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Das singulre Modell der ber der Oberflche von Kryodielektrikas lokalisierten Elektronenzustnde.

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Annalen der Physik. 7. Folge, Band 48, Heft 6, 1991, S. 387-393
J. A. Barth, Leipzig
Das singulare Modell der uber der Oberflache
von Kryodiefektrikas lokalisierten Elektronenzustande
0. F. DOROFEYEV,
B. A. LYSOV,0. S. PAVLOVA,
I. M. TERNOV
Physikalische Fakultiit, Moskauer Staatliche Universitat, Moskau, UdSSR
I n h a l t s i i b e r s i c h t . Wir schlagen ein neuesblodell zurBeschreibung der in der Nlihe der Oberflaiche von Kryodielektrike lokalisierten Elektronenzustiinde vor. Dabei wird die Nichteindeutigkeit
der selbstadjungierten Erweiterung des Zamilton-Operators der elektrostatischen Bildkrafte a n
der flachen Grenze Dielektrikum-Vakuum benutzt. l m Unterschied zum bekannten Modell von
Grimes enthiilt das von uns vorgeschlagene Modell nur einen einzigen phanomenologischen Parameter, den Vermischungswinkel. Es zeigt sich, daB die entsprechende Wahl des Vermischungswinkels
es erlaubt, die spektroskopischen Daten von elektrischen Dipoliibergangen zwischen den EinteilchenElektronenzustanden, die uber der Oberflache flilssigen
und 3He solvie festen LVasserstoffe
loktllisicrt sincl, vollstindig zu beschreiben.
A Siiigulnr 3Iodcl of Electronic States, Localizctl over the Siirfarc
of Cryogenizetl Dielectric
.
A b s t r a c t A new model for the description of localized electronic states near the surface of a
cryogenized dielectric is proposed. I n this model an ambiguity of the self-adjoined extention of the
Hamiltonian for the problem of the motion of an electron in the field of the electrostatic image a t
flat boundary dielectric-vacuum is used. The proposed model, in contrast with the well known Inodel
of Grimes, contains as only phenomenological parameter the mixing angle. It is shown that the
proper choise of the mixing angle makes i t possible to completely account for the spevtroscopic
data on electric dipole transitions between singleparticle electronic states localized over the surfaces
of 4He, 3He and also solid hydrogen.
Der Effekt cler Lokalisierung von Elektronen uber der Oberflache von Iiryodielektrika, erstmals von Cole und Cohen [l] und unabhangig davon von Shikin [ a ] vorhergesagt, unterliegt intensiver experimenteller und theoretischer Forschung [ 31. Physikalisch gesehen entsteht die Lokalisierung der Elektronen aufgrund der konkurrierenden
Wirkung einerseits der weitreichenden elektrostatischen Bi1dkriift.e und andererseits
der kurzreichenden Austauschkrafte, die das Eindringen der Elektronen in das Innere
des Dielektrikums verhindern.
Am deutlichsten tritt diese Erscheinung bei direkter spektroskopischer Beobachtung
des diskreten Elektronenspektrums zutage. Derartige Beobachtungen wurden rnit flussigem 4He [4] und SHe [5] und vor nicht allzu langer Zeit mit festem Wasserstoff durchgefiihrt. Zur Zeit laufen mit Kryo-Deuterium und -Neon analoge Untersuchungen.
Bekanntlich beschreibt schon das einfachste phanomenologische Quasi-WasserstoffModell mit dem Potential
Ann. Physik Leipzig 48 (1991) 6
388
mit 5-prozentiger Genauigkeit das beobachtete Energiespektrum der Elektronen, die
uber der Oberflache des flussigen Heliums lokalisiert sind [3]. Zur besseren ifbereinstimmung der Theorie mit dem Experiment wird auf die eine oder andere Art und Weise
die Cuulomb-dingularitat in (I) abgeschnjtten und fur die kurzreichenden Aast,ausclikrafte eine Yotentialstufe endlicher Hohe V , eingefiihrt. Das erfolgreichste Wodellpotential dieser Art wurde von Grimes und seinen Mitarbeitern vorgeschlagen [71
wobei Vo und xo Regressionsparameter der Theorie sind.
