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Das Verhalten Hertzscher Gitter.

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44 7
3. Dae V c ~ ~ l t u l tEm
e r t # e c h e r Gttter;
v o n R. Bans.
J. J. Thomsonl) und H. Lamb*) heben sich mit der
Theorie Hertxscher Gitter beschiiftigt, und G. H. Thornsons)
und Schaefer und Laugwitz4) konnten durch ihre Beobachtungen beweisen, daB die T homsonsche Theorie im Widerspruch nit der Erfahrung ist, wiihrend dje Lambsche b e e
friedigend den Tatsachen gerecht wird.
Eine Annahme bei den mathematischen Berechnungen war
die gewesen, dab die Leitfiihigkeit der Gitterdriihte unendlich
groB sei, was berechtjgt ist, wenn die Drahte z. B. aus Kupfer
sind und einen nicht zu kleinen Radius haben.
TJm den MaterialeinfluB zu erforschen, heben Schaefer
nrid L a u g w i t d ) Gitter aus sehr feinen Driihten (von 0,0125 mm
Durchmesser) konstruiert, deren Leitfiihigkeit durch geeignete
Auswahl des Materials innerhalb weiter Grenzen variierte, und
haben das Reflektionsvermogen und die Durchliissigkeit fur
Her t zache Wellen gemessen, konnten a b r ihre experimentellen
bsultate nicht mit der Theorie vergleichen, weil es noch keine
Theorie des Verhaltens Hertzscher Gitter von endlicher h i t filhigkeit gab.
h i m Studium verschiedener Methoden zur Messung der
rnagnetischen Permmbilitat ferromagnetischer Korper fiir aehr
schnelle Schwingungen habe ich mich auch mit der Gittertheorie beschgftigt und gelegentlich daa hflektions- und Absorptionsvermogen sowie die Jlurchliissigkeit der von Sc hae f e r
und Laugwi t z benutzten Gitter numerisch berechnet.
1) J. J. Thornson, &cent iesearches in EIectricity and Magnet.iem. 8. 426.
2) R. Lamb, Proceedings of the London Math. Soc. 29. S. 625.
1888.
3) a. H. Thomson, StraQburgerDissert. u. Ann. d. Phys. 2%
S. 366. 1907.
4) C1. Schsefer u. M. L s U g W i t Z , Ann. d. Php. 21. 8.687. 1908.
5) C1. Schnefer u. M. Lsagwitz,Ann. d. Phys. 98. S. 961. 1907.
IL). Gans.
448
Diese Erge bnisse sollen im Folgenden mit,getrilt wcrden.
b i d e r standen mir die Arbeiton von J. J. Thomson und
w n L a m b nicht m r T'erfugung.
Tkshalb mul3te ich die
L a m bschcn Formeln, die sish auf Drahte von unendlicher
Leitfahigkeit hziehen, und die die Grundlage unserex Uherlegungen bilden merden, von neuem ableiten. Hierbei kam
mir die Lam bsche Theoriel) der Ausbreitung akustjscher
Wellen durch Gitter wegen ihrer Ahnlichlwit mit dem elektromagnetischen Problem xustatten.
Nwh Beendigung do,. vorliegonden Arbeit fand ich, dal3
Schaefer und Reiche2) sich auch mit Gittertheorie beschliftigt haben, aber sie beschriinken sich auf den Fall, daB
die Gitterlronstante groB im Vergleich zur Wellenllnge ist,
wghrend fur das Studium Hertzscher Wellen gerade der entgegengesetate Fall von Interesse ist.
Auhrdem behandelt von I g n a t o wsky3) die Theorie der
Gitterbeugung, und m a r in sehr allgemeiner Weise. Deshalb
sind seine Ableitungen naturgemiifl wesentlich komplizierter als
unsere, nach anderer Methode gefundenen.
h i der Anwendung minor Formeln auf ekkt7.ische Wellen
(a. a. O., S. 430) begeht er das Versehen, die von uns in dieser
A bhandlung eingefiihrte GroBc
gegen Vins eu vernachlassigen, wiihrend er die unendlich kleine
GroSe
2nPbe
kl=al
hibehiilt, so daB seine Gloichung (27) unrichtig wird, welclie
gerrtde fur uns in Betrscht kommt.
5 1. Unendliah gut leftende Gftter.
