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Das Eigenwertproblem des verdnnten idealen Gases.

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630
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 33. 1938
Das Eigsnwertproblem des verdiinnten 6dealen. Gases
Vom W . L e n x
Eine friihere vereinfachte dreidimensionale Behandlung des Eigenwertproblems (5 1) wird durch eine neue Metbode ergllnzt (s 2), die auf das eigentliche vieldimensionale Problem verallgemeinert werden kann (8 3) und in einer
Modifikation des Huygensschen Prinzips besteht. Dadurch laSt sich das
Eigenwertproblem auch bei Reriicksichtigung der energieaustauschenden Zusammenstode behandeln. Fur sehr tiefe Temperaturen - wesentlich unter 10werden die friiheren Eigenwerte bestltigt. Vgl. auch 5 (Ergebnis).
Q
1. tfberblick
I n einer friiheren Arbeit l) wurde das Xigenwertproblem des
idealen Gases in stark vereinfachter Form gelost: es wurde
augenommen, da6 alle Molekiile - starre Kugeln vom Durchmesser a - fest seien und nur eines sich bewegt. Falls a = 0
hat man fiir das bewegliche Molekiil sinusformige stehende Eigenschwingungen im praktisch leeren Gaskasten; fur Werte von a, die
noch klein sind gegen die Wellenlange dieser Eigenschwingungen,
kann die Eigenfunktion u in der Umgebung irgendeiner der festen
Molekulkugeln naherungsweise (wie a. a. 0.) gesetzt werden:
,
u = uo(1 - ;),
wenn uo die ungestiirte Eigenfunktion am Mittelpunkt dieses feksten
Molekiils und r die Entfernung der Mittelpunkte des beweglichen
und des festen Molekuls bedeutet; denn die Wellenlange spielt im
betrachteten Fall voraussetzungsgemiiB keine Rolle, also ist, a i e in (1)
die Gleichung du = 0 zu losen und zwar so, d a 6 u = 0 fur ZusammenstoB, also fur r = a. In grof3erer Entfernung vom hervorgehobenen
festen und auch von anderen Molekulen wird ungestorter Verlauf, also
u= u,,(r)angenommen. Es wurde gezeigt, daf3dieeeKenntnis derwellenfunktion bei verdiinnten Gasen schon ausreichend ist zur Berechnung
der Eigenwerte der Energie, die unten in ( 5 ) wiedergewonnen sind
nnd, wie a.a.0. gezeigt, am langsamen Ende eine sehr bedeutende
Anderung der Max w ellschen Geschwindigkeitsverteilung bedingen.
1) W. L e n z , Ztschr. f. Phys. 06. S. 588. 1929.
W . Lenz. Das Eigenwertprobbna des verdunnten idealen Gases
631
Urn dieses grundsatzlich wichtige Ergebnis gegen mogliche
Einwendungen zu sicbern, ist es der Zweck der folgenden Betracbtungen, -zu zeigen, daB, und unter welchen Umstanden die friiheren
Eigenwerte aufrecht erhalten werden konnen, wenn die Molekiile
alle als beweglich behandelt werden, d. h. wenn man von der friiheren
dreidimensionalen zur vieldimensionalen Behandlungsweise des Eigenwertproblems ubergeht.
Da die friiher benutzten Methoden hierfiir nicht geeignet, weil
nicht verallgemeinerungsfahig scheinen, wurde ein neues Verfahren
entwickelt, das in einer Modifikation des Huygensschen Prinzips
besteht. Schon gelegentlich des Ausbaus der speziellen Relativitatstheorie ist dieses Prinzip neben anderen vielfaltigen Beziehungen
yon A. Sommerfeld ins Vierdimensionale ubertragen und die Eleganz
dieser Methodik einpragsam dargetan worden. Insofern stellt die
hier mitzuteilenile Ausdehnung auf den vieldimensionalen Raum
nur einen kleinen Schritt weiter dar. Trotzdem diirften die modifizierte Handhabung des Prinzips, die Art der Durchfiihrung der Verallgemeinerung und die Anwendung auf das Gasproblem erneutem
Interesse begegnen. Es scheint ubrigens, daB die gewonnene Methode
fur mancherlei andere vieldimensionale Probleme der Quantentheorie
von Nutzen sein wird.
