close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Das Milnesche Problem bei anisotroper Streuung (Anwendung auf thermische Neutronen).

код для вставкиСкачать
Das M i l n esche Problem bei anisotroper Streuung
(Anwendung auf thermische Neutronen) '1
F'on D. L y o n s
Mit 3 Abbildungen
Inhaltsiibersicht
Es wird das beriihmte M i l n esche Problem von neuem aufgegriffen und
gezeigt, dafi sich das ,,Standard-Problem" (s. Text) ohne besondere analytische Hilfsmittel (wie Funktionentheorie) in sehr guter Naherung losen lafit,
aber nur, wenn nian von vornherein Anisotropie des elementarcn Streuaktes
nnnimmt. Die Dichteverteilung am Rande des Mediums wird nach Exponentialintegralen entwickelt. Der ,,isotrope" Fall lafit sich durch Extrapolation daraus gewinnen. Nach dieser Methode ergibt sich auch ein trivialer Beweis
der bekannten ,,Hop f - Br ons t c in - Beziehung". Es wird begriindet, weswegen
die Behandlung bei isotroper Streuung so eufierorden tlich kompliziert ist. Die Abweichungen von der Isotropie, soweit sie nicht schon in der Transportweglange eiiibegriffen sind, miissen sich experimentell merklich aufiern.
I.
Die Problenistellung ist dieselbe wie bei P l a c z e k 2 ) (,,Standardproblem"),
nur mit dem Unterschied, da13 das dort vorausgesetzte isotrope Streugesetz
hier durch ein allgemeineres ersetzt wird. Die Streufunktion enthalt bei uns
noch ein Glied, das quadratisch vom Kosinus des Streuwinkels 8, um den das
thermische Keu tron aus seiner urspriinglichen Bewegungsrichtung abgelenkt
wird, abhangt. Ein Parameter kennzeichnet den Grad dieser Art von Anisotropie. I n je einem Spezialfall ergibt sich entweder das isotrope Gesetz mie
bei P l a c ze k bzw. das der R a yleighschen Phasenfunktion en tsprechende,
das von C h a n d r a ~ e k h a r ~untersucht
)
wurde. Ein Glied in der Streufunktion, das linear vom Kosinus des Winkels 8 abhangt, stellt sich fur unsere
Untersuchung als von untergeordneter Bedeutung heraus, und wird nachtr&gIich leicht durch eine Einfiihrung der Transportweglange beriicksichtigt.
Wir wollen diesen Punkt nur fliichtig beriihren und lassen dann besagtes
Glied in der Streufunktion fort. Die Feldfunktionen werden dedurch nicht
beeinflufit. Z. B. ist die Winkelverteilung am Rande vollstandig unabhangig
von diesem linearen Glied. Voraussetzung ist naturlich, daB die Absorption
im Mediuni vernachlassigt wird.
1 ) Mitteilung aus dem KernphysikalischenInstitut Zeuthen-Miersdorf der D. A. d.W.
zu Berlin.
2 ) G. Placzek u. W. Seidel, Physic. Rev. 73, 550 (1947).
3) S. Chandrasekhar, ,,Radiative Transfer". Oxford 1950.
401
D . Lyons: Das Milnemhe Problem bei anisotroper Streuung
Wir wiederholen kurz die Problemstellung. Untersucht werden die Transporterscheinungen fur Keutronenstrahlen, die in einem absorptionsfreien
Medium nach dem bestimmten Gesetz gestreut werden. Das Medium ist einseitig, etwa nach rechts hin, unbegrenzt, wahrend sich links als Begrenzungsflache eine seitlich unendlich ausgedehnte ebene Oberflache befindet, auf die
von der dem Medium abgewandten Seite, also von links, keine Neutronen auftreffen sollen. Dagegen bedindet sich auf der anderen Seite in einiger Entfernung von der Begrenzungsebene (also einige freie Weglangen weit) eine thermische Neutronenquelle. Man denke dabei an die Verhaltnisse in einem Pile.
Die Neutronenquelle dient dazu, einen konstanten Nettostrom thermischer
Neutronen in Richtung der Oberflache aufrechtzuerhalten. Die gemachte
Voraussetzung, daI3 namlich die Absorption der Neutronen in dem Medium
zu vernachlassigen ist, laBt sich rechtfertigen, indem man das Neutronenfeld
nur in Abstanden vom Rande betrachten will, die klein gegen die Diffusionslange sind. In diesem interessierenden Feldraum sind dann auch raumliche
thermische Neu tronenquellen zu vernachliissigen.
Die wesentlichsten Ergebnisse unserer Untersuchung sind folgende: Die
Neutronendichte an der Oberflache ist nicht mehr genau 1 3 pro EinheitsNettostrom, wie die bekannte H o p f - B r o n s tein-Beziehung das fur isotrope
Streuung ___
fordert. Genauer ergibt sich, daR die Dichte groBer als dieser Wert
ist, wenn cos2 8 > 'I3, dagegen kleiner, wenn Z
O < '1% Die Betriige dieser
Abweichungen lassen sich leicht angeben, wenn eine verallgemeinerte Hopf Brons t e i n sche Beziehung benutzt wird. Aus dieser neuen Beziehung kann
man dann weiter durch einfache Abschatzung entnehmen, daI3 sich die sogenannte Extrapolationslange urn weniger als 104von der fiir isotrope Streuung
abgeleiteten unterscheidet. (Voraussetzung sind natiirlich gleiche Transportwegliingen). Der Dichteverlauf in unmittelbarer Naheder Oberflache hiingt
dagegen wesentlich von dem Unterschied zwischen cos28 und dem ,,isotropen" Wert lI3 ab.
Die Aufstellung der Fundamentalgleichung, die den Diffusionsvorgang
beschreibt, ist etwas verwickeltd). Wir haben zwei Grenzfalle :
1. w, = 0, w, = 1;
2. w, = 1, w, = 0.
Uns wird spater nur 2. interessieren. w,
und w, sind Streu- und Absorptionswahrscheinlichkeit.
Grenzhll 1
Ein Beispiel. - Auf die Begrenzungsebene z = 0 (Abb. 1)fallt ein vorgegebenes
Spektrum @ (0, p) von links ein. p ist
die Geschwindigkeitskomponente, also
p = cos 6, wenn der Betrag von vgleich 1.
Es werden keine Strahlen zuruckgestreu t,
also @ (0, p) = 0 fiir p > 0.
') W. Verde u.
Sffah/
Abb. 1. Schematisch: EinNeutronenstrahl tritt in das Medium ein. 8 ist
der Winkel, den der Strahl mit der
positiven z-Ache einschliel3t. Die Geschwindigkeit w ist Eins, so daf3 p =
cos 6 = Komponente der Geschwindigkeit in Richtung z
G . C. Wick, Physic. Rev. 71,862 (1944).
Ann. Phyeik. 7. Folge, Bd. 1
2i
402
Annalen der Physik. 7. Fdge. Band 1. 1958
Es sei
1
.I9) (0, p) d p = 1,
0
so ist
(? (z, p) = 9) (0,
p) e-u
die Wahrscheinlichkeit, einen Strahl innerhalb d p hinter der Ebene
t,reffen. 2 ist in Einheiten der freien Wegliinge zu messen.
Die Fundamentalgleichung (Absorptionsgleichung) lautet
2
anzil.
+
Wenn w,
0 ist, so sind die Verhiiltnisse natiirlich wesentlich komplizierter.
Wir haben (Boltzmann-Gleichung):
wo a als Operator gedacht ist, der auf den Geschwindigkeitsraum wirkt und
vorhin einfach Einheitsoperator war. Jetzt triigt a allgemeinen tensoriellen
Charakter. Es ergibt sich, darj gilt:
Hier sind
Po=l;
P , = T ,5u s - T p ,3. . .
