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Das electrodynamische Gesetz ein Punktgesetz.

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Electrodynamisches Gesetz.
73
111. Das electrodynarnisclte Geeetx edn P m k t gesetiz; von W. 0.EanhceZ.
(Aus den Berichten der math.-phys. Classe der Konigl. &he. Gee. der
Wise., vom 23. April 1888; mitgetheik vom Hm. Verf.)
Es ist bis jetzt das electrodynamische Gesetz als in
seinem Wesen ganzlich verschieden von den Gesetzen der
Schwere und der ruhenden Electricitat aufgefasst worden.
Man hat bei der Bestimmung der Einwirkung eines Stromelements auf ein anderes von Anfang an beide Elemente in
die Rechnung aufgenommen. Im Folgenden werde ich nun
zeigen, dass das electrodynamische Gesetz in gleicher Weise
wie das Gesetz der Schwere und der ruhenden Electricitat
als ein sogenanntes Punktgesetz dargestellt werden kann.
Ein materieller E6rper Bndert den Zustand des ihn
umgebenden physikalischen Raumes oder raumlichen Mittels
in der Weise, dass ein zweiter an einen bestimmten Ort
gebrachter Korper eine Anziehung zum ersteren, in deren
Betrag dann der zweite Korper mit seiner Masse als Pactor
eingeht, erfahrt. Bezeichnet m die Masse des ersten Korpers und T den Abstand des betrachteten Punktes, so w i d
die Aenderung des Zustandes in diesem Punkte durch m / r s
ausgedrtickt. In gleicher Weise kann man bei der Wirkung des Elementes dsr eines geschlossenen Stromes auf ein
anderes Stromelement ds zuniichst die Aenderung in dem
Zustande des um ds’ liegenden Raumes berechnen, und dann
erst das Element ds an den betreffenden Ort legen. 1st ds‘
die Lange des Elementes, i‘ die Intensitat des in ihm fliessenden Stromes, r der Abstand des betrachteten Punktes von
ds‘, und 0’der Winkel, welchen r mit dem Element ds’ bildet,
so tritt in jenem Punkte eine mit i‘ds’ sin O ’ / r z proportionale Aenderung ein. Wird nun das Element d s , dessen
Intensittlt i ist, und welches mit der durch und ds’ gelegten Ebene einen Winkel 9 bilden moge, in den betreffenden
Punkt gebracht, so tritt es nit dem Betrage von ids C O S Y
als Factor zu dem vorstehenden Ausdrucke hinzu. Es bleibt
dann nur noch die Richtung zu bestimmen, nach welcher
W.G. Hankel.
74
der Antrieb zur Bewegung des Elementes ds erfolgt. Ich
werde im Speciellen die physikalischen Vorgiinge bei dieser
Einwirkung nachweisen und aus denselben die Richtung der
auftretendei Kraft herleiten.
Um eine klare Einsicht in die electrodynamischen Vorgange zu erleichtern, halte ich es fur zweckmassig, von
der gewohnlichen Form des A m p e r e'schen Gesetzes auszugehen.
0 1. Geleitet yon dem Bestreben, dem fir die Wirkung
in die Ferne aufgestellten Grundsatze, dass Wirkung und
Gegenwirkung stets einander gleich und nur entgegengesetzt
gerichtet sein sollen, zu geniigen, gelangt A m p e r e l ) in
Betreff der Wirkung zweier Stromelemente ds und ds' mit
den Stromintensitaten i und 'i z u dem bekannten Gesetze:
i i' (1s ds'
-~
(cos & - a cos 8 cos 0')
rz
worin r den Abstand der beiden Elemente, e den Winkel
zwischen den Richtungen von ds und ds', 0 den Winkel
zwischen r und ds und schliesslich 0' den Winkel zwischen
T und ds' bedeutet.
Die Wirkung erfolgt in der Richtung
der Verbindungslinie r , d. h. von ds' nach ds.
Als A m p e r e nach diesem Gesetze die Componenten
der Wirkung eines geschlossenen Stromes auf ein Element
herechaete z, erschienen in den Integrslen zwei Glieder, von
denen bei Ausdehnung der Integration iiber den geschiossenen Stromlauf das eine wegfiel und also nur das andere
iibrig blieb.
0 2. I m weiteren Verlaufe seiner Abhandlung kommt
A m p e r e nochmals auf dieses Integral zuruck 7 und berechnet aus dem nicht wegfallenden Theile die Wirkung zweier
Elemente. E r findet fur dieselbe den Werth
- i i ' d s d s ' sin 8'eos w
7
21.2
1 ) ArnpBre, ThBorie des ph6nom8nes Clectrodynarniques. Paris 1826.
2)
A m p h e , 1. c. p. 41 f.
c. p. 135.
31 AmpBre, 1.
75
Electrodynarnisches Gesetz.
wo y den Winkel bedeutet, welchen das Element ds mit der
durch r und das Element ds' gelegten Ebene bildet.
Auf kiirzerem Wege erhalt man dieses Gesetz, wenn
man von dem durch A m p i:r e I) aufgestellten Ausdruck
2i i '
-.-
7/,
de
v; d s ds'
dsds'
ausgeht.
Es wird die Herleitung wesentlich erleichtern, wenn ich
zuvos die im Folgenden gebrauchten Bezeichnungen soweit
sie nicht schon zuvor erlautert sind, und eine Reihe von
auftretenden Ausdrucken zusammenstelle.
