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Das stationre Verhalten eines Josephson-Tunnelelements.

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Annalen der Physik. 7. Folae, Band 41, Heft 4/5, 1984, S. 315-330
J. A. Barth, Leipzig
Das stationare Verhalten eines Josephson-Tunnelelements
Von M. RIEDEL,
H.-G. MEYER, W.
KRECR
Sektion Physik der Friedrich-Schiller-UniversitiitJena
Inhaltsiibersicht. Im Rahmen der Werthamer-Theorie untersuchen wir das Strom-Spannungs-Verhalten eines autonomen Josephson-Tunnelelements bei Speisung durch eine Stromquelle
mit endlichem Innenwiderstand. Der Grenzfall der KonstantspaMungsepeisung und der Fall grol3er
Kapazitiiten werden analytisch mit Hilfe eines Starungsverfahrens im Frequenzraum gelost. Die
numerisch gewonnenen asymptotischen Losungen zeigen charakteristische Abweichungen von den
Lijsungen, die im RSJ-Model1 erhalten werden.
The Stationary Behaviour of a Josephson Junction
Abstract. Within the frame of the Werthamer theory we investigate the current-voltage
dependence of an autonomous Josephson junction fed by a current source with finite load resistance.
The limiting case of the voltage biased junction and the case of a large capacitance are solved analytically using it pertubation calculation in the frequency domain. The numerically calculated
asymptotical solutions ahow significant deviations from the solutions obtained within the RSJ-model.
1. Einleitung
Josephson-Tunnelelemente sind kryoelektronische Bauelemente mit extrem nichtlinearen Eigenschaften. I n Abhangigkeit von der Art ihrer elektrischen Speisung unterscheidet man zwei verschiedene Betriebsregimes : Liegt am Element eine Konstantspannung V , an, so flieBt ein hochfrequenter Wechselstrom mit der Josephsonfrequenz
Q,, = 2eV,,/h; flieBt andererseits durch das Element ein Konstantstrom ID,so wird eine
hochfrequente Wechselspannung erzeugt, die alle harmonischen Oberwellen der Grundfrequenz Q, = 2eVm/tL enthiilt. I n beiden Fallen entsteht in der Tunnelbarrierenschicht
ein elektromagnetisches Wechselfeld, das in die Umgebung abgestrahlt wird.
Auf Grundlage der mikroskopischen Theorie der Supraleitung hat WERTHAMER
[ 11
bereits 1966 eine Beschreibung des elektrischen Verhaltens gegeben. Die von ihm gefundene Formel fur die Strom-Spannungs-Abhangigkeitkonnte jedoch erst iiber 10 Jahre
spater aus dem Frequenzraum in den Zeitbereich iiberfuhrt und damit vollstandig
verstanden werden [2- 41. Daneben existiert das phiinomenologische RSJ-Modell [5],
welches jm Vergleich zum Werthamer-Model1 bedeutend einfacher ist, jedoch die wesentlichen qualitat.iven Merkmale richtig wiedergibt. Die Ende der siebziger Jahre vorgeschlagenen neuen Anwendungsmoglichkeiten von Josephson-Tunnelelementen u. a. als
Spannungsstandard [61 bzw. Frequenzmixer [ 71 haben in den letzten Jahren ein zunehmendes Interesse an der mikroskopischen Beschreibung hervorgerufen.
I n dieser Arbeit wollen wir das stationare Verhalten eines Josephson-Tunnelelements
im Werthamer-Model1 untersuchen ; die erhaltenen Ergebnisse werden zum besseren
Verstandnis mit den Resultaten des RSJ-Modells verglichen.
Ann. Physik Leipzig 41 (1984) 4/6
316
2. Grundlegende Beziehungen
Wir legen folgende einander Lquivalente Schaltungsanordnungen zugrunde :
C
I
Abb. 1. Schaltanordnungen des autonomen Josephson-Tunnelelementes
Das Josephson-Tunnelelement besitzt die endliche Kapazitat C- und wird von einer
Stromquelle mit dem Innenwiderstrcnd R, gespeist. Der Strom I,(l) durch das Tunnelelement ist mit
1
I&) = I , - - V ( t )
RS
gegeben, insbesondere gilt fiir die (lleiohstromanteile fder Querstrich symbolisiert den
zeitlichen Mittelwert)
1Is(t)t = I , - v(ly.