P,=,u; p2=+;-,
die Legendreschen Kugelfunktionen, und die Eigenn-erte bestimmen sich zu
+
--
b, = ZU, u',(1 -- PZ(cose)),
wo cos 0 der Kosinus des elementaren Ableukwinkels ist und der Mittelungsstrich sich auf das elementare Streugesetz bezieht. Die Formeln ergeben sich
aus einfachen Wahrscheinlichkeitsiiberlegungen (s. etwa Wic k4)).
Grenzfall 2
.
Hier bat man nacb leichter Umformung
wo
und
Die offensichtliche Eigenschaft des ,,Nettostromes", niimlich durch das Medium hindurch konstan t zu sein, erlaubt eine wesentlich allgemeinere Formu-
D. Lyons: Daa Milnesche Problem bei aniaotroper Streuung
403
lierung der Randbedingung bei z = 0 als in 1. Wir setzen
1
yl =
-
u
, tp (z, ,u) d,u = 1
(,,Stromnormierungc')
und konnen verlangen
tp (0,p) = 0
fur 0 < p 5 1.
Dadurch ist das Problem eindeutig bestimmt. Die Randbedingung besagt
(Abb. l),daR von links keine Strahlen in das Medium eintreten.
Das Problem in dieser Fassung konnen wir ah Verallgemeinerung des
Placzekschen ,,Standardproblem" auffassen. Der Lijsung wenden wir uns
jetzt zu.
Die Aufgabe der Losung des Problems besteht im wesentlichen in dem Auffinden der ,,Dichte" yo, wo nach dem vorhergehenden :
1
yo = yo
s
(4= -1 v (z,P) 4.
Alle anderen Fragen lassen sich dann leicht nach Losung dieser Aufgabe beantworten, etwa die nach der Auffindung der Winkelverteilung am Rmde (z = 0).
Was den asymptotischen Verlauf der Dichte fiir groRe z betrifft (in Zukunft
denken wir uns immer z in Einheiten der Streuwegliinge gemessen), so wird
schon der gewohnlichen Diffusionstheorie zufolge die Dichte linear mit z
anwachsen. Dies geschieht aber natiirlich nur so lange, bis die hier vernachlassigte Absorption und eventuelle Quellen das verhindern. Man bekommt
yo-
(1 -
Ke)
z.
Um auch den Verlauf der Dichte fur kleinere z (einschlieRlich z = 0) zu beschreiben, fugen wir (nach dem Vorgang von Milne) eine Funktion q von z
hinzu. Da sich aber unsere Theorie auf ein allgemeines elementares Streugesetz bezieht, wollen wir das beriicksichtigen, indem wir q noch abhangen
lassen von den Koeffizienten q ,wobei sich aber spater herausstellt, da13 der
zweite praktisch ausreichend ist. Wir fuhren an Stelle von w 2 eine ,,charakteristische Zahl" x ein, die einfach mit o2zusammenhangt und gegeben sein
sol1 durch: .
__
= 15 cosa e (3 5 5 9).
(1, 1)
Wir haben dann
yo=(i-~cos)~+~
XI.
(z,
Der Fall x = 5 ist von verschiedenen Autoren naherungsweise behandelt
worden (,,isotroper Fall"). Eine kritische Zusammenstellung der Ergebnisse
findet man in dem Buch von Kourganoffs). Wir greifen heraus.
Ed d i n g t on setz t naherungsweise
wo
03
E,
6)
s.
(2) E
/'
at
-e-zt
t"
(Exponentialintegrale).
V. K o u r g a n o f f , ,,Basic Methods in Transfer Problems", Oxford 1962.
27*
404
Annalen der Phyeik. 7. Fdge. Band 1. 1958
Das ergibt gute Resultate innerhalb des Intervalls von z = 0 bis 00, ist aber
an den Grenzen ungenau.
P l a c z e k nimmt als Ausgangslosung fur ein Iterationsverfahren:
zo-3).
(
Diese Naherung ist so gewahlt, da13 sich an den Grenzen die genauen Werte
q=zo-
(x w
e-"Z
;3>
ergeben. P l a c z e k findet
Z, = 0,7104,4509.
(1, 2)
C. Mark6) hat auf Grund einer exakten Theorie von P l a c z e k die
genauen Zahlenwerte fur die Funktion q fur einige Werte von z berechnet,
von denen wir spater gelegentlich Gebrauch machen werden.
Der Fall x = 6 (Rayleighsches Streugesetz) ist von C h a n d r a s e k h a r
behandelt worden. Er findet
z0 = 0,71139.
In der gegenwartigen Arbeit wird nun fur alle moglichen ganzen Zahlen
fur x das q berechnet (x = 3 bis 9), und zwar, indem q (lihnlich wie bei
E d d i n g ton) durch eine Summe von Exponentialintegralen dargestellt wird.
Die Entwicklungskoeffizienten in dieser Darstellung werden exakt genug
nach einem einfachen Verfahren bestimmt, das allerdings in dem erwahnten
Fall x = 5 versagt (s. Abschnitt V SchluB).
wo
11.
Aus der B ol t z m a n n -Gleichung
CUD 1) v = 2 0 , PZY,,
+
(11, 1)
konnen wir eine Reihe von Gleichungen ableiten, die wir als ,,Transportgleiohungencc oder auch ,,Fokker - P l a n e ksche Gleichungen" .bezeichnen
werden.
Wir setzen
1
[v
Pn (4= -
(27
(Yo = yo3 Pl = n).
1u) d P P ;
D a m lauten die ,,Planckschen G!eichungen", wenn coo = 4, o, = 0 ist,
Dvl = 0
Dv2
3 Dy3
3Da (
~
1
+
+ (5
v1=
-2
+ 3 ~ 3 ) (52
usw .
~
4
-
0
0 2 ) y2
02)
(7
(11, 4)
=0
-2 ~
3 y2=
)
0
Die dritte Plancksche Gleichung z. B. kann man etwa so herleiten:
6)
C. Mark, Physic. Rev. 72, 558 (1947).
D. Lyons: Das Milnesehe Problem bei anisotroper Streuunq
405
Die weiteren Glieder auf der Techten Seite sind fortgelassen, da sie wegen der
Orthogonalitatsrelationen fur die Kugelfunktionen nichts beitragen. Wir
bekommen
ergibt sich
2
TDY3
3
+ +Yl
2
+7 +
Y2
2
1
2
7j-yo = -g0, Yo -
0 , y2.
Wegen wo = 4 (fehlende Absorption) und Dyl = 0 (erste Plancksche Gleichung (II,4) wird die letzte Gleichung reduziert auf
6
2
DY3+-pz=paYa,
was offenbar mit der dritten Planckschen Gleichung (II,4) ubereinstimmt.
Die beiden ersten Planckschen Gleichungen (11, 4) lassen sich unmittelbar
integrieren. Die erste b e q t , daR die Divergenz des Stromes verschwindet,
d. h. in unserem Falle, daR - wie wir bereits vorausgesetzt - der Strom konstant ist. Wir hatten gesetzt (Stromnormierung):
qJ1=yI =
- 1.
(11, 5)
Die zweite Gleichung liefert darauf unmittelbar
42
= (2
+
20).
.
Die Integrationskonstante zo ist dieselbe Zahl (0,71 .), die uns bereits begegnet
ist. Sie ist durch die Randbedingung bei z = 0 bestimmt. Wir kijnnen das
aber auch anders ausdriicken. Wir sagen, bei richtiger Wahl der Konstrtnten
zo mussen sich die ubrigen Funktionen yz in den Plan ckschen Gleichungen
so bestimmen lassen, daB sie dann ein richtiges asymptotisches Verhalten fiir
z + 00 zeigen ;sie miissen namlich fur z + 03 in geniigend stctrkem Mafie gegen
Null streben, - derart, dal3 die Umkehrung D - 1 der Operation D einen eindeutigen Sinn bekommt. Es ist
00
D-l y = - j- y
2
(0d6.
