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Das elektrostatische Feld einer Triode.

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370
2. Das e&?ktPO~?tUtt!8C?W E'eld edlber l'ulode l);
von, G . J. El)4as, B a l t h . v a m d e r P o l Jr.
u n d €3. D. E.l'eEZegem.
Erster Teil.
Von (3. J. Elios.
v. Laues) hat dieses Feld betracbtet fur den Fall, da6
die Gitterdrghte parallel zum Gluhdraht laufen und die Scbnittpunkte dieser Drahte mit einer Flache, senkrecht auf dem
Qluhdraht, die Eckpunkte eines regelmiifiigen Vieleoks sind.
In diesem Falle kann dss Problem als ein zweidimensionales
aufgefafit werden.
Wenn jedoch das Gitter aus einem Draht besteht, welcher
sohraubenfirmjg urn den Gluhdraht gewunden ist, so ist die
1
Fig. 1.
L-LJ
Berechnung des Feldes ziemlioh leicht, wenn die Konfigurat,ion
der Elektroden wie folgt idealisiert wird:
1. die Triode wird als unendlich lang angenommen;
2. das Gitter wird nicht als eine Schraubenlinie gedacht,
sondern es wird angenommen, daB dies aus diinnen kreisfirmigen Drahten besteht, welche in lquidistanton Flachen,
sankrecht auf dem Gluhdraht, gelegen sind, wobei die Mittel1) Dieser Artikel ist die obersetzung dreier nur unweseotlich abgehderter Aufsiitze, welche im ,,Tydschrift van het Nederlandech Rsdiogenootscbsp" erachienen sind: G. J. Elias, 11. S. 23. 1923; Balth.
v. &Pol Jr, 11. S.53. 1924; B. D. H . T e l l e g e n , 11. S. 96. 1925.
2) M. von Laue, Ann. d. Phys. 69. 5.466. 1919.
311
Das e~ehtrostatischeFeld einer Triode.
punkfe der Kreise sich auf diesem Draht befinden. Ein Durchschnitt des Gliihdrahtes wird sich also gestalten, wie in Fig, 1
dargestellt.
Die nachfolgenden Bezeichnungen sollen benutzt werden:
R Radius-Anode,
Ro Radius-Gitter,
go Radius- Git terdriihte,
p Radius-Qluhdraht,
E Abstand-Flihen der Citterdrahte.
Die Koordinate in der Richtung der Rohrenachse sei x,
wobei der Ursprung im Schnittpunkt des Gliihdrahtes mit der
Flilche eines Gitterdrahtes gedacht wird. Ein Punkt des axialsymmetrischen Feldes ist durch x und den Abstand r zum
Gluhdraht bestimmt.
Die Ladung jeder Windung des Gitterdrahtes sei Q,. Die
Fltichendichte der Ladung auf dem Gluhdraht b%t
sich dumh
eine Fouriersche Reihe darstellen:
=
(1)
b,+
2nx
'2nns
+*..+bn COB 7
6, cos 1
+ a n * ,
ebenso die auf der Anode durch:
(2)
0,
= 23,
2ax
+ B, cos -j+ - + B, COS*
2RltX
1
+
*
In diesen Reihen kommt nur die Cosinusfunktion vor,
weil in beiden Fdlen fiir gleiche und entgegengesetzte Werte
yon a- die Dichte denselben Wert hat.
Die Potentiale der Ladungsdichten b, und Bo folgen aus
dem Potential eimr geladenen Linie der hiioge 2a mit eher
Ladung I psr Lilngeneipheit. Dieses betrilgt in einem Punkt
in einem Abstand von der N t t e der Linie, welche klein ist
in Beziehung raaf (c:
2a
2Aln---*
P
Eierin bedeutet r den Abstand des betrachteten Punktee zur
geladenen Linie. Dies gibt fur das Potential von b,:
wofin
zm
den absoluten Wert von x im Unendlichen vorstdt.
24-
G. J. Elias.
372
Um das Potential der Ladungsdichte b,, COB 2 n n x auf
dem Gtliihdraht in einem Punkt (3, T ) auBerhalb desselben zu
berechnen, 8011 zuerst das Potential einer linienfiirmigen Ladung,
2nmZs
welche pro Langeneinheit p d v 4 cos I
betragt, berechnet
Fig 2.
werden und dann nach qj integriert werden, wie dies aus Fig. 2
ersichtlich ist.
Das Potential der linienfarmigen Ladung betragt :
1
2nms
c
*
= 8 d9n'
:2;?*
= edspb, cos 21tmnz m i ~
1
(i-)
~ ( 1Bninr,,
)
1)
,
worin B0@)die Hankelsche E'unktion erster Art der nullten
Ordnung darstellt, wahrend bei der Integration gesetzt ist:
Zo
- 5 = y.
Bei der Integration nach sp mul3 substituiert werden:
T o 2 = r B + $--2 r p cosy;
weiter kann geschrieben werden:
1) Vgl. N. N i e l 8 en , Handbuch der Cylinderfunktionen, Leipeig
1904, S. 221, Formel (7).
B a s elektrostatische Peld einer Triode.
373
eine Entwicklung gultig fur r > Q.’) Bei Anwendung hiervon
gibt die Integration nach y fur das Potential der Flachen2nmx
ladung b, cos _
_ im Punlrte (z,T ) :
1
I n derselben Weise kann man vorgehen urn das Potential
anmx
der Flachendichte B,, COB Iauf der Anode in einem Punkte
(x,r) innerhalb des Zylinders mit einem Radius R zu berechnen.
Das Potential der linienfiirmigen Ladung, welche pro L’ingen2nmx
einheit R d y B,, cos -i- betragt, wird, genau wie oben:
2nmz
niHI1)
R d u B,, COB I
Hierin ist roa= Ra + ra- 2 3 r
O
.
0
(2nfsr)
COB
y.
Fig. 3.
Wird die Entwicklung (4) angewendet, giiltig fur R
so gibt die Integration nach 9~ fur das Potential:
> r,
Zur Berechnung des Potentials der Ladungen Qo, welche
sich auf den kreisfiirmigen Qitterdrahten befinden, kann zuerst
das Potential der unendlich kleinen Teilchen R, dy der Kreise,
welche auf einer Linie parallel zum Qliihdraht gelegen sind,
betrachtet werden. .Wenn der Abstand des betrachteten Feldpunktes zur erwahnten Link
ist, so ist das Potential dieser
Teilchen :
m=Sm
2 m+ -.
glldF”
2 n m=-m
1) Vgl.
