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Der Eisenzylinder im homogenen Magnetfelde.

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N 1.
1911.
ANNALEN DER PHYSIK.
VIERTE FOLBE. BAND 34.
1. Der Bsen%yZinder irn homogemen MagnetfeZde;
von 0. G r o t r d a n .
In einer friiheren Arbeit l) ist von mir gezeigt worden,
wie man nach einem Naherungsverfahren, gestiitzt auf gewisse
Experimente, die Verteilung der magnetischen Induktion, sowie
den Verlauf der Niveaufiachen und Kraftlinien fiir das Innere
eines magnetisierten Rotationskiirpers bestimmen kann, dessen
Achse den Kraftlinien des auf3eren homogenen Erregerfeldes
parallel ist. Das Verfahren beruht auf der Messnng des Induktionsflusses , der die verschiedenen zur Achse senkrechten
Querschnitte des Rotationskorpers durchsetzt.q
Es diirfte wohl einiges Interesse darbieten, die Brauchbarkeit der etwas modifizierten Methode zu priifen, indem
man sie auf Rotationskorper von bestimmter Form anwendet,
Den Kreiszylinder von endlicher Lange dabei ins Auge zu
fassen erscheint naheliegend. Denn diese Korperform ist weitaus am meisten magnetisch untersucht und wird vielfach in
Apparaten angewand t. Dagegen versagt gerade hier die
P o i s s o n - K i r c hhoffsche Methode der Vorausberechnung.
Versuche, mittels Induktionsschleifen, die um verschiedene
Querschnitte des Rotationskijrpers gelegt sind, den magnetischen
Zustand des Elektromagneten zu studieren, sind mehrfach angestellt.
Die Kugel ist vom VerfasserS), das Rotationsellipsoid von
Benedicks4) untersucht worden. Das Ergebnis, dsS im
Innern eine homogene Magnetisierung vorhanden ist , stimmt
mit der Magnetisierungstheorie durchaus iiberein. Versuche
1) 0. Grotrian, Ann. d. Phys. 23. p. 575. 1907.
2) Vgl. u. a. auch E. Mascsrt u. J. Joubert, Lehrbuch der Elektrizitgt und des Magnetismus 1. Art. 417-418.
3) 0. Grotrian, Wied. Ann. 67. p. 751. 1896.
4) C. Benedicks, Ann. d. Phys. 6. p. 726. 1901.
Aanslen der Physik. IV.Folge. 34.
1
2
0.Grotrian.
an einem sehr gestreckten Zylinder sind von Lamb’) angestellt. Dieselben gestatten u. a., die Wei%e der mittleren
Induktion fur die verschiedenen Querschnitte zu berechnen.
Der Versuch, den Verlauf der inneren Niveauflachen und Kraftlinien zu ermitteln, ist von L a m b nicht gemacht worden. Auch
erstrecken sich seine Versuche nur auf die zylindrischen, nicht
die Stirnflachen des Versuchskorpers. Letztere miissen aber
zur Erzielung eines moglichst vollstandigen Bildes des Magnetinnern ebenfalls beobachtend durchgemustert werden.
Die Ermittelung des Verlaufs der inneren Niveauflachen
und Kraftlinien bildet ein hauptsachlicb von mir angestrebtes
Ziel. Die Grundlage dafur ist durch die experimentell bestimmte Verteilung des Induktionsflusses gegeben. Aus dieser
la& sich au6erdem die Dichte der idealen Schicht, sowie der
Wert der magnetischen Kraft und der Induktion an den verschiedenen Stellen des Eisenzylinders berechnen.
Grundlagen und Anordnung fur die Untersuchung.
Ein Eisenzylinder, der von einer lnduktionsschleife (Prufspule) eng umschniirt ist, befinde sich in der Mitte einer langen
Magnetisierungsspule konaxial mit dieser. Die Schleife sei
mit einem ballistischen Galvanometer verbunden. Wird der
magnetisierende Strom geschlossen oder unterbrochen, so entsteht ein ballistischer Ausschlag des Galvanometermagneten,
der, abgesehen von gewissen Korrektionsgliedern, ein Ma6 fur
den die Schleife, also den betreffenden Querschnitt des Zylinders
durchsetzenden InduktionsfluB liefert.
Statt einen einmaligen ballistischen Ausschlag zu beobachten, kann andererseits namentlich das Multiplikationsverfahren in Frage kommen. Dieses ist, um hohe Empfindlichkeit zu erhalten, angewandt worden. Die Erzielung einer
solchen ist deshalb geboten, weil die verwendeten Induktionsschleifen nur eine Windung besitzen und weil auBerdem beabsichtigt war, die Versuche bei sehr schwachen Feldern auszufiihren. Die Benutzung nur einer Windung gestattet, mit
moglichster Genauigkeit die Lage des umschniirten Querschnitts
. .
1) C. G . L a m b , Phil. Mag. (5) 48. p. 262. 1899.
LLnge/Durchmesser = ca. 250.
Verhtiltnis
Der Bisenzylinder im homogenen Maynetfelde.
3
zu bestimmen. Ferner kann fur die unterste Stufe der Magnetisierung Permeabilitat und Suszeptibilitiit als konstant angesehen und der EinfluB der Hysteresis als verschwindend
klein angenommen werden. Beides ist offenbar fur eine moglichst einfache und einwandfreie Verwertung des Beobachtungsmaterials von Wichtigkeit.