(11, 7)
406
Annden der Phyaik. 7. Fdge. Band 1. 1958
Analoge Formeln ergeben sich dann fur die Umkehrungen der hoheren Ableitungen. Man hat dann z. B.
(11,7')
Nach diesen Behauptungen (die sich streng begriinden lieljen), konnen wir
neue Operatoren einfiihren durch
Q,= 1
Q3= (5- 2 02)
D-1
1;2 ---+-(-3
1 6
4-
4
4 \ 2
) ( -14
-03)D-2
w2
3
usw.
und haben dadurch die Moglichkeit, alle Funktionen y, mit I > 2 mit Hilfe
der Planckschen Gleichungen durch y2 allein auszudrucken; y1 = Qzy2.
Da die Dichte mit y2 iiber die Gleichung
yo
+2
Y z = 3 (z
+
zll)
(11, 9)
zusammenhangt, bleibt dann zur Losung unseres Problems nur noch eine
Gleichung aufzufinden fur y2 allein, die y2 eindeutig zu berechnen gestattet.
Zu diesem Zwecke stellen wir eine (verallgemeinerte) Miln esche Integralgleichung fiir yo auf, die wir folgendermaRen gewinnen.
Wir gehen von der Boltzmann-Gleichung (11,1) aus, die sich bezuglich x
als gewohnliche Differentialgleichung erster Ordnung auffassen liiljt. Sie ist
linear und hiingt von dem ,,Parameter p", der Geschwindigkeitskomponente,
ab. Der Inhomogenteil (die rechte Seite von (11, 1) ist offenbar so gewonnen
worden, dalj die unabhiingige Funktion q~ ( x , p) uber den Parameter integriert wurde, was auf die Funktionen y r fiihrte. Die formale Losung dieser
Differentialgleichug, bei der wir den Inhomogenteil uns als bereits bekannte
Funktion von z vorstellen wollen, konnen wir so schreiben :
+
(11, 10)
v = 2 (p -D 11-l p , yz.
Der rechterhand stehende Umkehroperator bekommt einen Sinn, wenn die
Randbedingung bei z = 0, d. h.:
9 (0,p) = 0, fur 0 < p 5 1,
(11,11)
in die Betrachtung einbezogen wird.
Wir integrieren beide Seiten von (11,10) uber ,u von -1 bis +l und nehmen
die Integration uber p in zwei Schritten vor, wobei wir den Punkt ,u = 0
des urspriinglichen Integrationsintervalls jeweils in die eine Integrationsgrenze legen. Dadurch wird erreicht, daI3 der ,,kleine Parameterwert" ,u = 0
nicht in Erscheinung tritt. Wir erhalten dnnn ejnen Ausdruck fiir yo, den
wir so schreiben wollen:
(11, 12)
Yo = 2 0 1 M , YI,
worin die Operatoren M ,folgende Rsdeutung haben :
z:
D . Lyons: Das Milnesche Problem bei anisotroper Streuung
407
Die Vorzeichenfunktion sign (x)ist definiert durch
sign
= -.X
(3)
1x1
Die Operatoren M,sind hermitisch.
Man konnte auf ahnliche Weise die Funktionen t.pn ( 2 ) konstruieren fiir
n > 1. Eine nahere Untersuchung der so entstehenden Gleichungen wiirde
aber nichts Neues bringen; sie wiirde lediglich zeigen, da13 unsere Annahme
uber das asymptotische Verhalten der Funktionen y z richtig ist (die einzelnen
Rechnungen sind zu bekannt, als dal3 sie hier vorgefiihrt werden miinten).
Wir fiihren jetzt den (im allgemeinen Falle nicht hermitischen) Operator SZ
ein durch die Gleichung
00
Q=Qo+
2 w,M,Q,,
1=2
(11,14)
worin bedeutet :
Qo= 1 - M o .
(11,15)
Indem wir y2 in der G1. (11, 12) mittels der Reziehung (11, 9) eliminieren und
q2 aus (11,6) einsetzen, erhalten wir nach leichter Umformung in
Qyo=3(Q-Qo)(z+zo)
(11,16)
eine Milnesche Integralgleichung allgemeinen Tgps fur die Dichte y,,. Im
,,isotropen" Fall fallen die Operatoren Q, und 52 zusammen, und man uberzeugt sich leicht, daB in diesem Spezialfall unsere Integralgleichung Bquivalent
der gewohnlichen Milneschen Integralgleichung ist.
In dem Vorhandensein eines Inhomogenteils unterscheidet sich unsere
Gleichung von der Milneschen. Die __
in (I)eingefiihrte Funktion q (unter der
unwesentlichen Voraussetzung, daB cos 8 = 0 ist) 1a13t sich jetzt formal so
schreiben :
q ( 2 ) = zo - m - 1 ) Qo(2
Zo).
(11, 17)
+
Die Einklammerung der -1 an dem Symbol fiir den reziproben Operator
soll andeuten, daB es sich um eine ,,bedingte" Umkehrung handelt, was besagt, dalj diese Umkehrung nur miiglich ist, wenn der Zahlenwert von z0
richtig gewiihlt ist (s. spater). In den obigen Formeln soll naturlich 9,(Z fz0)
als F u n k t i o n von x aufgefaBt werden, auf die die Operatoren wirken.
Wir haben das Ergebnis : Durch unsere Umformungen ist es gelungen, eine
formale Losung unseres Problems hinzuschreiben. Es bleibt noch zu untersuchen, wie die Umkehrung des Operators 52 zu erfolgen hat. Um diese Frage
beantworten zu konnen, gehen wir von der allgemeinen Theorie der Integralgleichungen vom Milneschen Typ aus, die im nachsten Abschnitt behandelt
werden soll.
111.
In diesem Abschnitt besprechen wir den mathematischen Formalismus
der Theorie der Integralgleichungen vom Milneschen Typ. Es sollen die
Gesichtspunkte hervorgehoben werden, nach denen man zu verfahren hat,
um eine exakte Theorie zur Losung unseres speziellen Problems zu gewinnen,
ohne - wie sonst meist ublich - funktionentheoretische Hilfsmittel heranziehen zu mussen. Wenn dadurch zwar eine gewisse Schwerfalligkeit der
Beweisfiihrung (und vielleicht - soweit sie uberhaupt durchgefiihrt wird -
408
Annalen der Physik.
7.Fdge. Band 1. 1958
auch eine mathematisch nicht ganz einwandfreie) rnit in Kauf genommen
werden muB, so sind wir dafiir in der Lage, die physikalische Seite um so mehr
hervorkehren zu konnen. Es gelingt uns, Beziehungen aufzudecken, die bei
abstrakterer Formulierung leicht unbemerkt geblieben wiiren. Diese neuartigen Zusammenhiinge zeigen eine gewisse (wie der Verfasser bemerkt zu
haben glaubt) Analogie mit einer anderen physikalischen Disziplin, niimlich
der Elektrostatik. Es erscheint (schon im Hinblick auf die leichte Verstiindigung) als zweckmaBig, diese Analogie mit in die Bezeichnungsweisen aufzunehmen.
Zunachst spalten wir unseren Operator 52 (11, 14) additiv in zwei Teile
auf, von denen der erste (und wichtigere) hermitisch sein soll. Er werde,
ohne Verwechslungen befiirchten zu miissen, ebenfalls mit 0 bezeichnet.
Der restliche Teil Or konnte spiiter mit Hilfe eines Storungsverfahrens mitberiicksichtigt werden.
Wir setzen also
52+Q+Ds;r,.
52 h a t damit die Gestalt
Q = 1 - C a2n M z n
wo a, = 1 ist. M2nsind die in (11, 13) eingefiihrten Operatoren. In unserem
9
,,Musterbeispiel" haben wir dementsprechend zu setzen :
5 - 2
-a+,
a --m
2-
-
Hier bedeutet x die ,,charakteristische" Zahl von fruher. Wir fiihren eine
,,charakteristische" Funktion Y ein durch
1
( l a 1)
Y (t) =T 2' azn P z n (4.
