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Das Reflexionsvermgen und die Durchlssigkeit eines Schichtsystems visko-elastischer Medien bei Einfall einer ebenen Schallwelle unter beliebigem Winkel. II

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Das Reflexionsvermogen und die Durchfassigkeit
eines Schichtsystems visko-efastischer Medien bei Einfafl
einer ebenen SchaNwelfe un ter befiebigem Winkel. 11')
Von S i e g f r i e d R a s t n e r
Mit 2 Abbildungen
Inhaltsii bersich t
Vom akustischen Standpunkt aus betrachtet gibt es zwei wesentlich
verschiedene Stoffgruppen. In den Medien der Gruppe A treten Kompressionsund Scherwellen auf, wahrend sich in den Medien der Gruppe B nur Kompressionswellen ausbreiten konnen. Im ersten Teil der Arbeit 2, wurde das
Reflexionsvermogen und die Durchlassigkeit eines Schichtsystems fur den
Fall berechnet, da13 nur Schichten der Gruppe A auftreten. Im zweiten Teil
wird das gleiche Problem fur ein Schichtsystem gelost, bei dem die einzelnen
Schichten bei beliebiger Anordnung teils der Gruppe A und teils der Gruppe B
angehoren. Hierbei mu13 man vier Falle unterscheiden, die nur durch die
Materialeigenschaften der vor und hinter dem Schichtsystem liegenden unendlichen Halbraume bedingt sind.
1. Einleitung
Wie im ersten Teil dieser Arbeit2) kurz ausgefuhrt wurde, ist die theoretische Behandlung der Wellenausbreitung in einem System paralleler ebener
Schichten fur zahlreiche Anwendungsgebiete der Akustik von Bedeutung.
Neben anderen Fragen interessiert hierbei vor allen Dingen das Reflexionsvermogen und die Durchlassigkeit eines zwischen zwei unendlichen Halbraumen eingebetteten Schichtsystems.
Von entscheidendem Einflulj auf die sich unter diesen Umstanden ausbildenden Wellenverhaltnisse sind die visko-elastischen Stoffeigenschaften
der einzelnen Schichten. Vom akustischen Standpunkt lassen sich hierbei
die verschiedenen Stoffarten in zwei Gruppen .einteilen3). In den Medien
der Gruppe A treten - neben Bompressionswellen, die bei allen Stoffen vorkommen - Scherwellen auf, wahrend sich in den Medien der Gruppe B keine
Scherwellen ausbreiten konnen.
Ausgehend von diever Tatsache ergeben sich fur den Aufbau eines beliebigen Xchichtsystems ganz allgemein folgende drei Moglichkeiten :
Teilergebnisse einer an der math.-nat. Fakultit der Humboldt-Universitit Berlin
1964 eingereichten Dissertation mit gleichem Titel (Referenten Prof. Dr. F. Moglich
und Prof. Dr. R. Rompe).
2) S. Kiistner, Ann. Physik (6)18, 190 (1966).
3) Die Ausfuhrungen beschriinken sich auf homogene und isotrope Medien.
S. Kastner: Reflexionsvermogen und Durchlassigkeit visko-elastischer Mea'ien
103
A. Samtliche Schichten des Systems4) gehoren der Gruppe A an. Auf
der Trennflache benachbarter Schichten miissen dann Stetigkeitsbedingungen
fur s e c h s GroBen - drei Verschiebungskomponenten, die Normalspnnnung
und zwei Schubspannungen - erfiillt werden.
B. Samtliche Schichten des Systems4) gehoren der Gruppe B an. Hierbei
vereinfachen sich die Grenzbedingungen derart, daB nur noch zwei GrijBen
- die Normalkomponente der Verschiebung und die Normalspannung stetig sein mussen.
C. Die Schichten des Systems4) gehoren teils der einen und teils der
anderen Gruppe an. In diesem Falle gelten, falls benachbarte Schichten der
gleichen Gruppe angehoren, die Bedingungen der entsprechenden Gruppe.
StoBen Schichten aus verschiedenen Gruppen aneinander, so mussen die Bedingungen der Gruppe B erfiillt sein und auBerdem die Schubspannungen
auf der Grenzflache verschwinden.