Es seien x, y, z die Coordinaten des Elementes d s ,
x', y', z' die Coordinaten des Elementes ds',
r 2 = (z also:
-j- (y - Y ' ) ~+ (z a , b , c die Winkel, welche r mit den drei Coordinatenaxen,
u , /? y die Winkel, die das Element ds mit denselben Axen und
a', /3,' y' die Winkel, welche das Element ds' mit ihnen bildet.
,
,
Ferner wird:
cos @',
d X
=
cosa,
_ -- G O 6~ ,
dd ry
dr
= COSC,
dz
-
- I +cosE+~COSOC0s0'),
-2ryT
1) AmpBre, 1. c. p. 130.
W. G. Hankel.
76
und
Da die durch das Gesetz (2 ii'/ VT).(d21&/ds ds') d s d d
ausgedriickte Kraft in der Richtung von T liegt, so erhlllt
man die Componenten nach den Coordinatenexen durch Multiplication mit cosu, cos6 und C O S C . Es wird also
oder
Man hat aber identisch
Addirt man auf beiden Seiten nochmals den Ausdruck:
Niernach erhalt man
Wird iiber den geschlossenen Kreis, zu welchem das
Element ds' gehort, integrirt, so fallt der erste Ausdruck
weg, und es bleibt dann nur
oder nach Einsetzung der oben angegebenen W erthe:
i i' as as'
x= ___
{cosa (- cos E + 4 cos 0 COB 0')2 re
- cos 0 (- cos u'+ 4 cos a cos @')I,
ii' as as*
X=
{ - COB E COS u + C 0 8 0 cos a'! 1).
2r2
1) Die Componente
X geht, wie oben gezeigt, direct uber in
X =4idsi'ds'
avr
d"7
oder :
Electrodynlna m i d e s Gesetr.
77
und dementsprechend:
z=- i i ' d2sr2d s '
{-
COS&COSC
+ cos O c o s y ' j .
Vereinigen wir die ersten und die zweiten Glieder gesondert zu einer Resultirenden, so erhalten wir zwei Kraft.8,
Bei der Integration uber den geschlossenen Umlauf, zu welchem das Element d.< gehiirt, fMlt das erste Olied des letzten Ausdruckes weg, und
es bleibt ubrig:
ii' d s d s'
nebst
X' =
(- 4 C 0 8 0 COB 0'COB a + COB 0 cos a ' ) ,
~
rs
.r i' d s d.9,
I-'=-(- $ COB 0 cos 0'cos b
r
Z' =
ik'dsdz',
(r2
~
$ COB 0 COB 0' COB c
+ COB 0 cos ,$")
ond
+ COB 0 cos y'),
wenn zur Unterscheidung die Componenten mit Accenten versehen werden.
Aus den obigen Gleichungen fur X, Y , 2 und X', T*,
2' ergeben
sich sofort die Potentiale zweier geschloesener Strome. Da nlmlich
d ( l / r ) / d z=- l / r * . c o s n und d ( l / r ) / d s=-1/r4.cos 0 , so lassen sich die
Uieichungen fur die Cornpotlenten auch schreiben :
1
COSF
-
--
ddrS
eo8 a'
1
--cosp'
ddrS
i
i
7
7
W. G. Hankel.
78
von denen die eine proportional cose in der entgegengesetzten Richtung von T , und die zweite proportional cos Q in der
Richtung des Elementes ds' wirkt. l)
Es ist nun
und
cos E = cos a cos a' + cos p cos p' cos y cos y!
cos 0 = cosacosu
cos b c o s p + cosccos y .
Die diesen beiden Ausdriicken proportionalen Krafte sind
+
+
Bei der Integration uber den geschlossenen Kreis, zu welchem das Element d s gehart, fallen die Glieder d ( l / ? * ) / d acos
. a' , d ( l / r ) / d s .cos b',
d ( l / r ) / d s.cosy' weg, und es ergibt sich dann, wenn die Vorzeichen entgegengesetzt genommen werden, fur den ersten Fall das Potential
und fur den zweiten Fall:
=-
a..,[JCOS
t
ocos W d s d s . .
r
1) Mein verehrter College, Hr. Prof. C. N e n m a n n , sagt in der Vorrede
p. VIE1 zu seinem Werke iiber die electrischen Kriifte I. Thl., 1873:
,,Diese Voraussetzungen fiihren, weil in ihnen die von AmpOre eelber
gemachten Voraussetzungen mit enthalten sind , nothwendig zum AmpAre'schen Gesetz; andererseits aber fuhren sie auch zu einer bestimmten Form des noch fehlenden Gesetzes, dmlich zu folgendem Ergebniss :
D i e resultirende F o r m des electromotorischen EZementar.qesetzes. Die electromotorische Kraft B d t , welche ein Stromelement i ' d s ' in irgend
einem Pnnkte nz eines gegebenen Conductors wtihrend der Zeit d t hervorbringt, ist zerlegbar in zwei Krafte:
'Os '1
und + A2ds' i'dr
- A'ds'
,r
c' '
erstere in der Richtung r ( d s ' +m), ietztere gerechnet in der Richtnng i ' ~
Die Differentiation in diesen Ausdrucken bezieht sich auf die Zeit,
von welcher die Lage der Elemente abhkngt. Nimmt man i' constant
und die Lage von ds' fest, sodass allein das in m befindliche Element
d s mit t verilnderlich ist, so erhalt man fur die vorstehenden Ausdriicke
die Werthe:
- A ' d s i ' d s ' COB E und A 2 d a i ' da' cos 0
~
7.2
r2
Setzt man die Constante A 2 = t i , so sind dies dieselbeii Ausdriicke,
wie sie oben fur die ponderornolorisehe Wirkung angegeben wurden, und
die durch sie dargesteflten Krafte haben auch dieselbe Richtung wie oben.
