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Das kugelsymmetrische Gravitationsfeld in einer elektrizittsfreien Welt.

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J&7.
1921.
ANNALEN DER PHYSIK.
VIERTE FOWE. BAND 64.
I. Ergffnsung u n d Umbildung der Feldgleiohungen.
In meiner Arbeit VI hatte ich auf S. 138 f i r den kugelsymmetrischen Fall im ganzen 6 Gleichungeii A bis F mit
7 Unbekannten aufgestellt (wenn die Eichung gemaB der
Gleichnng 9 auf S. 117 getroffen worden ist) und hinzugefiigt,
da8 ich eingehendere Losungsversuche zuriickstellen wollte, bis
es mir gelange, eine passende Hilfshypothese fur die 7. Beziehung zwischen jenen Unbekannten zu wiihlen. Nun scheint
mir diese durch die nacbfolgende Qberlegung gegeben zu sein,
die allerdings die Annahme voraussetzt, da6 der von mir zugrunde gelegte Faktor 1 oder e" der Gravitationsverzenng
sich auf eine Koordinate bezieht, die in der einen der beiden
Parameterfliichen dee natiirlichen elektromagnetischen Systems
liegt , in denen allein Komponenten des Sechservektors auftreten 7, und die uberdies zeitartigen Charakter hat. Diese
1) Ich werde des ofteren meine friiheren, samtlich in den Annalen
der Physik erechienenen, Arbeiten zu diesem Punkte unter den beigegebenen Nummern anfiihren:
1. Gtrnndziige zu einer Theorie der Elektrizitiit und der Gravitation.
nebst Nachtrag. 62. S. 134. 1917.
11. Das skalare Gravitationspotential. 61. S. 1. 1920.
111. Die Krilmmung des Lichtstrabls infolge der Gravitation. 61. S. 21.
1920.
IV. Die Punktbewegung im allgemeinen Bravitationsfelde. 61. S. 25.
1920.
V. fjher die Nichtintegrabilit der Streckeniibertragung und die Weltfunktion in der W e y 1schen verallgemeinerten Relstivitatstheorie.
63. 6. 93. 1920.
VI. Die Feldgleichungen der Cfravitation und der Elektrizitlt innerhslb der Materie 63. S. 115. 1920.
2) Vgl. VI, s. 122.
Annslen der Physik. 1V.Folge. 64.
37
E. Reiehenbacher.
578
auch im allgemeinen Falle sehr wahrscheinliche Voraussetzung
ist offenbar dann gegeben, wenn das Feld Kugelsymmetrie
zeigt, die zeitliche der Verzerrung unterworfene Richtung also
parallel der hier nls Gerade auftretenden Weltlinie des Elektrons lauft, demnach uberall in die einzige hier vorhandene,
iiberdies ebene, Flache des Sechservektors in jedem Punkte fallt.
Gilt diese von mir geforderte Annahme, so kann ich daher
ein Koordinatensystem wiihlen, innerhalb dessen nur die Komponenten f,, und fz3 des Sechservektors von 0 verschieden sind
und in dem die Gravitationswirkung sich in einer Verzerrung
der sO-Linien au6ert. Die anderen Koordinaten bleiben entweder vollig ungeandert oder sind nur solchen Abweicbungen
unterworfen, die die Feldgleichung R = 2 Div Grad 8 zulassen,
wenn man die elektrischen Wirkungen dabei nicht berucksichtigt.l) Nun kann ich in einem solchen Systeme das E n gehen des Gravitationsskalars 8 in die Komponenten des
Fundamentaltensors auch nach der Verzerrung verfolgen und
brauche nicht wie in meiner Arbeit V I auf die unverzerrten
Koordinaten zuruckzugreifen. Er ist namlich nur in goo= e*"go,'
(also goo= e-aagoo')und daher auch in G (in derselben Weise,
d. h. als Faktor ,291) enthalten. Jetzt gehe ich wieder von
dem Ansatz fir die Weltfunktion *):
m = + & [23 5 - (Br- 2 23)
f2
4812
aus. Bei der Bildung der Variationen ist jetzt, also im verzerrten Systeme, zu beachten, da6 VG, f 2 , % und 37 nur von
8, g2 von
13 f z
r
a % abhangen, und zwar ist
--
dmp
$1
fl(e-2a
gOO'gllfo,z
+ 9~2933f~~2)
= (e-agOQ'g11fo,2
+ e+ "9922953f232)V G ,
1) Vgl. hierzu 11.
2) Vgl. hierxu VI, S. 115 u. 119.
3) Es ist doch wohl folgerichtiger, entgegen meiner fruheren Festsetzung (I. S. 178. V, S. 108) 3 wegen dee im Nenner, der Divergenz
als von %
' abhhgig anzusehen. Wurde ich
auftretenden Gliedes
g"Qgvu feu als bei der Variation undavon absehen und gleichzeitig
veranderliche Quantitatsgr6Se behandeln, so ergabe sich unmittelbar
wieder Gleichung 18 in VI, S.122.
r/a
r
f
Das Ruyelsymmetri~che Grauibation.sfeEd
USW.
57 9
. .
=
-
6 yG
2 __
6 xv
aer - :i d V G q"
p -~
8nf*
i XI'
3
- 2
1/G (sp,
(Pi') '
Bei der Variation will ich nun die ,,QuantiW,sgroSencL
a % und j@ypY yILunverandert lassen I); das kann ich
1/G'gp%*-
a XP
aber nicht mit ) % g ~ e g v ~ f ?tun,
~ da die zur Intensitiitsgrobe f,,
gehorige QuantitatsgriiSe nach &fie2) doch wohl mit 1 C h ~ y
identisch ist, der Verschiebungsvektor h$'v aber in die Weltfunktion als nicht eichinvariant nicht aufgenommen ist.
Dann crhiilt nian
-_
n' fa V G - ( - p~ $1 1)O' ,q''f;l,2+ ev[ 9 3 2 g 3 5 f ; s 2 )VC
aur -
a
v.
1) vgl.
s. 108.
2) G. Mie, Grundlagen einer Theorie der Materie, Ann. d. Pbys. 37.
