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Das abweichende Verhalten der Dmpfungskopplung von den bekannten Kopplungserscheinungen.

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ANNALEN D E R PHYSIK
5 . F O L G E * B A N D 30
+
HEFT 3
OKTOBER 1 9 3 7
Bas abweichende Vmhalten der DdwapfungskoppZumg
von den bekalzntm Eopplungserscheinungem
Von G e r h a r d S c h m e r w i t x
(Vortrag, gehalten auf der Gauvereinstagung der Deutschen Physikalischen
Gesellschaft in Jena am 5. Juni 1937)
(Mit 12 Abbildungen)
1. Zusammenfassung
Ein Beispiel aus der Geopbysik, die Kopplung eines Seismometers niit
einem Galvanometer, gab die Veranlassung, den hisher nicht naher behandelten
Fall der Dampfungskopplung zweier Systeme genauer zu untersuchen.
Hierbei stellte sich heraus, dah die in heiden Systemen auftretenden neuen
Koppelfrequenzen nicht, wie in den bekannten Fallen der Kraft- und Beschleunigungskopplung, auseinander geruckt werden ; sondern sich in Abhangigkeit
vom Kopplungsfaktor einem gemeinsamen Zwischenwert nahern. Bei gleichen
Ausgangsfrequenzen bleiben diese selbst bei starkster Kopplung unverandert,
was ebenfalls im Gegensatr zu den bisher bekannten Kopplungserscheinungen
steht.
Die Dampfungskonstanten zeigen hier etwa das Verhalten, das in den
anderen Fallen die Frequenzen aufweisen, indem sie sich in Abhangigkeit
vom Kopplungsgrad auch bei gemeinsamem Ausgangswert weit voneinander
entfernen, d. h. ein System nahezu ungedampft wird.
Diese Kopplungsart herrscht auch bei allen elektrischen Stromkreisen,
in denen sich gleichzeitig zwei MeSinstrumente vom Galvanometertypus befiuden, z. B. Strom- und Spannungsmesser. Hierbei konnen unter Umstanden
bei kurzzeitigen Messungen und Registrierungen erhebliche Veranderungen in
der Wirkungsweise der Mehinstrumente auftreten, wenn die Vorbedingungen
fur enge Koppluug erfullt sind.
Eine strenge Beriicksichtigung der Dampfungskopplung kann nicht nur
in diesem geopbysikalischen und allgemein-physikalischen Fall; sondern, wie
gezeigt wird, auch bei wichtigen technischen Anwendungen unumganglich
notwendig sein.
Von den Veroffentlichungen iiber Schwingungen gekoppelter
Systeme enthalt die Abhandlung von M. W i e n l ) in den Annalen
der Physik die fur jede Behandlung von Kopplungsschwingungen
zweier Systeme grundlegenden Differentialgleichungen. Durch die
drei moglichen, dort aufgestellten Falle der Beschleunigungs-, Kraftund Dhmpfungs- (bzw. Reibungs-) Kopplung laBt sich jedes aus zwei
fiir sich schwingnngsfahigen Teilen zusammengesetzte System nicht
1) M. W i e n , Wied. Ann. 61. S. 149. 1897.
Annalen der Physik. 5. Folge. 30.
11
210
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 30. 1937
nur in der Physik, sondern auch in der Technik darstellen. Auch
die Frage der Formulierung des Grades der Kopplung oder des
Kopplungsfaktors ist dort eindeutig fur alle Falle gelost. Durch
Zuruckfuhrung auf diese immer wieder auftretenden Grundformen
lieBen sich fur die erstgenannten zwei Kopplungsfalle auf den verschiedensten Spezialgebieten viele experimentelle Bestatigungen der
Theorie durchfuhren. Zu einer genaueren Untersuchung der dritten
Kopplungsart, der Dampfungskopplung, ist es bisher noch nicht
gekommen, da der EinfluB derselben entweder als geringfiigig betrachtet wurde - oder es lag daran, dab, wie man aus manchen
zusammenfassenden Darstellungen iiber ~opplungsschwingungenentnehmen kann, diese Kopplungsart von den beiden anderen Fallen
bisher als nicht wesentlich verschieden angesehen wurde.