§ 2. Erliiuterung der Methode am dreidimensionalen Beispiel
Bei der Ausbildung der Eigenschwingung des einen beweglichen
im Zwischenraum der festen Molekiile handelt es sich urn die gleiche
Erscheinung, die wir bei der Dispersion des Lichtes kennen: die Mikrostreuwellen setzen sich zu einer ausglattbaren Welle, der Makrowelle,
zusammen, die einer anderen Wellengleichung geniigt, als die Mikrowellen. Wahrend man in der ublichen Form des Huygensschen
Prinzips bei Kenntnis der Qrenzbedingungen die Gesamtheit (Superposition) der Mikrowellen, also die wirkliche Eigenfunktion u , an
irgendeinem Punkt errechnen wiirde, geht das hier zu benutzende
Verfahren darauf %us, die Bedingung aufzusuchen, unter der das
modifizierte Huygen s sche Prinzip die Makrowelle uo liefert; diese
Bedingung erweist sich als die Beziehung zwischen den Eigenwerten
von leerem und gasgefulltem Kasten.
Die Eigenfunktion u (x) geniigt der Schrodingergleichung:
A U + k2u = 0 ; (kh)’= 2 m E ,
(2)
wo E die Energie des Molekiils, m seine Masse bedeutet.
Urn die Makrowelle an einem hervorgehobenen Punkt P
berecbnen zu konnen, fiihren w i r als Hilfsfunktion des Huygens43 *
632
Annalen der Physik. 5 . Folge. Band 33. 1938
schen Prinzips eine Funlction v ein, die nicht der G1. (2), sondern,
im Anschluf3 an die a. a. 0. gewahlte Bezeichnungsweise, unter Einfuhrung einer noch zu bestimmenden Wellenzahl k,, der Gleichung
dv
(3)
+ kt v = 0
geniigt, und zwar inbesondere:
Dann ergibt sich aus (2) und (3) zunaclist
(k;-k2)UV=VdU-UUV;
uncl uach Integration iiber das Gebiet au6erhalb des Punktes P,
wenn d r das Volumenelement, d o das Element der durcli die festen
Jlolekiile und die Kastenwande gebildeten Oberflache und d n das
Linienelement ihrer nach au6en genommenen Normaleu bedeuten,
erhiilt man megen u = 0 an dieser Obedache:
(4)
Das Wesentliche unserer Methode besteht darin, daf3 der Teil
des OberHachenintegrals naherungsweise ausgefiihrt wird, der sich auf
die Molekiiloberflachen bezieht. Wir nehmen dabei (wie a. a. 0.)an, daS
1. Dann gilt (1) an der Oberfliiche irgendsowohl k a 1 als k,a
eines festen Molekuls, z. B. desjenigen, dessen Mittelpunkt sich an
der Stelle r = ti befindet, so daS fiir dessen Anteil am Oberliacbenintegral entsteht:
<
<
-
-
- 4 II a u,, pi) v (ri); ria= (ri - rp)a,
(44
vorausgesetzt, dab Ti>>a, da sonst die Veranderlichkeit vou ri im Y
A enner
von v bei der Integration iiber die Kugeloberflache beriicksichtigt werden
miiBte. Unter dieser Bedingung kann die Summation iiber i naherungsweise als Integral geschrieben werden. Dies gilt zunachst allerdings
nur, wenn auf einen W’ellenlangeiikubus viele Molekule entfallen,
so da6 also u0 sich von einem zum Nachbarmolekiil nur langsam
iindert. Wegen der unregelma6igen Verteilung der Molekule im
Kastenraum kann indessen angenommen werden, daf3 das Integral
nuch dann noch einen branchbaren Saherungswert der Summe
liefert, wenn nur wenige Molekiile auf den Wellenlangenkubus entfallen. Sei n die Snzahl der Molekiile pro Volumcneinheit, so
hat man:
W . Lenz. Das Eigenwertproblem des verdiinnlen idealen. Cases
633
worin endlich noch ohne groBen Fehler u statt u,, gesetzt werden
kann, d a die Gebiete, in denen u und uo wesentlich roneinander
abweichen nach (1) on der Ordnung a3 sind, also bei hinreichend
rerdiinnten Gasen sebr klein sincl gegen das mittlere Bolumen as,
das jedem Molekul zur Verftiigung steht.
