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Der Einflu einer Blende auf die Verteilungsfunktion der Elektronen in einem Gasentladungsplasma I.

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104
Annnlen der Phyeik
*
7.Folge
*
Band 23, Heft 1/2
*
1969
Der EinfluB einer Blende auf die Verteilungsfunktion der Elektronen
in einem Gasentladungsplasrna. 11)
Die Verteilungsfunktion der Elektronen
hinter einem Potentialsprung (Theorie)
Von K. WIESEMANN
Mit 5 Abbildungen
Inhaltsiibersicht
Es wird die Verteilungsfunktion von Elektronen berechnet, die in einem Potential
sprung im Plasma beschleunigt worden sind. Bei der Rechnung wird angenommen, daR
die Verteilung der Elektronen vor der Beschleunigung isotrop war. Wechselwirkungen der
Elektronen untereinander oder mit anderen Teilchen werden vernachlaissigt. 1st die Beschleunigungsschicht durcli eine Blende begrenzt, so erhalt man eine energieabhangige
Ahnahme der Dichte der beschleunigten Elektronen hinter der Blende.
~
1. Einleitung
Schichten mit hoher Feldstiirke spielen in Niederdruckgasentladungen eine
grol3e Rolle. Sie bilden sich nicht nur vor Elektroden und den Wanden, sondern
konnen auch einzelne Bereiche einer Gasentladung voneinander trennen, insbesondere treten sie a n unstetigen Verengungen des Entladungsquerschnitts,
wie Blenden auf [I]. Hinter einer Schicht im Plasma erhalt man Verteilungsfunktionen. die aus mehreren Gruppen bestehen [ a ] .
Der Untersuchung dieser Verteilungsfunktion ist die vorliegende Arbeit
gewidmet. I n diesem ersten Teil wird die Verteilungsfunktion der beschleunigten Elektronen an Hand eines einfachen Modells, das alle Wechselwirkungen
zwischen den Teilchen aul3er acht 1aBt. berechnet. I n Teil I1 und I11 wird iiber
Messungen der Verteilungsfunktion der Elektronen hinter einer Blende im
Plasma berichtet werden.
2. Die Verteiliingsfunktion der Elektronen hinter einer unbegrenzten,
ebenen Doppelschicht
Der Fall der unbegrenzten ebenen Schicht ist von MEDICUS[3] behandelt
worden. Das Ergebnis von MEDICUSsol1 hier in einer etwas durchsichtigeren
Form noch einmal abgeleitet werden, da wir er fur den Fall der von einer Blende
begrenzten Schicht, (vgl. Abschn. 3) benotigen. Dazu betrachten wir zwei Plas_ _ ~
1) Teil einer Dissertation. Philipps-Universitat Marburg 19G8. Auszugsweise vorgetragcn nuf dem ,,Symposium on One Particle Distribution Functions" Marburg August
1968.
K. WIESEMANN:
Verteilungsfunktion der Elektronen hinter einem Potentialsprung
105
men, die durch einen Potentialsprung (eine Doppelschicht), in dem die Spannung U B abfiillt, gegeneinander abgegrenzt sind. Das Potential in dem Gebiet
Abb. 1. Model1 zweier durch eine Schicht getrennten Plasmen
vor der Schicht betrage U , - Ug, hinter der Schicht U, (vgl. Abb. 1). Die
Doppelschicht sei eben und raumlich nicht begrenzt. Von dem Plasma mit dem
Potential U, - U BflieBt ein Elektronenstrom in das Plasma mit dem Potential
U,. Bei der Beschleunigung wird die Geschwindigkeitsverteilung dieser Elektronen verandert. Zur Berechnung dieser Veranderung fuhren wir im Geschwindigkeitsraum entsprechend Abb. 1Kugelkoordinaten ein. Solange in der Schicht
keine Wechselwirkungsprozesse stattfinden, gilt fur den Zusammenhang zwischen Geschwindigkeitsbetrag und -richtung eines Elektrons vor und nach der
Beschleunigung
(2.1.)
v' sin 6' = v sin 6.