(Die Bezeichnungsweise ist dem Buch von C h a ~ i d r a s e k h a r ~entnommen.)
)
Wegen a. = 1 haben wir
1
f Y (t) dt = 1.
-1
AuBerdem ist Y eine gerade Funktion, d. h.:
Y (- t ) = Y (+t ) .
F i r werden eine abkiirzende Schreibweise benutzen, indem wir setzen :
W
Die Identitat (111, 4) soll bedeuten, daI3 beide Seiten als Integraloperatoren
auf eine (weitgehend) willkiirliche Funktion von t aufzufassen sind. Mit dieser
Schreibweise ist der Operator 52 bestimmt durch
(F beliebig), oder auch, da Integration uber t und innere Produktbildung')
miteinander vertauschbar sind,
$23'~
F (z) - s(e-lz-cll, F (0).
(111, 5')
111
D.Lyons: Das Milnesche Problem bei anisotroper Streuung
409
Es besteht e k e Vertauschungsrelation
Sie hat in unserer Bezeichnungsweise die Gestalt:
(QD- D S Z F
) = F (0) J e-zt.
(111,6)
(t)
Es erscheint zweckmiil3ig (namentlich im Hinblick auf die spatere numerische
Rechnung), neben Y noch eine Funktion L (s) einzufiihren, die mit Y einfach
zusammenhiingt
Wir setzen:
.
1
L(s)=
Y ( t ) t* dt
J' m'
-1
Es ist noch nachzutragen, daS (im Interesse der Durchfiihrbarkeit der mathematischen Theorie) a n die Koeffizienten ugn in der Definitionsgleichung (111,1)
der charakteristischen Funktion Y eine weitere Bedingung (neben a. = 1)
zu stellen ist. Sie la& sich an einfachsten mit Hilfe der soeben eingefiihrten
Funktion L (8) so ausdriicken: L (8) soll fur reelle 8* aus dem Interval1 von
-1 bis $1 stets positiv sein. Das ist aber, wie man leicht einsehen k a ~ ,
aquivalent damit, daS die Gleichung Y = 0 keine (reellen) Wurzeln im Intervall von t hat. Dem entspricht in unserem ,,Musterbeispiel", da13 man Yin der
Form schreiben kann:
Y ( t ) = Y (0) ' (1 - sl t2).
(111, 8)
Zwischen sound der charakteristischen Zahl x besteht dann der Zusammenhang :
so= 1 / 3 -5 - 23+
2'
und fiir Y(0) ist zu setzen:
1
Y(0) =------.
1 - 3
4
Wir setzen hier noch einige Formeln hin, die sich unter anderem aus dem vorhergehenden leich t ergeben :
1. (Q F),=,, = F (0) - j ( e - z t , F (z)) = F (0) - J f ( t )
(0
2.
(e-28,
(t)
DF)= s f (s) - F (0)
(111, 9)
..
Die zweite ist die bekannte Formel fiir das ,,Bild" (d. h. der Laplacetransformierten) von DF, also der Ableitung von F. Wir wahlten, wie ublich,
kleine entsprechende Buchstaben fiir die Bilder, z. B. hiitten wir zu setzen:
(111, 10)
(e-82, G (2)) = g (8) = L {G}.
Aus der dritten Formel bekonimt man unmittelbar Ausdriicke fiir 52 (1)
und D (z), wenn man beide Seiten nach Potenzen von z entwickelt und die
Koeffizienten vergleicht :
e-o I
3'.
D (1)= J- 1
(1)
9)
Der Beweis ist einfach.
;
Q (z) = -
5".
(0
(111, 11)
410
Annden der Physik. 7. Folge. Band 7. 1958
Wir betrachten die Gleichung
(111,12)
und fragen zunachst, welche allgemeinen Aussagen man uber die eventuellen
Losungen Fa dieser Gleichung machen kann, wenn an die Funktion Ha die
Forderung gestellt ist, daR das innere Produkt (e-sz, Ha (2)) fiir wenigstens
alle nichtnegativen Werte von s existiert.
Wir stellen drei Fundamenhlsatze, die sich aus der allgemeinen Theorie
herleiten lieBen, an die Spitze:
Satz I. Eine nicht notwendig beschriinkte Losung dieser Gleichung ist
eindeutig, wenn fiir einen Wert von z (z. B. e = 0) der zugehorige Wert von
Fa vorgegeben ist. Ha darf dazu im allgemeinen nicht identisch Null sein.
Satz 11. Wird von der Liisung Fa Beschranktheit verlangt, so ist sie
ohnehin eindeutig und strebt fiir groRe z einem konstanten Wert zu. Wenn
aber Ha = 0 ist, so existiert uberhaupt keine Losung der angenommenen Art.
Satz 111. Eine (fiir grol3e z) asymptotisch verschwindende Losung gibt
es dann (und nur dann), wenn die (positive) Losung P der zugehorigen homogenen Gleichung orthogonal zu Ha ist, d. h., wenn
QF=O;
(P,H,)=O
(111, 13)
gilt.
Die soeben formulierten Siitze genugen, um mit Hilfe der in (111,9) angegebenen Formeln die Theorie zu entwickeln, soweit sie fiir u s e r spezielles
Problem notwendig ist.
Erlauterungen zu den drei Satzen
Habe ich eine Partikularlosung im Sinne des Satzes I1 gefunden und bezeichne ich diese mit F I I , so lautet die allgemeine Losung (im Sinne des
Satzes I):
FI (2) = PII(z) const F (2).
Die const bestimmt sich aus der Anfangsbedingung. F als (etwa bereits bekannte) Losung der homogenen Gleichung
+
9F=O
sol1 im folgenden immer so normiert sein, daR fur z = 0 ist:
(111, 14)
F (0) = 1.
Auf Grund des Satzes I1 konnen wir zeiken, da13 F fiir grol3e z einen linearen
Verlauf annimmt. Zu diesem Zwecke fuhren wir eine Hilfsfunktion G (2, t )
ein, die von dem positiven Parameter t abhangt und die nach Satz 11 eindeutige Losung der speziellen Gleichung
9 G (z, t ) = e - z t
sein sol]. Wir konnen dann schreiben :
G (2, t ) = L.2-1 e-2'.
Fur F erhalten wir die Vertauschungsrelation (s. (111,6) mit F (0) = 1)
( Q D - - D Q ) F = Je-zt,
(0
D. Lyons: Das Milnesche Problem bei anisotroper Stresung
41 1
woraus wegen Sz F = 0 folgt:
Also ist
.-,
DF = $G
(2,
t),
(t)
woraus man die Behauptung direkt ablesen kann.
Indem wir jetzt Satz 111 hinzuziehen, kGnnen wir noch weitere Aussagen
uber den asymptotischen Verlauf von F (2) machen. Wir spezialisieren wiederum
die Funktion Ha in unserer Gleichung, indem wir jetzt setzen
d
und
Die entsprechendeni Losungen Fl und F, legen wir fest durch die Anfangsbedingungen :
Fl (0)= 0; F , (0) = 1.
Mit Hilfe der Vertauschungsrelation findet man dann :
Q (DFl - F,) = 0.
Wir wissen aber nach ((111, 11))bereits, da13 F , = 1. Somit ist
DFl = 1 const F.
Die const ist 0, und wir haben eindeutig Fl = z. Wir setzen jetzt weiter
+
Ha H3 = a? Hl +a; H,.
Die Koeffizienten (die Bezeichnung wegen des SpLiteren) C$ znd a: sollen
dabei so bestimmt sein, dal3 die Losung der entsprechenden Gleichung im
Sinne des Satezs 111 existiert. Wir finden
(111, 15)
Die so bestimmten Konstanten ergeben den asymptotischen Verlauf von F ,
denn setzen wir
F4 a: Fl a$ F, = z a;,
so geniigt die Differenz von F4- F3 der homogenen Gleichung, und wir haben
F4- F, = const F.