N.N i e l s e n , S.
880.
1
(mZ--P
Wir ki)nnen schreiben :
d l dieser Adsdruck denselben W a t haben mn0 fur gleiche
und entgegengesetzte Werte von x.
Fur den Koeffizient /?,, gilt:
wthrend
-
Schreiben wir m 1 x = y, so erhalten wir, nach Verwechselung der Reihenfolge von Summation und Integration :
p o = T2l n - .2x,
ro
Das Potential der kleinen Kreisbagen 22, d~ der kreisfdrmigen Gitterdrtihte wird also:
Die Integration nach 'p geschieht genau wie oben mittels
der Reihenentwicklung (4). In dieser Weise erhalten wir fiir
einen Punkt auBerhalb des Gitters, fur welchen
y o a = pa$- Roa- 2 r R , COB sp
und
r > R,:
Das elehtrostadische Fetd eilaer Triode.
31 6
Ebenso wird fur das Potential fur einen Punkt innerhalb
des Gitters, wo r < R,, gefunden:
Die Randhedingung ftir die Potentiale ist nun diem, daB
das Potential am Gliihdraht und an der Anode einen konstanten Wert hat. Durch Anwendung der Ausdrlicke (3), (5),
(6) (7) und (8) erhalt man fiir diem Potentiale bzw.:
yS
=4
~IZQ
bo
in
2XW
+
+ 4 n R Bo In %+
2 nf n R )J,( Z n y R )
+2neiRC
W B n c o s2
- nIn x HJl) (-
+
n=l
Hierin ist C eine willkiirliche additive Konstante. Weil
die Gleichungen (9) und (10) identisoh erfiillt eein miissen fiir
alle Werte von x and die Potentisle endlich bleiben miiasen,
bekommt man:
3'16
G.
.,?%as.
Diese Gleichungen genugen zur Bestimmung der unbekannten GroBen , wenn Q, als bekannt angenommen wird.
Letztere GroSe ist aber bekannt, sobald 7, gegeben ist. Urn
7,mittels der verschiedenen Ladungen auszudrucken, kann
nicht einfach T* = 22, gesetzt werden, weil (7) bzw. (8) in diesem
Falle unendlich grog werden wiirde. Urn dies zu vermeiden
kann in (7) gesetzt werden: x = 0, r = Ro go.
Der in dieser Weise erhaltene Ausdruck fur 7,
wird dann
nicht ganz exakt sein, weil die Ladung Qo sich i n Wirklichkeit nicht auf einem Kreis mit Radius 22, befindet, wie annahernd angenommen war, sondern auf einer Toroide , wobei
der Radius des sich drehenden Kreises cpo betragt. Der Ausdruck fur 7$wird jedoch desto exakter sein, je kleiner po/Ro
ist. In den Ausdrucken (5) und (6) kann mit derselben Vernachlassigung r = Ro gesetzt werden.
In dieser Weise erhalten wir:
+
Mit Hilfe der Gleichungen (11) und (12) ist das Problem
eigentlich schon geliist. Urn jedoch die Lbsung einfacher zu
gestalten kann angenommen werden, da8 aowohl 2 n R, als
Das elektrostatische FeEd ezier fiiode.
2 s ( R - R,) groS Bind in Beziehung auf 1, wbhrend 2 w
377
Q
und
272 go klein sind in Beziehuag auf 1.
Unter diesen Urnstanden kiinnen fur die Zylinderfunktionen bei den groBen Argumenten die bekannten asymptotischen Entwicklungea, bei den kleinen Argumenten die hierfur
geltenden Annaherungen angewendet werden und geniigt
meistens das erste Glied fur n = 1 in den verschiedenen
Reihen.
Die Ausdrucke (11) geben bei Einfiihrung dieser Annaherungen:
Hierin ist y die Eulersche Konstante.
Mit derselben Annaherung finden wir aus (12):
Das vorletzte Glied dieses Ausdrucks wird logarithmisch
unendlich groB fur go = 0, weil
Mit Hilfe von (11)bekommt man:
G.J . Bliattt
376
Durch Einfiihrting von bl , B, und Qo/Zaus (13) bekommt
man schlie6lich:
worin gesetzt ist:
Bei den gemachten Annahmen werden die letzten zwei
Glieder im Ausdruck fur A sehr klein gegen das erste.
Aus (16) erhalt man fur 1 = 0 (Gitter ohne offnungen):
0
4 n e b , ln A
= I’,
wiihrend fur A = 00
- Y3,
e
[q, = 0, also kein Gitter):
R = Vl
4 w e b , In B
- V,,
wie zu erwarten war.
Den Durchgriff erhalt man &us (16) als Quotient der
Koeffizienten d6r elektrostatischen Induktion im Ausdruck fiii
Fur B, wird in derselben Weise gefunden:
Fur E = 0 (Gitter ohne offnungen) wird dies:
4mR%, In
R
= Yz - F3,
B,
wie es in diesem Falle auch sein soll.
SchlieBlich wird fur Qo gefunden:
R
=-Flln~-Vzln---+
fill
e
B
T3 In - .
%
I
+
e
379
Das elektrostatische Feld einer Triode.
Far 1
0 bekommt man:
a
I
e
(20)’
In -
+ 2 a ’ i qca~ ~ , c Zo nsn-x - i - ~ aninr
~ ” ( ~ ) J(+
2, z i n q n = l
- 4 %R B, In R +
ca
2nnx
+ 2 w S i nRiCl B nCOB -H,(l)(?A)
1
Jo
- 20,
In R, +
1
rF)
+ 2n2 i
- 4 n R B 0 In R +
(’l)’
+ 2n2iRCB,,cosTHH0(1)
Bnrkx
--1 In r +
m
n = l
QO
\
2nmx
(,nil%,)
__
J,(Zninr)
--
in einem Durchschnitt der Rohre durch den Gliihdraht sind
die Schnittpunkte dieser Kreise als Doppelpunkte wahrnehmbar. I n diesen Punkten muB das Feld notwendigerweise Null
sein, deshalb gilt fur die Doppelpunkte im Durchschnitt:
Beim Untersuchen der Lage der Doppelpunkte sol1 angenommen werden 7, = 0, Fz > 0, wahrend T3 sich andert.