Electrodyna m isehes Gesetz.
79
zu einer Gesammtresultirenden zu vereinigen. Beide liegen
in der Ebene (r, ds') und bilden miteinander den Winkel
(180O- 0').Ihre Resultirende liegt daher ebenfalls in der
Ebene (r, ds').
9 3. Wenn wir die Resultirende aus den drei Componenten X,Y,Z berechnen wollen, so geschieht dies am einfachsten auf folgendem Wege. Ohne die Allgemeinheit zu
beeintrachtigen, kann man den Anfang der Coordinaten in
das Element ds' und die Ebene X Y so legen, dass das Element ds' in dieselbe fallt und die Axe X durch die Mitte des
Elementes ds geht.
Dann wird a = 0, b = c = 90°; p' = 90° - a'. y' = 90°.
Man erhalt also
x, i i d s d s sin a' cos /I
2r2
oder, dn r mit der X-Axe zusammenfallt und also u'= 0':
x=--i i' 2d sd s' s i n @ ' c o s p ,
8.2
ii'dsds'
Y=-
2 1'2
sin 0'cos
EC,
Z = 0.
Hieraus folgt fiir den Werth der Resultirenden, abgesehen vom Vorzeichen:
R = -i i ' d s d s ' sin
2 P2
$' p'
cos2 u
+ cosap
id' d sd s'
-sin 0'1/1-cos"y
2rs
-- ii ' d sd s' sin 0' sin y .
21.2
Es ist aber y der Winkel zwischen ds und der Z-Axe; bezeichnet q! den Winkel, welchen ds mit der Ebene X Y oder
(r, ds') macht, sodass 9 = 90°- y, so wird
d s ds'
R=- i i '2r'
sin 0'cos y
.
+
Da ( X / R )cos u ( Y / R )cos /?= 0 , so steht die Resultirende senkrecht auf dern Element ds, und da sie in der Ebene
(T, ds') liegt, auch senkrecht auf der Projection des Elementes
ds auf diese Ebene.
0 4. Auch fiir eine beliebige Lage der Elemente ds'
und ds lasst sich das vorstehende Gesetz in ahnlicher Weise
herleiten.
W. G. Hadel.
80
Es ist in diesem Falle
+
+
+
+
COS & = c00 cc c00 a'
COB cos p'
cos y cos y r ,
c o s o = c o s a c o s u cosb cosp
COSC c o s y ,
cos@ = cos a cos a' + cos b cos p' + cos c cos y' .
Setzt man nun in die Gleichungen
X = -i i ' d2 s5-nd s ' [-E'=
Z=
COS a cos E
+ cos 0 cos a'),
i i ' d s d s'
{-cosbcos&+cosOcosp'~,
2 r'
ii'dsds'
- 2 9.2 ~ - c o s c c o s a + c o s @ c o s y ' f
~
die vorstehenden Werthe ein, so erhalt man:
x=-ii'2drasd s' {cosp (- cos a cos @'+cos b cos u')+
+ cos y (- cos a cos y'+ cos c cos a')],
i i d sd
y=** {cosy(- cos b cos y'+ cos c cos 8') +
s'
+ cos a (- COS b COS u'+ cos a COB /?')I,
z = ii'dsds'
{cos a ( -- cos c COY a'+ cos a cos y') +
2 rB
+ COS@(-
COSCCOS@'+
COS~COSY')).
Schreibt man hier I)
cos c cos @'- cos b cos y'= FCOS
I,
cos a cos 7'-- cos c cos u'= Fcos p ,
cos b cos u'- cos a cos ,d'= FCOS
v,
so sind I , ,u,v die Winkel, welche eine auf der Ebeae (r, ds')
errichtete Normale mit den drei Axen macht. Werden
namlich die drei Gleichungen der Reihe nach mit cos a,
cos b , cos c und ebenso mit cos a', cos
cos y' multiplicirt und addirt, so werden beide Summen = 0. Quadrirt
man die drei Gleichungen und addirt sie, 80 findet man den
Werth F a= sin2 0'.
Durch Einsetzung der Werthe von cos I , cos p, cos w
und des Werthes sin @'= F erhalt man die drei Componenten:
ii'dsdu'sin 0'
X=
(cos /3 cos v - COS y cos p) ,
2 rB
@I,
1)
Vgl. AmpEre p. 137.
Electrodynamisches Gesetz.
81
0'
(cos y cos h - cos f%cos v) .
Y = ii'dsds'sin
2 7'1
z = i i ' d .c '2d sr'2sin 0 -' ( c o s ~ c o s p -cospcos1).
Werden diese drei Gleichungen der Reihe nach mit cos u,
cos p , cos y und ebenso mit cos il, cos p und cos v multiplicirt und addirt, so sind beide Summen = 0. Die Resultirende steht also senkrecht auf dem Element ds und auf
der auf der Ebene (T-, ds') errichteten Normale, folglich auch
senkrecht auf der Projection von ds auf die genannte Ebene.
1st y der Winkel zwiechen ds und der Ebene ( r , ds'),
so erhalt man ebenso wie in $ 3 die Resultirende
n = i i ' d s ds'2sinr 48'cos
IU
,
tj 5. Anstatt die drei Componenten X , Y, Z zu der
Resultirenden zu vereinigen , knnn man dieselbe auch durch
Zusammensetaung der beiden Krafte cos E und cos 0, welche
miteinander den Winkel (180"1 8') bilden, erhalten. Es
wird dann die Resultirende:
R
i i ' d s ds'
{COSZ E
2 r2
=-
+ cos2 0 - 2cos
6
cos 0 cos 0').
