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Der Barkhausen-Kurz-Effekt nach der Wellenmechanik.

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54
D e r B a r k h ausen-Kurx-Effekt
mach der Wellenmechandk
Von E. S c h u s t e r
(Mit 5 Figuren)
B a r k h a u s e n und K u r z stellten im Jahre 1920 mit
Hilfe einer besonderen Schaltung einer Elektronenrohre sehr
kurze, ungedampfte elektrische Wellen her.') Im einfachsten
Falle wird die Anode (AuBenelektrode) A
mit der Gliihkathode Ii direkt verbunden,
das Gitter erhalt gegeniiber beiden Elektroden eine positive Spannung V (Fig. 1).
Die aus der Gluhliathode Ir' austretenden
Elektronen werden durch die Gitterspannung I'
besclileunigt, fliegen durch das Gitter G hindurch und werden in dem zwischen G und
der BuBenelektrode A liegenden Raum wieder
verzogert usw.; sie schwingen also zwischen
K und A hin und her. Nach B a r k h a u s e n
lll--ld
iind K u rz entspricht dieser Schwingungsdauer
V
die auftretende elektromagnetische Welle.
Schaltungsschema Werden die Elektroilen als seitlich unbegrenzte
Fig. 1
Platten gedacht und ist T G = CT'A = 2, so
wird die Wellenlange
(1)
wenn c = Lichtgeschwiiidigkeit, m = Masse des Elelitrons,
e = Ladung des Elektrons ist.
Im folgenden sol1 die Berechnung der Wellenlange aus
den Rohrendaten mit Hilfe der Wellenmechanik durchgefuhrt
1) H. B a r k h a u s e n
11.
K. Kurz, Phys. Ztschr. 21. S. 1. 1920.
Der Barkhausen-Kurz-Effekt nach der Wellenmechanik 55
werden. Nimmt man an den Oberflachen der Elektroden K
und A der Einfachheit wegen unendlich hohe Potentialspriinge
an, so werden die den Elektronen aquivalenten De Brogliewellen an K und A vollkommen reflektiert; es bildet sich
also zwischen K und A eine stehende De Brogliewelle aus.
Mit Hilfe der Randbedingungen ergeben sich aus der Schrod i n g e r when Gleichung . diskrete Energieniveaus; ihre Differenzen entsprechen den auftretenden elektromagnetischen
W ellen.
Die Schrodingersche Gleichung fur die Bewegung eines
Elektrons in einem homogenen elektrischen Feld ist in der
Literatur mehrfach angegeben worden.') Sie lautet im Torliegenden Falle im Gebiet zwischen 2 = 0 und z = 1;
Ihre Losung .ist
I#=7G02;(2l/tU);
(3)
dabei ist
W =
(fl
- 8.13
9P
2 eine Zylinderfunktion
'
a=-.8 n P m E :
h'
p = - .8-n a m
h9
eV
1
*
Da es sich hier urn stehende Wellen handeln soll, empfiehlt sich die Benutzung der Besselschen Funktionen. Die
partikularen Integrale sind d a m :
- 2.3.5.6.8.9
(9 w13
+ *..).
-
1) Z. B. G. B r e i t , Phys. Rev. 32. S. 273. 1928.
u. L. Nordheim, Proc. Roy. SOC. 119. S. 173. 1928.
R. H. F o w l e r
Asymptotisch wird fur
bei negatireni
1 IU I > 1
bei positivem zu:
10:
Der Potentialsprung an der Grenzflache Vakuum-Metal1
erfolgt so, daB das Potential im Metall gegeniiber dem im
Potentialverlauf
Fig. 2
,4uBenrauin stark negativ ist.') I m Metal1 ist daher die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der De Brogliewellen kleiner, das
Metall ist das ,,dichtere Mecliuiu". Im allgemeinen verlangen
die Grenzbedingungen an der Trennungsfliiche Vakuum-Metal1
Stetigkeit von
und dqj/ldx, mie in der Akustik Stetigkeit
von Druck und Geschwindigkeit. Da aber der Potentialsprung an der Grenzflache als unendlich groB angenommen
wird, liegt nach dem Sprachgebrnnch der Akustik ein ~011konimen ,,offenes" Ende vor; d e n i die Fort1)flanzungsgeschwin1) Vgl. auch fiir das folgende: A. S o m m e r f e l d , Atombau und
Spektrallinien. Wellenmechanischer Ergiinzungsband S. 244-248.
Der Barkhausen-Kurz-Effekt nach der Welbnmechanik 57
digkeit der De Brogliewellen ,,Fp),, (E-
~~~
mird dann im Me-
tall gleich Null. F u r diesen Grenzfall lautet die Randbedingung q = 0. Das Gitter soll nur als geometrische Flsche
aufgefaBt werden , die durch das Potentialminimum festgelegt
ist; von seiner materiellen Struktur soll abgesehen werden.
Der gesamte Schwingungsvorgsng wircl zur Ebene des Gitters
(x = 0) symmetrisch sein, so daB hier
2
= 0 wird. Mankann
daher die Berechnung auf den Raum zwischen x
beschranken, fur den die Gleichung (2) gilt.
