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Das magnetische Molekularfeld.

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832
2. Da8 magmetdsche dlotekularfeld I);
vow R h h a r d GaqPs.
1. Einleitung.
Der Erfolg, den die Einfiihrung des Molekularfeldes bei
der Darstellung des Paramagnetismus als Funktion der Temperatur2) gezeitigt hat, ermutigt mich, mich jetzt auch der
Wechselwirkung der Elementarmagnete in ferromagnetischen
Materialien znzuwenden.
Mit anderen Worten: Wahrend ich in meinei Theorie
des Paramagnetismus das C u r i esche Gesetz
x I' = const
habe, in dein x die spezifische
vervollkonimnet
Suszeptibilitiit,
T die absolute Temperatur bedeutet, will ich jetzt daran gehen,
die Langevinsche Theorie der Magnetisierung, die zu der
Formel
1
'
Y
- = Btga
Moo
-a
fiihrt, zu verallgemeinern, indem ich den EinfluB der Nachbarmagnetonen auf die Einstellung eines Elementarmagneten mit
berucksichtige.
Mit diesem Problem habe ich mich schon
fruher besch&ftigt3), jedoch ohne nahere Begriindung angenommen, daB das Molekularfeld eine feste Grol3e habe, und
daB alle Richtungen fiir dasselbe gleich wahrscheinlich seien.
Wegen dieses Mangels greifen wir die Aufgabe noch einmal an.
Die Magnetisierung oder die Verteilungsfunktion der
Magnetonenachsen hangt von der Verteilung des Molekularfeldes A und diese wiederum von jener ab, so da6 die Auf1) Vgl. auch R. Gans, Contribuci6n a1 estudio de las ciencias,
Universidad Nacional de La Plata 2. S. 207. 1918.
2) R. Gans, Annl d. Phys. 50. S. 163. 1916.
3) R. GanR, Gottinger Nechrichten 8. 197. 1910; S. 1. 1911.
Das mngnetische Jlolekularfeld.
3 P8
gabf1, die Magnetisierungskurve zu herechnen, infolge tlic.sei
wechselseitigen Abhangigkeit recht verwickelt ist.
Um die Behandlung zu vereinfachen. wollen wii die theimische Agitation vernachlassigen. tins also auf den absoluteri
Nullpunkt beschriinken. Damit haben wir auch friiher angefsngenf) unrl b b e n damals unter der unbegriindeten Annahme.
daB das Molekularfeld at& den konstanten Wert A hat. und
daB fur dasselbe alle Richtungen gleich nahi scheinlich sincl .
gefunden
tJetzt. sol1 unter %ugruiidvltyying t.iliei, strengen Theorir
fiir die Wechselwirkung der Magnet,onen dic den Gleichungen (2)
entsprecliende Beziehung abgeleitet welden.
Es schcint,, als ob wir diirch Beschriinbiing auf den absoluten Nullpunkt das P r o b l ~ mso sptvialisiert, ha,ben, daB es
prakt8isch vie1 an Int,eresse und Bedeutung verliert,, aber wiv
werden zeigen, daD das fiir T = 0 giiltige Resultat diesel:
hrheit, fiir jrde beliebige Temperat,ur gilt,, so daB die Bet,rachtungen, die wir jetzt veroffentlichen, die Grundlage abgeberi
fiir die Verallgemeinerung der Gl~ichung( l ) , die wir fur spiitei.
in Sussicht stellen.
2. Die etrenge Methode.
Ein Elenient,arniagnet vom Momente p befinde sich iiii
Felde h, der Resultanten der erregenden Kraft K und des
Molekularfeldes A (vgl. Fig. 1). Dewelbe wird sich in1 Zu-
Fig. 1.
strtnde des Gleichgewichts in Richtung yon h einstellen, da
wir j a von der thermischen Agitation absehen.
Der Beitrag des Moments dieses Magnetons zur Magnetisierung, die aus Symmetrieriicksichten in Richtung von I<
fallt, ist p cos E .
1) R. Gans, Gottinger Nachrichten S. 242. 1910.