Die geringsten mathematischen Schwierigkeiten bei der Bestimmung des
Reflexionsvermogens und der Durchlassigkeit eines Schichtsystems bereitet
der Fall B, da hier nur Kompressionswellen auftreten. Er besitzt allerdings
wenig praktisches Interesse. Komplizierter in der Behandlung ist der Fall A,
da sich hierbei Kompressions- und Scherwellen ausbreiten und miteinander
in Wechselwirkung treten. In b e i d e n Fallen besteht jedoch die Moglichkeit
durch e i n e Matrizengleichung - die beim Fall A sechsreihig und im Fall B
zweireihig ist - den Zusammenhang zwischen den Wellenamplituden im Halbraum I und im Halbraum I1 zu erhalten, die nach einfacher Auflosung die
reflektierten und durchgehenden Wellen als Funktion der einfallenden Welle
liefert.
Wesentlich komplizierter liegen die Verhaltnisse beim Fall C. Eine eingehende Untersuchung zeigt hierbei, daB man in diesem Fall eine weitere Aufgliederung vornehmen muB, die durch die Stoffeigenschaften der Halbraume I
und I1 bedingt wird. Von den vier Kombinationsmoglichkeiten fuhrt nur die
eine, daO beide Halbraume der Gruppe B angehoren, ebenfalls auf e i n e
Matrizengleichung zwischen den Wellenamplituden in den Halbraumen I
und 11, wahrend die drei anderen Falle, wie noch im einzelnen gezeigt wird,
kompliziertere Beziehungen liefern.
Das Reflexionsvermogen und die Durchlassigkeit eines beliebigen Schichtsystems fur den Fall C anzugeben ist das Ziel der folgenden Ausfiihrungen,
wahrend der Fall A in Teil I behandelt wurde. Ganz allgemein werden hierbei
Medien mit beliebiger Schallabsorption - das sind visko-elastische Medien in den Kreis der Betrachtung gezogen.
Von den zahlreichen Spezialfallen des allgemeinen Problems C ist zunachst
der Einfall einer Welle unter beliebigem Winkel fur e i n e Schicht A zwischen
zwei Halbraumen B zu nennen, der fur absorptionsfreie Verhaltnisse von
H. Reissners), R. Bar6),F. L e v i und N. S . N a g e n d r a N a t h 7 ) ,L. CremerR),
4)
6)
6)
7)
8)
EinschlieBlich der Halbrgume I und 11.
H. Reissner, Helv. phys. Acta 11, 140 (1938).
R. B l r , Helv. phys. Acta 11, 397 (1938).
F. Levi u. N. S. Nagendra Nath, Helv. phys. Acta 11, 408 (1938).
L. Cremer, Akust. Z . 7, 81 (1942).
104
Anmien der Physik. 6.Folge. Band 19. 1956
J. Gotz9) und A. Schochlo) berechnet wurde, wahrend Y. T o r i k a i l l )
aul3erdem noch die Absorption berucksichtigt hat. Bei einem Schichtsystem
ist neben der allgemeinen Losung fur den s e n k r e c h t e n E i n f a l l der Welle,
die von P. J . E r n s t 1 2 ) , M. Nuovol3) sowie von K. A l t e n b u r g und S.
Kastner14) angegeben wurde, nur das e b e n e P r o b l e m fur den Fall, dal3 r
Schichten der Gruppe A zwischen zwei Halbraumen der Gruppe B liegen , von
W. T. Thomsonl5) und Y. Torikai16) fur absorptionsfreie Verhaltnisse beha,ndelt worden.
2. Die Wellenausbreitung in einem Schichtsystem 17)
Es sol1 nun zur mathematischen Behandlung der Wellenausbreitung in
einem System paralleler ebener Schichten iibergegangen werden. Das System
bestehe aus r Schichten, links und rechts durch die Halbraume I und I1 abgeschlossen (Abb. l), der Normalenvektor zeigt in x-Richtung, in y- und x Richtung sind die Schichten unhegrenzt. uber die Stoffeigenschaften der
einzelnen Schichten werden keine einschrankenden Voraussetzungen gemacht,
samtliche Schichten mit EinschluB der Halbraume konnen der Gruppe A
oder B angehiiren.
