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Das elektrische Ersatzschema schwingender piezoelektrischer Kristallstbchen.

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Das elektrische Ersatzschema
sch wingender piezoelektrischer Kristallstabchen
Von J a n T i c h i
Mit 4 Abbildungen
Inhaltsiibersieht
Formeln fur die Berechnung von Werten des elektrischen Ersatzschemas
werden fiir Langs-, Torsions- und Biegungsschwingungen eines piezoelektrischen Stabchens gemeinsam clbgeleitet. Dabei wird der EinfluS der aul3eren
sowie der inneren Dampfung und des Luftspaltes zwischen den Elektroden
und dem Schwingkristall in Betracht genommen.
1. Einleitung
Die elektrischen Eigenschaften eines Schwingkristalls kann man bekanntlich in der Umgebung einer gewissen h-ten Resonanzfrequenz durch das
sogenannte, in Abb. 1 dargestellte, elektrische Ersatzschema ausdrucken l).
Es besteht &us einem Serienkreis vom ohmischen Widerstand. R,, Selbstinduktion L, und Serienkapazitat C,, zu dem
eine durch die GroRenverhaltnisse des Schwingkristalls und der Elektroden sowie durch den
Wert der dielektrischen Konstante bestimmte
statische Kapazitiit C, parallel geschaltet ist.
Die Werte des Ersatzschemas der untersuchten
Schwingungsart erhalt man entweder experiAbb. 1. Ersatzschema der k-ten
mentell durch elektrische Messungen oder theo- Oberschwinmg des Schmngretisch aus den Abmessungen des Schwingkristalls
kristalls, seiner Dich te und-den betreffenden,
von der Orientierung des Schwingkristalls abhangigen, piezoelektrischen,
elastischen und dielektrischen Konstanten. Die Kenntnis der Konstanten des
elektrischen Ersatzschemas der Schwingkristalle ist sehr wichtig f i i r ihre Anwendung zur Frequenzstabilisierung in verschiedenen Oszillatorschaltungen,
in hochwertigen Selektionsmitteln und scbliel3lich bei Entwiirfen von piezoelektrischen Ultraschallgeneratoren. Cmgekehrt kann man die theoretischen
Formeln zur Ermittlung der Konstanten des elektrischen Ersatzschemas einer
gewissen Schwingungsart zur Berechnung von piezoelektrischen oder elastischen Konstanten ausnu tzen, nachdem man sie experimentell durch Messungen
bestimmt hat. In diesem Fall spricht man von der sogenannten dynamischen
Bestimmung der elastischen und piezoelektrischen Konstanten.
I,
I)
V. Pe t r f il ka, Piezoelektfina, PErodovGdecM vydavatelstvi, Praha 1951.
15*
220
Annalen der PhysiL.
7. Folge. Band 1. 1956
Uber clas elektrische Ersatzschenia der Schwingkristalle uiid seine Eigenschaften ist bereits eine betrachtliche Reihe von Arheiten veroffentlicht
worden. Aber trotzdem hatte man bis vor kurzem nur die Daten fur ungerade
Langsschwingungen 2), fur Torsionsschwingungen3) und fur spezielle Falle
von Biegungssc*hwingungen*) theoretisch ermittelt. Erst C h a l o u p k a 5,
hat gezeigt, wie die Konstanten des Ersatzschemas von sowohl ungeraden
als auch geraden Langs-, Torsions- und Riegungsschwingungen der piezoelektrischen Stabchen abgelritet werden konnen. Er hatte allerdings in seiner
crsten Arbeit den Einflrilj der inneren Reibung (Dampfung) sowie den des
moglichen Luftspaltes ZM ischen der OberflIiche des Schwingkristalls und der
Elektroden vernachlbsigt. Dagegen gelang es uns in zwei spateren Arbeitene) 7 ,
die genannten Resultate auch ohne diese vereinfachenden Yoraussetzungen
abzuleiten. In der vorliegenden Arbeit haben wir versucht, fur alle moglichen
Arten von rinfachen Schwingungen eines unendlirh dunnen Stabchens eine
gempinsame Ableitung zu geben. Der Yollstandigkeit lialber haben wir
aufierdem auch den EinflnB der iiul3eren Danipfung beriirksichtigt.
