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Das Verhalten Hertzscher Gitter. (Bemerkungen zu einer Abhandlung des Herrn R. Gans)

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216
6. Daa Vethalten Hertrecher a-itter.
(Bemerllcwngen aw eclter Abhamdlurag dee Htwm
R. Bane);
volt CZemeue S c h a e f e r .
§ 1-
Vor etwa 15 Jahren haben Hr. M.Laugwitz und ichl)
gezeigt, daS im Reflexionsvermogen R, der Durchliissigkeit D
und dem Absorptionsvermogen A H e r t zscher Gitter, wenn
tler Drahtradiui ,g tiderat klein gegen die Wellenltinge 1 ist
- bei UDB war damals e = 0,001 25 cm, rZ = 80 cm -, die
Endlichkeit des Leitvermogens des Drahtmaterials deutlich
zum Ausdmck kommt, daS man also in diesem Falle nicht
mehr berechtigt ist, die ubliche vereinfachende Annahme
unendlich groBer Leitfiihigkeit zu machen. Unsere damals
erhaltenen Werte waren folgende (Tab. 1):
Tabelle 1.
____
Material
. ~-
..
1
R
I
D
I
A
10,3
18,9
(Die Zehlen gelten far Oitter mit, einem Drahtabetgnd a = 1,6 om.)
67,7
Eke Theorie des Her tzschen Gitters mit Berucksichtigung
der endlichen Leitftihigkeit existierte damals nicht, so daS
urn ein Vergleich mit theoretischen Werten nicht moglich war.
Diese Lucke ist nun - wenigstens nun Teil - ausgefiillt durch
eine kiirzlich erschienene Arbeit des Hm. R. Gansa), in der
in dankenswerter Weise eine angeniiherte Theone entwickelt
1) Clemens Schaefer und YaxLsugwitz, Ann. d. Phyl. $28.
S. 961. 1907.
2) R. Q m s , Ann. d. Phys. 61. 8. 447, 1920.
CL &?taefer.
216
ist. Leider stimmt das theoretische Ergebnis, wie Hr. Gan s
konstatiert, nicht mit dem Experiment iiberein, wie aus der
folgenden Tab. 2 der von Hm. Gans berechneten Werte
hervorgeht, die man mit Tab. 1 vergleichen moge.
Tabelle 2.
______
7
y
M a n e . . . . . . . . .
-PlatUl
Kmppln
..... ..
21,s h z .
21,l
21,o
m,2
08,l
6692
1,Ei Pnn.
4,3
10,9
10,6
Insbesondere kann man folgendes feststellen : Im Reflexionsvermogen R und in der Durchlassigkeit D sind die
Abweichungen enonn, dagegen stimmen, was Hr. Gans nicht
bemerkt, worauf ich aber besonderen Nachdruck legen mochte,
die experimentellen Werte des Absorptionsvermogens A mit
den theoretischen so gut uberein, als man nur erwarten kann.
Denn man muB bedenken, daB die Werte von A gewonnen
sind nach der .Formel :
A = 100 - ( R D);
+
sie miissen also rnit relativ groI3en Fehlern behaftet sein, da
sie durch Subtraktion meier groSen Zahlen entstehen.
Hr. Gans deutet als mogliche Erkliirung fiir die Abweichungen in R und D an, daB die Diimpfung der im Experiment verwandten Wellen eine Rolle gespielt haben konne,
was natiirlich eines Beweises bediirfte und in Anbetracht
der GroSe der Abweichungen nicht gerade wahrscheinlich ist.
An der Sorgfalt unserer alten Messungen zu meifeln,
hatte ich keinen Grund. Um so weniger, als aus ihnen, worauf
Hr. Arkadiewl) aufmerksam gemacht hat, mit Sicherheit in
Ubereinstimmung mit Ar ka diew s Messungen hervorgeht, daB
Kmppin ferromagnetisch ist, d. h. eine Permeabilitiit > 1
besitzt, was damals L a u g w i t z und mir unbekannt warez)
1) W. Arksdiew, Ann. d. Phye. 46. S. 133. 1914.
2) Dmhalb k6nnen im folgenden die theomtiwhen und experimentallen Werte fiir Kruppin nicht mibinander verglichm werden, da der
Wert ftir die Permesbilit&tuna nicht bekannt iet.
Das ?khaltm Hertzscher Gitter.
