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Das G. Kirchhoff'sche Princip und die Theorie der Reflexion und Brechung an der Grenze circularpolarisirender Medien

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522
w. Voigt.
Die yon mir gewilhlte Form der Darstellung m q weiter
zeigen, dass die Dimensionen in den electrischen Maasssystemen wenig mit Vorstellungen iiber electrische Philnomene
zu thun haben. Die Bedeutung der Dimensionen, die eine
mehr f o r m e l l e , als materielle ist, ist wohl uberhaupt bisher
vielfach iiberschhtzt.
K i j n i g s b e r g i. Pr., 24. Januar 1884.
XV. Das G . Rirchhoff'sche P r h c i p und
die l ' h e o M der Reflexim und Brechtmg an, der
G-rmxe circularpolar4sirender Mediem;
v m w. Poigt.
Hr. G. K i r c h h o f f hat in einer Arbeit: ,,Ueber die
Reflexion und Brechung des Lichtes an der Grenze krystallinischer Mittel'") ein neues Princip in die Optik eingefiihrt,
welches von allgemeinster Bedeutung zu werden verspricht.
Bekanntlich hatte der Losung desselben Problems, ausser
den gewohnlich in der Elasticitat benutzten Grenzgleichungen
fiir die Verschiebungscomponenten, seinerzeit Hr. F. N e u mannz) das P r i n c i p der E r h a l t u n g d e r lebendigen
K r a f t d e r A e t h e r s c h w i n g u n g e n als ein +ur auf Qrund
der Erfahrung anzunehmendes" 3, zum Grunde gelegt. Dies
Princip hat ausser dem hierin liegenden Nachtheil den anderen
ebenfalls schon von Hrn. N e u m a n n hervorgehobenen, dass es
nicht in allen Fallen zur Lasung des Problemes flihrt, z.B. bei
der totalen Reflexion durch das andere ersetzt werden musste,
dass die auf die Grenze wirkende Moleculaxdruckcomponente,
welche s e n k r ec h t zur Einfallsebene liegt, auf beiden Seiten
der Grenze gleichen Werth hat.".) Ueberdies ist es in jedem
1) G. K i r c h h o f f , Abh. der Berl. Acad. 13. 1876. spcciell p. 75.
Gesamrnelte Abhandl. p. 368.
2) F. Neumann, Abh. der Bed. Acad. 13. 1836. p. 1.
3) F. Neumann, I. c. p. 11.
4) F. Neumann, Pogg. Ann. 40. p. 510. 1837, auch Zech, Pogg.
Ann. 109. p. 76. 1860.
w.voigt.
623
Falle nur so lange brauchbar, a18 man yon den direct von
den ponderablen Massen auf die Aetherschwingungen ausgeubten Wirkungen absieht.
Dem gegeniiber bietet das neue Princip des Hrn. G.
K i r c h h o f f , dahin lautend, ,,dam in der Grenze eine gewisse
Arbeit der von den ponderablen auf die Aethertheile wirkenden Krafte verschwindet", bedeutende Vortheile.
Erstlich erscheint es a19 eine Folge des allgemeinen
Principes der Energie') und griindet sich daher nicht nur
auf einen kleinen Kreis von Beobachtungen, deren Deutung
uberdies nicht ganz unzweifelhaft ist, zweitens ist es umfassender, als das Princip der Erhaltung der lebendigen &aft
- lost z. B. ohne weiteres das Problem der totalen Reflexion -, und drittens gestattet es, wie ich an einem anderen Orte gezeigt habe 2), mit Leichtigkeit die Verallgemeinerung auf den Fall, dass die directe Einwirkung der ponderablen auf die Aethermassen in Betracht gezogen wird.
Indessen scheint es in der durch die letztere Verallgemeinerung aus der urspriinglichen K i r c h hoff'schen zunachst erhaltenen Fassung immer noch nicht a l l e m o g l i c h e n Fillle zu
umfassen. Wie ich im Folgenden mir zu zeigen erlauben werde,
fuhrt es bei der Anwendung auf die Grenze eines c i r c u l a r p o l a r i s i r e n d e n Korpers auf einen Widerspruch. Es w i d
in diesem Falle (in welchem auch das Princip der lebendigen
Rraft versagt) nothig, jene in der Grenze stattfindende Arbeit
nicht gleich Null, sondern gleich einem vollshdigen Differentialquotienten nach der Zeit zu setzen. Diese allgemeinste
Fassung habe ich friihers) als ebenfalls mit dem Princip der
Energie vereinbar erwiesen. Freilich leidet dieselbe an einer
gewissen Unbestimmtheit wegen der Willkurlichkeit der einzufiihrenden Function, die noch eine Hiilfsannahme erforderlich macht.
