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Darstellung und Entwicklung der Krystallverhltnisse vermittelst einer Projectionsmethode.

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503
v
X,
Dnrsttdung und Enttvicklung der Krystullcwhahnissc VerrnilteZst einer ProjectionsmeIhode ;
con A ug.
Q l i e n s t e tlt.
D i e graphiscbe Methode des Hm. Prof. N e u m a n n hat
im Allgemeinen bei dem gelehrten krystallographischen
Publicum geringeren Eingang gefunden, als man von einer so grofsen Erscheinung hSttc erwarten sollcn. W i e
hihhst wichtig diese Darstellung fur die Einsicht in den
Zusammenhang der Glieder cines Krystalls ist, kann wohl
kaum dem Geubteren entgehen; ja man sollte glauben,
dafs diese Wichtigkeit Jeden niithigcn miifste, an die
Stelle aller anderen Betrachtungeu uiiverziiglicb diese zu
setzen. Uud dennoch seheu wir in den verschiedenen
krystallograpbischen Lehrbiichcru ilirer kaum erwYhnt !
Man halt nur abstracte matheinatische Formeln fest, und
glaubt durch Theorien das Gcbiet dcr Krystallograpbie
zu erweitern, unbekummert um die Anschauung der TOtalformen. Ein Hauptgrund licgt wohl in der Unbekanntschaft mit jenen N e u m a n n’schen Arbeiten, in
welche tiefer einzudringen sich in der That uos manche
Schwierigkeiten entgegenstellen; ein anderer darin, d a t
Viele gleich im Voraus durch die Colnplicitrit der Fip e n zuriickgeschreckt werden , obue zu bedenken, dafs
dieser Fehler nicht auf den Entdecker, sondern auf die
Natur selbst zuruckfallt. Die Natur ist nun einmal nicht
60 einfach in ihrer Encheinung, so wie man sonst von
ihr r a m e n hart. Sie giebt uns ein zuaammengesetztes
Bild, welches zu entziffern die Aufgabe des Naturforachers ist.
H a i i y und sein Vorganger R o m e d e L i s l e sahen
in den Gliedern des Krystah zuerst eineli gesetzmlfsi-
504
gen Zusammenhang. Doch die ganze Betrachtungsweisc
konntc Erst wahrhaft n a t u r g e d i genannt werden, als
der Hr. Prof. W e i f s durch die Auffindung der Zonen,
und durch die Zuriickfiihrung der Glicder des Krystalls
auf Richtungen, nicht nur der Wissenschaft einen neuen
und bei weitem grbfseren Impuls gab, sondern sie auf
lange Zeit, mi)chte ich sagen, abschlofs, urn in ihr alle
die Verhaltnisse an's Licht zu zieben, wozu uns jene
grofsen Gesetze die Mittel bieten. Der Entdccker selbst
hatte die schwierigsten uqd bis dahin noch nicht entrlthselten Systeme auf die lichtvollste Weise entwickelt, und
sein wiirdiger Schiiler N e u m a n n wufste durch seine
graphische Methode alle diese verschicdenen Glieder in
einem Totalbildc dem Auge vonustellen. Mag es aber
ein Vonug oder einMangel seyn, was ich nicht zu entscheiden wage, dafs sie an die Stelle dcr Fllchen ihre
Senkrechten setzt, so ist doch der Weg auf jeden Fall
indirect. Mandelte es sich aber urn ein Totalbild sammtlicher Glieder, wic es auf die unmittelbarste Weise in
die Erscheinung tritt,/ so gab der reichhaltige Stoff der
academischen Abhandlungen meines verehrten Lehrers einen so unerwartet nahen W e g an die Hand, dab man
ihn vielmehr einen 1;ingst gefiindenen, als einen unbekannten nennen miichte. Denn das Princip steht in j e
nen Schriften nicht nur ausgesprochen, sondern die ganze
Art und Weise der Rechnung sind eine stete Anwendung desselben I). Der ungetheilte Beifall, dessen sich
diese Darstellung von Seiten des Hm. Prof. W e i f s erfreute, berechtigt mich hinlbglich, sie eipes grufseren
Publicurns wiirdig zu halten,
Legm wb sanmilich F . h eines lGystalls dwch
ehen beh'ebken Pmkt, so schnean sich alle &j&
gen, wekhe in Ehe Zone fallen,
e k r L G e , dcr
Zonenaze dieser F & h .
