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Darstellungen der Streuamplituden.

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A N N A L E N D E R PHYSIK
7.FOLGE
*
~~
B A N D 12,
HEFT
1-2
*
1963
Darstellungen der Streuamplituden
Von I .
P. N e d e l k o v l )
Inhaltsubersicht
The different ways for expressing the dependence of the scattering amplitude
h (z) on its argument z are called representations of the scattering amplitude.
I n the component representation h ( z ) is expressed as a sum of more elementary
functions. The component representation is proved to be unique. The determination of h ( z )in regions with singularities is carried out for the cases which are
inaccessible for Oehmes method. I n suitable representations algebraic equations
of the Low type are derived. These equations may have an advantage over the
dispersion ones because the usual analytical properties of the scattering amplitude are necessary for their derivation. The possibilities for a natural classification of the scattering amplitudes are discussed.
1. Einfiihrung
Die Abhiingigkeit der Streuamplitude h (2) von der komplexen Veranderlichen z liiBt sich in verschiedener Weise ausdriicken.
In vielen Arbeiten wird die Streuamplitude mit Hilfe von vielbliittrigen Funktionen der komplexen Verlinderlichen beschrieben, wobei die Anzahl der Blatter
von Fall zu Fall verschieden ist. Es gibt aber Arbeiten, in denen diese an sich
n-bllittrigen Funktionen nur mit Hilfe einer Riemannschen FlLche oder zweier
solcher Fliichen beschrieben werden. Dies wird durch einen einfachen, spiiter zu
erkliirenden Kunstgriff erreicht.
Manchmal ist es aber bequemer, sich die Streuamplitude als Summe von gewissen Funktionen, z. B. Polen vorzustellen.
I n anderen Fiillen ist die Darstellung der Streuamplitude als eine bestimmte
Zahlenreihe vorteilhafter. Man sieht, daB die Funktion, die die Abhiingigkeit
der Streuamplitude von der komplexen Veriinderlichen beschreibt, sich auf
verschiedene Weisen ausdriicken laBt oder wie man auch sagen kann, verschiedene Darstellungen hat.
In $ 2 dieser Arbeit werden die Definitionen der wichtigsten Darstellungen
angegeben.
Eine besondere Rolle spielt die sogenannte Komponentendarstellung, bei der
die Streuamplitude als Summe der Komponenten, d. h. Funktionen mit gewissen
Eigenschaften, beschrieben wird. Die Rage der Eindeutigkeit der Komponentendarstellung wird in $ 3 studiert.
~~
1) Physikalisches Institut der Bulgarischen Akademie der Wissenschaften. Zur Zeit im
Vereinigten Institut fur Kernforschung, Dubna, USSR.
1 Ann. Physik. 7. Folge, Bd. 12
2
Annalen. der Physik. 7. Folge. Band 12. 1963
Die einzelnen Darstellungen sind aul3erordentlich bequem fiir die Formulierung und Losung verschiedener, in der Theorie der starken Kopplung auftauchender Probleme. Es ist eines der Ziele unserer Untersuchung, die E’ruchtbarkeit dieses Begriffes zu demonstrieren. I n $5 4 und 5 werden mit E l f e der
adaquaten Darstellungen zwei im allgemeinen Falle bis jetzt ungeloste Probleme
mit Erfolg behandelt. Beim ersten Problem in 9 5 handelt es sich um die Bestimmung der Streuamplitude in ihrem Definitionsbereich, wenn ihre Werte auf den
Schnitten des physikalischen Blattes bekannt sind. Diese Aufgabe wurde von
Oehme in dem speziellen Falle gelost, bei der die Streuamplitude auf dem
physikalischen Blatte analytisch ist2). Hier wird eine Methode angegeben, mit
deren Hilfe auch der allgemeinere Fall, bei der die Amplitude nicht im ganzen
physikalischen Blatte analytisch ist3), in Angriff genommen werden kann. Die
Methode beruht auf der Losung eines Anfangswertproblems fur die Laplacegleichung. Dieses Problem wird durch Verzicht auf den klassischen Begriff der
Korrektheit sinnvoll gemacht.
Diese Losung des zweiten Problems wird durch eine algebraische Darstellung
ermoglicht, in der die Streuamplitude als eine Reihe komplexer Zahlen betrachtet
wird. Es handelt sich hier um die Bestimmung der Streuamplitude aus den Bedingungen der Unitaritat, Crossing symmetry und Bnalytizitlit, was wir kurz als
das UCA-Problem bezeichnen wollen. Wie bekannt, werden mit Hilfe der Dispersionsbeziehungen Integralgleichungen fur das UCA-Problem fur den Fall aufgestellt, in dem es sicher keine Singularitaten auf dem physikalischen Blatte gibt.
