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Das CARTANsche Problem in der allgemeinen Relativittstheorie.

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ANNALEN D E R PHYSIK
*
7.FOLGE
HEFT 5-6
B A N D 18,
r
1966
Das CARTANsche Problem in der allgemeinen
Rela tivitats theorie
Von A. LEVASCHEV
Inhaltsubersicht
Die Grundannahme der allgemeinen Relativitiitstheorie (ART), daB die 4-dimensionale
Welt (des Reum-Zeit-Kontinuum)inhomogen ist, fuhrt zu einem fundamentalen Problem,
daa CARTANformuliert hat [l]: man muO xahlreiche Experimente, die unter Voraussetzung
der Homogenitiit der Welt gemacht werden, fur eine inhomogene Welt interpretieren. Diese
Rage nennen wir das CARTANsche Problem. - Diese Arbeit hat zum Ziel, zur Usung dieses
Problems im Rahmen der Tetradformulierungender ART beizutragen.
1. Physikalisehe GraEen
Die physikalischen GroBen teilen wir in zwei Arten ein, direkte und indirekte.
Die erste definieren wir durch zwei Bedingungen. Erstens bildet die Gesamtheit
aller moglichen Werte, die eine physikalische GroBe annehmen kann, einen eindimensionden Vektorraum (im mathematischen Sinne), uber dem Korper der
reellen Zahlen. Zweitens miissen die Axiome dieses Vektorraumes durch konkrete physikalische Prozesse bestimmt werden (Verwirklichung dieser abstrakt
Axiome). Man kann zeigen, daB fiir solche Verwirklichung ein zweidimensionaler
Vektorraum unentbehrlich ist, der durch eine Basis erzeugt wird, der als erster
Basisvektor derjenige der betrachteten physikalischen Grol3e und als zweiter der
irgendeiner physikalischen HilfsgroSe angehoren.
Eine indirekte physikalische GroDe wird ebenfalls durch die zwei Bedingungen bestimmt. Erstens bildet jede indirekte physikalische GroBe auch einen eindimensionalen Vektorraum, aber i. a. iiber dem Felde der komplexen Zahlen.
Zweitens setzen wir voraus, daD statt der Verwirklichung der Axiome des Vektorraumes die indirekte phyaikalische GroBe durch irgendeine direkte mit Hilfe
von physikalischen Gleichungen bestimmt werden kann.
Das CARTANsche Problem konnen wir jetzt folgendermden formulieren :
Alle physikalischen Begriffe der ART, fur die die Abschlitzung ,,mehr" oder
,,weniger" anwendbar ist, miissen durch physikalische GroBen ausgedruckt werden, da nur diese GroBen durch physikalische (tatsachliche oder in Gedanken
durchgefuhrte) Messungen bestimmt werden.
2. Die verallgemeinerten LAME-Koeffizienten
Sind A und A zwei eindimensionale Vektorraume und sind
%
7
+
+
a = ajei
i
14 Ann. Physik. 7. Folge, Bd. 18
4 und? einige
a
Vektoren dieser Vektorriiume
+
, a7
.-+
= a7 e j
7
(1)
210
Annalen der Physik
*
7. Folge
* Bana 18, Heft 5-6 *
1966
<
wo ai und '
a reelle Zahlen, ,,Affinllingen" sind, so bilden die VektorenG und
P
3
noch keine physikalischen GroBen, solange die zweite Bedingung, die die physikalische GroBe bestimmt, nicht fur diese Vektoren definiert ist. Die Affinliingen
sind noch blol3e Etiketten.
Betrachten wir die zusatzliche Bedingung, die die Vektorraume A und A
i
7
in die Riiume der direkten physikalischen GroBen transformieren. Nennen wir
zwei eindimensionale Vektorraume A und A paarweise gleichartig, wenn die
3
P
direkte Summe
Aa @ iA = B
(2)
-+
existiert, d. h., wenn jeder Vektor b aus B eindeutig als die Summe
=
a
<+ 2
t
bestimmter Vektoren und 7 aus A und A konstruiert werden kann. Wird die
1
7
Bedingung (2) in der lokalen MINKowsmschen 4-dimensionalen Welt erfiillt, so
nennen wir sowohl die vier Basisvektoren
als auch die vier 6 in (1)physikalische Tetraeden. (Die lateinischen Indizes bezeichnen hier und weiter die physikalischen GroBen.)