26 *
R. Gnns.
384
Es sei 2n f ( E ) d E die Verteilungsfunktion der Magnetonen,
d. h. die Wahrscheinlichkeit dafiir, daB die Achse des Elementarmagneten einen Winkel mit I ? bildet , der zwischen
E und E
d E liegt. Dann hat die spezifische Magnetisierung
den Wert
+
m
M =Np.2nJcos
E *
f
(E)
d
E,
0
N die Anzahl Elementarmagnete pro Masseneinheit bedeutet. Fuhren wir die Sattigung M,= N p ein, so erhalten wir
wo
Die Funktion f
(E)
geniigt der Beziehung
2n
1
f ( & ) d &= 1 ,
0
denn die Magnetonachse nJuB mit der Richtung I< einen
Winkel bilden, der sicher zwischen 0 und n liegt.
Die Wahrscheinlichlieit, daB die Koniponenten von A
bzw. zwischen X und X
d X , I’ und Y
d Y , Z und
Z
d Z liegen, sei W d X d I’ d Z oder ‘in Kugelkoordinaten
fiir A W A 2 d A sin 6 d 6 d Q?, so daB die Wahrscheinlichkeit
dafiir, daB A dem Betrage nach zwischen A und A
dA
liegt und einen Winkel mit K bildet, der zwischen 6 und
6 d 6 liegt,
+
+
+
+
+
j i vWA2 d A sin 6 d 6
= 2 n W A 2d
A sin 6 d 6
0
ist. J)a j d r m E’eltle A pine (+leichgewichtslage
so gilt
(4’)
2n f
(E)
d
E
= 2n FV. =12 (7:
A sin 6 d 6.
Ferner ergibt sich aixs Fig. 1
j
COSE
- K + Ah COB 8
und
ha = K 2
E
+ A’ + 2 A K cos 6,
entspricht,
80
daB sich (3) in
2".fs
m
(6)
2
=
0
n
+
K A COB
~_4 _ J V . . ~
A2dAsin8 d 8
,/Ka+Ae+2AKcoe4
0
verwandelt .
Nun haben wir fruher gexrigt'), da8
e
uiid zwar bedeutet in dieser Gleichung
wo wir zur Abkiirzung
a
1? = 2nJcos2
(9)
&
*
f (&) d
E
1
1
gesetzt, haben, so daS nach (4)
0
1
-- - - -~
-SAadA
Mom
(Ill
VG
1/8flllY%S
i-
- A > ( -sill*
- + -I?
3%
K + A c os 3e
~K*+As+2.4XcoeB
cos28)
2%
sin t9 d A .
1) R. G e n s , Ann. d. Phgs. 8. 8. 170. 1916, Gleichung (18).
R. Guns.
386
Um dies Integral auszuweiten, mu6 man a,, und uS3
kennen, die nach (8) von B abhangen. Somit mu6 w berechnet
werden.
Zu dem Zweck multipliziere man (4')mit cos2 E und integriere von 0 bis n. Mittels ( 5 ) erhalt man
W
Da a,, und a,, Funktionen von v sind, so stellt (12) eino
transzendente Gleichung fiir v dar, die K I A , als Parameter
enthillt. Die strenge Methode hatte also v aus (12) als Funlition von K I A , zu berechnen, diesen Wert in (8) einzufuhren
und die so ermittelten Werte von a, und u33 in (11) zu substi tuieren.
Das ist rechnerisch recht kompliziert und laBt wenig
Hoffnung auf praktisch brauchbare Resultate.
Trotzdern
wollen wir (12) fiir die speziellen Werte K = 0 und K = co
losen, denn die entsprechenden v-Werte werden uns dazu
dienen, mittels eines Kunstgriffes M / M , allgemein zu bestimmen.
Man verifiziert leicht, daB fur K = 0 der Wert v = 1/3
der Gleichung (12) genugt, denn die Gleichungen (8) ergeben,
fiir diesen Fall 2a11= 2u,, = A02, so daB (12) zu der Identitat wird
Fiir K
= 00 erhalten wir durch Vertauschung der Inte-
grationsfolge
Das mqnetische Molekularfeld.