Ich beschrilnke mioh zur Daxlegung des im Vorstehen.den Angedeuteten auf die Behandlung u n k r y s t a l l i n i s c h
1) W. V o i g t , Wied. Aim.
2) 1. c. p. 700.
3) 1. c. p. 701.
19. 11. 700. 1853.
w.voiyr.
524
circularpolarisirender Mittel. Die Verallgemeinerung auf
krystallinische bietet keine principiellen Schwierigkeiten.
In einer fruheren Abhandlung tiber ,,die Theorie des
Lichtes fur vollkommen durchsichtige Media"') habe ich gezeigt, dass die Arbeit der in der Grenze zwischen zwei Medien
wirkenden Krafte, von der das Princip der Energie verlangt,
dass sie ein vollkommener DIfferentialquotient nach der Zeit
sein muss, die Form hat:2)
Hierin sind u v w die Verschiebungscomponenten, X,, Y, 2,
die Druckcomponenten der Molecularwirkungen von Aether
auf Aether, A, B, C, gewisse ahnlich gebildete Grossen
f i r die Wechselwirkung zwischen Aether und Materie; die
Indices h und k zeigen an, dass die Werthe der Klammern
fur das h. und k. Medium zu nehmen sind.
Wahlt man a19 Trennungsflache zweier Medien (0) und (I)
die XY-Ebene, so wird:
= 8,-
s,.
I
Ich bestimme den Werth S fur den Fall, dass das erste
der zwei in Betracht kommenden Medien ein gewohnliches
isotropes, das zweite ein circularpolarisirendes isotropes ist.
8,hsst sich dann in zwei Theile zerlegen, da (Az)I(Bz),(CJl
in je zwei Theile zerfallt, von denen der erste (a,, b,,6J die
in einem g e w o h n l i c h e n isotropen Medium von der Wirkung
der Materie auf den Aether abhangenden Glieder enthklt,
der zweite (A,, B, , rS)die durch die UmstOnde, welche die
1)
W. Voigt, Wied. Ann. 19. p. 873. 1883.
2) 1. c. p. 901.
H.: Vokt.
525
Circularpolarisation bedingen, noch hinzukommenden. Dieae
beiden Theile von S, eeien 6, und XI.
Nach dem von mir Entwickelten’) gibt die erste Qattung
Grossen folgende Werthe :
aw
2, + 6 z = - ( e + a ) z - u - - *
, asw
at2
I
az
Setzt man voraus, dass u v tu lineare Functioncn von sin 2 n t / T
und COB 2 w t l T sind, so wird ( T / 2 m kurz = 5 gesetzt):
a-s =
u
--
r a p
at*=--’
atv
a-z=
w - - - .W
at3
at9
9
Fuhrt man noch die Abkiirzung ein:
so wird fur b e i d e Medien:
Nun sollen sich in demselben Medium zwei e b e n e Wellen
in verschiedener Richtung und mit verschiedener Geschwindigkeit fortpflanzen, welche entweder als einfallende und reflectirte oder als gleichzeitig gebrochene zusammengehoren.
Es sei demnach:
u = u1
+ ug,
2,
= u1
+ v2
p
w =w
+ wa,
und aeien die Theile mit dem Index 1 und 2 resp. Functionen
von t--q,/o, und t--qg,/w,, worin w1o2 die beiden Fortpflanzungsgeschwindigkeiten sind und:
81 = aid: y 1 z ,
pa = a2r + y2z ist;
4-
+
i
beide Wellennormalen liegen also in der XZ-Ebene, und CL y
sind ihre Richtungscosinus gegen die X - und 2-Axe. Da
1)
W. V o i g t ,
1. c. p. 584, auch p. 901 u. 903.
w. voigt.
526
nach der Bedingung der Incompressibilitit die Schwingungen
transversal sind, so folgt aus (4):
0 = ulul + y l q , 0 = u2u2+ yaw2 * 5.
Endlich sei noch die Schwingungscomponente r in der Einfallsebene eingefiihrt durch die Formeln:
r1 = ylu1 - u1to1 , r2 = y2 u2 - u2w2 . 1 6.