Diese Dwchschndtshha
1) Hr. Prof.'Neumann im 3. 50 seiner Beitrjge zur Krystrllographic spricht das P&&p aucb schon kIar aus.
505
sind a k o die s&nm.t~%hm Zonmaxen der gegebenen
$‘&+en cines Systemes, und Iassen a& sie e h e belieb& FI&he schneiden, so ist dadwch h e gegensezI&e
Lage dem Auge sichibar gernachi.
W i e naturgemafs ein solches Verfabren sey, zeigt
die Thatsache, dafs die Krystallflachen nicbt our als Begranzungsebenen Realittit haben, sondern dais sie durch
und durch parallel mit sich dieselben pbysikalischen Differenzeu hervorrufen; dafs ferner die Verbindung mehrerer FlYchen in der Wirklichkeit nie eine bestimmte
Form bedingt, sondern Verziebungen und beliebige Ausdehnungen nach allen Ricbtungen statt haben, so d a b
man also nie eine’ willktibrlich gehahlte Gmndform feet
halten darf, soodern blofs die Lage der Flachen gegen
einander , wie sie gegenseitig parallel fortgeriickt ,stets
durch diesclben Zonen bedingt werden, milhin auch beziiglicb dieselbe flcigung beibehalten. Die Forrnen d s
solche sind verdnderficii, die Richlungen der Fliiciien
aber nebst den Zonm constant.
W i r nehmen zum erlautemden Beispiel den Feldspath, entlebnen die FlPcben aus der Weifsischen Abbandlung, und verweisen zum ntiheren Studium auf die
Abhsndlungen der physikalischen Klasse der Kfinigl. Academie der Wissenscbaften zu Berlin in d. J. 1820 und
1821, wo Seite 164 und 165 die FIBchen-AusdrUcke
also lauten:
T = [ a : b : m c3
P=[a
c : m b]
c:QDb]
y=[a’: 3 c : m b]
o = [ a ’ : + b : c]
n = [ a : f b : c]
M= [b :QD a :m c]
k= [a : QD b :Q) c]
z=[a: + b : - s c ]
u = [ + a ’ : j b : c]
x=[d:
:
506
u=[$a’: Qb: cJ
m=[;a
: ; b : c]
i=[
a :5c:acb]
d = [ + a : + b : c]
4=[;0’:
C:U J ~ ]
r=[3a1:5c:mb]
s=[ a ’ : + b : c]
g=[ b : C : U J ~ ] .
W i r nehmen annaherungsweise die drei Axen als.
rechtwinklig auf einander an, ziehen in der Ebeue des
Papieres (Fig. 1 Taf. V) die Axen u und b, und denken uns in ihrem Durchschnittspunkte die Axe c senkrecht aus der Ebene’tretend. Legcn wir nun alle obigen Fllchen durch die Einheit der Axe c , so wird jede
die Ebene des Papieres, welche durch a und b gebt, in
einer Linie schneiden. Diese Liiiien nennen wir Fluc h n f i e n oder Seclionslinien, so wie die Punktc, unter welchen sich die Flachenlinien schneiden, Zonenpmkie, weil sic der Durchschnitt der Zonenaxen mit der
Sectionsfllche (wie man die Ebene des Papicres durch
o und b gehend nenneu kann) sind. Die SSulenflachen
[a :b :UJ c ] , welche mit der Axe c parallel sind, miissen,
sollen sie durch die Einheit von’c gelegt werden, nothwendig durch die Axe c selbst gehen, mithin durch den
Punkt, in welcliem sicli a und b schneiden. Sic sind
durch die beiden Linien T..T dnrgestellt, die linter
sich den gegebenen Siulenwiokel des Feldspaths von
120° bilden, mit der Axe b aber einen Winkel von 30°
und mit der u einen von 600. Die Schiefendflkhe P,
welche von u nach c mit b parallel geht, trifft die Sectionsflache in der Linie P .P. Sie schpeidet jede der vorigen
beiden Linien T.. T in einem Zonenpunkte, von weE
&em am die gemeinschaftliche Zonenaxe beider Flachen
P und T nach c hinauf lauft. Eben so verhalt es sicb
mit der hinteren Gegenflache X , die mit der Sectionsebene die Linie,z.. z gemkin hat. Die Flzchc y, als
.
