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Das Rayleighsche Strahlungsgesetz und die Geschwindigkeitsverteilung der Leitungselektronen.

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7 20
Yeitdem H. A. Lorentz') das Gesetz der schwarzen Strahlung fiir lange Wellen durch Berechnung der Ausstrahlung
und des Absorptionsvermogens eines metallischen Leiters
illittels der Elektronentheorie abgeleitet hat, ist dies , , R a y leigsche" Gesetz in gleichcr -4rt, aber unter mehr oder wenigcr
allgemeinen Voraussetzungen uber die Bewegungsgesetze der
Leitungselektronen mehrfach von anderen Autoren hergeleitet
worden.2) Wahrend L o r e n t z bei seiner Ableitung mit gleicher
Geschwindigkeit aller Elektronen rechnete, wurde spater, wie
es scheint durchweg, das Jlaxwellsche Geschwindigkeitsverteilungsgesetz zugrundo gelegt, ohm daB sich das Endergebnis anderte. Daraus muBte man schlieBen, da13 die
Giiltigkeit des Rayleighschen Gesetzes von der Geschwindigkeitsverteilung der emittierenden und absorbierenden Elclrtronen in weitem MaBe unabhlingig sei.
Demgegeniiber. wird in der vorliegenden Arbeit gezeigt,
dap wy)z allen denkbareit allgemeingultigen Geschwindigkeitsverteilungen der Leitungsekktronen allein die MaxujeUsche mit
dem Rayleighchen Strahlungsgesetz vertrtiglich ist. Das ahweichende Ergebnis von H. A. L o r e n t z erklart sich daraus,
daB der von ihni wie auch sonst vielfach3) ubernommene be1 ) H. A. Lorentz, Versl. Amsterdam. XI. 1903. S. 787. Enz. d.
Math. Wiss. V. 3, S. 326 (W. Wien).
2) In bisher allgemeineter Weise wohl ron Mc Laren, Phil. Mag.
(6) 21. S. 66. 1911 u. 26. S. 43. 1913. Vgl. aber hierzu und zu H. A.
Lorenta, die Kritik von C. W. Oseen, AM. d. Phys. 49. S. 71. 1916
u. 60. S. 270. 1916.
3) Z. B. Enz. d. h1ath.Wiss. V. 3, S. 326. Miiller-Pouillet 11'. 2,3.
S. 1174. G1.4. 1914. Abraham, Theorie d. Elektrizitat. Bd. 11.
L)as Hay1eighsch.e StrahZu:tr p g e s e t ~ z(sic.
Liinnte
721
D Yu d e s c h e A u @ ~ u c k der ekktrisdren Leitfahagkeif
x =
t+
-
* 1 N
2 I l l L'
fehbrlitaft Ut. und ziuur W t r Ferlrali~tris 3,:2 : t i groji, ga.nz t i bgtawhen natiirlich von der Unzuliinglichkcit der zii seiner ,4blritmig benutz t,en Annahinen.
Diese sonderbare Tutsa die,
auf tlit ich durch Spezialisiriwng Ineines unten abgeleiteten.
panz ii.llgrnieiii gelt,enden .411stll.~lcIis fiir rlir Leit fahigkeit
htieI.3. ist noch da,zu bereits ,inr J&re 1898 - vor 1)i.ude::
Arbtit - voii E. R i e c k r l j mif!geteilt. Hieclie fiilirt eint.
Hemvrkung eines Hrn. v a n E v e r d i n g e n an des Inlialts,
t l ~ Bdir roni BuSeren Felde verziigertrn Elelitronrn in1 Mitt el
r-t WR 1Bngrr zwischen zwr-i Zusainiiienst oBen niit At omen
uiit.c~rwegsund darum in jedrni Iiigen hliclte za,.hlreicher sind
81s ,(lit> brschleunigtrn und daB infolgrdessen bei mniihernd
pleicliern Betrage aller Elelrt,ronriierschwin~igkeitendie mitt,lert.