Solange r von der Ordnung von R, ist, kann fur r < R,
init geniigender Annaherung (wobei einige Glieder vernachliissigt sind) geschrieben werden, vorausgesetzt, da6 die auf
S. 377 genannten Bedingungen erfullt sind:
I
P = - 4s Q 6, In
1'
- 4 n R BoIn R -
I n diesen Ausdriicken besitzen, falls
COB
In Ro
2nwx
=-I-1,
I
+
die
Reihen , in welchen goniometrische Funktionen vorkommen,
das Zeichen des ersten Qliedes. Ferner habea, falls das Gitterpotential stark negativ ist, b, und Qo ein entgegengesetztes
Zeichen, wahrend 2 Q 0 / 1 in absolutem Sinne griiDer ist als
4s p b,. Dies alles hat zur Folge, da6 bei stark negativem
Gitterpotential a 718 r und a 7 j d x Null sind fur x = a1 + k 1
(A ist eine willktirliche ganze Zahl) und die Doppelpunkte
liegen dann in Flachen mitten zwischen den Flachen der
Gitterkreise. Es kiinnen keine Kraftlinien verlaufen von der
Anode zum Gluhdraht, wohl aber von der Anode zum Gitter
und vom Gluhdraht zum Gitter.
Wird
grijBer (also in a.bsolutem Sinne kleiner) so be1
+ k l in
wegen sich die Doppelpunkte auf den Strahlen x = 2
Bas eiektrostatische Peid einer Triode.
381
der Richtung des Gliihdrahtes. I n der Nahe hiervon gilt aber
der Ausdruck (22) fur 7;' nicht mehr, sondern er mu5 ersetzt
werden durch:
I n Anniiherung folgt hieraus:
1
+k 1
Die Doppelpunkte liegen auf den Strahlen z = 2
und ebenfalls auf dem Gluhdraht, falls 6, = bl, in welchem
Falle man erhalt:
Y
+Go
E'iir diesen Wert der Gitterspannung wird der Ubergang
der Kraftlinien von der Anode zum Gliihdraht gerade moglich
werden. Fur grbBere Werte von Pa findet die sog. ,,Inselbildung" statt, wobei ein Teil des Gluhdrahtes Kraftlinien von
der Anode erhglt, bis bei einem Gitterpotential :
Kraftlinien verlaufen von der Anode zur ganzen Lange des
Gluhdrahtes; die Doppelpunkte liegen dann bei x = k 1 auf
dem Gliihdraht, und b, = - b,.
Bei weiterer VergroBerung von P, bewegen sich die Doppelpunkte auf den Strahlen x = k2 wieder nach auBen, die Kraftlinien verlaufen von der Anode zum Gluhdraht und zum Gitter,
sie konnen nicht vom Gluhdraht zum Gitter gelangen, angesichts der' Lage der Doppelpunkte.
G. J. Xliliao.
382
Fiir r = R, - q,,
x
k l gibt (23)in Anniiherung:
Hierin ist die Reihe ,der e-Funktionen in einfacher Weise
av wird = 0, wenn:
zu summieren; 37
Die Doppelpunkte liegen d a m auf den Gitterdriihten,
w’hend das Potential des Gitters einen positiven Wert hat.
Bei noch weiterer Zunahme von P, liegen die Doppelpunkte bei einem Wert r > a,. In diesem Falle kann, wenn
r nicht nahezu gleioh R ist, die folgende Anniiherung benutzt
werden :
I
Y = - 4~qb,lnr-44wRBo1n R - q l n r
+
+z
2xn(r-R.,)
- -~
m
I
2 n . n ~e
cos __-
nz;l
+
1
12
I/-
--
+ c;
Bas elektrostatische Peld einer Triode.
383
ist r = R, + p,,, so liegen die Doppelpunkte an der Uberfliche der kreisformigen Qitterdrahte. Dann ist :
Wenn die Doppelpunkte bei r > 3, liegen, so verlaufen
die Kraftlinien von der Anode zum Gliihdraht und vom Gitter
zum Gluhdraht ; es konnen keine Kraftlinien zwischen Anode
und Gitter verlaufen, angesichts der Lage der Doppelpunkte.
Wenn V3 weiter zunimmt, so liegen die Doppelpunkte bei
der Anode und mu6 die folgende Annaherung benutzt werden:
Fur
T
= R kaan geschriehen werden:
Diese beiden Di~erentialquotientensind NuU, wenn z
und :
3
KI
Die Doppelpunkte liegen also bei diesem Wert von V8
an der Anode auf den Strahlen x = k l .
Be€ einem gr86eren Wert ron V, bleiben die Doppelpunkte aaaf dw Anode, s3e mtfernen sic4 jedocb von den
G. J. BEias.
384
Strahlen x = kE nach beiden Seiten. Sie treffen zusammen
kl, wenn:
auf den Strahlen 5 = 1
+
In
Im letzteren Falle verlaufen keine Kraftlinien von der
Anode zum Gliihdraht.
Nimmt pS weiter zu, so bewegen sich die Doppelpunkte
1
auf den Strahlen x = + k l in der Richtung des Gitters,
2
bis sie fur 7, = +a sich in derselben Lage befinden als fur
ps=--oo.
Bei der Lage der Doppelpunkte auf den Strahlen
1
x = - k l konnen keine Kraftlinien verlaufen zwischen Anode
2
und Gluhdraht.
1st r = R,,,so mu6 Qo = 0 sein, da sonst in Anbetracht des
+
OD
Unendlichwerdens von
2e
-24RO-r)
der Differentialquotient
n=l
a P/ar unendlich groB werden wurde. Deshalb liegen die DoppelRO , wegen (19). Das
punkte bei r = B,, wenn t.,In --R = In 0
e
Potential des Gitters entspricht d a m dem Potential eines
Punktes, der in einer Entfernung R, von der Achse gelegen ist
in einem zylindrischen Felde, gebildet von Gluhdraht und Anode,
Fiir den Fall, daB 2 m R, 1 und ferner pS + B pB nicht
nahezu gleich Null iet, ist bl < b,, so daB dann zufolge (25)
a 7'/ldr am Gliihdraht sehr wenig von x abhangt, das Feld hat
dort unter diesen Urnattinden in allen Punkten fast denselben
Wert. Man kann dann nach Schottky l) ein ,,Effektivpotential"
des Gitters einfiihren; dieses Potential wird definiert als die
Potentialdifferenz, welche zwischen einem zylindrischen Gitter
mit demselben Radius als das anwesende Gitter und dem
Gluhdraht existieren miifhe, urn dieselbe Feldintensitit an
diesem Draht zu erlangen. Fiir diesen Potentialwert bekommt man:
P,'=-44wgbOln--R
.O
(37)
e
>
Delft (Holland), September 1923. Technische Hochschule.