271
Bei der Betrachtung der beiden Tabb. 1 u. 2 drangte
Rich mir sofort eine andere, augerst triviale Erklarung auf,
daB niimlich in der Arbeit von Laugwitz und mir durch
rin Versehen beim Druck die beiden Spalten des Reflexionsvermogens und der Durchliissigkeit miteinander vertauscht
sein konnten. In der Tat wiirden dann wenigstens die GroBenordnungen von R und D in Theorie und Experiment mitcinander ubereinstimmen. Mit absoluter Sicherheit konnte ich
die Vermutung nicht feststellen, da bei meiner fibersiedlung
iiach Marbug das betreffende Beobachtungsheft in Verlust
geraten zu sein scheint. Ich habe deshalb im hiesigen Institut
Hrn. Mach t s veranlefit, die fraglichen Messungen zu wiederliolen.
§ 2.
Die Wellen wurden erzeugt mit Hilfe des von Miel) angegebenen Erregers , der sehr schwach gediimpfte Wellen
liefert; sie hatten eine Lange 1. von 27 cm. Die Gitter waren
genau so gebaut, wie in der Arbeit von L a u g wi t z und mir;
der elektrische Vektor lag natiirlich parallel den Drahtachsen.
Im ubrigen war die Versuchsanordnung die bei solchen Mesmngen ubliche; sie litt an dem Ubelstande, daB die Gitterdimensionen etwas klein waren gegeniiber der Wellenliinge,
tlaS also wahrscheinlich durch Beugungseffekte die gewonnenen
Zahlen etwes verfiilscht sind. Es muBte der hohen Kosten
wegen darauf veraichtet werden, groBere Gitter herzustellen.
Von Wichtigkeit war die Frage, was der benutzte Detektor
anzeigt, d. h. welcher GroBe die Galvanometerausschlage proportional sind. Ein Thermoelement nach KlemenEiE zeigt @
an, d. h. den Mittelwert des Quadrates der elektrischen Feldstarke ; bei Benutzung eines solchen sind die Galvanometernusschlage a180 der Energie direkt proportional. Ob des gleiche
fiir den benutzten Detektor galt, konnte auf folgende Weise
entschieden werden :
Reflexionsvermogen und Durchliissigkeit eines gewohnlichen Hertzschen Gitters sind, wie R u ben s und Ri t t ers )
Rchon vor langer Zeit zeigten und ich gelegentlich bestiitigen
konnte, gleich COS' pl bzw. sin4pl, wenn pl der Winkel zwischen
1)
2)
G. Mie, Phys. Zeitschr. 11. S. 1036. 1910.
H.Rubens und Ritter, W i d Ann. 40. 8.55.
1890.
278
Cl. Schef er.
den Drahtachsen und dem elektrischen Vektor ist. Zeigt
der Detektor nun gleichfalls @ an, so miissen die Galvanometerausschliige bei verschiedenen Werten von cp , als Funktion
von v betrachtet, sich wie cos4v bzw. sin4 q.~verhalten. Die.?
ergah sich in der Tat so g m u , ab gemssen werden konnte.
womit die aufgeworfene Rage fiir den benutzten Detektor
entschieden ist.
In der folgenden Tab. 3 sind die von Hm. Machts beobachteten mit den nach Gans berechneten Werten von R, D, A
mammengestellt .
Tabelle 3.
I/
D
A
.
25.7
11
2.2
I
1.3
Nach diesen Ergebnissen ist es wohl meifellos, daS in
der friiheren Arbeit einfach die beiden Spalten R und D vertauscht worden sind, denn nach Vornahme der Vertauschung
stimmen die neuen mit den alten Zahlen fast genau iiberein,
und ebenao stimmen die experimentellen Zahlen der GroSenordnung nach mit den theoretischen uberein. Die noch vorhandene Abweichung kann, wie wir oben schon andeuteteri.
durch Beugungaeffekte verschuldet sein, und es ist wahrscheinlich auch; von vornherein wiire es allerdings auch denkbar.
daS die Abweichungen der Theorie mu Last zu legen wiiren.
die ja nur eine angeniiherte ist. Einige Betrachtungen in Q 4
machen dies aber unwahrscheinlich.
Noch auf einen anderen Punkt sei hier hingewiesen.
