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Das allgemein-relativistische Analogon des Coulombfeldes im Dielektrikum.

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U . Kasper: Das allgemein-relafioistiscl~e
Anriloqo~ides Coulombfeldes im Dielektrikum
377
Das affgernein-relativistischeAnalogon des Coulornbfeldes
irn Dielek trikum
Bon Usve K a s p e r l )
Mit 1Abbildung
Inhaltsubersicht
I n einer Arbeit von H.-G. S c h o p f 2 ) wird das Dielektrikum und das elektromagnetische Feld als abgeschlossrnes System behandelt. Es wird darauf hingewiesen, daBman die E i n s teinschen Feldgleichungen, dieXaxwe11schen Gleichungen und die E u l e r schen Bewegungsgleichungen fur das Dielektrikum simultan zu losen hat. Bei konstantem e und p l a B t sich dieses Vorgehen sofort
auf den Fall des geladenen Dielektrikums ausdehnen. Man hat dazu nur in der
L a g r a n g e - Dichte den Term Q: C' pehirizuzufdgen. Bekariiitlich liefert dieser
Ausdruck keinen Beitrag zum Energie-Impuls-Tensor. Xur im Kraftdichteterm
FPyU" neu hinzu. M'ir spezialisiereri das so erweiterte Gleitritt das Glied
chungssptem auf kugelsymmetrische, elektrostatische Verhaltnisse, d. h. wir
betrachten das allgemein-relativistische Analogon des C o u l o m b feldes, und
geben einespezielle Losung an mit einer idealen Flussigkeit als Dielektrikum. Durch
den Ansatz Q:' = 0 kommen wir dann zum ungeladenen Dielektrikum zuruck.
Die durchgefuhrten Rechnungen zeigen, daU unter dem EinfluB des Gravitationsfeldes, das vom Dielelitrikum und elektrostatischen Feld erzeugt wird, homogene scheinbare Flachenbelegungeii von Ladungen auf Grenzflachen benachbarter Medien nur durch zusatzliche Spznnungen aufrechterhalten werden
konnen.
&
Fur die allgemein-relativistische Behandlung eines geladenen Dielektrikums
hat man gemaB 1. c. 2, das folgende Gleichungssystcm zu betrachten :
die E i n s t e i n schen Gleichungen
Rp,.
-
1
g,,, R = - x T p ,
die 111 a x w e 1 1schen Gleichungen
Fv),p
+
F?,i,v
+
(]/xi
GVV),',
Fpvj
= ]/-g
(1)
= 0,
(2)
jkL
(3)
1) Xeue Anschrift : lnstitut fur reine Mathenlatlli der DAIV zu Berlin, Forschungsgemeinschaft Berlin-Adlershof.
z, H . 4 . S c h o p f , Ann. Phj-sik ( i )9, 301-312
(19G2)(1). Unsere Symholik schlieWt sich
a n die in dieser Arbeit vein endete an.
25
Ann. Phjsik. i. Folge, Bd. 15
dnnalen der Physik. 7 . Folge. Band 13. 1964
378
mit
j
.
el
up
= @o
(& : = Ruhladungsdichte)
und die E u 1e r schen Bewegungsgleichungen
mit
und
AT,"
+
1
k
= - F , F~ E ~ - F ~ U
F, U"
~ - F , F,)
P
P
Dabei ist weiter
-g
~e'.
1
(9)
( 10)
und
F , = F,pU@
(11)
k=&p-l
(12)
sowie
und
U P
1
dXP
c
at
=--
*
(13)
Es wird folgende Schreibweise eingefuhrt 1 Die 1-Koordinate des Koordinatensystems bezeichnen wir mit r , die 2-Koordinate mit 6, die 3-Koordinate mit 91
und die 4-Koordinate mit ct. Wir wollen eine simultane Losung der E i n s t e i n schen, Ma x we 1I schen und E u 1e r schen Gleichungen suchen, welche als das
allgemein-relativistische Analogon des kugelsymmetrischen, elektrostatischen
C o u 1o m b feldes betrachtet werden kann.
Zu diesem Zweck machen wir folgende Ansatze :
Es gibt ein Koordinatensystem ( r , 6, cp, ct) mit den Eigenschaften :
1. Das Linienelement ds hat folgende Gestalt
ds2 = e2, dr2
+ r 2 ( d 0 2 + sin26dcp2)- e2@(cdt)2,
wobei h: und B Funktionen sind, die nur von r abhangen.