.
die dreifach schlrfere der hintereo Seite, gebt von a’
nncb 3 c parallel mit b, d. h. von $ 0 ’ nacli c. Sie trifft
folglich die Sectionsflache in y. ..y, und durch die Punkte,
in welchen sic die schoo vorhandenen Litiien schneidet,
zeigt sie, welche Zoneiiaxen sic mit den duroh letztere
rorgestellten Flachen bildet. Dic Rholnboidfljlcbe 0, die
von c naclr u 1 zu 46 gelit, ist durch die Fljlcbenlinien
0 . . o dargestellt.
Sie fallt mit P und 3’ in Eine Zone,
weil sic durch deren genieinschaftlichen Zoncnpunkt geht.
Die Fldclicn PI und k schneidcn die Seciionsebene in
deli Axen u und b selbst, weil sic ebenfalls parallel ,mit
sicli fortgeruckt werden mussen, um durch den Punkt c
zu gehen. Zielien wir auf dieselbe Weise die Linien fiir
die ubrigcn FISchen, und geben ilinen gleiche Buchstaben mit lelztercn, so bekommen wir das in Fig. 1 Taf. V
entworfcne Bild. Macht man sich wit dieser Figur vertrauter, so gcwnhrt man augenblicklicb : dafs sammlliche
Fiuchen, welchc in Eine Zone fallen, solche Linien habeii, die sich in Einem Punkte scheiden. Nur die
verscliiedencn Verticalzonen machen bier eine Ausnabme,
weil ihre Zoncnaxen der Sectionsebeue parallel gehen.
In diescn F:illen gehen die Flachenlinien nicht durch Einen Yunkt, sondern sie schneiden sich, wie men gewiihnlich sagt, im Unendlichen, d. h. sic sind mit einandcr parallel.
Die Klarheit, mit welcher sich das Bild vor unseren Augeu entfaltet, zeiclinet die Metliode am, und denken n i r ims c im Durcbscbnitte ,der Axen u tind b senkrecht BUS deren Ebene heraustretend, so kann man slmmtliche Zonenaxen leicht in der Vorstellung verfolgen, mitliin alle Ersclieinungen auffassen, welche nur , selbst in
den verwickeltsten Systemen, auftreten kilnneu.
L)a die Betrachtuogsweise, die Fllcben des Krystalle
in Zonen zusammenzufassen I jede abzuleitende Fllcbe
durch das Fallen in zwei oder mehrere Zonen allgemein
geometrisch zu bestimmen, und iiberdiefs das Gaoze in
.
a
508
der Abhlngigkeit von rechtwinkligeu Axen aufzufasseo,
Prof. W e i r s Eigentlrum ist, so k h n t e n
ganz des €h.