Erster F a l l : D i e e l e k t r i e e h e S c h w i n g u n g ist p a r a l l e l d e n
Dr&h ten.
Eine ebene elektromagnotische Welle komme aus dgr
Richtung 5 = co und pflanzo sich in der Richtung der
negative x fort,. In der yz-Ebene befinde sich ein Gitter von
+
1) H. Lamb, Lehrbuch der Hydrodynamik; Deutsch von
J. Friedcl, Leipzig und Berlin 1907. 8. 630.
2) C1. Sohaefsr u. Fr. Reiche, Ann. d. Phys. 86. S. 817. 1911.
3) W. v. Tgnatowsky. Ann.d. Phys. 44. S. 369. 1914.
iiquidist,anten metallischen Driihten vom Radius b, deren
Achsen die Richtung der z-Achse haben. Der Abstand zweier
aufeinander folgender Drahte (Gitterkonstante) sei a.
Wir beschriinken uns auf den Fall, daB der Radius b klein
gegen den Abstand a sei nncl a wiederurn klein im Vergleich
mir Wellenlange 1.
Nacli der elektroniagnetischen Theorie gehorcht die z-KomFonente des elektrischen Vektors, die einzige, welche existiert ,
wenn die elektrischen Schwingungen den Gitterdriihten parallel
sind, der Gleichung
-a;: - c 2 A E z ,
die sich in
A U + k 2 U =0
(2)
transformiert unter der Annahme, da13 4~ die Srthwingungszahl
sei, so daB
Ez=U e S n i n t
(3)
und wenn zur Abkurzung
gesetzt wird, unter c die Lichtgeschwindigkeit, unter A die
Wellenliinge verstanden.
Piir x =
mu13 U naeh (l), (3) und (4) die Porrn haben
+
u=
eiBx+
Ae-ikz.
(5)
7
in dieser Gleichung stellt das erste Glied rechts die einfallende,
das meite die reflektierte Welle dar.
Fur x = - oc) mu13 U der Gleichung
(6)
u =B eikz
gehorchen, welche die durch das Gitter gedrungene Welle reprl6sent.iert.
Uns werden besonders das Reflektiansvermogen 1 A 12 und
die Durchlksi keit I B J 2interessieren.
8
Da die Leitfiihigkeit der Driihte in diesem Paregraphen
d s unendlich angenommen wird, so kann die elektrische
Ekhwingung nicht ins Metal1 eindringen; deshalb gilt aus Stetigkeitsgrunden an der Oberfliiche der Drahte
(7)
u=o.
Wir konnen den Raum durch m e i dem Gitter parallele
Ebenen in drei Teile zerlegen (vgl. die Pigur), und zwar so,
daB 0 L und 0 M groB gegen
die Gitterkonstantr a aber kleiii
g q e n die Wellenlange 3. sind.
Dann gilt Gleichung (5) in
I und hat in der Ntihe der
Trennungsebene der beideii
Raume I und I1 den gentiherten Wcrt
(El) C = l + A + i k ~ ( 1- A ) ,
wclil k z dort eine kleine G r o h ist .
Im Raume I11 gilt (6), und in der Nahe der Trennungsebene der Raume I1 und I11 haben wir naherungsweise
Irn Raume 11 lantet die Differeiitialgleichung fur C
A
u=o,
d a k sehr klein ist, und da aus Symmetriegrunden U \-on z
unabhangig ist, erhalten wir
Es handelt sich also darum, ein Integral dieser Gleichung
zu suchen, welches auf den Oberflachen der Driihte der Be30 in (S), fur IC = - rn
dingung (7) genugt, das fur x =
i n (9) ubergeht.
Die Funktionen
+
sind nach den Prinzipien der Funktionentheorie als reelle
Teile von
partikillare Integrale von (10).
Das Verhdfen Hertzscher Gitier.
Fur sehr kleine Werte von
2
451
und y nehmeii p1 und q2
die Werte a.n
1/z"$.y2:,
I - log Ta
Q?-
so dalj auf der Oberflkhe des Drahks s2
+
y2
= b2
und diese Werte gelten wegen der Periodizitlt der Funktionell
bezijglich y auch auf den Oberfllbchen der ubrigen Drlhte.
