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Das Herkunfts- und Stozeitproblem in der Elektronentheorie der Festleiter.

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D a s Herkunfts- und Sto#zeitproblem in der
Elektronentheorie der Festleiter
Von W a l t e r S c h o t t k y
J l a x v. L a . u e zurn 70. Geburtstag gewidmet
Tnhaltsiibersieht
Die Frage, a a r u m bei einer korrekten Behandlung der elektronischeii StoBprozesse in Festleitern der Begriff der St,oBzeit oder freien Reglange zu versagen
scheint,, bildet den Ausgangspunkt der folgenden Betrachtungen. Es wird zunachst
festgestellt ( Q 2), daB dieser Begriff nicht rersagt, wenn niaii die ,,Entstehungsrate"
der Elektronen als gegeben ansehen darf; das aeitere Schicksal jeder durch StoB
in eineni Volumelement neu ent.standenen Elekt.ronengruppe ist in der Tat durch
die Bewegungsgesetze und exakt, bestimmbare StoBzeiten (oder frcie Weglangen)
gegeben. Mali kann d a m sowohl mit Hilfe einer der Riecke-Drudeschen Betrachtungsweise verwandten allgenieinen Herkunftssynthese wie auch mittels der
Lorentz-Boltzmanngleichurig ( Q 3) die gest,orte Verteilung aus der Entstehungsrate, den Kraftgesetzen wid derartigen StoBzeiten bestimmen; die Bestirnmungsgleichungen der Herkunftssynthese erweisen sich hierbei als raumliche oder zeitliche Integrale iiber raunizeitliche Parbikularlosungen der L.B.-Gleichung. Das
ganze Verfahren hat aber nur dann einen Sinn, wenn die Entstehungsrate als
durch die ungestorte Verteilung bestilnmt angesehen werden kann ( Q 4) ; diese
Voraussetzung ist sowohl durch die Drudesche Annahnie der ,,erinnerungsloschexiden StoBe" wie in dem voii H. A. Lorentz. vorzugsweise behandelten Fall
des elastischeri KugelstoBes gegeben (thermische Entstehungsrate). In allen Fiillen,
wo nech dem StoB einer Elektronengruppe irii Mittel noch eine Erinnerung an den
urspriinglichen Bewegungszustaud zuruckbleibt, ist jedoch die Entstehungsrat.e
iiicht therniisch, sondern hangt ihrerseits von der gestorten Verteilung ab. I n
diesem Fall lassen sich aber ebenfalls unter ganz allgenieiiieri Aniiahmen iiber die
(wellenmechanisch besbimmte) Dynamik der Elektronen, auch der anisotropen
Kristalle, sechs fiir die Losung des Problems in 1. NLherung maBgebende ,,partielle Abklingzeiten" z,, . . . T,, angeben, die die gestorte Verteilung aus den
auBeren Storungsursachen eindeutig zu berechnen gestatteii (5 5). An Hand dieser
Losung (die sich in der vorliegenden Arbeit auf den Fall der Bolt,zmaiiiistatist,ik
beschrankt) werden zuriachst die Zusatzglieder ermit,telt,,die gegenuber der thermischen Entstehungsrate auftreten ( Q 6), und es wird gezeigt,, daI3 sich auch in
diesem Fall eine nur durch die ungestorte Verteilung, auBerdem aber durch die
sechs Abklingzeiten bestiriimte ,,quasithermische Entstehungsrate" in die Betrachtuug einfiihren la& wobei allerdings hei der Berechnung der Verlustprozesse die
wahren StoDzeiten ebenfalls durch diese Abklingzeiten ersetzt werden miissen. E s
handeIt sich hierbei jedoch nur um eine Anschauungshilfe ; in Wirklichkeit nluB
das Storungsproblem niittels der statioiiaren L.B.-Gleichung durch Losung von
Ann. Physlk. 6. Folge, Bd. 0
13
194
Annulen der Physik. 6. Folge. Bald 6. 1949
Funkt,ionalgleichungen bewaltigt werdcn (4 7). Eine Vereinfachung gegeniiher d e r
bicherigeii Methode besteht hierbei darin, daB nian diese Funktionalgleichuiigen
iiicht fur die gehtorte Verteiluiig~funktion,sondern fur die erwahnten sechs Abklingzeiten auf$ellt (4 8); die..:e Abklingzeiten rwrden so durch die StoBwahrEcheinlichkeiten und die Zu~ammenhangezwischen Energie, Impuls und Geschwindigkeit der Elektronen vollstandig bestinimt, wenn auch nur inittels einer F r e d holmschen Iiitegralgleichung. I m SchluBkapitel (§ 9) wird ahf symnietriebedingte
Verminderungen in der Zahl der lnaBgebeiiden partiellen Abklingzeiten und auf
weitere noch zu behandelnde Problenie hingewiesen.
Als ich im Sominer 1947 \-or der A4ufgabe stand, in Erlangen vor mittlereir
Seinestern ein Kolleg iiber die Elektronentheorie der Halbleiter zu lesen, niachte
niir die Darstelluiig des Ubergangs \-on der Drudeechen ziir L o r e n t z - B o l t z m a n n schen Theorie wid anrchlieflend die allgemeine Formulierung des StoBzeit(Weglangen-)Begriffes uneiffaitete Schrvierigkeiten, die auch durch clas Studium
der neueren Literatur nicht vollstandig hehobeii wurden. Da ich auch nachtraglich
auf das Problcm ncch einiges Nachclcnken reIwandt, habe, hoffe ich, den an elektrischcn Leitucgsvorgangrri intereesieiten Fachkollegeii einen Dienst zu erweisen,
wenn ick diesen Fragenkomplex hier einrnal iin Zusammenhang behandle. Es
~ c h e i n tdabei nicht n u r wcgeri dcr Ariwendung auf Halbleiterelektroneri, sondern
auch im Intereese der allgernenien Anrchaulichkeit zweckmaBig, zunachst von
den durch die Fermistatirtik hedingten Koniplikationen abzusehen; es zeigt sich
uhrigens hinterher, daB die Ein beziehung dieser Effekte keine allzu groBen Schwierigkeiten macht,, wenn man sich iiber die vereiiifachte Theorie klar geworden ist.
Q 1. Voranscetznng ond Aufg:ibestellung
Die Betraclitnng becchrankt. sich in dieseni wie in den folgenden Abschnitten
auf die Vorausetzungen der ,?,StoBtheorie"; es wird angenommen, daB die Elektronen (oder Defektelektronen.), die fur die elektrischen Strome und die elektruniwhen Warnieeffekte niaBgeherid sind, eine stet,ige Beeinflussung ihrer Geschwindigkeit, nach GroBe und Richtung nur durch makroekopiwhe auBere Krafte erfahren
und sich beini Fehlen solcher Krafte geradlinig durch den Festleiter,,der als geordneter Kristall vorgestellt wird, fortbewcgen. Eine Unterbrechung dieser st,etigen
Bewegung sol1 nur durch ,,unendlich kurzzeitige" Zusammenst,oBe mit der Materie
des Kristallgitters erfolgen ; die ZueamnicnstiiBe werfen das Elekt,ron in eine diskret
ahweichende Richtung, wobei ini sllgeiueiiien Fall auch, durch Energieaust.ausch
niit der Materie, eine Anderung des Geechwiiidigkeitsbetrages erfolgen kann.
Die Aufgabe, die Vorawsetzurigen dieper Giuiidannahme iind die Moglichkeit
von Theorien mit stetiger Ablenkung durch die Rlaterie zu prufen, bleibt auBerhalb des Rahmens uneerer Betrachtung. Wichtig ist, daB die skizzierten Grundannatmen unabhangjg d a w n sicd, ~b man die Elektronen a19 Korpuskeln oder
als Wellen betrachtet ; auch Elekt,ronen\vellen konnen einerseits durch iluBere
Krafte stetig ahgelenkt., anderereeits durch kurzdauernde StoBe uristetig i n Wellen
anderer Geechaincligkeit und Richtung umorientiert aerden. Fur die Anschauung
iet aber zunachst. das Korpupkelbild voizuziehen, wobei wir nichts arideres zu tun
brauchen, als die Rellenrahl der Elektronen durch eine mit ihr proportionale
ImpulsgroBe zu ersetzen.
W .Schcuky: Das Herkunjls- und Stopzeilprobkm in der Ekktrmntheorie der Festleiter
195
Eine neitere vereinfachende Voraussetzung sol1 und darf nber nocli geniacht
werden, weil die zu behandeliide Probleinatik gerade auch in diesem einfachst,en
Fall zutage tritt. Es wird angenomnien, daB die, durch Verunreinigungeii odcr
durch die therniische Warmebeweghng des Kristallisators bedingben Storungen,
die sich derii freien Flug der Elektronen als ablenkende nnd eiiergieaiistauscheiide
Hindernisse entgegenstelleii, ihrerseits durch die stoflenden Elektroneii nicht nierklich aus ihreni durchschnittlichen t,herniischen Gleichgewichtszust,aiid herausgeworfen werden, so daB also die StoBnahrscheinlichkeit fur jedes einzelne Elektron
von der Storung unabhangig ist (Blochsche Niherung). DaB die StoRe der Elektronen untereinander veriiachlassigt werden, liegt in derselben Linie.
Man ist nun rersucht, zu glauben, daB unter diesen rereinfachenden Voraussetzungeri das StoBproblein recht leicht zu iibersehen ist. Alle Frapen, die die
elektrische Strom- und Warnieleitfahigkeit, das Auftret,en voii Diffusions- und
Therniostronien, die Bestimmuiig von elektroniotorischen Kraften iin Konzentrations- und Temperat.urgefalle und den EinfluB von Rhgnet,feldern auf alle diese
Effekte betreffen, sind j a ini Prinzip d a m gelost,, wenn man die gegen den storuiigsfreien Zustand abgeanderte Vert,eilungsfunktion f der Elektronen ini Lageri- und
Geschwindigkeitsrauni festgestellt hat, die sich uuter d e n EiufluB der Storung
ausbildet. Wir wollen iibrigns statt des Lagen-Geschwindigkeitsraumes eiiien
Lagen-Inipulsrauin zugrunde legen ; nur init x, y, z, p z , p,, pz nls Zust,andsgroBen
des einzelneii Elektroris ist eine einfache und allgemeiiie Formulierung aller StoBbilanzgleichungen nioglich, nenn man die Falle, in denen sich die Elektronen iiicht
wie freie Korpuskeln, soiidern eben wie Elektronenwellen beliehiger Wellenxahl
in rinem beliebigen (auch anisotropen) Kristall rerhnlten, mit in die Betrachtung
einfiigen will. Die Zahl der Elekt,roiien, die sich in eiiierii 1)estimniten Voluinelement dx dy dz = dV und eineni best,inimt:en Impulsintervall dp2 dp, dp2 = dA
befinden, setzeii wir also gleich:
f av all.