1) W. Schottky, Arch. f. Elektrotecbnik 8. S. 13. 1920.
Bas elektrostatische ltikld dmr Riode.
ll=-Iz-e
Q)
1
.Ro
1
2nvo
E
Iz
7z
388
- .__
1
- _ _ _ _1 _ _
log __
ni
e
nYB
so ist:
und man erhglt also:
A=---1
1
Ran log
_ _ _ _e0
1-e
*
1
Fur den Durchgriff folgt hieraus :
(P1)
B=
log
1
.
1
R
2nRologRll
1-e
_ _2_n e a
E
Da jedoch in der Ableitung von (17) die Anniiherung
2meo
--<I
1
bereits verwendet wurde, so kann man das logarithmieche
Glied in (P 1) auch schreiben:
-
.
Far den Durchgriff D erhalt man also den Ausdruck:
log--
D=--
2n R,
Annalen der Phydk. IV. Folge. 78.
1
2neo
log-
R
.
RO
25
386
Balth. van der Pol.
Wir kbnnen jetzt den Durchgriff des Ringgitters vergleichen
mit den bekannten Ausdriicken fiir den Durchgriff, so wie diese
von J. J. Thomsonl), von Lauea) und Abraham? berechnet
sind fiir ein Stabgitter, von n Staben an den Ecken eines
regelmabigen n-Ecks gebildet, in einem Abstand vom Gluhdraht, welchen wir wieder 3, bezeichnen werden. Auch die
Dicke der geraden Stilbe werden wir wieder 2 4, nennen.
Die Resultate der drei genannten Forscher stimmen vollstindig uberein und werden in den vorliegenden Bezeichnungen:
R,
log ___
B
=
.
n
.
.
(P 3)
R
.n log %
I
Vergleichen wir (P 3) mit dem Ausdruck (P 2), welcher in
der oben erlauterten Weise RUS der Berechnung von Prof.
E l i a s .abgeleitet werden kann, so zeigt es sich, daB beide
Ausdrucke ein genau ubereinstimmendes Resultat liefern,
wenn man n im Parallelstabgitterproblem ersetzt durch :
2 nR, .
L
N a n erhalt also denselben Durcligriff in den beiden Fallen,
wenn man die Abstande der parallelen Z)Tme, an der Per+Rerie
des Gitterhreises I%, gemessen, der Ganghohe des schraubenfiirmigen Gitters gleichsetzt.
In beiden Fiillen ist, pro Langeneinheit der Triode, in
die Gitterflache (r = &) eine Liinge Draht (der gleichen Dicke)
eingefiihrt gleich n.
Der folgende wahrscheinliche praktische Satz liegt hier
nahe (wenn dieser auch nicht allgemein bewiesen ist):
Vorauageaetzt, dab man eine bestimmte Linge Draht so
homogen wie mbglich (also entmeder in Form einer Schraube,
oder in Form paralleler Stiibe, oder in Form eines Netzes,
usw.) in die Gitterflache einfiihrt, so wird der Durchgriff in
erster Anniihernng in allen Fallen gleich grob sein.
Eindhoven (Holland), Februar 1924. Physikalisches
Laboratorium der Philips’ Gliihlampenfabriken 8.-G.
1) B. S. G o s s l i n g , Journ. of the Inst. of Electr. Eng. 68.5.670.1920.
2) M.von Laue, Ann. d. Phye. 69. S. 465. 1919.
3) M. Abraham, Arch. f. Elektrotechnik 8. S. 42. 1920.
Bas elektrostatisehe Feld eiaer Diode.
587.
Dritter Teil.
Von B. D. H. Tellegen.
Im ersten Teil berechnete Prof. E l i a s das elektrostatische
Feld einer zylindrischen Triode mit schraubenfijrmigem Gitter.
Die nachfolgenden Annaherungen wurden dabei eingeftihrt:
1. die Triode wurde unendlich lang gedacht;
2. die Schraube wurde ersetzt durch eine Anzahl von
aquidistanten Ringen mit ihrem Mittelpunkt in der
Triodenachse und in Flachen gelegen senkrecht auf
dieser Achse; wir nennen dies ein Ringgitter;
3. der Gitterdraht wurde als diinn angenommen.
Aus einer naheren Untersuchung ergibt sich die M[bglichkeit die Methode von Prof. E l i a s genau so anzuwenden,
ohne jedoch von der 2. und 3. Annaherung Gebrauch zu
machen.
I. Zuerst lassen wir nur die 2. Annaherung fallen, wir
nehmen jedoch den Gitterdraht noch als diinn an. Wir halten
uns an die Bezeichnungen:
R Radius-Anode,
Ro Radius-Gitter,
go Radius-Gitterdrahte,
Radius-Gliihdraht,
1 GanghShe.
Wir bestimmen einen Punkt P durch Schraubenkoordinateu r , y , x . Hierbei ist r der Abstand von P zur Achse;
Fig. 4.
y) der Winkel, welchen die Fliiche durch P und die Achse
mit einer willkiirlichen festen Nullflache durch die Achse bildet.
Die Flache durch P und die Achse schneidet den Gitterdraht
an verschiedenen Punkten. Hieraus wiihlen wir einen Punkt Q,
der an derselben Seite der Achse liegt wie P. Den Abstand
yon P zur Flache durch Q senkrecht auf der Achse nehmen
25 *
B. D. H.Tellegen.
388
wir ale die x-Koordinate von P. Wir wahlen die Punkte Q,
welche zu den verschiedenen P gehoren, derartig, dab sie zusammen einen Umgang der Schraube bilden, welche anfangt
und endigt auf der Nullflgche von sp. Das Zeichen von x
wghlen wir so, da0, wenn P sich auf einer Frache senkrecht
auf der Achse bewegt und sp dabei zunimmt, das x von P abnimmt. Lassen wir r und x konstant und andern wir 9,so
beschreibt P eine Schraubenlinie. Das Potential 7 von P wird
sich dabei nicht andern. P ist also nnabhangig von cp und
eine periodische Funktion von x.
