6 verschiedene Flzchen, je nachdem von den Wpten 2 glcich,
odcr alle 3 ungleich sind.
Die Complexionen der Form PL9y gcben, da in illlien die beidcn gr6fsern W p t e n gleicli sind, Fllicl\en, die
voii 2 Hauptasen, oder von eiiier Iinnte des OctnEders,
nusgehen, und sic11 gcgen die drittc hin iiber die Octagclerfltiche erheben. IntIein diefs von allen Kanten jeder
Octaederflkhe zuglcich geschieht, erhiilt man eine stumpfe
Pyramide iiber derselben. Die Fig. zu Sppi, stellt das
PyramidenoctaEder 221 dar.
Die CoinpIexionen der Forin p y y gebeii FlBchen,
die von Einer Axe ausgehen, uml sicli gegen die gegeniibcrstehendc Xiinlc hiu iiber die Octa&lerflliclie erlieben.
Die Figur zu Pi.7 stellt die Leucitgcstalt 211 clar.
11
Die Complexion- gebcn ein ganz einfaches Mittel
an die Hand, sich hieriiber sogleich und oline alle Hulfsmittel zu orientiren. Schreibk man irgend drei Elemente
nsiulich so bin, wic ihre Endpunlrte aiii Kiirper liegen,
b
also bier in eineni gleichseitigen Dreieck, so
C
d
kann inan die Coinplexionen mit Leichtigkeit
dazwischentragen, indcin man sic' ZullHchst an dasjenige
Eleinent scbreibt, welchcs den griikten W p t e n trsgt, und
clieselben sodann mehr gcgen das Elemeut, welches den
blcinen W p t e n hat, hinzieht. Trennt man sodann die
eingetragenen Complexionen durch dazwischen gezogene
Stiiche, so erhdt man, ungeaclitet der bier lierrschenden
Willkiihr, ein binreichcnd deutliches Cild von der Lage
der Flacben in dein einen Octacder. Es versteht sicli,
dafs,. wenn die beiden grbfsern W'pten gleich sind, die
Plache von den Eleinenten, welclie sic tragen, zngleich
ausgelit; dafs sie dagegen, wenn die beiden k1c;nen gleicli
sind, von dem dritten Elemente, welches dcn griirscni
W p t e n tragt, ausgeht, und sich den beiden ubrigcn glciclirniifsig zuwendet. IIiernacli sind die bier folgenden Fhclien, die einem Octanten angehiiren, entmorfeii,
b
b
von denen die letzte sicli auf das 45Eder, als diejcnisc
Gestalt bezieht, wclche aus den Complexionen der Form
p;.S entspringt. An€ der Formentafel ist sie fur p=3,
y = 2 , 6=1, d. 11. nach unserer Bezeichnungsart, die
Gestalt 321 dargestellt. PiIan crhslt sic am leiclitesten aiis
der Leucitgestalt, wenu nian iiberlegt, dafs dadnrch, dars
die beideii in jeiier gleichen W p t e n in dieser nn~lcicli
werdcn, jcdes cicr syinmetrischcn Viercclie in zwei coilgruente Dreiecke zerfallen mufs.
12
Diefs sind nun die vollzahligen Gestalten des rcgelntlfsigen System vollstandig, und es ist Ieicht zu iibersehen, dafs es keine andern geben konne. Aus diesen
diirfen aber die Gestalten der iibrigen Systeme blok herausgehoben werden.
P r i s m a t i s c h e s S y s t e m ( 2 und 2gliedrig).
Sind sarnmt2iche sich gegenseitig halbirende l'dger
ungleich, aber noch rechtwinklis auf einander, so folgt
sogleich, dafs die Complexionen VOR gleicher Form nur
dann gZeichwerh~sind (d. h. eine Diagonale von gleicher Grofse und gleicher Lage gegen das iixcnsystem geben), wenn sie sicli durch nichts, nls durch die Accente
wzterscheiden. Sollte namlich irgend eiii Eleinqnt mit einem ungleichnamigen, oder die Wpten zweier ungleichiianiigen Eleinente vertauscht seyn , so w iirde das I'arallelogramrn oder das Parallelepipedurn, durcb welches die
Diagonale, als der W e r t h der Complexion, bestimmt wird,
ein ganz anderes sein, und die Gestalt wiirde nicht mehr
eine einfache bleiben. Es ist also zwar b c gleicbncrthig
mit b'c oder bc' oder b'c', aber nicht init b d oder hd'.
Eben so wenig ist bPcr gleichwerthig niit b y c p etc.
Hiernach bann inan die gleichnainigeil Complexionen
so wie die einfachen Gestalten, sogleich aus denen cies
regelrnYfsigen Systems ablesen. EIstere sind durch die
senlrrcchten Linien von einander abgesondert iind rnit P
bezeichnet, letztere stehen unter deli so elhaltenen Columnen.
Die Gestalten des regelmaligen Systems bildeten nur
Eine Reihe, da das Verhaltnifs der Trager durch die
Gleichheit vollig bestimrnt war. Hier aber ist dieses Verhiiltnifs ein willkiihrliches oder dnrch eine vorliegende
Gestalt gegebenes. Aus einern jeden solchen VerhaItniCs
entspringt nun eine andere Reihe von Gestalten, die aber
nicht der Art, soudern nur den Abmessungen nach verschieden ist. Sollen diese Abmessungen beriicksichtigt wer-
13
den, so ist es nothmendig, das VerhSltnifs b : c 7 d grnau
zii kennen. Hier aber, wo es nur blofs auf die Art der
Gestalt ankolnmt, ist diese Ruck sicht v6Ilig iiberfliissig,
uad es konnte daher das Yerlialtnik der Gleichheit beibehalten werden , wic iiberall , init einigeii wenigen husnahinen, gescheheii ist, uin die Uebcrsiclit des Zusamineniianges wit den Gestalten des regelmalsigen Systems ZLI
erleichtern.
Die Elementargestalt ( w e m man jedeln Tr%gerseine
Ebene giebt) ist ein rectangulYres Prisma, und mithin
keine einfache. Sie zerfillt aber in 3 einfache Gestalten (PIbis 3 bei FP), deren jede aus zwei parallelen unbegrenzten Ebenen besteht. Die erste ist eine horizontale Schicht. Man kanii sich vorstellen, sie sei durch
unbegrenzte Erweiterung der obern und untern Endfliiche
des Wiirfels entstauden. Eben so die zweite durch Erweiterung der rechten und linken, die dritte durch Erweiterung der vordern und hintern Seitenfliiche des Wiirfels. T)a eine solche un5cgrenzte Schicht sich nicht fiiglich zeicliiieu liiI3, so ist die Schiclitung b l o t durch eine
gerade Linie angedeutet, und durch die punktirte Axe,
welche zugleich ihr Triiger ist, niiher bestimint.
Die Binioncii ahnc Wiederholung geben 3 unbegrcnzte Prismen ( P1 bis 3bei Fpp), meIche inan aus dem
13hoinbendodekaL;der ablesen liann, indem inan sich vorstellt, dafs sich je 4 zu einer Zone geh6rige Flachen unbegrenzt enreitern. Uas erste Prisma (110) entsteht durch
Erweiterung der rechten und linken Endflschen, das andere (101) auf gleiche Weise aus den vordern und hintern Endflachea, das dritte (011) durch Erweiterung der
Mittelflachen. Das erste kaan ein Tiefenprisma, das anderc ein Breitenprisrna, das dritte ein Hiihenprisma genannt werden. Prisinen dieser Art giebt es, sofern man
iiber die Elemente einig ist, in jeder Reihe nur Eins. Von
dieser, so wie von den folgenden Prismen sind hier nur
Durchschnitte gezeichnet.
14
Die Ternionen ohne Wiederholring gebcn ein OctaCdcr uiit rhonibischer Basis ( M o hs’s Grundgestalt). Es unterscheidet sich von dem regelmafsigcn Oclaeder nur (lurch
seine Abmessungen, ist daher nicht besonders gezeichnet.
Seine Axen sind die reziproken Wcrthe iuiserer EIeinente.
Die Coinplexionen der Form b y geben 6 verschiedenc Prismen, yon denen je 2 sich nur durch ihre Ahmessungcn, und die iibrigen auch durch die Lage, in wclcher sie erhalten worden, iinterscheiden. Die bier gleictiirerthigtn Complexionen sind durch die verticalen Strichc
zii den Gruppen PI bis P6 abgcsonrlcrt. ,Die mi: (lieSen zu bezeichncnden F1:ichen des dnriiberstehenden Pyramidenwiirfels bis zu ihrein Durchsclinitt erweitert , bilden jedcsmal die dnrunterstehende im Durchschnitt gezeiclinete prismatische Gestalt. SO entstclit das Tiefenprisina PI durcli Eweiterung dcr rechten uud linken
obern Endfl~che, und der diesen parallelen etc. Prisnien
dieser Art, giebt es in jeder Reihe eine unbestimmtc?
Meuge. Hier sind die Prismen 210, 201, 021, 012, 120,
102 gezeichnet, dcr Absicht gen~efsaus dein Wilrfel abgeleitet, und aus dein Pyraniidenmiirfel herausgehoben.
Man dnrf die sich rechtwvinklig kreozenden Axcn dcs
Durchschnitts nur im urngelrchrtcn Verhaltnifs dcr Elemente verlangern, uin diese Prismen in denjenigen Ablnessungen zu erhalten, wie sie die gegebenen Eleinente
erfordern. SZmmtliche Prisnien dieses Systems merden
dnrch die Ableitung in eine diagonale Stellung gebracht.