I n Fig. 1 ist die Versuchsanordnung dargestellt. I n der
vertikal stehenden langen Magnetisierungsspule MM befindet
sich der Eisenzylinder C in konaxialer Stellung. Die Mitte
desselben fallt mit der Mitte von M M zusammen. Uber den
Zylinder ist ein Ring HI aus Hartgummi geschoben and
mittels dreier radialer Schrauben aus gleichem Material fest
angepreBt. Mittels dieses Binges ruht C auf einem Holzzylinder U,
der den unteren Innenraum des Spulenrahmens ausfullt. Letzterer, aus rotgelbem Hartgummi hergestellt, w a r von F r a n z
Clouth, Gummiwarenfabrik in Nippes, bezogen. Am oberen
Ende ist U mit einer zylindrischen Hohlung U, versehen. Der
Durchmesser derselben ist bis auf einen kleinen Spielraum
gleich dem Durchmesser des Eisenzylinders. Letzterer ragt
bis zu einer gewissen Tiefe in die Hohlung hinein. Dabei
ist die Lage des PreBringes Bl auf C so gewahlt, da6 die zur
Achse senkrechten Mittelebenen von C und MM zusammenfallen. Uber HI befindet sich ein zweiter gleicher PreBring H.
Dieser ist auf dem Eisenzylinder so befestigt, da6 seine obere
ebene Flache in die Mittelebene von C und M fallt.
Der Trager der Prufschleife fur die zylindrische Oberfliiche des Elektromagneten ist mit TT bezeichnet (vgl. auch
Fig. 2). Derselbe besteht aus zwei ein festes Ganzes bildenden
Rolzzylindern. Der untere Teil mit gro6erem Durchmesser besitzt eine nach unten offene zylindrische Hohlong, deren Grenzen
durch gestrichelte Linien angegeben sind. Ihr Durchmesser
ist so nahe als moglich gleich dem Durchmesser des Eisenzylinders gemacht. In den unteren Rand der Hohlung ist eine
feine Rime eingedreht. In diese ist die Induktionsschleife
eingelegt und darin mit Syndetikon festgeklebt. Fig. 2 a zeigt
den Schleifentrtiger von unten her gesehen. Die Prufschleife
ist mit s bezeichnet. Dieselbe ist aus feinem isolierten Draht
hergestell t , der eine zusammenhangende Leitung zuniichst bis
zu den Klemmen h k , am oberen Ende des Schleifentragers
If
4
0.Grotrian.
bildet. Von der Stelle x aus, wo die Enden der Schleife zusammenstoflen, fuhren die zwei Drahtziige 11, dicht neben-
Fig. 1.
einander in eine Rinne gelegt, zunSichst in radialer Richtung
(Fig. 2 4 , dann auf der F’lache des unteren Zylinders parallel
Der Eisenzylinder im homogenen Bagnetfelde.
5
dessen Achse bis zu seiner oberen Grenze. Hierauf folgt
nochmals ein kurzer radialer Teil, an den sich dann die Leitung
auf dem diinneren Zylinder schlie6t.
Die Verbindung der Drahtenden mit den Klemmen k und 4
ist so hergestellt, da6 die Drahte keine von einem Induktionsflusse durchsetzte Flache umschlie6en. Zu dem Zwecke sind
dieselben am oberen Ende des
J’
Holzzylinders bei p so umgebogen
und an die Klemmen k und k, angeschlossen, daB sie in einer durch
die Zylinderachse gelegten Ebene
verlaufen. Die Klemme k ist, urn
dieses zu ermoglichen, auf einer
Fig. 2a.
Briicke B aus Hartgummi befestigt,
die Klemme k, befindet sich hinter
der Briicke, so da6 der an k, angeschlossene Draht unter dem
Briickenbogen hindurchgezogen ist.
Die von k und K, zum Spiegelgalvanometer S fiihrenden Drahte
A, L1 sind zunachst in kleiner
Entfernung voneinander auf eine
kurze Strecke so gebogen, daB sie
Fig. 2b.
Fig. 2.
keine Induktionsschleife darstellen,
dann eng umeinander gelegt in der R i m e einer Holzlatte von
etwa 80 cm Lange weitergefiihrt. Der Abstand zwischen Magnetisierungsspule und Galvanometer betragt etwa 2,5 m.
Der Schleifentrager T T erhalt axiale Fiihrung einerseits
durch seine untere Hohlung, in die der Eisenzylinder wiihrend
der Beobachtung hineinragt, andererseits durch den hijlzernen
Zentrierring 2, der zentrisch in das obere Ende der Magnetisierungsspule eingepa6t mit einer zentralen Offnung versehen
ist. In dieser la& aich der obere Teil des Tragers bei tunlichst geringem radialen Spielraum verschieben. Auf dem
Zentrierringe ruht der Trager TT vermittelst eines Ringes P
aus Hartgummi mit radialer PreSschraube aus gleichem Material.
Da P a n jede beliebige Stelle von T angepreBt werden kann,
ist es moglich, die Priifschleife urn jeden beliebigen Querschnitt der oberen Halfte des Eisenzylinders herumzulegen.
6
0.Qrotrian.
Um den Abstand der Prufschleife von der Mitte des
Eisenzylinders messen zu kiinnen, ist der diinnere Teil von T T
seiner Langsrichtung nach mit einer Skala aus Millimeterpapier
beklebt. Die Ablesung der Stellung der Schleife erfolgt durch
Visieren iiber die ebene obere Flache des PreB- und Visierringes 7.
Bei der tiefsten Stellung des Tragers ruht dieser auf der
oberen Ebene des Ringes H. Die Prufschleife umschlieEt
dann die Mitte des Eisenzylinders. Die in diesem Falle an
der Skala gemachte Ablesung entspricht dem Nullpunkte der
von der Mitte des Eisenzylinders aus gemessenen Liingen,
welche die Lage der untersuchten Eisenquerschnitte definieren.
Fiir die Messung des Induktionsflusses an der Stirnflache
ist dem unteren Teil des Schleifentragers eine Anordnung gegeben, die aus Fig. 2 b ersichtlich ist. Die kreisformige
Schleife ist durch die gerade Linie s s dargestellt. Der unter
derselben befindliche zylindrische Hohlraum umschlieBt den
Eisenzylinder bei der Messung. Der ganze Trager wird so
weit herabgesenkt, daS s s auf der Stirnflache aufliegt.