gerichtete Geschwindigkeit sicli uiii eiii Drit tel lileiner ergibt
:ils d i n e Beriickvicht.igiing d i r v s t:nistiindrs. Yon der Richt#iglieit tlirser Remerliunp kanii iiiii.Ii sic11 (lurch eine einfache
Rechiiuiig ii berzeugtw .') Der 1x4 Btwcliliung tles zti x prolmrtionaleii .~bsorpt,ionsveriiiiigiinl; Iwgrrnpenr Fehler gleiclit.
sich bei H. 9. J , o r e n t a znfallig tliidurch HUS. tlaB auch die
Ausstrahlung fiir gleiche C;escli\vindiglrrit iillrr Elektronen geride 3/,111al so groB herauslio1111iit w i v fiir (lit, Ma x \ v e I l ~ l i c ~
(; ~ ~ c l i \ \ . i n d i ~ l i e i t . s ~ ~ ~ ~ t e i l u i l ~ .
.-
E. K i c c k e , W i d . Ann. 66. S. ll!U. 1898.
2~ 1 s t v die Grundgeschwindigkeit. I', die dagegen kleiiie niittlere
1)
Zitsatzgcschwindigkeit,, die des iiul3ere Feld hei jedem einzelnen Elektrou
erzeugt, und 6 der Winkel zwischm den Itichtungen v und Yz,so ist die
relative Haufigkeit der Elektronen. derrii Bewegungsrichtung in deli
Winkelhreicli 6 bis 6 + d 8 fiillt. alno niclit gleich 4 sin 6 d 19. rimderii
his auf GiijUen hijherer als erster Ordnilng i n l.:,'v gleicli
sin 4 d 3
und die-mittlere gerichtcte Geschwindigkeit sller Elekt,~unen
7
7
11
und daher auch die Leitfahigkeit 11iu
Annalen der Physik. IV. Folge. 65.
\
klciiirt als der angegebene Wert.
45
729
.
E. Kretschmann
Bei der nachfolgenden Ableitung der obengenannten Beziehung zwischen dem Gesetz der schwarzen Strahlung fur
lange Wellen und der Geschwindigkeitsverteilung der Leitungselektronen werden hinsichtlich der Wechselwirkungen dis~ler
miteinander und niit den Atomen des Leiters keinerlei dynamische Voraussetzungen gemacht und sowohl das Leit- und
Absorptionsvermogen wie die spektrale Intensitat der Ausstrahlung auf denselben rein kinematischen und auSerst
einfachen Begriff der Beharrungszeit zuruckgefuhrt . (Gleichung (2) und (3).)
Zur mathematischen Zerlegung der von den Leitungselektronen ausgesandten Strahlung in harmonische Teilschwingungen verwende ich statt der gewohnlich benutaten uber
groBe Zeiten erstreckten Fourierschen Summen Fouriersche
Integrale uber unmeBbar kleine Zeitabschnitte. Damit gewinne ich unmittelbaren AnschluB an den physikalischen Begriff der spektralen Strahlungsintensitat, und weiche mgleich
dem von C. W. Oseenl) gegen die ubliche Art der Rechnung
whobenen Einwand von vornherein aus.
L Die elektrische ldtfiihigfreit.
Unabhangig davon, ob man sich die Elektronen im Innern
eines metallisch leitenden Korpers unter der Wirkung irgendwelcher Krafte zwischen ruhenden und fur sie undurchdringlichen Atomen hin- und herfliegend denkt oder ob man annimmt, daB sie von den Atomen oder Molekulen, auf die sie
treffen, mehr oder weniger oft fiir langere oder kirzere Zeit festgehtalten werden, oder ob man sich die Elektri%itiitsleitungals
Verschiebung zusammenhiingender Elektronengitter innerhalb
mikroskopisch kleiner kristallinischer Teile des Korpers vorstelit2), kann man die von den Elektronen herruhrende Leitfahigkeit eines makroskopisch isotropen und homogenen Korpers
in folgender Weise ausdrucken.
In der Raumeinheit des Korpers gebe es
(1)
N=Sfdo
1 ) C. W. Oseen, Ann. d. Phys. 49. S. 71; 1916 u. 50. S. 270. 1916.