Es mogen in Eig. 1 die durch 0,B , C gelegte Ebene
die Ebene (r, ds'); O D , O E
A
und OF die Richtungen von
reap. ds', r und ds bezeichnen.
Errichtet man nun auf der
Ebene (r, ds') in 0 die Normale O A und legt durch O A B '
C
und ds eine Ebene, so ist dieselbe senkrecht auf (r, ds'), und
FG misst die Neigung y von
ds gegen jene Ebene. Die Fogen
DF, E D und E P messen resp.
Fig. 1.
die Winkel E , 0'und 0.
Der Quadrant A E steht ebenso wie A G senkrecht auf
der Ebene (r, ds'); der Bogen G E misst also den Winkel,
welchen die Projection des Elementes ds auf die Ebene
(r, ds') mit der Richtung yon r macht.
/
Ann. d Phys. u. Chem. N. P. XXXYI.
6
82
W;
G. Hadel.
Aus dem bei G rechtwinkligen Dreiecke FG E erhalt man
sinFEG: 1 = sinw,:sinO,
&n2 8 - sin' q
cos F E G =
also
sin' Q
'
Aus dem Dreiecke D F E folgt:
COB E = cos 0 cos 0'- sin 0 sin 0'cos F E G ,
cos E -- cos O cos 0 = - sin 0'+'sin2 O - sin*,tp,
C O S ~ E-220s E cos@coso'+Cos2@C o s 2 ~ = s i n 2 0 ' ( s i n ' O - s i n 2 ~ ) .
Es wird also
I ,
=
ii'dsds'
sin
2 r'
0' cos y .
I n Figur 2 sei EE' die Richtung von r , OD die Richtung von ds', so stellt in dem Parallelogsamm OE'HD, OE'
die Kraft cos E und OD die Kraft
cos 0, sowie O H die Resultirende dar.
Da der Winkel D O E = 0; so ist
D O E = 180°- 0'. Aus dem Dreieck
E'O H erhalt man
O H : E ' H = s i n W : s i n E ' O H , oder
ii'asas'
v
2r2
\\
sin 0' cos 71,~:i i '2drs2ds' cos 0
~
= sin@':sinEOH,
folglich
sinEOfI=
--
cos 8
cos Ip
Der Bogen E G in Pig. 1 misst
den
Winkel zwischen O G [der ProFig. 2.
jection des Elementes ds auf die Ebene
( T , ds')] und O E [ r ] .
Fur denselben ergibt sich aus dem
Dreiecke G F E in Fig. 1 c o s E O G = cos O/cos tp, also derselbe Werth wie fiir sin E'OH. Es. ist daher E ' O H = 90"
+ E O G', oder Z O H - E ' O G'= 900. Die Resultirende R
liegt also, da beide Krafte C O S E und c o s 0 in der Ebene
( r , ds') wirken, ebenfalls in dieser Ebene und steht auf der
Prcjection von ds auf diese Ebene, mithin auch auf ds selbst
senkrecht.
Die Seite des Elementes ds, nach welcher die Resulti- E G
83
Electrodynumisches Gesetz.
rende gerichtet ist, lasst sich, ohne die Componenten zu berechnen, durch folgende Regel finden:
Man denke sich in die beiden Elemente zwei menschliche Figuren so gelegt, dass bei jeder derselben der electrische Strom am Fusse ein und am Kopfe austritt, und
wende beide Figuren so, dass jede derselben mit ihrer rechten Hand nach der anderen hingewandt ist, so wirkt die
Resultirende nach der linken Seite der Figur, wenn beide
das Gesicht nach derselben Seite gewandt haben , dagegen
nach der rechten, wenn die Gesichter beider Figuren nach
entgegengesetzten Seiten gerichtet sind.
$ 6. Betrachten wir zuniichst die Wirkung eines geschlossenen Stromlaufes in dem Fig. 3 gezeichneten Kreise.
Die Ebene dieses Kreisstromes liege in der XY-Ebene, und
der Anfang des Coordinatensystems sei in 0.Es liege ferner
das Element ds mit seiner Mitte in der Axe X . Dann wird
+Y
+X
-X
und y'= 90°. I n der Fig. 3 gezeichneten Anordnung
sind die Winkel a und a' negativ. Man erhalt dann:
c = 90°
. (a'- a ) cos /3 = + i___
i'rlsds'
sin O'cos p,
x=- i i ' d s d s ' sin
2r2
~
r2
ii'dsds'
.
iz" dsds'
ye+2 r 2 sin (a'- ). cos u = - -sin2 1'2
O'cos a,
z=0.
D a bei der Integration nach ds' die Grossen c o s u und
cosg constant sind, so handelt es sich nur urn das Integral
Q = 4 i'J(ds'/r2)sin 0'.
1st der Halbmesser des .Kreises e und qj der Winkel,
welchen der nach ds' gezogene Halbmesser mit der Axe X
6*
W. G. Hankel.
84
macht, so wird, wenn der Abstand O A des Elementes
vom Mittelpunkte des Kreises
c gesetzt wird:
ds
I
:
r z = cz + p2- ~
C cos
Q cp,
und
sin @'=
ccosp-9
1-
folglich
(c
cos TJ - B ) q dpl
.
F u r die beiden Elemente ds', welche in den von A an
den Kreis gezogenen Tangenten liegen, wird der Zkhler des
vorstehenden Bruches = 0 ; in dem zwischen diesen beiden
Elementen dem A zuniichst liegenden Theile des Kreises ist
derselbe positiv, in dem anderen Theile dagegen negativ.
