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Das Spinproblem in der klassischen Elektrodynamik.

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Annalen der Physik. 7. Folge, Band 39, Heft 4, 1982, S. 295-300
J. A. Barth, Leipzig
Das Spinproblem in der klassischen Elektrodynamik
Von I. M. TERNOV
und W. A. BORDOWITSYN
Physikalische Fakultat der Moskauer Universitit, Moskan, UdSSR
11111a 1t sii b e r s i c h t. Es werden die Hauptthesen der klassischen relativistischen Theorie des
Spins eines punktformigen Teilchens formuliert. Ausgehend davon wird die Ableitung der Spinbewegungsgleichungen angegeben und gezeigt, daB bei Beriicksichtigung des anomalen magnetischen
Moruentes des Teilchens die BARGMANN-MIOHEL-TELEGDI-Gleichungen
sowie die Gleichungen von
GOOD,NYBORG
und anderen als Spezialfalle in den klassischen Spin-Gleichungenvon FRENKEL
enthalten sind.
The Spin Problem in Classical Electrodynamics
A b s t r a c t . The main principles of the classical relativistic theory of a spin point-particle are
formulated. Proceeding from this, the consequences for the spin motion are derived. Taking into
account the anomalous magnetic moment of the particle the classical spin equations of FRENKEL
are schown to contain as special cases the equations of BARGMANN-MICHEL-TELEGDI
and also those
of GOOD,NYBORG
and others.
1. Hauptthesen der klassischen relativistischen Theorie des Spins
Den Ergebnissen von FRENKEL
[I] folgend, soll voni Punktniodell des Teilchens
mit halbzahligeni Spin ausgegangen werden, wobei das Teilchen eine Ladung und ein
wird jedoch angenommen,
magnetisches Moment besitzt. I m Unterschied zu FRENKEL
daB das magnetische Spinmoment des Teilchens in1 Ruhesystem nicht dem Bohrschen
Magneton po = --eh/2moc sondern einer allgemeineren GroBe
ru = vruos
(1)
gleich ist. I n dieser Darstellung kann man durch Angabe des Landkschen g-Faktors
phanornenologisch das anomale magnetische Moment des Teilchens beriicksichtigen.
I m Palle des Elektrons findet man g = 2 (1 a/2n ...) [2], s = +1/2. Fur die Beschreibung des magnetischen Spinmomentes soll der von FRENKEL
eingefiihrte antisynirnetrische Tensor ,& verwendet werden. Der mit ihm verbundene dimensionslose
Spintensor wird durch 1 7 ” B = (@, I7)bezeichnet. GemaO (1)ergibt sich
+
+
=p r p .
(2)
L-ti1 die richtigen relativistischen Bewegungsgleichungen eines Teilchens niit halbzahligem Spin zu erhalten, sind folgende Regeln zu beachten :
I. Der Spintensor 1 7 p ” soll im Ruhesystem des Teilchens nur rein rliumliche Komponent en besitzen:
no).
17””’
= (0,
Diese Forderung wird durch die Frenkelbedingung
vp,17/Lv= 0
(3)
(4)
I. M. TERNOV
und W. A. BORDOWITSYN
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erfiillt. Aus ihr folgt
@ = [gn].
11. Im Ruhesystem des Teilchens sollen die Spingleichungen die klassische Form
haben.
111.Das punktformige Teilchen mit Spin soll neben den drei gewohnlichen Freiheitsgraden noch Freiheitsgrade der ,,Drehung" besitzen, die den 2s
1 moglichen Orientierungen seines Spins entsprechen. Einfachheitshalber wird gefordert, daB der Tensor
IP"nur zwei unabhangige Komponenten haben moge. Es mu13 hier jedoch festgestellt
werden, daB bisher bei Beriicksichtigung der Antisymmetrie und der Bedingung ( 5 )
der Tensor drei unabhangige Komponenten besitzt. Eine zusatzliche Bedingung kann
man der Invarianten 17,,D~"
durch die Annahme auferlegen, daB
+
1
2
-rIJp
= 172
- @2
= 1.
(7)
Dann ergibt sich gemalj (2)
Aus der Bedingung ( 7 ) folgt, daB
gibt, wobei t die Eigenzeit ist.
IV. GemaR mit dem Formalismus der speziellen Relativitatstheorie gilt
vwvw
=
(10)
-42
und als Folge davon
V j " =
0,
wobei der Punkt die Ableitung nach der Eigenzeit t bezeichnet.