S. 518/9. 1912.
37'
E. Reichenbacher.
5 80
In der bei der Variation herauskommenden Gleichung
Y
aXP
heben sich die unterstrichenen Glieder auf; die iibrigen ergeben nach DiviRion durch VG:
~-
b-8'
- vf4--(fp)'- --Hi
- [~g-(.%'2%)g2][b8
+(~'-28)9~]
Die rechte Seite ist nun nach VI, S. 122, Gleichung (18)
=
1
K(23S
- (8'
- 2 8 ) g2J [W - 281 [ 8 + ga
g]
I
Die Variation im verzerrten Systeme fuhrt also zum
gleichen Ergebnis wie die im unverzerrten, wenn
-
yf"-cff*,"
=
& [B8 - (23'- 2 8)
g2.J
[B (23- 123') 3
+ (B-B3')(W-2~P)g2+B~~-2b)8+(B?'28).B'g2]
=-- 1
2.3
88 - (8-2 ~ 3 ) 9 q 2 .
Es kann also n u r fjbereinstimmung zwischen beiden Verfahren herrschen, wenn
[Bg - (W - 2B)gZ-y= 23 l j f 4 f f 1 )
(1)
gesetzt wird. Diese Gleichung, die ebenfalls eich- und koordinateninvariant ist, will ich nun mit heranziehen, um im kugelsymmetrischen Falle die Unbestimmtheit des Problems zu beseitigen.
1)
Es ist iibrigens nach VI, S. 142, Gleichung (34)
v i 4 - (ffy
= p,
25,o
wo XOodie Ruhenergie des elektromagnetischen Feldes und p den Skalar
in der Gleichung
h,, = f,, P +
* 0
zwiechen Verschiebungsvektor h und Feldvektor f bedeutet. Man erbiilt
also such
r;,
2 8
- (W - 2B)gY = -zoo.
P
Bas kugelsymmetrisde Oravitalwlasfeld
usw.
58 1
Die Wahl der von (11 aUeh abhbgigen Grii'de 93, die
bisher der gro0eren Allgemeinheit zuliebe offen gelassen war,
ist nun in nbereinstimmung mit meinen Arbeiten V und VI
dahin zu treffen, da0 sie gleich der W e ylschen Konstanten -
1
7
geeetzt wird, damit die Feldgleichung (18) in V I in meine
friihere (VI 5 )
S1 = 2 Div Grad 'u
(2)
bei Abwesenheit der Elektrizitiit iibergeht. Ich will aber
dies gleich verallgemeinern, da die von mir in VI, S. 127,
Gleichungen (16 a) aufgestellten Beziehungen das restlose Verschwinden der elektromagnetischen GroBen unmoglich machen,
weil die Konstante x von 0 verschieden gewahlt werden muB
(Gleichung (8) auf S. 126) und daher
9 = 2DivGrad8 + hi,,
(2 a)
worin Qo die Kriimmung der urspriinglichen, d. h. gravitationsfreien, Raumzeitmannigfdtigkeit bedentet und im einfachsten
6
Falle konstant anzunehmen ist - Izj in der Zylinderwelt
(
l 2 in der de Sitterschen Welt konstanter
Einsteins, - R'
Iiriimmung .
)
11. Die Beetimmung der Fundamentalkomponente gI1.
Wiihrend die soeben getroffene Erweiterung viillig in den
Rahmen meiner Theorie des skalaren Gravitationspotentials
hineinpeSt'), ist es eine andere Frage, ob es sich mit dieser
vertriigt, die Fnndamentalkomponente gll von 1 verschieden
anzunehmen, was zu einer Vemerrung des Ruhraums des anziehenden Massenpunktes fiihrt, wie sie z. B. Einstein annimmt, um siimtliche Komponenten XP,, des verjiingten Krummungstensors zum Verschwinden zu bringen. Ich hatte in
meinen bisherigen Arbeiten von einer solchen Verzering abgesehen, aber wiederholt betont, da0 das skalare Potential
auch moglich ist, wenn man sie annimmt. I n welchem Umfange das zutrifft, will ich nun untersuchen. Dabei will ich
1)
Vgl. 11, 8. 17, (fleichung(l), worin Q durch
emetzen ware.
a,, R'
durch $2 zu
682
3.Beich enbacher.
mich aber, um im Rahmen der vorliegenden Arbeit zu bleiben,
auf das Feld eines Massenpunktes beschranken; als unverzerrte
Ausgangsmannigfaltigkeitnehme ich die E i n s t einsche Zylinderwelt an, die ftir R = 00 das Minkowskische Kontinuum mit
umfaSt und auch, wie wir sehen werden, Gelegenheit gibt, den
de Sitterschen Fall mit zu erledigen.
Dabei will ich mich der Gleichung (10) auf S. 11 nieiner
Arbeit I1 bedienen, die es ermoglicht, die lastigen Berechnungen
der Kriimmung aus den Christoffelschen und Riemannschen
Symbolen z u vermeiden. Das Linienelementquadrat (L.E. Q.)
der betrachteten Mannigfaltigkeit mit raumlicher Kugelsymmetrie sei
d s 2 = q o 0 d x 0 a + g 1 d1 r 2 + B2sin2 dcp2+R2sin2Gsin2ydW.
R
Dabei ist goo beliebig, z. B. fur die unverzerrte Zylinderwelt 1, fur die Welt konstanter Krummung RZsin2$ sin2 sins 6,
yI1 aber nur von r abhangig.
Fur zwei Dimensionen ( d z o = di9 = 0) erhalte ich im
Falle ,qI1= 1 aus der Gleichung 10, da t, die Kriimmung
einer eindimensionalen Mannigfaltigkeit, verschwindet, und ga2,
das hier die Stolle von goo vertritt, gleich Ra sin2 2- ist:
R
natiirlich ein selbstveretandliches Ergebnis, wenn man sich erinnert, daS das Riemannsche KriimmungsmaS bei Anwendung
unserer Definition von Kp,, das negative Doppelte des Gau6schen ist. Ich mochte sogleich darauf hinweisen, da6 bei
dieser Berechnung die erste Klammer in Gleichung (10) wegfiillt, da die Determinante y der Fundamentalkomponenten der
Untermannigfaltigkeit von der neu hinzutretenden Koordinate
anabhangig ist. Das wird der Fall sein, solange yll gleich 1
gesetzt wird.