Die horizontalen liegen auf einer Kante , die verticalen
kehren eine Kante dein Beobacliter zu.
Man Bbersieht leicht, dafs von der W a h l der aufrechten, sls der
Hauptaxe, und von dcr Stellang, welcbe inan den beiden
iibrigen in dem Systeme tler Eleinente giebt, die Lage
der Axe des abgeleiteten P r i m a abha!igt.
Fur die Complexionen der Forrnen P P y und P r y
-
15
silld keiiie prisiiiatischen Gestalten gezeichnet , da dic
Gleiclihcit der Wpten bei Ungleichheit der Trlgcr alle
Bedeutuug verliert.
Die Gestalten der Form P y S sind lauter Doppelpyralnidefi mit rhoinbischer Basis. Sie werden mit gleitiler Leichtigkeit aus den gehorig geordtleten Coinplcxiolien, mie ails dem 45 Cder crhalten. Letzteres gcschieht
durch dic Erweiterung je zveier Fkchenpaare , die an
ciuer uud derselhen singuliiren Are einander gegeniiber
l i e p i , bis zu ilirem Zusammentreffen mit den ihnen parailelen Flliclien. Pyramiden dieser Art giebt es in jedcr lieilie eiue uiibestiininte Menge. Die bier gezeichneten, aus dem 48eder herausgehohenen, sind der Ordnung nach 321, 312, 213, 231, 132, 123.
Der Kaum hat es nicht gestattet, den Gestalten dieses Systems diejenige Grtifse ZLI geben, weiclie sie erhaltell haben wurden, wenn inan die Kanten und Diagonnlen der dariiberstehendcn Gestalten des regelm9fsigen SJ-steins bis zu ilirem Durcbschnitt ausgezogen batte , w a s
allerdings das leichteste und anschaulichste geweseu wiire.
Die Complexionen stelien nun bei diesem und dcn
folgenclen Systcmcn init den daruuter odcr dancben gezcichneten Gestalten in einer solchen Verbindong, dnCs
die uiit jeiien zii bezeicbnenden Flachen der daruber stelienden Gestalt des rcgeliniifsigen Systems, bis zu ihrcin
Durchschuitt erweitert, die gesuchte Gestalt geben. Die
Aussonderung derselben ist daher eigcntlich gauz dasselbe,
aIs die Aussonderung der gleichwerthigen Complexionen,
uud die Stellung iminer diejenige, wie sie aus der angenomuenen Lage der Elelnente erfolgt.
P y r am i d a t s y s t e m (4 - und 2glicdriges).
yon den rechtcvinkligen Trigern sirid 2 gbich, der
3te ungleich. Man bringt das System der Elementrtrtrager iu diejenige Stellung, dafs der ungleiche aofrecht,
16
die heiden iibrigen nach den horizontalen Hauptricbtungen gehen. Ersterer ist hier wieder init 6, letztere siiid
Init c und d bezeichnet.
Aufser den Complexionen, welche sich nur diirch
die Accente unterschciden, erscheinen hier auch noch d k ienigen als gleichwerlhige, bei welchen die gleichen Trager ( c und d ) gegen einander uertaoscht sind. Uie
Coinpiexionen sind m n in der Formtafel so geordnet,
dafs liiernach die Gruppen der gleichwertliigen neben eiiiander stehen, dereii jede init 17bezeichnet ist.
Hiernach iibersieht inan leicht , dafs die Elementargestalt in 2 einfache, eine borizontnle Schicht, und ein
aufrechtes, unbe;grenztes quadratisches I’risma ( 100 u. 010
001) zerfdllt, welcbes in rechter Stellung erscheint *).
Die Binionen ohne Wiederholung geben eine Doppelpyramide niit quadratischer Basis (Quadrat in rechtcr
Stellung) wid ein unbegrenztes Hdhenprisma, dessen Durchschnitt ein Quadrat in diagonalcr Stellung ist (110&lOl
und 011). Erstere entsteht aus der Erweiterung der
s~mmtlichen EndHachen , letztere , wie im prismatischen
Systeme, diirch Erweiterung der Mittelflache des Rhombendodekaeders.
Die Ternionen geben auch eine Doppelpyramide mit
quadratischer Basis (Quadrat in diagonaler Stellung) deren Zeichen 111.
Die Complexionen der Form (3y geben 2 Doppelpyramiden mit quadratischer Basis (Quadrat in rechter
Stellung) 171 (g210) und I73 (& 120), von denen die
erste stumpfer is!, als die andere. Dagegen giebt LZ2,
(S021) eine aclitseitige unbegranzte Saule, deren Querscbnit tc
*) Die Stellung, welclic hier die rechte genannt ist, und nach d e n
Sinne der ganzen Entwickelung so genannt werden mufs, wird
von deojenigen Krystallographen, welche aus dem Octa&der oder
der 4seitigen Doppclpgrarnide ableiten, als die Diagonale betrachtet, und urngekehrt unAere Diagonale als ihre rcchte Stellung.
17
scbnitt ein Achteck mit gleichen Seiten und. abwecbselnd
gleichen Winkeln ist. Aus dein Pyramidenwiirfel erfolgt
IIl dorch Erweiterung der obenl uiid uutern Endfl~chet~,
D3 durch Erweiterung dejenigen Flachen, welche rnit
diesen durch eine Kante zusammenhaiigen, und .ZI2 durch
Erweiterung dcr Mittelflgchen.
Die Complexionen der Form P P y geben eine achtseitige Doppelpyramide, deren Basis ein Abhteck mit gleichen Seiten und abwechelnd. gleichen Winkeln ist, und
eine vierseitige Doppelpyramide rnit qaadratischer Basis
(Quadrat in diagonaler Stellung). Die hier gezeicbneten
sind 221 und 122, wie sie aus dem Pyramidanoctatder,
erstere durch Enveiterung ssmmtlicher Endflacben in gleicher Grafse, ketztere durch Eweherung der Mittelfkchen
verkleinert erfolgt. Auf lbnliche Weise verhalt es sich
mit den Gestalten der Form P r y , die ails der Leucitgestalt einestheils durch Erweiterung der Endflschen, anderntheils durch Erweiterung der Mittelflachea (beide verkleinert) hergeleitet sind ( a l l und 121 ).
Die Complexionen der Form /?yS geben 3 achtseitige Dopgelpyramiden. Die erste ist aus dem 48tder
durch Erweiterung der szmmtlichen Endfl:ichen, die zweite
diirch Erweiterung derjenigen Flachen, welche mit den
erstern in einer Kante zusammenhlngen, die dritte durch
Erweiterung der Mittelflachen entstanden. Die beiden ersten haben die Grirfse bebalten, welche ihnen die Ableitung gegeben bat, die dritte ist aus Mangel an Raum verkleinert. Die bier gezeichneten Gestalten sind 17321,
213, 132.
Sammtliche achtseitige Doppelpyramiden sind von
ungkichschenkligen Dreiecken als Seiteiiflachen begenzt;
ihre gerneinschaftliche Basis aber ist ein gleichseitiges
Achteck, mit abwechselnd gleichen Winkeln.
Rh o m b o t d ri s c h e s S y s t e m.
W e n n die Elementartrager niclit mehr rechtwinklig
2
Annal. d. Physik. 1833.ErgZnzungsbd.Liefr.I.
18
sind, wie in dem vorigcn Systeme, so ist der einfachste
Fall derjenige, d a j sie unier gZeichen Winkeln gegen
cnrander gene$ smd, cvahirend ihr Yerhallnz+ das der
Gleichheit ist. Die Gestalten, welche unter diesen Bedingungen aus der Combination der Elementartriiger en€springen, machen das rhomboZdrz'sche System aus.
In diesein Faile wird die Combination eines und
deselben Radius constructor mit den betden entgegengesetzten Radien eines andern l'ragers einen ganz verschiedenen Werth habpn. Das eine ist die Diagonale
zwischen den beiden spitzen, das andere zwischen dcn
beiden stumpfen Winkeln einer und derselben scbief;rvinkligen Raute.
Bezeichnet man nun diejenigen Ra$en, welche gleiche Winkel mit sinander bilden, einer%its mit den unaccentuirten, andrerseifs wit. den accentuirten Buchstaben, so iibersieht man leicht, dafs unter
dieser Voraussetzung nur diejenigen Coinplexionen von
gleicher Form gleichwerthige sind , in welchen entweder
die gleichnaniigen Wpten auch gleichbezeichnete sind, oder
in welchen die siimmtlicheii Wpten ihre Vorzeichen (Accente) vertauscht haben. ..Die gZeichen Elernente koniren
beliebig oerwechselt werden, aber die' Accente haften unveranderlich an den Wpten, und konnen nur im GmZen, nicht irn Einzelnen, oerlauscht werden.
Vergleichen wir nun die Bedingungen, unter welchen in den verschiedenen Systemen Complexionen von
gleicher Form auch gleichwerthige sind und eine einfache
Gestalt geben, so finden wir, dafs es folgende sind.