(2.2)
Da keine Wechselwirkungen stattfinden, muB die Vertikalkomponente der
Stromdichte djv der Teilchen, die mit einer bestimmten Geschwindigkeit u'
unter dem Winkel 6' in die Schicht eintreten, gleich der Vertikalkomponente
der Stromdichte dj, der Teilchen sein, die mit der gemaB (2.1) und (2.2) korrelierten Geschwindigkeit v und dem Winkel 6 austreten, d. h.
djv(v', dv'; 6', d6') = dTv(v, dv, 6, d 6 ) .
(2.3)
Fuhrt man in (2.3) die Verteilungsfunktionen der Elektronen vor der Beschleunigung f ( v ' ) und nach der Beschleunigung f ( v , 6) ein, so erhiilt man fur #(v,6)
(2.4)
wobei
8, = arccos
1/2e U ,
na 02
und 8 die Sprungfunktion ist.
Die Gln. (2.1) bis (2.4) gelten unabhiingig vom Potentialverlauf in der Schicht,
und auch in der Schicht selbst, solange keine StoBe stattfinden.
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Annalen der Physik
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7.Folge
* Band 23, Heft 1/2 *
1969
Stellen die beschleunigten Elektronen in dem (sonst isotropen) Plasma hinter
der Schicht nur eine kleine Storung dar, so kann man mit einer Kugelsonde die
Energieverteilung F ( E ) bzw. die Verteilung der Geschwindigkeitsbetrage e (w)
messen [3]. Die zweite Ableitung
( U ) der Charakteristik einer Kugelsonde
mit dem Radius a ist, wenn wir nur den Strom der schnellen Elektronen betrachten, gegeben durch
s'
x sin6
(2.5a)
(2.5b)
Wenn wir mit J" ( U ) die zweite Ableitung der Kennlinie bezeichnen, die wir
1 ..
vor der Beschleunigungsschicht erhalten wiirden. Der Faktor
ruhrt daher,
daB bei der Beschleunigung der Winkelbereich
Die Funktion
teten Funktion
g(U ) ist
a,
I/
i
(2)) in
(zusammen mit der im nachsten Abschnitt abgeleiAbb. 2 dargestellt.
U
2
i
f 5 6' 2 x ausgeblendet wird.
5
6
9
8
9
d
Abb. 2. q(U ) und a,(%)
als Funktion der (reduzierten) Sondenspannung
Da die Kugelsonde nicht zwischen gerichteter und ungerichteter Verteilung
unterscheidet, gilt Gl.(2.5) auch dann noch, wenn die Elektronen nach der
Beschleunigung durch elastische StoBe zwar ihre Orientierung, nicht aber ihre
Energie verloren haben. Man mu13 sich dann zusatzliche Informationen uber
die Orientierung verschaffen. Die Betrachtung wird ungultig, wenn wahrend
der Beschleunigung StoBe stattfinden.
3. Die Verteilungsfunktion hinter einer begrenzten Schicht
Die in Gasentladungen auftretenden Schichten sind gekriimmt und durch
den endlichen Entladungsdurchmesser begrenzt. I n der vorliegenden Untersuchung interessiert besonders der Fall einer durch eine Lochblende begrenzten
Doppelschicht. Die Kriimmung einer Doppelschicht bewirkt, daB die Verteilungsfunktion der beteiligten Elektronen vom Ort abhangt. (Fokussierungseffekt). Hinter einer Blende hangt die Verteilungsfunktion auf Grund der endlichen Apertur der Blende ebenfalls vom Ort ab. Die Berechnung der Verteilung
K. WIESEMANN : Verteilungsfunktion der Elektronen hinter einem Potentialsprung
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hinter einer gekriimmten Schicht ist sehr schwierig, weil man an jedem Ort alle
Stromanteile summieren muB, die von den verschiedenen Orten der Schicht herkommen. Dagegen ist die Berechnung des Einflusses einer Blende auf eine ebene
Doppelschicht moglich. Abb. 3 (links) zeigt das unserer Rechnung zugrunde
elegte Modell. An der Stelle z = 0 befinde sich die Blende mit einer kreisrunden
ffnung vom Radius b. In der Blende sitzt die Schicht. Die endliche Dicke der
Blende wird in der Rechnung vernachlassigt . Die Verteilungsfunktion ist hinter
der Blende nur auf der Achse ( r = 0) nicht von q~ abhangig. Auf allen Punkten
neben der Achse erhiilt man neben der 6-Abhiingigkeit auch eine Abhiingigkeit
von q~.