Der magnetisierende Strom wird der Magnetisierungsspule
durch die Drahte .LA (vgl. Fig. 1) zugefuhrt. Als Stromquelle
dienen drei Akkumulatorzellen A. In die Leitung ist eingeschaltet ein Quecksilberkommutator K , ein Rheostat R behufs Stromregulierung und fur die Strommessung ein Priizisionsdrehspulgalvanometer G von S i e m e n s & H a l s k e , welches,
drei Shunts enthaltend, MeBbereiche von 0,001 bis 0,150, 0,Ol
bis 1,5 und 0,l bis 15 Amp. zu benutzen gestattet.
Das Spiegelgalvanometer 8, welches zur Messung der induzierten Strome dient , war dem Verfasser freundlichst von
dem Vorsteher des Physikalischen Instituts der hiesigen Hochschule zur Verfiigung gestellt. Dasselbe ist nach der Type
von d u Bois und R u b e n s gebaut. Die vier Spulen von je
20 Ohm lagen in Parallelschaltung und waren dem Magnetsystem moglichst nahe geriickt. Um eine fiir die Beobachtungen passende Schwingungsdauer (etwa 5,6 Seknnden) zu erhalten, war iiber die kreisfdrmige Platte am unteren Ende des
beweglichen Systems ein Blechstreifen aus Aluminium gehangt.
Die Enden desselben sind loffelartig getrieben und dienen zur
Ber Eisenzylinder im homoyenen Magnetfelde.
7
Aufnahme einer Anzahl von Glasperlen, so da6 auf diese
Weise das Tragheitsmoment auf die gewiinschte Hohe gebracht
werden kann.
Die Meesungen.
Der zylindrische Rahmen der Magnetisierungsspue besitzt
einen BuBeren Durchmesser von 10cm. Derselbe ist mit isoliertem Kupferdraht von 2 mm Dicke in zwei Lagen von zusammen 645 Windungen bewickelt. Die Ltinge des Wickelraumes, an drei verschiedenen Stellen gemessen, wurde gleich
69,89 cm gefunden.’) Die Zahl der Windungen fur 1 cm ist
somit 645/69,89 = 9,229 und die Intensitat des Spulenfeldes,
das durch einen Strom von 1 Amp. erzeugt wird, gleich
0,4. x .9,229 = 11,597 Gauss.
Untersucht sind vier Eisenzylinder , darunter ein Hohlzylinder. Das Material dafur ist derselben Stange entnommen.
Dieselben sind aus SchweiBeisen von Eschweiler Pumpe bei
Aachen hergestellt. Das Abdrehen ist in sorgfaltiger Weise
von einer hiesigen Maschinenfabrik ausgefuhrt worden. Vor
der Untersuchung sind die Zylinder im Schmiedefeuer ausgegluht. Eine von Hrn. Professor Dr. R. R u e r freundlichst
vorgenommene Analyse ergab fur das SchweiBeisen folgende
Fremdstoffe :
0,063 Proz. Kohlenstoff,
0,12
0,105
,,
,,
Mangan,
Silicium,
0,295 Proz. Phosphor,
0,031
,,
0,027
,,
Scbwefel,
Kupfer.
Diese Stoffe finden sich zum Teil im Eisen legiert, zum Teil
in Schlacke, deren Menge zu 1,16 Proz. bestimmt wurde, eingeschlossen.1
Die Durchmesser wurden mittels Tasters mit feiner Einstellung und Millimeterstab, die Ltingen teils unter direktes
Anlegen an den MaBstab, teils durch Benutzung eines Tasters
gemessen. Als Mittelwerte ergaben sich
-~-
1) Es bedarf wohl kaum des Hinweises darauf, daB samtliche in
dieser Arbeit vorkommenden LiingenmaSe durch MaSstabvergleichung auf
normales Ma6 reduziert sind.
0.Grotriaid.
8
Liinge
Durchmesser
Vollzylinder I
Hohlrylinder I1
. .
. .
Vollzylinder I11 . .
,,
IV . .
5,Ol cm
5,OO
(aden)
4,Ol
5,OO
2,73
(innen)
15,05 cm
15,06
20,lO
15,08
In der vorliegenden Abhandlung sollen nur die fiir I und
I1 gefundenen Ergebnisse besprochen werden. Die sonetigen
Resultate mogen einer spiiteren Mitteilung vorbehalten bleiben.
Die mittleren Durchmesser der Induktionsschleifen sind
mittels eines dem Physikalischen Institute gehorenden Kathetometers gemessen. Die Bestimmung erfolgte fur je zwei zueinander senkrechte Durchmesser. Ns ergaben sich folgende
Werte.
Schleife
Uurchmesser
A
5,096 cm
4,849
3,989
3,603
3,021
3,854
B
c
D
E
B
Umschnurte
Fliiche (sol
20,40 cmB
18,47
12,50
10,20
7,17
11,67
Wahrend die fur die Schleifen A bis E getroffene Anordnung derjenigen in den Figg. 2 und 3 entspricht, ist Schleife G
in den aut3eren Rand eines Holzzylinders eingelegt. Sie dient
zur Messung des Induktionsflusses im Inneren des Hohlzylinders I1 (vgl. 0.).
Wird bei der in Fig. 1 dargestellten Aaordnung, wenn die
Magnetisierungsspule Strom fiihrt, der Kommutator K taktmii8ig
umgelegt in dem Momente, in welchem das bewegliche System
des Spiegelgalvanometers die Ruhelage passiert, so werden die
Ausschliige desselben mehr und mehr vergroBert (multipliziert).
Dieses Umlegen wird in bekannter Weise so lange fortgesetzt,
bis die Grenzausschlige erreicht sind.
Die Magnetisierungsspule enthalte zunachst keinen Eisenzylinder. Eine Induktionsschleifl befinde sich in der Mitte
der Spule und sei hier durch einen Rolzzylinder passend zen-
Ber Eisenzylinder im homogenen Magnetfelde.