Im regelmafssigenSysteme sind alle Complexionen von
gleicher Form (wozu der gleiche Zahlwerth der W p t e n
gch6rt) auch gleichwerthige, und geben eine einfache Gestalt. Dicse kann daher rnit einer gauz beliebigen Complexion, die unter dieser Form enthalten ist, ohne allen
wcitern Zusatz bezeichnet werden. O b man also sagt,
Gestalt 321, oder 231, oder 312 etc., ist ganz gleichgiiltig, da jeder dieser Ausdriicke ganz dasselbe bestimmte
-
19
g ~ g d e r ,-&hrend der Ausdruck f l y 8 oder yp’8 etc. Bur
din 48 eder aerhaupt bezeichnet.
l m prismatischen Systeme waren die. EIemente vers&ieden; es konnten daher nur die Accente vertauscht
w a d e n wenn die Complexionen gleicher Form gleich.
wzrthj,oe bleiben sollten, wahrend im pyramidalen auch
&e Vertauschung der beiden gleichen Elelnente
sbt&den konnte. Es mufs daher durch irgend einZei&en angedeutet werden, welcher Inbegriff YOU Complexion bier zu einer einfachen Gestaltsgehore, und dazu
sind bier die Zeichen P und 117 gewahlt. P321,32’&
3’2’1etc. sind daher gleichbedeutend, und eben so L?321,
312, 3’1’2etc., wenn man nicht eiue bestimmte Flache,
sondern nur eine Gestalt andeuten will. Dieses Zeichen
(P,n)soll nicht die Beschaffenheit der Gestalt, ob sie
z. B. cine Pyramide oder eine Saule ist, sondern nur das
System andeuten, welchem sie angehiirt *). Es wzre daher auch vtillig iiberflussig, dieses Zeichen jedesinal zu
wiederholen, da es bei allen Gestalten derselben Reihe
dasselbe ist.
Zur Bezeichnung der gleichwerthigen Complexionen
und der dadurch hervorgebrachten einfachen Gestalten des
rhomboedrischen Systems, ist hier das Zeicheii R gewshlt, und es sind dieselben auf der Formentafel durch
die horizontalen Striche von einander abgesondert. R321,
312, 231, 1’2’3’etc. sind daher, sofern dadurch die Gestalt, nicht die einzelne Fliche angedeutet werden soll,
vbllig gleichbedeutend, und wenn hier, wie bei den vorigen Systemen, das Zeichen aus der ersten Columne genommen ist, so ist es blofs gescheheu, um das Aufsuchen
zu erleichtern.
Das System der Elementartrlger bringt man hier am
In der Formentafel ist dab Zeichen IT da nieht gesetzt, w o die
njmlichen Complexionen, welche rine Gestalt des prisrnatisehen
Systems bedingen, auch sine einfache Gestalt deu pyramidalen
es muCs d a m also mit verstanden werden.
2”
20
besten in eine solche Stellung, dafs sic gegen eine uad
dieselbe horizontale Ebene gleich geneigt siud, wodurih
die Complexion aus je 3 gleichbezeichneten Elementen
vertical wird *). Sie heifst die rhombuedrische Axe. Denkt
man sich um das'ganze System eine Kugel beschrieben;
so ist sogleich klar, was unter der rhomboedrischen Axe,
(AA'Fig.3 Taf. II.), dem rhombocdrischen Aequator ( AQ)
zu verstehen sei, un'd was man sich unter rhomboedrischen
Polen, Meridianen und Parallelkreisen zu denken habe.
Wir hringen das System der Elementartrager in ,diejenige
Stellun'g, dafs die unaccentuirten Elemente in der obern
Halbkugel liegen, und drehen es um die rhombogdrische
Axe 60 weit, bis der mit d und d' bezeichnete Triiger
in einer Ebene liegt, welche durch die Axe geht, und auf
der Projectionsebene senkrecht ist.
Alle Gestalten sind
in diejenige Stellung gebracht, wie sie aus dem so gestellten Systeme der Elementartrager eTfolgen.
Die einander gleichen Winkel der Elementartrfger
k6nnen jede mljgliche Grofse haben ; sie konnen spitz
und sturnpf sein. Nur bei der Rechtwinklichkeit wiirde
das System in das Regelmiifsige iibergehen. 'Iliefs hindert indefs nicht, hier, wo es blofs auf die Art, nicht auf
die Abmessungen der Gestalten ankommt, diese Winkel
als Rechte zum Grunde zu legen, aber nur diejenigen
Fliicben beizubehalten, welche nach dem Vorstehenden
zu einer einfachen Gestalt des rhombocdrischen Systems
gehoren. W i r verlieren dadurch fiir unsern Zweck nichts,
indem die Gestalten als solche von den Winkeln vollig
unabhangig sind, erlangen aber den Vortheil , die rboniboedrischen Gestalten aus denen des regelmafsigen Sy-
-
*) Da auf dcr Formentafel neben den beiden Zeichnungen des
488ders noch Raum war, so habe ich neben der ersten das
Axensystem in der fiir die rechtwinkligen Systerne gebrauchten,
zwischen beiden aber dasselbe in der Ton mir gcbrauchten rhombosdrischen Stellung gezeichnet, wodnrch das Aufsuchen einer
Flzchc aus ihren combinatorisclren Zeichen sehr crleichtert wid.
22
stems durch Verhgerung der Kanten und Diagonalen
evolviren zu kfinnen. Dainit dieses mit Leichtigkeit g&
s&ehen tisnue, bat man nur nijthig, die 7 einfachen GesfaheD des regelmafsigen Systems in rhombogdrische SteE
lung zu bringen, so dafs eine ternare Axe aufrecht steht.
Man vergleiche hieriiber die Formentafel, wo die zweite
obere Figur die danebenstehende regelmafsige Gestalt mit
eleichen Dimensionen in rhomboedrischer Stellung zeigt.
Hebt man nun die mit den gleichwerthigen Complexionen bezeichneten Flachen heraus, oder, was dasselbe ist,
erweitert man diejenigen FlSchen , welche eine gleiche
Lage gegen die rhomboBdrischen Pole haben, bis zu ihrem Durchschnitt , so erhalt man die darunterstehenden
einfachen Gestalten des rhombo6drischen Systems. Die
Ev~Iutionderselben wird dadurch nicht eben schwieriger,
als die der gIeichwerthigen Complexionen.
Nur die Complexionen der Form /3 geben insgesammt
eine einfache Gestalt, welche hier durch den in rhomboedrischer Stellung gebrachten Wurfel also schon dargestellt ist.
Die Binionen (P,5'@)ohne Wiederholungen zerfaIlen in 2 Abtheilungen gleichwerthiger Complexionen, je
nachdem die beiden Elernente gleich oder uagleich bezeichnet siud. Die erste ist ein stumpferes Rhomboe'der,
die andere ein unbegrenztes Prisma, dessen Querschnitt
ein regelmafsiges Sechseck ist. Die erste ist hier durch
Erweiterung der Endflachen , letztere durch Erweiterung
der Mittelflachen aus dem dariiberstehenden Rhombendodekagder in der sich dadurch ergebenden Grisfse evolvirt. Die erste ist dieselbe, welche sich aus der Elementargestalt ergiebt, wenn man durch ihre Endkanten, die
zweite, wenn man durch ihre Mittelkanten beruhrende
Ebeuen legt, wie sich durch Betrachtung der Combination sogleich ergiebt, Die einfache Combination aus zweien
zu verschiedenen Polen gehijrigen Elementen, giebt namlicb eiuen zusamrnengesctzfen,Trzger, d'er im rhomboedri-
22
schen Aequator liegt, dessen getragene Flgche mithin der
Axe parallel ist. W e n n beide Gestalten durch eine b6here Combination mit einander in Verbindung treten, so
geben sie die regelmafsige sechsseitige Saule, mit dreiflachig abgestumplten Enden, wie beim Kalkspath, und
man k6nnte diese als ein entstelltes Rhombendodekaeder
betrachten.
Die Ternionen ohne Wiederholungen (FPPP) zerfallen in 2 ungleiche Abtheilungen, von denen die erste
nur 2, aus den gleichbezeichneten Elementen bestehende,
letztere dagegen 6 glcichwerthige Coinplexionen enthalt,
deren jede aus einem Elemente, welches zu dem Einen,
und zwei Elemente, welche zum andern Pol gehijren, besteht. Die erste giebt eine unb'egrenzte horizontale Schichf,
die andere ein Rhomboeder (111'). Eeide Gestalten sind
hier aus dein daruberstehenden, in rhomboEdrische Stellung gebrachten OctaFder, die erste durch Enveiterung
der Endflachen, die letztere durch Erweiterung der Seitenflichen en tw icIreIt.
Die Binionen init Wiederholungen (F,9y)zerfallen in
2 'gleiche Abtheilungen, geben daher fur jedes Verhaltnifs
vou : y zwei einfache Gestalten, von denen jede durch
12 Fllchen begrenzt ist. Beide sind Skalenoeder, und
nur in dem einen hier gezeichneten Falle wird die erste
eine gleichschenklige Doppelpyramide, wenn @: y = 2 :I,
d:h. die Gestalt 210 wird. Beide sind hier aus dem in
rhomhozdrische Stellung gebrachteo Pyramidenwurfel210
gezeichnet, erstere durch Erweiterung der obern und untern Endflachen , letztere durch Erweiterung der Mittelflachen, beide aus 'Mangel an Raum etwas verkleinert.
Die Lateralkanten der letztern Gestalt geh6ren dem urd
spriinglichen Rhombozder an.
Die Complexionen der beiden Formen ppy und
B y y zerfallen fur jede in 3 Abtheilungen gleichw.c.erthiger
Complexionen, von deuen 2 gleich sin& Jede der beiden ersten Abtheilungen giebt fur. jedes Verhaltnik vou
23
p zu y cine von 6 , die letzte eine von 12 Flichen umschlossene einfache Gestalt.