Dann schreibt sich in Riicksicht auf (5) und auf die Relation:
(I1 - n,
I
Wl
a2
fur das untere Medium (I)die Arbeit:
Ftir das obere, gewohnlich isotrope Medium (0) gehoren die
beiden Wellen als einfallende und reflectirte zusammen; es
ist daher dort y1 = - y2 = y , w1 = w 2 = o , also wenn dafur
noch :
r1 = r e ,
rg = r + ,
15
= v,,
2.'2
= vr
,
gesetzt wird:
60 -- ~ ( r ; 2 + + ~ 2 - r ; z - v ~ 3 .I 8.
I
Die Werthe der Grossen A, B, rz, welche in circularpolarisirenden Medien auftreten, sind nach meinen beziiglichen Untersuchungen') in der allgemeinsten Form zu erhalten:
Dies liest sich einfacher schreiben, da u v w Functionen von
t - (us+ y z ) / w sind:
1)
W.Voigt,
1. c. p. 881 u. 882 such p. 891.
W.Voiyt.
622'7
Diese Werthe sind fur b e i d e Wellen in die Formel:
_ _ _ _ _ _
Z;= A. u'+ B, v'+ I',W'
einzusetzen. Unter Einfuhrung der Abkiirzung:
q - L $
za
erhLlt man d a m :
Dies gewinnt eine einfachere Form, wenn man gemiiss der
beziiglichen frliheren Betrachtungen l) einfuhrt, dass bei so
bestimmten A,, B,, I', circulare Schwingungen eintreten, und
zwar gilt:
wo die erste Welle die links! die zweite die rechts rotirende ist.
Hiernach iat namlich:
1
I
rl"= - r1v l , , T,,,
+ yv;,
L
vl"=
1)
W. V o i g t , 1.
+
c.
1
T,',
p. 892.
v,"=
-
1
r2', also:
w. VOl$
528
Durch die Werthe (l), (I), (8) und (11) wird schliesslich:
s=
%6
(Ti2
+ & 2 - r;? - & 2 )
0
+ ul'z + vl'vaf + r l ' r i (alcc., + y1 y2))
- fi(& - Y ) ( r i 2 + +
+ r1'r2'(Cx1a2 + y1y,))
- fi ( 6 + 9.)(r1'2
"1
U i 2
71112);
"2
Nun ist in unkrystallinischen gewohnlichen Medien l) :
5
= o (m,
0
+ ro - n o t z ) kurz =
und in circularpolarisirenden
Q ,uo
fur die linksrotirende Welle:
8
-4 --8 - w1 ( m + r - nra + t ( p kurz = w1 ( p n),
2,
9))
+
"1
fur die rechtsrotirende:
e - 4
- --
= w 2(rn
0 2
also, da zudem:
+
T
- nr2- r
u="1 - 0
2
6J
s = pouy (.:2
u1'2
ist:
"1
0 9
+ :a,
- r;.2 - v:?)
+ n)k1'z + +
- u1yz ( p -- n)k2'+ v2' +
- e l y l (p
kurz = w2 (p - n ) ,
+
~1'7~2'
+
+
(a,a2 +
r1fr2'
~2
I1
12*
~ 1 ~ 2 ) )
74'7J2'
T1').2'
i'l 7,)) . I
Mit diesem Ausdruck sind die Gleichungen der Continuitat zu combiniren. Sie liessen sich fur zwei unkrystallinische Medien schreiben
13,.
TJe
ur = ~1
uq
13b.
y (re - rr) = ~ 1 ~ yar,
1
13;.
po a (re rs) = C' (a1
a2 l.2)
Ich werde zeigen, dass wahrscheinlicher als der Factor ,U bci
circularpolarisirenden Medien y n ist, also die letzte Formel
in der Gestalt benutzen:
+
+
+
+
+
+
ILoa(re+.,)=(Fl+n)(ulrl
f~Zl.2).
i
130-
Das Product der differentiirten letzten beiden gibt:
w.
1)
V o i g t , 1. c. p. 884.
2) W. V o i g t , 1. c. p. 892; dabei ist zu beriichichtigen, dass hier
oben der a l l g e m e i n s t e Werth der Componenten eingefuhrt ist, dort bereib ein vereinfachter. Vgl. p. 878 u. 889.
3)
V o i g t , 1. c . p. 904.
w.
