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Das Strahlungsfeld eines quantisierten Stromes.

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J.KAMPHUSMANN
u. B.ECHTERMEYER:
Strahlungsfeld eines quantisierten Stromes
77
Das Strahlungsfeld eines quantisierten Stromes
Von J. KAMPHUSMANN
und B. ECHTERYEYER
Abstract
The HAMILToNian of a model for an atom interacting with radiation is diagonalized by
neglecting the energy operator of the atom whereas the interaction is completely taken into
account. The eigenstates correspond to the states which are generated by a classical
current. For the two level atom interacting with one mode of the radiation only, the complete H m T o a i a n is reduced to two operators containing only variables of the photon
field.
Das Eigenwertproblem eines Modell-Ha~ToN-Operatorsfur ein Atom im
Strahlungsfeld, der die gesamte Kopplung a n das Strahlungsfeld enthalt, aber
bei dem die quantisierte Energie des Atoms fortgelassen ist, wird geltist. Die
Eigenvektoren entsprechen den Zustiinden eines Strahlungsfeldes, das an einen
klassischen Strom gekoppelt ist. Ferner wird fur ein Zwei-Niveausystem der
gesamte HAMILTON-Operator reduziert, so daI3 er in zwei Strahlungsfeldoperatoren zerfiillt.
1. Die Ausstrahlung eines Stromes [l]
Der HAMILTON-Operator fur das elektromagnetische Strahlungsfeld, das an
einen klassischen oder auch quantisierten Strom j ( t ) angekoppelt ist , lautet
+
+ i&, + at,).
(1)
j , ist entweder eine reelle Zahl, die in beliebiger Weise von der Zeit abhiingt,
oder ein quantenmechanischer hermitescher Operator, der keine explizite Zeitabhiingigkeit besitze und mit allen Photonenoperatoren vertausche. k numeriert
alle Moden des Strahlungsfeldes durch. wir wollen die Losung der SOHR6DINQERGleichung zu diesem HAMILTON-Operatorangeben und beschriinken uns auf eine
einzelne Normalschwingung des Feldes. Im Wechselwirkungsbild lautet die
8CHRoDINGER-Gleichung:
=
ifi
d
(fiw,ak+a,
I N > =H,
1w>
mit
(2)
+
+
H, = j ( t ) exp (iwu+at) (a a+)exp (--iwu+ut)
= j ( t ) (u exp (-iwt)
a+ exp (icot)).
(3)
Die Losung von (2) erhiilt man auf folgende Weise: Wenn der Kommutator
eines explizit von der Zeit abhangigen Operators A mit seiner partiellen Ableitung nach der Zeit mit A vertauscht,. also [A, [A,
= 0 ist, so gilt:
A]]
d
exp A
=
-
(A
+
1
[A,
2
A ] )exp A.
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Annalen der Physik
*
7.Folge
* Band 24, Heft 1/2 *
1969
Daraus folgt:
allerdings nur, wenn A(t,) und [A, Aj(t,) zu allen Zeiten miteinander vertauschen.
Setzen wir
A = a+ a(t)- .+(t) a
( 4)
mit
a ( t )= -
i
t
J dt‘ j ( t ‘ ) exp (iwt’)
(5)
so ist,
[ A , A ] = cx(t) &(t)+ - cx(t)+o;(t).
(6)
I m Falle daB j ( t ) eine reelle Zeitfunktion ist, z. B. ein klassischer Antennenstrom,
vertauscht A mit [A, A] weil der Kommutator eine c-Zahl ist. 1st j ein quantenmechanischer Operator, der nicht explizit zeitabhiingig ist und mit den Photonenoperatoren vertauscht, so hat der Kommutator die Form
Das vertauscht ebenfalls mit A. Damit ergibt sich in beiden Fiillen als Losung
von (2) :
jy(t)> = exp (&a+ - +
.a
-
1
t
J dt’ (cx(t’) k(t’)+ - cx(t’)+ k(t’))l y ( 0 ) ) .
(7)
Der Exponent ist antihermitesch, so daB sich die Normierung im L a d e der Zeit
t
1
nicht iindert. 1st j ein klassischer Strom so liefert ,Jdt’(ar(t’)
(&t’)+ - cx(t’)+
x
& ( t ’ ) ) nur einen Phasenfaktor. Die Zustiinde Iq(t)> sind im Spezialfall, daB
Iq(0))
der Vakuumzustand ist unter dem Namen GLAUBER-Zustiinde bekannt
geworden.