Fiir drei Ausdehnungen lehrt Gleichung 10, da f = - L
!
R2 '
r
.
r .
qll = 1, gaa= y = R2 sin2--,goo(y3J= R2 sin2- sinacp, ds2 =
R
d r2 + R2 sin2
$ dcp2+ B2 sin2R
R
sin2 cp d tY2, da6
Das Kugelnymmetrische Gravitationsfeld usw.
(
1-
2
sinC-9
+ 2 ctgs y ] = -
583
6
@
.
Fur vier Dimensionen liefert sie bei dem Einsteinschen
L. E. Q.:
d s 2 = d r 2 + H 2 sin2 Z
R d y a + RZssina ~ s k ~ 2 y d i f . 2 + d x U ~
natiirlich sofort
Fde:
ds4 = d r 2
=f =
+ R2 sin'
--
R d#
Ra
1st aber im de Sitterechen
+ ZI? sin2 R sin2 y d 19%
+
si1,2
X sin2 y
sin2 A d z - 0 2 ,
so wird
6
f = - p ,y, - 1, ga2 = Ra s i n zRr ,
. Q S ~=
R 2 I in2 R sin2 9 ,
9 = ~4 sin4 R sin2 'p, goo = RBsin2 R sin2 'p sin2
,
t ~ .
E. Reichenbacher.
584
Die Fortsetzung des Verfahrens liefert, wie leicht ersichtlich,
fiir n Ausdehnungen
a=-
n (n - 1)
Rs '
woraus die G auB ache Krummung sich, wie selbstverstandlich?
n (n- 1)
6
zu ~-R 2 ergibt. Aus der Kriimmung K = - - der unR2
verzerrten Zylinderwelt kann man nun nach Gleichung (1) auf
S. 17 der Arbeit 11 die Kriimmung 9' fiir den Fall berechnen,
daB goo von 1 verschieden (aber von tounabhtngig) ist, was
man dann auch fur die de Sitterwelt spezialisieren kann. Es
ist aber dabei zu beachten, daB goo in unserem Sinne gleich
der GriiI3e I 2 der angegebenen Gleichung ist, wahrend das
dortige goo= 1 wird. Danach bekommt man fur das L. E. Q.:
+
ds2 = gO0dxo2 d r 2
+ Ii2sin2-kd y 2+ R a s h a -sinago
R
T
di?2
das KriimmungsmaB
R = - - 6 + 2 Div Grad lg 19; .
R$
(Setzt man goo= 1 1 2 sin2 R sin2 sin2 t~ mit de S i t t e r , so
3
wird Div Grad lg
Re '
Will ich nun aber noch die nur von r abhhngende GroSe
gI1anfiihren, so kann ich nicht die Gleichung (1) anf S. 17 benutzen, woran man wohl denken kSnnte, wenn man die Indizes
0 und 1 vertauscht; denn zu der Giiltigkeit dieser Gleichung
gehort die Voranssetzung (vgl. S. 15), daB der Verzerrungsfaktor 1 von der betreffenden Koordinate xo (hier also t ! )unabhlingig ist. Hier ist ja aber gerade gefordert, daB das 1
entsprechende
nur Funktion von x1 oder T ist. Ich wende
also wieder Glleichung (10) auf S. 1 1 an, in der ich ebenfallg
die Indizes 0 und 1 vertausche. Setze ich dann zunachst
g;, = 1, so erhalte ich die Kriimmung € der 023-Raume in
der Welt mit dem L. E. Q.:
l
z
+ d r 2 + R2 sin2 R
ds2 = goo d x o 2
d y 2 + R2 sin2 r s i n 2 q o dt9.$
R
und
R
6
=- R'
+ 2Div Grad lg)lg,
Bas Rugelsymmetrisclie Gravitatiomfeeld uslc.
Daher erhfilt man nach Gleichung (10) auf S. 11:
6
f =- -
R=
+ 2Div Grad lg Vg,,,,
+
2
R4sine P
6
--
. '1
R?]
R
1) Durch Auflirsen der Divergenz erhalt man die Gleichuug:
555
E, Reichenbache,:
586
Tritt nun aber zum L. E. Q. das Glied gI1d r a hinzu, so
vergrii6ert sich wiederum nach Gleichung (10) auf S. 11 f urn
das Glied
g - f = -1
911
Ersetzt man hierin den Wert von € (vgl. Anmerkung l),
so erhalt man:
sinP'p ) die fur ein nur von r abmit g,%= R2 sin1 L ,3$, = Rp sing
R
R
-
) hingegen den
r
RPsin2R
6
ebenso trivialen Ausdruck - -- -- liefert, wenn in goo noch die
R* sins
hangiges goo den selbatverstilndlichen Wert
R
Fakboren sinz q sin* 4 hincutreten.
587
Das Rugelsymmstrische Gravitatiomfeld usw.
$t = 2Div Grad 1gVg:
+
im neuen System
2
6
R
R P a i n f L cos
R
1st nun
1
(3)
~
b
=1+
Yll
sin
R
so erhdt man sofort
8
=
2Div Grad Ig
cos*
vz
i‘
~
’
R
ti
- By,
6
d. h. die Gleichung 2 a mit 8 = lg VgG wid R0 = - RP . Damit also die Kriimmung durch die doppelte Divergenz des
Qradianten der GroSe Ig
in der erweiterten Gestalt 2 a
1
wiedergegeben werden kann, ist e8 notig, - in der Form (3)
911
anzusetzen. Selbstverstiindlich gilt diese auch fir unendliche
und imagingre Werte von R (= iQ) und geht dann fiber in
Vz
6
Wiirde man dagegen, um die Konstante - Re zum Wegfall zu bringen, ansetzen
1
-_- I +
Yll
r
R
b i- Reins-
r toe* ..L
R sin -
b
r
R ein -
)- ’
R
R
R
so erhillt man genau dss gleiche Ergebnis, wie im Falle (3a).
E, Reichenbacher.
