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Das astigmatische Bild des horizontalen ebenen Grundes eines Wasserbassins.

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9. Das astiqmatisehe Bild des horixontalern, ebenew
Grurndes e h e a Waseerbasshs;
v o n L a d ,w 4 g M a t t h i e 8 e ern.
Es ist eine ziemlich bekannte Erscheinung und in verschiedenen Handbuchern der Physik wird man daruber belehrt, dass leuchtende oder beleuchtete Objecte, welche unter
der Oberflache des Wassers oder einer anderen brechenden
Flussigkeit liegen , bei schiefer Incidenz der Lichtstrahlen in
die oberste Niveauflache dieser selbst und zugleich dem Auge
dea Beobachters genahert erscheinen. Zur theoretischen Beweisfuhrung wurclen auch Formeln abgeleitet, geometrische Constructionen gegeben oder die Gleichung der diakaustischen
Curve hergeleitet , um die Function der Coordinatenverschiebung der Bildpunkte gegen die Objectpunkte zu bestimmen.
S c h e l l b a c h hat das Verdienst fur ein bestimmtes Brechungsvermogen der Fliissigkeit und fur verschiedene Neigungen der
Blicklinie des Auges gegen die Oberflache der Flussigkeit, die
Diakaustik und die scheinbare Verzerrung der Objecte auf
dern Grunde mittels genauer rechnerischer Verhiiltnisse bildlich veranschaulicht zu haben. Dessen ungeachtet leiden alle
diese mathematischen und geometrischen Darstellungen an
dern Mangel, dass sie das vorgelegte Problem nur zur Halfte
losen und damit einen wichtigen Teil der dioptrischen Vorgange im Unklaren lassen. Es ist nicht unbekannt, dass bei
jeder Inciclenz von diinnen Strahlenbiischeln, sei es an spiegelnden oder brechenden Fliichen immer zwei Katakaustiken oder
Diakaustiken, also stetu zwei Abbildungen von Punktreihen
giebt , indem die Strahlenkegel die sogenannte tetragdrische
Modification erleiden (Reusch, K u m m e r ) , also nicht gespiegelte bez. gebrochene Bundel mit einem Bildpunkt (homocentrische Kegel), sondern mit zioei getrennten, sieh senkrecht
kreuzenden Brennlinien und einer dazwischen liegenden Brennstrecke bilden. Auch S c h e l l b a c h hat diesen Umstand unbeachtet gelassen, indem er den primaren Strahlenkegel in
lauter Strahlenfacher zerlegt, welche in der Einfallsebene, dem
23 *
L. Mattliiessen.
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sogenannten Hauptnormalschnitt des brechenden elliptischen
Flachenelementes liegen. Zerlegt man aber dies elliptische
brechende E’lachenelement in lauter zum Nebennormalschnitte
parallele Streifen, und betrachtet die dioptrische Wirkung aller
zu diesen Streifen gehorigen Strahlenfacher, so erhalt man ein
zweites ebenso helles und scbarfes Bild, welches ebenfalls in
der Blicklinie des Auges liegt und durch das andere viillig verdeckt wird.
Die analytische Bestimmung des Ortes des Bildpunktes
fur den Hauptnormalschnitt, also eine durch das Auge des
Beobachters und das Einfallslot gelegte Ebene , wird abgehandelt bei W u l l n e r l ) auf Grund einer Abhandlung von
I(.L. B a u e r 2 ) , mit welcher gleichzeitig eine andere vom Verfasser s, erschien.
Wahrend nun E n g e l und S c h e l l b a c h in der ersten Tafel
ihrer darstellenden Optik die scheinbnren Oerter und Deformationen der Bilder eines bestimmten Objectes fur verschiedene Oerter des beobachtenden Auges und verschiedene Blicklinien zeichnen, wollen wir umgekehrt fur ein festes Auge und
variirende Blickrichtungen die Bildflache, also die Bilder samtlicher Elemente der Bodenflache zu bestimmen suchen. Wir
bestimmen fur unseren Fall die Gleichungen der beiden astigmatiscben Bildflachen, indem wir von den R e u s ch’schen Abscissengleichungen 4, fur Object- und Bildpunkte fur die schiefe
Incidenz in eine spharische Flache ausgehen. Dieselben lauten
fur den Nebennormalschnitt
- r sin el
sin (ez - e,)
*-
1
z,
+ sinnrsin-e,el)_.-zz1 -- 1 ,
(%
fur den Hauptnormalschnitt
- T sin el
sin (ez - el)
-.-
COB e f
n r sin e,
cos e 2
.
I
=
1,
+ 8in (e2 - el)
czl
worin r den Krummungsradius der brechenden Flache, el und e2
Einfalls- und Brechungswinkel, n (<1) den Index, z,,den Abstand des Objectpunktes auf dem Strahle, t2und tldie beiden
(Ir)
zo
1) Wullner, Lehrb. d. Exp.-Phys. 4. p. 93. 1899.
2) K. L. Bauer, Pogg.Ann. 153. 1874; 154. 1875.
3) L. Matthieasen, Schlomilch‘s Zeitschr. f. Math. u. Phys. 19.
p. 178. 1874.
4) Reusch, Pogg. Ann. 130. 1867.
349
Astigmatisches Bild eines Wasserbassins.
Abstande der beiden Brennlinien auf dem Strahle bedeuten.
Dabei liegt der Bildpunkt B,, welcher zu xs gehbrt, stets auf
der optischen Centrale des ObjectpunktesP,, welcher zu x,,gehiirt.