Setzt man cos 'p = p , so wird
I n dieser Form treten in dem Integral noch zwei Unstetigkeiten fur ,u = + 1 und p = - 1 auf, da fur diese
Stellen der Werth des Bruches unendlich wird. Es ist die
Integration also von p = 1 bis p = - 1, und dann wieder
von p = - 1 bis ,u= 1 auszufuhren; dabei ist aber fur
die Integration auf der zweiten Halfte des Kreises die Wurzel
d w , da dieselbe einen Sinus darstellt , welcher beim
Uebergange aus dern zweiten in den dritten Quadranten sein
Zeichen wechselt, negativ zu nehmen.
Hiernach wird dann
Y = - i d s COB u . Q , 2 = 0
A'= + i d s C O S / ? . Q ,
und die Resultirende
R = i d s 1/ cos2cx + cos 2/i'.
Q = i d s cos tp . Q .
Da, in dem vorliegenden Falle die Wirkung aller Eleinente ds' in derselben Ebene, senkrecht auf d s , theils nach
der einen, theils nach der anderen Seite hin erfolgt, so hatte
man auch sofort die Resultirende aus der Wirkung aller
Elemente ds' berechnen kBnnen. Dieselbe wird
+
+
also der zuvor berechnete Werth. Ihre Richtung bestimmt
sich nach der friiher aufgestellten Regel, wenn man heachtet,
Electrodynamisches Gesetz.
85
dass die zunachst an d s liegenden Elemente wegen ihrer
grosseren Nahe die stiirkere Wirkung ausiiben.
Q 7. E s ist ein eigenthumlicher Vorgang, dass, wahrend
anfangs die Beziehungen der Elemente ds' zu dem Element ds
namentlich durch das Eintreten des C O S E eng verflochten
scheinen, sich im Fortgange der Rechnung diese enge Beziehung wieder lost, und die Elemente ds' und das Element d s
mit ihren Eigenschwften einfach als Pactoren nebeneinander
treten.
Man braucht bei der Berechnung der Wirkung des Kreisstromes auf das Element ds zunachst gar nicht auf das letztere Rucksicht zu nehmen, sondern nur den Ort desselben in
Betracht zu ziehen. Man berechnet den Werth des Integrals Q ;
dieser gibt fur alle Punkte in der Ebene, welche sich im
Abstande c (Fig. 3) voin Mittelpunkte des Kreises befinden,
die daselbst durch den Strom hervorgebrachte Veranderung
an. Legen wir dann das Element a's an den betreffenden
Ort, so entwiclielt sich BUS dem Einfiusse jener Veranderung
auf den in ihin vorhandenen Strom ein Antrieb zur Bewegung, welcher in der Ebene des Kreises und senkrecht
gegen das Element ds auftritt. Die Grosse desselben erhalt
man, wenn man das Integral Q mit ids c o s ~ pmultiplicirt.
Nach der friiher angegebenen Regel bestimmt Rich die Seite,
nach welcher die Resultirende hingewandt ist.
6 8. Es fragt sich nun, welches die physikalischen Veranderungen sind, welche der Kreisstrom in seiner Umgebung
hervorbringt, und wie aus dieser Veranderung und den in
dem Eiemente vorhandenen Strome die zuletzt erwahnte Kraft
entspringt.
In den Berichten der math.-phys. Classe der Sachs. Ges.
vom Jahre 1865, p. 7 und 1866, p. 219l) habe ich eine
Theorie der electrischen Erscheinungen sufgestellt, in welcher
dieselben auf Schwingungen zuruckgefuhrt werden , und gezeigt , wie die verschiedenen Vorgange der Electrostatik,
der Electrodynamik und der Induction sich auf diesem Wege
1) Vgl. auch W. G. H a n k e l , Pogg. Ann. 126. p. 440, 1865 u. 131.
p. 607, 1867.
86
W. G. Hanhel.
erklaren lassen. Nach dieser Theorie bestehen die electrischen Strome in kreisformigen Schwingungen des Aethers,
unter Betheiligung der materiellen Molecule des Drahtes.
Die kreisformigen Schwingungen stehen senkrecht auf der
Axe des Drahtes, und der Umschwung erfolgt j e nach
der Richtung des Stromes in dem einen oder dem anderen
Sinne.
Von den Elementen ds' pflanzen sich dann die Schwingungen kugelfiirmig in den umgebenden Aether fort. Die
Tsngentialgeschwindigkeit auf den verschiedenen Punkten der
Kugeloberflache hangt ausser von der Starke des Stromes
und der Lknge des Radius auch noch von seiner Lage gegen
die Axe des Umschwunges ab, sodass dieselbe vom Aequator
bis zu den Polen (Enden der Axe) hin mit dem Cosinus der
Breite oder dem Sinus der Poldistanz abnimmt.
