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Das skalare Gravitationspotential.

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& 1.
1920.
ANNALEN DER PHYSK
1. Abeehnitt.
Wie entsteht die Verzerrnng der Ranmseitmannigfaltigkeit
duroh die Gravitation im dlgemeinstea Falle?
Die Gravitatiomwirkungen werden bekanntlich nach der
Einsteinschen Theorie aus der Amahme eines von der gewohnlichen Euklidisch-Minkows kischen MaBvorschrift verschiedenen und such nicht aus ihr durch Transformation
herleit baren Ansatzes fur das Linienelement der vierfach
ansgedehnten Raumzeit mannigfalt igkeit a bgeleitet , wobei die
10 Koeffizienten gp,, dieses Ansatzes als Gravitationspotentiale
aufgefaBt werden. Hierbei ergibt sich die Massendichte im
Gegematz zu der gew6hnlichen h c h a n u n g nicht ale Skalar,
sondern als M-Komponente eines 16gliedrigen Tensors, dessen
andere Komponenten allerdings ihr gegeniiber sehr klein sind.
Dies und die Tatsache, da% die gFv wegen ihrer Abhhgigkeit.
von der Wahl des Koordinatemysteme einer freilich eingeschrhkten Willkijr unterworfen sind, hat mich in &r
Einsteinschen Theorie nicht befriedigt, und ich habe deshalb
in meiner Arbeit : ,,Grundziige zu einer Theorie der Elektridtht
und der Gravitation"1) versucht, die Theorie ekes skalaren
Gravitationspotentials, das ich mit ber Lichtgeschwindigkeit
identifizierte, aufzustellen, wobei ich a n bestimmte Vorauasetzungen uber die Gravitatiomerregung durch die Elektronen
ankniipfte, die ich - positive und negative - ale das einzig
Materielle amah. Den einfacbsten Fall der Verzermng einer
ohnedies Minkows kischen Mannigfaltigkeit durch die Gravitation eines einzigen Elektrona batte ich debei erledigt und
nach Analogie dieses Falles allgemein die Gleichungs)
8 = 2 Div Grad lg I
(1)
1) Ann. d. Phys. 6% S. 134. 1917.
2) A. a. 0. S. 168. GI. (76), S. 169. (GI. 77), desgl. im Nacbtmg
S . 176. Q1. (VII).
Annden der P h p R IV. Folge.
61.
1
.
E . Reichnbiicher
2
aufgestellt. Xs fehlte aber der Beweia fiir diesen AnalogieschluJ3, der insbesondere auf den Nachweis der Moglichkeit
(liesee Bnsatzes 1 hinausliiuft und in folgendem giifuhrt werden
soll.
Es ist im allgemeinen Falle zu erortern, wie die Gravitationswirkung eines weiteren Elektrons oder Anziehungsmittelpunktes
verzerrend auf die Raumzeitmannigfaltigkeit einwirkt , die
ihrerseits s e l b t schon ohnedies durch die Gravitation von
beliebig vielen anderen Elektronen umgebildet ist Dies Einfuhren einer ,,nenen" Verzerrung soll nun aber nicht etwa
bedeuten, dad nun irgendwo und irgendwann ein neues Elektron
plotzlich entstehen und das vorhandene Feld umbilden konnte,
sondern geschieht nur zu dem Zwec ke oiner vollsthdigen
Induktion, eines Schlusses von n auf A + 1. Es kenn also
nun kein Zweifel daruber herrschen, daB ich mit den Ausdrucken ,,vor" und ,,nach" der Verzerrung durch die Gravitation des ,,neuen" Elektrons keine zeitlichep Beziehungen
meine. Die Mannigfaltigkeit vor der Verzerrung ist, wie oben
gesagt, schon nicht mehr Minkowskisch, da sie ja sckon durch
die ubrigen Elektronen umgebildet iat; es soll aber 'fur eie
die Gultigkeit der Gleichung (1) gefordert werden, we8 fur
ein einziges solches Elektron moglich ist, wie ich in meiner
Arbeit geseigt habe, sogar auch fiir den von E i n s t e i n geforderten Fall der Verzerrung des Ruhraumes des gravitierenden
Zentrums, wobei die Perihelwanderung die doppelte ist wie
in dem sonst von mir zugrunde gelegten
Die Gravitation des neuen Elektrons iiudert sich neturlich
in eh e r , h d o r u n g des Fundamentaltensom der gpv in dem
Ausdruck fur dae Linienelementquadrat in dor Mannigfaltigkeit ,
wie er vor der Verzerrung bestand. Diem h d e r u n g wird sich
nun wieder am leichtesten fur ein Koordhatensjstem berechnen lassen, dessen Lage dem mit rt i u d ck en Polarkoordinaten in dem in meiner Arbeit erledigten Falle entspricht,
wo die Mannigfaltigkeit vor der Verzerrung Minkowskisch war.