Reflektter/e Welle
I
I
I
'
I
f
, -x
U
-D
Abb. 1. Das Schichtsystem
Ohne Rechnung laBt sich sofort sagen, da13 sich bei Einfall einer ebenen
Welle in jeder beliebigen Schicht ebenfalls nur ebene Wellen ausbreiten
konnen. r b e r die Zahl der auftretenden Wellen kann man aul3erdem angeben,
daf3 in samtlichen Schichten und im Halbraum I sowohl hin- als auch rucklaufende Wellen entstehen, wahrend im Halbraum I1 selbstverstandlich keine
reflektierten Wellen vorhanden sind. SchlieBlich ergibt sich, ganz gleich ob
der Halbraum I zur Gruppe A oder B gehort und ob eine Kompressions- oder
Scherwelle auftrifft, da13 in jeder Schicht, die zur Gruppe A gehort, immer
Kompressions- u n d Scherwellen und in jeder Schicht, die zur Gruppe B gehort
immer n u r Kompressionswellen auftreten.
J. GBtz, Akust. Z.8, 145 (1943).
A. S c h o c h , Acustica 2, 1 (1952).
l'j P. T o r i k a i , J. phys. SOC. Japan 8, 234 (1953).
12) P. J. R r n s t , J. sci. Instrum. 22, 235 (1945).
9)
lo)
l3)
'4)
l5)
16)
l7)
81. N u o v o , Ric. sricnt. 16, 88 (1946).
K. A l t e n b u r g u. S. K a s t n e r , Ann. Physili (6) 18, 1 11953).
W. T. T h o m s o n , J. appl. Phys. 21, 89 (1050).
Y. T o r i k a i , J. Acoust. SOC.Japan 8, 21 (1952).
Man vergleiche hierzu Teil I.
S. Kautner: Reflexionsvermogen und Durchla.ssigkeit visko-elastischer itiedien
105
Fuhrt man fiir jede Schicht des Systems und beide Halbraume einen entsprechenden Ansatz durch, so erhalt man unter Verwendung der schon erwahnten Stetigkeitsbedingung an einer Trennflache benachbarter Schichten
gerade so viele Gleichungen als notwendig sind, um die unbekannten Wellenamplituden zu bestimmen. Diese im allgemeinen Fall umfangreiche Rechnung 1aRt sich mit Bilfe einer Matrizenmethode 18) in iibersichtlicher Weise
gestalten. Fur Schichten der Gruppe A wurde diese Methode bereits in Teil I
verwendet. Im folgenden sollen kurz die dort gewonnenen Ergebnisse zusammengestellt und die entsprechenden Beziehungen fiir Schichtender Gruppe B
abgeleitet werden.
Gruppe A
Es wird zunachst nur e i n e beliebige Schicht i des Systems betrachtet,
deren Grenzflachen durch die Koordinatsn xl und xz festgelegt sind (Abb. 2).
Innerhalb der Schicht breitet sich je eine hinund riicklaufende Kompressions- und Scherwelle aus.
u = U’ U” ?B = r m l +rm’l. (2,l)
+
Hierbei wird die Kompressionswelle durch einen
Skalar U und die Scherwelle durch einen Vektor positiver
?B dargestellt.
Mit laufende
einem Strich
wirdzwei
die
in
x-Richtung
und mit
17
xt
*z
.
X
Strichen die reflektierte Welle bezeichnet.
Abb. 2. Die Schicht i des
Wichtig ist nun, den Zusammenbang zwiSystems
schen den Wellenamplit~den1~)U& U g , Who,
W;6, WLO, W ~ und
O d e n FeldgroBen herzustellen, fur die an einer Trennflache
Stetigkeit vogeschrieben ist, das sind die Komponenten des Verschiebungsvektors V,, V,, Vz und folgende Spannungskomponenten: TeX,
T x B ,T z x .
Nach Einfiihren der M a t r i x d e r FeldgroBen 0 (2)in einer zu den Grenzflachen parallelen Ebene x = const
i7hf
=
W&
W&
w;0
wy0
(293)
106
Annalen der Physilc. 6.Folge. Band 19. 1956
erhalt man unter Verwendung der Gln. (3,3) und (3,12) von Teill dengewunschten Znsammenhang.
$31 (z) = B(z) q3 P O ) .
(294)
Hierin wird B als die W e l l e n m a t r i x der Schicht bezeichnet. Der Faktor C
hat, wie sich aus den Stetigkeitsbedingungen ableiten laBt, fur samtliche
Schichten des Systems denselben Wert. Durch Auflosen der Beziehung (2,4)
nach q3 gewinnt man die nur speziell fur x = 0 erforderliche r e z i p r o k e
W e l l e n m a t r i x '2-l.
q3 = %-1(O) $31 (0)
1
20)
.