Wenn dagegen die Streuamplitude im ersten Rie man nschen Blatte Singularitaten unbekannter Art aufweisen kann, gibt man keine solche Integralgleichungen an. Die in 0 4 hingeschriebenen Gleichungen des UCA-Problems sind
in algebraischer Darstellung angegeben. Sie sind den Integralgleichungen dadurch uberlegen, daI3 sie gleichzeitig fur den Fall, daB h(z)auf dem ersten Blatt
analytisch ist und fur den Fall, daB h ( z )nicht analytisch ist3),giiltig sind.
Zum SchluB wird auf die Moglichkeit hingewiesen, die Komponentendarstellung als Grundlage einer naturlichen Klassifikation der Streuamplituden zu
benutzen.
Wir betrachten die Abhtingigkeit der Streuamplitude von nur einer komplexen Veranderlichen. Wenn sie von n Vertinderlichen abhangt, so werden wir
n - 1 von ihnen als Parameter auffassen.
2. Definitionen
a) Normale Darstellung. Die Darstellung, in der h ( z ) als eine in ihrem
Definitionsbereiche analytische, im allgemeinen vielbliittrige Funktion betrachtet
wird, wird normale Darstellung genannt.
b) Zweiblattrige Darstellung. Die Darstellung,inderh(z) als eine zweibliittrige Funktion betrachtet wird, wird zweiblattrige Darstellung genannt.
Die Mannigfaltigkeit von Funktionen h ( 2 ) der komplexen Vergnderlichen
z =x
i y, die sich als Streuamplituden interpretieren lassen, ist sehr groB. Das
sind im allgemeinen vielblattrige Funktionen, wobei die Anzahl der Bliitter be-
+
*)
8)
R. Oehme, Physic. Rev. 121,1840 (1961).
P. V. Landshoff u. S. B. Treiman, Analytic Properties of Production Amplitudes.
Preprint
.
I . P . Nedelkov :Darstellungen der Streuamplituden
3
liebig sein kann. Die Tatsache, daD in der zweibliittrigen Darstellung die an sich
n-bliittrige Funktionen mit ETilfe von zwei Riemannschen Bliittern B1 und BII
beschrieben werden, bedarf besonderer Erkliirung.
. Im speziellen Falle elastischer Prozesse werden BI und Bn von der Mannigfaltigkeit aller n Bliitter dadurch ausgezeichnet, daD die sie verbindenden
Schnitte liings der x-Achse liegen. Alle iibrigen n - 2 Bliitter werden iiberhaupt
nicht in Betracht gezogen.
Wir bezeichnen mit L den Schnitt, wo irgendeiner der fortgelassenen n - 2
Bliitter oder BI in BI1 iibergeht. Wenn h ( z )in zweibliittriger Darstellung angegeben ist, so werden dann entweder h(z), oder irgendwelche Ableitungen von
h ( z ) ,oder beide Gr6iBen auf dem linken und dem rechten Ufer von L verschiedene Werte haben. Diese Behauptung ist fur alle Punkte von L richtig, denn
andernfalls wiire h ( z ) in manchen Punkten von L stetig und dies stunde im
Widerspruch zu der Definition des Schnittes.
Mit anderen Worten, bei der zweibliittrigen Darstellung wird die Information, die wegen des Weglassens der n - 2 Bliitter verloren wiire, durch die Unstetigkeiten der Funktion in den Schnitten wiedergegeben.
c) Einbliittrige Darstellung. Die Darstellung, in der h ( z ) als eine einbliittrige Funktion betrachtet wird, wird einbliittrige Darstellung genannt.
Der Obergang von der normalen Darstellung, worin h ( z ) eine n-bliittrige
Funktion ist, zur einbliittrigen Darstellung, in der h ( z ) eine einbliittrige Funktion ist, geschieht wie bei der zweibliittrigen Darstellung durch Einfuhrung
von Unstetigkeiten in den Schnitten.
d) Algebraische Darstellung. Die Darstellung, in der h ( z )als eine Reihe
von geordneten komplexen Zahlen a, betrachtet wird, die die Koeffizienten in
+-
der Potenzreihe h ( z )= 2 a, zm bedeuten, wird algebraische Darstellung ge-m
nannt.
e) Ko m p on e n t e n d a r st e llung. Bei der Komponentendarstellung wird h (z)
als Summe von gewissen Funktionen hi(z),j = 0,1, 2, . . .,n betrachtet. Die
Funktionen h,(z), j = 1, 2, . . .,n, sind in der Niihe von z = 00 analytisch. Dabti ist h,(w) = 0, j = 1, 2 , . . ., n, und aul3erdem stimmt der Teilbereich, in
dem h, (z), j = 1, 2, .,n, Singularitiiten hat, mit einem gewissen Teilbereiche,
in dem h ( 2 ) Singularitaten hat, iiberein. Der Bereich, in dem h, (z) analytisch
ist, enthiilt in sich alle Teilbereiche, in denen h, ( z ) , j = 1, 2, . . .,n, Singularitiiten haben.