Setzt man den Kaherungswert (4b)rechts in (4) ein, so erhalt
man jetzt keinen strengen, sondern einen naherungsweisen Ausdruck
tip fur up. der an allen Stellen gilt, die
a von irgendeinem Molekul
entfernt sind. \\'%lilt man insbesoodere k, so, da6 alle Volumintegrale
verschwinden, also so da6:
>
k Z = kn8+ k d Z ;k o t = 4 n n a ,
(51
dann wird G p praktisch identisch mit der Makrowelle u;, clcnn
erstens berechnet sich .iip jetzt unter der Form des Huygensschen
Prinzips allein aus Integralen uber die Kastenwande:
Kastenwtinde
und zweitens kann an dem weitaus uberwiegenden Teil dieser W h d e
u mit u, identifiziert werden, da es j a bei stark verdunnten Gasen
ein seltenes Ereignis ist, da6 ein Molekiil sich bis auf die Entfernung a
der Wand nahert und dann nach (1) eine wesentliche Abweichung
zwischen u und u, vorlage.
Man bemerkt ubrigens, da6 die Makrowelle iip nach (6) der
Differentialgleicbung (3) und nicht (2) geniigt.
Die in (5) wieder zuruckgewonnenen friilieren Eigenwerte stellen
also die Redingung dafiir dar, da6 tler Ausdruck des Huygensschen
Prinzips f u r u p die Makrowelle liefert.
5 3.
Dae Hu y g e n B eche Prinsip im vieldimeneionalen b u m
I m Tieldimensionalen Ilaum ist die Gesamtlieit der Orte ri der
Mittelpunkte aller N Molekule durch eineii Puukt bzw. Vektor fJ?
bestimmt. Entsprecliend miige ein hervorgehobeoer Punkt P dieses
Raiims mit den beliebig gewiihlten dreidimensionalen Orten tip
durch
gekennzeichnet werden. Also . in symbolischer Schreibweise:
mp
(7)
9?
{r&
[ r L , r L l * . * r A , + 91p-+
Der Abstand dieser beiden Punkte ist dam:
A'
P
* * . rP , , ) .
634
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 33. 1938
Die M'ellenfunktion u hangt jetzt von den Orten aller N Molekhle
ab, sie verschwindet, wenn irgendein Molekul an die Kastenwand
stoBt, oder wenn irgend zwei Molekule zusammeustoBen, d. h. wenn
(ri- r.1
= a ; i, j beliebig; und an die Stelle von (2) tritt:
I
(8)
si)diu
+ K 2 U = 0;
(Kh)2= 2ntE,
1
\YO E die Gesamtenergie aller Molekiile bedeutet und m die Masse
eines einzelnen.
Um nach dem Huygensschen Prinzip u an irgendeiner Stelle P
berechnen zu konnen, muB die Hilfsfunktion v an dieser Stelle
singule sein. Dies kann wieder dadurch erzielt werden, daB v
allein von R abhangig gedacht wird und der zu (3) analogen
Gleichung :
N
(9)
geniigt, in der K, noch spater zu bestimmen ist. Vermoge ('la)
geht (9) uber in:
dPV
p
dR
+ 3N-
dv
1
*-
dR
+ K12v = 0
mit der Losung:
in der 2, die allgemeinste Zylinderfunktion pter Ordnung und A
eine Konstante bedeutet. Ebenso wie friiher nur die auslaufende
Welle (3a) verwendet wurde (Vorzeichen + i im Exponenten) kann
man sich hier auf die erste Hankelsche Funktion fur Zp beschrankeo. Setzt man:
60 geht nach den bekannten Formeln fur die Zylinderfunktionen
kleinen Arguments (10) fur K, R << p uber in:
Fur I<, R
>p
hat man oszillierendes Verhalten analog zu (3),
namlich:
,i KaR
(104
2:
= const
=,R a
R
>p .