2) Einen zummmenfwsenden Bericht uber neuere Theorien der
Leitfhhigkeit mit Literstnrnacbweisen gibt W. MeiDner, Jahrb. Rad.
u, Elektr. 17. S.229. 1921.
Das Rayledghsche Strahlungsgesetz usw.
723
,,Leitungselektronen" (Masse m, Ladung e ) , die dauernd oder
zeitweise bei der Elektrizitatsleitung mitwirken.
Hier bezeichne d u ein Element des Geschwindigkeitsraumes (us, t~,, b,)
und f die Anzahl der in ihm gleichzeitig enthaltenen Elektronen. Ist, wie angenommen werde, die Raumeinheit so groB
gewtihlt, daB die mikroskopisohen Anisotropien des Korpers
sich in ihr ausgleichen, Temperatur, Druck und sonstige ZufitandsgroBen riiumlich konstant und zunachst auch kein
5uBeres elektrisches oder magnetisches Feld vorhanden. 60
kann man mit d u = 4n 02 dv schreiben :
m
(1 a )
N
= 4nJ-f. 1 . 2 . d r ,
0
wo die Verteilungsfunktion f nur von dem Betrage w der Elektronengeschwindigkeit abhangt . Von den N Elektronen der
Raumeinheit greife ich in einem beliebigen Augenblicke die
f d u heraus, deren Geschwindigkeiten b demselben unendlich
wenig ausgedehnten Bereiche d 0 angehoren, also nach Betrag
und Richtung nahezu gleich sind, und verfolge ihre weitere
Bewegung. Die Geschwindigkeiten werden sich dabei in unregelmagiger Weise uber einen allmahlich wachsenden Bereich
verteilen, aber bei der vorausgesetzten Isotropie muB die
mittlere Geschwindigkeit ti der herausgegriffenen Elektronen
nach Verlauf jeder beliebigen Zeit t die gleiche Richtung wie
die Anfangsgeschwindigkeit b haben und kann in ihrem Betra8ge nur von v und G abhangen. Man hat daher?)
(2)
6 = 1 (ti,
G)
b.
Die Funktion 1 (w, t) mi& hiernach die mittlere Nachwirkung
der Anfangsgeschwindigkeit b uber die Zeit t. Es werde angenommen, daB diese Nachwirkung bei allen vorkommenden
Geschwindigkeiten innerhalb einer festen ,,Bremszeit " T,
praktisch verschwindet, so daB man mit hinreichender Annahernng
I;
I3
UBW.
1) FUr enisotrope KOTF
cmzusetzen.
0
ware einfach 8, = A,, bs
+ 4%Dv + LI3 b,
48 *
sttzen darf. Des weitereii werde aiigenoiiiiiieii, daIj lieine Anfangsgeschwindigkeit b eine ihr ent.gegengericht.ete niittlere
Geschwindigkeit, ii erzeugt oder daB st.ets
(3a)
i> 0
sei.1) Diese Annahmen werden im folgenden, wo sie nur bei
den Ableitungen der Gleichungen (4) und (20) verwertet
werden, durchaus nicht, vollstilndig ausgenutxt,, doch schien es
wegen ihrer Einfachheit und inneren Wahrscheinlichkej t unzweckmafiig, sie den Erfordernissen der vorliegenden Unt,ersuchung genau a,nzupassen und sie so zwar einzuwhrs,nken,
aber zugleich unubersichtlicher zu mschen.
Die durch (3) bestimmte GroBe A (v) ergibt lllit b iualgenommen nach (2) den von den Elekt.ronen mit der Anfmgsgeschwindigkeit b im Mittel in der Richtuiig b durchla,ufeiieii
Weg und werde demgemiiB d s die ,,Beharrungszeit" der GFLschwindigkeit v bezeichnet.
E E s wirlie nun in der z-Richtung ?in lionstant.es auIjeres
elelttrisches Feld EZ auf den Kiirper. Dieses erzengt wiihrend
des Zeitelementes t - (t - f - d 7 ) bis f --T 1x4 nllen Elelit~roli~n
den
Geschwindigkeit szuwachs
e- C
d o , = .-.
dt,
m
a.us deni zur Zeit 1 , wenn b in den Mittelwert 6 - der jetzt,
-+ j.l, sein ma,g - ubergegangen ist,. dei Buwachs
rlu,
- =I
aii .
