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Das Verhalten der elektromagnetischen Feldgleichungen gegenber linearen Transformationen der Raumzeitkoordinaten.

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599
10. Das Perhalten,
der elektromagnetischen, l?eldgleiGhurngern
gegeniiber linearen l'ramsformationen
der Raumxeitkoordinaten;
von P h i l i p p Prank.
Eine der wichtigsten mathematisch-physikalischen Tatsachen der modernen Physik ist die Invarianz der Maxwellschen Gleichungen des elektromagnetischen Feldes gegenaber
der Gruppe der Lorentztransformationen ; den Beweis haben
H. A. L o r e n t z f ~ rdie ,,spezielle Lorentztransformation,
H. Minkowski fur die allgemeine geliefert. Es erhebt sich
nun auch umgekehrt die Frage nach den allgemeinsten Transformationen der Raumzeitkoordinaten bei denen die Feldgleichungen invariant bleiben. Diese Frage hat B a t e m a n l)
dahin beantwortet , daB dies bei allen Transformationen der
Fall ist, welche die quadratische Differentialgleichung
,
dt2 - d X 2
- dy2 - Jz2 = 0
in sich iiberfiihren. Unter diesen sind wieder die allgemeinen
Lorentztransformationen die einzigen linearen. B a t e m a n bedient sich zum Beweise dieses Satzes eines Umweges uber die
Integralinvarianten der elektromagnetischen Feldgleichungen.
Es diirfte daher nicht uberfliissig sein, einen Beweis vorzubringen, der nioht nur ganz direkt zeigt, daB die allgemeinen
Lorentztransformationen die einzigen linearen Transformationen
der Raumzeitkoordinaten sind, welche die Feldgleichungen
invariant lassen, sondern der auch die eigentliche Struktur des
Gleichungssystems hervortreten und den Invarianzsatz anschaulich und nahezu selbstverstiindlich erscheinen la6t.
Wir bedienen uns zum Beweise der von Sommerfelda)
eingefuhrten vierdimensionalen Vektorenrechnung. Zwar liebe
1) H. Bateman, Proc. of the London Math. SOC., Serie 2 , 8.
p. 223ff. 1910.
2) A. S o m m e r f e l d , Zur Relativitiittstheorie I , $3 1-4, Ann. d.
Phys. 32. p. 749ff.i 11, 8s 5-9, 33. p. 649 ff. 1910.
Ph. Prank.
600
sich die Rechnung durch Heranziehung und konsequente Verwendung der Grassmannschen Auedehnungslehre, die es gestatten wurde, Somm e r f e l d s Anschaulichkeit mit Min ko w s k i s
mathematiecher Eleganz zu verbinden, noch wesentlich kiirzer
und durchsichtiger gestalten; doch will ich den physikalischen
Leser, dem in der letzten Zeit in dieser Hinsicht ohnehin
schon sehr vie1 zugemutet wurde, mit einer fremdartigen
Symbolik verschonen und mich im Interesse der allgemeinen
Verstandlichkeit miiglichst an die Sommerfeldsche Terminologie und Begriffsbildung halten.
Im $j1 stelle ich die aus der vierdimensionalen Vektorenrechnung verwendeten Begriffe und Satze znsammen; im 8 2
wird die Traneformation der Feldgleichungen durchgefuhrt und
die transformieiten Gleichungen auf die einfachste Gestalt
gebracht; im $j 3 endlich wird gezeigt, da6 die transformierten
Gleichungen nur denn dieselbe Gestalt wie die ursprunglichen
haben kiinnen , wenn die verwendete lineare Transformation
eine allgemeine Lorentztransformation wax.
1. Die vierdimensionale Vektorenrechnung.
Im folgenden sollen, wo nicht ausdriicklich das Gegenteil
bemerkt ist, durch Buchstaben ohne Index Sechservektoren l),
mit einem Index Vierervektorenl), mit zwei Indizes Skalare
bezeichnet worden. Wir gehen von einem rechtwinkeligen
Koordinatensystem des vierdimensionalen Raumes aus. Die
vier Achsen desselben mogen die xl-,x2-,x3-,x,-Achse heiJ3en.
Mit ek bezeichnen wir einen Einheitsvektor in der Richtnng
der xk-Achse. Es ist also etwa der Vierervektor b, mit den
Komponenten bll, b I 2 , bI3, I,, durch die Gleichung:
1
‘
=Cblkek
k
gegeben; die Summation ist hier wie in allen vorkommenden
Yummenzeichen von 1-4 zu erstrecken. Wenn wir noch
einen zweiten Vierervektor gegeben haben:
1) A. S o m m e r f e l d , 1. c.,
8 1.