588
Noch in einem anderem Falle ist es maglich, die Gultigkeit der Gleichung (2 a) aufrechtxuerhalten, wenn man nSimlich
COB2
zIz
911 = go9
setzt. Dann wird namlich das Zusatzglied
= 2 Div Grad
S:-ctg
(1 - glJ .
In diesem Palle miiBte aber
gesetzt werden, was fur R = 00 in
8 = lg 7/so +J*
dl.
iibergehen, d. h. die Formel X in I, S. 177 liefern wifrde. Aber
mir scheint die Annahme einer von lgl/g, verschiedenen
GroBe fur &I mit dessen Deutung ale Gravitationspotential unvertraglich, wie aus der Untersuchung der Punktbewegung im
allgemeinen Gravitationsfelde hervorgeht (vgl. hierzu I, S. 155 f.
u. IV).
Fiir den Einsteinschen Ansatz
1
goo = 1 - 5 911 = -~
9
1-2
r
decken sich die beiden Falle; dann konnte man auch
gll= e - l a
(vgl. VI, S. 138) setzen. Das trifft aber nicht allgemein zu, f i r
die angesetzten L. E. Q. gilt vielmehr die Gleichung (3).
III. Die Feldgleichungen.
Ich will jetzt die so erganzten und umgebildeten Feldgleichungen aufstellen, wobei ich gleich die fur das Folgende
nicht mehr notige Gro6e sz’ eliminieren und nach 8 (VI, S. 138)
a ersetze. Ferner ist zu beachten, da6
g2 durch
ist.4 So erhalt man denn
Hierzu kommt noch die Festlegung der Eichung nach der
erweiterten Gleichung (9, VI, S. 117)
(F)
i
und es ist nach (3)
,$I1'
= 1
+
b
R sin
T
R
+ '
c o s ~-
B
1) Bei dieser Qelegenheit will ich gleich zwei Fliicbtigkeiten aiif
S. 138 der Arbeit VI berichtigen. Ea fehlt in Gleichung (A) der Faktor
d
ql1, in (B) aber goo,jedesmsl hinter - ]'%
dr
-
E. Reichenbacher.
590
ferner
= em fgij
zu setzen.
Bus (A') und (E) ist
- RZsin2 R
5 leicht
sin y
zu eliminieren:
Diese Gleichung enthalt nun ebenso wie (B') nur noch die
beiden Unbekannten 8 und yo.
Durch Umformung erhalt man:
-d%
und hieraus durch Addition und Multiplikation mit 2 1.9
*lZ
:
Diese Gleichung wurde fur die Wahl ,8 = 3 ein erstes
Integral in geschlossener Gestalt zulassen , worauf d a m eH
durch eine eleichung 2. Ordnnng und aus % y o durch eine
solche 1. Ordaung sich ergibt.
Allgemein aber will ich zwei nene Veranderliche einfiihren:
(A")
e-" a
d
= . 1 gl 1 . R-2sin-2r
e-"
dr
worms folgt
R'
. To =
6,
Bas kugelsymmetrische Gravitationsfelti w w .
591
Setzt man hiernach
in (B") ein, so erhalt man fur
3. Ordnung:
21
die Differentialgleichung
1st diese Gleichung gelost, so bestimme man nach (B')
und hieraus dann % und F,,aus den Gleichungen(A), wobei
noch eine Quadratur auszufiihren ist.')
Ich erhalte also wie Wey12) ein Problem 3. Ordnung,
will mich aber hier nicht auf seine Losung einlassen, sondern
mich dem Falle zuwenden, da6 alle elektrischen G)roSen verschwinden. Das ist zwar wegen des Bestehens der Gleichung (D')
in der Natur genau nicht m2iglich, da die Konstante x wegen
der Gleichung (8) in VI, S. 126 von 0 verschieden sein mu6,
wenn man uberhaupt die elektrischen Vektoren deuten will.
Aber 88 wird doch angenahert zutreffen, wo die Gravitation
uberwiegt, wie in der Planetenbewegung.
IV. Die Gleichungen des elektrisitiitefreien Gravitationefeldes.
Setzt man also samtliche elektrischen GtroBen gleich 0,
so hat wegen der Unbestimmtheit in den Differentialquotienten
des Logarithmus einer verschwindenden GrijBe eine etwas abweichende Behandlung der Qrundgleichungen Platz zu greifen.
1) Natiirlich sind nun noch die iibrigen GrOSen Q,, E , 8, Jp, g2 und
die Eichung au8 ihren Gleichungen zu bestimmen.
2) H. W e y 1, Eine neue Erweiterung der Relstivitiitatheorie,
Ann. d. Phys. 59. S. 130. 1919.
a. Reichenbacher.
592
In der 1. Feldgleichung (C) der Elektrizitit war aus dem
identischen Verschwinden der Div, f gefolgert worden, da6
d
sei. Natiirlich hatte auch -3~
= 0 gesetzt werden kiinnen,
dr
urn (C’)zu geniigen; dann ware aber auch im allgemeinen
Fall Div, f = 0 geworden, also ein Auftreten elektromagnetischer
Vektoren unmoglich gemacht worden. Es ist also fiir den
allgemeinen Fall die Lijsung
dessen wie geschehen,
‘PI
=
lg
$
!
=0
[8+ 2911
zu verwerfen und statt
($)7
zu setzen. Dann kann ich dies aber auch in ( A ) einaetzen
und erhalte so
- 2911 (-)d l , wo-
Urn - 8 zu eliminieren, addiere ich
durch die linke Seite zu
v F @e-rn
*
dr
wird (vgl. E ) 2):
1) Vgl. VI. S. 116, G1. (8).