Soweit uns bekannt, sind diese Definitionen bis jetzt nicht explizit formuliert worden. Dennoch sind verschiedene Darstellungen intuitiv von vielen
Autoren hiiufig benutzt worden. Das wollen wir am Beispiel der einbliittrigen
Darstellung zeigen. Man sagt hiiufig ,,die Funktion h (z) habe in der z-Ebene Pole
und Schnitte". Dabei wird nichts iiber die Riemannschen Bliitter, die sich auf
den Schnitten treffen, gesagt. Dann kann man annehmen, daD die Riemannschen Bliitter iiberhaupt nicht in Betracht gezogen werden, d. h. da13 die Betrachtung auf den Rahmen der einbliittrigen Darstellung beschriinkt ist.
..
3. Eindeutigkeit der Komponentendarstellung
I n diesem Paragraphen wird die Komponentendarstellung und insbesondere
die Frage nach ihrer Eindeutigkeit niiher betrachtet. Der hier eingefuhrte Be1*
4
Anmlen der Physik. 7. Folge. Band 12. 1963
griff der Komponentendarstellung der Streuamplituden ist ein Spezialfall der
Darstellungen von Losungen partieller Differentialgleichungen vom elliptischen
Typus4). Der Eindeutigkeitsbeweis, den wir hier angeben, ist dem entsprechenden Beweis in 4, iihnlich.
Es sei h ( z ) eine Funktion der komplexen Veriinderlichen z, die in einem gewissen Teilbereiche der z-Ebene analytisch ist. Der Bequemlichkeit halber machen wir die Voraussetzung, daB h ( z ) in der einbliittrigen Darstellung angegeben
ist. Bezeichnen wir durch G,, i = 1,2, . ., n, Gebiete der z-Ebene mit der Eigenschaft, daB jedes G, mindestens einen Punkt enthllt, in dem h (2) nicht analytisch
ist. Es sei Go ein Gebiet der z-Ebene, das alle G,, j = 1, 2, . . .,n, in sich enthalt.
Die Linien, die G,, j = 0, 1,2, . . .,n, umgrenzen, bezeichnen wir durch S,.
.
+ So-j=1
2 Gj analytisch und es gebe kein Paar von Bereichen
Gif Si und G, + S,, i = 1, 2, . . ., k - 1, k + 1, . . ., n, mit gemeinsamen
R
h ( z ) sei in Go
Punkten. Die z-Ebene bezeichnen wir durch G,.
Wir werden Funktionen h,(z), i = 0, 1, 2, . . ., n, init folgendenEigenschaften studieren :
1. h j ( z ) , i = 1, 2, . ., n, ist mindestens in einem Punkte von G j nicht analytisch. h,(z), i = l , 2, . . . , n, ist in G, - Gj analytisch, h,(z) ist in Go So
analytisch.
2. hj(m) = 0 fur j = 1, 2 , . . ., n.
3. Es gilt die Gleichung
.
+
Falls Funktionen hi (z), h", ( z ) , . - .,die die Bedingungen 1.und 2. erfiillen, einem
gegebenen G, entsprechen, werden wir voraussetzen, da13 in (1) nur ihre Summe
vorhanden ist.
h' ( z ) h" ( z )
Die Gebiete Gfwerden Nester genannt, die Funktionen h, ( z ) - Komponenten
und die Zerlegung von h(z)in Komponenten - Reduktionen. Wenn h ( z ) Streuamplitude ist, so wird die rechte Seite von (1)als ihre Komponentendarstellung
gedeutet.
S a t z . Es sein Gi, j = 1, 2, . . ., n, Teilgebiete von Go, die durchdieentsprechenden Linien S', i = 1,2, . .,n, begrenzt sind.
Wenn
1. das Gebiet Gj das Gebiet G, in sich enthllt,
2. kein Paar der Bereiche G,
S, und Gi Si, k = 1, 2, . . ., i - 1,i
1,
. ., n, gemeinsame Punkte hat,
dann ist h ( z ) eindeutig reduzierbar und ihre Komponenten folgen aus den
Formeln
+
+ -
.
+
.
+
+
Beweis. Die Existenz der Reduktion folgt unmittelbar aus dem Cauchyschen Satz. Wir wollen hier zeigen, da13 die durch (2) bestimmten Funktionen die
einzigen Funktionen sind, die den Voraussetzungen des Satzes entsprechen.
4)
I. P. N e d e l k o v , Doklady Akad. Nauk USSR, 144, 751 (1962).
I . P . Neddkov: Daratellungen der Streuamplituden
5
Zum Beweis der Eindeutigkeit nehmen wir die Existenz von Funktionen h? (z),
j = 0, 1, 2, . . ,n, an, die nicht alle mit den entsprechenden Funktionen h, (z),
j = 0, 1, 2, . .,n, identisch sind und mit deren ECilfe sich h ( 2 ) reduzieren liiBt :
.
.
?a
h ( z ) = J hf
(3)
(2).