W . Lenx. Das Eigenwertproblem des verdiinnten idealen Gases
635
Aus (8) und (9) bildet man wieder:
N
1
I
1
=
BCdivi iv grad,
ZL
- ZL
grad, v),
1
worin der Index i andeutet, dal3 sich die betreffende Operation
nur auf die Abhiiugigkeit der Funktionen u und v von ~i bezieht,
wahrend die iibrigen Orte die Rolle eines Parameters spielen. Nunmehr ist (11) aieder iiber den gesainten singularitatenfreien Raum
zu integrieren, d. h. es ist vr-ieder der Punkt P durch eine, jetzt
3 N-dimensionale Kugel auszuschlieBen. Sei d tjdas dreidimensionale
N
Volumenelement dxjdyjdxj, so ist also iiber d t = n d r j zu inte1
grieren. Rechts kann jeweils im i-Raum der G a u s s sche Satz angewandt werden, wobei dann do ; das (zweidimensionale) Element derjenigen Oberflkche ist, die sich ergibt, wenn alle Orte bis auf den
des i t e n Molekiils festgehalten werden und dieses an den nunmehrigen Grenzeu des Bereichs entlang wandert ; es bleibt dann
jeweils noch ein 3 N - 3 dimensionales Integral uber das Element d t l d t i .
Insgesamt erhalt man so:
Es sol1 nun zunachst das Oberflachenintegral iiber die Kugel
urn P betrachtet werden. Da R --f 0, so miissen nach (7a) alle
(rj- r j p ~ znach 0 gehen; es ist deshalb zweckmabig, nicht die
einzelnen Teilintegrale iiber dox $5,sondern gleich das Gesamt,dz,
integral iiber die Kugel zu betrachten. D a v nach (lob) nahe
R -* 0 mie R-3"+2 unendlich wird, aber die Kugeloberflache
niit R3.';-1 verschwindet, so verschwindet, in Analogie zum dreidimensionalen Fall, insgesamt der erste Summentcil der rechten
Seite von (lla). I m zweiten Summenteil kann u als Konstante
herausgezogen werden da auf der infinitesimalen Kugeloberflache
u --f up = u (&), so daB:
636
Annalen der Physik. 5 . Folge. Band 33. 1938
Das zur Berechnung dieser Summe einzuschlagende Verfahren
wird am deutlichsten, wenn wir zunachst nicht von v, sondern von
einer willkiirlichen, auBerhalb P regularen Funktion w (R) ausgehen.
Der vieldimensionale G a u s 8 sche Satz liefert:
N
1
Kugel UUL P
und w feroe ObertQche
Einerseits ergibt aieder die Durchrechnung nach (9 a):
1 s t andererseits O S N die Oberflache der 3 N-dimensionalen Kugel
vom Radius R , also:
3N
.
so kann das Volumenelement geschrieben werden d r = 0 3 , d R
Die linke Seite von ( l l c ) geht daher bei Ersetzung der unendlich
fernen Oberflache durch die unendlich ferne Kugel iiber in:
Wiirde man hierin (lob) ftir die willkiirliche Funktion w einsetzen, so entstunde der Wert 0. Setzt man dagegen:
so fallt ersichtlich in ( l l c ) und (12c) auf der rechten Seite das
Oberflachenintegral iiber die unendlich ferne Kugel fort, und es bleibt:
$
h'
z
i
)
.
(gradi zcdoJ- d r = ( 3 N - 2 ) C S N .
d 'i
1
KugelumP
Da aber nun fur R - - + 0 ( 1 2 4 und (lob) also w und v
identisch werden, so folgt nach (llb), daS der auf die Kugel um P
bezugliche Anteil der rechten Seite von ( l l a ) den Wert hat:
- (3N - 2)C3A3-*
u (t:, . .. r i ) ,
(13)
wo CSN die Bedeutung (121) hat und up der Deutlichkeit halber
ausfuhrlich angegeben ist.