2. Der antisymmetrische Feldstarkentensor F,, hat die Gestalt
wobei F14nur von r abhangt.
T i . Knsper: Dus allge,,iei,i-relaticistischeAnalogoil des Coulombfeldes i i r i Dielektrikum
379
3. Fur die 1-,2-, 3-Komponeiite dcr Vierergcschwindigkeit gilt
0, ( k = 1, 2, 3 ) .
(16)
I m folgeiiden uiiterdriicken wir langwierige aber doch leichte Rechiiuiigen. Es
wird nur der Gang der Rechnung skizziert, uiid die erhalteiien Ergebnisse werden
angcgeben.
Die erste Gruppe der Maxwellschen Gleichurigen (2) erfullen wir dureh den
Aiisatz
Uk =
FPU
identisch, dcr sich
iii
= @,P - 9;PP
uiiscrem Fall auf
P I 4 = CPP
reduziert, weiin mir fur cp4 einfach 9; schreibeii.
Die zweite Gruppe fiihrt auf die eiiizige Gleichuiig
(17)
Mit dcm speziellen Aiisatz
pi' = f i e - '
folgt aus (18) die Losung
( K = const.)
= F14= d r
+ -?cHr
el-p,
(19)
(20)
wobei d urid B Koiistanteii sind.
Die E u l e r schen Beweguiigsgleichungen reduzieren sich auf
(eoc2
+ PIP.,. + p,,.
= ei'e-BF1,.
N i t (19) uiid (20) folgt aus (21)
(22)
Aus (8) uncl (9) berechnet man die Komporienten des Energie-Impulstensors zu
Alle aiideren Komponenten verschwinden.
Die E i n s t einschen Gleichungen lauten im kugelsymmetrischen, statischeri
Fall
Aus (23) und (24) sieht man die Identitat von (26) und (27). Weiter kann gezeigt
werden, daB (26) eine Folge von (25) uiid (28) ist.
25*
Annalen der Physik. 7 . Folge. Band 13. 1964
380
Mit dem speziellen Ansatz
Po = konst.
und der Abkurzung
fuhren (25) und (28) auf die Gleichungen
dr
d e~ + k-2~
d eza
- 3c (eoc2 + p ) r e z a ] e2B = 0.
dr
( 32)
Setzt man (32) in (22) ein, dann erhalt man mit der Abkurzung
eoc2
die Gleichung
+
d z + E r e23 22 - 1 e-za
__
dr
2
2
(33)
2, = 2
- e2& -K
dr
(Ar
(34)
Aus (31) wird eza als Funktion von r berechnet. Das so erhaltene ezn setzt man
in (34) ein und erhalt p als Funktion von r. Mit diesem p wird dann e?f aus (32)
bestimmt.
Die Losung von (31) lautet
wobei M eine Integrationskonstante ist.
Entsprechend folgt aus (32)
+
Q exp { I t J(eoc2
p)reza dr}
(36)
mit Q als Integrationskonstante.
Fur ein ungeladenes Dielektrikum hat man A und K in (34) gleich Null zu
setzen. Die Losung von (34) lautet dann
e2B
(eoc2
= e-2%
+ p ) = ;2N e a
(C
+ N Jre3"dr)-'.
(37)
eo, C und N
sind Konstanten.
Mit (37) folgt aus (36)
e213
= e-23
(C + N J 7 8 3 % d r ) ,
(38)
wobei die Konstante Q in die Konstanten C und N hiiieingenommen wurde.
SchlieSlich liefert (35)3)
e-21- -
1_
_Rr2' _ _2Mr + -2. H2
-.
1c
&
1
1.2
(39)
und fur das elektrostatische Feld ergibt sich aus (20)
3, Fur Po = R-' = 0 und E = 1 folgt aus (38) und 39) unter Beachtung von (50) und
(51) die R e i B n e r - N o r d s t r o m s c h e Losung.
C. Knsper: Dns allgeiizeiiL-relaticistischp,ATzalogon des Coulowbfeldes inz Dielektrikum
381
Ini geladenen Dielektrikum wollen wir die Verhaltnisse fur r = 0 regular machen.