-e . S s
a D,
d s
mtsteht. Mitt,clt inan uber alle Elektroneii, deren Gesa nit.zn111
und Geschwindigkeitsverteilung jetzt N' nnd f' seien, und
integriert, nach t von 0 b k 03. PO whalt man in
00
den Mittelwert der ganzen von & erzeugten gerichteten Elektronengeschwindigkeit und durch Multiplika tion niit e N' die
zugehorigc Stronidichte i,. Die Leitfghiglieit ist demnnch:
-
00
0
1) Man iiberzeugt sich leicht, dab diese Annaliiiie aach eifiillt ist,
wenn in jedem Augenblicke ein beliebig groBer Teil der Leitungselektronen
an Gleichgewichtslagen gebunden ist, sofern nur die Frequenzen ihrer
Schwingungen urn diese Gleichgewichtslapcii liinreichend verschieden sind.
7 ) t ~
Knyleiyhsche Strahluv ysclessetz -mw.
725
wo wirtlrr die fur Q = 0 geltenden Werte von f und 6, einzusetzen sind. Die Erfahrung lehrt bekanntlich, daB dieser
fiir 0: = 0 hestimmte Wert der Leitfahigkeit augleich fiir alle
praktisch in Betracht komnienden elektromotorischen Kriifte
gilt, was 3ich axis dem verhaltnismaBig geringen EinfluB des
auBerrn Feldes auf die Elektronenbewegung leicht erklart.1)
Nach (2) und (3) m i d :
und wegen der Isotropie von f :
(4)
oder :
Wurde, wic die altere Theorie annimmt, die Bewegung der
Elektronen nur durch StoBe an harten elastischen Atomen unterbrochen, bei denen im Mittel die Bewegungsrichtung nach dem
StoBe unabhiingig von der vor dem StoB wird, so ware die
Beharrungszeit A einfach die mittlere Zeit bis zum nachsten
8toBe oder. menn 1 die mittlere freie Weglaqe bezeichnet :2)
(5)
Da8mit8wild nach (4):
( 58 )
x = -
2
3
Fur annlhernd gleiche Geschwindigkeit aller Elektronen ergjbt Rich niit
111
-
2
1 ) Auszunehmen ist vermutlich die sogenannte ifberleitung.
2) Der Anmtz (5) ergibt fur v = 0 eine unendliche Beharmngszeit
und m h (2) einen endlichen mittleren Weg und w&re daher streng genommen wohl durch einen Anaatz etwa der Form A = 1/2(v - vo) zu
ersetzen, wo v, eine gegen die mit,tlere Elt-ktronenge,escbwindigkeit sehr
kleine Ceschwindigkeit hezeichnet.
E. Krekchmann.
726
ist nnr 2/3 des von Drude') angegebenen und vielfach
iibernommenen2) Wertes. Der Unterschied erkliirt sich leicht .
und zwar mugunsten des obenstehenden Ergebnisses auf die
in der Einleitung angegebene Weise.
Bei Maxwell scher Geschwindigkeitsverteilung
(k = 1,3P lo-'' B o l t z - -m d
f=fo.e
=kll',
f0=-V
manneche Konetante,
T absolute Temperatur)
folgt ans (4a) und (5):
])ah
(z,'i
TI'
~
(6 b)
x = - rln =
.e-l * l f ,
2kT
m
4
e2.1iV
T)'"
iibereinstimmencl i t dem von H. A . L o r e n t 23) angegebenen
Ausdruckc.
Indessen diirfte in Wirlilichkeit bei den vermutlich sehr
rerwickelten dynamischen Verhdtnissen im Innern der festen
Kiirper der einfache Ansatx (5) fur die Beharrungseeit nur
iiusnahmsweise genugen. Vielmehr ist A als eine von Stoff
zii Stoff wechselnde Funktion von
(und T) anzusehen.4)
Y
nz
8
(2nm k
11. Die rpektrale Inteneitiit der von den Leitungselektronen
aurgfmandten h I I g W d l i ( l e X A 8tr8hlUng.