(%5)
Wellenmatrix und reziproke Wellenmatrix werden bei der Bestimmung des
Reflexionsvermogens und der Durchlassigkeit eines Schichtsystems in den
beiden Halbraumen benotigt. Fur die eigentlichen Schichten gibt schlieBlich
eine Kombination der Bexiehungen (2,4) und (2,5) den Zusammenhang zwischen den FeldgroBen $31(II)an der rcchten Grenzflache der Schicht und den
entsprechenden Werten $31 (I) an der linken Qrenzflache
sX(I1)= m $31(I),
(296)
wobei die K e t t e n m a t r i x nr einer Schicht der Dicke d durch folgende Gleichung bestimmt wird :
m = %(d)W ( 0 ) .
(2,7)
Die fur spezielle Rechnungen benotigten Matrixelemente der Wellenmatrix B, der reziproken Wellenmatrix W1und der Kettenmatris m sind
in Teil I aufgefuhrt. Liegen r verschiedene Schichten hintereinander, so ergibt
sich die resultierende Matrix
dieses Schichtpakets durch Multiplikation der
Kettenmatrizen der einzelnen Schichten, wobei die Reihenfolge gerade umgekehrt zur geometrischen Anordnung ist
Sln
= m,m,-,
. . . in, m,.
(238)
Gruppe B
Da zwischen benachbarten Schichten der Gruppe B nur zwei GroBen die Normalkomponente der Verschiebung und die Normalspannung - stetig
sein mussen, wird hier nur eine zweireihige Matrix der FeldgroBen Q benotigt.
&=
I V X
I
I Tx, I .
Da aul3erdem innerhalb der Schicht nur Kompressionswellen auftreten konnen,
wird die Matrix der Wellenamplituden P ebenfalls nur zweireihig.
Nach Einfuhrung dieser beiden Matrizen kann man samtliche Formeln
des letzten Abschnitts sofort ubernehmen, wobei jedoch zur Unterscheidung
2 0 ) Wie in Teil I ausfiihrlich beha,ndelt wurde, zerfallen diese und samtliche daraus
abgeleiteten sechsreihigen Matrixbeziehungen Iiir ebene Probleme in eine vier- und eine
zweireihige Matrixgleichung. Auf den EinfluB dieser Tatsache auf die hier diskutierten
Probleme wird am SchluB der Arbeit eingegangen.
S. Kastner: Refkxionscermogen und Uurchliissigkeit visko-elastischer Medien
107
von den sechsreihigen Matrizen, die durch Frakturbuchstaben gekennzeichnet
sind, die hier auftretenden zweireihigeri Matrizen durch lateinische Buchstaben dargestellt werden sollen. Im einzelnen erhiilt man unter Verwendung
der Gln. (3,3) und (3,12) von Teil I die Beziehung
Q ( x ) = B ( x )P C
mit der Wellenmatrix B und beim Auflosen nach P die Gleichung
P
=
B-l(O) Q(0)
(2,11)
'1
mit der reziproken Wellenmatrix B-l. G ~ J I analog
Z
xu (2,6) lautet der Zusammenhang zwischen den FeldgroBen Q (11) an der rechten Grenzflache
einer 8chicht und den Werten Q (I) an der linken Grenzflache
&(II)
=
m Q (I)
=
B ( d ) B-l(O).
mit der Kettenmatrix
m
Die in diesen Beziehnngen auftretenden und fur spezielle Rechnungen benotigten Matrixelemente der Wellenmatrix, reziproken Wellenmatrix und
der Kettenmatrix werden iiri Anhang aufgefiihrt.
Als Folge der vorangehenden Beziehungen ergibt sich die resultierende
Kettenmatrix M eines Pakets von r hintereinander liegenden Schichten ganz
analog zu GI. (2,s)
M = m, ?n,.-, . . . m2 m,.
(2,W
Damit sind die Grundlagen fur die hier interessierenden Probleme der Wellenausbreitung in einem beliebigen Schichtsystem gegeben, und es kann nunmehr
zur Berechnung des Reflexionsvermogens und der Durchlassigkeit ubergegangen werden. Die Ergebnisse dieser Untersuchungen sind bei beliebigen
Materialeigenschaft.ender Schichten nur abhangig von den Materialeigenschaften der Halbraume I und 11, und die vier Moglichkeiten A A , BB, A B , B A
mussen im folgenden getrennt behandelt werden. Zunachst soll der Fall B B
berechnet werden, der die wenigsten Schwierigkeiten bereitet und auf e i n e
Matrizengleichung fuhrt. AnschlieBend werden die Falle A B und B A diskutiert, deren Losung durch z wei Matrizengleichungen gegeben wird. Als
letztes wird der Fall A A behandelt, der sogar auf d r e i Matrizengleichungen
fuhrt.