'3. Ableitung der Formeln zur Ermittlung der Konstanten des clektrischen
Ersatzschemas
Toni Stabchen setzen nir voraus, de13 es aus einem piezoelektrischen
Material der Dichte eH) bestehe und da13 es die Form eincs rechtwinkligen,
nach der Abb. 2 orientiertrn Parallelepipeds besitze. Dessen Lange 1 liege
in Richtung der x-Achse, die Hohe b in Richtung der y-Achse und die Dicke a in Richtung
der z-Achse. Die Abniessungen mogen so gewahlt sein, da13 das Stabchcn als sehr dunn
betrachtet werden kann und gleichzeitig sei
- _ _ _ _ - -- das elektrische Feld in der Richtung der xb
2
Achse hinreichend homogen. Ein unendlich
c
I
diinner Stab kann, wie es sich aus den
Ahb. 2. Oricntierunc d C S Still)\*oig tschen Bpwegungsgleichungen [9), S. 6731
chens
ergibt, Langs-, Torsions-, sowie zwei Arten
von Biegungsschwingungen in zwei aufeinander senkrechten Ebenen ausfuhren.
Eine Kopplung kann zwisch en zwei Biegungssch wingungen und einer Torsionsschwingung und zwischen Biegungsschwingungen untereinander erfolgen.
Der Fall cler Kopplung wird jedoch in dieser Arbeit aul3er acht gelassen.
Alle ern ahnten Schwingungsarten, einschliel3lich ihrer geraden und ungeraden
harmonischen Oberschwingungen, kann man durch eine der vier, in Abb. 3
dargestellten Elektrodenanordnungen anregen.
Die Bewegurigsgleichungen fur alle vier Xrten von ungekoppelten Schwingrlngen des unendlich dunnen Stabes kann man. wenn nach V o i g t
13;
-~
2~
3)
rS),
-
IV. (;. C'ady, Piezoelectricity, McOran-Hill, New Pork-London 1946.
IV. P. illason, Piezoelectric Crystals and their Application to Ultrasonics,
1). van Kostrand, NewYork 1950.
4 ) J . K e l l e r , Wir. Eng. 2S, 179 (1951).
5 ) P. C'haloupka, C'zechosl. Journ. Phys. 4, 453 (1954).
6 ) P. C'haloupka, J. T i c h f , Slaboproudy obzor 16,33 (1955).
7 ) J . Tichy, Czechosl. Journ. Phys. 6, 443 (1956).
8 ) In dieser Arbeit wird das absolute elektrostatischc Mahystem benutzt.
9)
W.V o i g t , 1,ehrbucli der Kristallpliysilr, Teubnrr 1910.
J . Tichtj: Elektrisches Ersatzschema schtoingender piezoelektrischer Krlslallstiibchen
22 I
S. 7921 der EinfluB der inneren und auflcren DBmpfung bcriicksichtigt wird,
einheitlich in der Form schreiben :
a*?]
+
x)+ Ye 2 = 5'(dK
an
a ,I
a2 @ (?I+
yi
vo ej'"t -
(1)
Die Bedeutung der abbangigen Variablen 7 , der partiellen Ableitung n-ter
Ordnung im zweiten Gliede und der Konstanten (T$ bei den einzelnen Schwingungsarten ist aus der Tab. 1 ersichtlich. Die Koeffizienten yi vnd ye charakierisieren die aul3ere und innere Dampfung
I
und hangen von dem Material, aus dem
das Stabchen gefertigt jst, von der Viskositat der Umgebung, in der es schwingt und
von seiner Bearbeitung, Befestigung usw.
ab. Die rechte Seite von (1) stellt die auflere
Erregungskraft bzw. das Erregungsmonient
dar und ist von der Elektrodenanordnung
abbangig. Die Elektroden mogen parallel
z u den Seitenflachen des Kristallstabes gestellt sein und gerade bis zu den Kristallkanten reichen. Ihre Anordnung ist &us
Abb. 3 ersichtlich. Bei der Anregung a) hat
jede Elektrode dieselbe Flache wie die Seitenflache des Stabchens, bei der Anregung b)
bzw. c) sind die Elektroden durch einen
rertikalen, bzw. horizontalen Abstand 2c
bzw. 2d voneinander getrennt. Bei der Anregung d) stellt die Anordnung der Elek+(-..J
- (.:.J
-f.!.)
+(--)
troden eine Kombination der Fiille b) und
c ) dar. Die Gesamtbreite des Luftspaltes
Abb. 3. Elektrodenanordnung
zwischen der Oberfliiche des Kristalls und
den Elektroden hezeichnen wir mit m. Es ist unwesentlich, ob sich der Spalt
nur auf der einen Seite des Stabes befindet oder auf beiden Seiten.