Wurde man I i ~ 3 I Pwahlen, so ware damit u p nach ( l l a )
durch Oberfiachenintegrale ausgedriickt, d. b. das H u y g e n s sche
Prinzip ins Vieldimensionale iibertragen ; es ist das Charakteristikum
unserer Methode, dab eine andere Wahl von Ka2zu treffen ist.
W. Lenz. Das Eigenwertprobkm des verdiinnten idealen Gases
637
0 4. Anwendung auf dae verdknnte Gae
Nunmehr ist der Inhalt von 0 2 ins Vieldimensionale zu iibertragen.
Wir nehmen wieder an, dab das Gas hinreichend verdiinnt ist
und daS wieder eine ausgeglattete Funktion uo durch die Streuwirkung der einzelnen Molekiile entsteht, von der sich die wirkliche Funktion u nur in denjenigen Gebieten des vieldimensionalen
Raums unterscheidet, i n denen zwei Molekiile einen Abstand von der
GroBenordnung a besitzen. Es sol1 dann spater prazisiert werden,
wann diese Bedingung erfullt ist. Es handele sich um die Molekiile i und j ; die Storfunktion u i j , die von der Gesamtfunktion abgespalten zu denken ist, wird unter den genannten Umstanden 'allein
von den Koordinaten ri und tj abhangen und w i d einer Gleichung
geniigen miissen:
= 0,
(Ai+ dj) uij+ kijUij
2
da die Energie bei dem StoBprozeB erhalten bleibt. uber den Wert
von kij darf bei hinreichend tiefen Temperaturen wegen der dann bei
verdunnten Gasen vorliegeuden langsamen Veranderlichkeit von uo
vorausgesetzt werden, dab k i j a 1. Aus dem gleichen Grund
kommt man, wie i n (1) mit der Annahme Bus, daS u ij allein von r i j
abhangt. Dann geht (14) iiber in:
<
2 u i j + - u2 i j )*
woraus wieder :
(
+ k i2 j u i j = O ,
I,
rij
ikij *
u i j= c
Tij
-
vg
e
*
+ const.
I
-
rl .j
Da u fiir r i j = a verschwinden 6011, hat man wegen
r . - a wieder, wie in (1):
aj
$)
- < 1 fur
kij a
= uo* (1 9
(15 )
worin uo nur hinsiclitlich r,. und tj ausgeglllttet zu denken, sonst
aber beliebig ist. Nunmehr konnen die Oberflachenintegrale i n ( I 1a)
berechnet werden, soweit sie iiber die Kugeloberflachen zu erstrecken sind. Wie angegeben, sind alle Molekule bis auf das i t e
festzuhalten, und dessen Mittelpunkt ist, wie in 8 2, iiber alle um
diese Molekiile geschlagenen Oberflachen zu fiihren. Da hier u = 0,
so bleibt in ( l l a ) nur der erste Term iibrig, zu dessen Berechnung
wir zungchst den geometrischen Ort ti der mit u um tj geschlagenen
Kugel einfiihren. Es sei n: die (radial) nach d e n genommene
Normale dieser Kugel,' dann gilt:
(16)
ti =
rf + a . njO,
638
Annalen der Physik. 5 . Folge. Band 33. 1938
und es ist an dieser Oberflgche nach (15), da die hinsichtlich ri
und tj langsam veriinderliche Funktion uo auf der ganzen Kugel als
konstant betrachtet werden kann:
Bedeutet wj den vom Mittelpunkt rj aus gemessenen raumlichen
Winlrel, so ist das in (11a) auftretende Oberflachenelement
do;
=-n.0.~2a~
j’
J
Fur den von den Kugeloberflachen herruhrenden Anteil des i t e n
Sunimengliedes von (11a) erhalt man daher :
j*i
Zur Ausfuhrung des Integrals uber dw, muB die Veranderlichlteit
yon v auf der Kugel um rj beurteilt werden.