Ein solches Koordinatensystem konstruiere ich folgendermaRen:
In allen Punkten der Weltlinie (besser Mittelbogone) des
verzerrenden Elektrons errichte ich die ortkogonalen geodatischen Linien; die zu je einem Punkte geliiirigen bilden
.
1)
A. 8 . 0.Nschtrag S. 176. GI. (VI)und 6. 177. Ul. (X).
I. Das skalare Gravitationspotmtial.
3
e k e riiumliche Mannigfaltigkeit, die man als jeweiligen R ~ J raum des Elektrons bezeichnen kann. Die Bchar der orthogonalen Trajektorien dieser Ruhriiume wird dann einer Verzerrung untemorfen, deren Betrag nur von ihrem geodtitisch
gomessenen Abstand von der Mittelisogone abhiingen wird.
Dies ist deshalb moglich, da sich dieser Abstand nicht iindert,
wenn man eine solche Trajektorie durchliiuft; denn diem lie@
giimlich in einem Parallebaum zur Mittelisogone, den man
erhiilt, wonn man auf allen geodatischen Linien von dieser
Isogone aus gleiche Stucke abtriigt. Da dieser Parallelranni
auf allen geodhtischen Linien senkrecht steht, bildet er ancli
mit den Ruhriiumen rechte Winkel und enthiilt also die
Trajektorien in ihrer ganzen Ausdohnung. Elmtliche Parallelriiume - die ubrigens nit Zylindern verglichen werden
k6nnen - bilden mit den geodtitischen Linien ein sogenanntes
Gau Bsches Koordinatensy~tem~)
, wiihrend die Trajektorien
mit dem - den Ebenen unseres Raumes analogen
Ruhraumen ein halborthogonales System zusammensetzen, in
dessen L. E.
-
a
(2)
.
+ ~1v 'g p V d x ~ d z v
ds2 = gO0d2O
goo im allgemeinen nicht nur von xo, sondern auch von den
anderen Koordinaten abhlngen wird, da die Trajektorien
kehe geodiitischen Linien zu sein brauchen.
Durch die Gravitation unseres Elektrons sollen nun die
Trajektorien verzerrt, dagegen die Ruhriiume im Verfolg
meiner Annahme im Gegensatz zur Einsteinschen, die ich
sp&ter daraufhin zu untereuchen vorhabe, unverzerrt bleiben.
Dagegen kann das in ihnen liegende dreifache Koordinatensystem und m a r fur jeden Ruhraum anders traneformiert,
werden, 00 daS das L. E. Q. die Gestalt erhiilt:
+$ v ~ ; v d d ~ d i v .
a
3)
d d s b =g o o P d d o
(Durch dio Apostrophe sollen alle GroSen nach der Verzerrung
1) Vgl. wegen dieser Bezeiohnung Hilbert, Gott. Nachr. 1917,
S. 68f.
2) Abktirzung ftir Linien-Element-*adrat.