Bei der Kraft- nnd Beschleunigungskopplung lassen sich, wie
bekannt ist, die Auswirkungen in ihren Eigenschaften qualitativ
zusammenfassen : Die beliebig verschiedenen oder auch gleich groBen
Eigenfrequenzen der beiden Ausgangssysteme werden durch diese
Kopplungen immer auseinander gezogen und die Ausgangsdampfungen
einander genahert. Der erste Fall la& sich ohne DampfungseinfluB
streng und allgemein beweisen I). Auch mit Beriicksichtigung der
Dampfung sind , soweit Naherungsrechnungen und Versuche vorliegen, Abweichungen von den erwahnten Eigenschaften nicht festgestellt worden.
Den AnlaB zu einer eingehenden Untersuchung der Frage,
ob bei der dritten Kopplungsart gleichartige Veranderungen hervorgerufen werden, gab ein geophysikalisches Beispiel, bei dem Vorversuche und Rechnungen gezeigt hatten, daB sich hier das Verhalten
mit den bekannten Kopplungserscheinungen nicht in ubereinstimmung
bringen lie& Da diese Dampfungskopplung auch sonst (vgl. S. 2171’218)
in der Physik unerkannt auftreten kann, soll die hier noch bestehende Lucke in der Kopplungstheorie durch eine moglichst allgemein gehaltene Behandlung der Rechnungen und durch geeignet
ausgewahlte MeSbeispiele ausgefiillt werden.
Auf eine friihere Veroffentlichung2), in der nach der nberschrift
dieses Problem bereits behandelt zu sein scheinen konnte, soll hier
noch kurz eingegangen u-erden. I n den beiden dort (S. 155) aufgestellten als allgemein bezeichneten Grundgleichungssystemen sind
die vier Koeffizienten K der ersten Ableitungen einander gleichgesetzt. Hiermit stehen diese im Widerspruch zu den von R a y l e i g h
1) Z. B. C1. S c h a e f e r , Einf. in d. theor. Phys. Bd. I S. 265-266.
2) E. H a h n k a m m , Erzwungene Schwingungen reibungsgekoppelter
Schwingungssysteme. Ztschr. f. angew. Math. u. Mech. 13. S. 183-202. 1933.
Schmerwitx. Das abweich. Verhalten der Dampfungskopplung usw. 21 1
und M. W i e n aus den Grundgesetzen der Physik abgeleiteten allgemeinen Kopplungsgleichungen, deren richtige Form in der klassischen
Arbeit von M. W i e n S. 153 (2) enthalten ist.
Deren Nichtbeachtung fiihrt zunachst zu zwei willkurlichen,
mit den erwiihnten Kopplungsfaktoren nicht iibereinstimmenden
neuen Kopplungswerten. Weiter gibt sie Veranlassung zur Einfiihrung eines besonderen Kapitels uber: ,,Versagerfa1lei4 und
,,Versagerkurven", das sich bei Beriicksichtigung der einwandfreien
Ausgangsgleichungen ganz eriibrigt hatte. Denn die Auswertung
der richtigen Dampfungskopplungs-Gleichungen fuhrt, wie in der
folgenden drbeit dargelegt wird, gerade zu derjenigen eigenaxtigen,
bisher unbekannten Erscheinung, die dort (S. 189 mitte) zu der
Definition von Versagerfallen Veranlassung gab. Solange iiber die
Verhaltnisse bei reinen Eigenschwingungen derartig gekoppelter
Systeme keine Klarheit besteht, kann auch yon einer Behandlung
der kornplizierteren erzwungenen Schwingungen noch keine einwandfreie Lasung erwartet werden.
Dieser ausfiihrliche Hinweis soll, wegen der wichtigen technischen
Anwendungsmoglichkeit dieser Kopplung auf den F r a hm s schen
Schlingertank und den KreiselkompaB, eine Anleitung zur Klarstellung dieses Problems unter den hier abgeleiteten neuen Gesichtspunkten geben.
I n der kurzen Mitteilung von M. S c h u l e r l) kann man, falls
es sich in der Abb. 9 urn experimentelle Kurven handelt, ebenfalls
fur die bier bei diesen Anwendungen gezogenen Folgerungen eine
Bestatigung sehen.