Die Flachendichte der Ladung auf dem Gliihdraht kann
also geschrieben werden :
(1)l)
Iu,
= 6,
2nx
+ bl COB + ' + 6.
1
**
2nBX
+'
I
COS
*
Ebenso fur die Anode:
(2)
B, + Bl
COB
+...
+ * * * + Bn COB 1
1
2nx
2nrax
Wir haben nur die cos-Glieder, weil w sich nicht bdert,
wenn x ein anderes Vorzeichen erhalt.
Das Potential der Ladungsdichten b, uud 23, betriigt
wieder :
(3)
Wir berechnen nun das Potential der Ladungsdichte
2nBx
im Punkte P (3,T), indem wir zuerst das Potential
b, co3 1
einer Linienladung auf dem Gliihdraht mit einer Ladung pro
2nax
berechnen and dam nach sp
Lkngeneinheit Q d sp 6, eos E
integrieren.
Daa Potential der Linienladung betragt :
Sbi
BnTZX,
COB
pdVbn/,/
--oo
roa+
1
~
d xo
( + an
cpl
20
0
)I
1) Wir geben den Gleichungen dieselben Nummern wie den korreapondierenden Gleichungen im Aufsatz von Prof. (3. J. Eliae.
389
B a s elehtrostatische li'eld einer Triode.
Der Abstand in der x-Richtung von P zum Punkte (ro,e, y)
wird nicht nur bestimmt durch xo x, sondern auch durch
die Steigung der Schraubenlinie.
-
Fig. 6.
1'
>
(*I
Nun ist
(
I
:
I
yo2
= r2
+ p2 - 27-4 cos sp und hierfiir gilt, wenn
q)
(+2ni.nr0
r
1Y,w
(Y?)
J, ( 2 y )
+ 2 8 2= l H y ) ( y 2 )
+
J p p )
00s 8 9 .
Die Integration nach sp liefert nun:
(5)
rl,,,
= 2 w'iigbn COS 2 n n x aiU(?-!$!?
J,
'?(?'A))
I
.
Dieser Ausdruck unterscheidet sich vom iibereinstimmenden
Ausdruck beim Ringgitter nur durch das Vorkommen Besselscher Funktionen der nkn Ordnung, anstatt der Oten Ordnung.
Ebenso finden wir fur das Potential der Ladungsdichte
2nnx
im Punkte (z,r):
B, cos ___
1
Berechnen wir nun das Potential der Ladung des Gitters,
welches wir hierbei als eine Linie annehmen. Wir nennen
B. B. H. Tellegen.
390
die Ladung eines Umgangs der Schraube Qo und berechnen
das Feld derselben, indem wir erst das Potential einer Reihe
von Ladungen Qo d y / 2 z, welch6 in einer Linie parallel zum
Gluhdraht gelegen sind, berechnen, und dann nach q~ integrieren. Das Potential einer derartigen Reihe betrligt:
Dies ist eine periodische Funktion von x, also dUrfen
wir setzen:
-$
Setzen wir m I 4- x = y und verwechselndie Reihenfolge von Summation und Integration, so erhalten wir:
Gleichfalls:
Das elektrostatische Feld einer Bwde.'
39 1
Das Potential der Ladungen Qo dry 12 n betragt also:
Nun ist ro2= ra + ROB- 2 r R, cos ~ p . Mit Hilfe der
Reihe (4) liefert die Integration nach sp fur einen Punkt auBerhalb des Gitters, r > R,:
und fur einen Punkt innerhalb des Gitters, r
< R,:
Auch diese Formeln folgen direkt aus denen des Ringgitters, wenn wir darin HJ1)und Jo ersetzen durch . H i t ) und
J,. Wir sehen also, daB wir alle Formeln des Ringgitters
einfach iibernehmen kiinnen, also auch die Randwertgleichungen (9), (lo), (11) und (12), welche uns sagen, daS das Potential
am Gliihdraht, an der Anode und am Gitter bzw. gleich
Yl,YZ und P, sind und die Feldgleichungen (20) und (21). Wir
brauchen nnr iiberall H0(l) und J, durch Bpjl)und J, zu ersetzen.
Wenn wir nun die Annaherungen: 2<2nB?; 1<2a(R - X0);
2%Q g 1; 2w eo< I einfuhren und uns auf die ersten Harmonischen beechranken, so wird die Ubereinstimmung noch gro8er.
Die E'unktionen , denen sich die Be s s e 1schen Funktionen bei
einem groBen imaginaren Argument nahern, sind nsmlich nicht
von der Ordnung der Besselschen Funktionen abhangig.
Wenn wir in dieser Weise b,, B,, bo, Bo und Q,, in den Dimensionen der Triode und in den Potentialen &, Ya und 7,
ausdriicken, so finden wir fiir B,, bo, B, und Qo genau dieselben Ausdrucke wie beim Ringgitter; diese werden also gegeben durch die Gleichungen (13), (16)' (18) und (19). Nur die
Gr63e A wird:
392
B. D. H.Tellegeil,
Da die letzten zwei Glieder von A bei den gemachten
Annahmen klein sind gegen das erste, unterscheidet sich dieser
Ausdruck nur wenig vom A des Ringgitters. Auch die Formel
fiir den Durchgriff bleibt also:
Nur der Ausdruck ftir b, wird anders, namlich:
an R.
welcher Ausdruck bedeutend kleiner ist als der betreffende
dee Ringgitters.
Wir sehen also, daS die Felder einer Triode mit Ringgitter und einer Triode mit Schraubengitter - solange den
gemachten Annahmen entsprochen wird - vollkommen gleioh
sind, ausgenommen in der Nahe des Gluhdrahtes. Dies ist
auch direkt einzusehen.