Die const ist positiv und liel3e sich ebenso wie die Koeffizienten :
a und at
berechnen, wenn das genaue Verhalten von F (auch fiir kleine z) bekannt
ware. (Wir werden spater sehen, dal3 eine so umfassende Kenntnis dazu gar
nicht notwendig ist.)
Die Funktion F ( x ) , namentlich ihr Bild f (s), kann in engen Zusammenhang
gebracht werden mit dem Bild g (8, t ) der Funktion G (z, t ) . Nach dem friiheren war G (z, t ) gemail3 Satz I1 die eindeutige Losung der Gleichung
Q 0 (2,t ) = e-Zt,
. (11, 16)
+
+
412
Annalen der Phyeik. 7. Fdge. Band 1. 1958
die wir jetzt im Auge behalten werden. Der Operator
und auch mit dt vertauschbar, und wir haben daher:
SZ ist natiirlich mit
t
Qt-tQ=O
und
Dies vorausgeschickt, konnen wir die Vertauschungsrelation in der folgenden
Gestalt schreiben :
[SZ (13
+ t ) - (D+ t ) Q] G
(2,
t ) = G (0, t )
+
JG
('7
(2,
t').
Die Absicht liegt auf der Hand, denn (D t ) hat, wenn auf die Exponentialfunktion e-zt angewandt, die Wirkung eines Nulloperators; dadurch reduziert
sich die linke Seite der letzten Gleichung dermaBen, daB wir das Bestehen der
folgenden Gleichung behaupten konnen :
worin A (t) eine zunachst willkiirliche Funktion von t ist, die aber identisch
Null sein mul3. Das a k e n n t man, wenn man das asymptotische Anwachsen
von P fur grol3e z-Werte in Rechnung setzt, dem die linke Seite der letzten
Gleichung folgen miiRte, wenn A nicht identisch Null ware. Die linke Seite
bleibt aber auf Grund des Btzes I1 endlich. Von der nun stark vereinfachten
Gleichung stellen wir das Bild her und finden
(111, 18)
Eine willkommene Eigenschaft der Bildfunktion g (s, t ) ist ihre Symmetrie
bezuglich der Vertauschung der beiden in ihr vorkommenden unabhiingigen
Variablen s und t. Es gilt also
9 (8, 4 = 9 ( 4 4.
Das folgt unmittelbar, wenn wir das Bild g, wie wir es getan haben, in Form
eines inneren Produktes schreiben:
g (s, t ) = (e-26,
G (2,t ) ) .
D a m hat man (die Variable z i n G lassen wir der Einfachheit wegen fort)s):
(0 (4,
[Q G MI) - (G (0,[Q G (43) = 9 (5, t ) - 9 (t, 4.
Das identische Verschwinden der linken Seite driickt aber gerade die Hermitizitat von Q aus.
Die festgestellte Symmetrie von g (s, t ) zieht nach sich:
G (0,t ) = 2 f (4,
was wir in (111, 18) eintragen konnen. Denn betrachten wir das Bild von
DF = G (2,t ) , d. h.
5
f (8)= 1
+ J9
( 8 , 8')
(8')
9)
Diese Schreibweise ist aus der Quantenmechanik geliiufig !
D.Lyons: Das Milnesehe Problem bei anisotroper Streuung
413
(wir konnen das ubrigens auch in (111, 18) eintragen), so liefert der Vergleich
der beiden letzten Gleichungen in Zusammenhang mit der Symmetrie von g
die Behauptung.
Nachdem wir die entsprechenden Eintragungen in (111,18) vorgenommen
haben, bekommen wir endgiiltig
(111, 19)
(8
t ) 9 (5,t ) = s t f (4 f 0).
+
Das ist der zu Anfang erwiihnte Zusammenhang. Wenn man sich die E'rage
vorlegt, was mit dieser an sich einfachen Beziehung anzufangen ist, so wird
man leicht dazu gefuhrt, unser so gewonnenes g in die Bilder der uns nun
schon bekannten Losungen Fl und F, (der entsprechenden inhomogenen
Gleichungen) einzutragen. Fl = x ist zu speziell, dagegen erscheint F2geeignet. Das Bild von F, = 1 ist offenbar gleich 115, und wir bekommen
(111, 20)
Von dieser Gleichung sollen alle unseren weiteren Uberlegungen den Ausgang
nehmen.
Wir wollen diese einzige Gleichung in ein System von vier Gleichungen
uberfiihren, indem wir uns von der eingangs erwiihnten Analogie zur Elektrostatik leiten lessen. Wir deuten das Bild von F, also f (s),als ,,Feldstlirke".
t ( 8 ) und 7 (t) seien ,,Potential" und ',,Ladungcc, und wir wollen schreiben
(die ,,Analogienrcsetzen wir in Klammern dahinter) :
1
(111,21)
((3 =-grad
sf
1
(4= r ( 7 )
(div (3 = 9 ) .
v) ,
(111, 23)
(111, 24)
Man kann leicht einsehen, da13 htsiichlich diese vier Gleichungen iiquivalent
der einen G1. (111,20) sind (wenn man noch die Definitionsgleichung (111,5) fur
den Integraloperator SZ beachtet). Die zweite unserer Gleichungen ist zuerst von
A m b a r z u m i a n und dann spiiter von C h a n d r a s e k h a r untersucht worden5).
Wir wollen sie als ,,C-Gleichung" bezeichnen6). Um einen bestimmten theoretischen Fall vor Augen zu haben, nehmen wir von ihr an, sie ware (etwa durch
ein Iterationsverfahren) bereits gelost, d. h., wir wollen die ,,Ladung" fur
das Interval1 0 < t < 1als bekannt voraussetzen. Aus der dritten und vierten
Gleichung kann man' dann f eliminieren und hat
E (4=-
1
'(3
(1 <_
5
< 0%
(111, 25)
was besagt, da13; in dem angenommenen Fall das Potential 5 (8) fur 1 2 s < 00
bei bekannter Ladungsverteilung auch mitbestimmt ist. Fiir groBe s ist der
41 4
Annalen der Physik. 7. Folge. Band 1. 1958
Verlauf sowohl von f als auch von ( sehr einfach; beide gehen wie 11s. Denn
nach der Voraussetzung ist F (0) = 1, d. h. lim s f (s) = 1, und die dritte
Gleichung liefert ein entsprechendes Verhalten fur (s). In der ,,Nabzone"
s < 1 kann man entwickeln :
E
+ a; s2
. . .)
(111,26)
wobei nach (111,21) die einzelnen ,,Potentialmomente" a
: gegeben sind
durcb :
(s) = a: - a; s
1
u: =
J Y ( t ) r] (t)tn dt.
(111,27)
0
Die ersten beiden Potentialmomente af und
sind identisch mit den fruher
gleich bezeichneten Koeffizienten (111, 15), durch die, wie wir festgestellt
hatten, das asymptotische Verhalten von F (2) fur grol3e z bestimmt ist. Die
einzelnen Potentialmomente a
: sind untereinander nicht vollstandig unabhiingig. Wie wir sehen werden, bestehen noch gewisse Relationen zwischen
ihnen. Eine andere Kategorie von Momenten sind die ,,Ladungsmomente" an,
die definiert seien durch die Gleichung:
1
j
% =- q ( t ) tn
2 "
at.
(111,28)
Sie haben, wie wir im Laufe der Untersuchung erkennen werden, eine ganz
reale physikalische Bedeutung (sie stellen die Winkelmomente der aus der
Grenzfliiche heraustretenden Strahlen dar). Man kann die beiden ersten Ladungsmomente einzeln berechnen, wenn man das Potential ( (s) in gewissen
Punkten kennt. Nehmen wir unser ,,Musterbeispiel", wo
Y ( t ) = Y (0) (1 - sg t 2 ) .