1.
von den entsprechenden vor ihr unterschieden werden.) Dies
wird durch folgende Gleichungen erreicht :
a 20 =
(4)
d 2'o ,
3
dx@= G ( a : d x ' p
(5)
(g = 1, 2, 3)
1
Damit im Ruhraum keine Verzerrung, sondern nur e k e
Transformation eintritt, mul3 das System ( 5 ) integrabel seh,
d. h. es mu8 fiir alle e, p, v von 1 bis 3 sein:
Statt dieser Gleichungen kann ich auch die inversen
fordern, die aus den Umkehrungen
dx8p =
(7)
1
(PI= 1,293)
a'zde
von (5) folgen und lauten:[fiir alle p,
e,
u \-on 1
bis 31:
Dem a m der Integrabilitiit des Systems (5) folgt die des
Systerds (7). Dabei sind die a': die durch die Determinante a
der Matrix der Xoeffizienten at geteilten Unterdetemanten
dieser Matrix.
Aus den Gleichungen (5) und (7) folgen die Beziehungan
fur die Komponenten der Fundamentaltensoren:
F.0 .",a: 9,,
3
(9) 9'/&.=
3
9
(10) 9'"
=
u'z
az@a,
1
Ferner ergibt sich fur die ko- und kontravariante DiDifferentiation :
I . Das skalure GrawitatioPtspotmtial.
5
fur jede beliebige Funktion f. (Die Summenzeichen, die sich
iiber die doppelt auftretenden Indizee von 1 bis S emtrecken,
sind hier nach Einsteins Vorbild weggelassen.)
SkaIare Ausdrucke , wie
blieben natiirlich unveriindert (g ist die Determinante der
von p, Y gleich 1 bis 3).
Dabei ist zu beachten, daIj m a r sowohl die gae , wie die
a: die Vertinderliche 5 0 enthalten konnen, daB aber bei Einbeziehnng des Index 0 in den Bereich der p, Y , e, a sofort die
Integrabilitiit aufhort. Darin liegt des Wesen der Vermrrung
gegeniiber der blobn Transformation.
Fur die O-Koordinate erhidt man zuniichst 811s Gleichung (4)
die Beziehung:
!Jrv
(19)
9'" = T1g o o .
Ea ist klar, daS man die umgekehrta Vermrmng, die die
direkte gerade anfhebt, durch die Einsetmng der Gr8b I' = 1/1
etatt I cherakterisieren muB.
Bei der Verzermng konnen die skalaren GrSBen im allgemeinen nicht unvergndert bleiben; man erhiilt m a r fur
denselben Wert wie fur
da dieser Anrrdruck fur die Indizes 1 bis 8 sich nicht b d e r t
hinzuund fur den Index 0 nur der 8ummand gfoo J$a% f
2%
tritt, der wegen Gcleiuhung (17) und (19) mit goo3s
afi -&at
iibereinstimmt. Dies trifft aber fiir den Laplaceschen OFrator, d.h. die Divergenz des Grsdienten, nicht mehr zu.
6
E. Rgichenbiicfrer.
Zuniichst erhiilt man fur die F'undamenta1determinsnt.e
G = g goo naeh der Verzermng:
Dam sondere man aus der Divergenz des Gradienten
wieder den auf den Index 0 beziiglichen 8ummanden aua:
I. Das skalare Grat&x&m.spofentiaZ.
7
Der EinfiuS der Verzermng auf die skalare Xriimmung
B = ge" Kea macht fiir seine Untersuchnng urnfangreichere
Vorarbeiten notig, die im nkhsten, Abachnitt erledigt werden
sollen .
8. Absehnitt.
Vergleich der Kriiiimmung einer Mannigfaltigkeit mit der einer
in ihr gelegenen Untermannigfnltigkeit, die eine Ansdehnnng
weniger besitst.
Da bei der Verzerrung die Ruhriiume nicht verhdert
werden und also auch ihre Krummung erhalten bleibt, liegt
der Gedanke nahe, die Gesamtkriimmung auf eine Formel
zu bringen, die diem Teilkriimmung enthalt. Urn dies auamfiihren, sol1 jedoch fiir erstere rmnikhrrt ein weeentlich
kiirzerer Ausdruck hergeleitet werden.
Nach Einstein') hat man
iind
Aus der letzten Gleichung erh&Itman durch Differentiation
und hieraus nach (2) und der Einsteinschenl) Gleichung (54):
= go'-__
a1gva _a1gv/O
_
a
za
p u aigv/Cf
a 2;' + 9'" { * } __ad
- gvr- d
a#
{")
.