2. Die Bewegungsgleichungen zweier Systeme mit Diimpfungskopplung
I n Anlehnung an die in der Physik ubliche Bezeichnungsweise
sind die allgemeinen Differentialgleichungen der Bewegung zweier
Systeme mit Dampfungskopplung wie folgt zu schreiben :
dPx1
dx
+ 2 h1 2
d t t k$,
d ta
+2 0
1
dx2
h1 = 0,
dt
Hierbei bedeuten: h, und h2 die Dampfungskonstanten; k, und k,
die Kreisfrequenzen; c1 und c2 zwei Faktoren, welche den BeSysteme aufeinander angeben.
trag der Ruckwirkung der beiden -__
0, bezeichnet. Die DampDer Kopplungsfaktor wird mit cr = )'c1
fungen und Frequenzen konnen beliebige Ausgangswerte besitzen,
der Kopplungsfaktor jedoch nur Werte zwischen 0 und 1.
1) M. S c h u l e r , Eine Berichtigung der Gleichungen des Schlingertanks.
Ztschr. f. techn. Phys. 10. S. 369. 1929.
14*
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 30. 1937
212
Durch zweimaliges Differenzieren und Einsetzen erhalt man
fur
und x, je eine Differentialg1eic.hung vierter Ordnung von
jeweils gleicher Form:
db x,
x
d2 x
+ 2(hI + h,) - +
+ (b12+ kZ2+ 4h1k2[1- 4)-+
a3
+ 2(h,
k22+
h, kIZ)*a x
+
k 1 2 . k22
. 2, = 0 .
Damit diese Gleichung gelost werden kann, miissen die Wurzeln
der charakteristischen Gleichung bekannt sein, welche folgende
Form hat:
r 4 2 (h,
h,)r3 (klz + kZ2+ 4 k, h, [l cr2])r2
+ 2(h1k,' h, k12)r+ k 1 2 *k2' = 0 .
+
+
+
+
-
Nach Einfuhrung der neuen Veranderlichen x = r
man die Form:
+ z - ([h,- h,] [k,2 + (+h , - h , 4 + (+)h , - h
*
I
+
- k22 + h2*]+ 4[h,
h12
(k,2
- ) L I Z + k,2
erhiilt
a
+ h,]
*
-
h, / L 2 8)
- h,2)
+
( k , 2 - h12)(k,2 - h,Z) - h, IL, (h, + h , ) G2
~ = 0.
Die Wurzeln dieser Gleichung mussen, falls die Losung wieder zu
periodischen Funktionen fuhren soll, komplex angesetzt werden
und die Form haben:
x,=,!?+i.ro,; zz=,!?-i.ol;
x 3 = - , ! ? + i . w z ; z4=-jj) - ' L .' 0 2 .
DaB hier in den vier Wurzeln der gleiche p-Wert vorkommt, folgt
aus der Form der G1. (3), n-o der Koeffizient des z3-Gliedes
Null ist.
Die gesuchten Wurzeln der charakteristischen Gleichung
lauten d a m
I r1
= {3
h, +
.
- ___
+z.w
11,
1
=-a
1
+ i . w 1.,
14)
-
1' = - 11$
t-h - U - '
I
4
2
z w2 = -
a, - i. W $ .
Es konnen aber auch ein oder zwei Paare reeller Losungen
vorhanden sein. Hierdurch werden die Falle beliebiger aperiodisch
gedampfter Bewegungen erfaBt! welche, wie spater gezeigt wird, bei
Schmerwitx. Das abweich. Verhalten der Dampfungs7copplung usw.
213
dieser Kopplungsart eine groBe Rolle spielen. Urn die Einfuhrung
neuer Bezeichnungen hierfiir zu vermeiden, sollen diese durch
imaginare Werte von w1 und w2 gegeben sein, so daB dann i w1
und i w, reelle Zahlen darstellen. Die Form der in (4) aufgestellten Wurzeln bleibt somit in allen Fallen erhalten.
Unter diesen Voraussetzungen treten die Losungen der Differentialgleichungen in folgenden drei Formulierungen auf:
(wl und w, reell) Losung durch zwei periodische Funktionen:
s1 = A , . e - a l . s i n ( w , t + y , ) + B, . e - a s t . s i n ( o , t + y , )
(51
X, = A a e - - 6 l t . sin(w, t + y,') + B, .