V. Im Ruhesystem wird die Kraft, die auf ein Teilchen init der Ladung e und dem
magnetischen Spinmoment ,u wirkt, durch den folgenden klassischen Ausdruck bestiinmt :
dr
F, = mOdt = eE,
+ ,uV(IT,H,).
Das letzte Glied auf der rechten Seite dieser Formel wird durch die potentielle Energie
U = -(pH)
(13)
des inagnetischen Spinmomentes im Magnetfeld hervorgerufen.
Die oben angefiihrten Regeln erlauben eine eindeutige Formulierung der Spinbewegungsgleichungen, wie im nachsten Abschnitt gezeigt werden soll.
Das Spinproblem in der klassischen Elektrodynamik
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2. Ableitung der klassischen Bewegungsgleichungen eines Teilehens rnit halbzahligem
spin
Gem513 der Bedingung (4)kann man annehmen, da13 der Tensor IPVraumartig ist.
Die kovariante Vemllgemeinerung der Gleichung (6) sei in folgender Form dargestellt :
wobei H: der Tensor des aueeren elektromagnetischen Feldes ist.
Das zweite Glied in den runden Klammern ist zur Erfullung der Bedingung (9) notwendig. Unter Berucksichtigung der Frenkelbedingung (4)und der Bedingung (11) kann
man sich davon uberzeugen, da13 die Gleichung (9) mit beliebigen X” tatsachlich befriedigt wird.
Es bleibt noch die Bestimmung des Vektors X“ ubrig. Zu diesem Zweck wird die
Ableitung d(vP/I7”“)/dz
berechnet, die gemal3 (4)gleich null ist. Durch Differentiation
erhalt man
Damit findet man
Der zeitartige Vektor xv erfullt die Beziehung
xv
+ C21
-VVVeXQ
=
0.
Durch Einsetzen von (16) in (14) erhalt man
mit
[ 11 erhalten. Jetzt sol1 eine Gleichung
Die Gleichung (18) wurde erstmalig von FRENKEL
fur die Kraft gefunden werden, die auf ein geladenes Teilchen mit Spin wirkt. Dam wird
die kovariante Verallgemeinerung der Gleichung (12) in folgender Weise dargestellt :
MVp
e
1
+ -IIe,D”HQa,
2
=C HPVvv
(20)
Urn die Bedingung (11) zu erfiillen, ist in dieser Gleichung eine Verallgemeinerung der
Ableitung vorgenommen worden :
a” + D” = a”
1
+C2
vPveae.
(‘21)
Durch Einsetzen von (21) in (19) erhiilt man eine selbstkonsistente Variante der
20 Ann. Physik. 7. Folge, Bd. 39
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I. M. TERNOV
und W. 8.BORDOWITSYN
Wenn inan hier in
setzt, so erhalt man die NYBoRo-Gleichung [3]. Fur konstante und homogene Felder
hat inan es init der KoLsRuD-Gleichung [4]zu tun.
Wird zur Beschreibung des Spins der Vektor [5]
X ' = ZC
-&
&1uv
B17PI'
(24)
verwendet, so geht Qleichung (23) in eine Gleichung der Form
Pc v~sp-ap-EQfiSCv,
+ M2
iiber, wobei I P der zum Tensor des elektromagnetischen Feldes HPv duale Tensor ist.
Fur M = ino stimmt die Gleichung (25) mit der GooD-Gleichung [6] fur ein Teilchen
init halbzahligem Spin uberein. Im Falle von homogenen und konstanten Feldern geht
Gleichung ( 2 3 ) nach der Ersetzung (23) in die BARGMANN-&CHEL-TELEGDI-Gleichung
[7] iiber.
3. Analpse der Frenkel-Bewegungsgleichungen eines Spinteilchens
Fur die Ableitung des Gleichungssystenis, das die Bewegung eines punktformigen
geladenen Teilchens mit Spin beschreibt, benutzte FRENKEL
das Hamiltonsche Variationsprinzip. Die zusSitzlichen Bedingungen der Punkte I-IV wurden dabei entweder
automatisch ( I 1 und 111) oder durch Einfiihrung der Lagrangefaktoren aQ(I)und 1 (IV)
erfullt.
Ergebnis erhielt er eine Kraftgleichung, die in den hier verwendeten Bezeichnungen von folgender Form l) ist :
init
wobei ap durch die Formel (19) gegeben ist. Wie bereits erwahnt wurde, stimmte die
Spingleichung vollig mit der Gleichung (18) uberein.