2. Ein Modell fiir das Zwei-Nivesusystem
Fur ein Zwei-Niveausystem, das mit einer Mode des Strahlungsfeldes wechselwirkt, hat man ehen HAMILTON-Operator der Gestalt
H = Aw @+a
+
+
(c+c - cc+)
+ p(c + c+) (a + a+)}
(8)
hierbei bedeutet c den Operator der das untere Niveau erzeugt und das obere
vernichtet, und c+ den hermitesch konjugierten Operator, der den umgekehrten
ProzeB bewirkt. ticoc)~ist die Energiedifferenz der beiden Niveaus und p das reelle
ubergangsmatrixelement . Die Terme ,a+ und c+a beschreiben die Emission
und Absorption eines Photons, sie machen die Ubergiinge, bei denen die Energieerhaltung fur den EinzelprozeB gilt (resonante Obergiinge). LiiBt man die
anderen Terme der Wechselwirkung weg, so kann man den ubriggebliebenen
HAMILTON-Operator exakt diagonalisieren [2, 31. Fur mergange zwischen benachbarten Photonenzahleigenzustiinden erhiilt man damit Obergangswahrscheinlichkeiten, die proportional sind zu den von EINSTEIN
aus thermodynami-
J.KAMPHUSMANN
u. B. ECHTERMEYER
: Strahlungsfeld eines quantisierten Stromes
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+
schen uberlegungen gefolgerten Koeffizienten n bei der Absorption und n
1
bei der Emission (n ist die Photonenzahl vor dem ubergang).
Die Bevorzugung der Terme ca+ und c+a aus der Wechselwirkung wird oft
begriindet durch die Forderung der Energieerhaltung [4] in der Form, daB die
Summe der Energien der ungestorten Teilsysteme konstant ist. Da die Wechselwirkung prinzipiell nicht abgeschaltet werden kann, ist die Energie des Teilsystems nicht gut definiert, keines der Teilsysteme ist abgeschlossen. Wenn man
trotzdem fiir die Energie den Ausdruck fur die freien Systeme nimmt, so h e a t
das, daB die Wechselwirkung als beliebig schwach angesehen werden soll.
Dann kann man davon ausgehen, daB jedes Teilsystem sich praktisch in einem
Eigenzustand zum ungestorten HAMILTON-Operator befindet. Dieser Standpunkt, der die St,orungsrechnung rechtfertigt, wird aber problemetisch in dem
extremen Fall des Lasers mit hoher Photonendichte, weil die Frage offen ist ,
ob man hier nicht von gebundenen Zustiinden des gekoppelten Systems ausgehen muB.
Das Weglassen der nicht resonanten Terme der Wechselwirkung hat zur
Folge, daB der Zusammenhang mit der Ausstrahlung eines klassischen Stromes
verschleiert wird. Lassen wir namlich in dem HAMILTON-Operator fur das ZweiNiveausystem statt der nicht resonanten Terme der Wechselwirkung die quantisierte Energie des Zwei-Niveausystems fort, so erhalten wir genau den im
ersten Abschnitt behandelten Fall, daB das Strahlungsfeld mit einem quantisierten Strom wechselwirkt. Dieser Stromoperator p(c c+) erfullt die Voraussetzung, daB er mit den Photonenoperatoren vertauscht und nicht explizit von
der Zeit abhiingt. .
Wir wollen zusiitzlich die Diagonalisierung dieses Modell-HAmLToN-Operators
H = ~~w(u+u p(c c+) (a a+))
( 9)
angeben. Die unitiire Transformation
U = exp @ ( c
c+) (a
a+))
(10)
uberfuhrt H in
U-lH U = ~ O J ( U + U- pa).
(11)
Dabei wurde folgende Operatoridentitiit benutzt
exp(--A)BexpA = B + - ~1? [ B , A I ~ ~ [ [ B , A I , A I +
...
+
+ +
+
+
-
I n diesem Fall bricht die Kommutatorreihe nach dem quadratischen Glied ab.
Die orthonormierten Eigenvektoren sind
bezeichnet dabei den Teilchenzahleigenzustand, bei dem das Grundniveau
besetzt ist und der Feldzustand der n-te Photonenzahleigenzustand ist. Mit der
Matrixform von U
( c o s h p ( ~- a+) sinhp(a - a+)
(13)
= sinhp(a - a+) coshp(a - a+)
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7.Folge
* Band 24, Heft 1/2 * 1969
ergeben sich die Eigenvektoren von H zu
cosh (p(u - a+)) In)
sinhp((a - a+)) In)
sinh @(a - a+)) In) und (coshp((a - a+)) In)
)
(
(14)
Das Spektrum ist als Folge der weggelassenen Energie des Atoms zweifach
entartet ; alle Linearkombinationen der beiden angeschriebenen Vektoren sind
ebenfalls Eigenvektoren. Die Entartung verschwindet aber, wenn man die hier
wegen der Dipolniiherung vernachliissigten Diagonalelemente der Kopplungsmatrix beriicksichtigt.
Das hier vorgefiihrte Modell 1iil3t sich leicht auf ein N-Niveausystem verallgemeinern. I m HAMILTON-Operator hat man nur an die Stelle der Kopplung
p(c
c+) eine hermitesche N x N Matrix M zu setzen.