. sin (w2t y,'),
-
{
-
+
reell; w2 imaginar) Losung durch eine periodische und eine
aperiodische Funktion:
x1 = A 1 e - a i l sin (w, t + rp,) + e - dat (cl emad + c, e - m a t )
(6)
x2 = A , .e-4t.sin(w1t +yl')+ e-s,1(c,ewr'+c,e-m1t),
(w,
-
{
-
(0,
und
(7)
{
w2 imaginar) Losung durch zwei aperiodische Funktionen:
z = e-&t(C1 e ( o l t + C 2 e - W l t ) + e-&t(cl e w z t + c, e - m s t )
z2 = e-dit(C,ewlt+ Cle-ml') + e-W(C3ewit + cge-mit).
3. Durchfuhrung der Losung fur den Einzelfall
bei beliebigen Ausgangswerten
Mit dem Hinschreiben der Formeln ( 5 ) bis (7) ist das Losungsverfahren jedoch noch keineswegs abgeschlossen. Die neuen Frequenzen, Dampfungen und Konstanten miissen noch als Funktionen
der Ausgangswerte ermittelt werden. Unter diesen Voraussetzungen
laBt sich eine Losung in geschlossener Form nur noch in Sonderfallen oder unter Vernachlassigungen aufstellen.
Dieses Ziel bei ganz beliebigen Ausgangswerten zu erreichen,
gelingt deswegen nicht, weil die zur Bestimmung der neuen Frequenzen
wl; o, sowie der Dampfungen 4; S2 notwendige Auflosung der
charakteristischen Gleichung vierten Grades nicht in einer einzigen,
alle Falle umfassenden Formel moglich ist.
Weiterhin lassen sich auch die Werte der Konstanten in (5)bis (7)
nicht unmittelbar als Funktionen der gegebenen Werte bzw. der
Liisungen der Gleichungen vierten Grades hinschreiben. Die Rechnung
kann zwar fiir jeden beliebigen Ausgangswert l) bis zum Ziel durchgefiihrt werden; sie fiihrt aber zu derartig langen Ausdriicken, da6
auf eine Mitteilung bier verzichtet werden mug. AuBerdem ist eine
1) Hierbei muEte jedoch, wie mir Herr Dr. W e i s e vom Math. Inst. in Jena
zeigte, ein von dem bisher ublichen Verfahren verschiedener Losungsweg
eingeschlagen werden.
Annalen der Physik. 5 . Folge. Band 30. 1937
214
Kenntnis der R e r t e der lionstanten und der Phasenverschiebung
in der Mehrzahl der Falle nicht so wichtig wie die der neuen
Frequenzen und Dampfungen.
Das im folgenden naher ausgef iihrte allgemeine Berechnungsverfahren fur die Kopplungs-Kreisfrequenzen und -Dampfungen bei
gegebenen beliebigen Ausgangswerten en thalt den Vorteil, daB es
auch auf die beiden anderen Kopplungen (unter entsprechender
Veranderung der Parameter a, b, c) bei ebenfalls beliebigen Ausgangswerten anwendbar ist.
In Anlehnung an von P. D r u d e l ) eingefuhrte Abhrzungen
und unter Verwendung der Gleichung vierten Grades mit den
Wurzeln z, , z2 , z3 , z4 in der Form:
(2
- Zl)- (2 - zz)
(2
-
- z3) (2
- z4)= 0
ergeben sich durch Losen der Klammern und Vergleich mit den
G1. (3) und (4)Kap. 2 die Beziehungen:
(8)
w12+w22-
(9) 2 P(w,
1
2+k
2
(h, - h,)”
- 411, h2c2= a .
-k22-h, ’f h2’)+ 4(h,+h2)h,*h2- qz=b .
2 - - h12 - h 2 2 -
- wa2)=(h,- hl)(kl
___
2
Da sich die rechten Seiten aus den jeweils gegebenen GroBen
zusammensetzen, werden diese mit den Parameterwerten a, b, c bezeichnet. Mit diesen drei Gleichungen sind schlieBlich die drei
Unbekannten w,, m2, p und hieraus nach (4) auch 8, und J2 in
allen Fallen bestimmbar.
Zu diesem Zwecli zieht man von der ins Quadrat erhobenen
G1. (8) die mit 4 multiplizierte G1. (10) ab. So erhalt man:
(ro12- w22)2- 8 pz(w12
(11)
+ w z 2 )= a2 - 4 C.
AuBerdem ist:
(121
b2
(13)
Hieraus folgt :
a
+ 2 p’
b’
= [(w12
2
Setzt man
= 4fP(m12
+
= W12
m22)
m12 + w22 = z ;
+
- a]
fd12
- w2 ”)”
m22.