Die Randbedingungen lauten demnach:
Setzt man y = A y,
+ By,,
=0
und x = I
so ergibt sich:
(7)
Das ist die transzendente Gleichung zur Bestimmung der
Eigenwerte 01. Sie soll zunachst graphisch diskutiert werden.
Fig. 3 zeigt den Verlauf von y2/yl und qi2'/vl'
als Funktionen von vG Nach Formel (5) wird fur / w >> 1
bei positivem to:
I
bei negativeni
lo:
K. Scltuster
58
Durch Vergleich nlit den aus der Reihendarstellung gewonnenen Werten ergibt sich, daD die Abweichungen gegentiber den asymptotischen Formeln schon dicht iiber 20 = 1
und dicht unter w = 1 sehr gering sind. Es sol1 daher
spater die asymptotische Darstellung unterhalb w = 2 und
oberhalb w = 2 benutzt werden.
Nnch Gleichung (7) muB dann ein Punkt Po auf der
Kurve yz’/yl’und ein Punkt Pz auf der Kurve y , / y , mit
+
-
-
+
1-1
I
I
I
/
//
5
v’
fi und 9
Yl
Yl
I
I
I
I
I
I
als Funktion von
3 -
YW
Fig. 3
bleinerer Abszisse als Po (da inmer u10 7 w, ist) gesucht
werden, so daB beide Punkte die gleiche Ordinate und die
vorgeschriebene Abszissendifferenz
- 7% = 1 -
1/‘phabeu.
3
Hat man ein solches Punktepaar Po P, gefunden, so kann
sofort aus der Abszisse
v&
von
Po aus der Gleichung
w0 -- -9p ein Eigenwert cc bestimint werden. Wie
a’
aus der
Fig. 3 zu ersehen ist, gibt es keinen Punkt Po mit negativer
Abszisse. wo, und damit auch der Eigenwert a, ist demnach
immer positiv.
Der Barkhausen-Kurz-Effekt nach der Welknmechanik 59
Man kann nun so vorgehen: Zu jedem Punkte I' (Abszissevw) der Kurve .y,'/y,' werden die Punkte der Kurve
y2/ylgesucht, die eine kleinere Abszisse als P und die gleiche
Ordinate wie P haben. Die Abszissendiflerenzen d zwischeii
P und diesen Punkten werden als Funktionen der Abszisse
von P aufgetragen (Fig. 4). Immer wenu d den Wert
n=
Aj
7-
66-/
5-
4-
/
3/'
2-
/
/
7-
d 81s Funklion von
tG
Fig. 4
-fl
1. i$
annimmt, ist P einer der gesuchten Punkte Po
1
und seine Abszisse
s -
v&=
= 5 angenommen.
ITo.I n
Fig. 4 ist als Beispiel
Die durch Kreise gekennzeichueten
Punkte liefern Eigenwerte. Aus ihren Abszissen
Eigenwerte nach der Formel berechnet werden :
a=q<.w.
7% konnen
K . Schuster
60
Die Eigenwerte sind also den Abszissen der markierten
Punkte proportional. Ihre gegenseitige Lage ist direkt aus der
Figur zu ersehen. Fur den tiefsten Eigenwert e,, gilt mit
s-
-
gro0er Annaherung uo= 0,49 .1/9p 2 , wenn 1
- f$
> @ ist.
7%
= 0,49 ist dabei mit Hilfe der ReihendarstelDer Wert
lung bestimmt. Das Verhaltnis von Abszisse zu Ordinate
eines markierten Punktes ist a/P1. Oberhalb der durch den
Koordinatennullpunkt unter 45O gezogenen Geraden liegen alle
Eigenwerte u, die kleiner als /I1 sind (w,< 0), unterhalb die
Eigenwerte u, die grOBer als PZ sind (w,
> 0). Aus dem Beispiel der Fig. 4 sieht man, da0 die Differenzen zweier benachbarten Energieniveaus zunachst abnehmen, wenn man vom
Grundniveau ausgeht, in der Umgebung von a = p l ein
Minimum erreichen und d a m wieder zunehmen.
Fur Spannungsgef Blle von cler GroBenordnung lOOOVolt/cm,
a i e sie in den Barkhausen-Kurz-Versuchen angewendet werden,
wird P von der GrOBenordnung 1Ol8. Wahlt man den Elek-
trodenabstand 1 etwa 0,5 cm, so wird 1
7 - 2,5. lo5. Man
. 1%
mii0te also in Fig. 4 die horizontale Gerade im Abstand
2,5 lo5 (nicht 5 wie als Beispiel angegeben) von cler Abszissenachse ziehen.
Nachdem a i r mit der graphischen Methode einen Uberblick uber die Lage der Eigenwerte gewannen haben, wollen
wir zu ihrer Berechnung ubergehen. Es sollen dabei drei
Spezialfiille unterschieden werden:
-
Fall
,,
I: w L < - 2
11: / z u l /
(in Fig. 4 das Gebiet oberhalb der
oberen gestrichelten Geraden),
<1
,, 111: w l > +
(in Fig. 4 die unlnittelbare Unigebung
der durchgezogenen Geraden),
2 (in Fig. 4 das Gebiet unterhalb der
unteren gestrichelten Geraden).