Iui folgenden sol1 mittels des oben eingefuhrten Begriffs
der Behharrungszeit auch die von den Leitungselektronen einei
unendlich dunnen ebenen Stoffschicht senkrecht zu diesel
ausgesandte langwellige Strahlung bestirnnit werden. Um das
Strahlungsgeset z des schwaiwn Korpers fur lange Wellen zu
erhalten, hat man dann nur noch d:is Absorptionsvermogen
der Stoffschicht in beknnnter Weise HUS der Leitfahigkeit mi
herechnen.
Die Schicht stehe senkrecht zur r-Achse. Ihre Dicke sei
d x. Wir rechnen so, als ob die Schicht beiderseits an das
Vakuum grenzte, obwohl sie tatsachlich nur Teil eines auch
in der z-Richtung weiter nusgedchnt en homogenen Stoffes Rein
Dann brancht keine Anisotropie der Elektronenmiige.
1 ) P. Dr ude , Ann. d. Phys. 1. 8.566. 1900.
2) Vgl. Einleitung S. 720, Anmerk. 3.
3 ) H. A. L o r en ts , VemL Amstedam. XIII. 1906. S.503.
4) Die aiihere Bestimmung dieaer Funktion wiire. vermutlich die
Hauptaufgsbe einer eingehenderen Theorie der elektriachen Leitflihigkeit.
Das Raybighsche Strclh1ungsyeset.z USK.
797
Gewegung angenommen zu werden, und da Einstrahlungs- und
Ausstrahlungsintensitat mittels desselben Faktors ( q 2 / ca) vom
Vakuum auf den betrachteten Stoff umgerechnet werden, SO
inuB sich trotzdem das richtige Strahlungsgesetz ergeben.
Ein Elektron der Schicht mit der Beschleunigung 6 erzeugt in der Entfernung T I I T von xeineni Orte das elektrische
Fel (1:
Q,=O,
",=- e D,
Q =e.UI
(71
r.pP'
z
r.cs
und im Mittel wiihrend der Zeit t = 0 bis t = T in der 2-Richtung den zur y-Komponente der Polarisation gehorenden
Enerqiestrotn
-
0
(I
Riihrend der Zeit 0 bis T sei,nach F o u r i e r zerlegt:
(9
'
1-2
0, =
-
C,:
cos (wt
- tYE;) d w .
0
D a m ixt hekanntlich :
(10)
0
J
!
Sptzt man dies in (8) ein und sumniiert uber d l e
N.dx =dilf'dc
Elektronen der Pliicheneinheit der Schicht, wobei der Mittel2 uber alle m r festen Summationszeit (etwa t = 0)
im gleichen Geschwindigkeitsbereich d u befindlichen Elektronen durch Cw'2 bezeichnet' werde - und ebenso der entsprechende Mittelwert jeder anderrn GroBe - so erhiilt man
nsch Multiplikation mit r2 die auf die Einheit des korperlichen
Winkels besogene Intensittit der Cksamtstrahlung (fiir Pine
Polarisa tionsrichtung).
a e r t von C,'
~
])it. hierdurch bestimmte Funktion E , ( w ) lianii abri als
Ansstrahlungsintensitiit der F r q u r n z u dann und nur d a m
B. Kretschmanii.
728
angesehen werden, wenn sie sich hei einer VergroBerung von T
nich t andert .I)
Urn E , in Beziehung zu der Beharrungszeit A zu setzeii,
zerlegen wir auch b, nach F o u r i e r . Wahrend der Zeit 0 biq
T sei:
a
U, = J C I , ~ 0 ~ ( t u t 9,,) d w
(121
(I
mit :
I'
C,, = 1/Alo2+ BID2,Al, =
,b[n
1
cos w t d t , B,,,=
0
0
Dann folgt, wenn man (12) und (9) vergleicht:
C,'= w C,".