Wir haben dann il.1 und B gleich Null zu setzen.
Aus (35) folgt dann
=
e-zz
r2
v
&A2
1- .r4.
R2 -L
2
5
(41)
Die Losung von (34) soll nicht explizit interessieren. 1% benierlreii nur, dal3 sie
als Losung einer Differentialgleichung erster Ordnung eine Konstante enthalt.
Aus (20) foigt fur das elektrostatischs Feld
~ 7=
, ~F,, = A r e x + p .
(42)
Wir betrachteii ewZxaus (39). r zhat
s folgeiide Eigenschafteii
e--2n--+
+
e-7x+
-00
00
fur
fur
r+ & 0
r - - f & 00.
(43)
A m (38) folgt, daB e-2x positiv sein inul3. (Unter dein Integral steht eine zweite
Wurzel voii e-zx!)TVegen (43) ist darin r iiach oben begrenzt durch r2. Weiter
sieht man aus (43), d a i e r 2 %wenigstens
eine positive, hochstens aber drei posiI
\
\
/
ist also auch
tive Nullstellen hat. rza
/
'. \
nach unten begrenzt durch rl entweder
/
\
/
\
durch die Forderung e-za > 0 oder
\
durch Regularitatsforderungen. Man ist
II
',
geneigt anzunehmen, dal3 der Fall von
drei positiven Sullstellen vorliegt, denn
I
(39) ist in einem wohlverstandenen
I
\
Siiin eine ,,Uberlagerung" der inneren
I
\
S c h w a r z s c h i 1 d - Losung und der
\
R e i Bn e r - N o r d s t r o m - Losung. rlund
r2 sollten zwischen den beiden groRteii
\
r-r,
\
Sullstellen von e-zn liegen.
/
\
/
\
Wir wollen die Losung (37) bis (40)
fur das ungeladene Dielektrikum auf
.
P*rn
"
tlein abgeschlosseiien Intervall <O.ri)
Abb. 1. Zur Illustration der betrachteten
durch eine Losung der E i n s t e i n s c h e n ,
physikalischen Situation. Ein kuqelforJIaxwellschen und E u l e r s c h e n Gleimiges, geladendes Dielektrikum mit dem
chungen fur das geladene Dielektrikum
Radius r1 erzeugt in der Kugelschale
fortsetzen (s. Abb. 1). Die Fortsetzung
mit den Radien r1 und r2 aus dielektrischem Material ein elektrostatisches
auf dem halbofferien Intervall ( T ~ , 00)
Feld. An der Stelle T = r 2 geht es in das
soll die Rei l3ii e r -No r d s t r o m-Losung
betreffende Vaknumfeld uher
seiii :
- - - \
.
'
L==A
'
7
r=P
,/;
I
'.---
/--
+
$6 = e-?x
Unser Koordinatensysteni ( r , 6 , p, ct) sei so gewahlt, daB an den Greiizflacheri
r = r, und r = r2 keine forttransformierbareii Sprunge in den gpv auftreten. Das
Annalen der Physik. 7 . Folgr. Band 13. 1964
382
bedeutet, daB wir an diesen Grenzflachen zu fordern haben4)
(44)
rgPYi= 0.
Aii den Grenzflachen sollen ferner keine FlLchenbelegungen von wahren Ladungen auftreten. Das bedeutet die Forderung
( p v = &).
[Gp”] p y = 0
(45)
Weiter sollen die Flachen r = r, und r = r2 freie Oberflachen sein :5 ,
[PI = 0.
(46)
Aus (45),(40) und (42) folgt unter Beachtung von (44)
B=e-
4n
wobei E die Dielektrizitatskonstante und e die Gesamtladung des geladenen
Dielektrikums ist.
I m nllgemeinen ist [F,,] # Ofurr = r,undr = r2.Hier treten also homogene
Flachenbelegungen von scheinbaren Ladungen auf.
Aus (44) folgt fur (39) und (41) unter Beachtung von (47) und (48)
-2M
= r;
.,
1 1
)x2 :(4Te e;( l + E)
.
(R-2 - R”-2) --
(49)
Hierbei wurde gesetzt
(Go : = Ruhmassendichte des geladenen Dielektrikums).