RS
2.1. Dss Werthamer-Modell
Im Rahmen des WERTHAMER-MOdellS[13 erhalt man fur die Strom-Spannungs-Abhangigkeit die nichtlineare Integrodifferentialgleichung
Die Konstantphase im Exponenten vor dem Paarstromanteil I p wurde hierbei mit in
die komplexe Spektralfunktion W(Q) einbezogen. W ( Q ) ,die Phasendifferenz uber dem
Josephson-Kontakt q(t) und die abfallende Spannung V ( t )stehen durch
miteinander in Beziehung. Die belrannten komplexen Stromresponsefunktionen 1&2)
und I,(Q) [a- 101 genugen in dieser Darstellung der Vorzeichenkonventionvon POULSEN
[a] ; sie enthalten die Informationen uber die Art der supraleitenden Elektroden und
die Temperatur T am Tunnelelemunt. Es ist zweckmaigig, zu dimensionslosen GroBen
iibenugehen :
317
M. RIEDEL
u.a., Josephson-Tunnelelement
A, bzw. A, sind die Energielucken der beiden nicht notwendig gleichen Supraleiter bei
T = 0, Ic ist der kritische Strom und RN der Normalleitungswiderstand des Tunnelelements.
Somit folgt
1
-
i, = qs)"
und
-w
I
!
0
1
w
0
1
0
Abb. 2. Real- und Imaginiirteil der Stromsponsefunktionen $(w) und ip(o)fur eine symmetrische
Tunnelverbindung im VBCS-Moden (y = 4/n, 7 = lo-"):
a) T = O - * - * - ;
b) T = 0 , 9 6 T c -
Bei der Berechnung der BCS-Stromresponsefunktionenip(co)und i,(o) haben wir Zustandsdichten benutzt, in denen Diimpfungseffekte infolge von Paarbrechung oder
Luckenanisotropie [ 10, 111 phiinomenologisch uber einen kleinen Imaginiirteil '7 in den
Energielucken d, und A , beriicksichtigt werden (sog. VBCS-Modell, vgl. Abb. 3).
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318
Uni die stationaren Eigenschaften des Tunnelelements im resistiven Zustand
(~(s#
) const.) zu erhalten, mu13 die asymptotische Losung ~ ( s fur
)
s + 00 von
(5)
und (6) berechnet werden, von der wir annehmen, da13 sie eine periodische Zeitabhiingigkeit besitzt (vgl. Abschn. 3). Entxprechend zerlegen wir die Spektralfunktion W(w)
in Harmonische der Griindfrequenz wo, welche sich ihrerseits in Abhangigkeit vom ein-
2-
I-
0-
I
.
0
0.98
I. 02
1.00
Abb. 3. VergroBerter Ausschnitt von Abb. 2 (T = 0) fur w >( 1:
* c ) 7 = 10-2 a) q = 10-4 -;
b) q = 10-8
. . - . -.
-
M. RIEDEL
u. &., Josephson-Tunnelelement
319
gepragten Strom am Arbeitspunkt des Tunnelelements eingestellt hat [ 21 :
w ( w )=
k
Wkd(0
- koo).
(7)
Wir konnen also ansetzen
i(s) =
io + 2 i k e i k m o 8 ,
(8b)
io= 0 .
k
Durch Kombination von (l),(5), (6) und (7) erhalt man das nichtlineare algebraische
Gleichungssystem
0=
c
( [ w : w k + n - w - k - i ~ ~ k - i - n [li .g ( ( b
k
-
1
+[
y&w;kn
+ f )wo)
+ ia
wk w n - 6 - 1 -
do,, = C W,*Wk+n
(9)
w%+kw? k - 1)
Vn
20
k
= 0,
ip
((k + +) wo)]
Vn 2
k
fur die komplexen Koeffizienten w
'% = w
oc
k
i n = -&yo0
k ;
f1, f2,
... Weiterhin folgt
kW,*Wk+n,
k
kW,*Wk+n.
(13)
Die Gleichungen (9) bis (13) liefern die gesuchte Beschreibung der stationaren Eigenschaften des Tunnelelementes.
+
= RNC ( A ,
A2)/k und 01 = RN/Rs
Der EinfluB von C und Rs geht uber YBC
2
in (9) ein. Fur die explizite Losung ist es notwendig, den Zeitnullpunkt so festzulegen.