Die Gr6Be b, / b , gibt die UngleichmtiBigkeit der Ladung
auf dem Gliihdraht wieder. Beim Ringgitter betrtigt diese:
worin y = Eulersche Konstante; nnd beim Schraubengitter:
Wenn wir nun Q , den Radius des Gliihdrahtes, sich Null
nilhern lassen, so nahert sich beim Ringgitter b,/b, einem
Werte ungleich Null. Allerdings: die Verhkltnisse der Gliihdrahtpunkte, welche mitten zwischen den beiden Ringen liegen,
sind ganz anders als die der Punkte, welche gerade in einer
Ringflache liegen und infolge des Diinnerwerdens des Gluh1) Vgl. zweiten Teil.
Das elektrostutische Feld einer Biode.
393
drahtes verschwindet also die UngleichmiiBigkeit der Ladung
nicht. Beim Schraubengitter nahert sich b, / b , wohl Null,
wenn e immer kleiner wird. Hier liegt jeder Durchschnitt
des Gluhdrahtes in gleicher Lage hinsichtlich des Gitters und
wir finden die verschiedenen Werte der Ladungsdichten be.
reits an der Peripherie eines senkrechten Durchschnittes. Wird
dieser stets kleiner, so mu6 also die IJngleichmaBigkeit der
Ladung verschwinden. In der Nilhe des Gluhdrahtes werden
die Felder der Triode mit Ringgitter und der Triode mit
Schraubengitter also verschieden sein. In Punkten, nicht in
der Nilhe des Gliihdrahtes, wird der nachstgelegene Teil des
Gitters iiberwiegen, so da6 hierbei der Unterschied verschwindet.
11. Der Bedingung -sg
2 Po
1 wird in praktischen Filllen
oft ungeniigend entsprochen. Bei einer Philips E-Triode betragt diese z. B. 1/3. Es ist deshalb wichtig, gleich vom Anfang an die Dicke des Gitterdrahtes zu beriicksichtigen. Das
Entstehen desselben kdnnen wir uns denken durch die Bewegung einer Schraubenlinie parallel zu sich selbst um die
Drahtachse. Nehmen wir den senkrechten Durchschnitt als
kreisformig an, so kdnnen wir eine beschreibende Schraubenlinie definieren durch den Winkel TO, , welchen eine Linie,
durch die Achse des Drahtes und die beschreibende Linie und
gelegen im senkrechten Durchschnitt, mit einer festen Linie
in jenem Durchschnitt bildet. Wir wahlen fur die beschreibende Linie, welche am weitesten vom Gliihdraht entfernt ist,
also in einem Abstand R, + eo, gleich Null. Von der beschreibenden Linie am nachsten beim Gluhdraht, also in einem
Abstand R, - eo, ist y dann 1.
Betrachten wir nun den Teil der Oberflache des Glitterdrahtes begrenzt von den Linien q und y + d q &Dgs eines
Umgangs der Schraube und nennen die Ladung desselben
Q~ d y ws, so kSnnen wir schreiben:
(22)
w 3 = Qo Q1COB t~
Qpco~py
Auch hier kommen nur die cos-Glieder vor, weil o3sich
nicht iindert, falls ly entgegengesetztes Vorzeichen erhiilt.
Mittels dieser Definition der Ladungen erreichen wir, daf3 die
totale Ladung des Gitters bei allen Harmonischen mit Ausnahme von Q, gleich Null wird, was nicht der Fall sein
+
+ +
+
* a *
394
B. B. H. Tellegen.
wiirde, wenn wir von der gewahnlichen Ladungdichte ausgehen wiirden.
Wir berechnen nun das Potential von Q p cosp 9. Zu
diesem Zwecke berechnen wir zuerat das Potential der Schraubenh i e @ mit Ladung Po d q Qp cosp q per Umgang und integrieren dann nach q.
Das Potential der Schraubenlinie wird jedoch durch die
Gleichungen (7) und (8) gegeben, wenn darin Qo, x nnd Bo
von den jetzt giiltigen Werten ersetzt werden. Diese gehen
au8 Fig. 6 hervor, welche die Achse des Gitterdrahtes, die
Peripherie eines senkrechten Durchschnittes und die Achse des
Gluhdrahtes in drei Projektionen darstellt.
R, muB ersetzt werden durch
---____
o P = l l f ~ , eo cos + (Po sin q, sin a)”
worin ac die Neigung der Achse des Gitterdrahtes ist, also
tgu=- 1 .
+
2nR,
x d ~ r 2
~-h
’
PR
Bas elektrostatische K l d einei. Biode.
396
und
Qo durch e o d q Qp COSP
V*
Wir nehmen nun kunftig an e o < R , .
Dann kSnnen wir schreibea:
op=
PR
nof QQCOS'qr,,
= Qo
v
sin
cos a
---a
Somit erhalten wir fur das Potential der Schraubenlinie
in einem Punkte auBerhalb der Schraubenlinie, also
> RQ P O q:
*:
+
in einem .Punkte innerhalb der Schraubenlinie, also
r < Ro go cog V :
+
Diese Ausdriicke miissen nach q integriert werden. Fur
das Potential von Qpcosp ~p in einem Punkte ganz auBerhalb
0:
des Gitters, also > 22, e0, erhalten wir aus (23)fiir p =i=
+
B. B. B. l'ellegen.
396
Mit Hilfe der Formel (e) des Anhangs wird dies:
m
*
(-
ch 2 n 18 @&
dy + cos EC iJ,'
I cog a
a=
- [cos
p q cos
2 n 16 e0
sin @) sh
0
Mit Hilfe der Formeln (f) dee Anhangs wird dies:
fur p gerade:
!
2nax
73p
I fir p
I
=
lp!
11
=1
ungerade:
I Fur p = 0
erhalten wir:
Ebenso erhalten wir fur das Potential von Qp cosp y in
einem Punkte ganz innerhalb des Gitters, also r < 22, - po,
aus (24):
1) oh = COB. hyperbolicus; sh = sin. hyp.
391
Das elektrostatisehe Feld einer %ode.
ftir p gerade $r 0 :
fur p ungerade:
Fiirp = 1 kommt noch hierzu - 2-n-@O* 91
An-
1Ro
teil des ersten Gliedes von (24).