Bezeichnet i' die als Maass fur die Stromstarke dienende
Tangentialgeschwindigkeit im Aequator im
Abstande 1, so ist die Tangentialgeschwindigkeit i m Punkte D (Fig. 4)
i' sin A R D i' sin 0'
- -.
a
rB
r2
Wird nun in den Punkt D das Element ds m i t der Stromstarke i gelegt, und
zwar zunachst so, dass es in die durchds'
Fig. 4.
und B D = T gelegte Ebene fallt, so haben
auf der einen Seite von ds die von ihm und von ds' ausgehenden Schwingungen dieselbe, auf der anderen aber entgegengesetzte Richtung. Die Geschwindigkeit der das Element ds umgebenden Aethertheilchen wird daher auf der
ersten Seite vergrossert, auf der anderen vermindert. Dsdurch entsteht, wie ich in der oben angefiihrten Abhandlung
gezeigt habe, eine Kraft, welche in der Ebene (T, ds') liegt,
senltrecht auf dem Element d s steht, und nach der Seite
hin gericlitet ist, auf welcher durch das Ziisammentreffen
entgegengesetzter Bewegungen die Geschwindigkeit der Aethertheilchen vermindert ist. Die Grosse dieser Kraft ist
i d s i d s'
-sin 0'.
rz
Electrodynnmisches Gesetz.
87
FaIlt das Element ds nicht in die Ebene (T, ds')! sondera
bildet mit ihr den Winkel y, so haben wir die um ds als
Axe erfolgenden Schwingungen in zwei zu zerlegen; die Axe
des einen bildet die Projection von ds auf die Ebene (r, ds'),
die Axe des anderen die auf dieser Ebene errichtete Normale.
Die Stiirke der um die Projection erfolgenden Schwingungen
ist dann i d s cos q , und durch die Einwirkung des Stromes 'i
entsteht eine Kraft i d s cos y (i'ds' sin 0')
/ r 2 , welche in der
Ebene (r, ds') liegt, senkrecht auf der Richtung der Projection
oder auf dem Element ds steht, und nach der Seite hin
gerichtet ist, auf welcher die von ds' und von der Projection ds ausgehenden Schwingungen entgegengesetzte Richtungen haben.
Gegen die urn die Normale nuf der Ebene (r, ds') erfolgenden Schwingungen verhalten sich die von ds' ausgehenden
Schwingungen ringsum gleich, bringen also keine Ungleichheiten in den das Element ds umgebenden Aetherschwingungen
hervor, und geben daher auch zum Auftreten einer dieses
Element treibenden Kraft keine Veranlassung.
Die von einem Element ds' mit der Stromstarke 'i auf
ein anderes Element ds mit der Stromstarke i nusgeiibte
Kraft ist also
i d s cos q . i ' d s ' sin W'
.
'r
Da die Kraft stets auf dem Elemente senkrecht steht,
so hat die von ds' auf ds ausgeiibte Wirkung im Allgemeinen
eine andere Richtung, als die von ds auf ds' ausgeiibte. Fur
diese beiden Wirkungen gilt also nicht der Satz yon der
Gleichheit der Wirkung und Gegenwirkung. Dieses Princip
selbst aber wird durch die Vorgange zwischen den electrischen Elementen nicht verletzt. Die Wirkungen der Elemente aufeinander sind keine directen, sondern erst durch
die Schwingungen vermittelt ; in Betreff der Wirkungen
der Aethertheilchen aufeinander behalt jenes Princip seine
Geltung.
9 9. Wenden wir uns jetzt wieder zu der oben in 0 6
berechneten Einwirkung eines ebenen Kreisstromes auf ein
mit seiner Mitte in der Stromebene liegendes Element ds
W. G, Hunkel.
88
zuruck, so zeigt die Betrachtung der Entwickelung, dass das
Integral Q die Resultirende aus den Geschwindigkeiten darstellt, welche von allen Elementen ds’ an den Ort von d.s
ubertragen werdgn. Diese Geschwindigkeiten sind senkrecht
gegen die Ebene des Stromes gerichtet; die auf B D E (Fig. 3)
gelegenen Theile des Kreises bringen nach dem Orte des
Elementes ds die Geschwindigkeiten in der einen, die von
dem anderen Theile B FE nusgehenden in entgegengesetzter
Richtung. Das Integral Q stellt also die Resultirende aus
allen diesen Geschwindigkeiten dar , welche nach der von
B D E ausgehenden Drehungsrichtung senkrecht auf der
Stromebene steht.
$ 10. Retrachten wir jetzt den allgemeinen in $ 4 behandelten Fall der Wirkung eines beliebig gelegenen Elementes ds’ auf ein Element ds, so wird sich auch hier zeigen?
dass sich die Beziehungen der beiden Elemente so weit losea.
dass sie mit ihren Eigenschaften nur als Factoren zusammentreten.
Die Gleichungen fur die drei Componenten waren:
X i=i ‘ ds dLs‘ fcosp (- cos a cos i.”’ + cos b cos a’) 42rz
+ cos y (-
cos u cos 7‘ + cos c cos u’)]:
i i d .Y ds’
Y=-
r2
fcos 1‘ (- cos 6 cos 7‘ + cos c cos p’) +
+ cos fL (- cos 6 cos a’ + cos a cos @’)I,
z = S‘s
ds’ {cosCL ( - cos c cos El’ + cos a cosy’) +
2
?‘*
+ COSP(-
c o s c c o s ~ ’ +cos6cos7”)).
Wir setzen nun
Q cos 1, =
+ i ’2d s ’ ( C O S c cos p’ - cos b cos 7’),
~
1-2
i’ds‘
( C O S U C O S ~ ’ - COSCCOSCC’),
Lr
Q C O S=~+-
i ’ d x‘
& c o s v = + - -2( cT.2o s 6 c o s a ’ - c o s a c o s p ’ ) .