3=0
Durch Einsetzen von (1)in (2) erhalten wir die Formel
Bei der Ableitung dieser Formel m d e die Beziehung
1
2ni
h k ( 5 ) d c= 0,
$
z
(s;)
k + 1 , . . ., n ,
j = 1, 2 , . . ., k- 1,
benutzt.
Eine iihnliche Formel folgt aus (3) und (2):
h3( z ) = -
1
~
2ni
$5-
dc,
j = 1, 2,
. ..,n ;
z E Go-
6%)
5 (Gj+ Sj).
j=1
Nach Substraktion der beiden Ausdriicke fur h j ( z )erhalten wir
Fiihren wir die Funktion
F,( z ) -
1
2ni
ein, so folgt aus (4)
Fj(z)= 0,
$ hi ( 5 ) - h? (5) dc
5-2
(82)
z€G0-
2 (Gi+ 8;).
j=l
Da Fj(z)
in a, - Gi analytisch ist, wird das Giiltigkeitsgebiet der obigen
Gleichungen breiter :
z E G, - Gj
F*(z)= 0,
.
Wir bezeichnen nun durch C einen Kreis mit dem Durchmesser R,der S,
viillig in sich enthiilt. I n der Formel
lassen wir R gegen 00 streben. Da hj ( z ) und hf ( 2 ) in ,a - Gj analytisch sind,
erhalten wir
1 f b (5) - h? (5)
h j ( 2 ) -hj*(z) = -2ni
Folglich ist
und daher
hj* ( 2 ) = h,(z),
5 - 2
(Sj)
j = 1, 2,
h,* (z) = ho (2).
. . .,n,
6
Annalen der PhyGk. 7. Folge. Band 12.1963
Es muD betont werden, daD die Eindeutigkeit nur dann garantiert ist, wenn
die Nester Go, GI,G,, - ,G,, fest sind. Die Wahl der Nester ist im allgemeinen
nicht eindeutig und eine und dieselbe Funktion h (z) kann verschiedene Komponentendarstellungen haben. Aus Darstellungen, die mehr als eine Komponente
enthalten, lassen sich mittels Zusammensetzung der Nester neue Darstellungen
gewinnen. Unter Zerspaltung der Nester verstehen wir den umgekehrten ProzeB.
Wenn z. B. das zerspaltbare Nest G j in die kleineren Nester Gj’und Gj”zerspalten
wird, so wird die Komponente h, ( z ) entsprechend in die Komponenten hj’ ( z )
und hF ( z ) zerspalten. Darstellungen, bei denen alle Komponenten unzerapaltbar
sind, nennen wir vollstiindig und ihre Komponenten elementar.
..
4. Die Gleiehungen des UCA-Problems in algebraischer Darstellung
Die algebraischen Gleichungen des UCA-Problems sind den entsprechenden
auf Grund der Dispersionsbeziehungen gewonnenen Integralgleichungen dadurch
uberlegen, daD mit ihrer Hilfe eine breitere Klasse von UCA-Problemen beschrieben werden kann. AuBerdem enthalten die Integralgleichungen Integrale
vom Cauchyschen Typus, die die Genauigkeit der numerischen Behandlung
wesentlich vermindern. Die algebraischen Gleichungen haben diesen Nachteil
nicht.
Das Low-Problem ist ein Spezialfall des UCA-Problems, bei dem die Streuung zweier Teilchen als elastischer ProzeB betrachtet wird. Wir beschriinken
uns auf das Low-Problem. UCA -Probleme vom allgemeineren Typus werden in
iihnlicher Weise behandelt.
Unser Ausgangspunkt ist die Arbeit 6), in der die Bedingungen der Unitaritiit, Crossing Symmetrie und Analyticitat in einbliittriger Darstellung angegeben
sind.
Wir bezeichnen mit h’(z’), z’ = x’
i y‘, die Streuamplitude und rnit X‘
diejenigen Schnitte der x’-Achsen im physikalischen Blatte, rnit deren Hilfe die
Bedingungen der Unitaritiit und Crossing Symmetrie formuliert sinde).
Ferner bezeichnen wir mit
z = f(z’)
(5)
+
+
eine Funktion, die X’auf den Umfang des Einheitskreises C der Ebene z =x i y
= r e* abbildet, wobei die Funktion h’ (2‘) in die Funktion h(z),das erste Blatt,
von h‘(z’) ins Innere von C und das zweite Blatt ins BuBere von C iibergeht.
Es ist zweckmiiBigh ( z ) in der bequemen einbliittrigen Darstellung zu betrachten.
Die Anschaulichkeit dieser Darstellung wird besonders klar in dem Falle, in dem
h’ (z’)drei, vier und mehr Blatter hat. Dann werden diese Bliitter in der z-Ebene
als gewisse Linienunstetigkeiten erscheinenund die Eigenschaften der komplizierten mehrbliittrigen Funktionen werden in einer Ebene anschaulich wiedergegeben.