T'erhalten
der elektromagnetischen Peldgleichungen usw.
60 1
so ist das skalare Produkt l) der beiden folgendermaBen definiert :
(3)
( b l '1)
=
2k
bl k '1 k '
Das vektorielle Produkt. 2) zweier Vierervektoren , das ein
spezieller Sechservektor wird , wollen wir durch EinschlieBen
der Faktoren in eckige Klammern bezeichnen.
So bezeichnet z. B. [el e2] ein Flachenstiick vom Inhalt 1
in der xl x2-Ebene. Wenn wir einen beliebigen Sechservektor f
vor uns haben, dessen Komponente nach der xixk-Ebene den
Betrag fik hat, so konnen wir ihn als Summe seiner Projektionen auf die sechs Koordinatenebenen folgendermaBen darstellen:
f = fi,
e21
%I + f 3 4 Le3 -k f i 4 Lei e41
4- f , 3 Lei %I 4- fL "% e4I *
-k f z 3 Le,
c41
Wir wollen diese Gleichnng abgekurzt schreiben:
(4)
nberhaupt wollen wir bei Summation uber Glieder mit zwei
Indizes unter Ccikimmer die Summe aus sechs Gliedern
i, k
verstehen , die tiber alle Kombinationen ohne Wiederholung
der Indizes erstreckt wird, unter C C cik hingegen die Summe
i
k
uber alle 16 Glieder die durch Variation .mit Wiederholung
der Indizes entstehen.
Mit Hilfe dieser Bezeichnung konnen wir dann das
vektorielle Produkt der Vierervektoren
(5)
1) A. S o m m e r f e l d , I. c., Q 3 A.
2) A. S o m m e r f e l d , 1. c., Q 3 B .
3) A. S o m m e r f e l d , 1. c.
,602
Ph. Frank.
oder wegen
(7)
Cer
=-
leh ' r ]
7
auch :
(8)
['i
%1 = 2'r 2
' i r 'kh
h
Ler
ed
Wenn wir ferner mit f , die Komponente von f nach der
xk-Achse verstehen l), so konnen wir das Produkt a) des Sechservektors f mit dem Vierervektor ai (Gleichung (5)) folgenderma6en schreiben :
(9)
(ai
f )= C e r (
~f r i) *
Dabei ist,:
f , = C he h f r h ,
(9 a)
cf,h=-fhrl'
Dasselbe ist wieder ein Vierervektor.
Unter
verstehen wir den symbolischen Vierervektor
v
Dabei sind die zk als Koordinaten naturlich Skalare. v e n b
spricht dem Minkowskischen lor, dem SommerfeldschenS)
Div,' Rot und Grad.
Mit f" bezeichnen wir wie S o m m e r f e l d q den zu f
,,dualen" Sechservektor, d. h.
wo (ik) die beideq, Indizes bedeuten, die au6er i und k noch
unter den Zahlen von k-4 vorkommen.6) Wenn f eiu spezieller
Sechservektor ist, so steht das von ihm dargestellte Flachensttick normal auf dem durch f" dargestellten.
8
2. Die Transformation der Feldgleichnngen.
Wir gehen von den Maxwellschen Gleichungen fiir die
elektromagnetischen Vorgange im leeren R a m aus. Sie sind
noch etwas einfacher zu behandeln als die L o r e n t z schen
A. S o m m e r f e l d ,
A. S o m m e r f e l d ,
A. S o m m e r f e l d ,
A. S o m m e r f e l d ,
5) A. S o m m e r f e l d ,
1)
2)
3)
4)
1. c., 9 1. p. 758.
1. c., $ 3 B . (Formel (11)).
1. c., 11, 5 5.
1. c., Q 1, p. 757.
1. c. p. 756 (Formel (3d)).
Perhalten der elektromugnetiscften Feldgleichungen usw.
603
Qleichungen der Elektronentheorie und zeigen doch alles wesentliche, worauf es beim Transformationsproblem ankommt. Sie
bestehen bekanntlich aus zwei Quadrupeln :
j
\
und
(13)
1 dE
curlQ = -c dt '
divQ = o
\
divQ = 0 .
Dabei bedeuten Q und Q wie gewohnlich die elektrische bzw.
magnetische Feldstarke, c die Lichtgeschwindigkeit.