Aus (?a) und (16) folgt:
R2= R: + 2 (tj
\
- r r , a;!)
a,
,
Wegen der hohen Dimensionszahl des Raumes ist dasjenige
Gebiet des Gesamtraums auBerst klein, in dem der Abstand eines
Molekuls, z. B. des iten, von dem hervorgehobenen Punkt, also lri-r:l,
fur eine groBe Zahl von Molekiilen klein ist gegen die Lineardimension 1
des Kastens, in dem sich das Gas befindet. Mit anderen Worten:
es ist ein auBerst seltener Fall, daB der darstellende Punkt ‘8 des
Gases sich in der Nahe des hervorgehobenen Punktes g P befindet.
In dem weit uberwiegenden Teil des Raums hat man fur / r - tPI
im Mittel die GrGBenordnung 1 zu setzen und erhalt daher nach (?a)
die Abschatzung R 2 - N . 1 2 ; es wiirde bei einein Mol Gas aber
ubrigens fur unsere spateren Abschatzungen nichts ausgemacht
haben, wenn sich der durchschnittliche Wert von R 2 1000000 ma1
lrleiner ergeben hatte. Da R und €2, sich nur unwesentlich unterscheiden, folgt aus (19):
Der Faktor von R, in (20) ist so klein, daB selbst die N te Potenz
davon noch unwesentlich von 1 abweicht, wenn (tj - rp, nj”) der
W . Lenz. Das Eigenwertproblem des verdiinnten idealen Gases
639
grohtmiigliche Wert 1 gegeben wird; denn die Rlammer hat dann
nach obiger Abschatzung von R, naherungsweise den Wert 1 +
also ergibt die N te Potenz erst 1 +
--1 ’
a
-
a
__
N.1
’
aber es ist stets a<< 1.
E s ist indessen noch zu untersuchen, ob nicht der Exponent
in (1Oc) eine Veranderlichkeit VOJI v liefern konnte. Die dazu erforderliche Abschatzung von K, kann so erfolgen: Wie sich zeigen
wird, ist K,< K ; es geniigt also K abzuschatzen. Es sei frcz der
durch die mittlere kinetische Energie bestimmte quadratische Mittelwert der den einzelnen Molekulen zukommeriden Wellenzahlen ; die
Wurzel daraus sei k = vp-. Dann ist, wiederum wegen der hohen
Dimensionszahl, abgesehen von Gebieten verschwindender GroBe zu
setzen K z - N p, also K
k . 1 / N und daher nach (20), wenn
wieder fur (rj - rip, )n: der groBtmogliche Wert I gesetzt wird:
-
(20a)
N
KR-+KR,+
-E.a.
Damit im Exponenten von (1Oc) keine Veranderlichkeit von v beachtet zu werden braucht, ist also zu verlangen ?c a n. I n dieser
Forderung unterscheidet sich die gegenwartige Betrachtung von der
fruheren , dreidimensional vereinfachten ; dort war fur die einxelne
Eigenschwingung nur zu verlangen k a n. Dies bedingt eine
starkere Einschrankung des Geltungsbereichs. Immerhin erscheint die
<
<
I’orderung, daB die mittlere Wellenlange
=
k
groB sein sol1 gegen
den Molekuldurchmesser a in diesem Zusammenhang als durchaus
plausibel. Dabei ist zu beachten, daf3 diese Forderung durch die
hier benutzte Methode bedingt ist und nicht umgekehrt geschlossen
werden kann, daB unser Endergebnis im anderen Fall nicht aufrecht erhalten werden konnte. F u r ein Fermigas am absoluten
Nullpunkt ist
von der QroBenordnung des mittleren Abstands d
der Molekule, so daB also, weil bei verdunnten Gasen a < d , f u r
hinreichend tiefe Temperaturen unsere Forderung erfullbar ist.