In einem Nachtragel) zu seiner Abhandlung macht HI.Gans
darauf aufmerksam, daS, wenn man das Reflexionsvermogen R
als Funktion der Wurzel aus dem Gleichstromwiderstande
aufzeichnet, man nach seiner Theorie eine nach unten konkave
Kurve erhalt, wiihrend die (vermeintlichen) R-Werte unserer
friiheren Arbeit eine konvexe ergeben. Dies ist richtig. Ver1)
R. Gsns, Ann. d. Phys. 66.
S. 427. 1921.
279
Das Perhalten Hettzrcher OittCr.
tauscht man jedoch die beiden Spalten fiir R und D miteinander,
SO ergeben auch unsere elten Messungen e k e nach unten konkave
Kurve. Dennoch mochte ich darauf kein groBes Gewicht
legen, weil ich die Messungen nicht fiir genau genug halte,
um dies mit Sicherheit w entscheiden. 2. B. geben die neu
gemessenen R - Werte des E n . Ma c h t s wieder eine nach
oben schwech konkave Kurve. Man brauchte aber z. B.
nur den R-Wert fiir Siber, nlmlich 6S,6 Proz. in etwa
62,6Proz. umzutandern, so hatte man wieder eine nach nnten
konkave Kurve. Eine derartige Genauigkeit besitzen eben
die Messungen nicht, daB man mit Sicherheit mischen diesen
beiden Zahlen entscheiden konnte. Ich habe auch keinen
Wert darauf gelegt, die MeBgenauigkeit zu verbessern, weil
mir ohnehin klar zu sein scheint, daS die vermeintlichen groBen
Abweichungen von der Theorie nicht existieren, sondern einem
Versehen zuzuschreiben sind.
8 3.
Hr. Gans hat seine Theorie nur auf metellische Gitter
angewendet ; sie paBt jedoch auch auf dielektrische Gitter,
welche mehrfach von Leugwitz und mir selbst untersucht
worden sind. Hi.Machts hat auch mit dielektrischen Gittern
Mesaungen angeatellt, von denen im folgenden einige Ergebnisse
mitgeteilt werden, die in der Tab. 4 enthalten sind, deren
emte Spalte die Konstanten der Gitter mitteilt.
Tabelle 4.
Konetsnten der Oitter
a in cm
eincm
I
-0,4
0.4
0,4
0,076
0,075
0,076
1
I
R
beob.
1
D
ber.
beob.
___-.
90,OProz. 88,6pr(n.1 6 h z .
80
79.2
16
74
26
23
2,75
1 , 97
97,26
98,2
1
ber.
___-___-
11,SProz.
11,8
-
97,25
99.3
199.8
Hier ist die Ubereinstimmung zwischen Theorie und
Experiment eher noch besser als bei den metallischen Gittern,
jedenfalls durchaus befriediend.
280
C1. Gchuefct.
Die Ganssche Theorie ist eine angeniiherte. Sie beruht
darauf, daI3 in grohr Entfernung vom Gitter die Form der
reflektierten und durchgelassenen Wellen bekannt ist : Es Bind
angeniihert ebene Wellen, die mit j e einem unbekannten Faktor
multipliziert auftreten, der das Reflexions- b m . DurchlaBvermogen miSt. In unmittelbarer Umgebung des Gittera
lost Gans nicht die Wellengleichung A u + ka u = 0 , sondem
das elektrostatische Problem A u = 0 , und schliel3t beide
Losungen an der Grenze dieser Raumgebiete aneinander.
Dieses Verfahren ist natiirlich nur unter gewissen Bedingungen
erlaubt und es wiire wiinschenswert, den Grad der Naherung
ersehen zu konnen, was die Kenntnis der strengen Theorie
voraussetzt. Im hiesigen Institut hat sich Hr. Dr. R. Weyrich
mit dieser Rage beschiiftigt, und es ist ihm gelungen, die
exakte Losung zu finden, woruber er selbst berichten wird.
Hier sollen einige vorliiufige Betrachtungen Plate finden, die
auf folgendern Gedanken beruhen: Die exakte Theorie der
Beugung an einem Zylinder ist bekannt. Wenn man auf diesen
Fall die Ganssche Theorie ubertriigt, so ist hier der Vergleich
durchfiihrbar, was gewisse Ruckschlusse auf die Brauchbarkeit
der Gansschen Niiherung beim Gitterproblem zuliiDt.
Sei der Zylinderradius e, so grenzen wir um den Zylinder
ein konzentrisches Kreisgebiet vom Radius R ab, der selbst
natiirlich groBer als e ist, aber noch klein gegen die Wellenlange 1 sei; daher ist a fortiori e < 1. Dieses Kreisgebiet
nennen wir den Raum I ; der ubnge AuSenraum werde durch I1
bezeichnet; wiihrend die sich auf den Innenraum des Zylinders
beziehenden Grol3en den Index ,,i" erhalten, bekommen die
sich auf beide AuBenraume I und I1 beziehenden GroBen
den Index ,,a".