Das wird entsprechend G1. (6) z. B. mit der Forderung
-it)= o
lm (woe
(14)
realisiert. Der Wert der Absolutphase x ist im resistiven Zustand des Tunnelelementes
ohne Belang und kann daher willkurlich zu Null gewahlt werden. Da eine geschlossene
analytische Losung obiger Gleichungen im allgemeinen nicht moglich ist, haben
MCDONALD
und Mitarb. [21 ein numerisches Losungsverfahren entwickelt, welches auf
der Annahme beruht, da13 von der unendlichen Anzahl der Wk nur endlich viele wesentlich von Null verschieden sind und somit zum Strom beitragen konnen. In einigen Spezialfiillen kann man jedoch analytische Losungen bzw. NLherungen angeben.
320
Ann. Physik Leipzig 41 (1984)4/5
2.2. Dss RSJ-Modell
Wir vereinfachen die komplexen Stromresponsefunktionen durch den Ansatz
+
+
i,(o)= Re i,(O)
io,
i J o ) = Re i,(O)
iew,
-1 5 E
und erhalten unter Beachtung der Identitiit
n k
(154
5
1
(15b)
{WkWn-k--l- WFn+kW?k-I}eQW$ = 2i sinv(s)
nach geeigneten Umformungen die bekannte Grundgleichung des RSJ-Modells [5, 121
+Y
Y2
i(s) = p B c @ ( s ) +,(a)
[1
+
E (305
v(4l
+ sin&)
(16a)
bzw.
i, = ,&b(s)
Y2
+ y u ( s ) [l +
E
+ sin&)
cosv(s)]
-
-~av(s)~.
(16b)
Das Wert hamer-Model1 und das phanomenologische RSJ-Model1 unterscheiden sich
also nur in den funktionalen Abhangigkeiten der Stromresponsefunktionen. Anhand
deren Eigenschaften [8, 91 kann man erkennen, daB fur T nahe der kritischen Temperatur T, der Supraleiter der Ansatz (15) mit E = 0 relativ gut erfiillt und daher das
RSJ-Model1 eine gute Niiherung fiir (5) und (6) ist.') Diese Aussage steht in einer gewissen Analogie dazu, daR nahe T,,auch fur schwach supraleitende Verbindungen mit
direkter Leitfahigkeit die RSJ-Grundgleichung abgeleitet werden kann [131. FaBt man
andererseits bei einer festen Temperatur unterhalb T, die Funktionen i,(o) und i,(w)
als ModellgroSen zur Beschreibung der Materialeigenschaften des Tunnelelements auf,
so konnen - da bekannt ist, daB die Strom-Spannungs-Abhangigkeitvon supraleitenden
Briicken und Punktkontakten auch bei tieferen Temperaturen durch (16) zufriedenstellend beschreibbar ist - briickenahnliche Eigenschaften dieser Tunnelelemente durch
geeignete Wahl der i p ( w )und i J w ) modelliert werden. Wegen der Vereinfachung (15)
gehen im RSJ-Model1 die Informationen uber den internen photon-assistierten Tunnelstrom und uber die GroRe der Energielucken verloren; im Zeitbereich entspricht das
dem Verlust der Retardierungseigenschaf t der Werthamer-Gleichung [31. Falls die
Kapazitat verschwindet und E = 0 ist, hat G1. (16) die bekannte Losung
1
2 an
0
zLn
-- - O . - . e
inf
,
n 2 l .
I m Grenzfall einer Konstantspanniingsspeisung folgt aus (17) sofort
1) Der strenge Grenziibergang T + T, fiihrt zum Verlust des Paarstromanteils und damit des
sin v-Terms im RSJ-Modell.
321
M. RIEDEL
u. a., Josephson-Tunnelelement
2.3. NiiherungslSsungen
Wir nehmen an, daB
Y B c 4 3- 1
(19)
gilt. Diese Bedingung ist oberhalb der Summenliicke (wo 2 2) praktisch fiir beliebige
Tunnelelemente stets gut erfiillt ; im Liickenbereich kann sie nur von hochkapazitiven
Tunnelelementen erfiillt werden. Die Gleichungen (9) bis (11) konnen dann mittels einer
Reihenentwicklung nach dem kleinen Parameter I, = l/yj3cw: analytisch gelost werden.