Fall I: Hier wird aus Gleichung (7) mit gro0er -4nniiherung
Der Barkhausen-Kurz-Effekt nach der Welbnmechanik 6 1
Die niedrigste Wurzel liegt bei ?& = 0,49; claraus ergibt
sich, wie schon erwiihnt, a1s niedrigster Eigenwert
(Yo=
0,49.$p.
Zur Berechnung der hoheren Wurzeln darf schon die
asymptotische Formel fur v2'/yl'benutzt werden, da w o > + 2
wird. Es wird dann
= - 1;
daraus folgt:
7%
Fur n = 0 wurde sich die tiefste Wurzel
in grober
Annaherung zu 0,535 (anstatt 0,49)ergeben. J e groBer n ist,
urn so strenger gilt die Formel. Die Eigenwerte sind dann:
F a l l 11: Hier wird
Da hier w l klein gegen 1 ist, und da praktisch
(VK-
v4
von der GroBenordnung 105 ist, ist uio
> 1.
Slso wird
daraus folgt:
(9)
Im Gebiet - 2 < w L< 0 mu6 die Formel (8) allmahlich
i n die Formel (9) ubergehen. Hier ist also
wo 8, zwischen
3
und fz liegt.
K. Schuster
62
Fall 111: Hier ist
daraus folgt:
Durch die Formeln (8) bis (10) sind die Eigenwerte a,
in den drei angegebenen Spezialfallen bestimmt. Aus der
Differenz d u von je zwei Eigenwerten ergibt sich eine emittierte Frequenz nach der Gleichung
AE
w=-=-.
h
8n'm
dcc.
Aus dem gesamten Spektruni sollen diejenigen Linien
herausgegriffen werden, die durch Kombination zweier benachbarten Energienireaus entstehen (An = 1). Wenn man von den
niedrigsten Eigenwerten absieht, ist An< n . Man kann daher
aus den Gleichungen (S), (9) und (10) die d u durch Differentiation nach n findeii:
I ,,
111: Ll a! = - .B -.
-jL-l / a - p2
Durch die Formeln (11) wird das Gesetz bestatigt, das
grob schon aus Fig. 4 abgelesen werden konnte: Der Abstand
benachbarter Energieniveaus wird , wenn man vom Grundniveau ausgeht, zunachst immer kleiner, erreicht in der Nahe
von a = ,8l ein Minimum und nimmt dann wieder zu. Die
dnrch die drei Spezialfalle nicht erfaBten Gebiete diirften an
diesem Sachverhalt nichts andern. In Fig. 5 ist der Zusarnmenhang zwischen d a und vG schematisch dargestellt.
Die Verhaltnisse erinnern an den Aufbau eines Bandenspektrums. Dem fibergang el --t u,, entspricht die ,,Nullinie".
Der Barkhausen-Kurzeffeekt nach der Wellenmechanik
63
Fur benachbarte Energieniveaus hijherer Ordnungszahl wird
die emittierte Linie zunachst immer langwelliger; die Umgebung der Stelle u = 1 bildet die ,,Bandenkante((. F u r noch
grij6ere a wird Y wieder gro6er. Das betrachtete Teilspektrum
entspricht also dem negativen Ast eines Bandenspektrums.
Zusammenhang awischen d a und
7/a
Fig. 5
Es fragt sich nun, welche Bedeutung der ,,Bandenkante" zukommt. Da hier u = /?Z wird, ergibt sich:
Durch Vergleich mit (1) ist zu sehen, da6 die Wcllenlange der Bandenkante gleich der von B a r k h a u s e n und
K u r z angegebenen Wellenlange ist.
Bei anderen Teilspektren ( A n = 2, A n = 3 usw.) wiirden
sich ahnliche Verhaltnisse wie bei dem betrachteten Spektrum
d n = 1) ergeben. Nur sind dann die Bandenkanten mehr
(nach kiirzeren Wellen verschoben.
64
I<. Schuster. Der Bark3iausen-I~u,.z-Effektusio.
Zusammenfaesung
Der Barkhausen-liurz-Efkt wird unter vereinfachenden
Annahmen nach der Wellenmechanik hehandelt. Es zeigt
sich, daB die Abstande benachbarter Energieniveans, wenu man
TO^ Gruudniveau ausgeht, zuerst abnehmen, ein Minimuni erreicliea und dann wieder zunehmen. Daraus ergibt sich ein
System von Spektrallinien, das eine gewisse Ahnlichkeit mit
einem Banclensystem hat. Der langwelligsten Bandenkante entspricht die von B a r k h a u s e n und K u r z berechnete Kellenlauge.
B r e s l a u , August 1930. Physikalisches Institnt der Technischen Hochschule.
(Eingegangen 19. August 1930)
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