9
triert. Der beim Kommutieren auftretende Integralstrom ist
alsdann bei maBiger Dampfung dargestellt durch
I n dieser Gleichung bezeichnet
die Intensitat des homogenen Feldes
nach p. 7 und 8 in C.G.S.die yon der Prufschleife umschnurte
Einheiten gegeben,
Fltiche
w o den gesamten Widerstand der Sekundiirleitung(Schleife, Verbindungsdrilbte, Spicgelgalvanometer),
6 den Reduktionsfaktor des GaIvanometers f i r Skalenteile,
ko das Dilmpfungsverhtiltnis,
go den gesamten Grenzausschlag in Skalenteilen,
z die Schwingungsdauer bei offener Leitung.
Q0
so
Enthalt die Spule dagegen einen Eisenzylinder und werden
die hier in Frage kommenden GroBen durch gleiche Buchstaben
wie oben mit Index 1 bezeichnet, bedeutet endlich 8, den die
Spule durchsetzenden InduktionsfluB, dann ist
2 8, --(is.-.1
-
w,
2
z
4-1
7.c
-91.
Die Widerstande w,, und wl kiinnen, obwohl sie sich auf
die namliche Leitung beziehen, in Riicksicht auf Temperaturanderungen etwas verschieden sein. Aus den Gleichungen (1)
und (2) folgt durch Division
(3)
Entsprechen den Widerstanden wo und w1 die Temperaturen to und tl (an einem in der Nahe der Leitung aufgestellten Thermometer mit 1/,,-Gradteilung abgelesen), dann
ist mit geniigender Annaherung
U'
1.=
WI,
1
+ 0,004 (tl -
to) 9
somit
[l
+ 0,004(1, - t o ) ] .
Bei der Ermittelung der Werte von 8, in der oben dargelegten Weise konnen verschiedene Fehlerquellen starend auftreten, die im folgenden besprochen werden mijgen.
10
0.Grotrian.
Einen stgrenden Einflu6 konnten die beim Kommutieren
im Eisen auftretenden Wirbelstr6me ansuben. Da6 ein solcher
in keiner bedenklichen Weise vorhanden gewesen ist , ergibt
sich aus folgenden Versuchen.
Schleife A befand sich um einen Holzzylinder gelegt in
der Mitte der Magnetisiernngsspule, wahrend diese von einem
Strom J durchflossen war. Es w u d e far diesen Fall der gesamte Qrenzausschlag go sowie auch das Diimpfungsverhiiltnis R,
ermittelt. Der Versuch wurde hierauf wiederholt, als an Stelle
des Holzzylinders ein Messingzylinder von gleichen Dimensionen
wie der Eisenzylinder I (vgl. p. 8) angebracht war. Es ergab sich
Die Zahlen fur go sind aus je drei voneinander unabhiingigen Multiplikationsversnchen als Mittelwerte abgeleitet;
die Ablesung der Stromstilrke erfolgte vor und nach jeder
Beobachtnng der GrenzausschlLge. Das DBmpfungsverhUtnis
wurde je achtmal bestimmt. Die Ubereinstimmung der Werte
von golJ und R, fur beide Zylinder beweist, da6 bei den Versuchen mit Messingzylinder ein Einflu6 von Wirbelstrbmen
nicht zu erkennen ist. Da Messing und Eisen nahezu gleichen
spezsschen Widerstand besitzen , so muB geschlossen werden,
da6 auch beim Eisenzylinder fur gleichen Wert des InduktionsBusses in der Mittelebene , wie derselbe beim Messingzylinder
vorhanden war, eine Komplikation der Berechnung infolge von
Wirbelstrbmen nicht eintritt. Allerdings ist beim Eisenzylinder I, wie %usden weiter unten angefiihrten Zahlentabellen
zu erkennen ist, beim starksten Versnchsstrome (J= ca. 0,135
Amp.) ftir die Mittelebene der Induktionsflu6 beinahe doppelt
so gro6 als bei den Versuchen am Holz- und Messingzylinder.
Die Identitat der Zahlen fiir g,/J und R, macht es aber hochst
nnwhcheinlich, da6 auch bei Verdoppelnng der Stromstiirke
die Wertepaare golJ und R, merkliche Unterschiede aufweisen
wtirden.
Der Eisenzylinder im homogenen Magnetfelde.
11
Da6 die beobachteten Skalenausschlage auf Bogenma6
reduziert wurden , darf wohl als selbstverstandlich erscheinen.
Wahrend der Beobachtungen wurde mehrfach untersucht, ob
etwa direkte Fernwirkungen von Spule und Eisenkern auf das
Spiegelgalvanometer vorhanden seien , zunachst mit durchaus
negativem Resultat. Spater wurden diese Kontrollbeobachtungen
nochmals mit moglichster Sorgfalt wiederholt. Dabei lie6en
sich allerdings Spuren von Fernwirkung feststellen, die zeigten,
da6 diese fast ausschlie6lich von der langen Spule, nicht von
dem relativ kurzen Eisenkerne herruhrten. Die dementsprechend
an den Skalenausschlagen angebrachten Korrektionen halten
sich in den weitaus meisten Fallen innerhalb der Grenzen der
bei den Skalenablesungen vorkommenden Beobachtungsfehler.
Sol1 die Multiplikationsmethode zuverlassige Werte liefern,
dann darf keine zeitlich lange anhaltende magnetische Nachwirkung (Viskositat) vorhanden sein. Denn die Methode setzt
eine 80 kurze Dauer des einzelnen Induktionsstobes voraus,
da6 wahrend seines Verlaufs der schwingende Magnet sich
merklich in seiner Nullage befindet.
Lord R a y l e i g h hat gefunden, da6 bei sehr schwachen
magnetischen Kraften ein Draht aus schwedischem Eisen, nachdem derselbe ausgegluht ist, ausgepragte, zeitlich lange (his zu
20 Sek.) anhnltende Nachwirkungserscheinungen zeigt.l) Lord
R a y l e i g h s und andere von Ewingz) gefundene Versuchsergebnisse konnten als ein Einwand gegen die Zuverlassigkeit
der von mir erhaltenen Resultate angesehen werden.