Die in (2) angewandte Art der Beseitigung der Coulomb-Singularitat kann berechtigt werden, indem man die raumliche Dispersion der Dielektrizitatskonstante ini Ubergangsgebiet fliissiges Helium- Heliumdampf berucksichtigt [S]. Der Bestimmung tler
Poteritialstufe an der Grenze Dielektrikum-Vakuum sind eine ganze Reihe theoretischer und experimenteller Forschungen gewidmet (siehe z.B. [9] und die dort zitierte
iimfangreiche Literatur). Die berechneten Werte fur V,, variieren in Abhangigkeit vom
angewandten Modell zwischen 0,5 eV bis 1,5 eV, so daB der z.Zt. anerliannte Wert
V , = 1eV sehr gut mit den experimeritellen Daten aus der Elektronenresonanzspelrtroskopie der uber der Oberflache des flussigen 4He lokalisierten niederenergetischen
Elektronenniveaus iibereinstimmt, unter der Bedingung, daB die Frequenzen cler Resonanziibergange mit Hilfe des Modell-Potentials (2) berechnet werden.
Ungeachtet dessen, daB tlas Potential (2) im Vergleich zu (1) realistischer ist, ist
clas Grimes-Model1 als phanomenologisches Modell nicht vollig zufriedenstellend, cla es
z u vie1 Information enthalt. Die Sache ist die, daB experimentell (9. z.B. [6]) heutzutage nicht t h a n gezweifelt wird, daB das beobachtete Energiespektrum durch eine
Formel beschrieben wird, die nur einen einzigen phanomenologkchen Parameter enthalt. Dieser Parameter ist die Rydberg-Korrektur zu den Balmer-Niveaus, die fur
fliissiges 4He, 3He und festen Wasserstoff nicht von der Hauptquantenzahl abhangt.
So entsteht volljg naturlich die Aufgabe, ein phanomenologisches Modell zu erarbeiten, welches cler physikalischen Situation bis zu einer gewissen Stufe entspricht,
nur einen einzigen freien Parameter enthalt und sofort zum experimentell beobachteten
Energiespektrum fuhrt. Wie spater gezeigt wird, findet man ein solches Modell mathematisch sofort, wenn man die Quantisierung der Energie im Feld der elektrostatischen
Bildkrafte akkurat betrachtet, ohne iiuBere Information uber die GroSe der abstoBcnden Austauschkrafte an der Grenze Dielektrikum-Vakuum einzubeziehen.
Angenommen, das homogene Dielektrikum nimmt den gesamten Halbraum x 5 0
ein. Befindet sich die Laclung im Gebiet x > 0, so wirken auf diese bekanntlich die
elektrostatischen Bildkrafte [ 101, die hier anziehenden Charakter haben. Befindet sich
die Ladung dagegen im Gebiet x < 0, so sind die Bildkrafte abstooenden Charakters,
wobei die potentielle Energie folgendermal3en beschrieben werden kann:
8-1
---
+
e2
x > 0,
4(& 1) z ’
V ( x )=
- E - 1 e2
x < 0,
4&(& 1)Z’
(3)
+
wobei E die Dielektrizitatskonstante und e die Ladung ist (im weiteren werden wir
unter e die Elektronenladung verstehen).
Wir schlagen vor, (3) als phanomenologisches Modellpotential zur Beschreibung der
Elektronenzustande an cler Oberflache von Kryodielektrika zu benutzen. I n Zusarnmen-
0.F.DOROFEEV
u.a., Yodell lokelisierter E1ektronenzustande
383
hang damit nehmcn wir an, daB E = 1 gilt und zerlegen den Hamilton-Operator cler
Transversalbewegung des Elektrons in zwei Teile
und
-,,) -
H
-
e2(e - 1)2 1
+ 1).m.
(5)
~ E ( E
Wir nehmen an, Hi(o)
sei der ungestiirte und I?(1)der storende Hamilton-Operator.
In Koordinatenschreibweise stellt die ungest orte Schrodinger-Qleichung
eine gewohnliche Differentialgleichung dar, der x = 0 eine regulare Singularitat voni
Typ eines Grenzlireises ist. Der minimale symmetrische Operator, welcher vom fornialen
Differentialoperator &(O) erzeiigt wird, hat einen Defekt-Index (1, 1) und erlaubt folglich nach dem bekannten Von-Neumann-Theorem [111 eine ein-parametrige Familie
selbstadjungierter Erweiterungen. Wir bemerken, daB die Gleichung (6) die radiale
Schrodinger-Gleichung fur s-Zustande des nichtrelativistischen Wasserstoffproblems ist .