SchlieBen wir Vorgange, bei denen sich die Storungsursachc mit optischeii
Frequeiizen verandert, r o n der Betrachtung aus, so haben wir es durchneg riiit
st~ationgrenoder nenigstens quasistationaren Problernen zu tun, bei denen
a/
5- = 0
GI
oder, was auf dasselbe hinauslauft, klein gegen f/z ist,, wobei z eine Zeit \-on der
GriiBenordnung der mittleren StoBzeiten (ca. 1 0 - 1 3 sec) bedeuteti Trot,zdein kann
es zweckmiiBig sein, die Bestimniung von
y
l?i
- als
at
Ausgangspunkt zii wahlen ; kann
nian - durch die f-Verteilung zur Zeit t und die StorungsgroBen (z. B. iiul3ere
a1
Kriifte) ausdriicken, so folgt j a daraus fiir den stationaren Zustand der Zusamnienhang zwischen der gesuchten f -Verteilung und der St.orung.
8 2.
Die Bestimmong der gestiirten Verteilung durch die Herkiinftssynthese.
Fiir die Bestimniung der gestorten stntionaren f-Verteilung sind zwei anscheiiiend recht verschiedenartige Verfahren nioglich, die wir rnit den Nainen R i e c k e Dr u d e und B ol t z in a n n - L o r e n t z verbinden. Der R i e c k e - D r u de sche Gedankengang, weiin wir ihii von alleri zufalligen und rereinfachenderl Spezialisierungen befreien, karin allgemein als die Methode der ,,Herkunftssynthese" bezeichnet werden. Man geht davon Bus, daB jedes zu einer bestirnmteli Zeit t, in eiriem
13*
196
Annnlen der Physik. 6. Folge. Band 6. 1949
Element dVl dAl vorhandene Elektron zu irgendeineni friiheren Zeitpunkt t,
(Zeit, des letzten ZusammenstoBes), 2, < tl, in einem aiideren Element dV, dA,
,,entstanden" ist. Werden die Elemente dVl dA, und das dazu ehorige Entstehungselement dV, dA, nicht rnatheinatisch, sonderri nur physika isch unendlich klein
angenonimen, so wird wahrend einer Zeit dt, (die ebenfalls nur physikalisch unendlich klein sein 8011) eiiie game Gruppe r o n Teilchen im Element dV, neu entstanden
sein, deren p-Werte (Impuls nach GroDe und Richtung) im Bereich dA, liegen;
der Impuls der Teilchen dieser Gruppe vor dem in dV, dA, stattgehabten ZusammenstoB kanri hierbei selbstverstaiidlich ganz verschieden gewesen soin, ebenso,
ini allgemeiuen Fall, ihre Eiiergie. Bezeichnen wir die Gesamtzahl der in der Zeit
dt, in dV, dA, neu entstandeiien Teilcheri dieser Gruppe mit a, dt, dV, dA,, so
ist a, diejenige GroBe, die wir als ,,Entstehungsrate" der Elektronen pro ZeitVoluni- uiid Impulseinheit zu bezeichnen haben. a,, das wir, wenn wir uiis nicht
auf ein bestimnites dt, dV, dA, beziehen, allgeruein init a bezeichiien, hangt davon
ab, wie sich die Teilchen in den Voluinelenienten iiber die verschiedenen Impuls00) verteilen, und kann natiirlich auBerdein vom Ort abmerte (von -ca bis
haiigen ; nur sofern die Verteilungsfunktiori f durch die aufieren Storungen beeinfluBt wird, ist a auch vori den iiuBeren Storungen abhangig. Wir haben also:
s
+
Entstehungsrate = a = a (2,y, z , p ; f-Verteilung in (EV).
(1)
Die betrachtete Teilchengruppe fliegt nun unter dern EinfluB ihrer Eigenbewegung und der diese Bewegung beeinflussenden Krafte durch den Hristall,
wobei die beschriebene raumzeitliche Bahri durch die Kraftgesetze
gegeben ist. Die Krafte siiid bei elektrischeii Feldern fur alle Teilcheri gleich,
bei niagnetischen Feldern hangen sie von ihrer Geschwindigkeit ab 1).
Wahrend ihres Fluges erfahrt die betrachtete Gruppe aber neue ZusammenstoBe, die die Teilchen aus ihrer Gruppe herauswerfen und als neu ,,entstehende"
Teilchen in einer aaderen Gruppe auftreten lassen. Da die hierbei an ariderer
Stelle mit anderen p = p i auftretenden Teilchen bei der spater vorzunehmenden
Synthese innerhalb anderer Elemente dt: Vdi A; selbstandig erfal3t werdeu,
brauchen wir uns um ihr weiteres Schicksal nicht zu kummern. Fiir die wahrend
ihres Fluges ins Buge gefaBte Teilchengruppe, dereii Anfangsbest,and wir mit N,,
bezeichiieri :
N,, = a, dt, dV, dA,,
gilt jedoch unter unseren Voraussetzungen ein Abklinggesetz, das die Zahl der
sekundlich durch ZusaminenstoBe ,,verschwindendeu" Teilchen proportional der
jeweils noch vorhKndenen Anzahl N , setzt :
Hierbei ist die Proportionalitatskonstante, die wir in der Form l/to geschrieben
haben, ein Faktor von der Dimension einer reziproken Zeit, der nach unseren
Voraussetzungen alleiii vori der Zahl und Art der StoBhinderiiisse urid den StoBgesetzen, aber uberhaupt nicht yon der Art der Storung abhangig ist. Wohl aber
l ) Der Zusltrnnienhang zni~chellp,, py, p , und u, T , u' ist hierbei allgemein durch
G1. (12), 5 3, gegeben.
U-.Gchcttky: Das HcrXwtfts- und I'tcpzritprobkm in der Elektronentheorie derlrcstleiler
197
kann die ,,Teilchenabklingzeit" to,die wir auch abgekiirzt als ,,Stoozeit" bezeichnen,
von der GroBe des Impulses p der betrachteten Teilchen abhangen wid iiberdies
bei Kristallen auch von der Orientierung der p-Richtung zu den Kristallachsen.
p , und damit to, kann wahrend des Fluges variieren.
Wir vermerken hier sogleich noch, daB to nicht nur die Abklingzeit der in (4)
betrachteten Teilchen m en ge , sondern zugleich die Abklingzeit der auf denselben
(2, y, z , p)-Wert bezogenen Verteilungsdichte f ist, soweit dereri Abklingung
durch StoBe in Frage kommt. Nach deni Liouvillescheri Satz ist nainlich das
Produkt dV dA, das die Teilchengruppe N , umschlieRt, wahrend des Fluges konstant gleich dVs dA,. Das Abklinggesetz (4) gilt also auch fur die in deni bewegten
dV dA enthaltene Verteilungsdichte, soweit sie von dem Element dV, dAs dt,
herruhrt; da sich aber dieser Beitrag von den gleichzeitig in dein bewegten Element
dV dA vorhandenen Beitragen anderswo eritstanderier Teilchengruppen (s. w. u.)
nur durch seine Menge, nicht durch seine Eigenschaften unterscheidet, bedeutet to
auch die StoBabklingzeit der gesamten Verteilungsdichte f ( p , z,y, z ) an der betreffenden Stelle. Es gilt also:
R i r sind auf diese Weise zu der zweiten fur die StoBbilanz niallgebenden FundamentalgroBe gelangt, die wir auch als ,,Verlustrate" b bezeichnen. Sehen wir, was
ohiv EinfluB aus das Wesentliche unserer Uberlegungeri ist, von lokalen Verschiedenheiten innerhalb des Kristalls, die nicht durch h d e r u n g e n der Elektrouenkonzentration oder der Teniperatur hervorgerufen sind, ab, so ist ubrigens to, das
ja von der Elektrone~iverteilulg unabhangig sein soll, hochstens noch vori der
Ortstemperatur T abhangig. Wir konnen also schreiben :
R i r kehren nun zii der Betrachtiing der Schicksale unsercs ,,fliegendeii Klassenzimmers" zuruck, das, wie wir saheii, zwar nicht notwendig sein Raunivoluni dV
iind Impulsrolurn d-4, wohl aber sein Lagen-Impulsroluni dV dA wahrend des
Fluges beibehalt. Nach einer gewissen Zeit t1 - t, ist dieses Voluni vornussetzungsgemaB am Ort z,,yl,z, des Volunis dVl angekommen und hat hierbei, da wir dA,
entsprechend gewahlt zu denken haben, das Impulsvolum dill angenommen.
Aus der Entstehungsrate (1) (angewandt auf dV, dA8dtJ und den StoBverlusten (4)
konnen wir, da uns die mechanischen Beffegungsgleichungeli (2) die Lange der
Zeitelemente bestinimen lassen, wahrend deren die Teilchen irgendKelche (fur den
Wert von to maBgebende) Zwischenimpulswerte zwischen p , wid p1 angeiionimen
haben, die resultierende Rlenge von Teilchen bestimrnen, die riiit dein Herkunftsort z,,y8,z, und mit dein Endimpuls p,, in z,,yl,z1 aiikornnien; diese Teilchen
liefern einen ganz bestinimtcn Beitrag zu der Teilchendichte fl eines bestiinniten
Impulsbereichs im Element dV, dAl.
Machen wir uns nun klnr, daB a l l e zur Zeit tl in dVl dA, vorharideneli Teilchen
an irgendeinem Ort zu irgendeiner Zeit entstariden sein mussen, so gewinneri wir
offenbar die Gesanitdichte fl fur jeden Wert von $I, indem wir uber alle Herkunftsbeitrage integrieren. Dabei kann die Synthese aller zur Zeit t, in dV, vorhandenen
Teilchen in 2 verschiedenen Arten erfolgen. Man kann alle diese Teilchen entweder
198
Aianalen der Physik. 6.Folge. Band 6. 1949
in Gruppen zusammenfassen, die den gleichen Anfangsinipuls p , besessen haben ;
dann ist das p1 dieser einheitlichen p,-Gruppe wegen des verschieden laiigen Weges
und der eiibsprechend verschiedeiiart,igeii Beschleunigung, die die Teilchen :tuf
diesem Wege erfahren haben, verschiedeii. Diese Gruppierung liegt iniplizit den
D r u d e schen Uherleguiigeii zugrunde. Wesentlich einfacher uiid ubersichtlicher
ist es aber, wenn man solche Eiitstelimigsgruppeii zusammenfaBt,, die zur Zeit t ,
in dV, auch in deiii g l e i c h e n I n i p u l s i n t e r v a l I dAl liegen; dann mu13 der Ent.stehuiigsinipulv p , fur die verschiedeneii Herkunftsbeitrage verschieden angeiiomnien werden. Uiid zwar sieht man leicht ein, daB die rerschiedenen Ent,stehunKsorte und Ent,stehuiigszeiteii, die alle zur Zeit t , zu deni gleichen Int,ervall dV, dAl
fuhren, auf der Bahn angeordiiet, sind, die das Element d V d A auf einer voii der
Zeit t, a n angetretenen ,,Reise in die Vergangeiiheit" (linter deni EinfluB der
wahrend dieser Reise geiuiiB uiiserer quasi-Stst,ioiiarit,atsannahme konstant anzunehnieiiden Kriifte) zuruckgelegt haben wurde. So siiid durch die auBeren
Krafte und die Bewegungsgesetze alle Herkunftseleinente dlr, dil, in ganz hestininiter Weise dein Element dVl dA , raumzeit,lich zugeordnet,, ebenso entspricht
einer riiumlichen Verschiehuiig des Herkunftseleiiients dV, Ilngs dieser Bahii ciii
gaiiz bestimintes Zeitelenient dt,, nimlich das, in welchem diese rauniliche Verschiebnng zuriickgelegt w i d .