Dagegen ist nun zu bemerken, da6 Lord R a y l e i g h und
E w i n g ihre Versuche an Drahten anstellten, also an Zylindern,
deren Lange gro6 gegen den Durchmesser ist. Wie die Zahlen
auf p. 8 zeigen, handelt es sich dagegen hier um Korper
von gedrungener Gestalt, also um solche mit groBern Entmagnetisierungsfaktor.
Om einigermaBen ein Urteil uber die Frage zu gewinnen,
ob die von mir untersuchten Korper merkliche magnetische
Nachwirkung zeigen, traf ich eine der Rayleighschen ahnliche Versuchsanordpung.
1) Lord R a y l e i g h , Phil. Mag. (5) 23. p. 231. 1887.
2) J. A. E wi n g , Msgnetische Induktion in Eisen und verwandten
Metallen (Deutsch von Ho lb o rn und Lin d e c k 1892), 5 88.
12
0.Grotrian.
Der Eisenzylinder Nr. I befand sich dabei in einer Magnetisierungsspule und wirkte ablenkend auf einen vor einer
Kupferplatte mittels eines Kokonfadens aufgehiingten Magnetspiegel, dessen Stellung mit Fernrohr und Skala bestimmt
wurde. Die Schwingungsdauer des Magnetspiegels betrug bei
dessen geringem Triigheitsmoment nur etwa 1 Sek. Die Wirkung des Zylinders und der Spule wurde kompensiert durch
die Gegenwirkung einer Spule ohne Eisenkqrn, die von demselben Strome wie die Magnetisierungsspule durchflossen war.
Die Kompensationsspule ruhte auf einem Schlitten, der mittels
einer Schraube behufs Einstellung auf genaue Kompensation
bei andauerndem Strome fein bewegt werden konnte.
Wird, nachdem die Kompensation erreicht ist, der offene
Stromkreis geschlossen, dann erfolgt eine ballistische Ablenkung
des Magnetspiegels, welche beweist, daS der Magnetismus des
Eisenzylinders hinter der magnetisierenden Wirkung des
Stromes zuruckbleibt. Aber diese Verzogerung ist bei dem
von mir untersuchten Zylinder nur gering. Denn beobachtet
man auBer dem ersten Ausschlage noch die zwei darauf folgenden, so ergeben alle drei eine Ruhelage des Magneten, die
von der Nullage nicht nennenswert abweicht, auch nicht von
derjenigen Lage, in die sich der Magnet nach etwa '1%Minute
unter Wirkung der Spulen und des Eisenkernes einstellt. Da
die Schwingungsdauer des Magnets etwa 1 Sekunde betragt,
glaube ich schlieSen zu durfen, daB nach 11, Sekunde der
Magnetismus des Versuchskorpers sich von demjenigen der
dem Dauerzustande der Magnetisierung entspricht nur noch
um (vielleicht sehr geringe) Bruchteile eines Prozentes unterscheidet.
)
)
Die MeSergebnieee.
In der folgenden Tab. I sind zunachst die fur die Eichung
notigen Werte, die sich aus den Beobachtungen ohne Eisenkern
ergeben, enthalten. An der Stelle desselben befand sich, wie
bereits p. 10 gesagt ist, behufs Zentrierung der Schleife A
ein Holzzylinder. Bei den anderen Schleifen waren ahnliche
Vorrichtungen zum Zentrieren angeordnet. Schleife B wurde
nach AugenmaB zentriert. Samtliche Schleifen befanden sich
in der Mitte der Spule.
Der Eisenzylinder im honiogenen Magnetfelde.
13
T a b e l l e I.
Schleife
A
B
c
D
E
G
1:
J(Amp.)
go
0,9757
0,9788
0,9760
0,9750
0,9824
0,9767
178,8
167,5
113,5
88,9
66,6
104,2
~
ko
1
too
I
1,0655
1,0644
1,0664
1,0662
1,0662
1,0658
19,25O
18,45
18,05
17,80
~
17,75
18,52
Tab. I1 enthalt die MeBergebnisse fur den Vollzylinder I,
Tab. I11 diejenigen fur den Hohlzylinder 11. Die Bedeutung
der Zahlen ist groBtenteils bereits oben bei Aufstellung der
Formel (4) erlautert. In Tabelle I1 ist in der ersten Kolumne
unter 1 der Abstand der Schleife von der Lquatorialebene
des Zylinders, gemessen auf dessen Oberfliiche, angegeben. Die
Werte der 1 erstrecken sich dabei nicht allein auf die Zylinderfliche, sondern auch auf die Stirnflache. F u r diese ist l dargestellt durch die halbe Lange des Zylinders plus dem radialen
Abstande zwischen Zylinderkante und Schleifendraht. Der
gri5Bte k e r t von I, der in Frage kommen kann, ist demnach
gleich der halben Lange des Zylinders plus dessen Radius.
Da bei der Ablesung der l noch 'Iao
mm geschatzt wurden,
ist die dritte Dezimale noch angegeben. Der maximale Fehler
derselben durfte etwa f 5 betragen.
In Tab. I11 gilt f i r l Entsprechendes. Jedoch kommt
hier auf der Meridianlinie bei einem Teil der Versuche noch
die in der inneren Hohlung bis zur Mitte verlaufende Zylindergerade hinzu und zwar dasjenige Stuck, das zwischen der
inneren Zylinderkante und der Schleife liegt. Der Maximalwert von I ist demnach hier gleich der Lange des Zylinders
plus der Ringbreite auf der Stirnflache.
Die unter p in beiden Tabellen angegebenen Zahlen stellen
den Radius der betreffenden Schleife dar, wenn diese auf der
Stirnflache liegt.
I n Tab. I11 bezeichnet endlich li den Abstand der Schleife G
fur den Innenraum von dem inneren Aquator.