B
1) Die Grundlage der allgemeinen Relativitiitstheorie, Ann. d.
Phys. 49. 1916: S. 801. F.44; 8.796. F.34, 29s.
a
E. RBichenbiiehr.
Aus (2) erhiilt man durch hderung der Indizes:
wllhrend in
-
a'v
aZ*
___ p ststt R gesetzt wird:
a2
a
-9-{
az*
PY
}
Darsus erhglt man nsch Division durch (2):
Diesen W e d , sowk g p v ( r . ) (sue (4) mit p etatt lrechts),
Betm man in (1) ein:
6
10
E . Reichenbltcher.
In den Gleichungen (6) bis (9) hat man natiirlich all0
Bummanden mit p , Y , x von 0 bis 3 zu bilden und diem m
addieren. Da nur ein einziges Glied mit drei Indims vorliegt,
ist der Ausdruck von be gegeniiber der Gleichung (1) sehr
vereinfacht .
Die allgemeine Gleichung (9) wende ich nun auf ein halborthogonalee System an, in dem gal, gay gOs verschtvinden.
In diesem ist d a m wie im Abschnitt 1 die Determinante
G =goo* g. Nun echeide ich aus der allgemeinen Summe
den ehzigen 8ummanden mit dem Index 0 aus und erhalte:
- -1
4
In der 1etdenDoppelmilesteht offenbar wieder der Ausdruck
fiir die Kriimmung nach Gleichung (9)) aber beechrhkt euf
p, P, x gleich 1 bis 3, also die Kriimmung € der dreifach unendlichen Mannigfaltigkeit zg= const. Im m i t e n und
dritten Gliede der vorletzten Doppelmile bt p und Y vertauechbar; ferner ist x und e durch p und Y zu ersetmn:
E. R k c h b i i c k .
12
Nun b t
Setzt man dies in (10) ein,
BO
erhlilt man:
Diem Gleichung, die die Kriimmung der vierfach amgedehnten Mannigfaltigkeit auf die in ihr enthaltene dreifache zuruckfuhrt, ist naturlich entsprechend auch auf Mannigfaltigkeiten von beliebig vielen Auedehnungen anmwenden.
9ie enthHlt neben der Funktionaldeterminante g der Untermannigfaltigkeit noch die Erghzungskomponente goound den
Ausdruck
von den Koordinaten tritt nur zo selbstgndig auf, die anderea
drei dagegen in den Skalaren div grad lg goound
$gpv
a!&,
a#
ale
azv
Iet das halborthogonale Syetem ein GauBsohes, in dem ga
nnr wn so abhangen darf und einer Konstanten 1 gleichgesetzt werden kann, 80 erhslt man insbesondere:
Man kenn ubrigens die Fomel (11) durch Einfiihmng
der Komponente Km d8s Kriimmungabnsorsnoch vereinfachen.
Aue der allgemeinen Gleichung [vgl. (l)]: .
14
E. Reichenbtichet .
Daher erhiilt man entweder
oder
Im Falle des GrtuBschen Systems wkd einfach (fiir goo= 1):
3. Abschnitt.
Der EintlnB der Vereerrnng suf da8 K ~ u n g s m s B .
Nun sind alle Vorbereitungen erledigt, urn die h d e r u n g
dee KriimmungemeBees durch die Verzemng beatimmen ZII
kiinnen. Wendet man die Gleichung (11) des vorigen Ab-
achnittes auf die verzerrte Mannigfaltigkeit an,
80
erlihlt man:
1) a 118 24 ist gleich 0 eu seteen, da die ;li-Linien in die Riiume
komtanter Verzerrnng fallen.
E. Rsichenbiichr.
16
Mit Benutzung der Gleichung ( 2 , l l ) findet man dam:
Diem Gleichung kann dadurch vereinfacht werden, daB
man die Gleichungen (21) und (22) des Abschnitts 1 auf die
Funktion f = Ig t apwendet. Danach erhiilt man
a i g G aigi
Div Grad‘ lg t = Div Grad lg 1 + 2g,, 7
+
1)
Vgl. Anmeuhmg aaf 8. 15,
3
>v
1
I)
aigr
g’* --
a#
akr
-
ax.