Beim Low-Problem ist h’ (2’) analytisch im physikalischen Blatte, hochstens
mit Ausnahme des isolierten Punktes z = 0, in dem sie einen einfachen Pol hat.
5) P. H. Burnev, W. A. Mesterjakov u. I. P. Nedelkov, Ober eine Randwertaufgabe der Dispersionstheorie (russisch). Preprint, Dubna 1962.
- 1 und 1 5 2’ < 00.
6 ) In 1) z. B. entspricht X’ den Intervallen: - 03 < x’
I . P. Nedelkov :Darstellungen der Streuamplituden
7
Daraus folgt, daB in der z-Ebene h ( z ) eine Reihenentwicklung zuliiSt:
+W
2
h(z) =
a,zm,
( 6)
m=-x
wobei
am= 0 fur
m = -2, - 3 , .
. ., -co.
(7)
Die Zahlenreihe a-, . . .,a-2, a+., %,%, . . ., a, wird als algebraische Darstellung von h ( z ) betrachtet.
Fur die Bestimmung von a, wurde in 6, ein System algebraischer Gleichungen abgeleitet, das wir hier allgemeiner und symmetrischer anschreiben wollen.
Die Dispersionsgleichungen des UCA-Problems setzen im wesentlichen die
Analytizitiit von h' (2') im physikalschen Blatte voraus. Fur die algebraischen
Gleichungen des UCA-Problems ist diese Voraussetzung unnotig. Um die algebraischen .Gleichungen anzuschreiben, ist es z. B. hinreichend, daB die Reihe
pl 5 276, absolut konvergiert und daS die Funktion
a, cos m pl, 0
iw
m=--(x3
h(z)- h ( z , +i) -h(z,-i) analytisch in G* ist, wobei h ( z , +i) und h(z, - i )
Elementarkomponenten aus den Umgebungen der Punkte z = + E und z = --i
sind, und G* ein ringartiges Gebiet ist, das die Kreislinie C in sicb enthiilt. Es ist
wichtig zu bemerken, daB das Ringgebiet G* sehr schmal sein kann. Deshalb ist
das Fehlen von analytischen Eigenschaften der Streuamplitude3) praktisch kein
Hindernis f i i r die Aufstellung von algebraischen Gleichungen des UCA-Problems.
Dieser Umstand zeigt die groDe uberlegenheit der letzteren gegenuber den Integralgleichungen.
Die in 5) abgeleiteten algebraischen Systeme schreiben wir in der Form
+=
(t) (t)
+m
2
A h am + 2' (1+ d,,,) B$n
m,n=-ca
m=--w
t=l,2
k=-=
a:) a t ) = 0,
(8)
,...,N ,
, . . .,-2, -1, 0, 1, 2 , . . ., 00,
worin AtA und B g n behnnte Zahlen sind
N
2 (q8t
t=l
+
8 d8t)
.
a? = O,
(9)
. +
..
.,-2, -1, 0, 1, 2, . ., 00,
s = l , 2 ,..., N,
&={+I , wenn A ungerade,
-1, wenn n gerade.
G1. (8) druckt die Bedingungen der Unitaritiit und (9) die Bedingung der Crossing Symmetrie aus.
Die Matrix der Crossing Symmetrien
n = -00,
schreiben wir als Funktion eines gewissen, weiter unten zu erkliirenden Parameters p an. & ( p )ist dadurch ausgezeichnet, daB 1 und -1 zu ihren Eigen-
+
8
Ammlem der Phyaik. 7. Folge. Band 12. 1963
werten gehoren. Infolgedessen hat das System (9) eine nichttriviale Losung.
In 5, ist der Spezialfall dea Systems (9) angegeben, bei dem N = 3 und Q ( p )
den Gleichungen von Chew und L o w entspricht’).
I n 6 ) sind die Gleichungen (8) und (9) linearisiert und numerisch durch das
Newtonsche Verfahren gelost.
I n dieser Arbeit wollen wir die linearisierten Gleichungen verallgemeinern.
Wir nehmen an, die Matrix Q hiinge von einem (oder mehreren) Parameter p
ab, wobei fur p = lu, gelte:
Qst
(PI = Pst (h)= 7s 4, *
+
Fur die qs konnen wir nach Belieben
1 oder -1 wlihlen, aber derart, daS
unter den Eigenwerten der Matrix Q (h)die Werte 1und -1zu finden sind.
Das Problem (8), (9) mit der Matrix Q (A)zerflillt in N Probleme vom Typus
Castillejo, D a l i t z , Dysons), die manexplizit losenkann. Deshalb konnenwir
die Losungen &’(h),
t = 1, 2, . . ., N ; n = 0, 1, 2 , . . ., -00, als bekannt voraussetzen.
Nehmen wir jetzt an, Q sei eine Matrix, fur die keine explizite Losung der
Gleichungen bekannt ist ! Bezeichnen wir mit ru, den Wert von p, der der Matrix
Q entspricht, so gilt fur p = h, Q ( p ) = Q ( k ) = Q.