Die Werte go in Tab. I sind Mittelzahlen aus drei voneinander unabhangigen Beobachtungsreihen fiir die Grenzaus-
14
0.G-rotrian.
schlage. Die Stromstirke wurde viermal bestimmt, wobei auf
jedes Ma1 zwei Ablesungen bei beiden Kommutatorstellungen
entfallen.
In den Tabb. I1 und I11 sind die Grenzausschlage zweimal, die Stromstirken dreimal sbgelesen.
Das Dampfungsverhaltnis k, und K in den drei Tabellen
ist als Mittelwert aus acht getrennten Beobachtungsreihen berechnet.
T a b e l l e 11.
Vollzylinder I.
__ __
1
e
J
(cm) (cm) (Amp.)
___
~
__
0,000
0,972
1,932
2,975
3,971
5,005
5,997
6,993
7,201
7,292
7,389
7,480
0,000
7,607
!,425
8,037
.,995
8,230
.,SO2
8,521
.,511
-
__ 9
81
k:
(Maxw.
___
-
Schleife
~
0,1348
0,0486
0,1338
0,0486
0,1341
0,0488
0,1347
0,0486
0,1339
0,0486
0,1337
0,0499
0,1336
0,0499
0,1338
0,0486
0,1338
0,0486
0,1336
0,049 1
3,1336
0,0485
3,1337
3,0492
3,1335
3,0485
3,1337
3,0486
1,1335
1,0486
1,1339
1,0494
1,1333
1,0490
307,4
1lo,(
307,:
111,(
298,;
108,s
285,4
102,E
261,E
96,C
237,t
88,C
197,k
73,2
145,6
53,1
129,9
47,O
121,6
44,7
111,7
41,O
100,6
37,O
1,0665 19,24
1,0660
17,63
1,0663 16,55
1,0665 16,63
1,0657 17,14
1,0653 18,05
18,12
1,0662 18,05
18,13
1,0656 17,14
17,29
1,0660 17,15
17,23
1,0659 17,40
17,45
1,0661 17,35
17,38
1,0660 17,lO
17,17
1,0658 17,66
17,85
84,4 1,0658 17,14
30,7
17,29
49,9 1,0661 17,31
17,3
17,37
38,l 1,0664 18,30
14,O
18,32
26,O 1,0663 18,27
18,38
9,6
308,7
111,o
402,3
144,O
396,6
143,3
385,6
139,7
369,6
132,s
338,9
123,s
304,l
112.6
255,6
94,6
186,5
67,5
167,4
60,9
156,6
57,6
144.3
52,9
12!+,6
47,1
497,4
142,9
104,l
37,9
61,7
21,4
49,6
18,2
32,O
11,s
A
Zylinderfltiche
B
Stirntlache
C
D
E
Der Eisenzylinder im homogenen Magnetf elde.
15
T a b e l l e 111.
Hohleylinder 11.
-
~
J
(Amp,
0,997
1,980
2,992
4,014
4,997
5,976
7,112
I
7,305
7,372
7,492
0,000
'
81
g
0,1381
0,0481
0,017!
0,133'
0,0481
0,0174
0,133(
0,048 I
0,017:
0,1331
0,048:
0,017:
U,I331
D,048C
D,O174
D,1331
3,048t
3,0174
3,1336
),04sa
1,0173
1,1336
1,0480
1,0173
1,1335
1,0481
),0173
),1334
1,0480
1,0173
,,I 337
1,0480
1,0172
1,1336
1,0480
1,0173
1,1334
1,0480
74,2
26,7
~
0,000
l
__
294,
105,'
37,l
297,.
105,:
37,'
287,!
102,:
36,:
277,'
98,:
35,:
245,:
88,:
32,(
230,;
81,:
29,I
194,E
68,s
24,s
131,4
47,c
17,C
ll6,6
41,6
14,5
108,l
38,6
13,s
93,s
33,5
12,l
300,3
L05,4
37,5
-~
~
~
7,603 2,425
~
1
(cm)
Maxw
Schleifc
___
1,065'
1,065s
1,066(
1,0654
1,066€
1,0654
1,0655
1,0658
1,0658
1,0661
,0655
,0660
17,7, 378,:
17,7 135,:
17,7
48,:
16,81 382,s
16,9. 1:El,(
17,O.
48,:
17,lI 370,l
16,8! 131,i
16,72 46,€
16,Ot 353,l
16,5( 125,::
16,71 44,9
17,0( 319,Z
17,0! 115,C
17,li 41.6
15,4f 292,6
15,61 103,!2
15,7[ 37,l
16,9$ 249,O
16,9$ 88,l
31,l
17,OE
16,9€ 168,7
16,9E 60,3
16,75 21,s
16,91 149,7
1 7 , ~ 53,5
17,48 18,7
I7,2 1 L39,5
17,2 1 49,8
17,20 17,s
16,33 .19,6
16,40 44,l
16,44 15,9
16,92 186,6
16,82 35,6
16,79 48,2
,0645 16,51
16,45
89,6
32,2
A
B
BuSere
Zylinderflache
Stimflgiche
0. Grotrian.
16
-
~
1
(cm)
-~
7,603
a b e l l e 111. (Fortsetzung.)
-- -T__
~
~
J
L
(cm) (Amp.)