Die beiden ersten Gestalten, welche aus den Cornplesonen der Form /?,!?y entspringen, sind Rhomboeder,
die letzte ein Skalenoedcr. Die bier gezeichneten sind
die Rhomboeder 221 und 221' und der Skalenoeder 22'1,
&sen Lateralkanten dem RhomboGder 111' angehijren.
Sie sind semmtlich aus dem Pyramidenoctaeder 221, die
erstere durch Erweiterung der Endflichen, die andere
durch Erweiterung der mit diesen in einer Kante zusammenhBngenben, die dritte durch Erweiterung der iibrigen
Flachen gezeichnet.
Etwas anders verhYlt es sich niit den Gestalten aus
den Complexionen der Form Pry. Von diesen ist nsmlich die 2te eine regelmslsige sechsseitige SYule, jedoch
nur in dem Falle, wenn die Summe der positivrn und
negativen Wpten gleich, d. h. wenn die Gestalt von der
Form 21'1' ist. Sie sind auch hier aus der dariiberstehcnden in rhomboedrische Stellung gebrachten Leucitgestalt 211, erstere durch Erweiterung der Endflachen, die
andere durch Erweiterung der Mittelflachen, die dritte
durch Erweiterung der iibrigen Flaehen bis zuin Durchschnitt construirt. Die Lateralkanten des Skalenocders
211' p h o r e a dem Rhomboeder 110 an. 1st ,4=3, y=I,
so verwandelt sich das Skalenozder in eine Doppelpyramide. .
Die Complexionen der Form P y S zerfallen, wenn
man nach der o b i p Regel die gleichwerthigen absondert, in 4 gleiche Abtheilungen, und geben daher 4 verschiedene Gestalten, welche an dem in rhomboedrische
Stellung gebrachten 48eder, in den 4, von jedem. rhomboedrischen Pole gegen den Aequator herabsteigenden
geographischen Zonen *) liegen, und durch Erweiterung
'1
Da man unter einer krystallographischen Zone einen Complex
von Flictreo verstelit, die linter sich parallele Ksnten haben,
und drher auf einer und dersclbh Ebenc senkrecht sind, so
24
tler F1;ichen je zweier von den entgegengesetzten Polen
in cleichen Abstiinden liegender geographischer Zonen bis
zum gegenseitigen Durchschnitt erhalten werden. Der
Raum hat hier erlaubt, sie aus dem 4Seder 321 in derjenigen Grafse zia zeichnen, in welcher sie durch Erweiterung der Flachen der dariibersteheuden Gestalt erfolgen. AHe 4 sind eigentlich Skalenoeder. Es kann jedoch jeder der 3 rechten sich in eine gfeichsrhenkli~e,
sechsseitige Doppelpyramide venvandeln, wenn die W p ten, mit Rucksicht auf ihre positive oder negative Beschaffenheit, in stetiger arithmetischer Proportion stehen,
d. h. wenn ihre Unterschiede gleich siud. Dieser Fall
tritt hier fur das erste aus 321 ein. F u r die Wpten
521 wiirde das zweite, fur 421 das dritte, eine gleichschenklige Doppelpyramide geben. Eben dieses Gesetz
findet auch auf die iibrigen SkalenoCder Anwendung, namentlich fur 21OF,5‘y und 3 2 1 ’ F F y y , Fro die Wpten in
stetiger Proportion stehen. Dagegen kann , vermiige dcr
Bedingung, dak P>r>rY,
das 4te Skalenoeder nie eine
gleichschenklige Pyramide werden, wohl aber eine zwolfseitige Saule, fur den hier der Zeichnung zum Grunde
gelegten Fall, dafs P=~-I-J.
Der Raum erlaubte es noch, eine Projection des
48Eders 321 auf den rhomboedrischen Aequator in der
Formentafel anzubringen , auf dessen FIachen indefs zur
Orientirung, die unbestirninten Wpten eingetragen sind.
Sein Umfang ist der Durchschnitt des 12 seitigen Prisma
321.
Von den Flachen PrrY, ,4yS!, ,987‘ etc. kann man
sagen, sie liegen in derselben rhomboGdrischen Section,
d. h. zwischen denselben durch die Elemente gelegten
rhombQedrischen Hauptmeridianen. Anf der untern Hiilfte
der Gestalt liegen die Fliichen J,’y’$’, S y ‘ p ’ , yd’P’ in
derselben Section, und sind denen auf der obern Hslfte
in der Scheitelsection lieeenden Flachen S ; / p etc. parallel.
-
habe ieh den oulser dcr Krystallograpliia ublidien Gebrnuclr dcs
W o r t e s Zone nSher bezeichnen zu miissen geglaubt.
25
Die Flzchen @Sty’ und. yap’ liegen zwar auch .in dieser Section, aber sie reichen nur zur Hdlfte hiniiber.
D a die iibrigen Krystallsysteme kein’e einfachen VOUst&ndig begrenzten Gestalten geben, SO mufsten diese auf
der Tafel in der Zeichnung ubergangen werden. Es
hat indefs gar keine Schwierigkeiten, den Inbegriff derjenigen Complexionen, welche nach der Beschaffenheit
des Systems gleichwerthige sind, auf der Formentafel auszusondern, und die dadurch bedingten unbegrenzten Gestalten aus den daneben gezeichneten herauszuheben, wobei man die beiden Formen P P y und ,9yy aus deu beim
prismatischen System angegebenen Griinden iibergeht.
So findet man fiir das zwei- und eingliedrige System
( M o hs’s hemiprismatisches, & a u m a n 11’s monoklinoedrisches) die gleichwerthigen Complexionen iD den Durchschnitten von R und II, und auf den daneben und darunter gezeichneten rhomboedrischen und pyramidalen Gestalten, wenn man die mit jeneu Complexionen zu bed
zeichnenden Flachen bis zum Verschwinden der iibrigen
erweitert, uud von dem rhombischen Prisma als Elementargestalt ausgeht. Hiervon giebt. es nur Eine Ausnahme
in FPPP, wo nur die 4 ersten Flachen von R2 zu
einer einfachen Gestalt gehirren. Fur das .unregelmafsige
System giebt es uberall keine gleiehwerthigen Flachen,
als die einander parallelen. Sie finden sich daher auf der
Formentafel in den Durchschnittenvon R und P. hudere
Krystallsysteme, wie-ldas yon M i t s c h e r l i c h am unteG
schwefligsauren Kalk entdeckte, scwwie das voli mir .am
Adular vermuthete Vier- nnd Eingliedrige System, iibergehe ich hier, der Kurze wegen.
Die hier aufges‘tdlte Ableitung der KrystalIgestalfen
schliefst sich , wiewohl von ganz entgegenges’etzt’en Prim
cipicn ausgehend und rein speculativ, doch zunachst der:
Haiiy’schen an. Setzt mau sowohl fiir die Abmessun-
-
26
gen seiner subtractiven Molecule, als auch fur die COCKcienten seiner Decrescenzreihen, ihre reciproken Werthe,
so gelaogt man unmittelbar zu unserer Bezeichnung. In
den rectangularen Systemen verhalt es sich mit den AbIeitungen vou W e i f s und N a u m a n n eben so; dagegen
weichen sie in dern rhomboedrischen Systeme dadurch ab,
dafs sie statt der von uns a h einfach angesehenen T r f ger der Rhomboederflachen die Proportionen auf die rhomboedrische Axe und den rhomboedrischen Aequator, oder
eine Combination aus den letztern, als einfache Elemente
ansebn. Hierdbrch werden viele Gestalten von ihnen als
balbzahlige (hemiedrische) betrachtet, welche hier als vollzahlige erscheinen, und umgekehrt.
Mit welcher grofsen Leichtigkeit, Sicherheit und Bestimmtheit jede Art der Hemiedrie aus den Forinen der
Complexionen hergeleitet , beurtheilt , und auf’s unzweideutigste bezeichnet werden kann, ist in dem angefuhrten
Hefte zur physischen Krystallonomie gezeigt.
Dafs bei
den iibrigen Krystallographen nur 2 Ableitungscoefficienten gebraucht werden, wlhrend bier stets 3 Wiederholungaexponenten als solche auftreten, davon liegt der Grund
darin, dafs hier jede Briichform derseIben ausgeschlossen
ist, wie sich bei einer combinatorischen Entwicklung eigentlich von selbst versteht, da durch fortgesetzte Cornbinationen nie gebrochene W p t e n entstehen k6nnen. Eben
dieser Urnstand scheint aber fur die Naturgemafsheit dieser Darstellung zu sprechen, sofern sie eiu rationales Verhalinifs jener Coefficienten, welches die Natur in den
Gestalten eine Reihe ohne Ausnahme giebt, ihrerseits als
nothweiidig forded. W e n n man dagegen jene Coefficienten durch arithmetische Operationen sucht, setzt man fiir die
Verblltnisse p :y :6 allerdings bequemer P-: Y-:1 = p : v : l ,
-
6 6
urn die beiden zu suchenden Verhaltnifssfactoren an einhche Schemata zu knupfen.