Beirn Wasserstoffproblern allerdings werden ,,uberfliissige" Erwei terungen durch die
Forderung nach Selbstadjungiertheit des vollen dreidimensionalen Hamilton-Operat ow
beseitigt [1I].
Eine der moglichen selbstadjungierten Erweiterungen des Operators &(O) erhnlten
mir mittels der Forderung nach Erfullung der Randbedingung y ( 0 ) = 0 in1 Singularitiitspunkt x = 0. Infolge dieser Randbedingung verschwindet die Losung aus L2(R)cIer
Gleichung ( 6 ) im Gebiet x 2 0, was clem einfachen Quasiwasserstoffmodell mit deni
Potential (1)aquivalent ist.
Unsere Idee ist im Grunde genommen sehr einfach : tfbereinstimmung der Theorie
mit dem Experiment nicht auf dem Wege der Veranderung des Potentials (3) (z.B. es
durch das Potential ( 2 ) zu ersetzen), sondern durch Wahl einer geeigneten selbstadjungierten Erweiterung des formalen Hamilton-Operators l 8 O ) zu erreichen.
Zur Parametrisierung cler uns interessierenden Familie selbstadjungierter Erweiterungen des Hamilton-Operators fuhrenwir der Bequemlichkeit halber denvermischungswinkel ein [12, 131 und versehen Gleichung (6) im Singularitatspunlit x = 0 mit einer
zusatzlichen Randbedingung
Indem wir zu dimensionslosen Variablen iibergehen
Z2e47n
22
ti2
E(O) -252%2 '
= XXO
-, xo=- Ze2m '
konnen wir Gleichung (6) folgendermal3en umschreiben :
dt+
(-1/4 + x/E)
dE2
= 0.
390
Ann. Physik Leipzig 48 (1991) G
Gleichung (9) stellt einen speziellen Fall der Whitecher-Gleichung dar. Ihre Liisungen, welche im Unendlichen verschwinden (uns interessiert nur das diskrete Spektrum), sind die Whitacher-Funktionen
~x,l&)
und
W-x,l,B(IEI1.
Die Wellenfunktiun, welche tlas notwendige Verhalten im Unendlichen zeigt und in
Null stetig ist, kann folgenderniarjen beschrieben werden:
wobei R ein Norniierungsfaktor ist. Diese Funktion ist fiir heliebige negative E-U'erte
(beliebige positive x-Werte) aus dem Raum L2(R).Indem wir weiterhin fordern, darj
die Wellenfunktiun (10) der Randbetlingung (7) gehorcht, erhalten wir leicht
Daraus erhnlten wir fur die Energie der Transversalbewegung der Elektronen ini Felt1
der elelitrostatischen Bildkrafte folgende Formel:
O<a<n.
Wir selien somit, daB durch den Verrnischungswinkel die Ryclberg-Korrektur zu den
Balmer-Niveaus der Elektronenzustande a n der Oberflache flussigen Heliums bestimnit
wird.
Die Frage nach der Wahl eines konkreten Wertes fiir den Vermischni~gswi~el,
d.h.
nach der Wahl der selbst?djungierten Erweiterung des formalen Hamilton-Operators,
ist natiirlich keine mathematische, sondern eine physikalische Frage und die Antwort
clarauf sollte die mikroskopische Theorie der Wechselwirkung des Elektrons mit den
Atomen des Dielektrikums geben. Da wir uber keine vollst.andige quantitative Theorie
dieser Wechselwirkung verfugen, sind wir gezwungen, den Vermischungswinkel bc clls
makroskopischen phiinomenologischen Parameter zu betrachten uncl seiwn Wert experimentell zii bestimmen.
Urn den physikalischen Inhalt des Verrnischungswinkels a zu erlautern, bemerken
wir, dab die zusatzliche Randhedingung (7), die eine bestimmte selbstadjungierte Erweiterung des Operators
fixjert, faktisch dem iiquivalent ware, daS zum anfangs
vorhandenen ,,Anreiz"-Potential der elektrostatischen Bildkrafte eine 6-formige Potentjalbarriere (oder Potentialgrube wenn a > n/2)hinzugefugt wurde. Tatsachlich konnen
wir unter Beriicksicht,igung der Randbedingung (7) Gleichung (6) folgendermaflen
schreiben [ 141:
wobei 9 das Symbol fur den Hauptwert ist. Somit bestimmt ctg bc die Durchdringbarkeit
des induzierten 6-formigen Potentials.