Legt man an die Elektroden die Wechselspannung Voeiot an, so erfolgt
in dem Stab in der Richtung der z-Achse eine elektrische Verschiebung
I-
D
-- 0
Dabei bedeutet V, die Amplitude der Wechselspannung, co ihre Kreisfrequenz, E die dielektrische Konstante in der Richtung der z-Achse und der
Einfachheit halber wurde noch als reduzierte Stabdicke die Bezeichnung
a' = a
E m eingefubrt. Die periodisch variable elektrische Verscbiebung (2)
ruft in dem Stab auch periodisch variable elastische Spannungen hervor.
Vm uns ihre Verteilung entlang der Stabachse klarzumachen, denken wir
uns das ganze Stiibchen durch ebene Schnittfliichen senkrecht zur Stabachse
in eine groBe Zahl kurzer Elemente eingeteilt. Innerhalb des homogenen
elektrischen Feldes zwischen den Elektroden heben sich die auf die Endfliichen der Elemente wirkenden elastischen Spannungen wechselseitig auf,
so da13 man sich die Wirkung der piezoelektrisch angeregten elastischen Spannungen durch die Wirkung fiktiver Anregungskrafte an denjenigen Stellen,
wo die Elektroden enden, ersetzt denken kann. In dem Ausdruck fur die
+
222
Annalen der Physik.
7.Fdge.
Band 1. 1958
Tabelle 1
K
Schwingungsart
1
Liingsschwingungen
e 811
Randbedingwen
%l
-
e a'
.=I
Torsionsachwingungen
(g)
=o
2=O
Biegungsschwingungen
in der zy-Ebene
2'
1
eam
-
2=
I
p a'
.=I
(E)
2=0
Biegungsschwingungen
in der xz-Ebene
=o
ea.5
-
e a'
Die Bedeutung der Symbole, die irn Text nicht angefuhrt sind:
u,v, w ;- Verriickungen in der Richtung der x-, y- und z-Achse.
6
- Drehung urn die x-Achse.
all
- Elastischer Koeffizient in der Richtung der' x-Achse.
- Triigheitsmoment des Stabquerschittea in bezug auf die Polarachsc in der
x,
Richtung der x-Achse.
xy, x, - Triigheitsmoment dcs Stabquerschnittes in bezug auf die Biegungsachse in der
Richtung der y- und z-Achse.
Die GroB F ist von der Gestalt des Stabquerschnittes ahhiingig und man krtnn sie
nur fur spezielle Fllle gewinnen.
iiul3ere Anregungskraft bzw. das Anregungsinoment auf der rechten Seite der
GI. (1) ist dieser Umstand durch die Funktion E ( x ) ausgedruckt, die uns die
Verteilung ihrer Wirkung entlang der Stabachse auf eine Liingeneinheit des
Stabchens angibt. Im Raume, wo das elektrische Feld homogen ist, ist diese
Funktion gleich Kull. Ihre Werte an den anderen Stellen sind je nach der
Anregungsart in der Tab. 2 angefiihrt. SchlieBlich ist auch die Bedeutung
der Konstanten K , die den betreffenden piezoelektrischen Anregungskoeffizienten eik einschlieBt, aus der Tab. 1 ersichtlich.
Die Schwingungen des Stabchens haben im stationaren Zustand die Frequenz der Anregungskraft, sie sind jedoch gegenuber derselben infolge beider
Dampfungsarten um einen Phasenwinkel q~ verschoben. Die augenblickliche
Gesamtverschiebung ist durch die Superposition der gerschiebungen ql, (x,t )
aller harmonischen Oberschwingungen niit den Frequenzen w,,( h = 1 , 2 , 3 . . . .)
J . Tichg: Elektrisches Ersatzschema echwingender piezodekektrischer Kristallstabchen
223
Tabelle 1
A
cos Ah x
sin A 1 = 0
(sinh
+ sin Ah 1) (sinh Ah x + sin f.
- ( C O h Ah 2 -
Ir
COS f.p,
1) (cash 2.b X
& 1 = 4,7300
= 778532
x)
+ COS Ah 2)A,A,,2I = 10,9956 cosh (A I ) cos (A I )
i
=1
~
( 2 h - l ) T zl
-I
gegeben und man kann sie in der Form
q (z,
t) =
schrei ben.
03
2 A h y h(z)d ( o t + p )
h=l
?#h (z) beaeichnet die Eigenfunktion der betreffenden Schwingung fur
einen an beiden Enden kriiftefreien Stab, die dem Eigenwert 1, entspricht.