1) Spater wnrde die Gleichung (2G) mit Beriicksichtigung des g-Faktors von H. C. CORBEN[8]
erha 1ten.
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Auf den ersten Blick unterscheidet sich die Gleichung (26) wesentlich von der Kraftgleichung (20). Bei Beachtung der neuen Festsetzung des magnetischen Spinmomentes
(1)und der Forderung (12) in V werden jedoch alle Zweifel beseitigt. Durch Differentiation nach t auf der linken Seite der Gleichung (26) erhiilt man tatsiichlich
Wie ersichtlich, tauchen hier die gemaB (11)erwartete verallgemeinerte Ableitung und
zwei Zusatzglieder auf, von denen das erste der Beschleunigung V" proportional ist und
das zweite ein relativ koniplizierter Ausdruck ist, der hier nicht angegeben werden soll.
Man kann jedoch zeigen, daB die beiden Zusatzglieder raumartige Vektoren sind.
Da wegen der Bedingung (11) der Beschleunigungsvektor V" bis auf einen beliebigen
raumartigen Vektor bestimmt ist, kann R" bei Beachtung der Forderung (12) als ein
Vektor ohne physikalische Bedeutung eliminiert werden. Das die Beschleunigung ir"
enthaltende Zusatzglied wird jedoch sinnvollerweise auf die linke Seite der Gleichung (28)
gehracht. Dann erhalt man
Der Vergleich dieser Gleichung mit der Spingleichung (20) zeigt, daB beide vollig ubereinstinimen, wenn angenommen wird, daB
ist. Folglich hat die GroBe M , die zunachst a priori eingefuhrt wurde, einen bestimmten
physikalischen Sinn: sie ist die effektive Masse des Teilchens im LuBeren elektromagnetischen Feld2). Man kann zeigen, daB sie in konstanten und homogenen Feldern ein
Integral der Bewegung ist. Das bedeutet, daB in der Bargmann-Michel-Telegdi-Gleichung die effektive Masse durch die einfache Ersetzung rn, -+ M = const. berucksichtigen 1aBt.
AbschlieRend kann festgestellt werden, da13 sich aus der Frenkel-Gleichung durch
logische Einfuhrung eines im Ruhesystem frei wghlbaren magnetischen Spinmomentes,
welohes z. B. das anormale magnetische Moment des Teilchens berucksichtigt, ein Gleichungssystem ergibt, das alle hauptsachlich bekannten (unter den nach 1926 veroffentlichten) Gleichungen der klassischen Spintheorie als Spezialfalle, enthalt ; siehe den
Ubersichtsartikel [lo].
Literatiir
111 FRENKEL,
J. : Z. Phys. 37 (1926) 243.
[2] SCHWINGER,
J.: Phys. Rev. 73 (1948) 416; 75 (1949) 898.
[3] NYBORG,P.: Nuovo Cimento 31 (1964) 1209; 32 (1964) 1131.
[41 KOLSRUD,
M.: Nuovo Cimento 39 (1965) 504.
[3] RCHIROKOW,
Pu. M.: JETR 21 (1951) 748.
?) Es sei bemerkt, daB in der Quantentheorie ein iihnlicher Ausdruck fur die effektive Masse in
der Dirac-Gleichung mit Vakuum-Pauli-Wechselwirkung[9] enthalten ist; siehe auch [ll].
20'
300
I. M. TERNOV
und W. A. BORDOWSYN
[6] GOOD,R. H. Jr.: Phys. Rev. 126 (1962) 2112.
[7] BARGMANN,
V.; MICHEL, L.; TELEGDI,V. L.: Phys. Rev. Lett. 2 (1959) 435.
[S] CORBEN,H. C.: Phys. Rev. 121 (1961) 1833.
[9] PAULI,
W.: Rev. Mod. Phys. 13 (1941) 203.
BAGROW,
W. G.; BORDOWITSYN,
W. A.: Isw. WUZow UdSSR, Phys. 2 (1980) 67.
[ll]BORDOW~SYN,
W. A.: Isw. WUZow UdSSR, Phys. 3 (1982).
[lo]
Bei der Redaktion eingegangen am 3. Dezember 1980, revidiertes Manuskript am 24. Februar 1982.
und
Anschr. d. Verf. : Prof. Dr. I. M. TERNOW
Doz. Dr. W. A. BORDOWITSYN
Physikalische Fakultiit der Moskauer Universitat
UdSSR-117234, MGU
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