Die quantitative -4usfiihrung dieser Uberlegungen sol1 bei Gelegenheit a n anderer
Stelle gegeben werden und interessiert uiis hier nicht ; es geiiiigt, fesbzustcllen,
daB auf diese Weise eine vollutandige Bestimmung der durch auBere Krlfte
oder durch riiumliche Konzentrations- oder Temperaturinhomogenitaten hedingten
Storurigs\.ert,eiluiig f moglich geworden ist, sobald nian 3 Bestirnmungseleniente
des Vorgangs kenlit,: die Eiitstehuiigsmte n (an allen St,ellen des Raunies fur alle
deni Zeitpuiikt t , voraiigegangeiieii Zeit,punktq fur alle Impulsbereiche), das Gesetz
der Verlustrate, also die St,oBzeit,f,, in Abliangigkeit von p und T,und die mechanischen Gesetze (a), iiach deneii die Teilchen unter der Wirkung der BuBeren Hrafte
abgelenkt werden.
Der Zusammenhang dieser allgenieineii Rlethode der Herkunft.ssyiithese niit
den speziellen R ie c ke - D r u d e s c h n Vorstellungen wird uns ini iiberniichsten
Abschnitt beschiiftigen.
Q 3. Die Bestimmiing der gestorten Verfeiliing ails der
Lorentz-Bolzmann-Gleichung
Die L o r e n t.z- B o l t znianii - Gleichung (L.B.-Gleichung) laBt sich bei Zugrundelegung eines Lagen-Iinpulsrauxiies in der einfachen Form schreiben :
bi
cl
= a - b --bib
6,
(7)
wobei G den Vektor der Teilchenstromung ini sechsdimensionalen Lagen-InipulsRaum und bib die entsprechende sechsdirnensionale Divergenz bedeutet.
Wir erkennen, daB auch hier, wenu nicht f selbst, so doch Sf durch dieselben
Bestimmungselemente gegeben ist, die wir bei der Herkunftssynthese zugrunde
legen mulhen: die Entstehungsrate a, die Verlustrate b und schlieBlich durch das
Glied bib E, das, wie wir sehen werden, durch die Werte der auBeren Storungsparameter und die Kraftgeset,ze bestirnmt ist; allerdings tritt nach GI. (10) in
dieseni Glied zuriachst auch noch der raumliche Gradient, der gesucht,en Funktion f
7f'.Schoitky: Das Herkunfts- und Sto,&eitpoblem in der Elektronentheorie der Fe.ytleikr
199
in dem betrachteten Zeitpunkt f auf, den wir bsi der Harkoiiftsrynthese nicht in
die Betrachtung einzubeziehen brauchten.
Die Ableitmig von G1. (7) ist iiach unqeren vorhegehendoi B-trschtnngen
unniittelbar evident. Die Verteilungdichte f Sndert sich zeitlich erstens durch die,
nls Folge von StoBprozessen lieu ,,entstehenden" Teilchen dcr betreffenden I m pulsgruppe (a), zwcitens durch die sekundlich infolge von Zusaninieiistollen ausscheidenden Teilchen ilieser Gruppe ( b ) , unrl was dann noch von Xuderungen in
Frage kommt, kann nur dadurch bedingt scin, daB in das betrachtete Bereichselement dV dA rnehr (oder weniger) Teilchcn durch Stromung, infolge der freien
Bewegung unter dem EinfluB der Krafte, eintrcten als austreten.
Der Ausdruck fur die Komponeriten yon G ergibt sich sehr einfach; wenn ein
Rzuiu mit 6 Koordinsten zl. . . z6betrachtet wird, in dem eine sechsdimensionale
Nengendichte e sich durch Transport von Mengenpunkteii zeitlich iindert, wobei
yl. . . 2, gleich der zeitlichen Iioordiiiateiiiiriderring der Mengenpunkte als Folge
ihrer Ortsveranderung ini (z,. . . z,)-Rzuni iut, so hat G die 6 Koiiiponenteii
2,e . . . 2, e. &lit (q,
z,, z3)= ( x , 9,z ) uud (x4,x,, z6)= (px.p,, p,) sowie e = f
nerden also die Komponenten von S :
E,=ri'f
E,,
= PI f
E,=Qf
E,, = i,f
-E 2 = 5If
is,,
=P
(8)
2
und da 2 die Geschwindigkeit ( 4 der Iiewepten Teilcheri usw. hedeutet und fur $,
die Gleichungen (2) gelten, folgt :
Ulld
(Hierbei ist noch davoii Gebrauch gemacht, daB die Sumine:
ist. Das folgt am einfachsten, indeni wir unsere qc . . .F, . . . wieder in f , . . . 2,
unischreiben; die linke Seite von (11) wird d a m gleich f bib x i , und hier bedeutet
bia x , die zeitliche ,,Volumiinderung" des sechsdimensionalen Elenientargebietes
bei der Bewegung. Diese ist aber wegen des Liouvilleschen Satzes gleich 0.)
Wenn wir noch beriicksichtigen, daB z und pz kanonisch konjugierte dynamische
GroBen sind, so erhalten wir fur 2 = u allgemein die Beziehung:
EF
u=-,
dP,
wobei E die Energie des Einzelteilchens im Bewegungszustand 1.1 bedeutet, die in
ihrer Abhiingigkeit von 1.1 durch die effektive Masse (bzw. durch den Zusammenharig
zwischen Energie und Wellenzahl k) der Elektronen im Kristallgitter als bestiriimt
anzusehen ist. Wir erkennen so, daB die rechte Seite von (10) durch die Werte von
x,y, z, p,, p,, pz, ferner durch die AuBeren Krafte, und endlich durch den Verlauf
1-011 f im Lagen-Impuls-Zaum zur Zeit t vollstandig bestimmt ist. Da ferner auch
b nach (6) durch f und den als bekannt anzuschenden Parameter to vollstandig
200
Annakn der Physik. 6.Folge. Band 6. 1949
bestimnit ist, hangt die Moglichkeit einer Bestimniung von /: aus einem gegebellen
Anfangszustand mit Hilfe yon G1. (7) gariz allein davon ab, ob es rnoglich ist,
auch die Entstehuiigsrate a in Abhangigkeit von dem zugrunde gelegteu Anfangszustand anzugeben.
Wir stobri damit auf die gleiche Aufgabe, die uns bei der Diskussion der Herkunftssynthese entgegengetreten war. Irn Zusanimenhang damit erhebt sich
naturlich die Frage, ob zwischen der Methode cler Herkunftssynthese und der
L.B.-Methode uberhaupt ein sachlicher Uriterschied besteht. Auch diese Frage sol1
in anderem Zusammenhang eingehender behandelt werdeii ; hier sei nur festgestellt,
daB sich der Ausdruck fur den, auf seinem Wege zeitlich abgeklungenen, Beitrag
eines Elements dV, dA, als partikulares raunizeitliches Integral der L.B.-Gleichung
erweist, und zwar eines Teilvorgangs, bei deni allein wahrend der Zeit dt, und n u r
in deni Element dV, drl, die Entstehungsrate a, von 0 rerschieden war2). E s wird
uns deshalb auch nicht wundern, da13 bei der Methode der Herkunftssynthese auch
bei stationaren Problemen immer eine (allcrdings in praxi sehr einfache) z e i t l i c h e 3 ) I n t e g r a t i o n ausgefuhrt werderi muB, wahrend die L.B.-hlethode in
diesern Fall einfach p/ = 0 setzt und dadurch eirien direkten Zusamrnenhang
'
Cl
. .,-cpr . . . und den Storurigskraften gewinnt, soferii auch die Entzwischen f, T.
cx
stehungsrate in Abhangigkeit vori diesen GroDen darstellbar ist.
Q 4. Der Fall dcr thermischen Entstehiingsrate
Es zeigt sich, daB sowohl in der Drudeschen Theorie, wie auch in dem Hauptfall der Lorentzschen Theorie, wo die Gesetze des StoBes an elastischeii Kugelii
als niaBgebend angenommeri werden, eine verbluffend einfache Aiinahme uber die
Entstehungsrate a zugruride gelegt wird. Die Entstehungsrate a wird in jedem
Element dV fur jeden Impulsbereich drl (bzw. bei der Herkunftssynthese fur jedes
Element dVsdr18) ebenso groB angenoninieii, wie sie sein wtirde, wenn die in
dl' (dV,) vorhandenen Elektronen eine, der Temperatur am Ort dl' (dV,) entsprechende, t h e r m i s c h e Ge s c h w i n d i g k e i t s v e r t e i l u n g besaBen.
Bei der bekannten Ableitung der Elektronenleitfahigkeit irii elektrischen Feld
durch D r u d e 4, wird diese Anriahriie iniplizit dadurch eingefuhrt, daB nach, jedeni
ZusammenstoB eines Elektrons seine iieiie Geschwindigkeit a19 irn Mittel uber alle
Raunirichtungen gleichmagig verteilt urid durch die vorangehende FeldbeschleuniBung nicht beeinflat angenonimen wird. Dann und nur d a m ist der Zusatzweg,
den ein Teilcheri unter der Wirkung einer uberall gleichen Beschleunigung 9 ziirucklegt, durch 9/2 .t * 2 gegeben, wobei z* die Zeit zwiscben 2 derartigen ,,erinnerungsloschenden StaDen" bideutet. Daraus folgt dann die mittlere Zusatzgeschwindigkeit g * z*/2, woraus sich alles Weitere ergibt.
Bekanritlich ist die Drudesche Leitfahigkeitsforniel nicht korrekt und wird
auch nicht korrekt, wenn man statt der yon D r u d e betrachteten einheitlichen
*) Diese Partikularllbung stellt also die in 5 2 ciiskutierte Erscheinung des ,,fliegenden
Klassenzimmers" mit zeitlich abklingender ,,Schuler"-Zahl dar.
3, M'egea des Bahnzusammenhangs zwisclien r, y, z und t liRt sich diese Integration
aiirh wahlweise ah rkumliche Integration schreiben.
p , P. Drude, Ann. Physik (4) 1, 566 (1900).