(1 9)
-
Fur hinreichend kleine Frequenzen :
(14)
W < J P
a i r d bei Vernachliissigung von
I
to2
T2 gegen 1 :
T
iind uber die Elektronen eines Geschwindigkeitsbereichs (7
wemit telt. :.
Somit, ist nach (13):
und nach (11):
(17)
en-wY dz
x,D= .4n'cs
T J A r 2 1'. d r r .
Hier ist nun die durch (3) gegebene Beharrungszeit A einzufiihren. Nach (15) ist:
T
l
1 ) E. Kretschmann, Zeitschr. f. Phys. 5. S. 77. 1921. Fiir
hinreichend kleine T w i d E,, natilrlich (vgl. (9)) etets von T abhiingig.
wenn u, und b,’ tlir Wert,e von b, zu den Zeiten t und t’ h d .
Mit den Integra tioiisveranderlicheii
(IS)
1’- t = t ~ l l d 1’4- t = 9
wid :
T
LIZ2
2 3 - r
=J-rlsJ-dp
0
*
LIZ
Dz’.
7
.
Die Sunme ron b, u,‘ genoniinen uber alle Elektronen
der Raunieinheit hangt bei stationiirem Zustande, den wir
vomussetzen, nicht vom Zeitpunkte dei Summation ab. Ziir
Zeit t voii D, ist sir nach (18) uncl (2) gleich:
m
wid hiingt demnach allgemein iiux von
nicltt von p ab. So folgt:
t
(vermoge I ) , aber
Es sei:
[ 19)
1 ‘ 3 T,
.
Danii veischwindet nach (3) uiid (Sa) das zweite Integral in
der geschmciften Klammer gegen das erste und es ergibt Rich :
imd dies in (17) eingesetzt
:
Uieser husdrucli ist unabhiingig von T und stellt demnacb.
wie gesagt,, die phvsikalische Intensitat der Ausstrahlung der
T , e i t i ~ n ~ s ~ l e k t r ~dar,
n ~ i vorausgesetzt
i
, daB die Frequenz u~
E . Kretschmann .
730
klein genug ist, um zugleich die Bedingungen (14) und (19)
oder :
1
1
W + < T
zu erfullen, von denen die erste jedoch nur zur Vernachlassigung
von w2 T2 gegen 1 benutzt ist. Wie klein w sein muB, hangt
hiernach allein von der GroBe der ,,Bremszeit" T , ab, die wir
gxnz unbestimmt gelassen haben. Ohne weitere Annahmen
uber die Gesetze der Elektronenbewegung kann daher nur
die Erfahrung, namlich durch Bestiitigung des hier abzuleitenden R a yleighschen Strahlungsgesetzes, zeigen, daB es
noch im Bereich der eigentlichen ,,Wilrmestrahlung" der
obigen Bedingung genugende Frequenzen gibt .
1111 Dm Abaorptionevermiigen der Leitungaelektronen fur
Jange Wellen.
Eine senlirecht auf' die Schicht einfallende, etwa in der
y-Richtung polarisierte elektromagnetische Welle der Frequenz w fiihrt wahrend einer der Bedingung (14) genugenden
Zeit T , wahrend deren ihre elektrische Feldstarke B, nahezu
gleich bleibt , der Flacheneinheit der Schicht die Enerrgie:
c.
q 2 .
2'
476
zu. Die von Ez wahrend der Zeit T an den Leitungselektronen
der Schicht pro Flacheneinheit geleistete Arbeit ist,:
d x * i, (gz. 1: = n x x . Q z 2 . 2'
und das Absorptionsvermogen der Schicht, fiir lanke Wellen
folglich
.
.
Jr
m
(22)
4n
xdt =
A =C
16n2 e2. d x
3cm
*
a
-(v3d) dv.
8V
0
Das gilt annahernd unter der Voraussetzung, dab trotz (14)
das elektrische Feld den Leitungselektronen wiihrend der
Zeit T schon nahezu dieselbe mittlere Geschwindigkeit erteilt,
wie wenn es unendlich lange konstant bliebe. Dam muB T
mindestens gleich der sogenannten Rela.xationszeit sein, die
jedenfalls nicht wesentlich verschieden von unserer ,,Bremszeit" T , ist. DaB die Beziehung (22) zwischen Absorptionsvmmogen und Leitfahigkeit schon von gewohnlicher Warme-
Das RayleighsclM Skahlun gsyesetz mu'.