Fiir r =
03 gilt
+
=xi-/,
'pz = -
nx
--
- log2,
wenn
bY
l = n -a
(16)
bedeutet.
Wir wollen probieren, ob wir den Bedingungen (7), (8)
und (9) durch den Ansatz
U'i)
U=av, + B + Y %
genugen konnen, indem wir die Konstenten a , 8. y zweckm&Big bestimmen.
Nach (7) und (14) erhalten wir
p +y
(18)
1%
$=0,
so ds8 sich (17) in
(19)
verwrtndelt.
T/ = U f p I
+ t9 -
B
n b Tz
log Q
R . Gans.
452
Nach (19), (8) und (9) muIj gelten
Dies0 biden Gleichungen siqd in Wirklichkeit vier, da sit:
fur jeden Wert von 5 gelten miissen, und erlauben so, die vier
Konstanten A, B, a, B m i berechnen.
Es ergibt sich
1+ikl
B-A
(2 1)
1
- ikl ’
I
wenn wir zur Abkiirzung setzen
A = -
ka
- logn
a
2nb
*
Unsere Annshme iiber die GroDenordnung von b. u unit
t zeigen, daS
hl=-
2nPbP
5l
eine unendlich kleine %ah1ist, so da13 (21) sich in
(21’)
R-A=1
verwandelt, und aus (21’) und (22) folgt
Diese Konstanten geben die Amplituden und Pha,sen der
reflektierten und durehgehendsn Wolle.
stellen das Befle ktionsvermogen und die Ihxrcbliissigkeit dw
Gitters dar. The Summe ist gleich Eins wegen der vollkommenen
Leitfiihigkeit der Drghte, d. h. wed das Absorptiomverm5gQii
gleich Null ist.
Diem Resultate sind mit denen von Lamb identkch, wie
ich &useinem Zitat in der erwahnten Arbeit von G. H. Thonison entnehmen kann.
Das Verhdfen Hertzscher GitW.
8
2.
458
Zweiter Fall: D i e elektrische Schwingnn'g i s t renkrecht
en den Drlihten.
In diesem Falle ist der magnetische Vektor R parallel
zur z- Achse und geniigt der lXf€erentialgleichung
die sich in
+
A v k2 v = 0
(26)
verwrtndelt, wenn man setA
(27)
H, = e a n i n t V .
Fiihrt man Zylinderkoordinaten r, 9, z ein, deren Ursprung
eine Drrthtachse ist, so sind Hsund Ea nach den Maxwellschen Gleiehungen verknupft durch die Bem'ehung
und da die Tangentialkomponente von E an der Oberflibche
eines vollkommenen biters verschwinden mu.6, so erhglt man
mit Riicksicht auf (27) auf den Drahtoberflbhen
Das Problem ist genau identisch mit dem von Lamb')
behandelten skustkchen Problem.
Die Funktion
genugt als reeler Teil von
x
+y i +
hat fur kleine
ctgh
5
(x
asv
+
a
PV
4 der Gleichnng -+--0,
z2
a Y2
und y den Wert
gibt also
(32)
1) H. Lamb, Lehrbuch der Hydrodynamik, S. 630.
Aanden Per Physik. IV. Folge. 61.
30
€2. Guns.
46 4
so dal3
a
'PY
.~
ar
=*
anf den Drahtoberf1B;ehen.
Fur
5 =
co ist tp3 = z 1.
I= - m i s t q 3 = x -1.
+
+
Versuchsweise setzen wir an
v
+
= a' 9 3
B',
(33)
und bestinimen die willkurlichen Konstanten a' und
durch
die Stetjgkeitsbedingungen an den Grenzen der Riiume I und
I1 bzw. I1 und I11 mittels der Gleichungen
a'(a:+I)-+/i?'=1 + A ' + i I c ( 1 - A ' ) z .
134)
a ' ( % -1) + B ' =
R'+ihB'~r.
{
indem wir annehmen, daW
im Raume 1:
(35)
p=
+ A'e-ikz
{ iind im Rnnme 111: V = B'eikz
f
gilt.
(36)
ocler
(37)
Durch Elimination von a' und ,8' erhtilt man
1
A' = i k l . B ' 1
IA'Is=
ka'a
1
1 + ik7'
T7iC-i
+kBl2
.