2) Diese Gleichung (E’) liefert daher im elektriritjitefieien Falle die
Beziehung 5 2g2 = 0. Definiert man nun die Maasendichte b, wie ich
+
’
es VI, S. 117 G1. 10) gctan habe, dnrch b = - -, waa in eben diesem
’
8nx
Falle mit meiner friiheren Gleichung b
= -(I, S. 163,
8nx
G1. (60) zu-
sammenfallt, so erhtllt man die Beziehung b = -- wobei x immer
4 nx
die Gravitationskonstante in Anlehnung an die Poissonsche Formel bedeutet -, d. h. die Folgerung, daS das Quadrat des Gravitationavektors g
der Massendichte b proportional ist. Die GrbDc
dy
4nx
repriisentiert j a
rber auch den von mir als kinetisch bezeichneten Teil der Energiedichte
des Gravitationsfeldes (I, S. 171, G1. 85); der sogenannte potentielle Teil
fallt hier fort, d a er nur anftritt, wenn eine zweite M u s e sich im Felde
der ersten befindet. Ea wiire also die Massendichte der Energiedichte
der Gravitation gleich, eine Folgerung, die recht vie1 fur sich hat. Auch
Mie vertritt diesen Gedanken, wcnn er auch bei seiner Auffassung der
Bas kuyelsymmctriache Qravitationsfcld usw.
598
I n einer elektrizitatsfreien Welt (yo= 0, vpl= 0 ; iibrigens
wiirde auch p
‘ , = c , cpI = 0 geniigen) wird man also auf die
Gleiohnng gefuhrt:
Da man durch Division erhalt:
kenn man sofort einmal integrieren:
Die Integrationskonatante c1 steht in euger Beziehung
zur anziehenden Masse, die als Differentialquotient der Invariante
JJjlvab-dx* dx’ d x 2 dx3
nach der Zeit (isQ, d. h. durch
definiert werden kann. Far die Ruhmasee erhalt man dann,
da x1 = T , x? = Q, x 3 = 8 ist:
.I1 = 4 4 - b . l1./ )(i. .
, sin cp
r*
Nun ist b (vgl. die Anmerkung auf der vorigen Seite)
gleich 4n,:
9: ’ d. b.
also nach
zk(s)’)
Masse als eines Peeudotensors zu anderen, nklnlich den Einsteinschen,
Ergebniseen kommt. (Vgl. G. Mie, Die Einfahrung einee Koordmatensystem8 usw. Ann. d. Phys. 62. 6. 68. 1920.) Wurde man dagogen den
Peeudoteneor zum vollen Tensor, niimlich dein der Riemannscheu
Kriimmung, ergihen, wie es j a wohl im Sinue der urspriinglichen
Materiedefinition E i n s t e i n s liegt, 80 werden die Folgerungen ganz anders.
1) Hierin beeteht also eine Abweichung gegen meine bisherigeii
3
Arbeiten (I u. II), wo ich Div Grad 8 im AuEenraum 0, im Innern aber -r
e
setete, d. h. die Dichte b, vou dem Innenraum des Elektrons abgeaehen,
uberdl genau gleich 0 annahm.
Annnlan der Physa. IV. Folgfi. 6&
38
594
3.Rcicherdacher.
es wird also
$1=xlG9
1 vB
(9)
zd N/ , .ra~ =1Y / c,x T ~ I ~ ,und
17.
c1 = r M s i n i p :
Lassen sich zwei Radien r1 und rz finden, da6 fur den
ersteren 8 gleich -m , fur den letzteren aber 0 wird, so ist
c1 = x Msin y .
Die Qleichung (7) la6t sich nun nach den von uns gemachten Annahmen fiir G und gl1 leicht weiter behandeln,
wobei ich mich auf den Fall beschriinken will, da6 der Weltradius 22 unendlich groE sei; fur die anderen Falle ist das
Verfahren iihnlich. Ich setze also
gl1= 1
+b
((31. 3a),
daher
und bekomme
wenn man annimmt, da6 das Potential 94 fur unendliches r
verschwindet, Zum Vergleich wi!l ich die Formeln anfiihren,
die man erhalt, wenn man, wie ich es friiher getan hatte, die
Dichte b gleich 0 setzt, walirend alle anderen Voraussetzungen
dieselben bleiben. Dann fehlt offenbar in (31. (7) der Faktor ea
der rechten Seite, was zur Folge hat, daB in G1. (10) 8 + 1
nun wieder durch ea(= 100) ersetzt werden mu6. Nimmt
man au6erdem b = 0 an, erhalt man meine bisherigen Formeln
(vg’l. I und ILL), fiir b = - 2c, dagegen die Einsteinschen.
Es ware nun zu untersuchen, was sich aus der GI. (10)
fur Wirkungen in der Kriimmung des Lichtstrahls und der
Vorriickung des Perihels ergeben. Hierzu ist es notig, von
1) Der Faktor sin cp ist unwesentlich und nur der Genauigkeit halber
beigefugt.
2) Unter Unterdriickung des unwesentlichen Faktors ein cp.
DQS RugelsynrmeCrische Gravitutionsfeld
usw.
295
der Gleichung der geodatischen Linie auszngehen, die fiir
de8 L.E.Q.
dse = go, d.ro2+ yI1dra + r2 dcpa + rasinay d t P
lautet:
worin
die Integrationskonstanten in den sofort zu integrierenden
Differentialgleichungen zweiter Ordnung der geodatischen Linien
fW die Koordinaten xo und x2 oder sp (bei der Annahme
dza = 0) bedeuten.')
Fiir den Lichtstrahl i8t dann d s = 0,
weshalb dann sowohl Ba wie coa unendlich werden, aber so,
daS ihr Quotient
$= m
endlich bleibt.
Daher erhalt man
au8. (11) die Gleichung des Lichtstrahls:
(12)
oder
(12a)
Die Durchrechnung dieeer Gleichung lehrt nun, daS es
nur notig ist, Glieder erster Ordnung zu beriicksichtigen, we81
2c
b
halb ich - durch 1 + $, .9'] durch 1 + ersetze. Man
Son
erhalt dam
also auf der rechten Seite einen Ausdruck 3. Grades, den ich in
zerlege. I n erster Anniiherung ist dann zu erwarten, daS
E reelle Halbachse und Exzentri-
R = 1 wird, wahrend a und
____.__
1) Vgl. auch I, S. 176.
:il3*
596
3.Reiehenbader.
&at der Hyperbel bedeuten, die nach Keplers Gesetz der
Lichtstrahl darstellt; denn die Gleichung (12) ist ja nur eirr
besonderer Fall der Planetenbahngleichung (11).l) Durch
Koeffizientenvergleichung erhiilt man dann drei Beziehungen :
(I) k
2b
--1,
u(1 E3)
b
2k
(11; ----$--=-((h+2c,)rn,
O(l-EZ)
n"l-s2)
k
- E') = - nr .