Wir setzen
W
w+= J
wppi,
a=O
I=
i= 0
c
m
00
-
50-
O Pi,
"k =
(20)
i= 0
an und ordnen die resultierenden Terme nach Potenzen von p . Im Ergebnis folgt in
m-ter Ordnung (13,,~bezeichnet das Kronecker-Symbol):
a)
m = 0: w(,O) = Sk,O
b)
m = 1: WC,l) = 0,
w p = 0,
wp) = 0
w;"= -we''1 - a , ( $ ) ,
- *
v Ikl> 1,
v p I > 2,
v Ikl> m.
d)
m > 2: WLrn)=O
Bei kleinen p sind die Betrage der Koeffizienten Wk bezuglich ihres Indexes k der GroBe
nach geordnet, also
IWola
P4
4
~ ~ l l 9 l ~ - ll l~ a Z
1
l
~
I
~
-
Z
l
~
(21)
y -0.5
I
Abb. 4. Darstellung der Wk-Hierarchie (numerisch) im VBCS-Model1 bei T = 0,
7 = 104 und y = 4/n
= 0,5, a = 0,
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322
Wie die numerischen EBebnisse zeigen, wird diese Hierarchie nur durchbrochen, wenn
die Argumente der Stroniresponsefunktionen i,
+
Nahe von 1 liegen, d. h. bei w0/2 'v 1/(2k
I), oder bei groBen p . I n beiden Fallen
ist die Reihenentwicklung fehlerhaft (vgl. Abb. 5 ) . Setzen wir a ) bis c) in (10) ein, konnen wir den Gleichstrom in Abhangigkeit von der mittleren Spannung 0 , / 2 bis zur
2. Ordnung in p ausrechnen:
&,
+ 2 p y (?)[ig
(2)(2)+
- i$
2i,,])).
Gleichung (22) stimmt mit dem von SCHLUP [4] friiher auf anderem Weg erhaltenen
Resultat uberein, fur BG 2 10 ist sie bereits eine gute Naherung (Abb. 5).
b
-.
p c ='I0
=- p,
=
4
0
Abb. 5. Vergleich der Niiherungen (22) bzw. (23) mit der numerischen Losung (durchgezogeneLinien)
fur pc = 10, BC = 4 (a = 0, y = 4/n):
b) ILSJ-Modell: E = 0
a ) VBCS-Modell: T = 0, 7 =
323
M. RIEDELu.a., Josephson-Tunnelelement
Um den entsprechenden Ausdruck im RSJ-Model1 zu erhalten, mussen wir (15)
und (22) kombinieren :
I n der Abb. 4 werden beide Naherungen mit der exakten numerischen Losung verglichen. Der Riicksprungstrom iOmin
aus dem resistiven Zustand des Tunnelelements
in den spannungslosen Zustand kann bei linearisierten Stromamplituden naherungsweise
aus (23)erniittelt werden, es gilt fiir grol3e BC und a = 0
.-
Eine weitere analytische Niiherungslosung der Werthamer-Gleichung folgt fur groSe
a , also geringem Innenwiderstand R, der Stromquelle. Da dieser Fall im allgemeinen
experimentell weniger relevant ist, sol1 er hier nur zur Uberprufung des vorgestellten
Naherungsverfahrens dienen. Wir nehmen an, da13 in (9)
aw,4 1
(25)
sowie PG = 0 gilt. I n analoger Weise finden wir bis zur 2. Ordnung beziiglich q = l/aw,
fur den Gleichstrom
insbesondere ergibt der Grenzfall der Konstantspannungsspeisung a --+00 die seit langem bekannte Formel [81
i ( s ) = y (lm i,
e)
+ R e i p (?)sin wos + lm ip(?)COB coos) .
I m Falle von RSJ-Stromamplituden mit E = 0 leitet man aus (26) den Ausdruck
0,
1
1
1
1
io = y T +
-2a 0,
2aa w,
-.
.-
Y T
Y T
ab, dessen Richtigkeit fur groBe a auch direkt durch Reihenentwicklung der exakten
Losung (17 a) verifiziert werden kann.
3. Numerische Ergebnisse
Die Gleichungen (9) bis (14) wurden mit Hilfe eines Newton-Verfahrens numerisch
gelost (vgl. [2]).