wir die Formeln iiber die Lage der Zooeopunkte und
die GrirCse der Wiokel aus den academischeo Scliriftcu
iiber Fcldspath ') und Epidot ') entlchoen, wo sic zuerst gelirst sind. Jedocl halte ich es nicht fur unzweckmiifsig, sie bier nocbmals mit Hinblick auf die Projection
zu gebeo. Wir bezeichnen zu dem Ende die Zonenpunkte mit dem allgemeinen Zeichen
;(-+-3, und ibre
(c ;-+p), oder wenn keine Verwechslungen stattfinden kUnoen, auclr schlecltbin mit (" b, ,
Zonenaxcn mit
a
b
und - die senkrechtcn AbstSodc dcr Zoncnpunktc
m
n
von den Axen bedeuteo. Da nun drci Punkte cine FISche bestimmco, *derPunk t c aufserhalb der Sectioosebene
u s stets gegcben ist, uod sammtlichc Fllchen durch diesen Puokt geheo, so h h g t nur allcs noch von der Bestimmuog der Gbrigcn zwei Punkte in der Sectioosebene
ab. W i r stcllcn uns demnach folgende Aufgabc:
Den Zonenpwkt zweier beliebken Fliichcnlhicn
wo
[E
m
:
t] k,];
und
:
, in welchem sie sich sclmeiden,
zu finden.
Nennen wir die senkrechten Abstiiade dieses
b
ncopuoktes von den Axen u und b, - und!-,
=
Y
halt sich nach Fig. 3 Tar. V:
U
SO
Zo-
ver-
1) V ~ g l .d. Ab&. d. phyrik. XI. aus d. J. 1820 nnd 21, S. 169
bir 186; dc$gl. Joe d. J. 1816 uod 1817, s.255 bis 282.
2 ) S. d. Abtb.
.or
d. J. 1818 und 1819. S.268.
a a
m' ' x
a a
-._
z m
-
1
-
m :m'
=I--:
n
I--
n'
Y
Y
:y-n'
m : m' = y - n
rn n'
m ' y - m'n =my
y(rn'- m ) = m ' n -mn'
m'n -mn'
b
m'-m
b
, oder -=Y=
m1-m
y m'n--mn'
Da nun nach:
1
I
1 1
(I):
-=-.
-- m'-m
x n"n' m'n-mn'
I : m'=rn'n-mn'
:m ' n - m n ' - m ' n ' t m n '
I :m'=m'n-mn'
: m'n-m'n'
x : I'=rn'n--mn': n-n'
m'n -mn'
a
n-n'
a
x=- , od. - =
n-n'
x
m'n-mn'
-
z:
Dieser Satz in seiner griMsten krystallonomischen Allgemeinheit beweist, dars jedcr beliebige Zooenpunkt '
(m
n' + m'n-mn'
m'-m
6,
cine rationale Beziebung auf die Aren bat, d. b. seine
senkrcchten Abstsode von demselben eind rationale Theile
ibrer Einheit, da m , n , m' und n' ganze oder gebrocbene Zablen bedeuten.
Dafs wir es ferner immer mit
eiufachen Zablenreiben zu thun baben, zeigen die gleichen Nenncr der Factoren von a uad b. Wir braucheo bier wobl nicbt zu erwsbnen, dafs die Fl3chenlinien in ibren Axenausdriicken negative Factoren bekommen, wenn sie die Aren nicbt,io dem Quadranten schneiden, der ibren Zooenpunkt enthrlt. Suchen wir n a p
; : :1
510
urn ein Zablenbeispiel zu nebmen, den Zonenpunkt, welcben die Rhomboidflache o mit der u macbt (mcinen wir
n3mlich die beiden, welche die den hinteren linken Quadranten einschliekenden Axen schneiden), so ist fur diesen Fall m = l , n=2 ; m'=3 , n'=4.
Substituiren
wir dieses in obiger Formel, so erhalteu wir:
3-1
(3.
:I:.4a+3. 2 - 1
.4
d. h. der Zonenpunkt fdlt in den vorderen rechten Quadranten, und hat gleichen Abstand von a und b. Behalten wir nun dicselbe FIUche o bei,' nebmen aber das
n der anderen Seite; welches die den liriken hinteren
Quadranten einschliekenden Axen scbncidet, so wird fur
dieseu Fall n'=-4, wabrend die iibrigen drei Grillken
dieselben bleiben; mithin bekommt dcr Zonenpunkt jetzt
den Ausdruck:
Die gemeinten Punkte sind leicht auf .Fig. 1 Taf. V zu
iinden.