~
~
8,033
8,128
7,422
8,255
7,295
8,463
8,862
9,273
11,443
15,547
7,087
6,688
6,277
4,107
0,003
to
k
81
1axw.:
-~
~__
~-
0,0173
0,1341
0,0487
0,0175
0,1339
0,0483
0,1343
0,0486
0,1343
0,0484
0,1344
0,1344
0,1343
0,1342
0,1354
1,0645 16,41 11,2
1,0661 19,12 90,Y
18,21 33,6
18,26 11,8
1,0668 19,70 41,4
19,69 14,8
1,0655 16,98 27,8
17,03 10,l
1,0656 17,44 23,O
17,49 891
1,0657 16,50 17,O
1,0651 16,75 10,l
1,0660 17,81 5 8
16,72 118
15,58 110
~
~
___
-~
Stirnflfiche
Innere
Zylinderflgche
Aus den Werten & der Tabb. I1 und 111 sind Werte 8
des Induktionsflusses fur die verschiedenen Schleifenstellungen
abgeleitet, die je zwei bzw. drei bestimmten Stromstarken entsprechen. Wie man aus den Tabellen ersieht, liegen die
Werte der beobachteten Stromstarke stets nahe an J gleich
0,1350, 0,0485 und 0,0175 Amp. Auf diese drei Strome
wurden, soweit in deren Nahe Beobachtungen vorliegen, die
Werte von 8, reduziert. Aus den Tabellen ist leicht ersichtlich, und die spiiter folgenden Tabb. 1V und V lamen e8
ebenfalls erkennen, daB fur eine bestimmte Schleife in bestimmter Stellung nahezu &/J konstant erscheint. 1st auch
diese Beziehung nicht vollstandig streng erfullt, so hat es
doch kein Bedenken, sie zur Inter- oder Extrapolation auf
einem dem beobachteten J sehr nahe liegenden Wert der
Stromstarke anzuwenden.
An den auf die drei genannten Stromstarken bezogenen
Werten des Induktionsflusses ist in einer Reihe von Fallen
eine Korrektion angebracht, die wegen der Reduktion auf den
Eisenquerschnitt erforderlich erscheint. Zwischen der Schleife A
und der auSeren Zylinderfliiche muS ein moglichst klein gehaltener Luftzwischenraum vorhanden sein, um die leichte
Der Eisenzylinder im homogenen Magnetfelde.
17
Verschiebbarkeit der Schleife zu gestatten. Da es sich hier
um den das Eisen durchsetzenden FluB handelt, so sind die
gemessenen W-erte noch mit dem Verhaltnis des Eisenquerschnittes zu der von der Schleife A umschniirten Flache zu
multiplizieren. Der betreffende E'aktor ist bei Schleife A gleich
0,9665 fur den Vollzylinder, gleich 0,9627 fur den Hohlzylinder.
Bei Schleife G, die in den Innenraum des Hohlzylinders
eingefuhrt wurde, berechnet sich der betreffende Faktor auf
1,0831.
Eine entsprechende Beduktion ist auch an dem Werte
des Flusses vorgenommen, der mittels Schleife C in der Lage
auf der Stirnflache des Hohlzylinders erhalten wurde. Der
Radius der inneren Hohlung desselben ist um ein geringes
(0,ll mm) grijBer als der Schleifenradius. Der anzuwendende
Faktor berechnet sich auf 1,0111.
I n den Tabb. IV und V sind die auf bestimmte Erregerstrome reduzierten und gegebenen Falles nach oben korrigierten
Werte des Induktionsflusses unter 8 zusammengestellt. Daneben
sind in entsprechenden Kolumnen die Quotienten aus Induktionsflu6 und Stromstarke unter 8 / J angefuhrt.
T a b e l l e IV.
Vollzylinder I.
!/ 8 (klaxw.)
fur J(Amp.) = 1'
.
i
0,1350
~.~
~~~~~~
0,972
1,932
2,975
3,971
5,005
5,997
6,993
7,201
7,292
7,389
7,480
7,607
8,037
8,230
8,521
I
1
1
~
1
,
386,8
375,3
358,O
330,2
296,7
249,7
181,9
163,3
152.9
140,9
126,5
105,2
62,4
50,l
32,4
138,2
134,3
128,l
119,4
105,7
88,9
65,B
58,7
55,O
51,l
45,4
374
21,4
17.9
11,T
2881
2865
2780
2652
2446
2198
1849
1347
1209
1133
1020
937
779
462
371
240
1
I
I
1
1
I
'
i
~
2856
2849
2768
2641
2461
2179
1833
1344
1211
1133
1054
936
0.Grotrian.
18
Ta be l l e V.
-
Hohlzylinder 11.
8 (Maxw.)fur
1 (em)
',,1350
J(Amp.) =
1
I 0,0485 1 0,0175 1
-
8/Jfur 53
7
0,1350
0,0485
~
0,000
0,997
1,980
2,992
4,014
4,997
5,978
7,112
7,305
7,372'
7,492
7,603
8,022*
8,128
8,255
8,463
8,862
9,273
11,443
15,547
371,5
360,O
344,l
310,5
284,4
242,2
164.1
145,s
135,9
116,2
91,l
42,2
30,2
25,l
18,4
11,o
6,4
1,9
111
121,4
111,8
100,4
85,7
58,7
51,s
48,5
42,9
33,O
15,O
10,9
8,7
43,6
,
'
i:li
30,3
21,2
18,2
17,4
15,6
11,6
1
2549
2300
2107
1794
1216
1080
1007
1
1
'
~
I
1
~
l:
675
224
186
137
2713
2716
2632
2.503
2306
2069
1767
1210
1070
999
884
680
309
224
180
2678 1
2684
2592
2491
2306
2056
1733
1210
1038
992
'3
8
1
.g
o)
2
:4
662
* Die Zahl entspricht der Innenkente.
Die Zahlen in den zwei bzw. drei letzen Kolumnen zeigen,
da6 die Werte S/J fur eine Schleife in bestimmter Stellung
nahe konstant sind. Doch erkennt man, da6 in den meisten
Fallen J mit wachsendem J etwas zunimmt. Das ist auch in
der Nahe der untersten Stufe der Magnetisierung zu erwarten.
Bus den Werten a / J habe ich versucht die Werte von
8 = &, fur ein Spulenfeld abzuleiten, das bei einem Strome
von 0,Ol Amp. entsteht. Die dementsprechende Feldstarke
ist nach p. 7 gleich 0,11597 Gauss. Die Werte von a0
werden bereits nahezu durch die dem schwachsten Strome
entsprechenden Werte 8 / J geteilt durch 100 dargestellt.
Setzt man
8 = lOO$.J+ B P ,
a/
Der Eisenzylinder im homogenen Magnetfelde.