3. Reflexionsvermogen und Durchllssigkeit eines Schichtsystems
31. Beide Halbraume gehoren zur Gruppe B
Zur Losung der hier gestellten Aufgabe soll zunachst kurz gezeigt werden,
da13 7 hintereinander liegende Schichten der Gruppe A , die zwischen zwei
Schichten der Gruppe B eingebettet sind, in der Rechnung immer durch eine
Schicht der Gruppe B ersetzt werden konnen. Selbstverstandlich sind hierbei
die Matrixelemente der Kettenmatrix dieser Ersatzschicht komplizierter
gebaut als bei einer gewohnlichen Schicht. Wesentlich ist jedoch, daB die
urspriinglich sechsreihige Kettenmatrix dieses Schichtpakets in eine zweireihige Kettenmatrix ubergeht.
8*
ma
Annalen der Phyaik. 6. Folge. Band 19. I956
Dabei mu13 man zunachst beachten, daB an der Beriihrungsflache einer
Schicht der Gruppe A mit einer Schicht der Gruppe B Stetigkeitsbedingungen
fur die Normalkomponente der Verschiebung, die Normalspannung und die
Schubspannungen bestehen. Da letztere in einer Schicht der Gruppe B identisch verschwinden, gilt dies auch fur die Grenzflache.
Fur die weiteren Ableitungen benotigt man die sechsreihige Matrix m
des Schichtpakets, die nach G1. (2,8) durch Multiplikation der Kettenmatrizen
der einzelnen Schichten gewonnen wird. Sie gibt den Zusammenhang zwischen
den FeldgroBen D des Schichtpakets am linken und rechten Rand, die wieder
mit D.(I)und Q(I1)bezeichnet werden sollen.
xx(I1)= m Q(1).
(391)
In ausfuhrlicher Schreibweise lautet diese, wobei jedoch die Schubspannungen
bereits null gesetzt wurden :
VZ(ll)
+
+
Tzs(11) = m 2 ,
‘V (I1) = %I ‘%(I)
0 = a41Vs(I)
‘2(I1)
+
+
(I)
+ m V (I) + m V (I)
(I) + % V u (I) f %& v z (I)
Tss(1) +
V,(I) +
Vz(I)
+ Vg(I) + Vz(I)
‘,(I) $- (5.121, ‘n~(’)
V , (1) m, T,, (1)
=
= %51
=
+
+
(I) +
m 1 3 vy(I)
23
Y
(5.1215
Z
25
Z
m 3 2 Tss
‘%2
w5Z
Tsx(l)
T ~ (I)
z
+
mda
‘%45
w53
m55
(3,2)
(I) f
Vz (1)Die dritte und fiinfte Gleichung des Systems ist ohne Interesse, da fur
V , und V z keine Stetigkeitsbedingungen bestehen. Lost man die vierte und
sechste Gleichung nach VJI) und Vz(I) auf, und werden die Ergebnisse in
die erste und zweite Gleichung eingesetzt, so folgt daraus die zweireihige
Ma trixbeziehung
Q(W = M Q ( U
(3Y3)
mit den Elementen der Ersatzmatrix M
M,=m,-
s‘
%13
(%41
%5
%2
- %El
%3
%45)
+
%3
u‘
w 1 5 ( m 4 3 %I
- %63
- %633
%41)
%5
Damit ist die oben aufgestellte Behauptung bewiesen: D i e s e c h s r e i h i g e
Ma t r i x e i n e s be lie b i g e n Sc h i c h t p a k e t s a u s d e n Me d i e 11 d e r G r u p p e A,
d a s z w i s c h e n zwei S c h i c h t e n d e r G r u p p e B e i n g e b e t t e t i s t , 1 a B t
sich immer d u r c h eine zweireihige Matrix ersetzen.