Eine zweite Aufgabe ist diese:
Eine FIachenruu'cf d l t i n zwei bekannie Zonenpunkle,
und man sol1 ihre Axenausdriicke finden.
Die bekannten Zonenpunkte mijigen die Ausdrilcke
("+:
m )
und
g+:)
baben, M d man SOU die gesuchten Ausdrncke
-b finden.
Y
Es verhJt sich nach Fig. 3 Taf. V:
-a
<I
und
511
_ .. a_ -- _6..
1) a
X m Y
b
b
Y
n
--.
1 _ .1
_1. _1- __
folglich:
_1 _1
rn"m
y n" y
n'
rn : m'=nn'-ny
: nn'-n'y
clas heifst:
rn 'n n ' m 'ny=m n n ' -m n ' y
y ( m n ' -m n ) =m R n ' -m' R n '
nn'( m - m ')
Y= mn'-m'n *
Nnch ( 1 ) vcrbSlt sich :
m : x=n : n-y,
m
m
illso :
x=- ?2 (n-y ) =m- -y;
n
ni
rnn'(m-m')
s;U= rnn'-nr'n 9
also :
m2 n'--mrn'n-m2
n'+mm'n' -mm'n'mm'n
X=
mn'- m'n
mn'-m'n
'
m m ' ( n ' - n)
mithin:
. x=
#
rnn' -m n *
-
--
Die Flachenlinie
Zeichen:
:
i]
" Y
-
bekommt also dae allgemeine
mn'-m ' n
-a:
mm'(n'-n)
nn'(m-m')
mn'-m'5b1
*
So einfacli diese Formel auch seyn mag, SO werden wir
dennoch von ibr Gebrauch zu machen kaum in irgend
einem Falle genilthigt seyn. Fur die practische Anwendung suclien wir 'me vielmehr die Formel zu specialmiren. Verlegen wir zu dem Ende den einen Zonenpunkt
c,+:)
in eioe der h e n , z. B. in die a, so erhalt er
(GI+:)
zum Ausdruck; es ist also n'=m.
Sub16
512
tuircn wir nun in dcr allgemeinen Formcl diescs
n’, so erhBlt die Axe u den Coir‘fGcient
Q,
fur
1
- hingegcndic
m”
b den Coefficienten:
ma, -m’n
m
---na, ( m - m ’ )
n(m-m‘)*
Die Ftiichcnlinie , welche durch die Zonenpunkte
geht, crbiilt also:
n (m
-m’)
zum Ausdruck. Dicse Fonnel ist scbon sehr brauchbar.
Jedoch sie wird noch wichtiger fur die Kantcnzoneo.
Kantenzonen uennt nsmlich Mr. Prof. W c i Is votzugsweisc dicjenigcn wclclie durcli eiue Flsche dcr Verticalzone mit dcr Siiulenfliichc gebildet werden. So wird
also durch die Kante, wclchc dic ScbiefendflBcbe P mit
der Siiule T bildet, die erste eingesctzt. Ihr Zoncnpunkt ist auf unserer Intencctionscbenc icicht gefundcn,
denn wir durfcn nur den Durchschnitt dcr jeiicn Fllclicn
zugehfirigcn Sectionslinien suchen. Wciter wird durch die
3fach scharferc Fbche y eine zweite Kantenzone eingesetzt,
ihr Zonenpunkt ist da zu suchen, wo die der y zugehb
rige FlVchenlinie dic der Ssule T schneidet. W i r sehen also, dafs sammtliche Kaoteozonen ihre Zouenpunkte
in der FQchenlinie der Saule haben. Aber gerade diese
Puntte haben die willkommenc Eigenschaft, dafs ihre
senkrechten Entfernungen von den beiden &en, in der
heneinheit ousgedruckt , gleiche . Coefficienten fiihrcn.