8
p ~ , B l e n d e n o f f n u n g
* ta~’(\s
Abb. 3. Veranschaulichung der Grenewinkel 8gund q+, im Fall der von einer Blende begrenzten Schicht
3.1. Die Verteilungsfunktion auf den Aehsenpunkten
Die Bahnen samtlicher Elektronen, die zu einem Achsenpunkt P ( 0 , z ) gelangen konnen, liegen innerhalb des Aperturkegels, der durch die Verbindungsgraden zwischen P und dem Blendenrand gebildet wird, d. h. es konnen nur
Teilchen unter einem Winkel 6 der kleiner als der Aperturwinkel
6,
= arccos
v
m
ist, nach P gelangen (vgl. Abb.3 links). Das bedeutet, daB die Verteilungsfunktion fiv, 6 , 0, z ) a n der Stelle 6, abgeschnitten wird, was wir wiederum
durch die Sprungfunktion 0(6, - 6 ) beschreiben:
-
i(v, 6 , 0, 2)
= f (fv2
-
4)
2e U ,
0 (Go - 6 )0 (6,- 6)*
+
fG
2eUB zz
b2
Fur Geschwindigkeiten v 2
wird 6, 2 6,, d.h. es setzt die
Aperturbegrenzung ein. Sie bewirkt ein Defizit an schnellen Elektronen.
3.2. Die Verteilungsfunktion fur beliebige Punkte hinter der Blende
Wir betrachten einen Punkt hinter der Blende mit den Koordinaten r und z .
Die moglichen q~ sind durch die Bedingung q~ 5 yo (vgl. Abb.3 rechts) eingeschrankt, d. h. die Verteilungsfunktion ist nur fur solche q~ erklart, fur die gilt
cosz
5 Is(ztan#,r)I,
Annalen der Physik
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wobei
s ( z tan
6, r ) =
22
~~~
*
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+
tan2 6 r2 - bz
2 r z tan 6
ist.
Abb.4. s ( z tan 6, r ) als Funktion von z tan 6 fur
verschiedene r. Solange Is1
1 ist, gilt cos
4
2
=&-
Der Verlauf von s ist in Abb. 4 fur verschiedene Werte von r in Abhangigkeit
von z tan 6 dargestellt. Die Bedingung (3.2) ist nur sinnvoll, solange 1 s 1 5 1
ist. Geht s gegen 1, so strebt p,l gegen Null. Die Stelle s = 1 liefert daher
auch eine Begrenzung der moglichen 6. Strebt s gegen - 1, so geht v0 gegen 2x.
Fur s 5 - 1 sind daher stets samtliche pl moglich. Dieser Fall tritt nur fur
r < b ein (vgl. Abb. 4); an der Stelle r = b tritt ein Sprung in den moglichen
Winkelbereichen auf. Fur r > b sind die moglichen 6 sowohl nach oben, als
auch nach unten beschrankt. Aus der Bedingung s = 1 lassen sich die beiden
Grenzwinkel
und 6,2 ableiten zu
tYgl = arctan- r f b
+
ag2=
f(v, 8, pl, r , z ) =
<b
(3.3)
arctan- Ir - b l
(da O e stets 2 0 sein muB).
Man erhillt somit fur die Verteilungsfunktion 1. fur r
2. fur r
+
>b
f(Vj- F2)e(60- 6 )O(ggl - 6 ) O ( 6 - 6,2)O(pl,
- p).
(3.4)
(3.5)
Fur Achsenpunkte ( r = 0) verschwindet in der Klammer der rechten Seite von
(3.5) der erste Term und man erhiilt (3.1). An der Stelle r = b gehen die Ausdrucke (3.4) und (3.5) nicht stetig ineinander uber.