Doch nun zuruck zum allgemeinen Problem der Berechnung des Reflexionsvermogens und der Durchlassigkeit eines Schichtsystems, falls beide
Halbraume zur Gruppe B gehoren. Hierbei lafit sich unter Anwendung des
obigen Satzes sofort erkennen, daf3 in diesem Fall das gesamte Schichtsystem
durch eine zweireihige Iiettenmatrix dargestellt werden kann. Denn ganz
8. Kastner: Reflexionsuerrnogen und Durchlassigkeit uisko-elostischer Medien
109
beliebig verteilte Schichtpakete der Gruppe A innerhalb des Systems sind in
diesem Fall durch Schichten der Gruppe B begrenzt. Multipliziert man ihre
Ersatzmatrizen entsprechend ihrer Reihenfolge mit den zweireihigen Kettenmatrizen der dazwischen liegenden Schichten der Gruppe B, so gewinnt man
die Matrix M des gesamten Systems. Setzt man aul3erdem im Halbraum I
unter Verwendung der Wellenmatrix B die GI. (2,ll) und im Halbraum I1
mit Hilfe der reziproken Wellenmatrix B-l die G1. (2,12) an, so 1aRt sich eine
Beziehung zwischen den Wellenamplituden im Halbraum I und den Wellenamplituden im Halbraum I1 aufstellen.
PII = F PI.
(395)
Die Matrix P wird hierbei durch das Produkt
(396)
F = Bf$(0) M BI (- D )
gegeben, wobei D die Dicke des gesamten Schichtsystems ist. Sind die Elemente der Matrix F berechnet, so lassen sich in einfacher Weise Reflexionsvermogen und Durchlassigkeit des Systems bestimmen. Hierzu benutzt man
die ausfuhrliche Darstellung der G1. (3,5). Diese lautet
U r = Fn Uh P,, Ui'
0 =F,
+
Uk + F,,
Ub'.
Hierbei wurden bei den Wellenamplituden die Indizes I und I I weggelassen.
Zur Unterscheidung werden dafur auslaufende Wellen durch 3 Striche gekennzeichnet21). List man nach den Unbekannten Ug', Ut' auf, so e r s b t
sich fur die reflektierte Welle
und schliel3lich fur die durchgehende Welle
32. Halbraum I gehort zur Gruppe A, Halbraum 11 zur Gruppe B
Im folgenden sol1 das Reflexionsvermogen und die Durchlassigkeit fiir
den Fall berechnet werden, daR die einfallende Welle aus eineni Medium der
Gruppe A komrnt und nach Passieren des Schichsystems auf ein Medium der
Gruppe B trifft. Unter Verwendung der Ableitungen des letzten Kapitels
laBt sich in diesem Fall sofort sagen, dalj samtliche Schichten, die hinter der
ersten Schicht der Gruppe B liegen (mit EinschluB dieser Schicht) durch
zweireihige Matrizen dargestellt werden konnen, wahrend alle Bchichten, die
davor liegen, nur noch Medien der Gruppe A sind und durch sechsreihige
Matrizen beschrieben werden. Bildet man samtliche dabei auftretenden Matrizenprodukte, so gewinnt man schlieljlich zwei Matrixgleichungen zur Bestimmung der Wellenamplituden. Die erste lautet
PII F Q
und fur die zweite ergibt sich
4
3
=
s PI.
Auch in den folgenden Kapiteln wird diese iibersichtliche Darstellung verwendet.
Annulen der Physik. 6 . Folge. Bund 19. 1956
110
Hierbei sind mit Q bzw. 0 die FeldgroBen an der Vorderflache der ersten
Schicht der Gruppe B bezeichnet. Da die Matrixbeziehung (3,lO) zweireihig und die G1. ( 3 , l l ) sechsreihig ist, ist ein Einsetzen von (3,lO) in (3.11)
nicht moglich. Zur Berechnung des Reflexionsvermogens und der Durehliissigkeit des Schichtsystems mussen beide Beziehungen ausfuhrlich hingeschrieben werden. Dies gibt acht Gleichungen.
u"'0 F
- 11 vz + Fl2 Tz,
0 = F2, v, -1 F22 Txx
s'
= 811 h'
+ 812 u: + 813 w;O f 814 w r O + 86 + 816 wiO
Txx= 521 u; + 322 u;l + 8 2 3 w:; + 8 2 4 w;,
+ 825 w;o + 8,PGo
', 533 u;,+ 5.32 u;r + 833 K
=
0
= 341
vz
= 851
861
ui + 842 'l + 842wiO
ut + 852 ': +
+ 862
+
O + 834 K
844O:w
f 8.54wO:
8 6 3 wO
:
863
+
O
wL()
f 864 rv;b
+ 835 w;o + 838 G o ( 3 , W
+ 845 + w;o
+ w;O + 8.56w;O
846
855
+ 865 who +
8 6 6 w$O
Durch einfaches Auflosen lassen sich daraus Reflexionsvermogen und
Durchlassigkeit bestimmen. Hier seien nur die Ergebnisse zusammengestellt.