Die Rrtndbedingungen, Eigenfunktionen y, (x), Eigenwerte 1, sowie die
Gleichungen, durch deren Losung man sie ermittelt, sind in unserer Tab. 1
angegeben. Die A, sind bisher unbestimmte Konstante, die wir auf folgende
Weise berechnen. Die GI. (l),in die wir die Losung (3) eingesetnt haben,
multiplizjeren wir mit der Funktion yn (x) (m= 1, 2, 3, . .) und integrieren
iiber x von 0 bis 1. Fiihren wir noch die Bezeichnungen
A , cos 9 = ah
A, sin 9 =
ein, so erhalten wir nach entsprechender Umformung, bei der wir zur Abkiirzung :
a=1:: = .;"h
(5)
schreiben, das Gleichungssystem
.
2 {o~-02
f j m (76 f r t
+
d)}(OCh
1
iph)
.f vm(x) Y h ( 3 dz
I
= K vJmy,(x):)x.
(6)
224
Annalen der Physik.
7. Fdge. Band 1. 1958
...
* ICJ
u
I
V
N
V
0
Biegungsschwingungen in
der xzEbene
Biegungsschwingungen in
der xyEbene
-21
Torsionsschwingungen
2
1
-
Liin@;sschwin,
gungen
Schwingunw
art
+ (-
- 1 + (-
-1
1)h
1 y
hn
hnc
1
hn
hnc
+ 2 cos-wS--1
2
- 1 - (- 1)" + 2 COS-COS2
- 1 - (-
Elektrodenanordnung b und d
Tabelle 3
226
Annalen der Physik. 7. Folge. Band 1. 1958
Da die Eigenfunktionen tph (2) allgemein orthogonale Systeme bilden lo),
gilt fur rn =+ h
I
[ y h ( x ) y n r(z) d.c
6
= 0.
(7)
Fur rn = h setzen wir
1
1
1yII(z) y,,' ( x ) d~ = J yo;
(1
(2)d z = Y
(k).
( 8)
(8
Fur die Berechnung des Integrals auf der rechten Seite der GI. (6) beachten wir den Umstand, da13 die Langendichte der iiul3eren Anregungskreft
und daher auch die Funktion (x) vom physikalischen Gesichtspunkte aus
notwendig von Null verschieden ist, wenigstens in einer kleinen e-Umgebung
der Stabenden (bei der Anregungsart a) und c)) sowie in der Umgebung der
Riinder des Elektrodenspaltes (bei der Anregungsart b) und d)), wo das elektrische Feld inhomogen ist. Wir werden in dieser kleinen 8-Umgebung der
Elektrodenenden nur den durchschnittlichen Wert der Funktion f (z)fur den
Grenzfall E + 0 in Betracht nehmen. blathematisch drucken wir das folgendermal3en aus : Fur die Elektrodenanordnung a)
und fur die Elektrodenanordnung b)
1
--lc+s
1
I
Bei den Anregungsarten c) und d) gelten die Gln. (9) und (10) in der oberen
Halfte des Stabchens (fur
b
+d < y < b).
Fur die untere Halfte
b
(0 < y <
- d ) ist es dann notwendig, bei allen Gliedern auf der rechten
Seite das Vorzeichen zu wechseln. Die Ergebnisse der angedeuteten Integration in den Gln. (€9, (9) und ( l o ) , d. h. die Werte y ( h ) ,@a (h) und Qb (h)
sind fur die einzelnen Schwingungsarten in der Tab. 3 zusammengestellt.
Kchren wir jetzt zum Gleichungssystem (6) zuriick, so verwandelt es
sich nach Cmformung in ein Gleichungssysten~folgender Form
Die Koeffizienten ah und ph bestimmen wir durch Vergleich der reellen und
imaginaren Teile auf beiden Seiten der einzelnen Gleichungen. Das dadurch
lo) W. Wien, F. Harms, Handbuch der Experimentalphysik, Akademische Verlagsgesellschaft.Leipzig 1910, B. 17, T.1, S . 310.
J . Tichd: Elektrisches Ersatzschema schwingender pieioelektriseher Krislallstabchen
237
entstandene System mit einer von Null verschiedenen Determinante, die
wir mit A bezeichnen, losen wir nach ah und p,.
Dann erhalten wir
K v o @a,b (h) (4
- w*)
s
A y (4
-h' V O @a, b (h) ( Y e yi 0;)pn = ~-
ah = -
(12)
+
AYYh)
+
(13)
9
+
A = (0%
- 0')'
ma (ye yi w$)'.