*
(w12 - wz”)’.
- m22 = y,
1) P. Drude, Ann. d. Phys. 13. S . 534. 1904.
Schmerwitz. Das abweich. Verhaiten der Dtimpfungskopplung usw. 215
so ist:
b2
2
-=
(14)
y y x - a)
und
a2
- 4c
2 bzx
y? - __
Y2
.
Die Auflosung dieser beiden Gleichungen fuhrt z. B. fur x auf
eine Gleichung dritten Grades, und zwar:
~ ~ - 2 a x ~ + ( ~ a ~ - c ) . x + a . c - 1- a 3 - - b2= o .
8
4
Mit z = u
+
9a
Ierhalt
3
sie die Form:
b2
as
Falls fur die Koeffizienten p und q eingesetzt werden:
u3+p.u+4 =o.
Die Lasung lafit sich von hier ab nicht mehr allgemein weiterfuhren,
positiv ist, durch die C a r -
da diese fur den Fall, da6
danische Formel, falls diese GroBe negativ ist, nur durch trigonometrische Rechnung gefunden werden kann.
Mit Hilfe von (14) und (8) findet man dann unmittelbar auch y
und ,8. Somit waren alle vier gesuchten Werte ol,w2, 4,S, bestimmt. Ohne die vorhergehende Berechnung von x und y la6t sich
@ ebenfalls direkt aus einer Gleichung dritten Grades ermitteln,
(12) und (13) in (10) eingesetzt ergeben:
a 2 - 4 c = - - - b2
4P
8 P a a - 16p4.
Durch Umformung erhalt man:
p6
a
f2
.p4
up- 4 e
bP +1
6.p2 - 64 - ”
woraus sich /?, immer berechnen Ia6t.
Aus dem Vorzeichen von p4 und dem der Konstanten b2/64 der
letzten Gleichung schlieSt man, daS immer nur eine Wurzel
reel1
und zugleich positiv sein kann. Womit die beiden Werte
eindeutig bestimmt sind.
Man erhalt sie durch Einsetzen von Pz = z - _fl . Dann wird
6
aus der letzten Gleichung:
23-
($+ +) . z -
as
a- c
b2
864
+ 24
- 64
=o.
Nach diesem Schema lassen sich somit in jedem beliebigen Fall
die gesuchten Kopplungswerte feststellen.
Annalen der Phgsik. 5 . Folge. Band 30. 1937
216
d. Durchfuhrung der Lasung fur einen Sonderfall
Unter der Voraussetzung, daB die Frequenzen und die Dampfungen der Einzelsysteme einander gleich sind (k, = k, = k) und
(h, = h, = h) fiihrt bereits der etwas einfachere Losungsansatz zum
Ziel, in dem vorausgesetzt ist, daB yF1
=yl' nnd y z = ya'. Die
charakteristische Gleichung laBt hier vier allgemeine Losungen zu ').
Mit diesen ergeben sich die gesuchten Frequenzen und Dampfungen
direkt als Funktionen des Kopplungsfaktors:
(15)
w1 =
p-hZ(1-
(16)
w2 =
@+-h2(1+6)2;
0)2;
8, = h ( l
- b),
8,=h(l+o).
Wenn man beachtet, daB hier f u r das Verhaltnis der Amplituden
h - u , und --Bl - h - U l bestehen und die vier
die Beziehungen 8,
4 =
B,
az-h
letzten dann noch unbekannten Konstanten [im Fall (6) z. B. A , ,
y1,.cl , c2] sich erst durch Festlegung der willkiirlichen Anfangsbedingungen ergeben, so ist der Bewegungsvorgang in allen Einzel-
= 5- =
heiten festgelegt. Denn es ist auch: 5
cg
C,
h-a =1
B
S, - h
Ba
.
Dem im folgenden durchgefiihrten Beispiel entsprechend lauten
diese Anfangsbedingungen:
t=0;
(1 x1 -0,
x l = 0 ; --
t=O;
x
dt
-=o.
=---a
2
2 2
O;
dt
Sie besagen: Das Instrument I1 wird gegen einen Anschlag (- -a,)
auBerhalb der Nullpunktsstellung gelegt und, nachdem sich das Instrument I beruhigt hat x1 = 0; 2- 0 , freigelassen.
i
dx
at
1
Die mathematische Formulierung dieses Bewegungsvorganges
lautet dann :
I
I
Der besseren obersicht wegen sind fur 0, und m 2 ; S, und 8, die
Formelwerte (15) und (16) nicht eingesetzt; auBerdem ist der Aus1) G. S c h m e r w i t z , Ztschr. f. Geophysik 12. S. 206-220.