- F22 811 814 816
U" = - __1
0
1811
'21
0
0
1
1
844 848 u;
861 864 866
8 1 2 811 816
F21
822 821 826
1
Ub
8 4 2 841 8 4 6
862 861 8661
1
862 864 861
-'22
p Zl
=
8
4
1
' - F22
Eii
I'''
821 8 2 4 8 2 6
812 ,814 816
822 8 2 4 826
842
862
844 846
8
t
i
4 866
1
S. Kaslner: Reflexionsvermogen und Durchlassigkeit visko-elastischer Medien
[,,I
c,
=- 1
8
1
3 814 816
F21
823 824 826
!%I1
1
= --
157
1
844 8 4 6 ICfl - 157
8 6 3 8 6 4 8C6 1
I -F22
8l5 8 1 4
'
325 824
~
1
'
-F22
8 1 2 813 '815
'
0
865 864 566
4 2 2 812
F21
822 823 82s
Jt."
0
842 8
4
3 845
zo
- 1
8
1
6
82s
8
4
5 8
44 84th ";'M
F21
8
4
3
1
I$';()
-F22
~
1511
8 6 2 8 6 3 8.66
0
0
(3,171
~
815 816
822 825 826
F21
111
1T/o
842 8
4
5 545l
8 6 2 865 8f6
(3,18)
I
322. Durchlassigkeit
3221. E i n f a l l e i n e r K o m p r e s s i o n s w e l l e
l5ll 8 1 2
514 816
l
Hierbei wurde zur Abkurzung die Matrix IF1 eingefuhrt.
iF
3222. E i n f a 1 e i n e r S c h e r w e l l e
I 813 8 1 2
814 '816
I
33. Halbraum I gehort zur Gruppe B, Halbraum I1 zur Gruppe A
Nunmehr sol1 der Fall behandelt werden, daB die einfallende Welle aus
einem Medium der GruppeB kommt und hinter dem Schichtsystem ein
Medium der Gruppe A liegt. Ganz analog zu den Verhaltnissen im letzten
Kapitel lassen sich in diesem Fall samtliche Schichten bis xur letzten Schicht
der Gruppe B (mit EinschluB dieser Schicht) durch eine zweireihige Matrix
zusammenfassen. Alle dahinter folgenden Schichten werden durch eine
sechsreihige Matrix dargestellt. Man erhalt in diesem Fall wieder je eine
112
Annalen der Physik. 6. Folge: Band 19. 1956
sechs- und zweireihige Matrixbeziehung fur die Bestimmung der unbekannten
Wellenamplituden lediglich in vertauschter Reihenfolge. Diese lauten
PI1 = 8 Q
(3723)
&=’PI.
(3724)
Die FeldgroWen Q bzw. Q liegen hierbei an der Ruckseite der letzten Schicht
der Gruppe B. Die ausfiihrliche Schreibweise ergibt wieder acht Gleichungen.
ur = 811z‘
f
8 1 2 Tzz
= 8213
‘
-k
822 T ~ x
w?i= 831 z‘ + 8 3 2 Tzx
=
wk’;=
84l
‘,
f
+
+
8 5 1 x‘
= 861 a‘
f
813
+
8 2 3 y‘
f ’33
= Fu
+
8 2 5 z‘
f 835
y
‘
‘a
8 4 2 Tzx
f 8
4
3 ‘v f 8
4
5z‘
8 5 2 Tx,
+
853
8 6 2 TEz
f
8 6 3 ‘v
+ F12u;;
Txz= F2, U;o +
Ug.
v,
f 8
l
5z‘
y
‘
‘,+
f
(335)
8 5 5 z‘
8 6 5 ‘z
UI,
Im folgenden wird die Losung dieses Gleichungssystems gegeben, wobei
zum Unterschied vom vorher behandelten Fall als einfallende Welle diesmal
nur eine Kompressionswelle auftreten kann.
821 822 823 825
.
841 8 4 2 8
4
3
Hierbei wurde zur Abkiirzung die Matrix
1 s2leingefiihrt.