0. F. DOROFEEV
u.a., Model1 lokdisierter Elektronenzustiinde
391
Bisher betrachteten wir nur einen Teil der elektrostatischen Bildkrafte und vernachlassigten vollig den Anteil des Operators &) am Spektrum. Es ist leicht zu erkennen,
da13 die Standam-Storungstheorie schon in cler ersten Ordnung zu Divergenzen fuhrt-.
Dies wird dadurch hervogerufen, daB wir es h e r mit singularen Storungen eines
singularen Potentials 112, 151 zu tun haben. Den Anteil der singularen Storung am Spektrum konnte man mit Hilfe der regularisierten Stoiungstheorie berechnen, analog dem
Vorgehen in der Quantenfeldtheorie [I61 oder wie z.B. in [12] bei der dort genau gelosten Modellaufgabe vorgegangen wurde. I n unserem Fall ist es aber einfacher, zur
Impuls-Darstellung uberzugehen. Hierbei beachte man, daB die Fourierdarstellung der
Funktion
im Sinne einer verallgemeinerten Funktion durch 1171
JIlsl-11
= -2(y
+ In
(14)
Itl)
gegeben wird, wobei y die Eulersche Konstante bezeichnet.
In p-Darstellung ist bcl)
ein Integraloperator, dessen Kern man mit Bilfe von (14)
folgendermaBen clarstellen kann
Hierbei ist po = ti/zo,x,,durch (8) gegeben.
Somit ksnn in der ersten Ordnung der Stvrungstlieorie die Korrektur zum n-ten
Niveau mit folgender Formel beschrieben werden :
wobei y , ( p ) die nicht gestorte Wellenfunktion des n-t,en stationareri Zustancles in p Darstellung ist.
Berucksichtigt man, claB
erhiilt man nach nicht schwierigen, aber aufwendigen Rerechnungen
sin2xnn
--
Xn
3k2 c k(k2
O0
k=l
<
%
:
I-
I n (18) ist bei Vermischungswinkeln 01 1 der Summand mit der Nummer k = n
wesentlich groBer als alle anderen. Daher konnen wir zielbewul3t e h e Umgruppierung
der Glieder in der Summe E(O) AE(’) vornehmen, indem wir die Ladungseahl Z durch
die Ladungszahl Q ersetzen, die durch folgende Formel bestimmt wird :
+
Q = 1 / 4 ( ~- I)/(&
Wir erhalten
+ 1).
(19)
Ann. Physik Leipzig 18 (1991) 6
392
wobei
(21)
uncl
Formel (21) beschreibt sehr gut das experimentell beobachtete Energiespektrum
fur flussiges 4He und 3He sowie auch fur festen Wasserstoff. Fur die genannten Falle
ergaben sich entsprechend [61 jeweils folgende gemessene Werte der Rydberg-Korrektur 8 : 0,022, 0,014 und 0 , l l . Die mit Hilfe von (22) berechneten Korrekturen zu den
ersten drei Energieniveaus (21) uberschreiter: fur *He und 3He nicht die GroBenordnung
von einern hundertstel Prozent. Fur die niedrigsten Niveaus bei festem Wasserstoff
ist Formel (21) mit einprozentiger Qenauigkeit richtig.
Svmit stimmt unser Modell sehr gut mit den z.Z. bekanrken experimentellen Daten
fur tlas Energiespektrum tler Elektronen, die an der Oberflache von Kryodielektrika
lokalisiert sind , uberein. Vor fruheren Modellen zeichnet es sich durch das Vorhandensein nur eines phanomenologischen Parameters aus. AuBerdem werden in unserem Modell
rein quantenmechanisch die Austauschkrafte berucksichtigt, die j a kein klassisches
Analvgon besitzen, und zwar mit Hilfe der Wahl einer geeigneten selbstadjungierten
Erweiterung des Operators ace) uncl nicht wie fruher durch Veranderung des Potentials
der elektrostatischen Bildlrrafte in der Schrodinger-Gleichung.
Die Autoren sind Kollegin Brigitte Rotter hochst dankbar fur die geleistete Hilfe.
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Bei dsr Redaktion eingegangen am 28. Dezember 1988.
Anschr. d. Verf.: Dr. 0. F. DOROFEEV,
Dr. B. A. LYSOV,
Dr. 0.S. PAVL.OVA,
Dr. I. M. TERNOV
Physikalische Fakultit
der Moskauer Staatlichen Universitat
117234Moskau. UdSSR
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