Versetzen wir also den Zonenpukt
chenIinie von
T,80
+):
in die Fla-
wird bier m=n; uud eine Linie, wel-
chc durch die Zoneopdte
&+):
und
+:():
,513
b
,, wo m der Nenm-m
ner des Coefficienten des eincn Zonenpunktes, m' der
des andern ist. Die Rechnung ist SO fiir gewisse Punkte
zur einfachsten ,Subtraction und Addition gcworden. Erweisen wir das Gesagte an einigen Beispielen. Die Diajieht, sclineidet dic Axe b in
~
gonalflache n , wclche durch die Kantenzone
geht, uiid nufscrdem die Axe
+
:():
1
c1
in - schneidet, muls
1
b
durch - gehen. weil.die Differenz der Nenner jener bei4
den Punlitc 5-1=4
ist. So mufs die Rholnboidfliiche
O , welche in die Diagonalzone von z fdllt, d. h. durch
den Puiikt
(
:
t
i
)
ist.
a'
gcht, und ferner im Kantcnzonenpunkte
1
-
4 schneiden, weil 3-1=2
liegt, die Axe b in
Eine uothwendige Bedingung ist hierbei natiirlich,
1
dafs iuan jedem Coefficienten dic Form - giebt.
P
Wei-
ter folgt riun einfach , dafs man unserer FIBchenbezeichnung sogleich ansehcn kaiin, in welche Kantenzone die
zugehbrige Flache fiillt. So liegt die Fliiche u=[+u':tb:c]
in dcr Kantenzone
in der Kantenzone
("7'-+-3
; die
(;-+-9.
Flache
rn=[-u::b:~]
Daher sind ihre Kanten-
zonenpunkte auf der Sectionsebene eben so leicht gefunden. Weil nun ferner jede FlBchenlinie sPmmtliche
iibrigen Flkhenlinien achneiden mu& (wenn wir die Parallelitat als ein Schoeiden im Unendlichen ansehen), so
mufs auch jede Flgche in zwei Kantenzonen fallen. Die
eine ist immer dureh obige Addition gefunden, w&end
die andere durch Subtraction derselben Zahlen sich ergiebt. Der Gmnd davon ist einfach der, d& die Section+
Poggenderll'r A n d . Bd. XXXIV.
33
514
h i e der Flfclie die eine Asc in cincm andcrcu Quadranten sclincidct , als wo ihr Kairtenzonenpuiikt Iiegt.
Die Fliiche !J fi$llt also auch noch in die Kantenzonc
g+:),
uncl gerade in dieselbe auch nocli die Flache
m. Die Flachen, welclie durcli einen Knntenzoncnpunkt
gehen, kann man daher einfach durch Addition iind Subtraction controlliren. Mithin mlissen alle Flichenlinien,
welchc durch dic ersle Kantenzonc
p+b)
i i
geheii sol-
len, einen sdchen allgemeinen Ausdruck
:
):
ba-
ben, dab rn+n=l
wird. Geradc diese Zonenpunkte,
welche sich durcli dic einfachste Rechnung ergeben, sind
die wichtigsten des Systems. Die erfreuliche Einhchlieit
spricht empfehlcnd gcnug fiir die Methode.
Die sylnmctrisclie Vertheilnng dcr Zonenpunkte
auf die Sectionsflache, so wic ibrc einfache Beziehung
auf die Axcn, konntc hier noch Stoff zu Betrachtungen
darbieten; allein wir :cerfen iiiir eincn Blick auf die
Punkte der Kautenzonen, welche in der FlBchenlinic der
Saule
T liegen.
Vorn seheu mir bier
ferner ebenfalls hinten
+,
($+k), vorn
c+p),
dann
(T+t);
13 13 die
Zahlen
3, i , +, (k), &, T'J bilden einc Progression,
die immer von vorn nach binten, Qberspringt, es fehlt
blofs das Glied
welches sicb beim Epidot recht scbbn
findet, und y o sich die Reihe noch weiter fortsetzt.