I . Das skdare G+avitdions(potmtial.
Setzt man dies in die Gleichung fur
17
R' ein, so erh& man:
+ 2 Div Grad' Ig I.
Nun nehme ich an, daB vor der Verzernng meine Behauptnng richtig sei, die Kriimmung S also die Gestalt habe:
fi = 2 Div Grad 8 l);
(2)
dam ist nach Gleichung (1, 22):
R = 2 D i v G r a d % = 2 D i ~ ~ r d ' % - 4 g * - -a- i g E a 8
azo
- 2$,gpv-
azo
aigi a8
a i azv
.
Dsraus folgt:
Sol1 nun die Behanptung richtig seh, daS auch
$2' = 2 Div Grad' 81'
(3)
werde, so kann dae nur der Fall win, wem
(4)
8' = Q +Ig I
wird, wie ich das im Nachtrag meiner Arbeit vorausgesagt
1) Die Bezeichnung entspricht der Gleichung (Vl) anf 5.176
meiner Annelensrbeit.
Annden der pbydk. 1V.Folge. 61.
2
habe.') Es mul3 aber auBerdem die Bedingung erfiillt win,
daB die Zusatzglieder vemchwinden. Es muB also
5)
sein. Das kann man dnrch die bisher offen gelae8ene Wahl
der Koeffizienten at erreichen. Diese waren an die Bedingung
(1,6) oder (1,8) gekniipft:
a a:
aa;
axtv
ax+
--.J=-,
a a' a
a 20
L
aa',
o
a d
,
Aus diesen geht hervor, dd3 es sich im ganzen urn drei
voneinander unabhiingige Funktionen handelt, deren psrtielle
Ableitungen die a oder a' sind. Natiirlich sind dies die. tram-
a x*'
formierten Koordinaten, da a': = - ist.
tY#
f i t diesen drei Funktionen liiBt sich drei Bedingungagleichungen Geniige leisten. E k e davon ist die Gleichung (6);
eine zweite ergibt sich daraus, drtD die Differenz S?'- Je eken
vorgeschriebenen, von der geodiltiechen Entfernung Y von der
Mittelktogone allein abhgngigen Wert annehmen muB, der
im AuBenraum, wo diese Entfernung griihr rtl~der Elektronenradiue ist, gleich
0, im Innenraum aber nach meiner bisherigen
60' 4- 4r'
A.nnahmea) gleich (*, r3s wird - e ist der Krummungs+
1) Vgl. den NBchtrag eu meiner Annalenarbeit, S. 176. Ql. (VIII).
2) A. a. 0.S.15Of. Ich m&hb hieran die Bemerkung kntipfen,
daD es auch moglich ist, diem QroDe, dercn Veriinderlichkeit wegen
der gleinheit von r gegentiber 4 verschwindend geriDg ist, genau konetant, also gleich dem Werte 6/**im Mittelpunkte zu macben, wenn
man im Innenranme I nicht mehr gleich
- 6
setzt. Anhrhalb bleibt der Ansatz
l = I - a,/* nach Andogie meiner Qleichung (37) auf 8.164 unveriindert.