Fur p = 0 erhalten wir:
Wir sehen, dai3 das Potential von Qo vollstandig iibereinstimmt mit dem Potential im Falle eines diinnen Gitterdrahtes, gegeben durch (7) und (8). Die p-te Harmonische der
Ladung am Gitter gibt nicht nur Veranlassung zu einer p-ten
Harmonischen des Potentials, wie dies bei den Ladungen am
Gluhdraht und an der Anode der Fall war, sondern zu einer
vollsthdigen F o u r i e r schen Reihe, jedoch ohne konstantes
Glied. Das konstante Glied kommt im Potential von Qo vor,
jedoch ebenfalls innerhalb des Gitters im Potential von Q1cos q~
ungeachtet der Tatsache, dab die ganze Ladung des Gitters
jetzt Null ist. Dieser Ausdruck hat eine einfache physikalische
Bedeutung. Haben wir ntimlich zwei konzentrische Zylinder mit
gleichen aber entgegengesetzten Ladungen und berechnen wir
das Potential in einem Punkte a d e r h d b der beiden Zylinder,
so ist dies gleich Null. Im innersten Zylinder ist das Potential
konstant, jedoch ungleich Null und wird bei gegebenen Ladungen
von der Kapazitiit der beiden Zylinder bestimmt. Bei der
Ladung Q1COB y finden wir dasselbe: die ganze positive La-
398
B. B. H . Tellegen.
dung befindet sich an der AuSenseite des Gitters, die ganze
negative Ladung an der Innenseite, wabrend die totale Ladung
Null ist. Bei den hijheren Harmonischen sind positive und
negative Ladungen zu sehr verteilt um dieses Resultat geben
zu konnen.
Beim Berechnen des Potentials der Gitterladung wurde
von der Annahme po << Ro Gebrauch gemacht. Im konstanten
Teil dieses Potentials wurden Ausdriicke mit po/Ro nicht vernachllssigt, wohl aber Ausdriicke mit (go/i?o)2. In den Harmonischen wurden jedoch die Ausdrucke rnit po/Ro vernachliissigt; dies geschah bei der Ableitung der Formel (e) des Anhangs. Dieses wird unten gerechtfertigt bei der Berechnung der
Randbedingungen. Der konetante Teil und die Harmonischen
des Potentials der Gitterladung kommen nur in den Randbedingungen am Gitter [Gleichungen (30) und (3l)] gleichzeitig
vor. Hierin wird der Anteil der Harmonischen bereits von
der Ordnung go/Ro, was deut>lich aus der Ableitung von (33)
und (34) hervorgeht.
Urn das Feld der Ladung des Gitters vollstindig zu berechnen, miissen wir noch das Potential in einem Punkte im
Gitter bestimmen, also in einem Punkte, wofiir R, - po < r <
< 22, +go. Sei ftir solch einen Punkt r = R, + q0 cos p, so
erhalten wir das Potential durch (24) zu integrieren von - p
bis B und (23) von t9 bis 2 YC - @ und die Resultate zu summieren. Das totale Feld bekommen wir dann, indem wir die
Summe nehmen der Felder von Gliihdraht, Gitter und Anode.
Die Randbedingungen auf Gliihdraht und Anode kannen bestimmt werden wie unter I, diejenigen auf dem Gitter, indem
man im Potential die Gleichungen des Gitters:
1’
= Bo
+ pocosp,
ausgedriickt im Parameter /I,substituiert. Fiir alle Werte von
mull das Potential dann r8 werden. Nan kann hieran geniigen, indem man das Potential des Gitters entwickelt in einer
Fourierschen Reihe nach p und den konstanten Teil gleich
F3 setzt und alle Harmonischen gleich Null.
Das elektrostatische Peld einer Triode.
399
Dns Beschreiten dieses Weges bietet zwar keine groBen
Schwierigkeiten, gibt jedoch AnlaB zu einer ziemlich umfangreichen Rechnerei, ohne da6 dies zu bedeutenden Resultaten
fiihrt. Wir werden dies also hier nicht weiter ausarbeiten,
da wir in einer anderen Weise schneller unser Ziel erreichen
kiinnen. Beschriinken wir uns namlich darauf Qo und Q1COB y
in Rechnung zu stellen, wiihrend wir auf die hiiheren Harmonischen der Gitterladung verzichten, so geniigen zwei Randbedingungen fur das Gitter. Diese erhalten wir, indem wir aufschreiben, daB in den Punkten 2 = 0 ; T = Ro + eo und z= 0 ;
T = B, das Potential P, sei. Wenn wir dieses tun, so
Po.
brauchen wir uns um das Gebiet im Gitter nicht zu bekiimmern.
Wir werden jetzt die Randbedingungen niederschreiben.
Das Feld wird bestimmt von (3), (5), (6), (25) und (26). Aus
dem Endlichbleiben des Potentials, oder was dasselbe ist, aus
der Tatsache, daB die totale Ladung des Gliihdrahtes, des
Gitters und der Anode Null ist, folgt:
(27)
Aus der Tatsache, daB das Potential am Gliihdraht, also
bzw.
P2 sein muS fiir alle Werte von 2 folgt:
r = Q , und an der Anode, also T = 3,identisch gleich
B. D. H. Tellegen.
400
Das Potential im Punkte
gesetzt, gibt:
r3= - 4 n p b,
In R,
x
= 0 ; r = R,
- 4 7 d ~ b3~
+
no
O
m
n=l
+ p,,
gleich T3
Das elektrostatische Feld einer !&ode.
401
Hiermit ist das Problem eigentlich geliist. Um den Gleichungen eine einfachere Form zu geben, nehmen wir an
und
Z<2n(Ro-e)
1<2n(R-R0).
Losen wir aus (29) 6, und B,, und fiihren diese Annaherungen ein, so erhalten wir:
Diese Gleichungen sind ganz gleich (29), nur ist aus der
ersten B, gestrichen und aus der zweiten b,, das heiBt also:
die UngleichmaBigkeit der Ladung auf der Anode iibt keinen
Einflu6 auf das Feld am Gliihdraht aus, und auch umgekehrt.