K. WIESEMANN
: Verteilungsfunktion der Elektronen hinter einem Potentialsprung
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Man kann nun unter den gleichen Voraussetzungen, wie in Abschn. 2 durch
Einsetzen von an Stelle von f i n (2.5a) die zweite Ableitung des Stromes der
beschleunigten Elektronen zu einer Kugelsonde berechnen. Nach Ausfuhren
der p-Integration erhillt man
7
1. f i i r r 2 b
tan* I? + r2 - b2
x $ d 6 sin 6 arccos (22
---_____
2rztan.B.
*ga
(Wobei i n dem Ausdruck fur 6, die Geschwindigkeit v durch
~
vg (U,
_
-
U)
zu ersetzen ist.)
sin 6 arccos
+ -)- b2
(zz tan22 rI?2 tan
r2
O(6, - 6)
egz
+ 2x 1 d8sin8@(8, -8)
(3.7)
0
Aus (3.7) erhalt man fur Achsenprodukte
Abb. 5. go(%)
ale Funktion des (reduzierten) Abstandes
von der Blende ( b Radius der Blendenoffnung)
0 1 2 3 4 5 6 7 8
_
110
Annalen der Physik
Das heiBt fur Uo - U 5
die Funktion
Go(%)=
Go(%)geht fur groBe z
b
- = 0 sehen kann
(1
gegen
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ist die Funktion c ( U ) aus (2.5b) durch
fz2)
U B z Y
-
*
___
zu ersetzen, wie in Abb.2 dargestellt.
a1 b2/z2, wie man durch Entwickeln an der Stelle
. Abb. 5
(2) als Funktion des Abstandes von der
zeigt
Blende. I m Plasma sollte man einen entsprechenden Abfall der Dichte schneller
Elektronen hinter einer Blende erwarten.
4. Der EinfluB der endlichen SondengroSe, der Sehichtkriimmung
und eines radialen Feldes
G1.(2.5) gilt streng nur, wenn die Verteilungsfunktion nicht vom Ort abhiingt. Sie ist im vorliegenden Fall nur anwendbar, fur den Grenzfall a/b < 1
( a Sondenradius, b Radius der Blendenoffnung). Den EinfluB der endlichen
Sondengroae kann man abschltzen, indem man den Strom der schnellen Elektronen in Parallelbundel zerlegt, die unter verschiedenen Winkeln aus der
Blende kommen. Die bisherige Naherung bedeutet, daB die Sonde den vollen,
der Stromdichte im Biindel entsprechenden, Strom zieht, solange sich der
Sondenmittelpunkt innerhalb des Bundels befindet und da13 der Strom von
Elektronen aus dem betreffenden Bundel auf Null ,,springt", sobald der Sondenmittelpunkt das Bundel verlaBt. I n Wirklichkeit kann die Sonde teilweise in
das Bundel eintauchen, so daB der Strom kontinuierlich auf Null absinkt. Das
bedeutet, daB die wirksame Sondenflache uber einen bestimmten Winkelbereich A 6 von der Einfallsrichtung der aufgesammelten Elektronen abhangt.
Dieser Winkelbereich ergibt sich zu
Bei einem Blendenradius von 5 mm und einem Sondenradius von 0,25 mm erhalt man im ungunstigsten Fall ( z = 0 ) den Wert A 6 rn .
'4 Auf Grund dieses
Effektes ist zu erwarten, daB der Obergang zwischen c ( U ) und 8,,(z) verwaschen wird.
Auf Grund der Schichtkriimmung erwartet man, daB hinter der Schicht
zunachst ein Gebiet mit erhohter Dichte der beschleunigten Elektronen auftritt,
das um so ausgepragter ist, je geringer die Energie der Elektronen vor der Beschleunigung ist. Hinter diesem Fokusgebiet divergiert der Strahl der schnellen
Elektronen starker, als bei ebener Schicht. (Dies gilt, wenn die Schicht g e g e n
die Feldrichtung vorgewolbt ist. Bei der Kathode einer Entladung hat man oft
eine Vorwolbung in Feldrichtung, bei der kein Fokusgebiet auftritt.)