387
Es ergibt sich also v = 1 fiir den groBtmoglichen Zustand
der Ordnung der Magnetonen ( K = 03, magnetische Stittigung), wahrend im Zustande groBter Unordnung ( K =.O,
unmagnetisierter Korper) v = 1/3 gilt.
Wiirde man noch beweisen kimnen, daB
v = 2n
i
0
cos2 E . f
(E)
d
E
stiindig wiichst, wenn K von 0 bis 03 auninimt, so konnten
wir SchlieBen, daB der wahre Wert yon v fur ein endliches I<
zwischen
und 1 liegt.
Das liiBt sich nun dem Susdrucke (la) nicht 80 leicht ansehen und kann auch aus dem Integral
r=2n
s
0
COS~&.f(E)dE
unter Beachtung des Mechanismus der Magnetisierung nicht
ohne weiteres geschlossen werden, da die Verteilungsfunktioii
des Molekularfeldes A von K abhangt, jedoch ist das Resultat
sehr plausibel, und wir wollen es im weiteren annehmen, indem wir uns dieser Lucke unserer Beweisfuhrung bewuBt
bleiben.
Unser oben erwahnter Kunstgriff besteht nun in folgendeni
Verfahren. Wir berechnen die Magnetisierung ruittels (11)
erstens mit v = 1/3, d. h. unter der Annahme gleichformiger
Verteilung der Richtungen von A , und zweitens mit v = 1,
d. h. unter der Annahme grobtmoglicher Orientierung der
Vektoren A , die der Sattigung des Materials entspricht. Wir
erhalten so zwei Magnetisierungskurven, zwischen denen die
wahre Kuri~everlaufen muB.
Da wir aber zeigen konnen, daB diese beiden Grenzkurven
praktisch zusammenfallen, haben wir damit das Roblem gelost.
3. Gleiohfiirmige Verteilung von A.
Im ersten Falle (v = 1/3) erhalten wir aus den Gleichungen (8) 2a11 = 2a3, = AO2,also nimmt (11) die Form an
R. Gans.
388
uncl wenn wlr die Substitutionen machen
K
ao wird
a,=r;
A _
--z;
cOBI~=-u,
A,
t1
00
r
- du.
- 2 r x ~
-1
Far
- LU
z < T gilt
00
(15)
w o P, ( u ) die Kugelfunktion lzter Ordriurig iat, und fiir x
SQ
> 'r
daS (14) aich uniwandelt in
Benutzen wir die htegraleigenschaften der Kugelfunktionen
fin P,(u)
(u)
du = 0 fiir n =j= m ;
-1
2
~ ~ n a d(uu=) 2n+ 1
-1
und die speziellen Werte Po ( u ) = 1 ; P, (u) = u, so 'erhalten wir
Uiii diese Integrale auszuwerteii, fuhren wir dss Gausssche
Fehlerintegral
(19)
oin und definieren ferner die Funktionen
389
so
dltB
Qo = Q ist.
Y
-jjm
L)ann schreibt sicli (18)
= 2 [@&)
-
-
1
W(r),
ilk mvrite Ableituiig w n Q Ledeutet.
Nun ]&St sich leicht durch prtiellr lntegration die folgenclr Rekursionsformel ableiten
die uiw tnrlaubt, Qlund Qz durch @ ausaudruclren.
Wi, erhslten so die endgultige Forinel
@" (r)
M
-= @(T) Moo
+2
2ry
.
Mittels der Tsfelnl) fiii. 0 und @"/2 berechnet sic11
M/Mm leicht als Funktion w n 1' = R / A .
Fur kleine Werte yon 1' bedienr Inan sich der Reihe
(24)
niitt'els der
('25)
folgt. Auf diese Weise ergibt sich die folgende Tebellc.
Die Kurve in Fig. 2 (nicht die Iheuze in dem Diagramm!)
stellt M / M , ltls Funktion von K I A , nach Gleichung (23) der.
~
~
1) Z. B. E. J a n h n k e uiid F. E m d r . I'unktionentafeln, Leipzig
und Berlin 1509. 6. 33 u. 37.