Die Losung der G1. (1)konnen wir schlieRlich in der Form
r ( G 4 = h2
=l
O3
@a,b
~~
(h)
vO
{mi
- O2 - j
AY'h)
(Ye
(14)
+-~
Yt mi)}
y~ (x)e i w t
(15)
schreiben.
Infolge des direkten piezoelektrischen Effekts ruft die mechanische Deformation in dem Stab eine piezoelektrische Polarisation hervor. Ihre Komponente p, in der Richtung der z-Achse konnen wir aus der Beziehung (15)
auf Grund der Voigtschen Gleichungen [I1), S. 481 berechnen. Wie p, von den
elastischen Verschiebungen bei den einzelnen Schwingungsarten abbangt,
zeigt die Tab. 1. Mit der piezoelektrischen Polarisation hangt auch die piezoelektrische Verschiebung zusammen, die samt der von dem periodischen
Wechselfeld hervorgerufenen Verschiebung die Gesamtverschiebung D und
daher auch die Verschiebungsstromdichte bestimmt
Den gesamten durch den Stab durchfliel3enden Verschiebungsstrom ermitteln wir durch zweifache Integration uber die ganze OberflLche der Elektroden. Berucksichtigen wir das Vorzeichen der Polarisation zwischen einzelnen Elektrodenpaaren und setzen wir fiir A die Beziehung (14) ein,
dann konnen wir das Ergebnis einheitlich in der Form
schreiben .
Die Konstante Tapb
(h) hat eine etwas verschiedene Bedeutung je nach der
Schwingungsart, der Elektrodenanordnung und der Ordnungszahl der erregten Schwingung. Ihre Werte fur die einzelnen Gchwingungsarten gibt die
Tab. 3 an.
Der Ausdruck in der eckigen Klammer auf der rechten Seite der
GI. (17) stellt uns die Summe der elektrischen Leitfahigkeiten von zwei parallel
geschalteten Zweigen dar. Das erste Glied entspricht der Admittanz der statiwhen Kapazitat Co der Elektroden, zwischen denen der Schwingkristall
liegt; das zweite Glied stellt, wie wir nach einer eingehenderen Analyse feststellen, die Summe der Admittanzen von parallel geschalteten Serienschwin gungskreisen dar, deren jeder aus einem ohmischen Widerstand R,, der Selbst'1)
1938.
A. Scheibe, Piezoelektrizitlt des Quarzes. Th. Steinkopff, Dresden-Leipzig
228
d n n a l e n der Physik. 7 . Folge. Band 1. 1958
induktion L,, und der Serienkapazitat C,, besteht. Scheniatisch stellt uns das
die Abb. 4 dar. Bezeichnen wir die Impedanz der statischen Kapazitat
mit 2, und die Impedanzen der cinzelnen parallel eingeschalteten Serienschwingungskreise mit Z, dann gilt fur die gesamte ImI
Rj,
pedanz clcs SLsterris
u
I
A2i
Y
Fur jeden Serienschwingungskreis konnen
1
wir die Serienrrsonanzfrequenz erniitteln, fur
welche ihrc Adniittanz
1
All
maximal ist. Be-
schranken wir uris auf ihre nahe Umgebung, so
konnen wir die Admittanzen der iibrigen Serienschwingungskreise in bezug auf die Admittanz
des betrachteten Serienschwingungskreises ftir
verschwindend klein halten und diese einfach
vernachlassigen. Das ganze in Abb. 4 dargestellte System wird dann zu den1 in Abb. 1
Cesa~ntesF,rsatzschcma dargestellten Oszillationskreis i.ereinfacht, den
aller Oberschwingungen
wir. wie schon einleitend erwlhnt. als elektrisches Ersatzschema der betreffenden h-ten Oberschwingung des Schwingkristalls bezeichnet haben.
Seine gesnmte Admittanz kann iiim in folgendcr Form schreiben :
Durch Vergleich rnit der G1. (17) ergeben sich unmittelbar die gesuchten Werte
tles elektrischen Ersatzschnltbildes .
c, =
&
( b - 2 d )(1 - 2 c )
4zu’
Der Index h gibt an, auf welche harnionische Oberfrequenz sidi das Ersatzschema bezieht.