I n der vorliegenden Betrachtung wurde angenommen, da13 der Strahl der
beschleunigten Elektronen hinter der Blende ungehindert im feldfreien Raum
divergiert. I n Gasentladungen hat man aber stets ein radiales, elektrisches Feld,
das durch die ambipolare Diffusion der Ladungstrager zur Wand hin zustande
kommt. I n diesem Feld beschreiben die Elektronen Schraubenbahnen. Wegen
der Zylindersymmetrie kann man die Kreisbewegung mit Hilfe des Drehimpulssatzes abseparieren und erhalt, wenn man ein Parabelpotential in r-Richtung
annimmt und das (auch stets vorhandene) Langsfeld vernachlassigt, als Bahn-
K. WIESEMANN
: Verteilungsfunktion der Elektronen hinter einem Potentialsprung
gleichung in
r2=
T
111
und x
A+B.sinz+'.
Aus G1. (4.2) erhiilt man eine transzendente Gleichung als Bestimmungsgleichung
fur die Grenzen der Winkelintegration bei der Berechnung des Sondenstromes
und seiner Ableitungen (vgl. 01. (2.5)). Die Rechnung ist daher nicht elementar
auszufuhren. Man kann aber sagen, daB das radiale Feld eine Fokussierung der
schnellen Elektronen verursacht. (Die Verhaltnisse ahneln denen im gasfokussierten Elektronenstrahl, bei dem allerdings die Energiebreite der Elektronenverteilung erheblich geringer ist [4].) Infolgedessen ist die Divergenz des Strahls
nicht so hoch, wie die einfache Rechnung mit geraden Bahnen ergibt. uberdies
sind - insbesondere in groBeren Abstiinden von der Blende - Elektronen zu
berucksichtigen, die am Potential (bzw. der Wand) reflektiert wurden. Der Einflu0 des radialen Feldes ist um so hoher, je niedriger die Energie der schnellen
Elektronen ist. Er sollte sich aber erst in einigem Abstand von der Blende
stiirker bemerkbar machen. Das radiale Feld wird durch die Ladung derjenigen
schnellen Elektronen aufgebaut, die in radialer Richtung diffundieren. Das heiI3t
es steigt
1. mit steigender Temperatur der (hier nicht betrachteten) langsamen Elektronen,
2. mit der Anzahl derjenigen Elektronen, die aus dem Strahl nach der Seite
abgelenkt werden, d. h. es ist um so hoher,
2.1. je hoher die Dichte im Strahl ist,
2.2, je hoher die Neutralgasdichte ist,
2.3. je niedriger die Energie der schnellen Elektronen ist, da mit wachsender
Energie die Wahrscheinlichkeit fur Streuung urn grol3e Winkel abnimmt (2.2.
und 2.3. gelten nur in gewissen Grenzen).
3. mit abnehmendem GefaBradius.
Die reflektierenden Elektronen bewirken, daB die Dichte im Strahl in einen
konstanten Wert ubergeht. Auf Grund der Reflexion kann man auf (ebene)
Schichten, die in einem glatten Entladungsrohr ohne Blende auftreten, die
Theorie der unbegrenzten Schicht anwenden, sofern die GefLBwand genugend
negativ ist.
I n Teil 111dieser Arbeit werden wir auf diesen Punkt noch einmal zuruckkommen.
5. SchluBbemerkung
Fur beschleunigte Elektronen hinter einer Doppelschicht liefert das hier abgeleitete vereinfachte Modell einen Abfall der Dichte, der allein von der Divergenz des Strahles der beschleunigten Elektronen herruhrt. Die Dichteabnahme
muB hinter einer gekrummten Schicht stiirker sein, als hinter einer ebenen
Schicht. Das Modell liefert also eine untere Grenze fur den EinfluB der Strahldivergenz. Andererseits ist auf Grund des radialen elektrischen Feldes und der
negativen Wandaufladung zu erwarten, daB der Dichteabfall schwacher ist, als
es das Modell beschreibt. Hinter einer Blende sollten die Einflusse des radialen
elektrischen Feldes mit zunehmendem Abstand von der Blende zunehmen. Man
kann erwarten, daB unser Modell in unmittelbarer Nahe einer Blende anwendbar ist.