Wir seben demnach hier das Geseh vor Augen gelegt,
welches der Hr. Prof. W e i r s in oben citirter EpidotAbhandlung zuerst entdeckt und bewiesen bat. Es scbeint
kaum eine andere Flzcbe Realitat zu baben, welche nicbt
in diese Kantenzonen fiele. Doch wir Ubergeben hier
+,
515
solche Retrachtungen, oboe daraus weitere SchlUsae zu
ziehen.
W i e getreu umere Projection das Krystallbild wiedergieb t , ersehen wir daraus, dafs man augenblicklich
gewahrt , welchc vorhandcncn Kauten am Krystall durch
bestiminte FlYclieii abgestuinpft werden. Betrachten wir
in dieseiii Siiiue die erste Kantenzone niiber, so sehen
wir darin die stumpfe und scharfe Endkante geschrieben,
welchc dic Siiule T mit der ScliiefendtlBche P macht.
Da die parallelen Flkhcn in der Projection stets in eine
einzige zusnininenfallcn, so werden die stumpfc und die
scliarfe Kan(c, welche eine beliebige FlBche mit den zwei
Parallelcii bildet, auf der Sectionsfliiche immer durch Nebenwinkel dargestellt. Die Fkche m,welche die stumpfe
Kante zwiscben P und T abstumpft, fallt richtig mit
ihrer Sectionslinie zwischen die der P und T, und zeigt
dadurch, d a t sie nicht den scharfen, sondern dessen
stuinpfen Nebenwinkel abstumpft. So fellt die M o m b o i d k h e o uingekehrt in dcn stumpfen Nebenwinkel,
d. h. sie stumpft den scharfen Winkel zwischen P und
7
' ab. Die uutcre Rhomboidflzche u stumpft wieder den
stumpfen Winkel ab,, welchen die Rhomboidflache o mit
der Siiule 2
' macht, da ihre Sectionslinie in den scharfen Winkel fiillt. So zeigt ein einziger Blick auf die
Figur eine Mengc Beziehungen dieser Art, die mit Worten nur weitleufig bcscbrieben werden. Ea bedarf nnr
einer ruhigen Betrachtung, um sich sogieich hinein zu
finden.
Umgekehrt weifs man aucb, wo eine Fleche bin gehbrt, wenn sic eine dieser schon gezeichneten Kanten
abstumpft.
Da nun alle m6glichen Kanten in der Figur sichtbar sind, so maasen es gleichfalls die ebenen Winkel
seyn, weil sie von jenen eingeschlossen werden. All8
haben ihren Scheitel in c , und ihre Sebenkel d e n
den Zonenpmkten. Ihre verWtnitnmgbige Gr6ibe d e r
33.
516
einander L a m man von den Sectionslinien unmittelba
ablesen.
Wollten wir jetzt einige Rechnungen ausfiihren mi
HUlfe der Figur, so liest man unmittelbar ab, dafs jedc
beliebige Zonennxc
ist, als der Lenge von der Axe c aus, bis wo sie dic
Sectionsflache scbneidet. Der Satz: dafs jede luiigliche
Kante in einer betrachteten Zone, und jede mfigliche
krystallonolnische Ausdehnung derselben, uur ein ratiov ~ + 6~2 + csey,z w S t sic11
nales Vielfaclies von
-
leicht aus jenem allgemeinen folgern , dafs alle Zonenpunkte in der Sectionsebene eine rationale Beziehung
auf die Axen. habcn.
Jedoch wir fiihlen ulls liier nicht
befugt, Satze der Art auszufiihrcn, sondern d e n vielmehr
zur Berechnung der WinkeL
B c r e elr n o ng d e r K a n t e n w i n k el.