(111, 8)
In den beiden charakteristischen Punkten
so kann man leicht den Zusammenhang finden. Setzen wir nanilich in der C-Gleichung (111,22) s = so,
so wird der Nenner des Tntegranden Teiler des Zahlers, und wir haben:
6 (so)
=2P
! (0) (a1- so a&
Das entsprechende Potential in den1 zu so spiegelbildlich gelegenen Punkt -so
erhalten wir, indem wir einfach soin der letzten Gleichung durch -so ersetzen.
Wie wir sehen, stehen uns zwei Moglichkeiten zur Verfugung a1 und us auszuwerten ; einmal bei bekannter ,,Ladungsverteilung" q die auf Grund der
Definitionsgleichung gegebene und das zweite Ma1 durch Auswertung des
.,Potentials" 6 (s) in den beiden charakteristischen Punkten fso. Die zweite
Moglichkeit, die prinzipiell von groDerer Bedeutung ist, besteht aber nicht
mehr, wenn die beiden charakteristischen Punkte in einen zusammenfallen. und
das ist gerade der Fall, wenn ,,Isotropic" vorliegt, d. h., wenn so = 0 oder
die charakteristische Zahl r = 5 ist. Das Wesentliche unserer Methode kann
dadurch gerade gekennzeichnet werden,daR der bisher immer als ,,einfacherer"
,,isotroper" angesehene Fall 2 = 5 sich als ein singularer Grenzfall herausstellt; das auRert sich auch darin, daR dann kein Unterschied zwiscben den
Potentialmomenten a: und Ladungsmomenten a, mehr besteb t, beide fallen
zusammen, und die von uns durchgefiihrte Unterscbeidung von Potential
und Ladung wird wesenlos.
D. Lyons: Daa Milnescke Problem bei anisotroper Slreuung
415
Fur die numerischen Rechnungen ist es praktisch, fur das Potential 6 (s)
eine Beziehung aufzustellen auf Grund der ,,ersten" Gleichung (III,21) ; jene
ist gultig, wenn s dem Betrage nach kleiner als Eins ist. Dazu multiplizieren
wir die beiden ,,spiegelbildlichen" Potentiale 5 (+s) und 6 (-s) miteinander
und konnen dann schreiben :
Die rechte Seite wird man umformen zu
1
1
1
t+t'
0
0
Die in den eckigen Klammern stehenden Ausdrucke sind nach der ,,zweiten"
GI. (111, 22) identisch mit Eins. Beachtet man jetzt noch die von der charakteristischen Funktion geforderten Eigenschaften, so erhalt man die gesuchte
Beziehung in der Form
(111, 29)
6 (4E (-4 = L (4,
w o L (s) die in durch (111, 7) eingefuhrte Funktion ist. Die bei der Herleitung von (111, 29) vollzogenen Vertauschungen der Integrationsfolgen
sind erlaubt, weil unter der gemachten Voraussetzung I s I < 1 die Integranden
stetig sind. Die soeben abgeleitete Beziehung (111, 29) spielt in der Theorie
nicht die Rolle, die ihr in vielen Untersuchungen beigemessen wird (nach einer
Substitution von 5 (s) durch q ; sie stellt im wesentlichen die bekannte ,,Faktorisierung" dar). Sie an die Spitze der Untersuchung zu stellen, was naturlich
prinzipiell moglich ware, ist wenig zweckmai13ig5).Wir sehen sie als Hilfsmittel
fur die numerische Rechnung an.
Entwickelt man beide Seiten der soeben erhaltenen Beziehung (111, 29)
nach Potenzen von s, und vergleicht man die einzelnen Koeffizienten der Entwicklung auf beiden Seiten, so erhalt man
vm
LZ
=
:
und
2a
: a
: -
1
=2
L" (0).
(111, 30)
Man kann auf diese Wrise eine Anzahl von Relationen zwischen den a
: bekommen, wenn man immer hohere -PotenZen vergleicht. Fiir unsere Zwecke
geniigen die hingeschriebenen Relationen. Typisch ist, daB die ungeraden
Potenzen herausgefallen sind, und es steht uns keine Gleichung zur Verfugung, die uns gestatten wiirde, a: separat zu bestimmen; wir sind daher
gezwungen, a? durch ein numerisches Verfahren zu berechnen, was auch am
Ende dieses Abschnittes geschehen SOU. Zunachst wollen wir eine Reihe von
Relationen zwischen den Ladungsmomenten a, und den Potentialmomenten
3:: herleiten nach einer Metbode, die - im Falle unseres Musterbeispiels - von
der C-Gleichung (111, 22) ausgeht und mit Hilfe derer es z. B. auch moglich
ware, die soeben erhaltenen Relationen der a,* untereinander herzuleiten. Zu
diesem Zwecke schreiben wjr die zweite Gleichung (III,@22)in abgekiirzter
Form :
41 6
Annalen der Physik. 7. Folge. Band 1. 1958
wobei hier (und im folgenden) die Zeichen
deuten :
$ und $’
die Abkiirzungen be(111, 31)
Es ist also z. B. (III,28):
2 a, = J In.
Wir multiplizieren beide Seiten der obigen Gleichung mit
daraufhin beide Seiten iiber t von 0 bis 1 und erhalten:
tZ7b
und integrieren
Man kann die rechte Seite in zwei Teile aufspalten. Wenn das geeignet geschehen ist, kann man sie wieder zueinander addieren und sieht dann leicht
ein, dal3 folgende Gleichung richtig ist:
Der Grund, weswegen wir mit einer geraden Potenz von t : t 2 * multipliziert
haben und dann integriert, wird offenbar, wenn man bemerkt, daR dann der
Nenner einea jeden Integranden Teiler des Ziihlers wird. Fiihrt man die Division durch fur n = 0 und n = 1, so erhalt man unmittelbar die folgenden Beziehungen zwischen den ersten Ladungsmomenten :
1
‘y (o)
= a; - s; a;,
(111, 32)
Als letzte Gleichung haben wir noch eine t r i v i a 1e , am der ersten G1. (111,21)
unmittelbar folgende, hinzugefugt (wen n man an das Gesetz denkt, nach dem
das Potential 6 (s) fur groRe s wie l/s verliiuft). Die zweite Formel (111,32)
hatten wir auch bekommen, wenn wir die-Potentiale in den charakteristischen
Punkten miteinander multipliziert und die Formel (111,8) benutzt hiitten.
Die Formeln (111,32) stellen drei Gleichungen dar zwischen den Momenten
a,,, oc, und a2. Da die linken Seiten bekannt sind, konnte man denken, daD
dadurch hier im Falle des Musterbeispiels (wofiir die Formeln ja nur gelten)
diese drei Momente eindeutig bestimmt sind. Es stellt sich bei niiherer Betrachtung aber heraus, dal3 die drei Gleichungen nicht unabhiingig voneinander sind. Der Rang der Substitutionsdeterminante hat, wie man sich iiberzeugen kann, den Wert 2. Im isotropen Fall x = 5 sinkt er sogar auf 1herab,
- wieder ein Hinweis darauf, daR der Fall z= 5 q u a 1i t a t i v eine Ausnahmestellung einnimmt - .
Hatte man das oben angegebene Verfahren weitergefiihrt fiir n = 2
und n = 3, so hatte man gefunden, daR sich aul3er den Beziehungen zwischen
den Potentialmomenten, die wir vorhin abgeleitet hatten, nichts Neues ergibt.
41 7
D. Lyons: Das Milnesche Problem bei anisolropcr Strcuung
IV.
Die augniptotische Darstellurig von F ( x ) , der Losung der homogenen
GI. (111, 13), ist fur groBe z , abgesehen von einem bestimmten Faktor, gegeben
durch :
F (z) = a;
a:.
