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Der Einflu eines Magnetfeldes auf Wrmeleitung und Reibung in paramagnetischen Gasen. II

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474
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 26. 1936
Der Einflup eines Nagmetfeldes auf W&rmeZeitung
und R e i b u n g i m paramagnetischen Gasen. IT
VOYL
M . u,L a u e
I n meine Untersuchung, die vor einem Jahre unter dem gleichen
Titel erschienen ist *), und zwar in ihren gastheoretischen Teil,
haben sich mehrere Ungenauigkeiten eingeschlichen, die ich hier
richtig stellen mochte, obwohl das friihere Ergebnis in allem Wesentlichen unverandert bleibt.
I.
Das erste Versehen liegt schon in der Benutzung der aus einem
Vortrage S o m m e r f e l d s 2 ) ubernommenen G1. (16). Herr S o m m e r fel d selbst machte mich kiirzlich auf deren Unvollstandigkeit
aufmerksam und bat mich, die Sache bei dieser Gelegenheit zu
berichtigen. Die Ableitung seiner Gleichung iibersieht namlich eine
Ursache des Transportes der GroBe G. Abgesehen von den in
Rechnung gesetzten Ursachen bewirkt noch die Veranderlichkeit der
Verteilungsfunktion F mit dem Orte, verbunden mit cler Bewepng
der Btome, einen Transport durch die zum Gradienten von F
senkrechte Fliiche an. Rezeichnet, wie in S o m m e r f e l d s Vortrag,
a 2 das Volumenelement im Geschwindigkeitsraum, und 8 die Geschwindigkeitskomponente in der zu d B senkrechten x-Richtung, so
betragt dieser Transport in der Zeit dt fur alle aus d C auf d c
treffenden Atome
G 6 -f3F
- a Eat.
az
Denn es ist nicht so, wie S o m m e r f e l d a. a. 0. (S. 149 unten) annimmt, daB im stationaren Zustand gleichviel Molekiile auf der
Strecke d 1 durch ZusammenstoBe einerseits aus ihrer anfangs nach d B
~~~
1) M. v. L a u e , Ann. d. Phys. [5] 23. S. 1. 1935. Die Bezeichnungen dieser
Arbeit behalten wir hier bei, die Numerierung der Gleichungen setzen wir fort.
Wir bezeichnen jedoch die B o 1 t z m a n nsche Konstante hier mit z, um die Verwechslung mit der Reibungskonstanten k der G1. (10) und (11) zu vermeiden.
2) A. S o m m e r f e l d , Vortrage iiber die kinetische Theorie der Materie
und der Elektrizitat gehalten in GSttingen. Leipzig und Berlin 1914. S. 125ff.
M . v. Laue. Der Einflup eilzes Magnefjeldes usw. I I
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hinzielenden Balm geworfen werden und andererseits in die passende
Richtung hineinkommen ; vielmehr gibt es unabhangig von allen ZusammenstoBen einen MolekiilfluB von der Starke
0
(W1)
0
0
c
o
x
0
an
+J.alSsinecos'Ba~Sa(oS;:
\
4
8 - 15
c
2
:~-u3dv.
2
+ - c3
Dies Veraehen pflanzt sich leider fort; so sind die folgenden Abanderungen vorzunehmen:
(22b)
fisin33d9=
0
4
-1
1) Die ,,homogene Integralgleichung" GI. (17) auf S. 105 IiBt sich aus
demselben Grunde nicht aufrechterhalten, worauf zuerst Herr En s k o g
Herrn Sommerfeld aufrnerksam gemacht hat.
Annabn der Physik. 5. Folge. Band 26. 1936
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j’fcos o sin o cos tp
=
472
--j
~
cz cos @ sin (3,
Dies hat auf die Gastheorie der magnetischen Beeinflussung der
Warmeleituug sonst keinen EinfluB; insbesondere bleibt die ubereinstimmung zwischen den Faktoren von sin2u in (24) und von
cosccsina in (25) erhalten, auf die man Wert zu legen hat.
111.