3.1. Asyrnptotische L8sungen
ABIDIund C ~ zeigten
A mit Hilfe eines Satzes von PUSS[ 141, daS die asymptotische
Losung e(s) der G1. (16)stets eine periodische Zeitabhangigkeit besitzt, w a n sie nicht,
falls l,
5
,1, in die singuliire Losung ~ ( s=) 0 einmiindet [15]. I m allgemeineren Wert-
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hamer-Modell ist ein solcher Beweis nicht bekannt, da durch die zeitliche Retardierung
der Zustandsraum des Systems (5), (6) unendlich-dimensional wird [16]. Die von uns
durchgefiihrten numerischen Rechnungen im Zeitbereich weisen jedoch in Ubereinstimmung mit bereits veroffentlichten Ergebnissen [ 18-211 auf ein zum RSJ-Model1
analoges asymptotisches Verhalten hin. Entsprechend wollen wir uns daher mit Ansatz
(7) auf solche Losungen beschranken. I n Abhangigkeit vom Wert des eingepragten
Stromes treten im resistiven Zustand unterschiedliche
Momentanspannungen V ( S ) auf.
Die Mittelwerte dieser Spannungen, ~ ( 8 =) w0/2,
~
fiihren auf die bekannten Charakteristiken von MCDONALD[2] und SCHLUP
[4]. Die oszillatorischen Anteile zL(s) =
~ ( s)
3
wurden
2
dagegen bisher nur gelegentlich im Rahmen des RSJ-Modells unter-
sucht [171. Die von uns erhaltenen asymptotischen Losungen zeigen in ihrem Zeitverhalten deutliche Abweichungen vom RSJ-Modell. Der Hauptunterschied - der Wert
der eingestellten Frequenz wo der oszillierenden Spannung - ist bereits aus den Gleich-
0
anteilen, d. h. der i0 - 2 -Kennlinie zu entnehmen (Abb. 9); Man erkennt, da13 bei
2
einem formalen Vergleich die Frequenz im RSJ-Model1 im allgemeinen immer unterhalb der Werthamer-Frequenz liegt ; Ausnahmen existieren nur in einem schmalen
Bereich am Summenanstieg infolge der im Werthamer-Model1 auftretenden PeakStruktur. I n der Niihe dieses Peaks existieren unter Umstiinden drei verschiedene asymptotische Losungen ~ ( s mit
)
jeweils verschiedenen Frequenzen. Von diesen ist die Losung
mit der mittleren Frequenz stets instabil, wahrend die beiden stabilen Losungen zu
0
4 . a
.
10
. 20
- y-0.8
9 = 1.05
9= 4 . ~ 4
- 9 = 0.93
---
'
I
.
--s
4 8 ) im VBCS-und RSJ-Model1 (gepunktete Linien) fiir pc = 0,
Abb. 6. Asymptotische Liisungen
a = 0, q = lo-':
1
a) i, = 1,02; a) i,, = 1,82
M. RIEDEL
u.a., Josephson-Tunnelelement
325
einer auch experimentell beobachtbaren Stromhysterese oberhalb der Summenlucke
(,,Knie") fuhren konnen (Abb. 6). Weiterhin kann im Gegensakz zum RSJ-Fall (17)
im Werthamer-Model1 selbst fur BC = 0,a = 0 und i, 5 1 eine resistive Losung existieren (Abb. 9). Daraus egibt sich die Konsequenz, da13 Tunnelelemente, die durch die
Werthamertheorie beschrieben werden, nie eine hysteresefreie Strom-Spannungskennlinie zeigen konnen.
Die bisher diskutierten Unterschiede beider Modelle werden jedoch unbedeutend,
falls asymptotische Losungen gleicher Frequenz w, (d. h. durch gesonderte Stromeinstellung wird jeweils die gleiche mittlere Spannung eingestellt) verglichen werden [ 191.
Hier besteht eine Korrespondenz zum spannungsgespeisten Fall (27), bei dem die Werthamer-Gleichung eine zum RSJ-Modell iihnliche Form besitzt .
Wie aus den Gleichungen (12) und (13) ersichtlich, besteht zwischen dem Wechselw
stromanteil 6s) = i(s) - i, und der Wechselspannung 'LL(s) = ~ ( s )- 2 eine lineare
2
Beziehung,
I
i(8) =
-ayG(s).
(28)
Strom und Spannung schwingen mit einer konstanten Phasendifferenz x, wenn
0 < 01 < m ist.
Die spektrale Zusamrnensetzung der Spannungsoszillationen ist fur Bc = 0 und
01 = 0 in Abb. 7 anhand der ersten funf Fourierkoeffizienten Iu, [/cooveranschaulicht.