I. Das skalare Gravitationspobtial.
19
radius des Elektronenraumes, der von dem von mir mit D
bezeichneten Radius der Elektronenkugel zu unterscheiden ist .I)
Da im Rahmen meiner Theorie nur die Gleichung (51,
sowie die Vorschrift iiber das KriimmungsmaB notwendig
sind, bleibt fur die dritte Bedingungsgleichung e k e gewisse
Willkur bestehen. Ich Will sie nun so aufstellen, daB die
Verhaltnisse moglichst einfach werden, und da empfiehlt sich
die Annahme der Unabhangigkeit der Transformationsdeterminante (x von so,da d a m die letzte Hammer der Gleichung (5)
gam fortfiillt. Wenn a nur noch von zl,x2, x8 abhangt, kann
es ja bekanntlich konstant, insbesondere gleich 1 gemacht
werden, und dies bedeutet, daB durch die Verzerrung das
VolummaB im Ruhmum nicht geandert Wird. Dagegen kann
dasselbe nicht von dem LZingenmaB in den einzelnen Richtungen gesagt werden, da sonst a: bei gleichen Indizes I
und bei ungleichen 0 werden muBte; die Verzenung ist also
anisotrop, und es kann auch nicht mehr von der Lkhtgeschwindigkeit als dem Verhliltnis des Langen- mm ZeitmaSe gesprochen werden. Es 11Bt sich aber gerade bei Annahme der
Bedingung a = 1 dafur Ersatz durch Einfuhrung eines mittleren
LiingenmaBes gewinnen, wobei jedes Streckenelement gleich
der Kubikwurzol aus dem durch die Fundamentaldetermimnte g
geteilten Volumelement ist, und dieses mittlere Ma13 wird durch
die Verzerrung nicht veriindert .
Damit und durch die sogleich zu erorternden Grenzbedingungen sind alle GroBen festgelegt. Zuniichst ist r 51s
Funktion von xl, x2, zs definiert, da es die L h g e der auf
der Mittelisogone senkrechten geodatischen Linien mi&, die
mit dem zu ihnen orthogonalen zylindrischen Parallelrliumen
das Gau Bsche Koordinatemystem bilden. Diesea aber ist
in dasjenige halborthogonale System der 2 0 5 1 2 2 zs m
transformieren, das mit ihm die x1 x2 xS-RIlume der siimtlichen von einem Punkte der Mittelisogonen ausgehenden
geodiitischen Linien gemeinsam hat, auf welchen R6umen
d a m die so-Linien senkrecht stehen. Als Funktion von Y
ist dam I mit verschiedenem Ansatz fur AuBen- und h e n mum gegeben, wobei die Konstanten wie auf 8.164 meiner
Arbeit so zu bestimmen sind, daB 1 und d l / d r in der Grenz1) Vgl. a. a. 0.S. 164f.
2'
20
E. Rsichbiichsr. I . DQS skalare Gramtdionspote~r.fiol.
kugel dee Elektrons etetig ubergehen. Die ubrigen mit up
bezeichneten Komponenten der Verzerrung oder ihre Kontravarianten ?:'a
bzw. deren Integrale xtp eind dann au0 Gleichung (6), der Beziehung fur 9'-9 auSen nnd innen und
der Gleichung a = 1 m gewinnen. Dabei eind fur den AuBenraum die Grenzbedingungen dadurch gegeben, daf3 im Unendlichen die Verzerrung verechwindet, d. h. $ bei gleichen
Indizes 1, bei ungleichen 0 wird. Die eomit fur den AuSenmum gegebenen Werte der Komponenten ui nehmen auf
der Gremkugel dee Elektrons GriiBen an, die wieder zur Aufetellung von Grenzbedingungen fiir den Innenraum fuhren.
Damit shd siimtliche Komponenten vollig definiert, unti
xugleioh ist der stetige Ubergang von innen nach a u b n gesichert. Ich m6ohte nur noch erglinzend hinzufugen, wie
der Auedruck fiir die Summe iiber
in Gleichung (6) mit Benutzung der Werte von gtp, und gtpr
naoh (1, 9) und (1,lO) ausmfiihren %t. Ee wird nzLmlioh:
Somit wSre durch eine volletbdige Induktion gemigt,?
daS eich dae KriimmungsmaS $? der Raumzeitmannigfaltigkeit
gem dgemein ale doppelte Divergene dee Gradienten einer
Gr6h M damtellen I B t , die ich ale das ekalare Gravitationspotential ansehe, und die sich ale Logarithmue der veriinderlichen Lichtgeschwindigkeit deuten I&&. Dabei iet aber
wegen der Anisotropie der Verzerrung e h mittleres l3ingenmaB
m wiihlen und auJ3erdem die Vorauseetmng gemacht, dal3
die Verzerrung fiir den Ruhraum vemhwindet.
Wilhelmahaven, 26. Juni 1919.
(EXngegangen 28. Juni 1819.)
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