D~LM18Bt sich (nach Abspaltung des Zeitfaktors e'"')
ansetzen fiir den Innenraum:
=cc, J,(k,r).cosmp,,
a,
(1)
&i
--
=I/iT--e4n9
0
Bn'cri,
wo k,
-, J , die Besselsche Funktion
IC
erster Art' und mter Ordnung ist; die Besselschen Funktionen
meiter Art wiirden fiir T = 0 unendlich werden, konnen also
im Innenraume nicht auftreten. Im Raum I1 haben wir die
281
Bas Perhalten Hcrtzscher Gitter.
einfallende Welle (e k , r m q) und die vom Zylinder ausgehenden
,,gebeugten" Zylinderwellen, also :
(9 )
Gall
=
ik ,
r con cp
(hf9COs m g , ,
+%Q,
0
2%
wo k, = T , Qm im wesentlichen eine der Hankelschen
Zylinderfunktionen ist (man vgl. wegen samtlicher Bezeichnungen und genauen Bedeutung etwa C. Schaefer und GroBniann, Ann. d. Phys. 31. S. 455. 1910).
Dagegen lautet die Losung des elektrostatischen Problems
in I:
m
G,'
(8)
+ R log r + 2 (DmP +Em?-")cos
=A
nt
g, .
1
Fiir diinne Zylinder, die hier vorliegen, darf man sich
auf die ersten Glieder der obigen Reihen beschriinken (m = 0
und m = 1).
Fiir r = e erhiilt man so die Bedingungen (Stetigkeit
der Tangentialkomponenten der elektrischen uud magnetischen
Kreft) :
(4)
1
+ c, ~,(n,)co8rp= + B loge + ple + $)coacp,
coJo(n2)
4 co~;(n,)+ ~ 2 J ~ ' ( ~ =~. ) ec o+s (~D 1 - 7 )c08
3
1
9
wobei nl.= k J e , 7zdg= kae gesetzt ist. Diese Gleichungen
zerfallen in die folgenden vier:
CoJo(n,) = A Bloge,
ma Co J,'(nJ = B 9
(5)
C, J, (n;) = B, e
I
n,J,'(n,) = Dl p El -
1
+
+
-
+
4
An der Grenze der AuSenrlume I und I1 sind (2) und (3)
aneinander anmchliellen, wobei zu beachteu ist, dal3 kl R
eine kleine GroSe ist. Dafiir ist angenahert:
c ~ ~ B ~ '=
+ 1
' +iklRco8rp,
(6)
I
2
Qo(R1
- logR,
R ) = log 7kzi
CI.&haefer.
282
Damit folgt, da fiir
(7)
{
A
T
= R j a 3(:
= (32zu setzen ist:
+ Blog R + (D, R + 31 COB ‘p = 1 + i h , R W B~p
+ Go Qo(44 + GI
&I
(hi R ) c o e ~ p
und das serfiillt wieder in:
1 A + B l o g R = 1 + Oo(&R) 1+ Golog-- - G,logR,
(8) 1 D I R - ~ = i i l R + G I Q 1 ( ~ Ri )R= , R + A
R .
2
=
7lc,i
kt
Nach Gans gelten diese Gleichungen fiir jeden .zulhssigen
Wert von R ; also ist weiter durch Zerfall von (8):
I
I +$.
+
2
A 1 Golog --y,
7 4*
B=-Go,
D, = i k , ,
Aus ( 5 ) und (9) ergeben sich folgende Werte fiir die urn
interessierenden Koeffizienten Go und GI:
Diese Werte stimmen natiirlich nicht mit den exakten
Werten uberein; sie miissen aber fiir kleines e/lz in diese ubergehen. Die Rechnung zeigt, dak? dies fiir unendlich gut leitende
und endlich leitende Zylinder tatslichlich der Fall ist, fiir
dielektrische Zylinder ebenfalls, wenn die Dielektrizitlitskonstante E groS gegen 1 ist.
Man darf also wohl annehmen, daB die rtngenliherte Theorie
von Gans beim Gitter ebenso hinreichend ist, wie bei dem
einzelnen Zylinder.
0 5.
Folgende allgemeine Bemerkungen konnen vielleicht noch
von Interesse sein. Alle Gittertheorien, auch die vonHerr
Gans, machen die Voraussetwng, daf3 e < a < rZ sein 6011.