Im Gegensatz zum RSJ-Modell, vgl. (17c), gibt es hier Frequenzen LO,, bei denen die
I nicht fallend nach ihrem Index geordnet sind. Das Josephson-Tunnelelement
schwingt bei coo = 2/(2k - 1) besonders stark mit der Requenz kw,, k = 1, 2,3, . ..,
wobei das lokale Maximum aller lvllI bei LO, = 2 am deutlichsten ausgepriigt ist.
Iu,~
0.5.
0.
3.2. Der 00s cp-Term im RM-Modell
Bei der Linearisierung der Stromresponsefunktionen ip(w) und i&w) blieb fiir den
Imaginarteil der Paarstromamplitude noch der Wert von E offen. BELYKH
und Mitarb.
[12] diskutierten den EinfluD von E auf die Gleichanteile von Strom und Spannung und
fanden, daB der Fall E = 0 typisch fur beliebige I E I < 1 ist. Beriicksichtigt man jedoch
Ann. Physik Leipaig 41 (1984) 4/5
326
auch den oszillatorischen Anteil der Spannung, so zeigt die numerische Losung von
G1. (16) bei E # 0 nur bei kleinen mittleren Spannungen w0/2 ein zum Fall E = 0 Iquivalentes Verhalten. Bei groI3eren w,J2 2 1 werden mit der Herausbildung eines stetig
wachsenden Spannungspeaks zunehmend deutliche Abweichungen erkennbar. Entsprechend erscheinen in der harmonischen Analyse von " ( 5 ) eine groBe Zahl hoherer
Frequenzkomponenten. Diese besitzen keine physikalische Relevanz, da sie fur Stromwerte, die groB gegen den durch den sin v-Term bestimmten kritischen Josephsonstrom
gind, nicht zu erwarten sind.
Die Ursache dieses Verhaltens liegt in der unzuliissigen Vereinfachung der Stromamplitude lm ip(w),die bei groBen Frequenzen nicht linear extrapoliert werden dad
(Abb. 2).
Der cosv-Term spielt daher im RSJ-Modell nur eine untergeordnete Rolle; wir
haben in dieser Arbeit immer E = 0 gewiihlt.
I
0
-I
-7
Abb. 8. Asymptotische Lijsungen L(5) = 4 5 ) - w0/2 im RSJ-Model1 mit Bc
fur E = 0,5 bzw. E = 0 (gestrichelteLinim):
WO
a) - =
2
WO
1,O; b) - =
2
0,5; c)
= 0,
a = 0, y = 4/z
0 0
WO
= 0,15; d) - = 0,05
2
2
3.3. Die Strom-Spannungs-Kennlinie
Infolge der extrem kurzen Einsohwingzeiten des Josephsonkontaktes von
bis
10-lO Sekunden und der ebenfalls im Pikosekundenbereich liegenden Periode 2nlS2,
der Strom- und Spannungsoszillationen sind experimentell gegenwartig nur die Gleichanteile iound w0/2 bestimmbar. I m Gegensatz zu den Wechselanteilen besteht zwischen
ihnen eine nichtlineare Abhangigkeit. Wir haben die
0
if, - 2
-Charakteristiken
2
im
I
0
t ) ) r variabel, Bc = 0
Abh. 9. Strom-Spannungs-Kennlinienfur den symmetrischen VBCS-Kontakt (T= 0,
0
0
1.0
L
/
-
0.25
0.5
2
7
/.Ic0.0
1
2
3
e
2
L!&
= 10-4): a) Konstantstromspeisung a = 0, Bc variabel;
I
Ann. Physik Leipzig 41 (1984)4/5
328
Werthamer-Model1 in Abb. 9 dargestellt 2, : Einerseits fur Konstantstromspeisung und
= 0 und verschiedene Widerstandsverhaltnsse
verschiedene Bc, andererseits fur
R,IRp
Man sieht, daB selbst bei verschwindender Temperatur im Luckenbereich des Tunnelelementes erhebliche Strome flieBen konnen, deren Wert bei einer festen mittleren
Spannung allein von Bc und a abhiingt ; VergroBerung eines dieser Parameter fuhrt zur
Absenkung dieser sog. Exzess-Stromc. Zum besseren Verstandnis vergleiche man Abb. 7 :
Die im Liickenbereich verstarkt auftretenden hoheren Harmonischen der Wechselspannung ergeben infolge der nichtlinearen Eigenschaften der Werthamer-Gleichung einen
zusktzlichen Gleichstrombeitrag.