1936.
Schmerwitz. Das abweich. Verhalteiz der Dampjungskopplung usw. 217
druck yO1
= arctg 3 fiir die Phasenverschiebung beibehalten. Kl und
6,
K , sind die Tragheitsmomente der beiden Systeme.
In analoger Weise lassen sich auch die beiden anderen Falle
(zwei periodische oder zwei aperiodische Losungen) in ihrer endgiiltigen Form aufstellen. Der EinfluB des Kopplungsfaktors ist
nicht unmittelbar zu erkennen, da er in den erwahnten Abkiirzungswerten steckt!
Dieser ist durch die Dampfungskonstanten l) festgelegt. Wenn
a,, b, die Darnpfungskonstanten der freien Systeme und a,, be die
hinzukommenden Dampfungsanteile des jeweils aul3eren Stromkreises
eines arretierten Systems auf das andere schwingende System bezeichnen, so lautet der Kopplungsfaktor:
ein Wert, der niemals groBer als 1 sein kann.
5. Vergleich der Theorie mit dem Experiment
Die Versucbe wurden mit der in letzter Zeit sehr verbreiteten
Anordnung zur galvanometrischen Registrierung von Seismometerbewegungen ausgefuhrt. Der Grundgedanke dieser von B. G a l i t z i n2)
Abb. 1. Dampfungsgekoppeltes System.
Galvanometer mit Seismometer. Halbschematisch dargestellt
eingefiihrten Methode, die sehr starke VergroBerungen zulaBt, ist
folgender : Die (hier horizontal bewegliche) Masse M des dem System X
I
entsprechenden Seismometers (Abb. 1) ist mit einer oder mehreren
Induktionsspulen S p starr verbunden. Diese bewegen sich in dem
Feld eines kraftigen feststehenden Permanentmagneten. Die hierdurch
induzierten Strome werden aus dem beweglichen System herausgeleitet und einem entfernt aufgestellten Galvanometer (System I)
zugefuhrt. Hier konnen dann bei photographischer Registrierung
1) Vgl. Ztschr. f. Geophys. S. 211 unter der Einschrankung S. 218.
2) B. G a l i t z i n , Vorlesungen iiber Seismometrie. Teubner, Leipzig 1914,
S. 232-226 U. S. 285-379.
21 8
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 30. 1937
des Spiegelausschlages noch sehr geringe Bodenbewegungen aufgezeichnet werden.
Man kann ein Seismometer dieser Art auch als ein (wegen seiner
Empfindlichkeit gegenuber auberen Storungen in Form von Translationsbewegungen sehr unvorteilhaft gebautes!) Galvanometer ansehen.
-
L - o s e C . 2
-------
Abb. 2. Photographische Registrierung der Bewegung
des kritisch gediimpften Galvauometers bei geringer Kopplung
mit dem gleichfalls kritisch gedampften Seismometer,
bei gleichen Grundschwingungen
Abb. 3. Die gleichen Systeme wie in 2 bei mittlerer Kopplung
Da beide Instrumente in dem gleichen Stromkreis liegen, tritt in
jedem ein zusatzliches Drehmoment auf, das dem Strom d. h. der
Geschwindigkeit des anderen Instrunientes proportional ist, was in
den Ausgangsdifferentialgleichungen (1) und (2) auch ausgedruckt ist.
Demzufolge gelten diese auch fur jeden aiideren elektrischen Stromkreis, in dem sich zwei Mehinstrumente vom Galvanometertypus x. B.
Strom- und Spannungsmesser befinden. Bei stationken Vorgangen
sind die hier entwickelten Vorgange selbstverstandlich ohne Belang.
Schmerwitx. Das abweich. Verhalten der Dampfungskopplung usw. 219
Demgegeniiber sind wegen der immer vorhandenen Dampfungskopplung bei kurzzeitigen Messungen oder Registrierungen betriichtliche Stiirungen in der Deutung der Ergebnisse insbesondere dann
zu erwarten, wenn der Kopplungsfaktor geniigend groB und die
Tragheitsmomente sehr verschieden sind.