Mit U = exp M ( a - a+) gilt
U-l Hi7 = ~ U ( U + U - Ma).
(15)
Wendet man hierauf die Transformation V an, die die N x N Matrix M diagonalisiert , so erhalt man
+
Die Eigenvektoren von H zum Eigenwert hw(n - puf) sind
Die Eigenenergien sind nicht ausgeartet, solange nicht zufallig zwei pt ubereinstimmen. Die Zustiinde exp (p(a- a+))In) sind Eigenzustiinde eines HAMILTONOperators a+a ,u(u -/- a+) zum Eigenwert n - p2. Dieser HAMILTON-Operator
ist der HANILTON-Operator fur einen harmonischen Oszflator, der durch e h e
konstante Kraft aus seiner Ruhelage ausgelenkt wird. Damit ergibt sich, daS der
Modell-HAMILTON-Operatorfur das N-Niveausystem unitiir iiquivalent ist zum
HAMILTON-Operator eines harmonischen Oszillators, dessen Eigenzustiinde
durch eine weitere Quantenzahl charakterisiert werden, die N Werte annehmen
kann.
+
3. Reduziernng des ~esamt-H~ILToN-Operators
fur das Zwei-Niveeusystem
Der HAMILTON-Operator (9) fur das Zwei-Niveausystem lautet in der Matrixschreibweise
4 2 p(a a+)
p(a
a+) a+a
&/2
Er 1al3t sich durch eine unitiire Transformation W auf die Gestalt
H- 0
W+HW = 0 H , )
bringen, wo H , Operatoren im HILBERT-Raumdes Strahlungsfeldes allein sind.
Diese Reduktion liefert zwei unter H invariante Teilriiume des Zustandsraums
+
(
++
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Strahlungsfeld eines quantisierten St,romes
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des Zwei-Niveausystems, die aus den Vektoren
gebildet werden. ly) ist ein beliebiger Zustand des Strahlungsfeldes. Insbesondere
gilt: 1st Iy+) ein Eigenvektor vo_n H , zum Eigenw&t E,, so ist
Eigenvektor von H zu E- bzw. E,. Das Problem, di& SCHRoDINQER-Gleichung
im Produktraum von Zwei-Niveausystem und Strahlungsfeld zu losen, wird
durch
zuriickgefiihrt auf die Losung einer SCHRODINGER-Gleichung, die nur
Operatoren des Strahlungsfeldes.enthalt.
Um W anzugeben, definieren wir folgende Strahlangsfeldoperatoren durch
ihre Wirkung auf die Photonenzahleigenzusttinde
17, I 2%) = I2n), 17, 1 %
I> = 0, n = O , 1 , ...
17,,)2n>=0,17,)2n+1)=)2n+1>,
n = O , 1 , ...
(20)
w
+
Ilg und IT,, sind also die Projektionsoperatoren auf die geraden bzw. ungeraden
Eigenvektoren von a+a. Der Operator W sei dann
W ist unitilr und selbstadjungiert W
i
u+a
W-l H W = tiw
=
W+ = W-l und es gilt
+ p(a + a+) - $47
0
0
a+a
+ p(a + a+)+ L2IT
(22)
mit
=
In der Ortsdarstellung der Eigenzustilnde eines linearen
harmonischen Oszillators ist 17 der Paritatsoperator. u+a p(a a+) ist uns
als HAMILTON-Operator eines verschobenen harmonischen Oszillators schon bekannt, so da13 die ~CHRoDmaER-Gleichung
mit H in der Ortsdarstellung die Gestalt
n ng-nu.
+
+
annimmt. Das ist eine li’unktional-Differentialgleichung,
die man auch als Wellengleichung mit einem lokalen Parabelpotential und einem nicht lokalen Potential
der Form dq’ S(p
q’) y(q’)auffassen kann. Eine exakte Losung dieser Funktional-Differentialgleichungsteht noch aus, jedoch erweist sich die Reduktion
des HAMILTON-Operators als nutzlich, wenn men mit storungstheoretischen
Methoden Eigenwerte und Eigenvektoren von H bestimmen will.
+
Literaturverzeiehnis
[l] GLAUBER,R. J., Phys. Rev. 84 (1961) 396.
[2] JAYNES,
E.T., and F. W. CIJMMINGS,Proceed. IEEE 5.1 (1963) 89.
W. H., Radiation and Noise in Quantum Electronics McGraw-Hill (1964).
[3] LOUISELL,
[4] BRUNNER,
W., H. PAULu. G. RIOBPER,
Ann. Physik 14 (1964) 384.
M u n s t e r l Westfalen, Institut fur Theoretische Physik der Universitilt.
Bei der Redaktion eingegangen am 19. Mai 1969.
6 Ann. Physik.7. Folge, Bd. 24
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