Unter Beachtung von (37) und (38) folgt ferner aim (44) und (46)
N
3
2
= - R-2 ( e - l ) r = r e .
(50)
Mit (50) berechnet man C aus (37) zu
3
c = 1-i
R-2
2
(e-a
$ re3a dr)r=rz.
(51)
Urn (46) auch fur r = rl zu erfiillen, wahlen wir die in der Losung von (34) fur
das geladene Dielektrikum enthaltene Konstante so, daB der aus (34) berechnete
Druck fur r = rl dem aus (37) berechneten Druck fur r = rl gleich ist. SchlieDlichfolgt aus (44), angewandt auf g44 der Wert von Q (siehe (3G) und (38)).Damit
haben wir die Bedingungeri (44),(45) und (46) erfullt. Gleichzeitig sind aber auch
alle freieii Konstanten festgelegt worden.
~
~~
A. P a p a p e t r o u u. H.-J. T r e d e r , Math. Pu’achr. 23, 371 (1961). [ A ] ist derSprung
yon A durch die Flache Z ( P ) = 0: [ A ] = lim A - Iim A.
4,
z++0
5-t-0
‘) St. O’Brien and J. L. S y n g e , Communications of the Dublin Institute for ddvan-
ced Studies, Series A, No. 9 (1962).
U . Rasper: Das allgemein-relatiz.istische Annlogon des Coulombfeldes im Dielektrikum 383
An den Grenzflachen r = rl und r = rBgilt im allgemeinen
Die Rechnung liefert fur
TL
(i = 1,2)
Unter Beachtung von (54) folgt dann
Der Sprung (56) wird also nur hervorgerufen durch eine unstetige h d e r u n g der
Dielektrizitatskonstanten e.
Nun sind aber die Flachen r = rl und r = r2 zeitratig. Wahrend (54) fort transformierbar6) ist, gibt (56) AnlaB zi7 Flachenbelegnngen 2ttt,,6 ( r - T J im
Energie-Impuls-Tensor, die aus
PPPPY
zu berechnen sind ’).
Dabei ist allgemein
+ jP,P:” - P u PZ, + Pv P h ) Pe
%z
=
-*
( z = 0 Unstetigkeitsflache der
p , = G,
I-;[
[SP“,(Il=
ag,v
P, = 8,” P,,
P = 9’”rg.B
t,b
(57)
gPv,,),
*
(58)
I m kugelsgmmetrischen, statischen Fall reduziert sich (58)auf
1
2’1 = b,,
Is = 9l1Bll
wobei
+
822
= P33 =
Is,,
=
944P44’
0
und
[&d
e2.1
~6,
7)
A. P a p a p e t r o u u. H.-J. T r e d e r , Math. Kachr. 20, 63 (1959).
Wir definieren: *A:” = A i ~ ” 1 yLLvg+ A : ~ .
-
(62)
384
dnnalen der Physik. 7 . Folge. Band 13. 1963
gilt. Mit diesen Ausdriicken errechnet man aus (57)
i
711
= 0,
i
t44 =
0.
Es wirken in den GrenzflLchcn also nur Spannungen in (abgesehen vom Vorzei&en) 6 - und y-Richtung. Sie sind notig, uni die homogenen Flichenbelegungen
aus scheinbaren Ladungen, die durch den Sprung von E hervorgerufen werden,
unter der Wirkung des Gravitationsfeldes aufrechterhalten zu konnen.
Der tiefere Grurid fur das Auftreten dieser Flichenbelegungen im EnergieImpuls-Tensor ist, da13 die Bewegungsgleichungen eines Mediums aus den Feldgleichungen folgen. Schreibt man also den Bewegungszustand vor (wie wir es
hier getan haben), dann folgen daraus Bedingungen f iir den Energie-ImpnlsTensor, die hier zum Auftreten von fliichenhaften Spannungen fuhren.
Herrn Prof. Dr. S c h o p f , der diese Arbeit anregte, sie durch viele Gesprache
sehr gefordert hat und Herrn Prof. Dr . T r e d e r , der mit mir zahlreiche, klarende
Diskussionen iiber Sprungprobleme fuhrte, mochte ich auf diesem Wege meinen
Dank sagen.
G r e i f s w a l d , Institut fur Theoretische Physik.
Bei der Redaktion eingegangen am 27. September 1963.
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