Aus I (und 111) ergibt sich wieder sehr nahe (bis auf
Glieder mindestens 2. Ordnung) K = 1, da b und u klein, E groB
von l.0rdnnng ist. Dividiert man nun I1durch 111, 80 erhiilt man
- 2ak+ b = b k + 2 4 ,
W O F ~ U Swegen I wieder sehr nahe - 2u = 2c, folgt. Bedeutet
T,, den kleinsten (oder gro6ten) Abstand vom Zentrum, so iat
1
- a = yo-- und man hat - = 3- Wegen der (frble
(111)
U4 (1
s-1'
rn
1
c
kann man auch
=-1sagen. Zn derselben Gleichung
VO
wird man auch gefiihrt, wenn man in I11 urn eine Ordnung
schiirfer rechnet. Nun war
yon
E
Ich setze hierin
b (1 f E cos *)
=9d I I ' ( 1
1)
-
2a(l-
x)
J
Vgl. die Eddingtonsche Aiinahme, Naturmissenechaften VII.
Heft 20, S. 366. 1919.
Bas hugekymmch-ieche Qravitatiomfeld urn.
59 7
Lauft nun der Lichtstrahl von einer Unendlichkeit in die
andere, so wird cos iy sich von - 1 uber 1 wieder bis - 1
andern; es wachst also O, I von
s i n y von - 1 bis
+ 1 und
von
(oder umgekehrt), ilndert sich also urn
1
c
__ = 2
ro
war, um n
2e - b
+ A - .Die
7t
+ a2 - --b
oder, da
r0
Ahweichung des Licht-
TO
2c - b
strahls von der Geraden ist demnach durch den Wert -AVO
gegeben. Setzt man hierin b = 0, so erhalt man den von mir
angegebenen Wert der Kriimmung des Lichtstrahls l), fur
b = - 9 -cI dagegen den Einsteinschen, der natiirlich d a m
doppelt 80 groS wird.
Da sich die Berucksichtigung hiiherer Cilieder als von der
1. Ordnung bei dieser Ableituog eriibrigt, hat also die Annahme einer von 0 verschiedenen Dichte b i m Weltraum keinen
unmittelbaren EinfluS anf die Kriimmung des Lichtstrahls.
Es ist hierbei aber das zu beachten, was ich iru nkchsten Abschnitt dieser Arbeit zu diesem Pnnkte zu sagen habe.
Dagegen muB bei der Berechnung der Perihelwanderung
um eine Ordnung genauer gerechnet und
nach (10) gesetzt werden. Aus (11) ergibt sich d a m , wie
also
I) Vgl. 111.
S. 23f.
E. Reichenbacher.
598
Fur die rechte Seite setze ich wieder wie friiher
und erhalte durch Koeffizientenvergleichnng
(I)
k - n(,
2b
- 68)
+
3br,
2BP
4qB
= 1 - co2*
-'
Nun ist, wie ich das in (I) S. 160, G1. (49)') gezeigt habe,
die Flachenkonstante
also ergibt sich aus (111)
co2
=1-
ask
-.4n2
omTB
Die Gleichung (11) bestatigt bei Unterdriickuog der Glieder
hoherer Ordnung den Ansatz fiir cl, und (I) liefert d a m den
Wort von
2b
ca Ts- 4ne ayh: d n 2 a3
16nPas
h = 1 + -_
- 8 n P a 4 ( 1 - f i 2 )' m * ( r
a(1-6')
36)*+
~
Da 4 n2azk gegen
=
c2 T a
verschwindet, bekommt man dso
b _ -- _
8~n 2 a-2 .
flu (1 - 6')
0' Ta(1 - 8')
1 +~
Nun sei
also
Aus Gleichung (11a) ergibt sich nun wieder
Hieraus aber folgt ahnlich wie bei der Lichtkurve, wenn
1) Dae dortige A iet gleich 2B/c; c ist die normale Lichtgeechwindigkeit, T die Umlaufszeit.
Bas kugel.?ymmetrisehe Qravitationsfeld usw.
Von einem Perihel zum nachsten ilndert sich
h . 8 ~bis (h + 1 b 2 s , also cp urn
599
I,IJ
von
d. h. urn
worau~dann eine Vorriickung der Sonnennilhe um
folgt.
Im Falle des unverzerrten Ruhraumes, den ich fiir den
einfachsten halte, wird @ = 0; die Perihelwanderung sinkt also
bei Beriicksichtigung der Energiedichte der Gravitation von
der bisher errechneten &Ute des Einsteinwertes auf l/*. Bei
E i n s t e i n 8 eigenem Ansatz fiir das L. E. Q. ist p = 1, uud
(lie Perihelvorriickung ergibt sich nun zu 61e.
Auoh hier ist es interessant, die Ergebnisse mit denen zu
vergleichen, die bei der Annahme der Dichta b = 0 herauskommen. Da nun nach G1. (10)
ah30
1
--
goo
=
1
+ -a+c, - 2 f Ac,’
.’
- be,
...
wird, bleibt sonst alles dasselbe bis auf den Summanden 2,
der in sIer Formel fiir die Perihelwanderung zu 3 p hinzngefiigt wird. Dieser muB d a m durch eine 3 ersetzt werden,
wodurch dann die schon bekannten Ergebnisse im E i n s t e i n schen und in meinem Koordinatensystem sich wieder einstellen.
Ich will diesen Abschnitt nicht schlieSen, ohne zu bemerken, daS in dem von mir bevorzugten Ansatz des unverzerrten Ruhraumes, wenn also b = = 0 wird, die Formel (10)
fir das Gravitationspo tential genau den Wert
-Cl
oder
xM
- __
r ’
d. h. den Newtonschen Ausdruck ohne jede Korrektion, liefert.
Fiir andere Werte Ton b gilt dies nur in erster Nibherung.