Wir setzen nun mit Minkowski')
z = I',
y = 33.9
z = x3, i c t = x 4 ,
II -ies=A4, - 8,
%=&31
= f31
8z = f i 2 '
9
iQ, = f Z 4 , - i E z =
Dabei sei
(15)
fi, =-fkDann schreiben sich die Feldgleichungen (12) mit Benutzung
des in Gleichung (10) definierten Symbols v einfach:
il6)
of=(),
z,
wo f der durch Gleichung (4) definierte Sechservektor ist. Das
Quadrupel (13) aber schreibt sich:
(I4)
v f * = o ,3,
(1 7)
wo f * den zu f dualeu Sechservektor (11) bedeutet.
Wir wollen nun auf die Feldgleichungen (16) und (17) die
folgende ellgemeine linear homogene Transformation ausliben :
(18)
I
1
XI'
= a,, 2 1
x2' = a,, z1
53'
= u31
xi =
fl
+
+
a12 x g
+
a13 ~3
a22 X,
x3
+
+ a,,
u38 x2
f
.z3
-I-
2,
'33
+
+
+
up4 x 4
9
a24 2 4 7
'34
x4
J
+ a43.z3 + a4, x 4 .
1) H. Minkowski, Gottinger Nachrichten 1908, Q 2; ebenso bei
A. S o m m e r f e l d , 1. c., $j 1, p. 754, Gleichung (2).
2) H. Minkowski, 1. c., Q 12, Gleichung (A); A. S o m m e r f e l d ,
1. c. 11, Q 5, Gleichung (18).
3) H. M i n k o w s k i , 1. c., Gleichung (B); A. Sommerfeld, 1. C.
p. 656, Gleichung (18*).
Ph. Frank.
604
Die Koeffizienten dieses Gleichungssystems wollen wir auf
zwei Arten zu Vierervektoren zusammenfasken. Wir nennen
den aus den Koeffizienten der Aten Horizontalreihe gebildeten
Vektor %:
(19)
a, = C a k i e i , (k = 1, 2, 3, 4),
i
hingegen:
(20)
ak = C a i k e i , (k = 1, 2, 3, 4).
i
Wir fuhren ferner das Symbol
v’ durch
die Gleichung ein:
Wenn wir nun darangehen, die Feldgleichungen (16) und (17)
mit Rilfe der Transformation (18) umzuformen, so bemerken
wir zunachst, dat3 die Koordinaten in ihnen nur in der Zusammenfrtssung v vorkommen. Wir wollen daher zunachst v
durch v‘ ausdrucken. Das geschieht durch die Beziehung:
(22)
v=
ek
k
(4v‘)*
Die Gleichung (16) schreibt sich daher :
(23)
2k ek ((% v‘)
f)=
’
Diese Beziehung kann, da (90’)
ein Skalar ist, auch folgendermaEen geschrieben werden:
(2-1)
C(’k
v’)(ekf)
k
= ’*
Wir setzen nun ftir ak seinen durch Gleichung (20) gegebenen
Wert ein und &halten:
C x ( a i k e i v ’ ) ( e k f ) =
k
i
‘ 9
oder umgeordnet :
x ( e i V ’ ) C ( a i k e k f )
i
k
=‘
oder nach Gleichung (19) und (3)
(25)
C ( e i
i
V’)(.if) = 0 .
9
Perhalten der elektromugnetischen FeZdgZeichungen usw.
605
Aus dieser Vektorgleichung wollen wir nun vier skalare Gleichungen bilden, indem wir sie der Reihe nach mit al,u2,a g ,a,
multiplizieren, wir erhalten dann :
x(eiv')
=
(ak('jf))
=
9
' 9
29
3? 4),
1
oder auch
V ' C e i ( a k ( a j f ' )=) 0 ,
(26)
(A = 1, 2, 3, 4).
i
Wir fiihren nun einen neuen Sechservektor f" ein, dessen
Komponente nach der xk-Achse
2
(27)
f,' = ei (a/<
iui f ) )
i
betragt.
Die Gleichungen (26) schreiben sich dann:
(28)
v'f,' = 0 , (k = 1, 2, 3, 4).
Diese vier Gleichungen konnen wir wieder in eine Vektorgleichung zusammenfassen, indem wir die hte mit ek multiplizieren und alle vier addieren. Wir erhalten dann unter
Beriicksichtigung der Formel (9) einfach:
(2.9)
q f ' =0 ,
also eine Gleichung von genau derselben Form wie (16).
Dabei ist:
f' = i , 6 (%('i f ) )Lei e k l .