R. Gans.
390
0,o
072
0,4
03
078
0,0000
0,1493
0,2915 1
-0742
1 1
0,5341
0,0289
190
192
0 , 6 7 0 r
194
1&
0,7661
0,8129
198
2,o
295
3,o
4,o
5,o
68
7 ,o
,
0,8487
0,8761
0,9201
0,9446
0,9687
0,9800
0,9801
0,9898
1,0000
co
Fig. 2.
4. Verteilung von A entaprechend der Siittigung.
Im zweiten Falle (v = 1) erhalten wir &us den Gleichungen (8)
(27)
2 a,,
6
9
=
8,2;
2 Psa = -gBoa;
891
DQS mqnetische Molekularfeld.
Setzen wir
1
2uae =.-$'a;
8
1
(-1-
2
%I
2)
1
=4 Aa'a '
und substituieren iihnlich wie im ersten Falle
so erhalten wir
Entwickeln wir mittels (15) und (16) die Quedratwurzel
nttch Kugelfunktionen, so erhalten a i r
Wir setzen
WO
-1
n=O
nnd behandeln zuerst ( M / M m ) l . Wir fuhren die Bezeichnungen ein
+I
(35)
JPn(u)e
-1
und erhalten
22 3
-
4
du
-1
R. Gans.
392
Um U, und V , zu berechnen, entwickeln wir e
eine Reihe, wodurch sich
(3
in
(37)
ergibt. Das lntegral in dieser Pormel ist nur fur gerade Werte
von n. von Null verschieden, d. h. fiir
I 2 = 2 x ( x = 0 , 1, 2, . . . oo),
wenn aiifierdern 2~ >= n, d. h. v = x ,u (p = 0, 1, 2, . . . m).')
In der Theorie cler Kugelfunktionen wird der nunierischc
Wert des ,Integrals
+
+I.
(38)J Pz
( w ) . a ( ~ + p ) du =
-t
) Z (2 u+ p )
2 p y ( 4 x+ 1 ) 1 1 ( 2 x + 2 p4x+ 1
X ( p ) 1 7 ( 4 x + 2 p + 1)
2
abgeleitet, so daB
Ahnlich erhiilt man
&I dieser Formel mulj 7~ ungerade sein, d. h.
und auhrdem 2 v
1 Z m, so dafi wir
v = x + , u ( p = O , 1 , 2, . . . m )
setzen konnen, denn sonst ist Ti, = 0. So folgt,
+
n(2x
(41)
2za(x+p)
p=o
22p
7c
2=
2% -t 1
+ 2p + 1)D(2x + p + 1) - .
- a nlp)n!%
+p)X(4x + 2 p
+ 3)
Setzt man (39) und (41) in (36) ein, so erhillt man
I
+2p+
L2 2 %
1
[l-p 4 x + 2 p + 3
1) Vgl. z. B. H. W e b e r , Die partiellen Differentialgleichungen
der mathematischen Physik 1. S. 293. Braunechweig 1910.
Dns m.cqqaetir;che MolekJa,rfeErl.
399
l”u1nt.n wir noch mittels (20) die Funlitionen CJ ein, so
w i d schliel3lich
+ Z p ) I I ( B x + p)17(p)IT(x + p,!X(4x + 2 p + I)
n(2x
(43)
.=o
p=u
22”-1
-
Fur klrine Wrrte w n r’ ist es bequemer, cZ?
in (42) in
rinr Rrihe zu entwickrln, wodurch sich d a m ergibt
Analog transformiwen wir (J[ J l m l a [vgl. (:34)]. M i t t r l ~
der Gleichungen (35) erhalten wii
/
und setzen wir 9 = f ,
R. Gnns.
394
odes, wenn wir die Reihenfolge der Summationen beziiglich
und 1 vertauschen und beriicksichtigen, dal3
ist,
(47)
#(?XfL’(x
+ I ) 1 7 ( 2 x + ‘ 2 y_) I T ( i _x + p +~ 1) .~
Diese Formel scheint reichlich unbequem, aber die dreifache Summe ist gut konvergent, so dal3 die numerische Auswertung ohm Schwierigkeiten VOY sich geht. Es ergibt sich
vi
@’‘)
[0,70416
+ 0,05834 r”+ 0,00436 r’4
+ 0,00031 r‘6 + ...].