Wenn n eindimensionale Vektorrhume paarweise gleichartig sind, so bilden
sie einen n-dimensionalen Vektorraum mit der Basis & :
v=
n
2
k=l
+
vk ek = v k <
(3)
wo der Vektor $ dem Vektorraum V angehort. DiereellenZahlenvk sinddiephysikalischen Komponenten des Vektors
Die Bedingung (2) ist notwendig und
+
-+
hinreichend, damit die Vektoren und aus dem Vektorraum A und A zu phyz
9
7
sikalischen GroBen werden, d. h., der Vektor ist eine physikalische GroBe erst
d a m , wenn er mit irgendeinem anderen Vektor 7 einen zweidimensionalen Vek1
torraum bildet.
Im allgemeinen bilden zwei willkiirliche Vektorriiume A und A keinen zweiP
V
dimensionalen Vektorraum, sie sind also paarweise ungleichartig und entsprechen der Forderung (2) nicht. Obwohl die Zerlegungen (1) den zwei beliebigen
Vektoren und gelten, gibt es keine Summe der Basisvektoren &, ;,, da sie
P
V
im allgemeinen keinen physikalischen Sinn hat. (Die griechischen Indizes bezeichnen die paarweise ungleichartigen Vektorriiume.) Gibt es zum Beispiel zwei
paarweise ungleichformige Vektorraume
.
+
z
+
+
2 = 2 0 eo
0
,
+
2 =d
1
-t
el,
z1
wo eine Zeitbasis, z. B. eine Sekunde,
eine riiumliche Basis, z. B. ein Zentimeter, sind, so hat die Summe -&, 1; keinen physikalischen Sinn.
Wenn die Vektorriiume A und A paarweise ungleichformig sind und folglich
+
P
V
keinen zweidimensionalen Vektorraum bilden, so sind keine direkten Messungen
der Vektoren und , die zu diesen Vektorriiumen gehoren, moglich. Um die inP
z
V
A. LEVASCHEV:
Das CARTANsche Problem in der allgemeinen Relatiritiitstheorie
211
direkten Messungen der paarweise ungleichformigen Vektoren zu verwirklichen,
fuhren wir die verallgemeinerten LAME-Koeffizienten ein, die wir durch bekannte
Relation
+
-+
e, = h$ e,
(5)
bestimmen, wo hi die LAMh-Koeffizienten, 2kdie physikalischen Tetraeden sind.
Im Beispiel (4) haben wir
0-t
-+
eg = hg eo = c eo
(6)
wo, z. B. c die Lichtgeschwindigkeit ist. Der Index g bedeutet, daB -& ein physikalischer Basisvektor ist. Aus (3) und (5) folgt
4.
+
v
= v k h i 2 , = v P -+e,,
V'=V
k h,k .
(7)
Die Koeffizienten up, die tensoriellen Komponenten, sind die bekannten Zahlen.
Die verallgemeinerten Lardh-Koeffizienten transformieren die paarweise ungleichformigen Vektorriiume in die Riiume indirekter physikalischer GroBen und
transformieren folglich tensorielle Vektorkomponenten in physikalische.
3. Die teilweise LBsung des CmTaxschen Problems
I n der metrischen Formulierung der ART (M-ART)fuhrt man a priori ein globales nichtgalileisches Koordinatensystem ein. Wegen der lokalen Gultigkeit der
speziellen Relativitiitstheorie liiBt sich eine Koordinatenbasis,,; die sogenannte
Welttetrade, einfuhren, die vier paarweise ungleichartige eindimensionale Vektorriiume erzeugt. I n der M-ART gibt es aber keine physikalische Tetrade, so
daB die Welttensoren weder direkte, noch indirekte physikalische GroBen sind.
I n der Tetradenformulierung (vgl. z. B. [2]) der ART (T-ART) gibt es zum
Unterschied von der metrischen Formulierung zwei Tetraden, die Welttetrade;,
und die physikalische 2 k . Die letztere kann sich von Punkt zu Punkt nur durch
lokale LoRENTz-Transformationen verdrehen (,,starre" Tetrade). Die Tetraden
-+
e, und & werden durch verallgemeinerte LAME-Koeffizienten verbunden.