E. Reichenbacher.
6 00
Insbesondere ergibt sich fir negative b die Unmoglichkeit,
bis ins Zentrum hineinzugehen, da ftir T < - b die Quadratwurzel
d G
imaginar wird; fur die Grenze, d. h. T = - 6
nirnmt dann das Potential 91 den Wert
und goo deli
4 C1
Wert e F an (wobei zu beachten ist, daB b negativ ist), wahrend yI1unendlich wird. Diese Uberlegungen sind aber hochst
problematischer Natur, d a jedenfalls in so gro6er Nilhe des
Mittelpunktes die elektromagnetischen Gr66en nicht unberucksichtigt bleiben diirfen.
V. Der EinfluR des widerstehendea Mittels.
Es drangt sich aber hier die Fraqe auf, inwiefern die Erfullung des gesamten Weltenraums mit Materie - bei der
grundsatzlichen Gleichsetzung von Materie und Energie - von
der Dichte der Gravitationsenergie nicht ebenfalls ihre Wirkungen in dem angegebenen Sinne auf die Krummung des
Lichtstrahls und die Veranderung der Planetenbahnen ausiibt.
Was die erste angeht, so ist sie von der Annahme des
Brechungsexponenten dieser Materie, d. h. von Dielektrizitiit E
und Permeabiliwt il abhangig, kann also erst d a m erfaSt
werden, wenn man auch die elektromagnetischen Gro6en in
den Kreis der Betrachtung zieht. Grundsatzlich ist aber zu
bemerken, da6 die Werte von E uud L sich nirgends im ganzen
Weltenraum genau konstant verhalten werden, also schon aus
diesem Grunde eine Krummung des Lichtstrahls erwartet
werden m u 4 die weder E i n s t e i n noch ich noch sonst irgend
jemand bisher erfa6t hat, so da6 also in diesem Punkte nicht
nur experimentelle, sondern auch theoretische Schwierigkeiten
noch zu uberwinden sind. Selbstverstandlich ist anzunehmen,
da6 wegen der nach dem Mittelpunkte hin zunehmenden
Dichte dieser Energiematerie die Krummung des Lichtes im
gleichen Sinne wie bei E i n s t e i n , E d d i n g t o n und mir er
folgen mu6. In diesem Zusammenhange miichte ich auf die
Beobachtungen Courvoisiers') hinweisen, die eine derartige
Wirkung wahrscheinlich machen, wenn auch das von ihm
1) Vgl. hierzu: Guthnick, Neue Untersuchungen iiber die j&hdicke
Refraktion, Naturwissenschafien VIII. Heft 26. 1920.
Das kugeEsymmeh.isehe Gravitationsfeld m u .
60 1
empirisch gefolgerte Gesetz gerade in der NElhe der Sonne zu
versagen scheint , so dal3 es noch verbesserungsbediirftiftig ist.
Immerhin scheint es mir auch aus diesem Grunde verfriiht,
schon jetzt die Besthtigung irgendeiner Thcorie durch die
Ekfahrung als sicher snzunehmen. Die Lichtstrahlkriimmung
in der N&he der Sonne scheint vielmehr sowohl in der Erfahrung wie in der Theorie eine recht verwickelt zueammengesetzte Wirkung zu eein, und wir fangen jetzt erst an, die
Schwierigkeiten in ihrer Erfassung zu erkennen.
Gunstiger dagegen scheint mir der Fall der Planetenbewegung far die Theorie zu liegen. Die Energiematerie von
der Dichte
wird auf die in ihr sich bewegenden Planeten eineii Widerstand ausiiben. Ich setze dieeen in tfbereinstimmung mit der
landlaufigen Annahme proportional dem Quadrat va der Geschwindigkeit, dem Querschnitt 76 p2 des Planeten und der
Dichte b, die, wie bekannt, durch das Quadrat cz der Lichtgeschwindigkeit dividiert werden mu8. Dann wird die a d
einen Planeten von der Yasse 4 n ( J 3 d ausgeubte Gegenkrirft
d. h. er erfahrt die Verzogerung
.
v2.n e 2 . x
.
__
4
@.p4.4fl.-n
JU~
41,
-
p3d
-
~~
4
3
c 2 . r 4 . 4 m - 3- - e d
hierin kann nach dem 3. Keylerscheii Gesetz x M =
4 n-Y i r '
TS
gesetzt werden (a groSe Halbachse, T Umlaufszeit), wenn von
der kleinen Abweichung von diesem Gesetz infolge des Einflusses der Planetenmasse abgesehen mird. So erhalt man die
Verzijgerung
u4 *
3 A Ma3
ca r 4 . 4
T?e (1
1) b ist hier nach der Annahme g" = 1 ( b = 0 ) angesetzt; fur
andere Fiille sind die Abweicbnogen gering.
E. Reichenbacher.
602
Es wird zweckmiiflig sein, sogleich durch die 3. Potenz des
Parameters p = a (1 - E % ) der Bahnellipse zu dividieren; man
bekommt dann
v'.3nM
'
cy r * .4 T e e d (1 - .sa)$
Hieraus gehfi hervor, da6 die Wirkung ahnlich wie die relatia
vistischen vom Quadrat
abhiingt, ferner aber aul3er
(+)
$
nur konstante Glieder enthalt. Ich setze also die VerzGgerung
gleich a,r;va dann ist
I)a sie in der Richtung der Geschwindigkeit wirkt, lauten die
Grundgleichungen fur die Planetenbewegung, wobei ich mich
tibrigens des klassischen Ansatzes bediene, urn den EinfluB
des widerstehenden Mittels rein zu erhalten :
d-Ly- = d iX
x
My
--__
+ ?/=)=
(z2
d3!
dt
.
Eine Integration dieser Gleichungen in geschlossener Gestalt ist nicht moglich; der Flachensatz liefert bei Einfuhrung
von Polarkoordinaten :
und der Energiesatz:
Die Elimination von t ergibt:
Bas RugeZ.ymmeh.iaehe Grauitationrtcld usw.
von
Ich vernachlhsige von nun an stet8 die hoheren Potenzen
auber der ersten nnd erhalte fur l / r :
a!