I B'12
=
1
1
f
+ ksle
Das Reflektionsvermogen ist in diesem Falle fast Null
wegen des &uiuBerst kleinen Wertes von
kI=
2nsb9
___
al
'
wiibrend die Durchliissigkeit fast Eins ist, wie H e r t z das bereits
experimentell festgestellt hat.
$j 3. Glitter von endlicher LeittXhigkeit.
Erster Fall: Die elektrische Schwingnng ist parallel den
D rP ht en.
Die Maxwellschen Gleichungen
Das Verhalten HertzzscheP Gitfer.
455
erlauben die Elimination des Vektors H und geben zur Bestimmung von
,7jZ
(39)
die Gleichung
A U
(40)
= Ue2niat
+ k2 U = 0 .
in dei
(41)
k2 = 47c2 n2 E p - 8 n a po n i
bedeutet, unter E die Dielektrizitatskonstante, untex ,u die
Permeabilitiit und unter u die Leitfiihigkeit verstanden. Alle
diese Werte seien in elektromagnetischem MaBe gemessen.
Fiir Luft gebm wir allen Konstanten den Index 0 und
haben somit
E0
=
1
; Po = 1 ;
Go
=0
1md soiiiit
tviihrend im Metall der Gitterdrahte, in denen e n neben a zu
vernachlilssigen ist ,
(43)
k =I/- 8 n a p o n i
gilt
Da U von der Koordinate z unabhhngig ist, konnen wir
das Integral von (40) fur das Drahtinnere in folgender Form
schreiben
00
(44)
U=~C,,<(Rr)cosvB.
Y =
In dieser Gleichung bedeuten T , 9 Polarkoordinaten in
einer zu der des Gitters senkrechten Ebene, deren Pol der
Schnittpunkt der Drahtachse mit jener Ebene ist, J, die
Besselsche Punktion erster Art von der Ordnung Y , wiihrend
die Cv Konstanten sind.
Im Aul3enraum der Driihte, soweit derselbe zum Raume I1
gehort, wollen wir das Integral 27 als lineare Kombination der
schon fruher benutzten [vgl. (ll), (12) und (SO)] drei Funktionen
30*
R . Gam.
456
(45)
es= 2' + __a
2s x
a
ainh -
n bq
..
coBh
...-
2n x
--
a
COB
2ny'
a
-
darmtellen sucben, die fur kleine r = 1z2.S y2 die Werte
nehmen
60
ail-
dab fur r = b
(47)
Ferner haben wir
fiirz=+m y l = z - l ,
Fa = n7z - log2,
q,s=.+I,
hrx=-m
spl=x+l,
IZ
n=-,-
1%2,
cflyx-1.
Die Grenzbedingungen drucken die Stetigkeit der Tangentialkomponenten Ton E und H beim Durchgang durch
die Drahtoberflbhe &us.
Bezeichnen wir den Wert von U im Drahtinnern mit
Uo im AuBenraum mit Ua?so stallt sich die Stetigkeit von
E [vgl. (SS)] in der folgenden Weise dar.
45 7
D(ls Verkalten Hertzscher Gitter.
Eiiv
T
=b :
ui = ua *
(49)
Ferner gilt nach der zweiten GIeirhung (38)
1 aEz - 3 %
p ar-at
also ist die Stetigkeit von
ziehung
von
H
9
gewlihrleistet durch die Be-
GemiiB umerer Annahme, da13 0, eine lineare Funktion
‘pl. ‘pa und ‘pa ist, k6nnen wir schreiben
(51)
Ua=aYltp+rY2+~p13
und erhalten mittels (47), (49), (44) und (51)
(52)
B + y log $ + 8 26 COB 6 = C,, J, (Rb) + C, Jl (Rb)cos
8
und mittels (47), (50), (44) und (51)
(53)
2accos6
+ + = k--.J,’(hb)+
Go
P
---J1’(Rb)cos6;
k GI
P
denn aus der Form der Gleichungen (46), in denen nur cos 6,
und nicht cos 26, cos 3 6 usw. vorkommen, erkennen wir, daB
wir um auf die ersten beiden Glieder der Reihe (44) heschrtinken konnen.
Da, (52) und (53) fur jeden beliebigen Wert von 6 gelten,
so zerfallen dieselben in folgende vier Reziehungen.
IP + ylog?