Bei der Theorie der Reibung jedoch, wie sie die nngefuhrte
Xrbeit gab, beruht die am SchluB erwahnte Unstimmigkeit, welche
ich friiher den unvermeidlichen Vernachlassigungen jeder derartigen
Berechnung zuschrieb , ebenfalls auf einem Rechenfehler. Auch
darauf machte mich Herr K r a t z e r aufmerksam. Die Einfuhrung
der Koeffizienten can in das Richtungsintegral der GI. (37) ist miBgluckt; dies hat tatsachlich den Wert
(38)
1
,
z
J’
I~ =Sfcos2@ sinza c o s 2 t p d ~ =un f(cos2(9.-ccos’9).sinrya!9
=
nR,
mit
(39)
Daneben steht in (37) als Faktor das Integral
sowie
M . v. Laue. Der Einflufl eines Magnetfeldes usw. I I
477
Die letzte Berechnung benutzt G1. (30). Danach wird aus (37):
Nun gibt (vgl. Anm. 1 auf S. 8 der friiheren Arbeit) @* den in der
negativen 2,-Richtung durch ein dazu senkrechtes Flachenstiick von
der GroBe 1 durchtretenden Impuls, hingegen
den in der positiven 2,-Richtung ubertragenen.
(43)
Aq13,, = 4 n i : m m T
Folglich wird
R,.
Dieser Betrag tritt im Magnetfeld zu dem gewohnlichen Werte (vgl. 11\
(O)
2k
71313 =
additiv hinzu.
Wenn wir nun denselben Reibungskoeffizienten unter der Annahme einer nach x1 veranderlichen Striimung u3,also nach der
Gleichung
1
T,, = - 2 T
a Uc,
1 3 1 3 K
berechnen, so haben wir das Flachenstiick d s senkrecht zu x, zu
verlegen. In dem mit ihm fest verbundenen Achsenkreuz x, y, x fallt
dann x mit x1 zusammen, wir wahlen fwner y = xz und x = x3. Dann
wird der Impuls in der x-Richtung
G = m u sin 8 sin 'p .
(44)
Fur die Verteilungsfunktion ist als Naherungswert zu set.zen:
(45)
F=Fm(l+
=)
.
Die z-Komponente von v wird
v, = v sin 0 sin y
(46)
und die Reihenentwicklung fur w als Funktion des Ortes lautet:
w
.
(3
= w, + 1 c o s o __
An die Stelle von (37) tritt dann eine Gleichung, die sich von ihr
nur darin unterscheidet, da8 d u j a x durch d wla 3; und das Richtungsintegral J , ersetzt ist durch
J , = Jjcos2
o sin2 o sin2 y a 9.
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 26. 1936
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Nun ist bei der jetzigen Lage der beiden Achsenkreuze
sin 0 sin cp = cos 8, cos 0 = sin 9 cos w ,
(47)
sin 0 cos cp = sin 8 sin I,O;
folglich wird im Hinblick auf (38)
{
1 sf
cos2 19sin29.cos2w d
J, =
(48)
l /
=R
D
f (cos2A - cod (9) sin 19.d 19. = J , .
Beidc Berechnungen. von 111313 fiihren also xu gleichem Ergebnis (43).
Dies kann zur Ermittlung auch der beiden anderen Komponenten 41111
nnd ql,,, ermutigen.
Zur Auswertung von q l l , behalten wir die Lage von do und
seines Achsenkreuzes x, y, z bei. Da es durch die Gleichung
(48a)
T,, = -
8 ah,
41111
-z
definiert ist, miissen wir nun die x-Komponente des Impulses im
Betrage
(49)
G=mvcos@
einfuhren, fur F den Niiherungswert
F = q +
(50)
benutzen. in welchem
-4
nax11,
y ’zc
zu setzen ist. Dies ergibt fur den durch d o in der negativen
x,-Richtung wandernden Impuls @*:
m
m
-
(51a)
mit dem Richtungsintegral
o
u
J , = J j cOs4 (3 a 9 .