Abb. 4. Nach der Theorie berechneter Bewegungaverlauf
des gekoppelteu Galvanometers bei einem Kopplungsfaktor
D = 0,lO.
Kurve - - *, u = 0,45. Kurve x - - - x - - - ;
ohne Kopplung. Kurve 0 0 0 0
- .
Bei den im folgenden durchgefuhrten Beispielen bietet das
Seismometer an Stelle eines zweiten Galvanometers den Vorteil, da8
seine ,,Galvanometerkonstanten" in jeder gewunschten Richtung verandert werden konnen.
Beispiel 1. Durch passende Neigung der Achse des Seismometers wurde dieses auf die gleiche Periode wie das Galvanometer
220
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 30. 1937
gebracht ( T , = T, = 11,l sec). Durch Wahl des Widerstandes der
Spule und VerBnderung des Magnetfeldes konnten die beiden Systeme
Abb. 6. Die gleichen Systeme wie in 2 und 3 bei starker Kopplung
genau aperiodisch-kritisch gedampft werden. Hiermit sind die Bedingungen , unter denen die strenge Ableitung durchgefuhrt worden
ist, erfullt. An der Registrierung Abb. 2, welche die Bewegung des
Galvanometers wiedergibt, erkennt man die aperiodische Einstellung
unmittelbar. Dieser Verlauf entspricht den berechneten Kurven
Abb. 4, die einmal unter der Voraussetzung erhalten wurden, daB
der Kopplungsfaktor klein ist und zum anderen, daB uberhaupt
keine Ruckwirkung des Galvanometers auf das Seismometer auftritt,
c also Null ist. Bei Qbergang zu starkerer Kopplung c = 0,45
bzw. G = 0,?7 zeigt sich erst, daB der Vorgang nur durch die strenge
Kopplungsableitung richtig erfaBt und wiedergegeben wird.
Bei sehr starker Kopplung G = 0,77 und 6 = 0,97 (Abb. 5
und 7) tritt die eine Teilschwingung nahezu nngedampft bei unveranderter Schwingungsdauer auf. Zu diesem Ergebnis f uhrte bereits die theoretische Ableitung, die gemaB Formel (15) und (16)
nach Abzug der Dampfungskorrektion f u r beide Teilschwingungen
die mit der Ausgangsschwingung gleiche Grundschwingungsdauer
forderte. F u r den zweiten Schwingungsanteil la& sich auch noch
einigermaBen erkennen, dai3 dieser etwa kritisch gedampft ist. Mit
der Verstarkung des ersten und der Schwachung des zweiten
Schmingungsausschlages ist sein EinfluB auf den Bewegungsvorgang
bereits erschopft.
Die 'fjbereinstimmung der punktweise berechneten und experimentell ermittelten Kurven zeigt jedoch deutlich, daB die Bewegung
aus zwei Schwingungen gleicher Grundfrequenz von 11,l sec besteht.
Von diesen ist eine uberkritisch gedampft und nach ein bis zwei
Schmrwilx. Das abweich. Verhalten der Dampfungskopplung usw.
221
Schwingungen nicht mehr merklich vorhanden; wahrend die andere,
weniger gedampfte Schwingung mit zunehmender Kopplung immer
starker und Ianger in Erscheinung tritt. Mit dieser Anordnung
- 75QQ1
I
5
7Q
75
2Q
25
30
35 40 45
5%ec,S5
Abb. 7. Die gleichen Systeme wie in 4 und 5 ; jedoch fur
u
= 0,97 berechnet
Abb. S.
Abb. 9.
Verschiedene Eigenschmingung der Einzelsysteme
Abb. 10.
Abb. 11.
Aperiodische Dampfung jedes Systems
durch den LuBeren Widerstand des anderen, jeweils arretierten Systems
lasseu sich also aus zwei aperiodisch gedampften Teilschwingungen
durch enge Kopplung nahezu ungedampfte Schwingungen erzeugen !
Diese Erzeugung hangt jedoch von den Anfangsbedingungen ah!
Wahlt man bei gleichgestimmten Systemen die Ausgangslage beider
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 30. 1937
222
mit gleichem bzw. entgegengesetzt gleichem Ausschlag ao, so erhalt
man entweder eine reine Sinusschwingung oder eine rein aperiodische Bewegung. Die allgemeine Rechnung liefert, dem ersten Fall
entsprechend, die beiden Koeffizienten des Exponentialteils gleich
Null, in dem anderen den des Schwingungsanteils gleich Null. Diese
Betrachtung gilt auch noch bei ungleichen Tragheitsmomenten.