Bei der Linearisierung der Gleichungen in 6, hat man die Unbekannten a:)
durch at)
+ A p &?(’)
+
ersetzt und dann nur die in A p linearen Glieder beibe-
halten. Die Matrix Q ist unveriindert geblieben.
Hier fiihren wir die Linearisierung durch, indem wir in (8) und (9) az’(p)
(PI ersetzen. Nach der
und Q (p) durch Q (p) A p dQ
-durch at’(p) A p
+
+
Linearisierung gehen (8) und (9) iiber in
k=-
00
t=l,2
n=--00
9
,..., - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 ,..., fw,
,..., N ,
,..., - 2 , - l , O , l , . . . ,
+m,
~ = 1 , ,...,
2
N,
1, wenn n ungerade,
1, wenn n gerade.
&=I-
+
I n 5, werden linearisierte Gleichungen benutzt, um, ausgehend von einer
gewissen Niiherungslosung, durch die Newt onsche Methode eine exakte Losung zu bekommen.
7)
8)
G. F.Chew u. F. E. Low, Physic. Rev. 101, 1570 (1956).
L. Cestillejo, R. H. Dalitz u. F. J. Dyson, Physic. Rev. 101, 453 (1956).
I . P . Nedelkov :Darstellungen der Streuamplituden
9
Hier wird auf eine andere Anwendungsmoglichkeit der linearisierten Gleichungen (11)und (12) hingewiesen.
. . .,,da)
so, daB u
,, = p(l)<
Zunachst wahlen wir die Zahlen ,&),
<
) p(1) = (3) - (2) = - . . . = Ap genugend
< $3) < . < p(N = h und ~ ( 2 P
P
klein wird. Danach suchen wir die Losung der Lowschen Gleichungen fur die
Matrix & ( P ( ~ ) ) Die
.
Losung wird durch die Newtonsche Methode auf Grund
der Gleichungen (11)und (12) bestimmt, wobei die Rolle der Anfangsnaherung
die bekannte Losung des Low-Problems fur &(,u,,)= Q(p(l))spielt. I n iihnlicher Weise konnte man durch eine zweite Anwendung von (11)und (12), ausgehend von der schon bekannten Liisung fur &(,d2)),
die Losung f i i r Q(p(3))
finden. So konnte man fortschreiten, bis die Liisung fur &(,&)) = &(h)
gefunden
ist.
Es muB betont werden, daB in dem Falle, in deni dieses Verfahren anwendbarist, ausdenexplizit bekannten Losungen von Castillejo, D a l i t z , D y s o n
exakte Losungen des Low schen Problems erhalten werden konnen. Dabei wird
im allgemeinen die Mannigfaltigkeit der gefundenen Losungen gleich der N fachen Mannigfaltigkeit der Losungen von Castillejo, D a l i t z , Dyson.
Es ist ein wichtiger Umstand, daB es moglich ist fur die unelastischen Prozesse Gleichungen von Typus (8) und (9) anzuschreiben. Da, in diesem Falle
h (z)nicht uberall auf dem physikalischen Blatte analytisch sein kiinnte, muB die
Bedingung (7) fortgelassen werden.
Wenn man daher die den a, entsprechenden Unbekannten sucht, wird der
Index rn nicht zwischen -1 und +co wie beim Lowschen Problem variiert,
sondern zwischen -co und +w.
. .
6. Die Streuamplitude als Lasung des Chauchyschen Anfangswertproblems fiir
die Laplace-Gleichungen
Ftir die Bestimmung der Darstellungen der Streuamplituden ist es notwendig,
h'(z') in seinem Definitionsbereich zu berechnen, wenn seine Werte auf X' bekannt sind.
I n diesem Paragraphen wollen wir zeigen, daB man dieses Problem mit Hilfe
des Netzverfahrens erfolgreich behandeln kann.
Durch Anwendung der konformen Abbildung (5) fuhren wir X' in C und
h'(z') in h ( z ) uber. De A'@') auf X' gegeben ist, so kann man annehmen, da8
h ( z ) auf C bekannte Werte hat, die wir durch H = U
i V bezeichnen wollen.
Das ursprungliche Problem wird auf das Folgende zuruckgefiihrt:
Man sucht h (2) in der z-Ebene zu bestimmen, wenn bekannt ist, daB es in einbllittriger Darstellung angegeben ist, und daB die Werte
+
A(z) =H = U
121=1
+i V
gegeben sind.
Die Betrachtung von h (z) in einbliittriger Darstellung ist sehr bequem, aber
nicht notwendig.