27
Es bleibt noch iibrig einige Proben der Ableituw
der Entwicklung und der Darstelhng des Zusammexihalil
ges der Gestalten zu geben. DieSe, besuhen, dec Haupk
sache nacb, auf Sdem Satze: wenm 2 Bemegungen (Krafte)
von einem Puncte ausgehen, so mufs jede aur denselhen zusamrnengeset.de mit ihnen !in derselben Ebene liegen, und umgekehrt, wenn sie in derselben Ebene -lie@,
mufs sie sich a3s aus. ihnen zusammengesettt betrachten
lassen. - Es scheint Laum glaubIich, dafs ein 60 dinfacher und evidenter Satz mifsverstanden, oder in Zweifel
gezogen werden k6nne.
W e n n in einer beliebig zusammengesetzten Gestalt
irgend eines Systems eine zu bestimmende Fltiche s zwischen zwei bekannten, f und g, mit paralleleu Combinationskanten tritt, so daCs f, s, g in einer Krystallzoee
sind, so miissen die Trlger dieser Flachen in einer Ebene
liegen. Es mufs sich also der.Trager von s durch eins
Combination der Trager von f und g darstellen lassen,
und es ist s pf” gy, oder, wenn
X
- = rn
gesetzt wird,
Y
s g f“g. Die€s ist nun eine vB2Iig allgemeine CombinaiionsgIeichung, in welcher sich m durch eine, wenn auch
nur oberflachliche Messung des Winkels f zu s oder g
zu s bestimmen lafst, wenn die Elemente der Reihe feststehn. Sollte die namliche Flache s aber noch zwischen
2 andern bekannten, k und I, mit parallelen Combinationskanten liegen, so wiirde auch s 2 k 2, mithin J m g G k n l
sein miissen. Driickt man nun die bekannten Flachen
f, g, k, I, aus ihren Elementen (auf der Formentafel b,
c, d genanni) aus, so lassen sich m und n, mithin s auf
doppelte Weise, ohne alle Messung bestimmen, da man
fiir die beiden Unbekannten rn und R zwei Gleichungen
erhalt.
‘Ifm von der Methode der Entwicklung ein Beispiel
zu geben, wahfe ich, da ich zu eigenen Beobachtungcn
28
keine CLeIegenheit habe, die Ahbildung des Axinits, womit
Hr Prof. N e u m a n n seine treffiche Abhandlung im SOsten
Bande dieser Annalen ( L 6 3 sq.) begleitet, rind verstehe
unter den ZUP Piezeichrrung.der -FlSchen gebrauchten Buchstaben zugleich die Triiger der Flachen. In der Darstellung auf der Kugelflache (wo die den Krystall hegrenzenden Flachen als Tangentialflachen zu denken sind) von
w e l d e r ich hier den Lesern, welche jenen Band nicht
zur Hand haben, in FZg. 4. Taf. IT. eine verkleiaerte Abbildung gebe, stehen die Buchstaben nirlrlic5 in den TrIgem. Da hier zwischen den entgegengesetzten TAgern
gleichnamiger Fllchen .unterschieden werden muls habe
ich, nm mit Hrn. Prof. ,Ne u m a n n in .Uebereinstimmung
zu ,kommen, diejenigeni Flachen (ihre Triiger) als positiv
angenommen, welche von ihm in seiner Entwicklunp (dase1bst.S. 76 und 77). als solche angepehen sind, t1nd darnach die Accente gcsetzt. So hat z. B. x und alle im
obern Theile der Zeicbnung liegende Flachen den Accent erhalten, weil das von X. angegebene x die in der
Zeichnung nicht erscheinende Gegenflache von x 1ist. Urn
Zweideutigkeit za vermeiden, ist { r ' ) init e vertauscht,
Ich wable nun die ganz beliebigen Flachen, wie u,
P,r, yon denen Hr. Prof. N e u m a n n sagt, daCs sie in
den ihm vorliegenden Krystallen einen vorherrscheudcii
Antheil an der Begrenzung nehmen. Die Trager derselben. sind durch diese W a h l als die Elernente der Combinationen (d. i., Stellvertreter von b, c, d im Obigen)
gesetzt, und die Wpten beziehen sich in der genannten
Ordnung auf dieselben , dergestalt dafs 100 den Trager
der Flache u, 010 den TrYger P, 001 den Trager r,
101 den combinirten Trager ur bezeichnet. Hiedurch
ist nun die Laee der Elementartrager fixirt. Ua aber ihr
Verhaltnifs noch unbestimmt ist, so kann ich, abennals
willkiihrlich, entweder fur 2 binare, mit i e 2 Elementartragern in derselben Zone liegende, und aus ihnen b i n n
zusammengesetzte, oder eine ternare, in Ansehung der
29
Accente gehBfig orientirte Fltche beliebige Ausdriicke
annebmen, mittelst deren nun auch jenes Verhaltnifs vorIiufig fisirt ist. Es s e i demqach, isdem wir uns der erstern Methode, als der leichtern, bedienen, in der Zone
U P der binare Tragqr der FlricFe V ~ PUS 1 1 0 , und
in der Zone P r *&sP!r&61’1 4).
Bis hierher ist nun alles ti)llig willkihtlich gmesen,
aber wir hnben jetzt auch die zur ’Entwicklung der Gestalt erforderlichen Haltpunhe vollsrandi,o vor unS, and
kijnnen das Verhlltnils jeder der iibrigsn --Flachen bestimmen. So liegt z. B. 5’ zwischen Y und f L kiinnte
daher o r ’ & 1 1 0 ~ 0 0 1 ’ ~ 1 1 1seyn. Es lie$ aber anclr
2 zwischen u und M’, kijnnte dahei u M’2 100 ;011’
--2 11 1’ seyn.
Da beide Ausdriicke dieselben sind, so ist hiedurch
das Verhaltnifs von Z’zur iibrigen GestaIt ganz entschieden bestimmt, narnlich x ’ & u P ~ ’ - oder X & u’P’F,und
man kann’ nun sogleich. x wieder zur Bestimm’ung solcher Flachen gebranchen, welche in“ einer durch x gehenden Zone liegen.
Auf Phnliche Weise geht die
Entwicklung bei allen ubrigen Fltichen vor sich, wie die
nachfolgende Zusaininenstellung zeigt, bei welcher, urn, die
grofse -Leichtigkeit der Entwicklung vor Augen zu legrn,
keine Ziffer weggelassen ist, von welcher bei der Bestimmung m-irklich Gebrauch gemacht wlre.
-
*) BSttc man etwa, naeh der 2ten Methode, die ternire FlPche
z ’ ~ u P r ’ & l l l ’gesetzt, so hitte man Y aus u P und S’P
iibereinstimmig 2 1 1 0 , und M aus P’r und u’z’ iibereinstimmig 2 01‘1 gefunden.
D i e bestimmte Lage einer tern3ren
Flbche kann iibrigens nur durch 2 Mcssuogen ausgemittelt werden, so d d s doch auch hierbei 5 Messungen zur Berechnung
-
erforderlich sind.
30
P Tcm
e e t c
u, p,
?-
v P U P & 110
M a ’ P ’ rA 01’1
x’ausvr’ &110~001.’2
111’
stim m t.
uJM; - - 2 1 o o j o u ’ ~ l l L ’
y’ausvIM’ ~110;011‘&121’
P x ’ PO10 ;1111 G 121’ st.
slausud
a l p 0 ?QOl:+ 101,’
P’z’ ~ 0 1 ’ 0 ~ 1 1101’
1 ’ ~ st.
I ausuP’ s
Ms’ 2 Q l ’ l S l O l i & 11’0
I
d a u s P ’ s ’ &Ol’O~lOl’&
11’1’
F J a o i ’ ; i i t a G ii’r st.
Q ausP’M’&OlO$Ol’LSO21
st.
uy
&100~1’21~02’1
Y
. . 110 stimmt, wenn man w
~,ausuP G .
ry’ g O O 1 3121’21120
n ausrv GOO1 T l l O f l l l
- Mw =01’1+120 =111 st.
}
}
-
. . . ... .
-
}
}
. .
b
}
=PZy’*
-
wy’ 1 1 2 0 $121’
241’
zus.
stimmt.
2us amm en s t e 1l u g d e r R e s u l t s t e.
Elemente:
u, P, r ; u & u P ; M = P ’ r
100, 010, 001
110
01’1.
Abgeleitete Flschen;
x ; y ; s ; L ; 0 ; q ; w ; n ; o ; e ; m ; :
1’1’1, 1’2‘1, 1’01, 11’0. 1’11, 02’1, 120, 111, 1’4’2, 1’3’1 241’ 01’2
Die ganze Enfwickluag erfordert , wenn die zur Bestimmung erforderliche Menge von Flachen vorhanden, und
der Parallelismus der Kanten aus der Zeichnung deutlich
zu erkennen ist, nicht eben mehr Zeit, als zum Niederschreiben erfordert wird. Sie hat gar keine. Schwierig
keit, %Venn,wie in der gedachten Abhandlung, alles Zonenweise vorliegt.
Die Wpten sind bier so einfach
ausgefallen, dafs sie kaum etwas zu wiinschen iibrig lassen, und man konnte Sdalier fiiglich bei diesen Elementen
stehen bleiben. Indefs kann man aus h e n mite d e r
grijfsten Leichtigkeit und ohne alle Riicksicht auf eine
Figur, die Wpten fur beliebige andere Eleoiepte herleiten, Diefs ist zugleich reine vollstandige AufXisung des
ProbZems der CoordiriaienverZnderung innerhalt5 der
Grenzen einer Reihe"), sobald man fur die in Zahlen
gegybenen Wpten allgemehe Zeichen setzt.