Beispiel 2. Um zu zeigen, in welcher Richtung verschieden
groRe Ausgangsfrequenzen durch diese Koppelung verandert werden,
wurde die Schwingungsdauer von System I1 auf 5,7 sec (nahezu die
Halfte der des Galvanometers T = 11,l sec) eingestellt. Die
Dampfungen wurden wieder?koppd) = 40 sec
um
ge- - - - - - _ - - _ _ _ _ _ _ _ _kritisch-aperiodisch
_
wiihlt. Abb. 8 und 9 sind
Registrierungen der freien
Eigenschwingungen der ungekoppelten Systeme, bei der
von der Luftreibung herriihrenden geringen Restdampfung.
Wie Abb. 10
und 11 zeigen, wurden dann
Abb. 12. Gekoppelte Schwinguag der nach
8 bis I1 eingestellten Instrumente
beide Systeme durch entsprechende Wahl der WfXhsel(Vom Verlag umgezeichnete photographische
Registrierungen)
seitigen augeren Widerstande
kritisch gedampft. Die letzte
Abb. 12 gibt schlieBlich die Aufzeichnung der Bewegung des Systems I
bei einer sehr engen Kopplung wieder.
Ahnlich wie im ersten Beispiel gehen auch hier die ursprunglich
gleichen kritischen Dampfungen auseinander, wobei fur die eine Teilschwingung eine zwischen den Ausgangswerten liegende Periode
von 8,O sec bei einem Danipfungsverhaltnis von 1,40 : 1 deutlich
erkennbar auftritt. Fiir die andere Komponente lassen sich unmittelbar aus der Kurve zwar keine naiheren Angaben entnehmen,
jedoch ist am Beginn der Bewegung zu erkennen, das noch irgendein
aperiodischer ,4nteil iiberlagert ist.
Zum Vergleich mit der Theorie wurden nach dem in Kap. 4
mitgeteilten Verfahren mit den Ausgangswerten T , = 11,l sec,
T , = 5,7 sec, h, = 0,565, h, = 1 , l O und G = 0,97 zunachst die
Parameterwerte bestimmt:
a
=-
2,163,
b = + 3,895,
c = - 1,620.
Mit diesen Werten wurde die Gleichung dritten Grades aufgestellt
und gelost, womit x und y bekannt warm.
Schmerwitx. Das abweich. V e r h l t e n der Dampjungskopplung usw. 223
Es ergab sich
aus der Rechnung:
T , = 7,97 sec,
a , , : a n f l = 1,32:1.
T,
a,, :an
+
I
= 8,lO sec,
= uberkritisch
.
1
aus der Registrierung:
T , = 8,O sec,
a,,:a,,+, = 1,40:1.
a,, :a, +
,
} Nicht genau meBbar.
Die Registrierungen bestatigen somit das Eigenartige dieser in
den Ergebnissen der Theorie enthaltenen Sussagen. Gleiche Ausgangsfrequenzen bleiben selbst bei starkster Kopplung unverandert,
wahrend verschieden groBe Frequenzen an einen gemeinsamen
Zwischenwert herangeruckt werden.
Da die Feststellung, daB sich die Dampfungskopplung zu den
Erscheinungen der Kraft- und Beschleunigungskopplung entgegengesetzt verhalt, nicht, wie hier bereits dargelegt, f iir beliebige Falle
erweitert werden kann, murden zahlreiche Berechnungen fur Sonderfalle der Dampfungskopplung ausgefiihrt. Diese ergaben , daB die
Frequenzen immer, wie auch hier in dem letzten Beispiel, einander
genahert werden. Die Dampfungskonstanten jedoch zeigten in
wenigen Fallen eine Ausnahme, indem sie bei kleineren Kopplungswerten zunkchst zusammen und erst bei zunehrnender Kopplung
unter Uberschreitung eines singularen Punktes auseinander gingen.
Ob eine entsprechende Abweichung such bei den anderen Kopplungsarten auftreten kann, bleibt noch zur Entscheidung fur weitere
Untersuchungen offen.
J e n a , Reichsanstalt fur Erdbebenforschung, April 1937.
(Eingegangen 16. Juni 1937)
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