Die Existenz der physikalischen Tetrade garantiert die Verwirklichung der
Axiome des Vektorraumes und folglich die Einfuhrung der physikalischen GroBen. Damit ist das CARTANsChe Problem teilweise gelost, da nur die Lokaltensoren die physikalischen Gro13en sind. Was aber globale, zeitliche und riiumliche
Abstiinde betrifft, bilden sie wie fruher in der (M-ART) keine physikalischen
GroDen.
4. Die Losung des CaRTaNsehen Problems in der Tetradenformulierung der ART
mit ,,weichenc6Tetraden
Um die globalen, zeitlichen und riiumlichen Abstiinde als physikalische Gro13e
zu betrachten, ist es zweckmiiBig, auf irgendein a priori gegebenes nichtgalileiaches Koordinatensystem zu verzichten.
Zuerst setzen wir voraus, da13 der 4-dimensionale Raum eine differenzierbare
Mannigfaltigkeit ist. Dann nehmen wir an, da13 die Abbildung 4-dimensionaler
offener Bereiche auf dem arithmetischen Rmm, d. h. die Bildung lokaler Karten,
nicht nur eine willkiirliche regulare Abbildung ist, sondern zum 4-dimensionalen
Vektorraum fuhrt, so daB wir die lokalen Koordinaten als direkte physikalische
GroBe erhalten. Damit bekommen wir statt eines nichtgalileischen Koordinaten14*
212
Annden der Physik
*
7. Folge
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Band 18, Heft, 5-6
*
1966
system nur d a s F el d galileischer lokaler Koordinatensysteme, jedes davon
wird nur im globalen ,,erreichbaren" Bereich bestimmt. Das nichtgalileisches
Koordinatensystem kann a posteriori rekonstruiert werden.
I n jedem lokalen Raum fuhren wir wie in der (T-ART) zwei Tetraden,-&
und -&, ein, die durch (5) verbunden werden. Blieben diephysikalische n Tetraden
,,ersta rrt", so wiire die Rekonstruktion des nichtgalileischen Koordinatensystems unmoglich. Dehalb nehmen wir an, daD die physikalische Tetrade ,,weich"
ist, d. h., sie kann sich bei der Verschiebung vom Punkt zum Punkt nicht nur
drehen, sondern auch sich deformieren.
Die Tetrade $p charakterisiert das ausgewiihlte lokale Koordinatensystem.
Den affinen Zusammenhang definieren wir folgendermal3en [31 :
dhi = Tivhi axv = Th hi axv
+ aaa
"hi dxv + aaaf(ap)
.hi axv,
(8)
wo die Zusammenhangskoeffizienten 7; f"lr]' und -f7(11r),, bzw. die Veriinderung der lokalen Koordinatentetrade -&, die Drehung und die ,,Deformst ion" der ,,weichen" physikalischen Tetrade & bestimmen. Der Fundamentaltensor a, fiillt in j e d e m lokalen Raum mit dem der speziellen Relativitiitstheorie zusammen, also es gilt
-1
1
= y aaa(apaav
a, aap- aa alrU),
01apv= 21'(pv)a; rpv
(9)
+
A
+
[a LVr$,
,I
ra01 rvr;I,I\ =+ 0.
(10)
Der RIEMANN-CHRISTOFFELSChe Tensor, der mit Tivgebildet wird, verschwindet.
R : ~ ,= 2
Die G1. (10) druckt die Inhomogenitiit der Welt aus. Infolge (9) ist die Weltgeometrie komplizierter a h die RIEMANNsGhe.
Fur das statische Gravitationsfeld reduzieren sich die Zusammenhangskoeffizienten I'(ap)r
auf die Form :
.F(lp,v= -al,,nv;
=8,
wo 8 das Gravitationspotential ist, das wir aus der k o v a r i a n t e n POISSONschen Gleichung :
nv
ravae=
v,
Favae+F,ao=,
(12)
bestimmen.