731
strahlung erfullt aird, erscheint wieder als reine Erfahrungstat sache.
Dagegen sind fur hinreichencl liurz - ohne irgendwelche
Beschrankung - gewlhlte Frequenzen die Gleichungen (21)
und (22) fur Ausstrahlungsintensitat und Absorptionsvermogen
nach der obigen Ableitung mit beliebiger Annaherung blol3e
Felgeri der geniachten Voraussetzunpni.
IV. Ray le ighecher Strshlungegesets und Maxw e 1 leohe
Qeeo hwindigkeitaverteilung.
$us der Ausstrahlungsintensitat E, und dem Absorptionsvermogen A der Schicht erhiilt man nach dem K i r c h h o f f schen Satze die Intensitat der schwarzen Strahlung fiir lange
Wellen durch
Es hangen E, nach (21) und A nach (22) noch von der
bisher unbestimmt gelassenen Geschwindigkeitsverteilungsfunktion f (v) ah. Statt mittels ciner als gegeben angenommenen
Form yon f die Strahlung Rw zu bestimmen, wollen wir vielrnehr in1 folgenden untersuchen, welche Verteilungsfunktion f
mi den1 bekannten nnd bewdhrten Rapleighschen Strahlungsgesetze
fur jange Wellen fuhrt .
Setzt man demgemaB in (23) die Ausdrucke (21). (a2)
11nd (24) Pin. so ergibt sich:
oder clurch partidle Integration drs ersten Integrals:
D:I d6r Betrag A . c des illit der Anfangsgeschwindigkeit t, nach (2) irn Mittel zui.nckgelegten Weges fur v = 0
jedenftllls verschwindet, so inuD, sofern nur f fur w = 0 nicht
in hiihew Ordnnng als 1 / I - * unmdlich wird. was V O ~ R U S -
732
E. Krebclzman,n.
-
gesetzt werdr, fin. v = 0 aucli f 03 * A gleich Xu11 sein. Daj
Gleiche ergibt sic11 fur 2, = 00 daraus, daB der Elektronengeschwindigkeit schon durch die endliche GroSe der ver fugbareii
Gesamtenergie eine obere Schranke geset at ist, oberhalb deren
f (u) streng verschwinden muB. So folgt als notwendige Gultigkeitsbedingung des Rayleighschen Gesetaes:
Die Beharrungszeit A hangt jedenfalls von vielen Einzelheiten der im Innern des betrachteten Stoffes auf das bewegte
Elektron wirkenden Kraftfelder ab. Sol1 nun (27) fiir alle
denkbaren Formen der Funktion A (v) durch dieselbe Geschwindigkeitsverteilungsfunktion f erfiillt w r d e n , SO muB
sein oder integriert
(26)
f'=
fb
e
_ _m us
ZkT.
Diese Mazuie 1 lsche Gesch~indigkeitsz;el.teilu?igist also die
einzige, die, in allen Stoffeib geltend, zu dena Rnyleighscheu
Xtrahlungsgesetz fur lange Wellen fuliri.
Wean z. B. alle Elektronen die gleiche Geschwincligkeit,
besaBen, so ware mit A = 1/2v nach (21)
a,"=
e2.we. d s - N . 1 . v
123-9 c3
~~
~
1
nach (22) uncl (6a)
e2Nlvdx
A = - 2 n -__
3
c.nT
und nach (23)
;dso 3/,rnal so groB als es dns Rayleighsche Gesetz verlangt.
Diese Abweichung wird bei L o r e n t z a. a. 0. durch das iin
gleichen Verhaltnis zu groBe Absorptionsvermogen, das aug
dem falschen Leitfghigkeitswerte von D r u d e (vpl. Einleitunc)
folgt, zufallig gerade ausgeglichen.
SahluB.
