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Das Problem des Winkelspiegels.

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145
Durch die Centrifulgalkraft wird bei der Rotation des
Tropfeiis seine Dicke iu der Mitte geringer, am Rande dagegen griilser; in diesem Falle steigt der Dampf leichter
durcli die Mitte herauf, die Eruptionsforin bildet sich, und
die iin untcren Theile des Tropfens liegendeu Korner merden niit nach dem Centruin fortgerissen.
Diescr Erklarung gemers iviil.de aufser der vibrirenden
Bewcgung der eiiizclncn Theilchcii des sphiiroidalen Tropfens uocli eiiie trauslatorische stattfiiideu, wenigstens bei
deli Theilchen der Gesammtoberfliiche, deiin dieselbe im
Innerii des Tropfens nufzufindcii, ist mir bis jetzt noch
nicht gelungen.
Mnestricht, dcii 12. April 1831.
XII. Dus Problem des Winkelspiegels;
con Dr. A d a m W e i f s in Ansbach.
D e r Aufsatz auf Seite 2S8 dcs 82. Bandes veranlafst inicIi
zur Veriiffentlicliung nachstehender analytischen Losuiig
des genaiiiitcn Problcms, welclies ich aus demselben Grunde
wie B e r t i n zwnr Iangst schon in den Lehrbuchern der
Pliysik vermifstc, aber dennocli wcgeii der Unwichtigkeit
der Aufgabe selbst iiicht veriiffeiitlichte ).
illN und M'W stellen zwei cbene Spiegel seiikrecht auf
der Papierflaclie, 0 ihre Axe mid MON'=y ihren Neigungsminkel vor. A ist ein leuchtender Punkt, A, ist sein
Gild iin Spiegel M N , dessen Ort, wie bekannt, dadurch
gefuiiden wird, dafs m a n mit O A einen Kreisbogen zieht
uncl i i , M = A M = n
macht. Voii A, eiitstehl im Spiegel
1 ) Znclrdeni schon der Brief an den Ilrn. Herausgeler d . ~1.gesrlrlosseii
w a r , erliiclt ich Iieute zufillig erst d a s vierte IIeft, in wclcliem Dr.
G a l l e i i k a m p ruit ganz derselben Einleitung und, so riel icll rnicli in
der Eile ubcrzeugrc, zwar auf andera W e i s e , doch rnit demselben Resulkate gcllnclitcs Problem beleuclitet.
PoggendorfPs 'InnaI.
Rd. LXXXIV.
10
146
N'N das Bild A , , wobei A , M = A , M'; A, ist ein Bild
Bild voii A , iiii Spicgcl M N , uud so geht cs fort bis endlich cin Bild aiif deli Bogeu N" fallt, vou welcheii dauo,
weil es auf den Ruckseiteu beider Spiegel liegt, keiu weiteres Bild melir erzeugt wird.
Leicht ist deinnach einzusehea
1. Bild A, ist im Spiegel M N uiid vou M um a euiferut
2. '3 A ,
M'N'
N U y+aIl
3.
A,
MN
III
2 cp +
')
J)
1)
IJ
11
1)
$1
11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Demuach
nteP8ild
Ak-1
ist von seinein Spiegel uni (k- l ) r p + a
entfcriit u s. w.
Das letzte Bild darf von seinein Spiegel nicht uin rz
uud um nicht weuiger als utn rz-rp cutfcriit seyn, damit
es iiicht atif N ' N falle; ist demnach das ntc Bild das letzte,
so gelteu folgeude Bedingungen:
- -+'I
a
n<-T
(n-l)y+a<n
(n- 1)y+a%-
daraus
y
-T J
n ->- n- - Y
V
i
a
T
J
'.
Es eiitsteht also ein gamer Zug voii Bildern hinter dem
ersten, desseu Gliederzahl voti dem Neigungswiukel der
Spicgel uiid der Eutferiiung des Gegeustaiides vom ersten
Spiegel abhiingt. Es entsteht aber vou A auch im Spiegel M ' N ' eiu Bild A,', von dies6m in M N ein Bild At',
u. s. f., somit ein lhnlicher Zug; die Zahl des letztereii
seg d , so ist, weil a liier = y - a ist, offenbar
n'<$+$
-
a
n'r%+T-l
....
Iin Ganzen giebt es also n+n'=m
die Ikdiugungeu gelteu
2.
Bilder, wobei fiir nb
147
E h e wir zur Discussion unserer Bediiigui~gsgleichungell
ubergchen, wolleii wir untersuclien, ob und wann sich einige der entstehenden Bilder deckeu, wid so gewissermafscn
die Zahl der Bilder vcrriu,-ern.