Substituieren wir diese Werte von h,, und B,, in (30) und (31),
so stellt sich heraus, da6 wir die b und die B, mit Ausnahme von 6, und B,, vernachliassigen diirfen, also: die UnSleichmaBigkeit der Ladungen am Gluhdraht und an der Anode
iiben keinen EinfluB auf das Feld beim Gitter aus. Hierdurch
haben wir in (27), (28), (30) und (31) vier Gleichungen, woraus
b,, B,, Q, und Q1 berechnet werden konnen. Dazu nehmen
wir von (30) und (31) die halbe Summe und die halbe Differenz, wobei wir fiir die Besselschen Funktionen mit groBem
Argument die Annaherungen einfiihren. Es en tstehen dann
7, = - 4 7z p 6,113 R, - 4 n R B,ln R
- 2neo4Qo+
1 Ro
-~
z+e
m
Q0
- %gin
1
R
QO
RO
2nne0
?l=l
und :
2 n e o eQo
4 a e b Oeo
x + ----0
1%
0 -
nto'Q1
+c
1 RO
Z e - 7 =0 .
2n%gO
=eO*
QI
E RO
Annalen der Phpik. IV. Folge. 78.
- 2aeosQi
1 RO
?l=l
26
B. D. R Tellegen.
402
Nun ist:
4 ~ b,0+
(34)
+-2 n @ QO
'ZPO
-
1
Q1 coth 9
=0 .
1
0, wann 2 %Q b, = - 1 2 n e1 0 Q 0 oder,
wenn die Ladung des Gtliihdrahtes gleich und entgegengesetzt ist
der halben Ladung des Qitters, und d a die Summe alter Ladungen
Null ist, ebenfalls gleich der Ladung auf der Anode. Es
befindet sich dann eine ebenso gro6e Ladung an der Innenmite des Gitters als an der AuBenseite, wodurch Q1 Null
geworden ist.
Nun liisen wir aus (27), (28), (33), (34) b,, B,, Qn und Q1.
(33) - (23) liefert:
1
+ E!%G .
(35) r3- = - 47cp b, In 5 260 QO~n-(34) sagt, da8
&,
I
Q
t - 7
2
1 RJ
L!?n
1
Aus (27) und (28) B, eliminiert, liefert:
Aus (34), (35), (361, welche nun B, riicht mehr enthalten,
folgt, wenn wir:
1)
Vgl. zweiten Teil.
Das elektrostatisehe Peld einer Triode.
403
Und hieraus mit (27):
- 4 n R B 0 N N ( 7 " , - 7J(+
In---Ru
e
2:e8thy)+
Aus der Gleichung fur 6, folgt fiir den Durchgriff:
In
n=
--1
+
2ahn3
1
_
2 n R_
0
In 5
1
R"
-
n t h
I
&
n
1
-.
2x)
th
nAO
I
1
Fur " p o l l klein geht dies iiber in (17).
Bei der Ableitung wurde von den Annahmen
e o < R 0 ; 1<2w(R0 p); 1 < < 2 n ( R Ro)
-
-
Gebrauch gemacht, wahrend von der Ladung dea Gitters nur
Qo und Q1 coa 9 beriicksichtigt wurden.
E i n d h o ve n (Holland), Juni 1925.
Physikalischea Laboratorium der Philips' Gltihlampenfabriken A . 4 .
Aahang.
+
in
I. Verwenden wir fiir J, {2Tn( B
o
po COB 9))die mit
(4)ubereinstimmende Entwicklung, ao erhalten wir Kugelfunktionen, mit welchen man auch nicht vie1 anfangen kann. Nun
aber po 23, angenommen ist, kannen wir anders handeln.
afi*
<
B. D.H. Tellegen.
404
Sei 2, (x + y) eine willkurliche B e s s e l sche Funktion der
p-ten Ordnuiig und nehmen wir an [yI 1x1.
Mit der Taylorschen Reihe erhaltsn wir:
<
+ . . . + p p p )+ . . .
+ y) = ZP(.) + $,'(x)
Z,(.
Wir kbnnen nun alle Ableitungen von 2, in 2, und Z,'
ausdrucken:
Das letzte Glied darf vernachlassigt werden in bezug auf
Zl! Zp ', so daB wir also von: -2Y2
2,"
nur:
!
q2! 1
-$)zp
in Rechnung zu stellen brauchen.
Durch Differentiation von (a) konnen wir auch die hoheren
Ableitungen in 2, und 2', ausdriicken. Dabei stellt aich
heraus, daB die Ableitungen des letzten Gliedes von (a) vernacblassigt werden durfen, so da6 die Differentiation von (h)
genugt:
Das letzte Glied von (c) ist klein in bezug auf den Ausa
9
druck 22- 2, aus (b), also:
2! x3
I n dieser Weise finden wir, daB:
Substituieren wir fur 2,'"
- 2):
- ( 1 - $)22 - 4)
usw.,
so bekommen wir:
2"+
2
+ 1)
liefert: (-
I
_
_
(2n+l)!
p
lp -~
Das elehtrostatische Feld einer Biode.
405
DnD dieses erIaubt ist, kann durch vollstiindige Induktion
bewiesen werden.
Dadurch wird die Reihe :
Fiir IyI < 1 wird dies:
Z,(S Y):= zp(4 YZ,'(4,
die ersten Glieder der Taylorschen Reihe.
Fur x > p bekommen wir:
ZP(x + y) = 2, (z)cos y 2', (x)sin y,
+
+
+
welches Resultat wir auch finden bei Anwendung der Annaherungsformeln fiir groBes Argument.
Sind 2 und y imaginar, so wird dies:
406
B.D. II. Tellegen. Bas elektrostatische Feld einer Triode.
II. Die Formel aus Nielsen, Handbuch der Cylinderfunktionen, s. 122 (6) wird fur v gleich einer ganzen Zahl p :
Jhcoa
YJ
cos (h sin
v) COB p y d y =
lt hP
P.
0
und d a d nun auch fur negative Werte von h verwendet
werden.
Fur p = 0 erhalten wir:
jJk
co5 YJ
cos (?&sin 2y) d v = 2 a.
0
Wenn wir h durch - h ersetzen und d a m die halbe
Summe und die halbe Differenz der Integralen nehmen, erhalten wir:
Pospy,cos(hsiny,)ch(h cos y ) d y {= p . fir p gerade
(f)
= 0 fiirpungerade’
= 0 fiirp gerade
O
jios p q
COB (hsin
~;OB
v) sh (id cos q ~d)q {= 2 furp ungerade ‘
(R sin q)ch (?I
(h sin
COB
y) dq = 2 z,
y) sh (h cos y)d y
J
(Eingegangen 29. September 1925.)
0.
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