-
Die Tragweite der obigen Ableituiig deb M a xmellschen
Geychmindigkeitsvert eilungsgeset zes fur die Leitungselektronen
a n \ den1 Rapleighschen Struhlungsgesetze beruht auf der
Sicherheit der dazu gebraucht en physikalischen Annahnien.
Eh wurden benutzt :
-1. Voraussetzungen rein kinematischen bihi1ltb:
1. Makroskopische Isot ropir der Elektronenbewe~ung
bei verschwindendeni BrrIjeren Felde (Gl. (1a), (2)).
2. Positire Geschu,indigkeitsriachwirkunp (GI. (Sa)
2. > 0).
3. Existenz eiiier Bremszeit T,,, flu alle o (Gl. (31.
4. lim (f * .li3 A ) = 0 (mi hbleitung von GI. (25) ).
-
v=o
l3. 'I'oraussetzungen dgnainisclien Inhalts:
1. Die \-on Q, erzeugte Beschleanipung der Elektronen
eE
+
ist gleich
( m i -4bleitung Ber G1. ( i a ) fur X I .
8. Das klassische Strrililungsge4z beschleunigter Ladungen fur lange Relle11 ((;leichung (7)).
I h e TTordussrtznnyen genugeii m r theoretischen Ablc-ituiig des Ergebnisses fur nnendlicli 1ange Wellen (bei beliebig tirfri Trmperatui !) i i i d w i w11viiidrndr Iiiten4tat dei
(<I
ai
Einrtrahlung ( x = acs G = u ) vgl. tlir _4hleituiig \-on (4)). -4nt
(irnntl 77011 ErfahrunpstatsdclieiI hCinn die hnwendnng auf
Feldrr endlicher Starlie ( O h i n s ~ I i ((khetz)
~~
~iiicl Wrllen endlichei LLingts (Beobachtungeu von H , ~ g r nnnd R u b e n s . R a y lei ghsche. Gesetz rrfolgen'i.
Wichtig 1st vor tllleiii, dijB hrinerlei Annahiueii uber die
Dyuitmili der Wechselwirkungrn zwischen EleLt ron uncl At on1
(oder Elektron uncl Elektron) geinacht sind, bei denen
Wirkungsquantuni in noch unbeliannt er Weise einr Rolle
spielen clurfte. duch darf die Temperntur beliebig niedrig angenoinmrn werden; denii I+ iht . \wniqstriis idealiter, stet>
nioglich , durch ent sprechencle 'I'wLleiiivi ung der Frequenz in
den Giiltiglreitshereich des Rtl yleiyhscheii Cksetzes zu gelnngrn. Dab untei B. 2. voiausge\etztr klassische Gesetz dei
734 E.Kretschmnn. Das Rayleighsche Strahlungsgesetz usw.
Ausstrehlung (Gleichung (7)) wird fiir lange Wellen bekanntlich auch von der Quantentheorie als giiltig angesehen. Die
Annahme B. 1. liefie sich ebenso wie voraussichtlich alle ubrigen
Gleichungen ohne Schwierigkeit auf e h e der speziellen Relativitiitstheorie genugende und fur heliebige Geschwindigkeitan
u < c gultige Form bringen.1)
1) Nimmt man demgemill3 die Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung (26) fur alle Temperaturen als giiltig an, so ist damit allen
Theorien der Leitfiihigkeit der Boden entzogen, die der mittleren kinetischen Energie der Elektronen einen anderen als den aus (26) folgenden
Wert k T zuschreiben. Ebenso diirfte die Maxwellsche Geschwindigkeitaverteilung schwer mit der H a b e r - Starkschen Vorstellung der als
Ganzes bewegtm Elektronengitter vereinbar zu sein. Dagegen besteht
kein Widerspruch zu Lenarda Annahme, daD die Leitelektronen oft von
Atomen absorbiert werden. Es brauchte daraus keineswegs zu folgen,
dal3 die mittlere Energie der gebundenen Leitelektronen fiir sich gleich
3IakT sei; denn gerade die schnellsten Elektronen wird die Kraft der
Bindung im allgemeinen nicht festhalten konnen.
+
(Eingegangen 15. Juli 1921.)
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