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Stofie der Elektronen mit den anderen Teilchen oder Wechselwirkungen
untereinander und Kollektiv- Wechselwirkungen bewirken eine starkere Dichteabnahme im Strahl der beschleunigten Elektronen. 1st eine scharfe Beschleunigungsschicht vorhanden, so dafi die Wechselwirkungsprozesse i n d e r S c h i c h t
selbst vernachlassigt werden konnen, nicht aber im angrenzenden Plasma, so
liefert unsere Rechnung die Verteilungsfunktion am Schichtrand, die dann als
Randwert in der weiteren Rechnung benutzt werden kann.
Die bei der Rechnung benutzte Voraussetzung, daB die Verteilungsfunktion
vor der Schicht isotrop und ranmlich konstant ist, wird im allgemeinen nicht
erfullt sein. Solange die Anisotropien nur im Bereich
5 6’ 5 x auftreten,
haben sie allerdings auf das Ergebnis keinen wesentlichen EinfluR, da Elektronen, deren Geschwindigkeitsvektoren in diese Richtung weisen, nicht zum
Strom durch die Schicht beitragen. Die rkumliche h d e r u n g der Verteilungsfunktion beeinflufit bei Schichten, die den gesamten Querschnitt einer Entladung ausfullen, das Ergebnis wesentlich, dagegen ist im Fall einer Blende,
deren Offnung nur einen Teil des Entladungsquerschnittes ausfullt, die Variation der Verteilungsfunktion uber die Blendenoffnung im allgemeinen zu vernachlassigen.
Finden in der Schicht elastische StoBe mit Gasatomen oder Ionen statt, so
ist G1. (2.2) nicht mehr anwendbar. Die Richtungsverteilung wird dann durch
die Richtungsabhangigkeit des differentiellen Streuquerschnittes beeinflufit.
Der Einflufi elastischer Stofie diirfte im allgemeinen nicht sehr grofi sein, da
die differentiellen Streuquerschnitte fur Vorwartsstreuung im Vergleich zu
denen fur Streuung um grofie Winkel sehr hohe Werte aufweisen [5].
Finden in der Schicht Elektron-Elektron-StoBe oder kollektive Wechselwirkungen statt, so ist das Einzelteilchenmodell nicht mehr anwendbar.
Ich danke Herrn Professor Dr. W. WALCHERfur sein forderndes Interesse
und fur zahlreiche Anregungen zu dieser Arbeit. Den Herren Dr. M. FISCHER,
Dip1.-Phys. K. EIDMANN
und Dip1.-Phys. G. FTJCKSbin ich fur kritische Diskussionen zu Dank verpflichtet.
Literaturverzeichnis
[l] KLARFELD,
B. N., JETP 22 (1952) 66.
[2] BOYD,R. L. F., u. N. D. TWIDDY,Roc. Roy. SOC.A 269 (1960) 145.
[3] MEDICUS,G., J. Appl. Phys. 82 (1961) 2512.
[4] DUNN,D. A., u. A. S. HALSTEDT,
J. Appl. Phys. 37 (1966) 1810.
[5] RAMSAUER,
C., u. R. KOLLATH,
Ann. Physik 12 (1932) 527.
M a r b u r g (Lahn), Physikalisches Institut der Universitat.
Bei der Redaktion eingegangen am 13. November 1968.
~~
~
Verantwottlich
fur die Schriftleitung: Prof. Dr. G. Richter, 1199 Berlin-Adlershof, Rudower Chaussee 5; fUr den Anzeigente :DEWAG-Werbung Lelpzig, 701 Lelpzig, Br(lhl34-40, Ruf 29740. Zur Zeit gilt Anzeigenpreisliste 6. Verlag:
Johann Ambrosius Barth, 701 Lelpzig, Salomonstr. 18B, Fernruf :25245. Ver6ffentlicht unter der Lizenz-Nr.1306
den Pressearntea beim Vorsitzenden des Ministerrates der DDR
Printed in the German Democratic Republic
Druck: Paul Diinnhaupt KG, DDR-437 Kgthen (IV/5/1) I,92/69
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