Nach (47) wird darnus:
f
I
mit
(53)
J
3 - 1 f sin4
-
{9. coS4 r,p d 9
M . v. Laue. Der Einflup eines Magnetfeldes usw. I I
479
-41s Analogie zu (43) ergibt sich aus (48a) und (51a):
(54)
Dieser Zusatz tritt im Magnetfeld zu dem Normalwert [ygl. (lo)]:
hinzu.
huch bei der Berechnung von qlZl2 gema6 der Gleichung
(55)
konnen wir die bisherige Lage von d o und seines Achsenkreuzes
beibehalten. Die y- (2,-)Komponente des Impulses hat den Betrag
G = rn v sin 0 cos q
(56)
fiir die Verteilungsfunktion gilt, wenn wir fiir die y-Komponente der
makroskopischen Geschwindigkeit die Benennung u2 behalten
-I
F = F m ( l +m Hv> rc.,
(57)
Ferner ist
[
(58)
-
v2 = v sin 0 cos cp
" % = u p + 1 c o s o (;:)a--
Bolglich tritt an die Stelle von (37):
(59)
mit dem Richtungsintegral
J4 = J f cos2 0 sin2 0 cos2 qj d R
= J j sin4 17 cos2 7 1 sin2 q, d Q
[nach (4411. Die weitere Ansrechnung ergibt:
(60)
I
I
x
J, =
4J'f sins
d t7 =
R,
0
1
R 4 = -3R
3'
,%us (55) und (59) folgt schlieBlich fiir den Zusatz, der im Magnetfeld Zuni Normalwert [vgl. (1I)]
(O)
41212
hinzukomm t :
(6')
A qlZl2= 4n
= 2k
i:nzxT~, .
480
Annalen der
Physik. 5. Folge. Band 26. 1936
Die hier nicht behandelten Komponenten des zusatzlichen Reibungstensors A q i k l mlassen sich nach (9) aus den hier berechneten ableiten.
In ihnen allen treten von den Koeffizienten der Entwiclrlung (15)
co, cp und c4 auf, wahrend bei dem zusatzlichen Warmeleitungskoeffizienten nach (33) nur co und c2 in die Erscheinung treten.
Leider sind daniit die inneren Unstimmigkeiten dieser Berechnung keineswegs beseitigt. Setzt man niimlich alle Koeffizienten c2* der Reihe (15) bis auf co gleich Null, so bleibt das Gas
ja isotrop, und man mu6 fordern, da6 sich alle A q i k l mdurch eine
Veranderung A k des Reibungskoeffizienten k ausdriicken lassen.
Es sollte also nach (10) und (11) gelten:
Nach den G1. (43), (54) und (61) (mit c2 = c4 = 0) ist statt dessen:
n
A qlZla:A q131s: A gllll= 1 : 1 :3
*
2
Dies riihrt sicherlich von dem unvermeidlich ungenauen Ansatz fur
die Verteilungsfunktion F her.
Wir liommen also iiber das friihere Ergebnis nicht hinaus:
Es treten bei der Berechnung der durch das Magnetfeld veranderten
inneren Reibung hohere Koeffizienten der Reihe (15) auf, als bei
der Ermittlung der veranderten WBrmeleitung. Man versteht insofern, warum die bisherigen Versuche keinen Zusammenhang
zwischen beiden Xnderungen erkennen lassen. dber sonst sind
diese Betrachtungen nur mit erheblichen Vorbehalten zu benutzen.
B e r l i n - Z e h l e ndo r f , Albertinerstr. 17.
(Eingegangeii 17. April 19361
V e r a n t w o r t 1 i c h: fiir die Redaktion: Prof. Dr. E. Griineisen, Marhurg/L.: fur Anzeigen:
Bernhard v. Ammon, Leipzig. Anxeigenannahme: Leipzig C 1, Salomonstr. 18 B, Tel. 70881.
Verlag: Johann Ambrosiua Barth. Druck: Metzger & Wittig, Leipzig C 1. DA. 1064. IT. Vj. 1930.Zur Zeit gilt Preisliste 3. Printed in Germany.
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