Der innere physikalisch Grund defiir tccheint mir der w sein,
dab man in diesem Falle - bei metallischen Gittern wenigstens,
an die man meistens gedacht hat - weit entfernt ist von den
Stellen der Eigenschwingungen der einzelnen Gitterdriihte.
Bei dielektrischen Gittern braucht dies nicht der Fall zu sein,
und dann muS die erwiihnte Niiherungatheorie versagen.
Schon vor liingerer Zeit habe ich in Gemeinschaft mit H. Stallwit z1) den Fall eines dreidimensiond rtufgebauten Gitters
aus dielektrischen Staben nach den Methoden der Dispersionstheorie untersucht. Hier interessiert uns natiirlich nur der
Fall, daf3 die Gitterstiibe parallel dem elektrischen Vektor
sind und fiir diesen Fall haben wir in der genannten Arbeit
sowohl den Brechungsindex Y als auch den Extinktionskoeffizienten x berechnet. Diese Werte als Funktion von
e / l sind in der folgenden Tabelle aufgefiihrt, zugleich mit
dem Werte R des Reflexionsvermogens, das nach der Beerschen Formel:
+ x'
a=--(v(v -+ 1)'
1)' + x'
berechnet ist. In dem angegebenen Gebiet von e / i liegt eine
Eigenschwingung, und m a r engeniihert bei 0,016; eine zweite
liegt etwas auberhalb dieses Gebietes bei 0,042.
Q/O
V
x
R in h o z .
0,040
0,029
0,020
0,762
0,803
1,699
2,616
3,006
3,483
3,942
4,216
4,132
2,638
1,302
2,363
2,800
2,848
2,769
2,243
1,413
0,861
68,4
0,017
0,016
0,014
0,013
0,011
0,010
36,l
47.2
6092
62,3
49,7
44.4
4x7
38,9
In diesem Gebiete muI3te also e i n dreidimensional aufgebautes Gitter unmeifelhaft von der auch von Gans benutzten ublichen Naherungstheorie abweichen, indem eben
in der Niihe der Eigenschwingungen starke Schwankungen
des Reflexionsvermogens auftreten miissen (als Folge der an
eben diesen Stellen auftretenden anomalen Dispersion und
s tarken Extinktion). Es erschien lohnend, einen orientieronden
1) C1. Schaefer u. H. Stallwitz, Ann. d. Phys. 60. 8. 217ff. 1916.
284
Cl. 8chaefm. Dar Perhalten H~ltzscher Gitter.
Versuch zu machen. Es wurden drei Hertzsche Gitter aus
Wasserstiiben mit folgenden Dimensionen gebaut :
e = 0,8 cm,
a = 4 om;
das Wellenliingenintervall reichte von 18 cm bis 64 cm, so
daS die Bedingung e < a < 1dauernd erfiillt blieb; e l 1 anderte
sich gerade in dem in der Tabelle benutaten Interval1 von
0,Ol bis 0,04. Die drei Gitter wurden hintereinander in &em
Abstande von 4 cm aufgestellt und
theoret.
bildeten so ein dreidimensionales Ge70
Kurve
bilde, dessen Reflexionsvermogen nun
-- x -- gem-.
bestimmt wurde. Der Versuch lieferte
das erwartete Ergebnis, indem, wie
die Fig. 1 zeigt, R in der Nahe der
Eigenschwingungen starke Schwankungen aufweist und sehr erhebliche Werte annimmt. Die Figur
zeigt ferner , wie Experiment und
Dispersions theorie recht gut ubereinstimmen; die vorhandenen Abweichungen sind ohne Zweifel dem
provisorischen Charakter des Versuchs zur Last zu legen. Ganz
aneloge Ergebnisse erhielt man auch
bei Verwendung e k e s H e r t z schen
Gitters. Hier wiirde die Ganssche
Theorie, auf das dielektrische Gitter
angewandt, versagen mussen, weil sie auf die Eigenschwingungen
keine Riicksicht nimmt. Es erschien wichtig, auf diesen Punkt
hinzuweisen, weil er zeigt, wie wiinschenswert es wiire, uber
die dankenswerte Ganssche Theorie hinaus die exakte Theorie
zu besit Zen.
M ar b u r g , Physikalisches Institut der Universitiit,
im Dezember 1923.
- -
(Eingegangen 10. Dezember 1928.)
DmL ron Mekger & Wittlg in LeIpdg.
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