Haben wir die Fliichen eines beliebigen Zonenpnnktes im Auge, so beziehen wir sie ilniner auf eine Flache,
welche durch die Are c wid durcli die Zoncnaxe des in
Rede stehenden Zonenpunktes gcht. F a r vide Purikte
ist schon eine solche Flache in der Figur, feblt sie jedoch, SO denken wir sie UDS. Der Cosinus fiir szmmtliche Flachen der Zone ist alsdann das Perpendikel vom
Mittelpunkte der Construction (wo sich die Axen u und
b schneiden) auf die Zonenaxen gefallt. Die Sinus der
verschiedenen Flachen .liegen dmmtlich in dem Perpendikel, welcbes wir in der Sectionsebene senkrecht auf
der Sectionslinie errichten, welche dejenigen Flache angehiirt, auf die wir alle anderen beziehen. Nehmen wir
den allgemeinen Zonenpunkt
G+:),
so iet:
517
w;+>-.
b L
cos
-
=--
b'
v-c:
at
tztz
denn ist io Fig. 1 Taf. V a $ die Zonenaxe, P y die
Sectionslinie der Fliche, auf wclcbe wir sBmmtliche Neigungen bcziehcn, ay die Einheit der Axe c , SO ist nur
das Perpendikel y6=y zu finden. Es verhalt sicL aber
y : g=c: m+n=c: V c t + g z ,
folglich :
Y=v-'
gc
cz +g:
1/-+s,
a2 b i
wie man atu der Fig. 1 Taf. V
m2
sogleich ersieht. Sucben wir nun den Sinus Tiir eine beliebige Flliche aus diescr Zone, deren Sectionslinie
g ist abcr
["
1L
:
L]
v.
mag, so miissen wir auf dcm Perpendikel,
s i y
in dem die Siuus liegen, dcn Theil suchen, welcber zwischcn dem Mittelpunkte der Construction und dem
Durchschnitte des Perpeiidikels mit der Sectionslinie von
a '1 liegt.
IF:;
Zu dem Zwccke zichen wir in Fig. 7
Taf. V y parallel mit der Are a, verlangern das Perpcndikel auf g bis es y schneidef, und suchen nun den
sin=x=ap.
Es verbalt sich :
y : -(3= z + z :
P
b
b a
Y : -=-:
v
n m
.z ,x=-
za
YY--n;
b2m
,y=--.
nva
'
518
daher :
oder :
Diesc Formel findcn wir in Neriinann's Bcitriigca zrir
Krystallonomic, 8. 17. Hr. Prof. W c i C s gab sic jcdocb schon friiher am Scblusse seiner Epitlot-hbliantlluo~.
( S c h l u l r iro n j c b s t c n
Heft.)
--
XI. Titansuure in hcssischer
Ticgrlinnssc.
Aufmerksam gcmacht durch dic Erschcinun;, dafs kohIensaures Alkali beim Scbmelzen in bcssischea 'l'icgcln cine
in der Hitze gclbc, und nach dem Erkaltcn trub wcifse
Masse giebt, baben die HH. B r e t t und B i r d in London
die Masse dieser Ticgcl chcmisch untcrsriclit, und dadurch
in derselbcn 3,s bis 25 und 30 Proccnt Titnnsiirirc aufgefundcn. Der Gebalt von 23 Procciit fiodet sich indefs
nur sehr selten, und zwar in den klcinen, selrr diinnen,
brkklichen und wit viclen sclrwarzcn, lralbinetallisch aussebenden Flccken besetzten Tiegeln. Als vonilglich, um
Titanslure von Eiscnoxyrl zu bcfreioo, clopfeblen sic:
die mit kohlcnsaurem KalI gcscbmolzene, und mit Wasscr
ausgezogene Tiegelmassc init Saltssure zu digcrircir , die
LBsuog mit Ammoniak fast zu sYltigea, dararif init HydrotbioniAmmoniak zu ftillen, das Scliwefeltitan init Salrniakwasser zu waschen, danu an dcr Luft und darauf im Sandbade zu trocknen, und nun durcli schwacbe Salzsiiure vom
Schwcfeleisen zu befreien. (Pt'd. Plug. Ser. I11 T. YI
p. 113.)
P
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