(IV, 1)
+
Da nach (II1,30) das ersle Moment a; bekannt ist, so bleibt nur noch eine
nunierische Berechnung von a$ durchzufiihren. ZweckmaBigerweise nutzen
wir die vorhin hergeleitete Zerlegungsformel aus. Es ergibt sich daher als
Aufgabe, die Funktion L (s) in das Produkt zweier spiegelbildlicher Poten tiale aufzuspalten :
(111, 29)
5 ( 8 ) 15 (- 4 = L (4,
wo
/' 'Y
=
. 1
1
L (s)
(t,'
fit
+st
-1
-
(111, 7)
Die Methode, eine derartige Aiifspaltung eindeutig durchzufiihren, ist gut
bekannt und tragt den Namen ,,Wiener-Hopf -Technik". Wir wollen hier
nicht auf die mathematischen Einzelheiten eingehen und wahlen niir zur Illustration ein einfaches Beispiel, wo die geforderk Zerlegung sofort angebbar
ist. Es handele sich um folgende Funktion:
(die unsere~nL (s) in qualitativer Hinsicht sehr ahnlich ist. Qualitativ entsprache sie etwa einer charakteristischen Funktion Ul, die im Interval1 von t
nahezu konstant init, Wcrten zwischen 4 und (3/e) . (i)).Wir setzen
I; ('9) = E+ (s) 6- (s),
WO
$+
(s) =
[I; (O)]' esp
-1
mit
t
c ~ ( t ) = I - ~furO<t<l;
a(t)=-1--
2
t
2
Rildet man das Produkt von [+ mit $-, so kiinnrn
in1 Exponenten die beiden Integrale in tm
' e s zusanimengefal3t werden, dcssen Integration von
-1 bis
1 Iauft. Die Funktion a ( t ) besteht aus
zwei Geradenstiicken (R. Abb. 2, ausgezogene
Knrve) nnd ist bei t = 0 unstetig; sie macht dort
h e n Sprung um zwci Einheiten. Ferner ist sie 1111gerade, und nir konnen substituieren
(IV,2)
fiir-l<t<O.
+I
+
6- (s) = &+ (-
8).
-I
VVir bekomnien, wir nian sicah iiberzeugen kann, in
L (s) = ,t+ (8)E f (Ann. Yhysik. 7. Folge. Bd. 1
t
b)
Abb. 2. Zur Rerechnung dcs
zwvitcm ,,Ladungsmomentm" 1; ( 6 . Text)
28
418
Annalen der Physik. 7. Folqe. Band 1. 1958
die gewunschte Zerlegung. Wir sctzen
6 (4 = 6+(4
und miissen das ,,richtige" a (t) so bestirrimen, wie es der vorgegehrrien charakteristischen Funktion Y entsprich t. Die zwangslaufige, aber etwas weitschweifige Rechnung ergibt fiir das a (t) folgeudr Bestimmungsgleichung :
worin
a (t, t') =
(-)t'1
2
Y'(t')
y/
(t)
-
Das Integral ist ein unbestimmtes (im Sinne C a u c h y s ) und mu13 durch Bildung des entsprechenden Hauptwertes eindeutig gemacht werden.
Fur den Fall unseres ,,Musterbeispieles" haben wir zii setzen :
und bekommen nach einer elementaren Rechnung mit st = 3
x-6.
xf3'
welcher Ausdruck in
einzusetzeri ist. x sind die charakteristischen Zahlen (I, 1) (z = 15 cos2 8 ) .
Fur t-Werte kleiner etwa 4 bekommt nian angenahert:
CL
(t) = 1 -3
- 0,0200
+0,02331
+0,0504
+3i4
+l
I t
.r
In der nebenstchenden Tabelle 1
bind die Ergebnisse der Auswertung
nach der Sirnpsonschen Regel
fur die verschiedenen charakte-
D.Lyons:
419
b a s Mitnesche Problem bei aniaolroper Streuung
V.
Folgerungen aus dem Alternativsatz.
Wir hatten den Operator Q durch (11, 14) definiert, wobei wir zur VerNull setzten. Die G1. (11, 16) laBt sich in die Gestalt
einfachung alle oL,
bringen
3
1(1 yn =7 (20 E , - E3) ;
(V, 1)
+
denn es gilt 9,(a b z) = a E , - b E3 bei willkurlichen Konstanten a und b.
Nun mu13 nach Satz I11 ((111,13)) die rechte Seite von (V, 1) orthogonal zur
Losung F ( z ) der zu (V, 1) gehorenden homogenen Gleichung sein, damit y2
(als Losung der inhomogenen Gleichung) ihrer physikalischen Bedeutung
gemal3 fiir grol3e z asymptotisch gegen Null geht. In (V, 1)sind die En = En(z)
die durch (6,4) fur n = 2 und n = 3 definierten Exponentialintegrale, die
man auch durch entsprechende Substitution der Integrationsvariablen als
Integrale zwischen den Grenzen 0 und 1 schreiben kann. Man hat dann
I n der letzten Gleichung ersetzt man die ,,Feldstarke" f durch die Ladungsdichte mittels (111,24) und findet dann auf Grund der Definitionsgleichung
(111, 27) fiir die Ladungsmomente an, dal3 da,s innere Produkt zwischen F
und En gleich ist dem Doppelten des n-ten Ladungsmomentes. Man hat jetzt
3
( F , Q y , ) = 0 =-(z0a1-as);
2
(V, 3)
also wird
a
z -2
0-a,
-
Andererseits ist nach (I) z,, als Integrationskonstanten der zweiten P l a n c k schen Gleichung (11, 4) auch gleich dem zweiten Moment der Winkelverteilung
am Rande z = 0. Das erste Winkelmoment ist wegen der Stromnormierung
(11, 5) gleich - 1. Allgemein gilt
1
an=
1)n
1
-1
(0, p) 4.
(V, 5)
+
(V, 5) la5t sich auch fur n
1,2 streng begriinden, worauf wir aber nicht
eingehen wollen. Die Integration im letzten Integral kann wegen der Randbedingung (11,11) natiirlich auch zwischen den Grenzen -1 und 0 erstreckt
gedacht werden (da das restliche Intervall nichts zum Integral beitriigt).
VI.
Die Hopf-Bronsteinsche Beziehung und Schlull
Fiir den ,,isotropen" Fall (z= 5) gilt die gut bekannte Formel f i i r die
Dichte yo bei z = 0:
(VI, 1)
Yo (0) = 1/33
28*
420
Annalen der Physik. 7. Fdge. Band 1. 1958
die wir, ohne Riicksicht auf die Stromnormierung, schreiben konnen :
0
0
JV(0,PWP.
SV(O,P)dP=-L'3
(VI, 2)
-1
-1
Diese als H o p f - B r o n s t einsche Beziehung bezeichnete Formel bildet einen
Kernpunkt des friiher schon erwahnten Buches von C h a n d r a s e k h a r 3 .
Dieser Autor hat nicht weniger als funf verschiedene Beweise fur ihr Bestehen
geliefert. Ein unmittelbar evidenter Beweis existiert nicht, was nach unserer
Meinung einen tieferen Grund hat, den wir jetzt aufdecken wollen. Nach
unserer allgemeinen Theorie lassen sich zwei Gleichungen fiir yo (0) und y2 (0)
herstellen, die die Berechnung dieser GroBen einzeln gestatten. Sie lauten,
wie wir jetzt zeigen woiien,
Yo (0)
+
+2
992
(0) = 3 zo I
X - 6
Yo m2 2wz (Q2 = 3.
(4
(B)
Durch Auflosung dieses Gleichungssystems erhiilt man
Wie man sieht, geht unsere Formel fur x -+ 5 direkt in die oben genannte
Beziehung iiber.
Zum Beweis von (A) und (B) bemerken wir, dafi (A) nach (II,9) selbstverstandlich ist; man hat dort ja nur z = 0 zu setzen. Formel (B) lafit sich
mit (111,32) und w2 = (x- 5)/4 umschreiben in
32 (3 a2- ao)2 = 3 af -a;.