W .Schottky: Daa H c r h n f l s - und Stopzeitproblem in der Elektroneiilheorie der Festkiter
201
Gescliwiiidigkeiteii cine Rfaxwellsche Geschwindigkeitsrerteilung einfiihrt5), und
auch d a m nicht,, ~ e n i inian den unniotivierten Fitktor
dadurch ausnierzt,.
daB man statt der eiiilieitliclien StoBzeit z* eine nach den Zufallsgesetzen streuende
Stoozeit to im Sinne einer allmihlichen Ahklingung nach GI. (4) einfiihrt. Das
liegt aher nicht, daran, daB die Annahme der erinneruiigsloschendeii Zusammenst,o13e generell unzulassig ist, wie man bisher wohl angenominen hat. Vielniehr
inrolviert, die D r u d e sche Bdrachtungsmeise cine Gruppierung nach Teilchen niit
gleicheni Aiifaiigsinipnls in dem in Q 2 besprochenen Sinne; bei dieser, an sich
durchaus erlaubten, Gruppierurig ist es, wie eine genauere, gemeinsam mit ineinem
Mit,arbeiter E. S p e n k e dorchgefiihrt,e Analyse gezeigt. hat, notwendig, die And e r u n g v o n t , wiihreiid d e s f r e i e n F l u g e s als Folge der Beschleunigung i n
Rechnung zu setzen, was D r u d e nicht get,an hat. R i r d dieser Umstand berucksichtigt,, so gelangt man auf dem D r u k s c h e n Wege zii genau der gleichen Vorschrift uber die Mittelwerthildung iiber to in der Leitfahigkeitsforniel wie mit der
L o r e n tzschen Methode des StoBes an elastischen Kugeln, nur da13 selbstverstandlich die spezielle Aussage uber die Abhangigkeit der StoBzeit vom Inipuls p (konstant,e freie Weglange, also StoBzeit unigekehrt proport,ional der resukierenderl
Geschwindigkeit q) in einer solchen Theorie noch nicht enthalten sind. Ubrigens
mu13 gegeniiher manchmal etwas unprazisen Fornlulierungen in der angewandten
Halbleiterlit,eratur darauf hingewieseu n-erdea, daB die nunierischen Koeffizienten
der sogenannten klassischen L o r e n tzscheii Elektronentheorie, wie etwa der Faktor
4/3 in dein Ausdruck fur die Leitfiihigkeit und der Faktor 3 4 8 in dein Ausdruck
fur den Ha 11koeffizieliten, nur fiir den Fall der geschwindigkeitsunabhiingigen
freien Weglange zutreffen. Ohne diese Spezialannahme lassen sich ebenso aus der
Herkunftssynthese wie aus der L.B.-Gleichung allgemeine Formeln entwickeln,.
in denen vorgeschriebene Rlittelwertbildungen iiber die (beliebig geschwindigkeitsabhangige) freie Weglaiige Z oder die mit ihr durch to = Z/q zusammenhangende
StaBzeit t, auftretens) ; diese Ausdriicke sind aber zwangslaufig an die Voraussetzung der erinnerungsloschenden StoBe (iuotrope Geschwindigkeitsverteilung
nach dein StoB) gebunden, die, da uberdies auch die (in Wirklichkeit vorhandenen),
h d e r u n g e n der Elektronenenergie durch das auBere Feld unberiicksichtigt
bleiben, rnit der Annahme der t,hermischeli Entstehungsrate identisch wird.
Wir greifen unseren Hnupt,gedankengang wieder auf, indem wir feststellen,.
da13 inan auch durch die andere Art, der Anwendung der Herkunftssynthese, also
mittels der Gruppierung der Elckbronen nach gleichen E n dimpulsen (vgl. 9 2),
zu diesen allgenieinen L o r e n t zschen Formeln gelangt ; dieses Verfahren ist sogar
wesentlich einfacher, weil dabei die Liderung VOII to wiihrerid des freien Fluges.
in erster Naherung nicht berucksichtigt zu werden braucht,.
NaturgeniaB wird man hier vor die Frage gestellt, ob die, derartig einfache
uiid allgemeiiie Folgerungen zulasseiide Voraussetzung der therinischen Entstehungsrat.e(oder der isot.ropen Geschwindigkeits\rcrteilung nach eineni elastisrhen
ZusammenstoB oder der erinnerungsloschenden StoBe) in Fallen, die iiicht dein
L o r e n t zschen Modell des elastischeri KugelstoBes entsprechen, iiberhaupt irgend6) R. B e c k e r , Theorie der Elektrizitiit 11, S. 198, B. G. Teubner 1933.Ich darf
bemerken, daB dieser Beckersche Verallgemeinemngsvemuchfur ~nirhder unmittelbare
AnlaB zu einer allgemeinen Diskhssion des hier als Hcrkunftsspthese bezeichneten Verfahrens gewescn ist.
6) Vgl. z. B. die Darstellung in dem Buch von F. S e i t z , The modern theory of solids,
YcGrow-Hill Book Comp. New York u. London 19.10, S. 168ff.
202
Annalen der Physik. 6.Folge. Band 6. 1949
wann erfiillt ist. Ich habe den Eindruck, daB das, auBer hei StoBgeset.zen, die
den1 elastischen KugelstoB faktisch aquiralent sind, riicht der Fall ist.; soriel ich
sehe, ist sowohl bei dem StoB von Elektronen gegen Verunreinigungsatoine wie bei
ZusamenstoBen mit den Schallquanten des Gitters entweder eine Energieinderung oder eine Vert~ilunesanisotropie(diese selbst,\-erstandlicli i ninie r in anisot,ropen Kristallen) vorhanden, die der Annahine der erinnerungsloscheiiden StoBe
urid dnniit der thermischen Entstehungsrate widerspricht Ga). Uiid auch ini Fall der
elastischen KugelstoBe ist, \vie schon anpedeutet, die Annnhitie der therniischeu
Entstehungsrate niir bei Hinzuiialinie einer weiteren ad hoc-Voraussetzung gerechtfertigt. E s 1aBt Rich zwar zeigen, daB ein aus einer Anfangsiinpulsrichtuiig p
stoBendes Elektron sich nach den1 Stol) iiiit g l e i c h e r W a h r s c h e i n l i c h k e i t
auf alle Richtungen des Rauines rerteilt, wohei nat.urlicli der Betrag p = 11.11 des
Impulses beibehalten wird '). Bei dieser Art von StoBgesetz koniiut aber in Wirklichkeit zwar eine isotrope, aber keineswegs eine in dein -Betrage ungeandert,e
Geschwindigkeitsvert,eilulig lieraus, da ja die Elektronen wallrend des freien
Fluges Energie aufspeichern, die sie beiiu StoB nicht wieder abgeben. DaB dieser
Energiezuwachs bei der B&echiiung der gestorten Verteilung nicht beriicksichtigt
w i d , ist ein gewisser Schonhcitsfehler der Lorentzschen Tlieorie; nian muB,
iini diesen Effekt, der eine stationare Losung unnioglich machen wiirde, zu verrneiden, z u s a t z l i c h annehinen, daB durch irgendwelche fiir die Richtungsverteilung unwirksame energie\.erzelirende StoBe die ini Felde erhaltene Elektronenenergie wieder ahgegeben wird, d i e eine merkliche Abweichuiig der 1pI -1Verte
voni t,hermischen Wert auftritt. Insofern besteht also uberhaupt keiu Unterschied
zwischen den Vorauwet,zungen der L o r e 11 t z schen Kugelst,oBtheorie sowie ihrer
(unzulassigen) Verallgemeinerung auf geschwindigkeitsabhgngige freie Weglangen
und der Met,hode der Herkunftssynthese inittels der (im allgenieinen unzulassigen)
Annahnie der t,herniischen Entst,ehungsrate
Es kiinnte unter diesen Unistiinden riiiiBig erscheinen, die Vorstellungen der Herkuiiftssynthese unter der Annahnie eirier t,herniischen Ent,st,ehungsrateuberhaupt.
noch weiter zu verfolgen. Das Bild wird aber dadurch geandert,, daB, wie wir in 0 6
sehen werden, auch ini Fall der nicht eriiiiierungsloschendell StoBe die ails der
st.rengen Behandlurig folgendeii CesetzniiiBigkeiten sich so deuten zu lassen,
a l s o b , weriigstens Ken11 inan sich auf partiell gestiirte Verbeilungen (siehe dort)
beschrankt, eine therniische Ent,stehungsrate und eine norinale 1'erlustrate der
Form (6) vorhanden ware ; iiur treten hierbei nicht die wahren StoBzeiten, sondeni
gewisse Abklingzeiten, die ron den1 Typ, wenn auch iiicht, von der GroDe der
Storung abhangen, als scheinbar niaagebende StoBzeiten auf. Es hat, deshalb
doch ein gewisses Interesse, auf die fruheren arischaulichen Vorstellungen, die sich
stillschweigend durchweg auf die Annahnie der thermischeri Entstehungsrate
stutzen, hier noch kutz einzugehen und zu diskheren, wie die exakte Durchfuhrung dieser Vorstellungen, die durch die Methode der Herkunftssyiithese gegeben ist, in den verschiedenen Einzelfiillen aussieht 8). In den Theorien von
6 8 ) Anmcrkung bei der Korrektur. Die Argumentation w'rd in der obigen Foriu
kaum verstiindlich sein. E3 handtlt sich utii die Umkehr von GedenkenpiLngen riach
Art von 0 9, zweiter Abschnitt. Ich hoffe, auch auf diese Frage sFater zuriickkmimen
zu k6nnen.
') A ~ erster
s
hat wohl F. Seitz in seinem oben zitierten Buch auf S . 108ff. die der
Loren tzsches KugelstoDtlieorie zugrunde liegendes allgemeinen Ziige, insbesondere die
Tatsache der isotropes Verteilung nach dem StoB, herausgearbeitet.
Ausfuhrlicher sol1 daruber an anderer Stelle berichtet werden.
11'. Schottky: Das H e r k m f t s -rind Sfoazeitproblpai in cler Elektrone?itheorie der Festleiter
203
R i e c k e urid D r u d e wird die Berechnung der elekt,rischen Teilchen- und Jf'arinestroniung iin Konzent,rations- oder Teniperat,urgefalle bekannt,lich in der Weise
durchgefiihrt, daB iiian sich in der Entfernung einer freieii Weglange von der betrachteten zu durchstromenden Flache die Elektronen in einer Menge uiid Geschwindigkeitsrerteilung entstmden denkt, die der Koiizentrat.ion uiid Temperatur
a n diesen benachbarten Orten entspricht. Die Zusarnnienfassung mit den auf cler
entgegengesetzten Seite, ebenfalls in der Entfernuiig einer freien N'eglange, entstandenen Teilchen liefert d a m die resultierende Stromung als Funktion des
Gradienten der Dicht,e und der Temperatur. Die Herkunftssynthese mit, therinischer Ent.stchungsrat~etat ini Prinzip genau dasselbe ; sie bestininit die Zahl uiid
Geschwindigkeit der \-on rechts uiid links in der Durchstromungsflache ankoininendcn Teilchen, nun aher nicht im Bilde von einzelnen Elektronen, deren Schicksal ja statistisch rerwischt~ist, sondern VOH Elektroiieiigrul)pen, die in beliebiger
Ent.fernung diesseits uiid jenseits der Durchstromungsflache in einer durch die
Konzcntration und Tciuperatur der Ausganpsorte gegebenen Menge eiitstehen und
in ihrer Zahl wihrencl des Fluges zeitlich abklingen.
DaB im einen Fall die freie Weglange, in^ tinderen Fall die Teilcheiiabkliiigzcit
als maBgebende Sto13gro13e zugrunde gelegt wird, ist wegen des erwahiiten Zusaninieiihangs z!vischen StoBzeit uncl freier Weglange unwichtig. Die bei der
Herkunftssynt,hese vorzunehnieiide zeitliche Integration 1a13t sich hierhei (wie
erwahnt) auf eine riiumliche Integration zuriickfuhren, da j a Ort wid Zeit der
Eiit.fernung durch die Geschwindigkeit der Elekt,ronen (allgemeiner durch die
rauiuzeitlic,he Bahn) einsinnig iiiiteinander verknupft sind. EYsei noch beiuerkt,
daD in diesem Fall, wo die Teilchen beschleuiiiguiigsfrei fliegeii, kein Uiit,erschicd
zwischen der Ordnung nach gleichen dnfangs- oder gleichen Endgeschwindigkeiten
besteht.
Etwas uniibersicht.licher liegt. der Fall dcs liomogenen isotropen Kristalls iin
konst,anten elektrischen Feld ; hier nird, wie schon US der oben angcdeuteten
D r u deschen tfberlegung herrorgeht, zneckniaBig die rein zeitliche Betracht,ung
des Schicksals der init. t,herinischer Geschwindigkeit (allerorts in gleicheln Betrage)
lieu ent&andenen Teilchen in den Vordergrund gestellt. DaB man hierbei niittels
der Herkunftssynthese zu der, fur den Fall der therniischen Entstehungsrate
korrekten, Leitfahigkeitsformel sowohl hei der Gruppierung iiach gleichen Anfnngswie nach gleicheii Endgeschwindigkeiten gelangt, wurde schon beinerkt ; ebenso,
daB die gewonnenen Resultate (in der Art der Mittelbildung iiber die StoBzeiCen)
prinzipiell von deneii der einfacherl D r u d e schen Theorie abweichen. Such ini
Fall komhinierter elektrischer uiid inagnetischer Felder ist die Herkunft
wenn man nach gleichen Endgeschwindigkeiten ordnet, verhaltnisniaB
durchzufuhren.
§ 6. Allgemeiiic Methode zur Bestimmung dcr
gestijrten Verteilung in '1. Niiherung.
Die uberaus einfache Form, in der sich unter der Annahnie der thermischen
Entstehungsrate die stationare L.B.-Gleichung schreiberi laBt,, tritt erst zutage,
wenn man den in diesein Fall InaBgebenden Ausdruck fur a in die Gleichuug einfuhrt.
Wie sich in diesein Fall a best.inimt, sieht man ohne weitereu, wen11 Inan in (7)
iq
das nur bei Storwigen von 0 verschiedene Glied bit^ 6, und ebenso 27, gleich 0
set,zt. E s ist dann f gleich der thermischen Verteilung, die wir init
fo
bezeichnen,
204
Annulen der Physik. 8. Folge. Bund6. 1949
und a = b, also nach (6):
a = -f".
(13)
10
Darnit wird aber &us (7) fiir alle Falle, wo die Entstehnngsrate thermisch ist:
uiid insbesondere fur den stationaren Zustand :
f - f o = - to * bib 6.
(15)
Hier ist 6, (eine im allgemeiiieii Falle ron der GroBe und Richtung voii p abhaiigige
GroBe) bei Kennt,nis der StoBgesetze bekannt ; auf die rechnerische Erniit.tlung
von to ist in 5 9, zweiter Abschnitt hingewiesen. bib G ist nicht bekannt.,
wenn man in dem Ausdruck (10) wirklich die unbekannte Funkt,ion f einsetzen
muB; es ist aber bekannt,, wenn es geniigt, in dem Ausdruck fur bib G a h erste
Naherung die, von aul3eren Kraften unabhangige, durch die Dichte n (2,y, Z)
der Elektronen und die Temperatur T (2,2/, z ) gegebene ungestorte Funktion f o
einzuset.zen. Dies wird in alleri Fallen erlaubt, sein, wenn f - f o klein gegen f o
jst und wenn man sich inn Storungen hoherer Naherung nicht zu kiimmern braucht.
Begnugen wir uns, was wir von nun an iininer tun wollenQ), mit dieser ersten
und die Verteilungsfunktion f ist nach (5)
Naherung, so wird bib G = (bib
j n einfachster Weise durch to und (bib G)jobestinirnt :
Q0,
f
= fo
- to (bib ,G)jo.
(15a)
Damit ist also init einenl Schlage das gauze Problem cler gestorten Verteilung
1. Naherung gelost,; alle Aussagen uber Leitfahigkeiten, Stroiiiungsvorgange u n d
elekt,romotorische Krafte im Konzeiitratioiw urid Temperaturgefalle, elektronische
Warmestromung usw. siiid darnus in einfacher Weise abzuleiten, iind alle Beziehungen, die man als Folgerungeii aus der L o r e n tzschen Elektroiientheorie
anzusehen pflegt,, beruhen auf dieser speziellen Ausgangsgleichung, die ja die Annahine der elastischen Kugelst,oBe nicht niebr explizit enthalt,.
Leider wird nun, wie wir bereits ausfuhrten, die Annahme der elast,ischen
KugelstoBe, und allgemeiner daniit die A4nnahriie der t,herniischen Ent,stehungsrat,e, den wirklichen StoBverhaltnissen der Elektronen iiii Kristallgitter im allgeineirien nicht gerecht. Es niitzt unter diesen Umstanden gar nicht,s, daB auch i m
allgemeinen Fall die Verlusbrnte b nach wie vor durch - / / t o gegeberi ist, wobei sich
to bei Kenntnis der StoBgesetze fur jeden p - und T-Wert angeben laI3t; es ist z x a r
auf cliese Weise fur jedes p und T eine StoBzeit to, und damit auch eine freie WegIange I = q to (q der Betrag der Geschmindigkeit) definiert, aber man weil3 nicht,
wie diese Abklirigzeit oder freie Weglange in die Bestimmurig der gestorten Funktion eingeht. In Wirklichkeit tritt sogar to, wie wir sehen werden, in dem Ausdruck fur f iiberhaupt, nicht auf, sondern es werden andere Zeitkonstanten ma&
gebend.
Glucklicherweise 1aBt sich namlich zeigen, daB, wenn auch nicht fur die Gesambstromung f - f,, so doch fur in bestimmter Weise niit den Storungsursachen
8, I m Rahincn der elmtiwhen StoDtheorie miissen wir das sogar, weil die hohereri
Niiherungen irn allgemeinen (der Halleffekt macht eine Ausnahme) die Energieaustauschwirkungen init zu berucksichtigen haben, die in der elastischen StoDtheorie, wie niehrfach hervorgehoben, notwendig rernachliissigt sind.
W .Schottky: Das HerkunJts- und Sbbzeilproblem in der Elektronentheorie der Festleiter
205
zusammenhangende Einzelteile dieser Storung in 1. E'aherung nach wie vor
3eziehungen von der Form (15), niit bia G = (bit, G)jo gelten. Wir werden ini
nachsten Abschnitt sehen, daB fur f - fo iniriier in 1. Naherung eine Zerlegung
in Einzelstorungsfunktionen moglich ist, die sich, bei beliebiger Orientierung eines
rechtwinkligen Koordinatenkreuzes gegen die Kristallachse, in der Form schreiben
laat:
f - f o = % I + 9 r 2 PYl pyz pz1+ pzz.
(16)
Fur jede dieser Teil-Storungsfunktionen,denen entsprechende Teile (bit, G)zl,fo
in der Stromungsdivergenz entsprechen, 1aRt sich, wie zu zeigen sein mird, eiiie
Beziehung von der Form gewinnen:
+ + +
prl = -zzl (bit, %,fa,
(17)
aohei z, eine durch die StoBgesetze wid die (zl . . . z,)-Typen der Storung vollkonimen bestimrnte, von der GroSe der betrachteten Teilstorung und aller iibrigen
Teilstorungen unabhangige Zeitkoristante bedeutet, die uun allerdiugs in keinem
Zusammenhang niit den Teilchenabklingzeiten to steht.
Da auch die GroBen (bit, G),,,jo bei gegebener fa Verteilung durch die GroBe
der Storungspar?ineter vollkonimen bestirnilit sind, ist init (17) auch das allgemeine Problem der St6rungsverteilung 1. Niherung bei beliebigen dynamischen
Eigenschaften der Elektronen oder Elektronenwellen und bei beliebiger Rristallanisotropie gelfist, oder vielmehr auf die rechnerische Bestininiung der GroBe z,
aus den StoBgesetzen zuriickgefiihrt. In 3 7 und 8 wollen wir sehen, wie die Giiltigkeit der Gleichungen (17) bewiesen wird, und wie die Vorschrifteii zur Bestiminung der -czl usw. aus den StoBgesetzen sind. Als Vorbereitung dazu wollen wir
uns aber jetzt noch dariiber orientiereii, welches die Aussagen iiber die thermische
Eritstehungsrate sind, aus denen Gleichungen von der Form (17) abgeleitet werden
konnen.
0 6. Wahre
und quasithermische Eiitstchiingsrate
Zu einer thermischen Entstehungsrate
ist. ein Wert
Czth = fo/to gehijrt,
da allgeiriein b = //to
d e r im stationaren Zustand gleich bit, G ist. (Gl. 15.) Erinnern a i r uns, daB
= 0 ist, so konnen wir
hat, und daB
a - b die Bedeutung von
(3)
(1 StoB
G1. (18) auch in der Forin schreiben:
Damit gewinnt fa, allerdings nur fur den betrachteten Spezialfall der thermischen
Entstehungsrate, eine neue Bedeutuig : es ist die (durch StoBgesetze bedingte)
Abklingzeit der Storungsfunktion f - fo, mobei aber iiach G1. (IS) diese Abklixigung
ein Differenzergebnis der die Teilchenzahl vermehrenden und verminderndeii
Stone ist. Vernuriftigerweise ist das Ergebnis dieser Differenzwirkung, da to definitionsgemaB eine positive GroBe ist, inlmer eine V e r m i n d e r u n g der Storung
f -fa; insbesondere gilt nach GI. (18a) fur den Fall der thermischeli Entstehungsrate die Aussage:
,,Die Abklingzeit der Storfunkt,ion f - fa ist gleich der StoBzeit t,".
206
Annakn der Phyaik. 6.Folge. Band 6. 1949
Wir werden im folgenden Paragraphen seheii, daB die Beziehungen (17) sich
daraus ableiten lasseli, daB man niit jeder der Teilstorungen p Z l .. .cpz8 eine bestiminte Entstehungsrate a [cy,,]
und Verlustrate b [cpxl] usw. in Verbindung
bringen kann, deren Differenz wiederum die resultierende StoBabklingung voii
cpzl usw. bestiinint. Da gemaB G1. (7) allgelneili fur den stationlren Zustaud gilt:
muB, wenn die Gleichungen (17) richtig sind und wenu wieder bib G = (bit, G),,
gesetzt werden kaiin, wegen GI. (16) auch gelten:
...