Betrachten wir jetzt das Problem der Messung globaler Raumabstlinde. Der
Vergleich der Theorie mit dem Experiment setzt eine nachfolgende Abbildung
der Gleichungen der Theorie, die mit einem Feld lokaler Riiume operiert, auf
einem bestimmten lokalen Raum, den wir als einen ,,normalen Laboratoriumsraum" annehmen, voraus. Diese Abbildungsmethode lokaler Bereiche auf den
arithmetischen Zahlraum gibt uns die Moglichkeit, einerseits die zeitlichen und
raumlichen Abstiinde als physikalische Gro13e in der allgemeinen Relativitatstheorie zu betrachten, andererseits die fundamentale EINsTEINsChe Annahme
der Inhomogenitiit der Welt mit ihrer nichteuklidischen Geometrie zu erhalten.
Betrachten wir zum Beispiel die Perihelbewegung des Merkur im Gravitationsfelde der Sonne. I n jedem Punkt M der inhomogenen Welt fixieren wir
einen lokalen pseudoeuklidischen Raum FH, wo wir einen physikalischen ,,weichen" Radialbasisvektor ( z i )betrachten.
~
Weiter nehmen wir an, daB die Bahn
A. LEVASCHEV
: Das CARTANsche Problem in der d g e m e h e n Relativitiitstheorie
213
eines Teilchens (hier des Merkur) durch die Gleichung der geodiitischen Linie
bestimmt w-ird. I n jedem lokalen F M des statischen Grevitationsfeldes bekommen wir die klassischen Gleichungen :
+ ,2+2 - 2m = 2 E ,
+&=A,
(13)
wo der Radiusvektor jedoch so definiert ist, als ob er durch einen ,,Merkurianer"
mit seinem eigenen Basisvektor im lokalen Raum F M ,dessen Beriihrungspunkt
M mit der momentanen Lage des Merkur zusammenfiillt, gemessen sei.
Wir mussen aber berucksichtigen, daB der physikalische Radialbasisvektor,
der in der Theorie ,,weich" ist, bei der Verschiebung von Punkt zu Punkt im
Gravitationsfeld eine Deformation erleidet :
+2
~
wo (&)A der physikalische Radialbasisvektor in einem willkiirlichen und doch
fixierten ,,Laboratoriumsraum" F A ist, a der Abstand des Punktes A vom Koordinatenursprung und m der Gravitationsradius der Sonne sind. Praktisch gilt
a --z 00, und wenn wir (i;
=)
1annehmen,
so folgt aus (14):
-1
hf=1-
m-I-_
T
-
m
r '
wo der Strich oben bedeutet, daB die GroBe zu einem lokalen Raum F A gehort.
Aus dieser Gleichung folgt :
_ r=r-m.
(16)
Da fiir den Merkur r
m ist, folgt aus (13) und (15) der Form nach die bekannte
Gleichung fur die Perihelbewegung des Merkur :
2m
i f T ( 7 - 2G)p12- - = 2 E ;
-
rz+ =
2,
(17)
wo der Abstand ?: eine physikalische und prinzipiell meBbare GroBe ist. Damit
unterscheidet sich die Gleichung inhaltlich wesentlich von der SCHWAF~ZSCHILDschen Losung des Merkurproblems, wo r bekanntlich keine physikalische GroBe
ist und nur anniihernd durch F ersetzt werden kann.
Somit ist die Losung des CARTANschen Problems globaler Abstiinde durch die
Einfuhrung der ,,weichen" Tetraden moglich geworden. Dabei ist aber darsuf
hinzuweisen, dal3nicht alle Punkte der inhomogenen Welt den Punkten des homogenen lokalen Raumes eindeutig zugeordnet werden konnen: I n jedem lokalen
Raum gibt es irgendeinen unzuganglichen Bereich, z. B., im Gravitationsfeld der
Sonne eine Sphiire mit dem Radius m. Das ist ein unausbleibliches Resultat der
Inhomogenitiit der Welt bei Anwesenheit gravitierender Massen.
Literatnrverzeiehnis
[l] CARTAN,
E., L'enseign. math. 24 (1924/25) 5.
[2] MBLLER, C., Mat. Fys. skr. Dan. Vid. Selsk. l(1961) 10; SCIAMA,
D. W., J. math. Phys.
2 (1961) 472.
[3] LEVASCHEV,
A. E., DAN USSR 4 (1934) 31; LEVASCHEV,
A. E., u. 0.S. IWANITSSKAYA, Acta phys. polon. 23 (1963) 647.
M i n s k , Institut fur theoretische Physik der Staatlichen Universitijt.
Bei der Redaktion eingegangen am 22. Dezember 1965.
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