480
603
wegen der oben eingefiihrten Abkiirzung
Dies setze man oben ein nnd erhalt:
E. Reiclrenbacher.
6 04
Jetzt setze ich weiter
a=-
cos sp'
*
und unter Beobachtung obiger Abkiirzungsmoglichkeit
24
=-
COB cp'
*
De E im Vergleich zu alp3 stets hinreichend groS seiu
wird, kann man hierfiir setzen:
Drtnn wird
Das Rugelsymnrctriaelu! t3mvii!atioasfbd usw.
605
Diese GriiSen sind in die DXerentialgleichung einzusetaen,
wobei wieder hohere Potenzen von a als die erate weggelaesen
werden :
Man dividiere durch sina y' und den Ausdruck in der
ersten eckigen Klammer und kIirze wie oben ab:
_____
dql
_-
89
Da wir voii hiiheren Potenzen von oc absehen, kiinnen wir
in den mit oc behafteten Gliedern die Werte der Veranderlichen einsetzeu, die sie fur -a! = 0 annehmen, d. h.
setzen; dann erhalten wir
8. Beichenbacher.
606
1
+ T1/l
-22Cosgp
+ &2'-
92
1/ i---ta .
105
71
Insgesamt erhalt man daher die Losung
-=-e
T
a"J(1Pa
EC08 p ) S
y1-22acosp
-
P
(1 -
5
oder
+9 d y
- p'
t =-
1
8' COB
p =pe
9'
-
2a
SPY 1/ 1 - 2 & cos sp + &a n
92
105
1
mit obigem Werte von sp' und
-.f(l
P
'
co5
;[ + $ j - c o s g ,
-
f
COB
vI'V1-
2ecollp
+
t2
drp
und
und
Es findet also keine Perihelwanderung, sondern nur eine
au6erst geringfiigige Abweichung der Apsidenlinie vom Brennpunkte statt, ferner aber, wie zu erwarten, eine mit der Zeit
zunehmende Verengerung der Babn und auch eine ent-
Bas kuplcymrneirisck G'ravitatiomsfeld usw.
607
spr v nde Abnahme der Exzentrizitat. (Die noch iibrig bleibenden Integrale sind elliptische, die ihren Wert proportional
der Zahl der Urnlaufe vermehren.) Die Wirkung ist nur
klein; sie verhalt sich zur Einsteinschen Perihelwanderung wie
An der OroBe des Produktes u2(1 d gegenuber der Sonnenmasse Q R P 3B kann man die Geringfiigigkeit der Wirkung
ermessen. Immerhin ist die Neigung zur Verringerung der
Erzentrizitlt bemerkenswert, da sie fur alle Planeten erfolgen
mu6 und im Laufe der ungeziihlten Jahrmillionen doch vielleicht zu dem jetzigen Zustand einen Beitrag geliefert hat.')
Zusammenfaesung.
Durch eine Abanderung der Variationsbedingnngen in der
Weltfunktion gelange ich zur Aufstellung einer weiteren ebenfalls eich- und koordinateninvarianten Gleichung
zwischen den Gro6en des Gravitations- und elektromagnetischen Feldes.
Es werden dann die Bedingungen untersucht, unter denen
sich die Annahme einer Verzerrung des Ruhraumee der anziehenden Elektronen sich mit der Theorie des skalaren
Gravitationspotentials vertrlgt, wenn man dies als Lichtgeschwindigkeit deutet, und insbesondere der E i n s t e i n Schwarzschildsche Ansatz fur das Koordinatensystem i m
kugelsymmetrischen Gravitationsfeld als mit dieser Theorie
vereinbar gefunden.
1) Soeben lrach Fertigatellung dieser Arbeit bekam ich den Artikel
von E. F r c u n d l i c h : ,,Der Bericht der englischen Sonnenfinsternisexpedition uber die Ablenkung des Lichtes im Gravitationsfeld der
Some" in den Naturwissenschaften VIII. Heft 34. S 667ff. 1920 zu Gesicht, der sich insbesondere auch mit der vou C o u r v o i s i e r entdeckten
jahrlichen Refraktion beschaftigt. Auch nacli Kenntnisnahme dieser Abhaiidlung kann ich leider nicht sagen, daS wir einer Deutung dieser Erscheinllilg niiher gekommen sind.
600 8.Reichenbacher. Das Rugelsymmettzsehe Gravitations]
w:
Es wird sodann fur das Feld eines einzigen E l m o n s
eine Diff.-GI. 3. 0.
(B"')
Id
=
clu-1
gewonnen, auzl der sich samtliche GrdSen diesea FeldeB, zum
Teil durch Quadraturen, ableiten lassen.
Fur die zwar nicht genau, aber im Fall der Planetenbewegung mit sehr groSer Anniiherung erfiillte Annahme, daB
das elektromagnetische Feld verschwindet, wird das Problem
sehr vie1 einfacher und fuhrt zo der Folgerung, daS die
Massendichte mit der der Gravitationsenergie iibereinstimmt.
Darans werden die Ansatze fiir das Koordinatensystem im
kugelsymmetrischen Gravitationsfelde abgeleitet, die mit den
fruheren Ansatzen von Einstein und von mir in Gliedern
zweiter und hoherer Ordnung abweichen, da diese die Massendichte im Felde gleich 0 setzten.
Es werden dann die sich daraus ergebenden Folgerungen
fur die Krummung des Lichtstrahls und die Wanderung des
Perihels untersucht. Nur im zweiten Fall wird eine Abweichung festgestellt, und zwar sinkt der Wert der Perihelwanderung fur den Einsteinscken Ansatz auf 9, fiir den
meinigen von der Halfte des Einsteinwertes auf
Es wird
dam noch gepriift, inwiefern die Annabme einer den Weltenmum erfillenden Materie von der Dichte der Gravitationsenergie eine Hemmung auf den Planetenlauf ausiibt und die
Wirkung als sehr gering erkannt. Dagegen ltlSt sich noch
nicht absehen, welchen EinfluB diese Energiematerie auf die
Kriimmung des Lichtstrahls ausiibt , da hierzu die elektromagnetischen GroBen eingeftihrt werden miissen, und ob insbesondere die jahrliche Refraktion Courvoisiers hiermit zusammenhangt.
Wilhelmshnven, den 7. September 1920.
+.
(Eingegengen 10. September 1920.)
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