T, 1
p'z 2
(19)
tt2
und die hinreichende und, wie wir seheii werden, auch notwendige, Bedingulig
hierfiir ist:
Dainit ist die Bedeutung der in (17) eiiigefiihrten neuen Zeitkonstanten gegebeli :
es hsndelt sich um die, durch die Differeiiz zwischen cler partielleu Entstehungsund Verlustrate bedingten Abklingzeit der betreffellden partiellen Storungsfunktion.
E s ist nun zunachst von Interesse, festzustellen, wie bei Ghltigkeit von (17)
oder (20) die mahre Entstehungsrnte n fur die gesanite gestiirte Verteilungsfunktioii f aussieht, insbesondere, \vie sie sich von der therinischen Entstehungsrate
fo,Qo unterscheidet. Da die lirlke Seite von (19) definitionsgemaI3 = cc - b fur die
gesanite Funktion f ist, und b inii1ier = f / t u gesetzt werden muB, finden wir fur die
gesaiiite Entstehungsrate, indeni wir in //to ebeiifalls / entsprechend (16) z erlegen:
Man sieht, daB die wahre Entstehungsrate hier keineswegs mehr thermisch ist ;
zii dem thermischeri Gliocl jolto treten Beitrage, die den einzeliien Ariteilen der StorVerteilungsfuiiktion proportional sind, aber in der Weise, daD die Proportionalititskoeffizienten nicht untereinander gleich sind, sondern von den betreffenden Storungstypen (xl. . zJ abhlingen. Eiiie therniische Entstehungsrate ist nur dann
= zZ2
vorhaiiden, wenn, wegen der besoiideren Art der StoBgesetze, to = zzl
ist, was zufallig fur den elastischen KugelstoB zutrifft (bei den1 auch jede Massenanisotropie megfallt ; die Lorentzschen KugelstoBgesetze sind j a nur fur richtungsunahhangige Massen erfullt). GI. (20) stellt zugleich einen interessanten Sonderfall
der allgemeinen Aussage (1)clnr; die Storfunktioneucp,, . . . cpz3 sind ja aus f(z,y,z,p)
allein nicht zu erinittelri, sondern nur ails der gesamten f - V e r t e i l u n g uber alle
p-\Verte innerhalb des Elementes dV(z, y, z).
Formal 1aBt sich natiirlich riach (20), indeni man die pzl usw. wieder durch
7%. (biD G)21,,unach (17) ausdruckt, die Entstehungsrate ails der /,-Funktion, den
Storungsparametern uiid gewissen, niir yon den StoDgesetzeii (und deli gewahlteii
Koordinatenrichtungen) abhangigen Zeitlionstanten to, zTl. . . z, crrechnen und
mit diesem a-Wert und der voii p und T abhangigen StoDzeit to eine Herkunftssynthese durchfuhren. Diese ergibt jedoch, wenn alle Rechnungen richtig u s gefiihrt werclen, nichts anderes als die Aussnge (16) konibiniert mit (17), die man
durch direkte Bestininlung der cpxl . . . aus den z,,(bio
ja bedeuterid einfacher haben kann. I n diesem Befund offenbart sich besonders drastisch (lie
.
---
TV. Schottky: Das Herkunfls- und Stopzeitproblem in der Elektronentheorie der Festleiter
207
Notwendigkeit jener Uingruppierung der Fragestellung, die ini allgemeineii Fall
der nicht, eriiiiierungsloschenden ZiisaninieiistoBe notwendig mird, wenn nian das
Problem der Storverteilung losen will; es ist zwar formal imnier moglich, die Storwrteilung zii bestiiniuen, weiiri nian die Entstehungsrate, die Kraftgeset,ze unil
die Verlustrate keniit, aber die Bestiinniung der Entstehungsrate ist urn iiicht,s
leichter als die Best,iniinung der gestorten Verteilungsfunktion selbst,. Das einzig
vernunftige Verfahren ist also in dieseni Falle, die Bilanzgleichung (7) von Torni;f
herein auf deli stat,ionaren Zustand, - = 0, zu spezialisiereii und nach Ansatzen.
?t
fur die gestorte Verteilurigsfunkt,ion f zu suchen, die so beschaffen sind, daB die,
von der f-Verteilung abhangige, Differeiiz a. --b genial3 (19) gleich der durch fo
und die Storungsparameter bestiminbe Funktion (bit, G)fowird.
Trot,zdeni ist, es anschauungsiiiiil3ig von Interesse, festzustcllen, da8, wie schoii
oben erwkhnt, cIie Losung, die sich durch dieses kofrekte Verfahren ergibt, doch
wieder einer Deutung fahig ist., die dieseri allgenieinen Fall auf den Fall einer rein
therniischeii Entstehungsrate zuruckzufuhren s c h e i n t ; allcrdiiigs nicht ciner Entstehungsrate ath = fo/to, sondern einer ,,partiellen scheinbaren thermischen En tstehungsrate" apartiejl
wobei tpart eine der Abklingzeiten zZ1. . . z, ist. Durch diese Forinulierung ist
schon ausgedruckt, tIaD diese ,,Als-ob"-Betrachtung nur iiioglich ist, wenn entweder n u r eine der 6 Grofieii (bit, G)zl,~o
usw. Ton 0 verschiedeii ist -was z. B. fur
den wichtigen Fall zutrifft, wo iiur in eiiier Richtung x eleA%rische Krafte und Teilchen-Konzentrationsgefille (aber keine Teaiperaturdiffereriz) mirksani siiid (9 7)
- oder wo man sich dazu entschliel3t, in allen 6 Fallen x1. . . zL so zu tun, als
ob iieben der f,-Verteilung nur die betrefferide Partialstorung tpZ1usw. vorhandeii
ware. I n dieseni Fall kann man Funktionen
+
(22)
usw. betrachteii und auf diese partiell gestorten Verteilungen folgende Uberlegung
anwendeii. Die Entstehungsrate ist, weiin die Storurig fzl allein vorhandeii ist,
nach (1) durch die Gesarntverteilung, iiinerhalb eines Elements dV, die dieser
Funktion f z l eiitspricht, vollkomnien gegeben, a ist also zwar keine Funktion von
(2,y, z, p , T),
aber eine GroBe, die durch den Verlauf von f z l in Abhangigkeit
von p (bei gegebenen x, y, z, T)vollstandig bestimint ist; man spricht in solchem
Falle yon einem Operator, und wir schreiben:
= a[fz11.
b ist = f z l / f o , also eine lineare Funktion r o n f Z 1 , die deli einfachsten Spezialfall
eines Operators darstellt. Ini ganzen koniien wir fur unseren Fall schreiben:
f z 1 = fa
PZl
(5)= (a - b ) [fJ.
Ct
StoB
Das ergibt Kegen (%)ston= 0 nnch (19a):
Vergleichen wir diese Beziehung mit der entsprechend formulierbarenBeziehung(18):
i o -i ,
(a- b ) [I]= to
10
208
Annalen der Physik. 6. Folge. Band6. 1949
so erkeniien wir, daB in bezug auf die Wirkung der StoBprozesse die partiell gestorte Funktion f z l (die in wichtigen Fallen iiiit der gesamten gestorten Funktion f
zusammenfallt) genau ein entsprechendes Verhalten zeigt wie die gestorte Funktion irn Fall der rein thermischen Entstehungsrate; es ist, so, ,,ah ob" iiberall
die Teilchen iiiit der nur dnrch fo gegebenen quasithermischen Entstehungsraten
entstanden und wahreiid ihres weiteren Lebensschicksals mit der gleichen
Zeitkonstarite z, abklangen. Dieser Befund, der iiach dem Vorhergehenden keineswegs den wahren Verhaltnissen entspricht uud nur durch gegenseitige Kompensation der entsprechenden Zusatzglieder in a und b zustande konimt, erlaubt
inimerhin, die partiellen Storungsprobleme 1. Naherung des allgemeinen Falles in
vollkominener Analogie zu. deni Gesamtstoiungsprobleni bei rein thermischer
Entstehungsrate, also dem Fall der erinnerungsloschenden StoBe oder der StoBgesetze an elastischen Ku?gln (mit Unterschlagung des Energiezuwachses), zu
betrachten. Eine Darstellung, die diese Analogie nicht herausarbeitet, wiirde
nach meinein Gefiihl historisch und sachlich eine gewisse Liicke offeli lassen.
a;h =
T x1
Q 7. Die Adstellung der Bestimmungsgleiehnngen fur die
partiellon Abklingzeiten
Wir haben jetzt nur noch die Gultigkeit der Beziehungen (17) nachzuweisen
und festzustellen, wie die z, usw. ails den StoBgesetzen zu erniitteln sind. Unsere
Uberlegungen haben dabei den Charakter eiiier Verifikation : es wird davon ausgegangen, daB sich f nach (16) aus fo und Einzelgliedern tpzl usw. zusalninensetzen
laBt, es wird dann aiif f der konibinierte Operator (a- b) angewandt, dieser Ausdrurk, eritsprecheiid der statioiiaren L.B.-Gleichung, gleich dem ebenfalls in 6
verschiedene Glieder aufteilbaren Ausdruck (bib G)fogesetzt und gezeigt, daB
diese Gleichwig erfiillt wird, wenn jeweils zwischen den pxlund (bio G)zl Beziehungen von der Form (17) bestehen. Dabei ergeben sich d a m \-on selbst die Bestimniungsgleichungen fur die zxlusw.
Zuerst nehmen wir die Aufspzltung von (bib G)j0 in Angriff. Aus (10)
ergibt sich zunachst ehie Aufteilung nach den 3 Koordinatenachsen in (bib G)L,fo
usw., derart, daB
YO
F, 7
(bib G)=,fu= u
(26)
CPZ
+
wird usw. Wir machen n u n von allgelneinen Eigenschaften der Funktion f o in
den1 hier zugrunde gelegten Fall der Boltzmannstatistik der Kristallelektronen
Gebrauch. Allgemein gilt hier, falls man fo auf den Lagen-Inipulsraum anstatt
auf den Lagen-Geschwindigkeitsrauni bezieht, die Beziehung :
t - 8
f o = , -2, . e - ET
.
(27)
Hier bedeutet 5 den statistischen Anteil p - Eo des cheniischen Potentials der
Elektronen ; p ist das gesanite cheinische Potential der Elektronen (oder Defektelektronen), Eo die Energie der Teilchen mit dem Impuls 0. 5 ist in einem Kristall
init gegebenen Eigenschaften iiur von der ortlichen Gesanitdichte n der Elektronen
und von der ortlichen Temperatur abhangig. Der Paktor 2 in (27) kommt durch
die Berucksichtigung der beiden moglichen Spin-Einstellungen herein. Die auch
in anisotropen Kristallen uud bei beliebigem Zusainmenhang zwischen E und p
W .tkhottky: Das Herhnfts- und Stopzeitprobbm in der Elektronentheorie der Feslleiter
209
giiltige Beziehung (27) sagt aus, daB f o von der GroBe und Richtung der Iinpulse
nur uber E (p) abhangt. Es gilt also:
Handelt es sich bei F, uni eine elektrische Kraft e Ex,so ist sie von der Geschwindigkeit (oder dern Inipuls) der Teilchen unabhangig. Um niagnetische Krafte
(4,@) brauchen wit uns in der hier betrachteten ersten Naherung nicht zu
kiimmern, da z. B. in (div G)z,~o
ein Beitrag
u*v
*
B,St”
-,
in (bin G),,j, ein
CE
Beitrag -I
v u Bz* P i n auftritt; alle rnagnetischen Beitrage heben sich paarweise
LP
weg, der fur die f-Bestirnmung maBgebende (bin Q,-Ausdruck ist von den magnetischen Kraften unabhangig. R i r konnen also weiterhin die F, als rein elektrische
Krafte ansehen, die f u r alle I~npulswerteden gleichen Betrag haben.