(B')
Zum Beweis von (B') schreiben wir die in (111, 32) abgeleiteten drei Beziehungen zwischen a", aI und a2 noch einmal ausfiihrlich hin, wobei wir :s
3
0
durch - 2 ersetzen. Wir haben dann:
2
'fI
0
2
1 =(1 + 3 a : - 2 W 23 ( 2 a 0 a 2 - a 3
-13= ( l
++;-2w2a; 3
(
1= If-
3
3
a0--w2a2.
2
(1)
(2) (111, 32')
(3)
(Die Formel (2), die uns spiiter niitzlich werden wird, gebrauchen wir nicht
zum Beweis.) Formel (3) schreiben wir so:
(3 a2- ao) = 010 - 1.
(3')
Aus (1) und (3) erhalten wir jeweils fur 3 w 2a. a2 zwei Ausdriicke:
( ~ + $ ) a ; + ~3w ~ a ; - l und 2 4 - 2 a 0 + w2a;.
Setzt man diese beiden Ausdriicke einander gleich, so kommt
3 (3 at - a;) = (a0- 1)s.
2
D. Lyons: Das Milnesche Problem bei anisotroper Streuung
421
Der Vergleich dieser Formel mit der quadriertcn G1. (3') ergibt
+
2waP
(3 a, -
- (3 a,"- a;,] = 0.
ao)2
Setzt man w,
0 voraus, so folgt unmittelbar die Beziehung (B'), die wir
beweisen wollten. Da kein Grund zu finden ist, warum die Koeffizienten bei
w, = 0 (d. h. x = 5) unstetig sein sollten, so gilt diese Formel auch noch fur
x= 5, womit ein Beweis der Hopf-Bronsteinschen Beziehung geliefert ist.
Zur angeniiherten numerischen Berechnung von y, (0) und damit auch
q ( 2 ) (6. I) gehen wir von der Tatsache aus, daI3 sich die ,,Momente"
03
mn E 2 J E
lyz (2)
dz
0
direkt aus den Planckschen Gleichungen (11,4) ergeben. Denn nehmen wir
z. B. die dritte Plancksche Gleichung, die wir wegen
schreiben konnen :
D y 3 = 5aT2yz:
so haben wir:
1
(D-ly,)z=o= -2 mo.
Wegen
wird
5a1a:??a0= 5a3-3aor,,
und da weiter
3
so bekommt man
Benutzt man jetzt die GI. (2) (111, 32'), die man offenbar so schreiben kann:
1
- = [3 (1 - w,
"1
P, (zo,)l*,
wo P, wie fruher die zweite Kugelfunktion ist, und setzt man dies in die vorletzte Formel ein, so bekommt man einen expliziten Ausdruck fur mo. Ganz
analoge Substitutionen ageben die hoheren Momente. Wir stellen die Ergebnisse
zusammen :
422
Annalen der Phyaik. Y. Folge. Band 1. 1958
Die hingeschriebenen Momente (aber nur diese!) lassen sich mit unseren numerischen Hilfsmitteln (Tab. 1) auswerten, indem man fur zo den ,,isotropen"
Wert 0,7104 einsetzt (der, wie wir sahen, eine geniigende Naherung ist).
Der Grenzubergang mZ +- 0 (x + 5) 1aI3t sich einfach nur beim nullten
Moment durch€.iihren und ergibt eine von mehreren Autoren auf umstandliche
Weise abgeleitete Formel (der Zusammenhang m i t P , wurde nicht erkannt !)
2
9
3
m 0 = % - Pz(zo)=----zz.
10
2
0
Fur die hoheren Momente ergeben sich keine einfachen Ausdrucke, mit Hilfe
derer sie sich etwa mit alleiniger Benutzung der Tab. 1 berechnen liel3en.
Fur den allgemeinen Fall (aber x+ 5) machen wir mit E d d i n g t o n
(s. I.) folgende Entwicklung :
1Uz(Z)=AEz(X)+BE3+CEp+'..,
wobei wir uns auf die hingeschriebenen Glieder beschranken miissen. Die
Koeffizienten A , B, C werden so bestimmt, daI3 die Momente m, (n = 0,l)
und yz (0) richtig herauskommen, wenn yz durch den oben angegebenen dreigliedrigen Ausdruck dargestellt ist (eine in der Statistik ubliche Methode).
Beriicksichtigt man die folgenden Formeln fur die Exponentialintegrale,
die sich leicht aus den Definitionsgleichungen der En ergeben :
m
1
En (0) = A
n-1'
J
Ilk !
zn En ( z ) dz = __
n + m '
0
so erhalt man als Bestimmungsgleichungen fur die drei Koeffizienten A , B und C
+
A = 6 m-l - 36 mo 30 m,,
B = -36 m-l
192 mo - 180 ml,
C = 30 m-l - 180 m, 180 ml.
+
+
Die einzelnen Werte fur yz (0), m, (= 0, 1, 2) sind in der folgenden Tabelle
zusammengetragen, wobei z u ihrer Berechnung die Formeln (VI, 6) zugrunde
gelegt wurden (m-l ist eine sinngemaI3e Abkiirzung fur 2 yz (0)).
Tabelle 2
X
~~~~
- 0,6
- 0,25
0
+0,26
+0,60
+0,76
+LOO
*)
1,7426
1,7376
1,7321 *)
1,7260
1,7194
1,7120
1,7037
0,3838
0,3912
0,3993
0,4081
0,4179
0,4289
0,4414
0,1239
0,1326
0,1429
0,1660
0,1697
0,1877
0,2107
0,0674
0,0723
0,0773
0,0881
0,0778
0,0887
0,0847
0,0928
0,1028
0,1184
0,1194
0,1428
0,1763
0,2226
0,1203
0,1443
0,1760
0,2211
-
-
-
=p.
Die Gute der Naherung fur yz als dem dreigliedrigen Ausdruck kann man
uberprufen, wenn man die aus der Formel
423
D. Lyons: Das Milneache Problem bei anisolroper Streuunq
sich ergebenden Werte mit den richtigen Werten m2 (s. Tab. 2) vergleicht,
was geschehen ist, indem die angenaherten Werte Ga, in Klammern hinter den
exakten Werten ma eingetragen worden sind. In Abb. 3 ist der Verlauf von
+
Abb. 3. Die berechnete ,,Randverteilung" [2 yB = 3 ( Z z,) - y o nach (11, 9)]. y ( 2 )
ist die Dichte ale Funktion von z [= Abstand vom Rande in Einheiten der freien Wegliinge]. Die angeschriebenen Zahlen 5 = 3 bis x = 9 sind die Werte von 16 cos26.
(Mittelung uber die elementare Streufunktion); z, = 0,7104
~
2 y2, fur alle ganzzahligen x-Werte (aul3er fur den Wert x = 5) angegeben; und
zwar in Abhangigkeit von z zwischen 0,l und 0,4. Fur den isotropen Wert
x = 5 haben wir die entsprechende Kurve der Arbeit von Mark (9. I.)
en tnommen .
A n m e r k u n g b e i d e r K o r r e k t u r : Der numerische Wert fiir das Ladungsmoment am der Tabelle 1 (S. 418) wurde nachtriiglich durch Losung der nichtlinearen
Integralgleichung (111,22 (,,a-Gleichung")) mittele eines Iterationsverfahrens von neuem
bestimmt. Ah Norm der Gute dieses Losungsverfahrena galt der P l a c z e k s c h e Wert
(I,2) fur zo (S.404). Vber eine diesbezugliche Betrachtung, die anscheinend auch die
Theorie des ,,kleinen Parameters'' betrifft, welche bei Turbulenzproblemcn entwickelt
wurde, ( 8 . neue sowjetische Literatur), sol1 gegebenenfalls in einer mathematischen
Zeitschrift berichtet werden.
Z e u t h e n - M i e r s d o r f , Deutsche Akadeniie der Wissenschaften zu Berlin.
Kernphysikalisches Institut.
Bei der Redaktion eingegangen am 7. November 1967.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
2
Размер файла
1 141 Кб
Теги
anwendungen, thermische, bei, neutronen, problems, streuung, auf, das, anisotropic, milnesche
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа