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Das sich selbst berlassene gedmpfte Pendel ein Analogon zum Eintritt des Lichtes in ein durchsichtiges Medium.

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11. Das 8 C C h selb8t aberlU88ene gediirnpfte
Pendel eirn Analogorn xu'm Eintritt des Uchtes i w
e h dzcrchsichtiges Medium; von. E. K e t t e 1e r .
Sowie bekanntlich dem gedampften Pendel, wenn demselben
eine &ussere Anregung fehlt, eine doppelte Schwingungsform
eigen ist, eine periodische oder eine aperiodische, so ist auch
die Lichtbewegung in durchsichtigen Medien eine andere, j e
nachdem die Wellen unter einem Einfallswinkel, der kleiner
oder grosser ist als der Grenzwinkel der Totalreflexion, in das
Medium eintreten. Anstatt nun in ublicher Weise die beiden
nebeneinander moglichen und daher coordinirten Falle etwa
unter Verwendung complexer Grossen rein rechnerisch ineinander uberzufilbren, sollen im Folgenden beide einem hoheren,
allgemeineren Gesetze subordinirt werden.
I. Was zunachst das Pendel betrifft, so werde angenommen,
dass auf dasselbe eine aussere periodische Kraft einwirke, deren
Starke mit zunehmender Zeit abnehme. Das Gesetz dieser
Kraft sei darstellbar durch den Ausdruck :
E e - 9' ~ C O S(n't),
worin E die Amplitude, q' den Extinctionscoefficienten, n'/2 n
die Schwingungszahl und t die laufende Zeit bedeuten.
Die von dieser ausseren Anregung erzwungenen Schwingungen gehorchen dann der Differentialgleichung:
unter Q den Schwingungsausschlag und unter ne und q Constanten verstanden.
Dieselbe wird bedingungsweise befriedigt durch den Integralausdruck :
(2)
4 = d e - q ' f c o s ( n ' t - 9.)
mit der Amplitude A und der Verzogerung 8,wahrend Extinction und Periode der Bewegung mit denen der Anregung
zusammenfallen.
Gedampftes Pendel m d Lichtbrechung.
73
Urn die Bedingungsgleichung selber kennen zu lernen, hat
man die erforderlichen beiden Differentiationen auszufuhren und
die so gewonnenen Grossen in Gleichung (1) zu substituiren.
Dieselbe besteht darnach aus Gliedern, die entweder mit dem
Cosinus oder mit dem Sinus der Phase multiplicirt sind. Sol1
diese Gleichung aber fur alle Zeitmomente erfiillt sein, so zerfallt sie dementsprechend in zwei einzelne, die sich nun ohne
Muhe auf die Form bringen lassen:
A=
(3)
E
1/ [?P- n’Y - qf (2 q
- q’)y + 4 1 P ( q - q‘)*
- $1
tg,? = ny - ?2Ln’(q
’ ~- q’ (2 q - q’)’
Sofern darin n, q sowie n’ q’, B a19 gegebene Grossen betrachtet werden, so lassen sich sonach A und 8.berechnen,
und die entsprechende Schwingung ist eindeutig bestimmt.
Lasst man nocli q‘ oder 7 ~ ‘ verschwinden, so cntsprechen
sich insbesondere:
7i =
0,A =
It3
E
- q‘ (2
q - 9’)’
tg9. = 0.
Die ersteren Ausdriicke geniigen bekanntlich den Schwingungen des Uhrpendels und der Galvanometernadel sowie einer
Reihe akustischer und electrischer Resonanzerscheinungen.
Dies vorausgesetzt, moge dem Pendel jetzt plotzlich die
iiussere Anregung entzogen werden, sodass es von da ab sich
selber iiberlassen bleibe.
Fiir die jetzige Bewegung wird sonach:
E=O.
(4)
Da alsdann die Schwingungsamplitude unter der Form
A=
erscheinen wird, der Nenner des ersten der Ausdriicke (3) aber eine Summe von zwei Quadraten ist, SO werden
die beiden Gleichungen bestehen:
na
- n‘2 - q’(2 q - q’) = 0 ,
2 n’(q
- q’) = 0,
und so erhalt auch der Phasenunterschied die unbestimmte
E. Ketteler.
74
Form tg9. = Ole. Aus vorstehenden Bedingungen leitet sich
endlich ab:
(5)
Diese Gleichungen gestatten nun ZweierleiLijsungen. Denken
wir uns der Anscliauliclikeit wegen den Quotienten y/n als eine
Variable nnd untersuchen nacheinander die beiden Intervalle,
fur welche y / n < 1, bez. 91%> 1 ist.
1. Dem ersten Interval1 entspricht die Annahme y’ - 9 = 0,
woraus dann folgt:
9’ = 9
n‘2 = n2 - 92,
und demgemass wird der Integralausdruck (2) :
2. F u r das zweite Iutervall hat man zu setzen:
n’ = 0
y’ = q
* l / q a - n2.
Der Integralausdruck wird dann:
Man erhklt daher schliesslich die allgemeinen Integrale:
p
=e-qt Qe
[
+.-’l
1
+
e - l’m1.3
.
11. Bei der Aufstellung der Bewegungsgleichungen des
Lichtes kommen zweierlei Theorien in Betracht, die elastische
und die electromagnetische. Ich werde hier die von mir gefundenen Gleicliungen l) hinschreiben, indess mit dem ausdriicklichen Bemerken, dass dieselben in ihren einzelnen Resultaten
vollig mit den Helmholtz’schen ubereinstimmen.
Demgemass bestehen fur ein beliebiges absorbirendes und
dispergirendes isotropes Medium, entsprechend den drei Coordinatenaxen, drei Paare von zusammengehorigen Gleichungen
von der Form:
1) Vgl. K e t t e l e r , Wied. Ann. 53. p. 823. 1894.
Gedampf'tes Pendel und Lichtbrechung.
75
Darin bedeuten Q, g' die Ausschlage der zusammenschwingenden Aether-, bez. Korpertheilchen zur Zeit t, ferner
m, m' ihre bez. Massen und e, b, f', g' sind Constanten.
Wahlt man ein Coordinatensystem, dessen %Axe auf der
(ebenen) Eintrittsfiache des Lichtes senkrecht steht, und fiir
welches die Wellennormale in die XZ-Ebene hineinfallt, so
geniigen ihnen die Integralausdriicke:
2*
{
- 2n
Q = Bei"'ccos(rp
cp=2n
-x),
(I
--
-2n
g ' = W e - z zA
px+n,sinex
I
cos(rp
-x')
1,
worin B und ?r' die Amplituden, x und x' die Verzogerungen
bedeuten, siimmtlich axial verschieden. E s bezeichnet ferner il
die Wellenlange, 121 den Brechungsexponenten des als durchaichtig angenommenen Ausgangsmediums und e den Einfallswinkel in demselben. x ist der Absorptionscoefficient ; der
Eintrittswinkel (Brechungswinkel) heisse r und der Brechungsexponent v. Beide sind dann mit der QrEjsse p durch die
Gleichungen verbunden :
n1 sine = vsinr,
p = vcos
r
- 121 sin* e.
= V u 'J
Fiihrt man vorstehende Integralausdriicke in die Differentialgleichungen ein, so erhalt man nach bekanntem Verfahren die
simultanen Bedingungsgleichungen:
u2
- xa = f(1),
2 v x cos r = P(A),
und haben die hier angedeuteten beiden Functionen von 1 bei
H e l m h o l t z und mir eine identische Form. Sind ferner v,,, xo
Refractions- und Absorptionscoefficient fur senkrechte Incidenz,
so muss auch sein:
3.
Diese zuerst von mir aufgestellten') und heute von allen
Theorien anerkannten Beziehungen durfen als die Hauptgleichungen der absorbirenden Medien, bez. der Metallreflexion
bezeichnet werden. Man leitet aus ihnen in einfacher Weise ab :
1) Vgl. K e t t e l e r , Theor. Optik, p. 126 u. 199. Braunechweig 1885.
E. Ketteler.
76
I
2pZ =
Y(v,z- x i - n: sinZel2 + 4 v i x: + (ui - z: - ni sin2 e)
(5) 2 ~ 2 = ~ ( u ~ - z ~ : - - i : s i n ~ e ) a + 4 ~ ~ x : --ni
( v : sinze)
-~:
2vZ= f ( u :
-
- ni sinz e)Z + 4 v: #:
+ (v: - x: + nt sin el.
Wie hieraus erhellt, verlaufen die Schwingungsausdriicke
der absorbirenden Medien bei Zunahme des Einfallswinkels e
in vollig stetiger Weise.
Im Folgenden sol1 nun stets ein Ausgangsmedium gewahlt
werden, fir welches n, > vo.
Dies vorausgesetzt, mBge jetzt dem betrachteten Mittel
clurch plotzliches Aufheben der Reibung die Eigenschaft volliger
Durchsichtigkeit ertheilt werden, indem man namlich annimmt, dass:
4.
xo = g‘ = 0.
Wir unterscheiden dann wieder ein doppeltee Intervall :
1. Fur das Intervall zwischen den Grenzen fil sine = 0
und % sine = uo geben die Ausdriicke ( 5 ) die Werthe:
p = V‘vt
- n: sin2 e
x = o
v = vo
(x = 0,)
und entsprechend werden die Schwingungsausschlage (2) beispielsweise :
e = l ? l c o s 2 n - - vo ( x cos r + z sin r
(6 a)
(;
2. Dagegen liefert das zweite Intervall zwischen den
Grenzen n1 sin e = vo und n, sin e = n, die Werthe :
p=o
x = I n ; sin2 e
- v:
v = n1 sin e
x=x
nnd dazu die Schwingungssusdriicke in der Form:
-2n
=geT-eVnpn~
e
- v aocos [2 n (;--L
x n ;””-.].
Gedampfies Pendel und Jichtbrechung.
77
Will man noch einen Schritt weiter gehen und auch die
Schwachungscoef6cienten der Spiegelung und Brechung in den
Kreis der Betrachtung hineinziehen, so ist zu beachten, dass
die vor Jahren’) von mir aufgestellten Uebergsngsbedingungen :
5,
-(;a :
2)
*,
= gZl
q, =
(”
= ax
7i2
- !?), (9
az - a”),
y =
(2- 3)
aY
9.
wieder vollig mit denen der electromagnetischen Theorie :
El
= 62,
01
= 7i2;
~1
= eat
Pi
= Bx
zusammenfallen. I n letzteren bedeuten dann namlich 8, 71 die
Componenten der electrischen Kraft und a, B die der magnetischen Kraft parallel der Trennungsflache. Es ergeben sich
aus diesen Gleichungen fur die Metallreflexion und Metallrefraction Ausdriicke, welche mit denen von C a u c h y , D r u d e
und H e l m h o l t z absolut identisch sind. Fiihrt man auch in
sie die Werthsysteme der Gleichungen (4) und (5) ein, so
erhalt man sofort die einander coordinirten Fresnel’schen
Formeln fur die gewohnliche und totale Reflexion etc., sofern
diese letzteren sich eben den allgemeineren Gesetzen der absorbirenden Medien subordiniren.
*
*
*
Demnach besteht fur die Wellen der durchsichtigen Medien
bei Zunahme des Einfallswinkels eine ganz ahnliche Discontinuitat
in der Form der Schwingungen wie fur die Oscillationen eines
sich selbst iiberlassenen Pendels bei Zunahme der dampfenden
Kraft. Beide Probleme hier in mijglichst parallel1 gehaltener
Darstellung zum Vergleich zu bringen, schien mir eine nicht
ganz undankbare Aufgabe.
Miinster ilW., den 2. Juni 1891.
Vgl. K e t t e l e r , 1. c. p. 150.
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