Zu diesem Zweck driickt man die bisherigen alten Elemente
durch die neuen Bus, und substituirt die auf diesem Wegc
erhaltenen Ausdrucke durch die neuen Elemente fur die
alten. Gesetzt, man wollte die Elernente v, w, M in
dieser Ordnung der Entwicklung zum Grunde legen, so ist :
-
Ausdriicke der neuen Elemente durch die alten:
v&uP ; w S u P 2 ; MPP'r.
Hieraus folgen nun die Ausdrucke der alten Elemente
durch die neuen:
P, r; sind nirnlich nichts anders, als die Coordinataren fur die abgeleiteten Trsger. Indem
ich also 3 F16chen wahle, erhalte ich i n ihren Trzgern die Coordinatenaxen ihrer Lage nach. Es hat aber iede dieser Axen ihren eigenthiirnlichen relativen M a a h t a b , 7.u dessen Bestimrnung
die Mittelfldchen gebraucht werden. Durch diesen, und durch
die W p t e n als CoGfficienten, wird dann die Lage und relative
Gr&e der abgeleiteten Triiger bestimrnt.
Diese relativen
Griiken sind aber b l o b Rechnungs- und Constructionsmomcnte,
und liaben auf den Abstand der getragenen Flachen vom Mittelpunkte der Gestalt keine weitere Beziehung.
') Die Elementartrsger, wie hier u,
-
32
u & 0 2 w’, dann
.PAv’w, dann
r ; u’w N d a m
tv2
w ’ & 220 1‘2’04 100 &
U
$ w’ & 1’1’0; 120 & 010 P
v‘ .iiw t M= 1’1’0 120;01’12 OOi=rc.
P’
Beziebt man nun die ZahlausdrBcke der Wpten Sauf
die neuen Elemente. 0, W ,
in dieser Ordnung, so sind
jene Absdrucke I.
II P 21’0 ; P & 1’10 ; 7- G 1’11.
Diese Werthe substituirt man nun fur die alten Elemente.
Sa ist 2. B. die Flncbe b P1’4’2 nach der alten Bezeichnang,; d. h. .o = ~ ’ : p ’ * rEs
. ~ .ist aber nach der
neuen:
is. . .. ..
U’ 52’10
P!A 11’0.mithin P I 4 144’0
r P1‘10 r2. 12’22
I.
....
..
-
Daher ist nun 0 = u ‘ P ’ ~ r * ’ = O l ’ 2 = w ’ ~ ~ * .
So verf;Sht-t mail nun in allen Fnllen,. und hiernacli
ist die beigefugte Tabelle berechnet, welche noch beliebig. erwritert werden kann.
u
p
r
M
V
5
y
s
I
0
g
w
n
0
C
m
2
;
YUX
I
v
I
y o u~ y ~u r q
I yrq
100 100 11’0’110 010 111’I 010 121’1I 1’01
010 010,010 010 11’0,01’1
001 1011 011 101 101 I101
01’1 001 I001 111’1 011 ‘ 110 101 011 011
111 11c 100 100 100 1100 1001100 211
11’1 1’10 %if
1’1’1 1‘01 1‘11 001
001 2‘11 100
12’1 1’1’1 1‘01 01‘1
1‘01 1’11 1’21 011 11’1 01’2 22’1 2’31’ 111‘
11’0 11’0 12’0 12’0 1’20 122’ 1’20 il’i 2’1’3
1’11 1’21 1’31 021 22’1 02’3 33’1 1’21 233‘
02’1 01’1 01’1 12’1 1’21 121’ 011 001’001
120 120 110 110 21’0 11’1
111 121 111 201 201,201
1’4’21’24 11’2-13’2 2’32I 131’
1’3’1 1’2’1 1’1’10’21 2’21I 021’
2’4’1 2’3’1 21’111’2’1
01’2 012,012 21’2
I
1
I
I
I
Hier
Hier ist absichtlich ein etwas zusammengesetztes Bcispiel gewzhlt. Die Entwicklung geht noell bei weitem
rascber von Statten, als die aus der iibcr jeder Coluinne
gcsetzten Elementen abgeleitete, unmittesare Entwickltulg
an der Fjpr. Vertindert man blofs Ein Element, so kann
man eine Columne aus der andern ohne Weiteres abschreiben. Da z. B. M atis den Elementen der ersten
CoIumne A 01’1G P’r, SO ist r & P M A 011 aus den
Elementen der zweiten Columne, und dicsen Werth von
r hat man fur r iiberall zu substituiren, urn aus deu Wpten der ersten Columne die der zweiten zu erhaltcn.
Nach derselben Methode sind aus den Elementen der
zweiten die der dritten, aus diesen die der vierten etc.
hergeleitet *). Will man sich der relativen Grijfse dcr
Triiger zur Berechnung einer Zone bedienen, so inufs
uoch bernerkt werden, dafs die unterstrichenen Ausdriicke
den Triiger, fur welchen sie gelten, in doppelter Grbfse
&mi. So ist aus den Elementen y r Q der Ausdruck
fur Y A2’11 d. b. u2 f Y 2 r e .
Die meisteii Krystallographen nehmen zur Bestimrnung der Flachen ein Axensystem im Raume an, und
geben dieselben durch die Entfernung dejenigen Punkte,
in welchen sie die Axen durchschneiden, vom Mittelpunkte
des Axcnsystems, d. h. durch ihre Apotomen, an. Jene
Axeii fallen mit unsern Elementen nun keinesweges zusainmen , sondern siud den Kauten unserer Elementargestalt parallel. Wenn indefs jene Aren auf einander senk-
-
*) D i e Ausdriickc der dritten Columne,
aus den von IIaiiy eum
Grunde gelegten Elementcn, geben unter allen die kleinstcn
Wpten, und eben dadnrch ist der Willkiihr der wenigste Raum
gestattet.
So kommen ~ I I G einfachen Combinationen aus den
EfementartrSgern bis auf cine vor. E r g h z t man diese, welche
in der Zone o M und ru liegt, nod van mir mit k bezcic:Lnct
iat, so wurde der Con~plcx der Fldclien w, k, r , r t , y, 4 ein
veraogenes Rhombendodekaedar, und eben so rr, c, s,h (letrteres hypothetisch) ein vcrzogenes OctaBdcr ( M o hs’s Grundgestalt seines tetartoprismatisclien Systcms) geben.
-
Annal. d. Physik. 1833.Erghzungsbd. Liefr. I.
3
34
rrcht angcnommen wcrdcn, wie dicfs von dcm Hrn. Prof.
W e i r s und seiner Sclinlc bci den Gestalten, die nicht
zuin rhotnboi;drisclieil S y s t e m gehiiren , stets geschieht,
80 sind die EI(,:~ente den Kanten selbst pnrallcl, und
fallen in die Richtung jener Axen, sirid aber die wriproken Werthe derselben. Hiernach wird es nun schr
lcicht, die Bczcichnung nach der W e i fs'schen Nethode
in die nacli dcr unsrigen uinzuwandeln, wovon icli hicr
m s dcr gednchten Abhandlung eio Eeispiel gebcn will.
Es miJgcn die Elernente, von dencn bier zwci kcine vorhnndencn Flvchcn tragcn, init f, p , g bezeichnet werdcn,
dergcstalt, dak:
wciin a,b, c die voii N e u m a n 11 gebraucbttn Asrn;wrthe
sind. - €liar kiinnen auchJund g als die Triiger zweicr
Fliichen angcsehen werden, von denen dic crstc in dcr
Zone U P ,die andere in der Zone f M licgen wiirde,
w ~ b r e n dp dcr TrSSer der FIRche P ist.
Man nelime nun drei beliebige Flzchen an, 1%
0, P, Jf, melche dcr chitten Cotuinne der Tafel zum
Grnnde liegen, und drucke sie vcrmittelst dcr in der gcdxhten Abhandlung gegcbmen Flzchenausdrucke durch
tinsere Elernrntc jcdoch so a m , d a b irgend ein Paar
Mittelflzchcn aIs solche erscheinen.
Nun ist nach dcr Angabe des Ilrn. Professor N e u mann:
1
1
1 1
u aus [+a :$6' : c ] . Diefs gicbt o
p. 9 -2+z + b ' b
d. h. uZf9p".
Ferner ist:
P aus [ b : m n :a c] ; wornus P 2 '1i;2 p . Endlich ist:
zt
-
-
M
aus [
.:.:a
b ] , wornus M A ; tt C
, -. .=lf?g ,
ESsol1 nber I nach dcr Tnfcl die Mittclfliichczwisdtcn
11.1 uud P,d. 11. I' 2 M P seyn. Sctzcn wir T= f;;+p",
35
indem wir es noch unbestimmt Iassen, ob M u n d P nach
ihren, von N e urn a n n angenolnmenen , Wertten , dtirch
ihre h e n (Apotomen) den von uns &urnGrunde gelegten
Elementhenwerthen entsprechen, so haben wir r --2f p x g .
1
N e u m a n n giebt aber r aus [a:+b:c], woraus r & fa
n
!
+7b+C'
also r1-fp7g. Diefs wird richtig seyn, wenn
aucli eine Mittelfldcbe, wie u& UP',dem Neumann'schen Ausdrucke entspricht. Es ist aber nacb den bereits ermittelten Werthen von o und P, u Gf9 p'* 7 p'7
f'p'' G f p ' , d. h. u aus [ a : b : a , c ] , wodurch wir
in Uebereinstimmung sind.