= GoJ, (Rb),
6b,
2 b J = C,J,(kb),
kb
Y = --P coJ,’ (kb) , 2 b ac = c, J1’(kb) .
P
Elimination von C, und C, ergibt
wenn man die Abkiirzungen einfiihrt
R. Ga*.
458
Aus den Gleichungen (55) foigt
Y =
(5 7)
BO
-
daB (51) in
; 6nb
log - - z,
a
-
lJa= a cpI 4-p
(58)
P
---n~---
- ?o
log;
.
“tl,
+ a r, (pa
Tp,
u bergeht
Die Bedingungen im Unendlichen ergeben mit Beriickaiohtjgung von (48), (68), (8) und (9)
nb
log - - ?
a
*
-
mb
log-- - zo
Q
Da diese Gleichungen fiir jeden beliebigen Wert voll
gelten, so zerfallen sie in die folgenden
1
+ A = - a Z(1-
p +p
t,)i
-
i k o ( l - A) = a(1
(60)
2.3 = U l ( 1
-
+I)
+ r,) -
+ p +Is
log
.
loge
nb
- To
P;
rb
log a - TG
log2
log
2
ah
a
’
.
aus weleben
B
- A - 1 = BaZ(1 -
log
B+A+1=2/9
t,)
2nb
~
0
- ro
zb
log
und
- ro
a
Y
qz
ihdl(B- A + I) = SaI(1 + r1)
;,$,@+A
28 Q
- I)=
log
nb
- ro ’
a
459
d. h.
B - A - 1
l-+*
__
. _- =ik,
B - A + l
I++,
~
E und
folgt .
Eedenken wir, da13
B+fl+1
B ~ -= y
+ z,)
- (log
+
i =Ai
Lo 1 &uuBerst klein ist, so haben wir
B -A=l
und aubrdem
B + A = - AA ii -+
1
1’
verstanden.
Das Reflektionsvermogen[Aiaund die Dnrchlbsigkeit IElla
ergeben sich, wenn wir
(63)
-4 = - u + u i
seizen, so dal!
A=-
l + v - u i .
(1
v)2
up
+ + ’
B=
zl(v
+ 1) +
‘26’
f (1
202 f z l i
+ V)*
’
und da,s Absorptionsvermogen
(65)
wird.
Beetimmung der Funktion 5.
Wie man aus der Formel (62) ersieht, reduziert sich das
Problem auf die Berechnung der Funktion to,welehe durch
die Gleichung (66) definiert ist.
Zur Diskussion der Beobachtungen \-on Schaefer und
Laugwitz interesaiert uns nur der Fall p = 1, da sie nicht.
mit ferromagnetischen Materialien operiert haben.
R. Can(;.
460
Also wird
in seiner Abhiingigkeit yon q bekannt, denn Sa stellt eine Komhnation des Widerstandes T und der inneren Selbstinduktion L
eines Drahtes fur Wechselst~romdar. Es ist namlich
worin r,, don Widorstand fur Gloiohst,roru bedeutet.
Diem Funktion findot sich in verschiedenen Veroffentlichungenl) in Reihen en1 wiclielt und in Tafeln niedergelegt,
so daI3 wir uns ohnr Weiteres dcr hziehiing
(69)
to=--
Bi
qe
Q
(d
kdienen konnon .
8
4.
Die elektrieche Sohwingung iat: senkreoht su den Driihten.
Set& man
(70)
H, = e 3 n t n t p’
so genugt die Fnnlrtion V der Gleichung
dv
k* v = 0.
(71)
+
Urn die Oberfllichenbodingungen abzuleiten, schreiben wir
h e der Maxwellschen Gleichungen an
aa = E---a ~ +
, 4naE&,
-ST
at
1) W. Thomson, Math. and phytr. papere 8. S. 493. Cambridge
1890; I. Zenneck, Ann. d. Phys. 11. 1903. S. 1141; vgl. auch
I. Zenneck, Elektromagn. Schwingungen. Stuttgart 1906. S. 403 u.
992; A. Sommerfeld, Phys. Zeitsohr. 8. S. 806. 1907; E. Jahnke
11. F. Emde, Funktionentafeln, Leipig 11. Bcrlin 1909. S. 144-174.
Da V und W an der Oberfliiche 3tetig bleikm mussen,
so haben wir die Bedingnngen
Versuchsweise setzen wir an
(73)
wahrend
v, =
Q’
98
+ B’ + Y’ Vl -+ 8’
972 ‘
00
Y =~C,’J*(kr)cOsYt9.