Die Werthe sind nur abhiingig von ds‘ und der Lage
des Ortes, an welchen spiiter das Element d s hingesetzt wer;
den 8011. Q bedeutet also eine Resultirende, deren Richtung
89
Electrodynamisches Gesetz.
durch die Winkel A, p, v bestimmt wird, und deren Grosse
sich ergibt Q = (i'ds'sin O')/r2. Dieser Ausdruck ist die yon
ds' an den betreffenden Ort iibertragene Geschwindigkeit, da
Q auf der Ebene (r, as') senkrecht steht. Die obigen AUS.
driicke QcosA, Q c o s p , Qcosv bedeuten also die Componenten der Geschwindigkeit Q nach den drei Axen
Legen wir nun das Element d s , welches mit den drei
Axen die Winkel u,p, y bildet, an den betreffenden Ort, so
erhalten wir die Componenten
X = ids Q (cos p cos v - cos y cos p)
Y=~~sQ(cos~cosA
C O-S C C C O S V ) ,
Z = ids Q (cos cc cos ,u - cos cos n).
Hieraus folgt, wenn qf den Winkel zwischen ds und der
Ebene ( r , ds') bedeutet, die Resultirende
~
R
= i d s cos 11).
Q = i d s c o s y ~2i.r' dYs ' s i u 8 '
Diese Resultirende liegt in der Ebene (r, ds') und steht
senkrecht auf rts oder seiner Projection auf die Ebene (r,ds').
Dies ist aber genau die Resultirende, welche entsteht, wenn
das Element ids an den Ort gelegt wird, wo die resultirende
Geschwindigkeit Q war. Es entsteht durch das Zusammentreffen der Schwingungen eine Kraft ids cos qp (i'ds' sin O')/Zr?,
welche das Element ds in des auf Q senkrechten Ebene, in
der auf ds senkrechten Richtung, nach der Seite bin treibt,
wo die von ds' und ds ausgehenden Schwingungen einander
entgegengesetzt sind.
0 11. Genau ebenso lasst sich die Aufgabe behandeln,
die W irkung eines beliebigen geschlossenen Stromes auf ein
Element ds zu bestimmen. Auch hier lassen sich wieder in
den Componenten X , Y, 2 die auf ds nnd auf ds' bezugliclien
Grossen trennen.
Setzen wir
Q1= : J i~'d(SI c o sc cos p' - cos b cos y')
Qz= $JTi dr -s '
i
ds'
(COS a
C& = lJT(cos
cos y'
=
Q cos 1,
- cos c cos u') = Q cos p ,
b cos a'- cos (I cos g') = Q cos a ' ,
90
W. G. Hankel.
so ist Q die Resultirende, welche mit den drei Axen die
Winkel I., p , v rnaeht. Dieselbe stellt die Resultirende der
yon allen Elementen ds' an den Ort von ds ubertragenen Geschwindigkeiten dar, und Q1, Q,, Q3 sind die drei Componenten dieser Resultirenden.
Bilden wir nun die Componenten X , Y , 2, so erhalten wir
X = i d s Q ( C O S 13 cos v - cos y cos ,u),
Y == ids Q (COSY cos A - cos a cos v),
Z = ids Q (cos u cos u - C O S COS
~ n).
Bezeichnet 7 p den Winkel, welchen das Element ds mit
einer auf Q senkrechten Ebene P macht, so wjrd die Resultirende
R = idscosTp.Q,
und zwar liegt dieselbe in der Ebene P und steht senkrecht auf der Projection von ds auf P und ebenso auf ds
selbst.
Dies ist aber genau wieder der Vorgang, wie ihn die
Schwingungstheorie fordert. Q ist die Resultirende aus den
von sammtlichen Elementen ds' an den Ort des Elementes
ds ubertragenen Schwingungen. Legen wir nun das Element
ids an den betreffenden Ort, so haben wir dasselbe auf eine
gegen Q senkrechte Ebene P zu pr0jiciren.l) In dieser Ebene
1 ) Die oben mit P bezeirhnete Ebene hat schon G r a s s m a n n in
seiner Abhandlung 77ZurElectrodynamiku (Journal fur reine und angemandtc Mathematik 83, 1SY7) bemcrkt. Er sagt daselbat p. 63:
,,Wenn ein beliebiger geschlossener Strom im Raume gegeben ist. so
gibt es zu jedem Pnnkte A eine bestimmte Ebene, die man durch A
g-ehend annehmen und die Wirkmigseb~nedes Stromes in Bezug auf den
Punkt A nennen kann, und welche die Eigenschaft hat, dass jedes von
.4 ausgehende Stromelement (h) erstens, wenn es auf dieser Ebene senkrecht steht, keine Einwirkung durch den Strom erfahrt, zweitens, wenn
es schriig darauf steht, dieselbe Wirlrung erleidet, wie seine (senkrechte)
Projection (q)auf diese Ebene erleiden wurde, drittens, dass die Kraft,
die es erfahrt, in dieser Ebene lie@ und auf der Projection (h, ) des Stromelementcs und also auch auf diesern selbst senkrecht steht, und viertens,
dass wenn g die Kraft ist, welche jenes von A ausgehende Stromelement
(a) in irgend einer Lage erflihrt, und sich die Projection ( b , ) des Stromelementes auf die Wirkungsebene um irgend einen Winkel in dieser Ebene
dreht, dann auch die Kraft g, ohne ihren Werth zu veriindern, sich urn
denselben Winkel dreht.ci
Electrodynarnisches Gesetz.
91
entsteht dann durch das Zusammentreffen der von dem geschlossenen Strome und dem Elemente d s ausgehenden
Schwingungen eine Kraft i d s c o s y . Q , welche auf ds und
seiner Projection auf die Ebene P senkrecht steht und nach
der Seite gerichtet ist, wo die von dem geschlossenen Strome
und von ds ausgehenden Schwingungen entgegengesetzte Richtungen besitzen.