Jetzt kijnnen nun die Acsdriicke aller iibrigen Flacheu mit Leichtigkejt gefundeu werden. indem wir fir
0, 23, M in der dritten Columne unserer Tafel die gefiindenen Werthe durcliJ; p, g substituiren. Die Rechflung ist folgende:
+
I-
v Sf"p'2
Elemente-
P &p7
M 2fg.
36
Es ist bei der Entwicklung dcr Gestalten dcs rlioinboPdrisehen Systems jedesmal erwzhnt wordcn , welc~em
RhomboCder die Lateralkanten 'eincs gegebenen SkalcUoEdcrs nngehiiren, und fur welche Werthc der Wpteii
die Skalenocder in seclisseitige Doppelpyramidcn iibcrgehen. Auch kann es auffallend erschcinen, dafs die
zw iilfseitigc Doppclpyramide als einfache Gestalt gar nicli t
erscliienen ist. Eine kuize Entwickluiig diescr Vcrhiiltnisse iniige daher die Abhandlung bcschlicfsen.
I m rhombo6drischen Systeme (bci dcr geWl
'I 1I tell
Stellung und Bczeichnung) liegt jeder Trligcr, clcr atis
einein positiveii und negativen (accentuirten ) Elciiicntc
znsainmengesetzt ist, iin rliomboCdrischcn Acquator. Drr
bloke Hinblick auf Fig. 3. Taf. II.senugt, uni sicli hiervon
2
zu uberzeugen. Denht inan sich nknlicli durch irmcnd
7
Trliger, wie BB' und CC', eine Ebene gclegt, so wird
der Winkel B ' M C von der Ebene des Aequators E Q
haibirt, da sie (verinsge der SteIIung des SysteinsJ eleicLe
Neiguiig gegen den rl~omboedrischenPol, inithin aiich gcgen den Aequator haben. Aber das Parallelograinin der
Krafte ist, da I ~ B und
' M C (bier b' und c geuannt),
veriniige der Bestimmung des rhombofdrischen SJ stciiis,
gleich sind, ein Rhombus, iind seine Dingonale, als die
gcfordcrte Coinbinalion b'c, halbirt gleichfalls den Winkel B ' M C , liegt mitbin ini AequaJor. Hieraus fdgt,
dafs auch jeder andere TrSger , desseii coinbina~orischer
Ausdrock eben so vie1 positive als uegntive Elemente
enthalt, im Acquator lie6en miissc. So ist b5 c I 3 d 2
L b 3 c r 3; b 2 d Z y uberhaq)t b r + J c ' r d ' " ~ : ' c ' y n + b ~ ~ J .
Jede dieser lefztern Coniplesionen liegt im rhouibocdrischeu Aequator, inithin auch ihrc Combination, wclchcs
eben die gegebene Coinplexi6n ist. Die getragenc Fl~iclic
ist dann auf dem Aequator senkrecht, und dcr Axe paralleI. Eine einfacHe Gestalt des rhoinboZdrischcu Systeins ist dalicr stets cin unbegrenztes Prisma, wcnn clcr
37
combinntorische Amdruck cines TrYgers cben sovie1 POsitive als negative Eleemente enthatt.
Da je z*vei Fliicheu cines SkalenoGders, wefclie mit
cinander eine Lateralkante bilden, in derselben rhomboij&ischen Section (s. 25) liegen, SO zeigt eine game einBetrachtung, d a t die Trager dieser Lateralkanten
stek die Form be’ haben milssen, mithin im Aequator
Iicgen. Da die Lateralkanten der Rhomboeder dieselbcn
sind, so haben sammtliche Laterdkanten aller einfachen
Gestalten des rhomboZ&ischen Systems die l~imlichen6
Triger. Sie kibnen daher so angesehen werden, a$ gingen sie in alleii Gestalten durch die namlichen 6 Pun-kte,
und trigen in den namlichen 6 auf den ‘Fragern scnkrechten Ebenen. Sind diese Klanten horizontal, so ist die Gestalt eine gleichschenklige Pyramide, sind sie vertical,
ein Prisma, haben sie eine mitdere Lage, so ist die Gestalt ein Rltomboiider oder Skalenoeder.
Urn nun zu finden, welchem RhomboZder die Lateralkanten eines gegebenen Skalenoeders angehiiren , geniigt die Bemcrkung, d d s die Rhomboederflriche, wclche
durch 2 Lateralkanten gelegt ist, rnit jedein der beidell
FlYcheoyaare des Skalcnoeders, welche die eine oder die
andere dieser Kanten bilden, in derselben durch die Kante
gegebenen Zone liegen inufs, so dafs man sich die Ska1enocderflYchcn als Zuschrfungen dcr Rhomboederkanten vorstelleit kanii. Bczeichnet mail nu& die Rhouboederfliiche mit r , so liegen 2 benachbartc Skalcnoederflachen zwischeii r und den beideii Lateralkanten in derselben Zone. Es sey nun das Ska1enoi;der b S c Y r l J gegcbeo, so sind 2 htcFaikail$ell bd’ und ed’, ia welehen
dic Fllchen Py(7 und y @ J endigen. Es ist atso:
r; (bcf)x&b~c7&, mithiu r ; bi?c;’da$&cdx& @ - x ~ 7 & + ~
r; (cd’)z>bYc/3@, mithin rzbYcp& ic’xdx, &&-s&J;
uud da beide Werthc von r gleich seyn miissen, p-x=y,
woraus sich ersiebt: r&bYcYd@-Y+a. Das Rhomboeder
38
yp -
ist also R1.F@y oder R1.Fpyy, je nachdein
/3 y-t.3’.
So hat der Skalenozder 421 mit dem RhoniboEder 322,
Skal. 521 mit 4222211 gleiche Lateralkanten. Da innn
in dem Ausdruck fur r&,bP-Y+scydY den Wpten des
letzten Elements auch negativ einfubren, und gleich 0
setzen kann, so umfafst derselbe alle Falle. Die Lateralkanten der Skalenoeder 421’ ; 412’ ; 521’ ; 512’ gel~iiren nach dcr Reibe den Rhomboedern 122 ; 111 ; 222
S 111 ; 112 an. Hier finden sich schon 2 Falle, wo die
rhomboedrische Gestalt der Form b c d (nl.Fpp,9) angehiirt. Diese hat aber nur 2 Flachen, welche mit dein
Aequator parallel sind, oder, w p n man sic als ein Rhoiiibocder betrachten will, in den Aequator selbst fallen.
In diesen fallen mithin auch die Lateralkantev, und statt
cles Stalenoeders erhalt man eine Doppelpyramide. Veberhaupt wird das Skalenoeder b p cYdJ zu einer Doppelpyramide, wenn ‘r&b? c?dfi-Y+& & b c d wird, welches der
Fall ist, wenn p- y+S=y,
mithin P-y=y-J,
d. h.
wenn die Wpten in arithmetischer Progression‘ stehen.
Betrachtet man auf der, der Formentafel angefiigten horizontalen Frojection des 4Sfliichners, 3 in derselben geographischen Zone liegende, mithin zu einer einfachen rhomboEdrischen Gestalt gehGrige, zusammensto€sende Fllchen,
wie P y a , y@J, S p y , so findet von der ersten zur zweiten zweimal ein Vebergang von [3 zu y , yon der zweiten zur ’dritten dagegen von y zu d statt. Sollte nun
P-r=y-S
seyn, so wiirden dergleichen VerBnderungen der Wpten Sleiche Ablenkungen der Trager, und diescn gleiche Winkel der getragenen FlWchen entsprechen
miissen; die Axenkanten wiirden also gleich, und die Gcstah abermals eine gleichschenklige Doppelpyramide seyn
miissen.
Zu demselben Kesultate gelaiigt man auf einem fast
noch einfachern W e g e , weiin m a n aus dein 6 seitigeti
Prismn (R?
FrS’[3)ausgcht, und die Tr3,oer seiner Seiten-
-
39
fllicbcn unit den beiden enfgegengeselztcii Hslften dcr
Hauptam combinirt. Wecden diese a uhd a' genannt,
60 kt ag==bcd,a ' S b ' c ' d ' ; die beiden, aus delnselbe;
Trgger des Prism und den beiden Halbaxen eotstaadcnen abgeleiteten Trager, liegen in dcmselben rhouib0i;drischen Meridiaue, und die getragenen FIYchcn gcbeii
einc horizontale , im rbombozdrischen Aeguator liegendc
Kante , geharen mithin einer gIeichscheiikIigen Pyraniitle
an, deren man unzShlige aos diesem Priswa herleiten
kann, wenn man sowohl dem TrSger seine Seitenfl~chc,
als der Halbase beliebige Wpten giebt. Nennen wir
den letztern a, den erstern E , so mird, wenn wir von
b c' ausgehn,
a~(bc~)')C&bacr~d@
TbCcle ~ ~ b ~ca-sda
4 - i
7 (b QS 6'" c'u d a p b E c f c ' g &a 6 c f a f r d a .
Man sieht hier sogleich, da€s die Wpten in arithmetischcr
Progression stehen. Uafs die Gestalt eine einfachc sey,
ist zwar fur sich klar, ergiebt sich aus den dafiir gefuiidenen beiden Ausdriickeu aber auch leicht dadurch, dafs
die Wpten dieselben sind, und die Elemente im Gauzcn
ihre Zeichen vcrtauscht baben. Setzt man hier a=&, so
erhalt man b 2 d und c' d (231F$'y).
1st a)&,
so werden alle Wpten positiv und ungleich, die Gestalt ist daber van der Form PyS(H1F&J).