5. Die numeriechen Rechnungen.
Uin die numerischen Werte von ( M / M , ) , nach (43) zu
ermitteln, haben wir On nach der Rekuisionsformel (22) bereohnet und geben in folgender Tabelle dies? Werte fiir einige
Argumen te .
0,o
1,0
1,6
2,O
0,o
0,8427
0,9661
0,9953
090
0,2138
0,3938
0,4770
090
0,1131
0,3900
0,6329
090
0,0753
0,5235
1,2518
So sincl wir in die Lage versetzt, M/-Mm als Funktion von
iind mittels (29) auoh als Funktion von
mittels (48), (44) und (48) zu berechnen, und erhalten die
folgende Tebelle
-
1h.s magnetische ,Moleku.lnrfeld.
1-,z
M
0,0000
0,0573
0,3184
0,6323
0,8233
0,9687
0,9800
0,9861
0,9898
1.0000
0,0000
0,2735
0,2757
0,1330
0,0364
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,3308
0,5941
0,7653
0,8597
0,9687
0,9800
0,9861
0,9898
1,0000
39 5
R
r = -
0,0000
0,4743
0,9486
1,423
1,897
3,794
4,743
5,692
6,040
03
6. Ergebnieee und SchluOfolgerungen.
Tragen wir die so erhalteneii Werte durch Kreuze 111s
Diagramm der Fig. 2 ein, so sehen wir, dal3 die beiden Grenzbzw. 7' = 1 berechnet sind, praktisch
kurven, die niit w =
zusammenfallen, so dal3 es gleichgiiltig ist, ob die Verteilung
cler ilchsenrichtungen von -4 so geordnet oder so ungeordnet
wie moglich ist. Also fallt die wahrr Iiurve mit, irgendeiner
d ~ beiden
r
Grenzkurven zusamnien.
Wir durfen also als Magnetisieriii~gskiirve in1 ahsolut,en
Nullpunkte die Forniel (23)
benutzen, die sehr einfach und fiir die numerischen Rechnungeii
wegen der existierenden Tafeln fur das Fehlerintegral und
wine zweite Ableitung sehr bequem ist.
Wir ,konnen ferner den Satz aussprechen : Im absoluten
Nullpunkt kiin/nen alk Richtungen des Molekularfeldes fur die
Berechnung der Magnetisierungskurve als gleich wahrscheinlich
angesehn werden.
Paul H e r t z und ichl) haben dies Resultat bereits 1910
plausibel zu machen gesucht, ohne daS wir es wirklich beweisen konnten.
Der obige Satz, den wir somit fiir den absoluten Nullpunkt abgeleitet haben, gilt aber a fortiori fiir irgendeine
1) R. Gens, Gottinger Naohriohten S. 240. 1910.
996
R. Guns. Das mayvaetische Molekularfeld.
andere Temperatur, denn bei hoheren Temperaturen kommt
die thermische Agitation hinzu, und sowohl diese als auch die
Wirkung der Molekularfelder arbeiten der Parallelorientierung
der Magnetonen entgegen.
Wenn es nun nach Obigeni erlaubt ist, mit einer gewissen
falschen Richtungsverteilung der Moleknlarfelder zu rechnen,
wenn diese allein die Unordnung hervorrufen, wird es um so
mehr gerechtfertigt sein, wenn die fehlerhafte Annahme sicb
nur auf die eine der beiden existieienden Uisachen der Unordnung bezieht.
So konnen wir also den oben formulierten Satz verallgemeinern, indein wir in demselben die Worte ,,im absoluten
Nullpunk t ' ' im terdr iicken.
Hiermit haben wir vie1 gewonnen, denn wii haben die
analytischen Schwierigkeiten, die der Berechnung der Magnetisierungskurve im Wege stehen, wesentlich verringert.
L a P l a t a , 18. Februar 1918. Instituto de Fisica.
(Eingeguogen 20. h i 1920.)
Drtick von Metzger & Wittig in Leiprig.
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