Leiclit ist einzuselieu, dafs Bilder cines und desselben
Zugcs sich ilicht deckeu. Bildcr nicht desselben Zuges
kiinnen sicli iiiir d a m decken, wenn sie iiicht von dealselbcii Spicgel herriihren, in welchein Falle ihre O r t e anch
iiicht von deinselben Spiegel, soiider~ivon dein zugebiirigen
Spiegcl aus gemessen werden. Machen nBmlich dicse zwei
Eiitfcrnungen und die Entfernung d e r Spiegel zusaniinen gerade einen Kreisumfaiig aus, so decken sie sich; hierfur
gilt also die Bediugung: weuii dns nte Bild des eiuen Zugcs das k'le des andereu decken sol1
(k I )
cc + (k'
1) 9-t-y - c t
( ~ = 2m
- v+
-
+
2n
'p'
liieraus A+%=
da aber beide Bilder von deui Spiegel ihrcs' Zuges herkomiiieii miissen, so ist k mit k gleictizeitig gerade oder
k-f-k'- z
ungerade, folglich ist
- d. h. es mufs y in m
2
8
aufgchen. Es decken sich deinnach n u r d a m Bilder, wann
y in n aufgeht nud da diejenigen, deren Ordnungszahlen
k und k' als Summe die Anzahl der E l d e r haben (nach 3),
folglich nur die zwei lctzten. Zur Uotcrsucliutig der Bedingvugsgleicliui~ge~~
nelimen
wir zwei Falle besonders vor:
272
1) Es geht y in 292 auf und es s e y dann - - p , danu
I
_
-
-
'p
ist m<p-+l uiid s p - I , somit m e n t w e d e r z p o d e r z p - 1 ,
letzteres, wenn das Gleichheitszcichen i n der Bedingung
Geltung bat, was nur segii kann, wcnn es auch in der
zweiten Bcdingung fur n und n' gilt; dort kaun es aber
%--a
gauze Zahlcn sind, was
nur gelteii, wenn ___ und
'p
'P
n
iiiir miiglich ist, wenn - nicht aufgelit, und da es dann
'P
n u r den Rest $ lassen kann, weil cp ja in 2 n anfgeht, wenn
noch ferner 2.
ebenfalls = 4 folglich cc
ist.
'P
L
=*
LO *
148
Es ist solnit, wenn
in 2 n aufgelrt, (lie Auzahl dcr
Bilder =dein Quotienten ; wenn aber dieser Qtiotieut eine
gerade Zahl ist, so dcckcii sirlr die bcideii lctztcii Bilder,
uiid W ~ I I I I sie eiue utigeraclc Zalil ist iind dabei dcr Gegenstand in der Mitte steht, so giebt es eiii Bild weniger.
2 ) Es geht y i n 2 n (folglich auch in n) uicht atif, und
es s e p d a m 2. = q
T
+,;P
wo also
q die ganze Znlil und
[Y den Rest bedeiitet,
dcr bei der Division vou cp in n
hernuskommt. D a m sind die beideu Bediiigu~gsgleicliongeii:
n ' < q + Pf-n
T
n<q+1+'2
--
lllld
I
5 q - 1+@+a.
v
v
Hier ist nun sogleich zu heuicrken: ist P = n , so ist
n = q ; ist @ > a , so ist n = q + l ; uiid ist p < n , so ist
fal=q; ist feruer P + n = y ,
so ist n'=q; ist P + n > y ,
so ist n ' = q + l ;
uiid i s t i3+cc<rp,
so ist n'=q; soinit
gelten folgende Satze:
1 ) 1st p q a und '0-a >@,
o n ist die Zalil ilcr Bilder = 2 g
n>q+
1st
p>n
3)
4)
1st
@ 7 a und
1st
,G>
OL
12'
-
2)
-
P-n
rind y - 0 ~ 3 @ ,
'p-u<p,
rind qJ --n
< $,
I,
>,
))
=2q+1
=2g+1
=2q+2.
Diese vier Satze lassen sich leicht iir Worle Irleidcn,
weuu iriari bedeokt, d a b n und rp-n dic Eiitfcriiuiig des
Gcgciistandes von beideu Spiegeln, p deli Rest und q die
ganze Zahl hedeutet, die bei der Divisioii yon y in n herauskoiiiinen. Zuletzt ist noch zu beachten, d a k wir nicht
wic! gewirhulich den Gegenstand als Bild rnit zahJten; thtit
inair diefs, so verinehrt sich uatiirlich die Zalil der Bilder
imiiicr urn eius.
Eiiie weitere Discussion der Gleicliungen z. B. fiir den
Fall, dafs n = 0 , und ferner die iilliere Betrachtuug der Anzahl der Bilder eiires jedcn Zuges etc. iibcrlassen wir dem
I,cscr.
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