821 822 823 825
841 8 4 2 8 4 3 8 4 5
861 862 8 6 3 865
0
1
1
0
811 8 1 2
~
j
845
0
0
0
0
8
1
3 815
’
0 i
F,,I
FZ2l
-’
821 822 823 825
u0
III
=-
841 842 8
4
3 845
~
1821
8 6 1 8 6 2 563 8 6 5
1
0
0
1
0
0
0 Fu F12
0 F,, F 2 3
(3,ZS)
S. Kastner: Rejlexionsvermogen und Durehlussigkeit visko-elustischer Medien
113
34. Beide Helbriiume gehoren zur Gruppe A
SchlieBlich sol1 der Fall behandelt werden, daB beide Halbrhume zur
Gruppe A gehoren. In diesem Fall wird die Losung sogar durch drei Matrizengleichungen gegeben. Zunachst lassen sich samtliche Schichten, die zwischen
der ersten und der letzten Schicht der Gruppe B liegen (mit EinschluB dieser
Schichten) durch eine zweireihige Matrix P darstellen. AuBerdem geben
samtliche davor und dahinter liegenden Schichten mit EinschluB der Halbraume je eine sechsreihige Matrix @, 8. Dies fuhrt auf folgende Gleichungen
Hierbei liegen die Grenzwerte O(1) bzw. &(I)an der Vorderflache der
ersten Schicht der Gruppe B und Q(I1) bzw. &(II)an der Riickseite der
letzten Schicht dieser Gruppe. Zur Bestimmung des Reflexionsvermogens
und der Durchlassigkeit miissen die Matrixbeziehungen wieder ausfuhrlich hingeschrieben werden, was vierzehn lineare Gleichungen ergibt.
114
Annalen der Physik. 6 . Folge. Band 19. 1956
Als Losung dieses Gleichungssystems erhalt man das Reflexionsvermogen
und die Durchlassigkeit des Scbichtsystems durch neun- bzw. zehnreihige
Matrizen. Auf die explizite Darstcllung dieser umfangreichen Formeln sol1
jedoch an dieser Stelle verzichtet werden.
4. Ebene Probleme
Wie in Teil I abgeleitet wurde, ergeben sich fur die Wellenausbreitung in
den Medien der Gruppe A Vereinfachungen, falls man ein Problem als ebenen
Fall behandeln kann 22). Dabei zerfallen samtliche sechsreihigen Matrizen
in je eine vier- und zweireihige Matrix. Legt man hierbei die ausgezeichnete
Flache in die x y-Ebene, so breitet sich die Scherwellenkomponente W ,
unabbangig von W , und U aus, und nur die Scherwellenkomponente W ,
tritt mit der Kompressionswelle U in Wechselwirkung.
Hei den hier behandelten Problemen ergibt sich die Losung fur diesen
Speziadfall aus der allgemeinen Losung, falls man die in Teil I angegebenen
Matrixelemente gleich null setzt. Andererseits kann man aber auch zur
Berechnung der Scherwellenkomponente W , und der Kompressionswelle U
von vornherein fur die Schichten der Gruppe A nur die vierreihigen Matrizen
ansetzen. Die reflektierte Scherwellc W , wird dagegen aus den entsprechenden
zweireihigen Matrizen bestimmt, wahrend eine durchgehende Scherwelle W ,
uberhaupt nicht auftreten kann.
Herrn Prof. Dr. A. P a p a p e t r o u danke ich auch an dieser Stelle fur das
der Arbeit entgegengebrachte Interesse.
Anhang 23)
Die Matrixelemente der Wellenmatrix, der reziproken Wellenmatrix
und der Kettenmatrix fur Medien der Gruppe B.
Wellenmatrix:
B11 - -.
j5Ceik
H21= il e i k
Y*
B
- i i k e - i k
l2 - Y k
B22
-
(,-it.
Reziproke Wellenmatrix :
22)
%a)
Diese Bedirigunx ist z. B. beim Einfall einer homogenen ebenen We& erfiillt.
Man wrgleiche hierzu Teil I.
8. Kastner: Reflexionsvermogen und Durchlassigkeit visko-elastischer M e d i e n
115
Kettenmatrix :
m,
= cos
~t
%It
. ~t
mI2= sin
Y1:2-
mZ1= -7' A sin x mZ2= cos x
%k
Abkiirzungen :
k
= yk
n,, x
l.c = yk
n,, d.
B e r l i n - A d l e r s h o f , Deutsche Akademie der Wissenschaften zu Berlin.
Laboratorium fur Kunststoffe.
Bei der Redaktion eingegangen am 30. Mai 1956.
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