Da f o bei gegebenem E nach (27) nur \-on und T,d. h. von n urid T,abhangt,
-- zerlegen in :
1aBt sich ?to
%X
Hierbei ist noch nach (27):
if11
-
ill - f o
.-1 i-;
k t CN
und :
Dadurch wird:
Hier sirid die Susdriicke in den geschweiften Klarnmerli von P unabhangig und
durch die auBeren Storungsursachen (auBere Krafte, Konzentrationsgefalle,
Temperaturgefalle) rollkonimen bestimmt. Die Form der ersten geschweifteii
Klamnier zeigt iiberdies, daB sich in allen Aussagen iiber die gestorte Vertdung,
und daniit auch in allen Aussagen uber Teilchen- und Warmestromung das Diffusionsglied - cn
- 2.rSn (das
-
% I n n..
bei impulsunabhangiger effektiver Elektronennlasse
iibrigens in - k T -ubergeht in genau der gleichen Weise bemerkbar macht
PX
)
wie eine elektrische Kraft. Dasselbe gilt fur den Beitrag Ann. Physik. 6. Folge, Bd. 6
&, (A)- g,der durch
14
210
Annakn o h Physik. 6.Folge. Band 6. 1949
das Temperaturgefalle hervorgerufen ist ; aul3erdem liefert aber, wie das 2. Glied
auf der rechten Seite ron (32) zeigt, das Temperaturgefalle noch einen anders
gearteten Beitrag.
Jedenfalls sind nach (32) in (bio Q L , f o nur 2 in verschiedener Weise von 9
abhangige BeitrCge zu unterscheiden, yon denen wir den ersten, mit u f o proportionalen, mit unserem (bin G),1,f0 zu identifizieren haben, den zweiten, u f o E
proportionalen, mit (bio G)L2, f o .
Wenden wir nun, entsprechend unserem am Eingang dieses Paragraphen entwickelten Programni, den Operator a - b auf die genial3 den1 Ansatz (16) aufgeteilte Funktion f an, so wird zunachst (a- b )
= 0. Auf die Summe der
Funktionen pz, ... pzzkomien wir jedoch unseren Operator in der Weise anwenden,
daB wir die Summe der Operatoren (a - b ) [ p x l ] . . . (a - b ) [ p z 2 ] bilden; das
bedeutet, daB wir die Differenz von Entstehungs- und Verlustrate fur jede partielle
Storungsfunktion q,, . . . p2 einzelii bestininien und diese Betrage dann zusamnienzahlen. DaB sich dabei wirklich die Differenz von Entstehungs- und Verlustrate
fur die gesamten Storurigsfuiiktionen f - f o ergibt, ist physikalisch einleuchtend;
mathematisch beruht es darauf, daB aus der weiter unteii dargestellten Form unseres
Operators folgt, daB der Operator, auf eiiie Sumnie von Teilfunktiorien angewandt,
gleich der Summe der Operatoren auf die Teilfunktionell ist (Jinearer Operator"),
vO]
+
.
was ubrigens schon bei der Aufteilung des StoBgliedes
(g)
r't
StoG
gemaI3 (19) vor-
ausgesetzt werdeu niuBte. Die stationare L.B.-Gleichung lautet also jetzt :
(a - b ) [pz11+ * * * (a - b ) [ p z z l = u f o PZl
wobei wir noch die Abkiirzungen
+ +w
* * *
foE
Pzn,
(33)
.......................
eingefiihrt haben. GI. (33) wird erfullt, wenn einzeln die Bedingungen erfidlt sjnd:
(a - b) [%11
= u f o pz,
..............
(35)
(a- b) i-pzzl = w f o & p z 2 .
Die Erfullung dieser Einzelbedingungen ist uberdies notwendig, da 9 unabhangige
&L
. ., irT .. .,F, . . ., vorhaiiden
sind, die die P,, . . . Pzz
C5
unabhangig voneinander zu 0 rnacheo konnen.
Machen wir nun zur Losung voii (35), wo die rechten Seiten ja die Bedeutung
unserer (bib G),1,f0 usw. haben, versuchsweise d e n h s a t z (17), 80 haben wir zu
setzen :
Storungsparameter 7
.
ct
px1=
--~ZlUfOPZ,
............
(36)
p z e = --ZzzUf&P*e
Wenden wir auf diese Funktionen den Operator (a - b) an, so tritt uberall
der von 9 unabhangige Faktor P heraus und hebt sich beim Eiiisetzen in (35)
gegen den gleichen Faktor auf der rechten Seite weg. Wir erhalten also aus (35)
W .Schottky: Das Herkunfts- und Stofizeitproblem in der Elektronentheorie der Festleiter
21 1
schlieBlich Gleichungen, in denen der Operator a - b nur noch auf eine Storungsfunktion von der Form u fo zZl bis w fo E z, angewandt wird; es stellt sich soniit
jetzt die auf d i e Teillosungen angewa n d t e s t a t i o n a r e L.B.- Gleichung
d i r e k t a l s eine B e s t i m m u n g s g l e i c h u n g f u r die g e s u c h t e n z, . . . zzs
heraus, wobei die einzelnen Teil-Bestimmungsgleichungen die Form habeii :
(a - b ) Eu fo G I 1 = u f o
. . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . ..
(a - b ) w f o & z z=
l w fo E
(37)
.
6 8. Ermittlung der partiellen Abklingzeiten aus den StoSgesetzen
Wie die Operatoren a und b mit den StoBgesetzen zusammenhangen, ist aus
der Literatur seit B o l t z m a n n und L o r e n t z hinlanglich bekannt. Den einfacheren
Fall stellt wieder die Verlustrate b dar. 1st q~die betrachtete Storungsfunktion,
so ist
b [PI = V ( Q ) W(P>
P’) d i l *
(38)
1
Hierbei bedeutet W dil dil’ die Wahrscheinlichkeit {Zahl der Falle pro Sekunde),
daB Teilchen niit dern Iinpuls $I und dem Impulsbereich dA durch irgendeinen
StoB in den Impulsbereich p’, dA’ geworfen werden. Die hieraus durch Division
rnit d i l dA’ gewonnene GroBe W ist das Element der StoBbetrachtungen19), das
durch die Art der StoBhindernisse als Funktion von p und p‘ gegeben ist und,
wenn man speziellere Rechnungen ausfuhren will, bekannt sein muB. (38) ist uber
den ganzen Impulsbereich von ip, . . . pz = -00 bis 00 zu integrieren; naturlich
kann durch die StoBgesetze das in Wirklichkeit mal3gebende A’-Gebiet stark
eingeschrankt werden, so daB z. B. bei elastischen’StoBen nur dA’-Gebiete mit
gleicher Energie wie das dil-Gebiet in Frage kommen.
Das Gesetz fur die Entstehungsrate ist komplizierter ; hier kommt innerhalb
eines Volums dV fur die Entstehungsrate in einem Impulsbereich ( p , dil) jeder
andere im gleichen Volum vorhandene Inipulsbereich (p”, dA”) als Zulieferant
in Frage. Man erhalt so fur u [ y ] den Ausdruck
+
s
a [PI = y(P”) W(P”, P ) &
.I”
(39)
Da sowohl in (38) wie in (39) die Funktion q~ niir in linearer Form, multipliziert
mit von p unabhangigen Faktoren auftritt, ist dadurch die Behauptung von der
Linearitat der Operatoren a und b, und damit auch von a - b, bestatigt.
In ihrer Weiterfuhrung munden nun unsere Gedankengange in Uberlegungen
ein, die mit dem mikroskopischen Reversibilitatsprinzip von L. Onsager (Phys.
Rev. 1931) in Beziehung stehen und in der jungeren Vergangenheit mehrfach,
auch unter Berucksichtigung der zusatzlichen Einschrankungen der Fernli Kinetik, in allgemeiner Weise durchgefuhrt worden sind. Insbesondere steht
unsere Betrachtung in engstem Zusammenhang mit einer allgemeinen Untersuchung
von M. Ko h l e r 1’) 1936, uber die allgemeinsten Wechselbeziehungen zwischen den
in der Stromungstheorie der Elektronen auftretenden Materialkoeffizienten. Die
Besonderheit unserer Uberlegungen besteht, abgesehen von der Verwendung der
-
lo) Es ist noch hinzuzufugen, daS sich W auf die Zahl der Vorgange in der Voluni
einheit bezieht; urn die Ubergange in einem \’ohm dV zu ermitteln, hatte man noch mit
dV zu multiplizieren. Da die Tcilchen nach dem StoB im gleichen Volum bleiben, ist
= dv.
11) M. K o h l e r , Ann. Physik 27, 201 (1936).
14*
ar
212
Annakn der Physik. 6. Folge. Band6. 1949
Impulse an Stelle der Wellenzahlen, nur. darin, daB aus unseren Ansatzen durch
die Uberlegungen der vorangehenden Abschnitte aller Ballast, der sich auf die
zufglligen Werte der Storungsparanieter bezieht, durch Wegheben der Koeffi. . . Pza ron vornherein iiber Bord geworfen ist, so daB sich die statiozienten Pxl
iiaren L.B.-Gleichungen schlieBlich als reine Bestimmungsgleichungen fur die in
die gesuchten GesetzinaBigkeiten notwendig eirigehenden elementaren Zeitkonstanten 7,. . . . z, herausstellen. Der Grundgedanke des Verfahrens stamnit
iibrigens von N. B o h r l ? ) und ist auf die Fermische Kinetik zuerst von L. N o r d h e i m13) ubertrageu worden.
Indein wir den Operator (a - b) auf die Funktion rp anwenden uiid in (38) die
) clas Integralzeichen setzen, erhalten wit:
von p” unabhangige Funktion ~ ( punter
( a - 4 [PI =Jp(P“) ~ ( P ” , P ) d A ” - J / ( ( P J) v ( P , P ’ ) d l
*
(40)
Die weitere Behandlung dieser Gleichung wird durch Benutzung des erwahnten
Reziprozitatstheorems moglich, ails dem, fur den Pall der Boltzmannstatistik,
folgt’4) :
fo(P)
W ( P ,P’)
=fO(P”)
W(P”, .PI
(41)
Y
eiiie Beziehung, die d a m gelten soll, wenn man StoBe, bei denen das Teilchen aus
dem Zustand p in den Zustand p’ iibergeht, niit StoBen vergleicht, bei denen
das Teilchen aus dem Anfangszustand p”, der speziell = p‘ gewahlt wird, i n den
Zustand p iibergeht. Wir haben also bei Benutzung dieser Beziehung uberdies
in (40) 4’’ = p’ und dfl” = dA’ zu setzen und erhalten:
Durch diese Beziehung ist also ein Zusaininenhang zwischen dem Operator a - b
auf eine beliebige Storungsfunktion cp und der Verteilung fo ( p ) hergestellt, die sich
im therniischen Gleichgewicht herausbilden wiirde ; aus (41) erkennt man, da13
es auf den Mengenbetrag dieser therniischen Vergleichsfunktion gar nicht ankommt,
was, wegen der gegenseitigeii Unabhangigkeit der einzelnen Teilchen, in der
Boltzmannstatistik j a gewahrleistet ist; in der Fermistatistik, wo das nicht
mehr der Fall ist, erhalt (41) j a auch eine andere Form.