Die Losungen fur sehr kleine w,, insbesondere bei LY = 0, uberfordern das numerische
Verfahren, das mit einer oberen Abschneidefrequenz arbeitet und daher extrem impulsartige Momentanspannungen nicht richtig beschreibt.
Die Grenzfalle groBer Bc und a fiiliren unabhangig voneinander auf die gleiche StroniA
Spannungskennlinie i ,
=y
(2)
lm $g - , wie auch aus (22) und (26) zu entnehmen ist.
.
Das bietet experimentell die Moglichkeit, eine der vier Stromamplituden Re iq, lm iq,
R e ip, lm i p explizit zu messen. Bei groBflachigen Tunnelelementen mit BC % 10 ist
die Identifikation von
mit der Quasiteilchenstromamplitude bedenkenlos durch-
%i
fuhrbar. Weiterhin entnehmen wir Abb. 9, daB bei den Spannungen
2
\
3
=
2
’.
I
0
-I
-2
0
0.5
Abb. 10. Abhiingigkeit des minimalen Stromes im resistiven Zustand von BC im VBCS-Model1 mit
17 = lo4, T = 0 und im RSJ-Modell (gestrichelte Linie) fur a = 0, E = 0 und y = 4/n
2)
Zu Abb. 9a iiquivalente Kurven sind in
[a] enthalten.
M. RIEDELu. a., Josephson-Tunnelelement
329
1/3, 1/5, 117, ... sog. ,,subharmonische Strukturen" der Energielucke auftreten, als Folge
des Riedelpeaks in R e ip(o)bei w = 1. Diese Feinstrukturen sind in der Regel experimentell kaum zu beobachten, sie verschwinden sehr schnell bei zunehmender Verrundung der Stromresponsefunktionen (q 2
Am Summenanstieg zeichnet sich eine
deutliche Kniestruktur ab, die in gleicher Weise empfindlich auf Veranderungen von q
reagiert. In1 Gegensatz dazu sind die Exzess-Strome kaum von q abhangig. Zur quantitativen Auswertung wird ublicherweise der minimale Stxomwert &,,in im resistiven
Zustand in Abhangigkeit von log@, dargestellt (Abb. 10). Die Kurve fur das Werthamer-Model1 bei T = 0 geht fur T -+ T, in die RSJ-Kurve uber, welche bei festem Bc
.
imnier einen grol3eren Wert iOmir,
zeigt.
I n Einklang mit der Diskussion aus Abschn. 2.2. kann auch folgende Interpretation
gegeben werden: FaBt man die Werthamer-Formel (5), (6) als universelle Bewegungsgleichung fur die Phasendifferenz ~ ( s einer
)
schwach supraleitenden Verbindung und
die Stromresponsefunktionen i p ( w )und i,(w) als ModellgroBen zur Beschreibung der
Materialeigenschaften dieser Verbindung auf, so charakterisieren beide Kurven die
Extreinfalle eines Josephson-Tunnelelements und einer supraleitenden Briicke.
Mit Hilfe von Abb. 10 ist dadurch eine Klassifikation experimentell untersuchter
Josephsonkontakte bezuglich dieser beiden Grundtypen moglich.
4. SchluSbemerkung
Bei der Untersuchung periodischer Losungen der Werthamer-Gleichung werden
Einschwingvorgange, wie sie beim Einschalten des Stromes auftreten, nicht erfaBt.
Sind diese von Interease, laBt sich die Losung der Integrodifferentialgleichung im Zeitbereich nicht umgehen [ 19- 211.
Solange man jedoch nur Aussagen uber das stationare Verhalten benotigt, ist der
in dieser Arbeit benutzte Zugang direkter und numerisch weniger zeitaufwendig. Unter
diesem Gesichtspunkt sollte es auch moglich sein, kompliziertere supraleitende Strukturen mit der Werthamer-Theorie zu beschreiben.
Literatuverzeichnis
WERTHAMER,
N. R.: Phys. Rev. 147 (1966) 255.
MCDONALD,
D. G.; JOENSON,
E. G.; HARRIS,R. E.: Phys. Rev. B 13 (1976) 1028.
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Bei der Rsdaktion eingegangen am 5. Juli 1984.
Anschr. d. Verf.: Dipl-Php. M. RIEDEL,Dr. H.-G. MEYERund Dr. W. KRECH
Sektion Physik der Friedrich-Schiller-Universitiit
DDR-6900 Jena
Max-Wien-Platz 1
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