1st a < & , so wird a--E negativ. 1st nun tiberdicfs
CC>E
-a, mithin der negalive Wpteii der klcinste, so
erhdt inan aus dem Artsdrucke 6 rL$.E c ~ d"~ eiue
- ~Complexion von der Form 6iqc'Jddr, welclie der eiiifaclieu
Gestalt fiEF[37tS angchiirt. W e n n dagegen a< E - a,
der negative Wpt. also der mittlerc ist, so gehijrt sie der
Forin 6Pc'7dJ ?= 13y'S (R3F,!3yS)an. Die beiden lefztcru erscheincn auf dcr Forinentnfcl iiicht als glcichschcnhlise Doppclpyranidrii, wciI die dart gewBliIteo Wcrthe
dcr n'ptcu (321) dcr Bcdingung iiicht gcniigcu, d a k sic
-
40
mit Kficlcsicht auf die Vorzeichen, in arithmetischer Progression stehen miissen.
Es ist uns aber bei der Entwicklung der Gestalten
des rhomboEdrischen Systems noch ein zweites secbsseitiges Prima ( n 2 F P y y ) vorgekommen. Da jeder Tra.ger im Aequator Iiegt, mithin soviel negative als positive
Eletnente elithalten mufs, so ist /3=2y, und die Gestalt
von der Form 2 1 f l f , d. b. b ’ 2 ~ ” d f 1
wie
, oben bemerkt ist. Nehmen wir uun einen dieser Trager in beliebiger Wiederholung , und combiniren ihn nacb einander n i t jeder der beiden Halbaxen, gleichfalls in beliebiger, jedoch fur beide gleicher Wiederholung, so wird
aus dem oben angeftibrten Grunde, eiue von 12 congruenten gleichschenkligen Dreiecken begrenzte Gestalt
hervorgehen miissen. Es ist aber, wenn a upd E vvieder
die Wpten der Halbaxen und des Tragers der Siiulenfliiche bezeichnen:
dt 2
a a; ( b 2 c‘ d’) E 2 bft c dft-b2 =EL€
-bU $-2 6 c U-€ d CT - E
t
a’ri +( b? C ’ ~ ) 2
C b)~c
fr f
dri ? ~ Z c’€$
E
L-&a
2 c c ’ ~ +E ~ C L
-
Beide Complexionen gehiiren nicht derselben Form an.
Bei der ersten sind die beiden Irleinern, bei der letztern
die beiden gr6tern Wpten gleich; die erstere gehiirt daher zur Form P r y , die letztere zur Form-ppy.
Eeide
sind RhomboGder, und die Gestalt mufs daher, uogeachtet sie als eiue einfache erscheint, von unserm Standptinkte doch als cine Combination zweier Rhoinboeder
betrachtet werdeir. Setzt man die Wpten des zweiten,
UUI sie von jeuen i u unterscheiden nnx, wahrend jene
P r y bleiben, so erhalt man, da P = c c + ~ E , y = a - e
-
a=- $ + 2 Y .
3
’
€=---
8-r
3 ’
und da
Z=CC+E,
x=c~-~E,
mithin a=-;
2ntx
s
E=
n--%
-3
+
41
4n--x
m+2x
(b) p = 3 ; y = 3 - '
Durch diese Gleichuagen, und da man den 2ten
Wpten auch =O, oder dem grllfsern gleichsetzen kann,
erhalt man aus jedem beliebigen Rhomboeder das dazu
gehfirige, welches mit ihm eine gleiclischenklige, sechsseitige Doppelpyralnide bildet. SO bildet die Elimentargestalt (/3=1, y=O) mit 221' (beide koinmen in dcr
Formentafel vor)
110 (n=l, x = O ) mit 411- 111'
mit 61'1' eine gleichschenklige, sechsseitige Doppelpyrami&.
Die Flachen des einen RhomboCders gehen
von den Polen des andern aus, und heben die Kanten
clesselben durch divergirende Schnitte hinweg, so dafs
iiberall nur Cornbinationskanten bleiben. Die Trager der
horizontalen Kanten gehen unverandert durch die Punktc
21f1', wie es auch nicht anders seyn kann, da die Ableituhg aus dem Prisma 21'l' geschehen ist.
Eine ganz ahnliche Bewandtnifs hat es mit den 12seitigen Doppelpyramiden,' welche man aus der 12sejtigen
Saule P y ' 8 (R4FPy51) herleiten kann. huch sie mussen hier aIs Combinationen zweier Skalenoeder angesehen werden, ungeachtet ihre sammtliche Seitenflichen congruente Dreiecke sind. Der Riirze wegen, und urn die
Methode der Eutwicklung etwas zu verandern, wollen
wir hier von der hisher strenge festgehaltenen Fordcrung,
dafs alle Wpten gauze Zahlcn seyn sollen, abgehen, und
-
-
in dem Zeichen der 12seitigen Saule l = v
r)'
setzen. Da
nun P=y+8
ist, weil der Trager der Ssule im Aequator liegt, so ist d a m der Ausdruck fur dieselbe:
bYfl
c'"&
wo v auch eine gebrochene Zahl seyn kann, jedoch griih e r als 1 ist. Combinirt man nuu diesen Tragcr mit
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jcder der beiden entgegcngesetztcii Ilalbaxen cniweder
einfach, oder mit einein beIiebigen Multiplum oder Submultipltrm ( p ) , SO erkilt man in jedein diescr Fiille eine
l2seitige Doppelpyramiclc, welche, wie leicLt zu iibersehen ist, aIs eine einfache Gestalt erscheint , ungeaclitet
sie aus Complexionen von verschiedener Form entstanden ist. Es wird nSmlich:
ai..?bY+1C'ud'l~=b~+Y3=L
CP-Y[]/*-~
Dagegen:
C 1 ' ~ c 3 b O - l c " ' d l^b~-Y--l
v.
c'p+ud'(L
d. F.
+1
&C+YCP+~~P-''-~.
Bringt man nun die Wpten eines beliebigen Skalenotders
auf eine dieser Formcn, indem mail p und o Jaraus bestimmt, so kann man aus der andern dasjenige SlralcnoEder enhebinen, welches mit ihm in Cobbination die
12seiiige Doppelyyrnrnide giebt.
1st dagegen cine 12sci-
-
r
tige Saule gegeben, so hat man durch ihre Wpten o =S
und kann fur p jede gauze und gebrocliene Zahl setzen.
Es ergiebt sich daraus zugleich, d a b es, iiber derselben
Basis uubestimmbar, viele l2seitige Iloppelpyramiden geben kann, deren jede aus 2 SkaleiioGderii besteht.
Es darf ubrigens keinesweges befremden, Gestalten
mit lauter gleichen Flschen dcnnoch als Combinationen
auftrcten zu schen, da dieses in andcrn Systemen nicht
anders ist, und dort von allen Krystallogaphen anerltannt
mird, %vie ja schon das Sseitige Prisma mit regelmafsig
sseitiger Basis als eine Coinbination zweier einfachen
Gestalt en augesehen werd en mufs.
Diese wenigen, aus dem Zusamruenhange Lerausgerissenen Beispiele, w-crden geniigen , von der Geschineidiglieit der auf diescln Wege gefundenen Ausdriicke und
Verfahrungsarten ciiien Begriff zu geben. In der n:ichstens erscheinendcn Fortsclzung meiner Schrift, zur physischcu Krystallonomie uiid geoinetrischeu Combinatioiis-
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lehre, mird sich Gelegenheit finden, den Gegenstand weiter auszufuhren.
Die schematische Darstellung, nach dieser Methode,
untersclleidet sich ,dador& von der der analytischen Geometric, dak man hier stets im allernschsteu Zusammenliange mit der Construction bleibt, und dafs dicser in keinem Augenblicke aufgehoben erscheint. Sie ist eigentlich
immer nur ein liurzerer Ausdruck fur geometriscbc Opcrationen, und eben hierin besteht, sobald man sich die
Hauptidee nur erst angeeignet hat, die grofse Leichtigkeit und Sicherheit in den Entwicklungen der VerhaltIiisse der Gestalten.
If. Ergebnisse einer Reihe hygrometrischer Beohachtungen auf dem Rigi und dem Faulhorn. Schreiben an Herrn LeopoZd v o n
B u c h , von L. F K K a m t z ' ) .
H a l l e i m April 1833.
ES hat mich sehr gefreut, da€s Sie es der Muhe fur
werth gehalten haben, die Ihnen initgetheilten Resultate
in P o g g e n d o r f f ' s Annalen (Bd.27. S. 365.) bekannt zit
machen; es ist mir dieses ein Beweis, dafs Sie meiae
Bemuhungen nicht fur ganz fruchtlos haltcn. Ich erlaube
mir, Ibnen gegenwartig die Thatsachen mitzutbeilen, welchc
sich auf das I~ygometrische'Verhaltender Atmosphare beziehen, VerhYltnisse, welche ich noch nicht so babe durchdenlien kannen, als die fruheren, da theils die ganze Uiitcrsuchiing gegcnwiirtig noch in ihrer Kindheit ist, theils
ueine eigenen Rechnungen erst vor wenig Stunden vol') Unrorhergesehcne Umstlnde und dcr Kcicbthum an Gegenstsn(leu, die eiher schleunigeren BeEmntmnchung bedurften, veranlarst e n mich nothgcdrungen, dicsen Auf'satz so langc r.uriichzuscliiC'
ben.
P
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