Jedenfalls hindert nichts, f o ( p ) in (42) speziell so gewahlt zu denken, daB es
der GroBe fo in unserer Beziehung (16), und damit auch der Gr6Be fo in den Gleichungen (36) und (37) entspricht. Wahlen wir insbesondere:
EO
p=-
wird nach (42):
~ f o ~ x 1 ,
(43)
Setzen wir endlich dies in die Bediriguiigsgleichung (37) ein, so hebt sich f o ( p )
heraus, und wir erhalten fur zrl, indern wir noch mit u dividieren, die Bedingungsgleichung :
1=
S[zx,(P) - ;
tX1(U’,]W ( P ,P’ldfl’
(44)
Dadurch ist also jetzt, unabhangig von der Art der Storungsfunktion qXl,eine
Fui~ktionalgleichungfur txlgewonnen, die den Wert \-on zxlfiir den untersuchten
12) bletallernes Elektronentheorie, Dissertation Hopenhagen 1011.
13) L. N o r d h e i m , Ann. PhysikS, GOT (1031).
14) Sirhe z. B. 111. Kohler a. a. 0.
*
W.Schottky: Dna Herh-unfts- und Skpzeitproblem in der Eleklronentheorie der Feslleiler
213
Inipuls p mit dem R e r t von zT1bei allen anderen Impulsen, die aus 1.’ durch StoD
herrorgehen konnen, ferner niit den entsprechenden StoBwahrscheinlichkeiten,
sowie endlich niit deni Verhaltiiis U ‘ / ? b , das bei diesen StoBen auftritt, in Beziehung
setzt. Gleichungen von der Form (44) sind, abgesehen von singularen Fallen, die
physikalisch nicht interessieren, prinzipiell losbar und fiihren zu einer Bestininiung
von tzl(oder u tzl)in Abhangigkeit von 4, falls die Funktion W ( p ,p ’ ) fur nlle p
und p’ bekanrit ist. Speziell handelt es sich hier uni eine Fredholnische Tntegralgleichung mit synimetrischem Kern 15), fur die ini eindiniensionalen Fall fertige,
wenn auch ziemlich uniibersichtliche Rekursionsfornieln berechnet worden sind.
Fur zwei- und dreidimeiisionale RIannigfaltigkeiten ist das Rzchenprobleni anscheinend noch nicht durchgefiihrt, diirfte aber wegen seiner fundamentalen Bedeutuiig fur die StoDtheorie vielleicht einer Bearbeitung wert sein. Vorlaufig
miissen wir uns also mit der Feststellung begniigen, daB G1. (44) in jedeni uns hier
interevsierenden Fall losbar ist und zu einer eindeutigen Bestiniinung von tZ1in
Abhangigkeit von p fiihrt.
Die Bedingungsgleichungen fur zyl und T , ~sind ganz analog; in denen fiir
trz. . . t Z z
tritt dagegen iiberall das Produkt Geschwindigkeit ma1 Energie E an
die Stelle der Geschwindigkeit, z. B. wird tZrz
bestimmt aus:
Auch dies ist eiiie Gleichung vou demselben Typ wie (44).
Q 9. SehluBbemerknngen
Eine ausfiihrliche Diskussion der Beziehungen (44) und (45) aiirde den hier
gegebenen Rahnien iiberschreiten und iiberdies sofort tief in Frageii des Chnrakters
der welleniiiecha~iischen StoBgesetze hineinfiihren, die, ini Sinne der Gedinketigange vori F. B l o c h , R. P e i e r l s und anderen z. B. den Hauptgegenstaiid
der bekaniiten Monographic voii H. F r o 11 1 i c h iiber metallische Elektronentheorie (1936) bilden und, auch in A11~endungauf H3lbleiterprobleme: in
weiteren Arbeiten 1-011 H. Frohlich16), von H. P r o h l i c h und F. N. N o t t ” ) ,
ferner z. B. in einer interessanten russischen Arbeit von B. D a v i d o v und
J. S n i u s h k e v i t c h l * ) sowie endlich in dem bereit,s zitierten Buch \-on F. S e i t z
eingehend erortert, sind. Es seicn deshalb hier nur einige allgerneine Bemerkungen
hinzugefiigt.
Zunachst gibt es gewisse Fiille, in denen die Funktionalgleichu~i~eii
(44) mid (45)
sich so vereinfachen, daB die z-Wert,e durch einfache Integration bestiinmt werdeii
konnen. Hierzu gehijrt natiirlich an erster Stelle der L o r e n tzsche Fall des elnstiwhen KugelstoBes, wo alle z gleich der fur die Verlustrate niaDgebenden Teilchenabklingzeit to werden, deren Kehraert den1 Faktor roil p ( p ) in (38) entspricht,.
Ferner gehort aher hierzu auch der sllgemeilie Fall des nicht eriiiiieruiigsloscheriden
elast,ischen StoDes in isotropeii Medien ; es zeigt, sich insbesondere hierbei, d a D
alle tzl. . . zZldurch eine einzige nur vom Betrage, nicht von der Richtulig, yon 1.’
abhangige Abklingzeit t bestininit sind, die ebenfalls durch einfache Integration
fest,skllbar ist urid die mit der In1pulsabklingzeit ident,isch ist,, d. h. derjenigen
16) Vgl. z. B. C;eiger-Schrel 111, 283ff., GI. ( l ) , 1928. Man iibeneugt sic]), daI3 (14)
auf ciie do1 t angegebene Form gebrarht nerden kann.
lo) H. Frohlich, Pror. Roy. Soc. London A 160, 2330 (1937); 188, 532 (1947).
l i ) H. FrBhlich u. F. N. RIott, Proc. Roy. Soc. London A 171, 134 (1939).
B. D a v i d o r u. J. Sniushkeritch, J . Physik Sow. 3, 359 (1940).
2 14
Annalen der Physik. 6. Folge. Band G. 1949
Zeit, in der die in einer beliebigen vorgegebenen Richtung untersuchte Inipulskomponente einer Teilchengruppe ( p , dV, dA) durch ZusammenstoDe auf den
e-ten Teil abgeklungeii ist.
Es schien mir zuriachst verlockeiid, in dieser Impulsabklingzeit, die von H.Pr o h lich (Buch, S. 184/185) eirigeheiid diskutiert worden ist, und die auch in der zitierten Arbeit von F r o h l i c h uiid M o t t (1939) in den Vordergrund gestellt wird,
eine Art Universalmittel zur Behandlung aller Probleme mit nicht erinnerungsloschenden Sto13en zu sehen. Wie die Uberlegungen des 5 8 zeigen, kann aber
einer Zeitkonstante, die eiriem eirifacheri Verlustvorgang (sei es der Teilchenzahl
iiber alle moglichen Impzulsbereiche dA' nach den1 StoD ermitteln lassen mull, oder
des Impulses) zugeordnet ist und die sich iiifolgedessen durch einfache Integration
keine universale Bedeutung zukonimen ; die Tatsache, daD sich ini allgemeiiien Fall
die gestorte Verteilung auch in der Entstehungsrate bemerkbar macht, fuhrt
zwangslaufig zu nicht durch ein Integrationsverfahren, sondern iiur durch eine
Funktionalgleichung bestimnibaren Zeitkonstariten. Uiiter diesen Umstanden
erscheint es immerhin befriedigend, da13 uberhaupt im allgemeinen Fall, wenn
man sich niit der 1. Naherung begnugt, einfache Abklingbeziehungen von der
Form (19a), mit einem ini Priiizip aus den StoBgesetzen berechenharen Wert
der partiellen Abklingzeiten zzl usw. fiir jede Teilstorung pZ usw. angegeben
werden koniien. Was daraus fur die Entstehungsrate a und fur eine anschauliche
Deutung des ganzen Vorgangs durch s c he i n b a r eriniierungsloschende StoBe zu
schlieBen ist, wurde bereits in 9 6 diskutiert.
Selbstverstiiridlich wird man bei der wirklichen -4usrechnung der zxlusw. die
2-,y-, z-Achsen in die Hauptrichturigeri des betreffenden Kristalls verlegt deiiken;
bei nachtraglicher beliebiger Wahl des Koordinatensystems miissen sich ja die
entsprechendeii Storuiigsfuiiktioiien auch durch diese Hauptachsenwerte der zZl
usw. ausdriicken lasseii. Bei Kristallen, in denen zwei zu einer Hauptachse seiikrechte Querrichtungen iiicht voreinander bevorzugt sind, reduziert sich natiirlich
die Zahl der unabhangigen z-Werte auf 4, bei eiiiem regularen Kristall ini allgemeinen auf 2 und ini Fall der (praktisch) ohne Energieaustausch verlaufenden
StoBe, wie wir schon benierkteii, auf eine einzige ZeitgroBe, die der Inipulsabkliiigzeit entspricht. I n Fallen, wo keine Teiiiperaturgradieriteii auftreten, verniindert
sich die Zahl der Abkliiigzeitparaineter von vornhereiii auf 3 bzw. 2 bzw. 1.
Nicht behandelt sind iiii Vorhergeheiideii alle Fragen hoherer Naheruiig,
wobei a n erster Stelle der Halleffekt zu nennen ist, also eine Storulig, die derii
Produkt aus elektrischen und niagnetischen Kraften proportional ist. Dieses, an
sich auch fur ariisotrope Korper geloste, Problem, fuhrt zu einein bit, 6-Beitrag,
der von derselben Form ist wie die Beitrage 1. Naherung, kann also in engein
AnschluB a n die hier verwendete Darstellungsforrb. behandelt werden. Aiiders ist
es niit denjenigen hoheren Naheruiigen, die auch den Energiezuwachs der Elektronen im Kraftfelde berucksichtigen ; hier werden ganz neue 'liberlegungen niaDgebend, die, wie die zitierten Arbeiten von D a v i d o v und S i n u s h k e v i t c h sowie
von H. F r o h l i c h (1947) zeigen, nicht ohne Berucksichtigung der energieverzehreiiden StoDe im Gebiet hoher Elektronengeschwindigkeiten durchgefuhrt
werden koiinen.
Herrn Dr. E . S p e n k e habe ich fur vielfache Diskussionen zu danken.
P r e t z f e 1 d / 0 b e r f r a n k e n.
(Bei der Rednktion eingegangen am 8. Juli 10.19.)
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