(74)
v=O
Mittsle (47), (73)und (74) erhalten wir die Gleichungen
(75)
{
2a b COB 9
am denen
(76)
+ + Glog;?
+ C,‘J,’ (kb)
= Ci.T, (kb)
00s
6
2ycos6+ J = ‘$[cOrJi(k6)+ C,‘~’(k.b)oos19],
b
8=(@+61og~)(,,;
+=@,
folgt, wenn wir die Abkur5ungen einfiihren
R . Gam.
462
a‘ (.z - z)
+ p’ + u‘ 41 + 2) - 1 (2
nb
fQo
&Jlog -
(7+ log2)
a
= B + ikoB’x.
Die Auflosung dieser Gleichungen gibt
1 + A’ - B’
1iRo I
=-l-ft’-tB’
I+&
oder geniihert,
H’ - A’= 1
(79)
und
ikoa
-(1 - Po log
B’+8’&--
(80)
ikoa
-(1
‘IT
--)a 6
- Po
a
) +eo’
2n
Znb
- Qolog---
d. h.
wo
d‘ = -
(82)
a
~
20
1
[log-2 n b +z]
Nach (77) und (66) folgt mit
,u = 1
$ 5. Vergleich der Theorie mit den Beobachtungen von
Bchaefer und Laugwits.
Der durch (67) eingefuhrte Wert von q ist
1
unter w =
den in elektromagnetichen Einheiten gemessenen Widerstand von l em Draht verst,anden.
In den Versuchen \-on Schaefer und Ilaugwitz war
i , , = 3 0 c m ; a = 1 , 5 c m ; b=0,00125cm. SO dal3
a
2nb
In -= 5,252.
.
Silber . . .
PJatin . . .
Manganin. .
Kruppin . .
-1
=
-u
.
.
.
,
39
274
970
1620
+ 1' i
- 0,5339
- 0,6462
- 0,5497
+ i0,009636
+ i 0,07986
+ i 0,02898
8,028
3,028
1,610
1,246
3,105
1,328
1,035
1,013
2,818
0,9632
0,3181
0,1927
0,08744
0,2101
0,2454
0,2482
I
Reflektionsvermogeu
76,65'10
73,69
68,ll
I
2 1,84OI0
22,05
21,04
- 10,09636
- 10,2898
- iO,7986
- i 1,305
Abs0rption.svermogen
1,5101~
4,26
10,85
Diese Werte sind nltch den Gleichungen (64) und (65) bei.echnet worden, d. h. nnter der Annahme, daB die elektriscben
Sehwingungen den Driihten psrallel waren. Die Autoren
rnachen daruber m a r keine Angaben, jedoch ist es auf Grund
der Beobachtungsergebnisse aul3er Zweifel, daS Oszillator, Resonator und Gitterdriihte einander parallel waren.
Schaefer und Laugwitz geben die folgenden experimentellen Resultate
Material
Xanganin
Kruppin .
..
\
1
Reflektionsvermogen
32,o
25,3
' Durchlilssigkeit
Absorptionsvermogen
57,7
55,8
10,3
18,9
1
welche keineswegs nut der Theorie ubereinstimmen.
Die Abweichungen warden noch bedeutend grijBer sein,
wenn wir anniihmen, daB der Oszillator senkrecht zu den
Driihten stand, denn in diesem Falle hiitte l/eo nach (83)
einen so grol3en Wert, da13 die Gleichungen (81) praktisch mit
464
R. Guns. Das Verhalten Hertzscker Gitter.
13’= 1 ; A’= 0 identisch sind, d. h. in dieser Anordnung wurde
das Gitter nichts refhktieron und die Gesamtstrahlung hindurchlassen .
Es ist schwer, den Grund dieser Abweichung zwiachen
Theorie und hobachtung anzugeben, da die Verfasser keine
Eimlheiten der Versucheanordnung und Messung mitteilen,
aber es konnte sein, daB zu den Differenzon die Dampfung
der ausgesandteri Wellen beigetr gen hat.
La P l a t a , 1. Dezernkr 1916. Instituto de Ffsics.
(Eingegangen 23. ALgust 1919.)
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