K voiyt.
o= PoaY(r;2-r3 - Gu +4 (“1
529
71 r12+az 7.2 T z 2 + r 1 ” 2 ‘ ( ~ , y +a,y,))
,
und von Formel (12) abgezogen:
5
s = pouy(vu:2- V i Z )
W
-0
[ccl
Y1 v1‘
[ul Y1 “1’2+
+ rl’r;
((“1
uz
+
a2 72 v2;2
Y i Yz)(GI Y i
Ti’TzI ((ciuz
-
+
+
V1’V2’
I
(a,71
+ azY2) -
+
+ az 72)
(“172
+
GzYl))]
Yz (2r$I2 + v; 2) vl’v; (“i 71 -a 2 y 2 )
Yl Y J (a,
71 - % Y z ) - (elYz Oc,Yl))]
+
I
I’
14.
1
Wollte man nun das Kirchhoff’sche Princip anwenden und
S = 0 setzen, so bekilme man fur die gesuchten Amplituden
der reflectirten und gebrochenen Wellen eine quadratische
Gleichung, was keinen Sinn gabe.’)
Man kann aber eine Form erhalten, welche sich durch
die Gleichung (13,) dividiren und also linear machen Iasst,
wenn man S n i c h t zu Null macht, sondern, entsprechend der
allgemeinsten zulassigen Fassung des Princips, g l e i c h e i n em
D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t e n n a c h d e r Z e i t.
Wegen der bei circularpolarisirten Wellen geltenden
Relationen:
r r l = - v 1 , zrz’= v ? , rv1’= r , , tvg)= rz
sind namlich folgende vier Ausdriicke vollstiindige Differentialquotien ten :
I
r1’2 - v,’2
=
a v_
,r,
- _1 _
1
1.212
1 ae2r2
+ V a f 2 = -at ’
Man kann daher durch geeignete Bestimmung von S die
folgende Form aus (14) erhalten:
po u y
(.:”-.:7
=
c.+n) k171vl’$+
a2 Y2 VZ”+
(a*
7’1
+UaYz)
Dies gibt durch (13,) dividirt:
p o ~ (27:y - v:) = (111 n)(alyIvl’+ uzYzv;).
Freilich liegt hierin eine doppelte Willkiir.
+
I
V,’V2’)’
15.
Erstlich
1) Ebensowenig fiihrte ea zum Ziele, wenn man statt S selbst etwa
einen Mittelworth von S wlihrend einer Schwingungsdauer gleich Null
setzen wollte.
Ann. d. Phys. u. Chem. N. F. XXl.
31
W. Voigt.
530
+
die Einfuhrung von p m an Stelle von p in der Gleichung,
welche voraussetzt , dass diese Grenzbedingung durch die
circularpolarisirenden Krafte modificirt wird. Dass es indess
nach der Eigenschaft dieser Krafte nicht undenkbar ist, dass
dieselben von den ponderabeln Theilen ausgehen, habe ich
fruher er6rtert.l) Die Einfuhrung gewahrt den Vortheil,
die Gleichungen (15) in symmetrischer Form zu liefern.
Behalt man (13;) bei, so wird in (15) die rechte Seite:
( p + 2 m) 01, y1 vl‘
,M oc2 ya v
,‘ , was ofTenbar unwahrscheinlicher ist.
Bedenklicher ist, dass uber S nicht nur d i e s e e i n e
Verfilgung moglich ist, um zu einer durch (13,) divisibeln
Form zu gelangen. Hierzu durfte namlich ein Ausdruck
von der Form:
(vl’ + v;) (Av,’
+ Bv,’ Cr,‘ Dr,’)
n i c h t ein Differentialquotient nach der Zeit sein. Aber dies
ist nicht der Fall, denn macht man:
A = B = 0 , C= D,
so kommt:
+
+
+-
es ist also mit dem Princip in seiner w e i t e s t e n Form auch
die Gleichung:
p O u y ( v : - )0; = (u R)(u,y1y’ c i a ~ r 7 ~ 2 ’ ) C(rl’ rz‘)
statt (15) vertraglich. Ueber diese Constante Ckann man jedenfalls aussagen, dass sie mit verschwindendem 9. und IC selbst
verschwinden, und ausserdem fur verschwindendes a mit a2
proportional werden milsste, da im ersteren Falle die Gleichungen fur gewohnliche unkrystallinische Medien erscheinen,
im letzteren die Gleichungen fur die r und die v Componenten
identisch werden mussen. Streng zu zeigen, dass C=O sein muss,
ist mir nicht gelungen, und ich muss daher diese Verfiigung
als eine willkurliclie Annahme bezeichnen. Die auf unseren
Fall anwendbare allgemeinste Form des Kirchhoff’schen
+
-
+
+
+
_ .