(30)
2
Nun ist aber nach Qleichungen (9), (9a), (19) und (3)
(3 1)
(
(.i
f ) )=
c2
h
r
u k u~ i h f r h '
Setzen wir diesen Ausdruck in (30) ein, so erhalten wir als
Koeffizienten von f r h den Ausdruck:
c
i , 1;
' k r uihi ' [
ekl
f
als Koeffizient von f h r den Andruck:
2
i, k
' k h 'ir
['i
ekl '
Wenn wir nun nach Gleichung(l5) f h r = - f,,setzen, erhalt f,,,
wie aus Gleichung (6) ersichtlich ist, gerade den Koeffizienten
[a,.ah]. Es ist also
f" =2
fi k ['i
'
(;J2)
i, k
'&I
606
Ph. Frank.
Wir konnen das bisher Bewiesene in den Satz') znsammenfassen :
Die Peldgleichmg v f = 0, wo
geht vermoge der durch die vier Vektoren a,, u,, a3, a4 in den
Tertikalspalten des Koeffiientsckemas gegebene lineare Bansformation d m Koordinaten, in die Gleichung derselben Gestalt
o'f = 0
iiber, wobei f' sich nur dadurch von f unterscheidet, dap an
Stelle der Einheitsvektoren ek die durch die lineare Transformation
gegebenen Pektoren ak treten.
Genau dasselbe gilt natiirlich von der Feldgleichung (17).
Sie geht uber in
(33)
o'f*' = 0,
wobei
(34)
f"' = Likli ' [
'
c
i,k
%I
Q 3. Invarians der Feldgleiohnngen.
Wir haben nun gesehen, daB jede der Feldgleichungen
v f = 0 und of* = 0 fur sich betrachtet bei jeder beliebigen
linearen Transformation der Koordinaten ihre Gestalt beibehalt. Dss System der beiden Feldgleichungsquadrupel tut
dies aber im allgemeinen nicht. Denn f * ist der zu f duale
Sechservektor. Wenn das System der transformierten Gleichungen dieselbe Gestalt haben 9011, so ist dazu notwendig
und hinreichend, dab auch f" der zu f' duale Vektor ist, d. h.
mu6 die ,,Erganznng" von
sein.
2
f ii k' [
i,
k
1) B. M i n k o w s k i , 1. c., $j 5 , Gleichung (23) und (24) definiert
seinen Raumzeitvektor 11. Art durch die Forderung. dsll er bei einer
Lorentztransformation sich transformieren sol1 wie unser f in f . Seine
Bemerkung (1. c., 8 l l ) , daS nach der Lorentztransformation f durch
A - l f d zu ersetzen, ist ein Spezialfrrll unserer Ersetzung von f durch f .
Doch findet sich bei M i n k o w s k i nicht die beliebige lineare Transformation; er geht von vorhinein von der Lorentztransformation aus.
Ferhalten der elektromaynetischen Feldyleiciiungen usw.
607
Dazu ist nun wieder bei beliebigem f notwendig und
hinreichend, daB
[al ii,] dual zu [a34 ,
[GI
a41
99
1,
[64Z21
71
ii
[az %I
i
ist, d. h. geometrisch (nach dem im 5 1 gesagten), daD das
durch zwei beliebige der Vektoren iil, ii,, ii,, 5, bestimmte
Ebenenstuck normal auf dem durch die beiden iibrigen bestimmten steht und alle diese Ebenenstucke untereinander
flachengleich sind. Das wird naturlich bei willkiirlich gewahlten Vektoren iik, also bei willkiirlich gewahlter linearer
Transformation nicht der Fall sein.
Damit die genannten Bedingungen erfullt sind , miissen
vielmehr, wie geometrisch einleuchtend ist, die vier Vektoren
wechselseitig aufeinander normal stehen, also die Bedingungen :
(35)
(aia,) = 0 , i R
und zur Herstellung der Flachengleichheit die Beziehungen :
*
(aka,) = (iiiZi) = a:
(36)
erfiillen.
Wenn aber (35) und (36) erflullt sind, folgt aus den Transformationsgleichungen (18)
(37) z1’2+ zZLBla
+ xQlz+ x4‘a= a:,, (z12+ zZ2+ zsa+ .r,2)
,
d. h. wir haben eine allgemeine Lorentztransformation l) vor
uns. Diese sind also tatsachlich die einzigen linearen Transformationen, bei denen das System der Feldgleichungen invariant bleibt.
Der in diesem Paragraph gefiihrte Invarianzbeweis la&
sich mit wenigen Worten darstellen und anschaulich machen ;
schleppend bleibt nur noch die Begriindung der Ersetzung
von f durch f‘ und f* durch f*’; hier mii0te eben die Ausdehnungslehre einsetzen , mit Hilfe welcher sich auch dieser
Satz des 0 2 elegant begrunden lieBe.
W i e n , 14.Mai 1911.
1) H. Minkoweki, 1. c., Q 5.
(Emgegangen 16. Mai 1.911.)
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