Hat man zwei ebene Parallelflachen vor sich, also die
brechende oberste Niveauflache und die dazu parallele Grundflache des Wasserbassins, so wird man diese beiden Flachen
a19 zwei concentrische Kugelflachen von unendlich grossem
Radius betrachten, also T =co setzen diirfen. Dadurch wird
fur die Brennlinie B,:
fur die Brennlinie B,:
(TV)
cose!
~
cose; - n. cos e: - 0 oder x1 = n x,, cos
- x2
e2
~
5
51
~
cos e f
cos e:
Kennt man also die Objectdistanz x,,, so findet man die
Bilddistanz x2 aus Gleichung (III), die Bilddistanz 2, aus
Gleichung (IV) durch viermalige Projection zwischen dem Einfalls- und dem Brechungswinkel.
Wir wollen zunlichst die Qleichung der 11. Bildflache (B,)
von dem Grunde des Gefasses bestimmen? also untersuchen,
in welcher Gestalt unserem Auge der ganze horizontale Boden
des Bassins erscheint. Da dieselbe eine Rotationsflache ist,
wird es geniigen , die Durchschnittscurve eines verticnlen
Normalschnittes der oberaten NiveauflBche zu betrachten (Fig. 1).
L. Mutthiessen.
350
Es sei M R , = a die Abscisse, R,B, = y die Ordinate des
II. Bildpunktes oder der 11. Brennlinie, Po der Objectpunkt
auf dem Grunde N K , JP, = xo die Abscisse auf dem Strahle
und J B , = x2 die Abscisse des Bildpunktes auf dem Strahle.
Ferner sei J A , = u,, a der Abstand des Auges A von der
Niveauflache J M , M N = d die wirkliche Tiefe des Bassins,
MA: = n d = b die scheinbare Tiefe, danii ist
Daraus ergiebt sich
u ; = y2-
22
np
d2
- 2.
(x + a)2 = -__
1 - 125
b8
= -*
-
I--?'
und die gesuchte Gleichung der Bildcurve
Es ist demnach der Normalschnitt der 11. Bildflache des
Uiitergrundes eine gestreckte Conchoide. Die Bildcurve hat
eine Asymptote und einen Wendepunkt und zwar fur dieselbe
Abscisse x, wie bei der Conchoide, deren Gleichung ist
Um den Wendepunkt zu finden, suchen wir die Differentinlquotienten. Man erhalt
Daraus ergiebt sich die Asymptote a y / a x =a fur x=.O
und das horizontale Bodenflachenelement in A , fur z = 6.
Weiter ist nun
Der Wendepunkt W, vor welchem die Grundflache concav,
und hinter welchem sie weiter seitwarts convex erscheint , ist
also bei
23 + 3 n x 2 - 2 a V = 0 .
Um die Ideen zu fixiren, nehmen wir an, es sei R. = 3/4
(Wasser), a = 8 cm, d = 6,47 cm, also b = n d = 4,85 cm, so
351
Astiymatisches Bild eines Wassedassine.
hat die Gleichung die einzige reelle Wurzel 3,687 cm, woraus
sich y = 15,l cm ergiebt.
Wir wollen noch die I. Bildfiache B, bestimmen. Es
sei iM R, = 6 die Abscisse, R,B, = 11 die Ordinate der ersten
Brennlinie B, ; J B, = x l die Abscisse derselben auf dem Strahle.
Ferner sei J L = u1; alsdann ist
7 5
: ?/ =
% --% -- - ef - 1
up
x2
cose:
1
coy
: (8
+ a) .
+ tgei + tqe? -
1
1
+ ( u 2 :d)' + (u,: z ) ~-
X'
.
b2
'
folglich wird
x :E = u2 : Ul
= b2 : 5 8 ,
oder
x
= (b2 &%.
In Berucksichtigung der fruheren gefundenen Relation
6' - Z
'
1 - np
findet man schliesslich die Gleichung der anderen Bildcurve Bl
~1 - n2=
~~
(VIlI)
71
T+a t * / z f m .
5
Urn sie auf eine Asymptote und einen Wendepunkt zu
priifen, bilden wir wieder den ersten und zweiten Differentialauotienten. Es ist
Die Curve hat ebenfalls eine Asymptote fur
ein Minimum. Weiter ist nun
=
0 und
Der Wendepunkt ist demnach bestimmt durch eine Wurzel;
der Gleichung
gIs - 2 b'/3 gls - 5 a E S l s + 4 a 6'1s = 0 ,
(XI)
{
a = 8,0 cm,
b =4,85cm.
Die einzige brauchbare Wurzel ist
simultane Wert von 7 = 10,500.
6 = 2,9120,
und der
352
L. Matthiessen. Astigmatisches Bild eines Wasserbassins.
Wenn man nun nach der Methode von S c h e l l b a c h umgekehrt wie bei dem obigen Probleme, den Objectpunkt Po
als fest, das Auge dagegen als beweglich annimmt, so bewegt
sich bei zunehmend schiefer Incidenz das Bild B, auf der
Diakaustik von N, aufwarts, das Bild B, auf der Normalen Po M,
dabei steht die Brennlinie B, senkrecht zur Einfallsebene,
und die Brennlinie B, in der Einfallsebene; sie fallt uberall
zusammen mit der Normalen Po M; die Brennstrecke M J wird
also bei einem horizontalen Austritt des Strahlenbiischels un.endlich gross (Fig. 2). Betrachtet man das Bild mit einem
Mikroskop von schwacher Vergrosserung, so erkennt man leicht,
,dass man dasselbe auf die beiden Bilder Bl und B, verschieden einstellen muss, um die beiden sich im Raume
kreuzenden Brennlinien scharf zu sehen.
R o s t o c k , Physik. Inst., Juli 1901.
(Eingegxngen 26. Juli 1901.)
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