Bei l oabs. ware indessen fur Helium die Bedingung noch nicht
hinreichend erfullt, da d a m noch wenig uber lo-? cm mifit.
In (18) entsteht nunmehr von der Integration uber dcuj der
Faktor 4n, und man erhalt fur den auf die Molekuloberflachen bezuglichen Anteil der rechten Seite von (11a)
x
640
Annalen der Physik. 5 . Folge. Band 33. 1938
Dabei sind uberall die Mehrfachzusammenstifle, bei denen j a
die Oberflache keine Kugel ware, als zu selten unberucksichtigt gelassen worden. An Stelle der Summation iiber i kann man wieder
naherungsweise die Integration uber dri setzen, so da6 das Differential
im Nenner von (21) fortfallt und dafur der Faktor n der Molekiildichte eintritt. Ferner kann in diesem Integral wieder uo durch u
ersetzt werden, da die Gebiete, in dencn beide Werte wesentlich
voneinander abweichcn, nach (15) zu vernachlassigen sind. Das so
gewonnene Integral kann aber nun nicht mehr von Clem Index j abhangen, denn dieser bedeutet , dafl irgendeines von den Molekulen
herausgegriffen wird, die alle gleichberechtigt eingehen. Es mu8
also die Summation uber j den Faktor N ergeben, und man erhalt
schliefllich am (1I a) mit Rucksicht auf (13) die nur niiherungsweise
giiltige Beziehnng :
e
- (3N- 2)
9
CSN* u (TI,
P *
* *
T-;)
N
+
2
v (grad, u d o i ) d.
(ET
1 Kastenwande
ri
Damit die ausgegliittete Fnnktion 6 entsteht, muB wieder das
Volumintegral verschwinden, d. h. es muS sein:
(23)
K 2= K n 2 + 4 7 z a n N ,
denn d a m ist ii allein durch das Integral uber die Kastenwande
bestimmt und es kann, wie in 8 2, hier wieder uo statt u gesetzt
werden, d. h. eO mird ii = uo.
$ 5 . Ergebnie
Unser Endergebnis (23) stellt nun die Summe aller N fruheren
Eigenwerte ( 5 ) dar und erweist damit, da6 die Beriicksichtigung der
Zusammenst?jBe, die durch die vieldimensionale Methode, insbesondere durch (14) und (15 ) gewahrleistet wird, keine Anderung
an den fruheren Eigenwerten bedingt. Denn die Funktion u kann
niiherungsweise durch eine Summe iiber Produkte der fruheren
dreidimensionalen Eigenfunktionen dargestellt werden, die einerseits
der Vertauschbarkeit Rechnung tragen , andererseits aber, was hier
sehr wesentlich ist, die Moglichkeit des durch die Zusammenst06e bedingten obergangs von einer gewissen Kombination von
Eigenschwingungen k, zu einer anderen k,' enthalten , die dieselbe
W . Lenz. Das Eigenuertproblem
des
verdiinnten idealen Gases
641
Gesamtenergie ergeben, fur die also 2.: = 2'l~,'~
= K,S Da in (23)
nur diese Summe eingeht und keine andere Kombination der k,, ist
der Ruckschlu6 auf die Giiltigkeit yon ( 5 ) gestattet. Wie durch die
Abschatzung im Anschlu6 an (20a) gezeigt wurde, konnte (23) nur
bewiesen werden, falls die mittlere de Brogliewellenlange gro6 ist
gegen den Molekiildurchmesser , also fur Temperaturen wesentlich
unter l oabs. Da im Obigen in eingeschrhkterem Gebiet gexeigt ist,
da6 die ZusammenstOBe keine h d e r u n g der fruheren digenwerte ( 5 )
bedingen, ist es aber kaum zweifelhaft, dd3 dies auch fur die energiereicheren Zustiinde noch gilt, fur. die unsere Methode nicht ausreicht,
nnd da8 also die fruher gefundene abgeanderte M&.wellverteilung
auch fur hohere Temperaturen gultig bleibt.
H a m b u r g , JungiusstraSe 9.
(Eingegangen 18. Oktober 1938)
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