Mit den Bezeichnungen des 3 ist es zweckmiiBig, dieses Problem durch das
folgende Problem zu ersetzen :
10
Annalen der Physik. 7. Folge. Band 12. 1963
Man sucht h ( z ) im Gebiet Go
+ So - 2 Gj
zu bestimmen, wenn es be-
j=l
kannt ist, daB es in diesem Gebiet analytisch ist, und wenn auf C die Funktionswerte
h ( z ) =H ( z )= U ( Z ) i V ( Z )
lel=1
lzl=1
(zl=1
+
Itl=l
gegeben sind.
Das ist im wesentlichen ein Problem der analytischen Fortsetzung, das fur
die numerische Behandlung unbequem ist. Deshalb ziehen wir die folgende Fcrmulierung vor :
Man sucht die Funktion u(x,y) im Gebiet Go So - G, zu bestimmen,
+
wenn es bekannt ist, daB sie in Go
2
j=l
+ So - i2
G, beschrankt
=l
ist und dort die
Gleichung
befriedigt, und wenn auf C die Werte von u und
bekannt sind :
u = U(q),
r=l
r=l
Bei der Motivierung der Bquivalenz der beiden letzten Probleme muB beachtet werden, daB u(x,y) und v(x,y) als konjugierte harmonische Funktionen
aus der Bedingung u(x, y) i v(x, y) = h(x
k y) bestimmt werden, und deB
(15) als eine der Cauchy- Rie mannschen Differentialgleichungen betrachtet
werden kann.
Das Problem (13), (14), (15) ist ein Spezialfall des Cauchyschen Anfangswertproblems fur elliptische Differentialgleichungen. Nun ist das Cau chy sche
Anfangswertproblem fur elliptische Differentialgleichungen im klassischen Sinne
unkorrekt. Die Unkorrektheit besteht darin, daB kleine Storungen der Anfangsbedingungen, die bei hyperbolischen Gleichungen die Losungen wenig beeinflussen, bei elliptischen Gleichungen zu groBen hderungen der Losungen fiihren
kdnnen.
Anscheinend war T. Carloman der erste, der darauf aufmerksam gemacht
hat, daB die Korrektheit im klassischen Sinne fur die elliptischen Gleichungen
nicht immer adequat ist. In manchen Fallen ist es angemessen, speziellere Kriterien fur die Korrektheit anzuwenden, bei denen das gegebene Problem schon
als sinnvoll betrachtet werden darf lo)ll). Das Anfangswertproblem fur elliptische Gleichungen wird sinnvoll, wenn z. B. die Losungen in der Klasse der beachrankten Funktionen gesucht werden.
+
9)
10)
11)
+
E. M. Landis, Doklady Akad. Nauk USSR, 107, 5 (1956).
N. $ronszajli, J. math. pures et appl., 36, 235 (1957).
L. A. T s c h u d o v , Doklady Akad. Nauk USSR, 143, 4 (1962).
I . P . Nedelkov: Darstellungen der Streuamplituden
11
Die Netzmethode zur Losunq des Anfangswertproblems fur die Laplacesche
Gleichung ubernehmen wir &us der Arbeit 11), wo das Tic h o n o v sche Kriterium
fiir die Korrektheitll) la) benutzt worden iet.
Es muD betont werden, daD wenn h' (2') auf dem physikalischen Blatte analj-tisch ist, sich das Problem (13), (14), (15) durch die Formel von Oehmea)
losen liil3t.
Wir werden uns mit dem Falle beschiiftigen, wo h'(z') auf dem physikalischen
Blatt Singularitaten unbekannter Art aufweisen kann. Dann kann man die
Oehmesche Formel nicht benutzen, und fur die Losung des Problems ist es
zweckmlSig, die Netzmethode heranzuziehen.
Am Beispiel der Berechnung der Stromung hinter einer StoSwelle ha,t M. D.
V a n D y k e gezeigt13),daS sich mit Hilfe der Netzmethode Anfangswertprobleme
fur elliptische Gleichungen losen laseen, die vie1 komplizierter als die Aufgabe
(13), (14), (15) sind.
Wie in 8 4 wollen wir voraussetzen, daS h ( z )- h(i, z ) - h(- i, z ) in G* analytisch ist, wobei G* den Kreisring 3 < r < r,; rl < l < r, darstellt, der keine
Singularitiitenenthiilt.Weiterhin werden wirin diesem Paragraphen h (z) - h (i,z )
- h (-i, z ) mit h (2) bezeichnenl*).
Wir werden beweisen, daD sich durch die Netzmethode h ( z )in G* berechnen
liiBt, wenn es auf C bekannt ist.
Durch die konforme Abbildung
z"=ilnz
+
geht die Ebene z = re@' in die Ebene 5 = 5
i 9 und die Funktion g=ii f i 5
in die Funktion h = u
iv iiber. Der Umfang des Einheitskreises C geht in
die reelle Achse %, und das Gebiet G* in das Gebiet 8* iiber.
+
Das Problem (13), (14), (15) formulieren wir nun um:
Man sucht ii(5,9) in G*, wenn bekannt ist, daD
und da13 die Werte von ii und !
!