1) W . V o i g t , 1. c. p. 900- 904. Es hleibt iibrigeiis imnier die Moglichkeit, x = 0 und p = p,, EU setzeil, urn die Glcichungen (13) genau in der
N e u m anii’schen Form zu erhalten. Etwas Wesentliches wird dadurcli
nicht gciindert. Ich habe vorgezogen, so allgemeiii wie moglich zu gehen.
w;
53 1
voigt.
Principes scheint also nicht hinreichend prbis, urn die letzte
nothige Grenzgleichung eindeutig zu bestimmen.
Noch seien aus den Gleichungen (13*-J und (15) die
Amplituden des reflectirten und gebrochenen Lichtes vollstandig berechnet. Ich setze :
Dadurch zerfallen die vier Gleichungen (13) und (15) in
folgende acht :
I
Y(E, - R?) = Y1 D,‘ 9’2D2‘
ux(EP- A,) = V , D,’ + ugD,‘
I
I
- y R/ = y1 D,” + y aD2”
I
uxR: = e1Dl”+ c+D2“
17.
E,’ + R,’ = Dl” - D,”
E,” + R,” = - D,’ + D,‘
cc y i( (Ed’- R,’) = (L,
y1D,“ - C C y~ z D2”
ayx(E,”- R,”)= - C C , ~ , D , u2yaD,’,
’+
+
1
1
worin gesetzt ist:
A = %, .
P + Z
Lost man diese Gleichungen auf und setzt kurz:
=vl,
“ylx+auly
u y l x - 0l1y = d , ,
UYX +%Yl=~l,
u y x - UIYl= a,,
ay,x+oc,y=s,
“ Y a X - aay = d,
uY~+u,y,=~a
a y x - azy2= 8,
31 *
w. Voigt.
532
so erhalt man unter Rttcksicht auf s2dl - s1d2 = 0:
ND,"= 2 ~ c y x . E ~ ~ ~
I
NDz"= - L r ~ y x E , ' s ,
ND,'= 2 t r y x (EPc2- E,"s2)
i
ND2' = ~ C C Y (Epcl
X
3,''~~)
NR: - 0
+
1
18.
1
NR6' = E , ( o 1 6 , - S , c z ) + ~ ~ ( ~ l ~ z + f s , ~ ~ )
NR;, = - E p (a, 4
Oedl)
NR,' = E8' (s1J2+ s,S,), dabei:
N = s1oz+ b2s1.
+
!
Nimmt man noch in Rucksicht auf die Beobachtungen,
welche dies wahrscheinlich zu machen scheinen: x = 1, d. h.
p =p,
0 , so werden obige Werthe unter Einfuhrung
der Winkel cp rp
. l va der einfallenden und der beiden gebrochenen W ellennormalen :
I
I
I
ia
Verschwindet der Unterschied zwischen ql und y s , so
muss im reflectirten Licht auch die Wirkung der Circularpolarisation verschwinden. Man erhalt in der That:
W.Voigt.
533
IT; = 0 ,
Zugleich wird:
D,"
+ DZ"=0
und :
d. h. die Amplitude der gebrochenen Welle parallel der Einfallsebene, aber:
die Amplituden der beiden senkrecht zur Einfallsebene
schwingenden um i1/4 gegeneinander verzogerten Componenten. Alles ist in Uebereinstimmung mit den fur zwei isotrope Medien direct ableitbaren Resultaten, wodurch eine
gewisse Prufung der erhaltenen Formeln (19) gegeben ist.
Diese selbst zeigen , dass das an circularpolarisirenden
Medien reflectirte Licht elliptisch polarisirt ist, und zwar dadurch, dass die einfallende Welle, welche parallel zur Einfallsebene schwingt, im refiectirten Lichte eine Componente
n o r m a 1 zur Einfallsebene hervorruft , die gegen die einfdlende Welle urn A/4 verzogert oder beschleunigt ist. Diese
Ellipticitat ist daher am grossten, wenn das einfallende Licht
parallel der Einfallsebene schwingt, verschwindet aber, wenn
es normal dazu schwingt. Die Rotationsrichtung hangt davon
ab, ob die Substanz die Polarisationsebene des senkrecht hinl
durchgehendenLichtes links oder rechts dreht, d. h. 'pzZspist.
Die Vergleichung der Resultate mit der Beobachtung
durfen bei der ausserordentlichen Kleinheit , welche die
Differenz cpa- 'pl bei allen bekannten Korpern besitzt, nicht
ohne Schwierigkeiten sein.
G o t t i n g e n , December 1883.
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