Uni diese allgemein giiltigen Beziehungen zu einer konkreten Berechnung
des Ersatzschemas einer bestimmten Schwingungsart des piezoelektrischen
Stabchens anwenden zu konnen, mussen wir in diese je nach der Schwingungsart, nach der Form von Anregungselektroden und nach der Ordnungszahl
cler betrachteten Schwingung, entsprechende Werte einsetzen. Den betreffenden
Wert coh erhalt man unter Berucksichtigung der GI. ( 5 ) ails der Tab. 1, den
Wert T,,g
(h) nach Einsetzung fiir y (h) und @a ( h ) bzw. @o ( h ) aus der Tab. 3.
SchlieDlich sind in dcr
Tab. 4 die Formeln angegeben, welche die numerische Erniittlung \-on
Werten des Ersatzsrhernas
der einxelnen Schwingungen direkt ermoglichen.
Allein den Ausdruck@,, (h)
haben wir in diesen Formeln
groBerer Ubersichtlichkeit
halber unausgefuhrt gelassen und es ist notwendig,
in einzelnen Fallen die dafur
entsprechenden Werte aus
der Tab. 3 einzusetzen. In
der Tab. 5 sind die Formeln
fur das Ersntzschenia der
Langs-, Torsions- und Biegungsgrundschwingungen
direkt mit den erniittelten
numerischen Faktor~nangegeben.
Aus eincr eingehcnden
Analyse der abgeleiteten
Ergebnisse folgt, daI3 man
clurch die Elektrodcnanordnungen a) und c) die ungeraden, durch die Elektrodenanordnungen b) und
d) die geraden Oberschwingungen anregen kann. Bei
den geraden Oberschwingungen ergibt sich atis den
abgeleiteten Formeln einr
interessante Abhangigkeit
der Konstanten des Ersatzschemas von der Spaltbreite 213 zwischen den zmei
Halften dcr Elrktroden.
3. Zusammenfassung
Diese Abhnndluiig faat
in einheitlicher Form die
Ergebnisse aller unserer
bisherigen Arheiten, die der
theorctischen Ableitung der
Formeln ZUT Bererhnung
des elektrischen Ersatzschemas fur die Schwin-
Biegungsschwingungen
in der xzEbene
h=3
Bicgungsschwingungen
in der z y Ebene
L =3
Torsionsschwingungen
h =1
IAngsschwingurigeu
h = l
art
Schwinyngs-
a'z
8 a b I slle&
(e 1s a,, yI + z 2 y,)
Rh
~
o a'2 1 xi
e a'* I
8 a b e:,
LIl
xa 0 ' 2
8a2(~--d2~1Pe&
E
(b - 2 d ) I
4za'
w
ru
0
J . Tichd: Elektrisches Ersatzschenta schlcinyender pic-oclektrischer Kristallstabehen
231
gungen von unendlich dunnen piczoelektrischcn Staben gewidmet waren, zusammen und gleichzeitig ermeitert sie diese um den EinfluI3 der aufieren Dampfung.
Mein Mitarbeiter Fr. SoSka untersucht zur Zeit, inn-ieweitdie abgeleiteten Beziehungen durch die Inhomogenitat des elektrischen Feldes zwischen den Elektroden beeinfluat werden. Dadurch ist das Problem der ungekoppelten Schwingungen im grofien und ganzen erschopft und fur die Zukunft ist es offenbar
wiinschenswert, die Aufmerksamkeit auf das Ersatzschema, der gekoppelten
Schwingungen zu lenken. Wie wir schon in der Einleitung erwahnt haben,
wird es sich bei den unendlich dunnen Staben hauptsachlich um die gegenseitige Kopplung der Biegungsschwingungcn miteinander und um ihre Kopplung mit der Torsionsschwingung handdn. I n mathematischer Hinsicht hat
sich bisher Dr. A. Apfelbeck mit der Bestimmung der Frequenzen dieser
gekoppelten Schwingungen erfolgreich beschaftigt. Es ist jedoch klar, daB
die Losung dieser Aufgabe mit betrachtlichen Schwierigkeiten verbunden
sein wird.
AbschlieBend mochte ich dem korrespondierenden Mitglied der Tschechoslowakischen Akademie der Wissenschaften, Professor Dr. V. P e t r i i l k a ,
fur sein reges Interesse a n unseren Arbeiten uber die Piezoelektrizitiit, sowie
meinem Kollegen Fr. S o i k a fur viele wertvolle RatschlQe meinen Dank zum
Ausdruck bringen.
L i b e r e c , Lehrstuhl fiir Matheniatik und Physik, Technische Hoohschule.
Bei der Redaktion eingegangen am 10. Juni 1967.
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