!auf
@
2 bekannt sind :
-ii
-
=f(&),
#=O
wo f ( Z ) und (Z) zwei periodische Funktionen mit gleichen Perioden bedeuten.
L. A. Tichonov, Doklady Akad. Nauk USSR, 39, 5 (1943).
M.D. Van Dyke, Aero-Space Sci. 26, 485 (1958).
14) Die Asymptotik von h'(z') bei z
' + f 00, d. h. die Elementarkomponenten h ( i , z)
und h (4,
z ) werden als bekennt vora~sgesetzt~~).
15) C. Lovelace, Nuovo Cimento 22, 102 (1961).
la)
Is)
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Annalelz der Physik. 7. Folge. Band 12. 1963
Wir bezeichnen durch Y die kleinere der Zahlen In r, und Iln rl
sich Z(Z, 5) in die Reihe
I . Dann liiSt
I
entwickeln, die mindestens fur 1
5 < Y konvergent ist.
Wir schreiben G als Summe von vier Hilfsfunktionen,
,
= G I + 211 + ,111
+ GiiIv,
worin bedeuten :
iiI
=
- 1
2
a,
em?
cos m 2,
m=O
(1911)
Alle vier Reihen sind mindestens fur 121 < Y konvergent.
I n (19In) und (191v) ersetzen wir a durch -2 und in (19I) und (19III) Z durch
3c
E i. Dann stellt sich heraus, daB alle Funktionen &I, GI1,
Losungen
+
eines Problems vom Typus (16), (17),(18) sind. Nun ist dieses Problem identisch
mit dem gegenwartig betrachteten Problem. Deshalb durfen wir fur unsere
SchluBfolgerungen die Sitze der Arbeit benutzen. Auf diesem Wege kann man
zeigen, daB die Losungen mancher Netzschemen in der Grenze nach der Losung
G(i,2) des Problems (16), (17), (18) streben. I n analoger Weise bestimmt man
Z(Z, 2) und aus Z(Z, 2) und Z(Z, 5) die Funktion h'(z'). Der Bereich, in dem die
Bestimmung von h' (z') durch die Satze der Arbeit garantiert ist, enthilt Teile
des ersten und zweiten Blattes von h'(z'). Nun ist diese Beschriinkung allein
durch die Beweismethode bedingt. Mit Hilfe einer ancleren Methode 1aDt sich
beweisen, daB man durch das Netzverfahren h' (2') auch in vie1 breiteren, mehrere
Nester enthaltenden Gebieten bestimmen kann.
6. SchluS
I n dieser Arbeit wurden an verschiedenen' Beispielen die Vorteile der einblattrigen Darstellung gezeigt. Der wichtigste Vorteil besteht darin, daS es hier
keine mit der Vielblittrigkeit verkniipften Komplikationen gibt. Nach der Meinung des Autors ist fur die spezifischen Bobleme der Theorie der starken Kopplung die einblattrige Darstellung geeigneter als die Darstellung, in der h' (2')
uniformkiert ist. Aus diesem Grunde wurde die Uniformisierung in dieser Arbeit
nicht betrachtet.
Die algebraische Darstellung hat den Vorzug, daB mit ihrer Hilfe die Gleichungen des UCA-Problems auch in dem Falle angeschrieben werden konnen,
in welchem es auf dem physikalischen Blatte Singularitliten unbekannter Art
geben kann. Die dabei auftauchende Frage nach der Mehrdeutigkeit der LBsun-
I . P . Nedelkov :Dardellungen der Streuumplituden
13
gen, wie uberhaupt die Frage nach der Existenz und Mannigfaltigkeit der
Losungen des UCA-Problems, wird in dieser Arbeit nicht betrachtet.
I n der Arbeit wurde die Nutzlichkeit des Netzverfahrens gezeigt. Mit Hilfe
dieses Verfahrens l&Stsich die Streuamplitude in komplizierten Fallen berechnen.
I n der vollstiindigen Komponentendarstellung zerfiillt die Streuamplitude
in elementare Summanden, die in einfachen Flllen Pole oder Schnitte sein
k6nnen.
Die Anordnung, Gr6Se und Gestalt der elementaren Komponenten sind fur
die Charakterisierung der Streuamplituden sehr bequem. Infolgedessen laDt
sich auf der Grundlage der vollstlndigen Komponentendarstellung eine naturliche Klassifikation der Streuamplituden durchfuhren. I n dieser Klassifikation
werden die Streuamplituden in Klassen unterteilt, die durch Anzahl, Anordnung
und Gestalt der Elementarkomponenten bestimmt werden.
Mit Hilfe der natiirlichen Klassifikation wird es unter Umstanden moglich
sein, irgendwelche Merkmale zur Auswahl der physikalischen Losungen zu finden.
Du b n a , Vereinigtes Institut fiir Kernforschung, Laboratorium fur Theoretische Physik.
Bei der Redaktion eingegangen am 6. September 1962.
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