Q 12. Zum Schluss will ich noch den Fall behandeln,
wo ein ebener kreisftjrmiger Strom auf ein Element, welchee
in seinpr Axe in einem gegebenen Abstande liegt, einwirkt.
Wollte man diese Wirkung berechnen, indem man von
der Formel
a
- ii'dsds'siri 0 ' eos y~
2 r'
msgeht , so wiirde , obwohl
sin O'= 1 , selbst bei der Annahme, dass ds mit der Axe X
parallel liegt, doch die Rechnung sehr umstandlich werden,
da die von jedem einzelnen
Elemente ds' auf ds ausgeiibte
Kraft von Element zu Element
ihre Grosse und Richtung
andert, wobei sie doch immer Y
Fig. 5.
senkrecht gegen ds bleibt.
Einfacher gestaltet sich die Rechnung, wenn man zuerst
die Componenten X , Y , Z berechnet. Ziehen wir zuerst
von allen Punkten des Kreises (Fig. 5 ) vom Halbmesser Q
Linien nach dem Orte C des Elementes ds, so bilden dieselben einen Kegel. Es sei e der Abstand 06, und c der
Winkel, welchen eine 8eite des Kegels mit der Axe macht,
so ist der Winkel, welchen T bei allen Elementen ds' mit
der 2-Axe bildet, = c. 1st der Winkel zwischen O B und X
gleich cp, so ist der Winkel a'== OOo + cp, p'= y , y'= 90*,
es wird also:
cos a'= - sin sp, cos (3'= cos cp, cosy'= 0.
Weiter ergibt sich
cos a = sin c cos y , cos 6 = sin c sin y .
I
92
W. G. Hankel.
Das Integral Q1 wird dann
+-i ’1, c~o0s cs
y dy,
Q,
Die beiden ersten Integrale geben zwischen 0 und 2 n
genommen den Werth = 0, Q3 wird = + i ‘ n p s i n c / r ? . Die
Resultirende Q = Q3 liegt in der Axe Z.
Wird nun das Element an den Ort C gelegt, und sind
die von den drei Axen gebildeten Winkel u,/?,y, so werden
die drci Componenten
x= - i d s i ’ n 9r?sin c cos j,
also
R=
I-=-
ids I’n q sill c cos n
?.?
,
z=o.
ids i‘ x e sin c cos YI
y?
Gehen wir von der Theorie der Schwingungen aus, so
lasst sich das vorstehende Resultztt fast aus der blossen
Anschauung entnehmen.
Alle von den Elementen ds’ an den Ort von ds iibertragenen Geschwindigkeiten von der Grosse i’ds’/ r 2 stehen
senkrecht auf der durch C und ds‘ gelegten Ehene und sind
einander gleich. Sie bilden mit der Axe Z ,einen Winkel
= 90° - c. Zerlegen wir jede Geschmindigkeit i ’ t l s ’ l r 2 in
eine nach Z gerichtete und in eine mit der Ebene X Y
parallele Componente, so heben sich die letzteren Componenten auf, und es bleiben nur die nach Z hin gerichteten ubrig, deren Summe mit Hinzufiigung des Factors 4
gleich i ’ n p s i n c i ~ist.
~
Wird nun das Element ds an den
Qrt C gelegt, so entsteht eine in der auf Z senkrechten
Ebene liegende und auf ds senkrecht stehende Kraft
ids COB .i’ z Q sin c 1 ,rB, und zwar gerichtet nach der Seite
von ds, auf welcher die von dem kreisformigen Strome und
die von (1s ausgehenden Schwingungen entgegengesetzt gerichtet sind.
Electrodynamisches Gesetr.
93
Die vorstehenden Erorterungen durften es wohl rechtfertigen, wenn ich der Ansicht Ausdruck gebe, dass die von
mir aufgestellte Theorie den wirklichen Vorgangen entspricht.
Die Rechnung stellt in allen Beziehungen vollstandig und genau
die aus den Schwingungen sich ergebenden Vorgange dar.
IV. Ueber den, B&nflmw der Tcrnperutur uuf die
Yerdumpfzmy umd aufdie Diffusion von Dlimpffed);
vom A. Winkelmarm.
(Hierau Tat'. I Fig. 14.)
Ueber die Diffusion der Gase in ihrer Abhiingigkeit
von der Temperatur liegan Versuche von L o h s c h m i d t und
in sehr ausfuhrlicher A r t von v. O b e r m a y e r vor. Aus
den Loschmidt'schen Beobachtungen2) ergeben sich fur
den Exponenten ?n der Gleichung:
a =D , ( l + a . 9 ) " ,
in welcher D6 den Dieusionscoefficienten bei 9.O und u
den Ausdehnungscoefficienten der Gase bezeichnet, folgende
Werthe:
Conibination
Kohlenshue-Luft
,,
WssserstoE
Sauerstoff >,
772.
1.98
2;10
1,71
Temperaturdiff., ails welcher
rn nbgeleitet wurde
38.0°
13;2
32,4
Die Versuche von v. O b e r m a y e r 3 ) umfassen das Temperaturintervall von 8 bis 61,5O. Die gefundenen Resultate,
welche genauer als die L o s c h m i d t ' schen sind, enthiilt die
folgende Tabelle.
1) Auszugsrveise am 1. Juni 188s in der med.-naturw. Gesellschaft
in Jena mitgetheilt.
2) Loschmidt, Wien. Ber. 61. 2. Abth. p. 367. 1870.
3) v. Obermayer, Wien. Ber. S1. 2. Abth. p. 1102. 1880.
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