19
so kann auf Grund der Tabb. I V und V &, fur die Schleifen
in den verschiedenen Stellungen berechnet werden. Diese
Rechnung ist durchgefuhrt fur die Falle, in denen sich
mindestens zwei der Quotienten 81J i n normaler Weise andern,
d. h. mit wachsendem J zunehmen. 1st das nicht der Fall,
so blieb nichts ubrig, als das arithmetische Mittel aus den
Werten 8 / J der Tabelle zu berechnen und durch 100 zu
dividieren. Auch bei den mittels Schleife C fur den Vollzylinder erhaltenen Werten S l J gleich 462 und 441 ist einfach das arithmetische Mittel genommen (8, = 4,52), obwohl
hier dem kleineren J auch der kleinere Wert 815 entspricht.
Es ist das geschehen , weil die graphische Darstellung einen
Fehler in der Zahl 441 vermuten la6t.
Eine Zusammenstellung des Induktionsflusses , der einem
Spulenstrome yon 0,Ol Amp. entspricht, ist in den Tabb. V I
und VII gegeben. Die betreffenden Zahlen, wie sie aus den
Beobachtungen in der obon beschriebenen Weise abgeleitet
wurden, sind in Tab. VI unter 8, in der dritten, in Tab. VII
unter &,' in der vierten Kolumne angegeben. Unter dieselben
sind auch die Werte aufgenommen, die den Zylinderkanten,
K beim Vollzylinder, Ka (auBen) und Ki (innen) beim Hohlzylinder , entsprechen. Die betreffenden Zahlen sind auf
graphischem Wege interpoliert.
Fur die Achse des Vollzylinders ist Q = 0, d. h. die
Schleifenflache wurde hier zu einem Punkte zusammenschrumpfen.
Demnach muh hier 8, = 0 sein. Uber die Werte 8, ber. vgl. w.u.
Man erkennt ohne weiteres, da6 bei dem Vollzylinder 8,
den Induktionsfluh darstellt, der heim Verfolgen eines Meridians
zwischen dem Zentrum der Stirnflache und dem von der
Schleife umschniirten Parallelkreis ins Eisen eingetreten ist.
Bei dem Hohlzylinder geht ein kleiner Teil des Flusses vgl. letzte Zahl 8; = 0,08 der Tab. VII - durch den inneren
Hohlraum hindurch, ohne ins Eisen einzutreten. Subtrahiert
man daher von den Zahlen fur 80' (Tab. VII) den Wert 0,08,
so erhalt man den InduktionsfluB, der zwischen dem Aquator
im inneren Hohlraum und der betreffenden Stelle, die durch 1
bzw. Q oder li definiert ist, eingetreten ist. Derselbe ist wie
beim Vollzylinder durch 8, bezeichnet, und die Werte dafiir
sind in der 5. Kolumne angegeben.
2*
0.Grotrian.
20
Tabelle VI.
Vollzvlinder I.
a,, berechnet nach
q (cm)
7
Q)
s:e
9:
2
.-
3
'
(6)
(5)
- .-~
~~
~
28,43
28,20
27,53
26,19
24,41
21,75
l8,25
13J6
12,lO
28,45
28,40
27,62
26,35
24,53
21,fi9
18,25
13,4 1
12,lO
11,33
10,37
9,36
8,80
7,80
4,52
3,w
2.40
0,oo
0,972
1,932
2,975
3,971
5,005
5,997
6,993
7,201
7,292
7,389
7,480
2,505
2,425
1,995
1,802
1,511
0,000
13,41
11,99
11,24
10,33
9,t5
Tabelle VII.
Hohlz inrlrr 11.
--~
~
fjo berechnet nach
'i
(em)
..
0,000
0,997
1,980
2,992
4,014
4,997
5,978
7,112
7,305
7,372
7,492
K. 7.528
7.603
K( 8,022
8,128
8,255
8,463
8,862
9,273
1 1.A43
15,547
7,528
7,422
7,295
7,087
6,688
6,277
4,107
0,003
80
80'
-
26,i3
26,S3
25,94
24,SO
23.04
20,49
17,36
12,08
10,46
9,92
8,i8
7,90
6,70
3,07
2,24
l,i7
137
0,81
0,47
0,14
0,os
-
26,65
26,75
25,86
24,72
22,96
!0,41
17,28
12,oo
10,38
9,84
8,70
7,82
6,62
2,99
2,lti
l,69
1,29
0,73
0,39
0,06
0,oo
7
(5)
-.
(10)
~
-
~
26,13
26,53
2537
24,82
22,89
20,63
17,35
11,72
10,45
1,74
1.31
0.73
0,39
0,Ol
0,oo
B e r Eisenzylinder im homoyenen Magnetfelde.
21
Die in den Tabb. V I und VII zusammengestellten Beobachtungsergebnisse sind in Fig. 3 durch Kurven veranschaulicht.
Als Abszissen sind die Werte von 1, als Ordinaten diejenigen
von 8, aufgetragen. Die voll
ausgezogene Kurve bezieht sich
ttuf den Vollzylinder, die gestrichelte auf den Hohlzylinder.
Beide Kurven zeigen einen
nahe iibereinstimmenden Verlauf.
In der Bquatorebene hat 8,
seinen Maximalwert. Bei wachsendem 1, etwa bis I = 1 cm,
findet zunachst kaum eine Abnahme des Flusses statt.l) Von
hier an erfolgt, wenn man die
au6ere Zylinderflache nach der
Kante hin verfolgt, ein Abfall
von 8, statt, der sich bei wachsendem E mehr und mehr verstjarkt
und in der Nahe der Kante
au6erst rapide wird. Uberschreitet
man die Kante und verfolgt nun
die Punkte der Stirnflache in
Fig. 3.
radialer Richtung, so erscheint in
der Nahe der Kante die Abnahme immer noch als eine hijchst
rapide, verzogert sich aber allmahlich. Sorgfaltig in gro6em
MaBstabe ausgefuhrte Zeichnungen machen es au6erst wahrscheinlich, daS der ubergang der Zunahme des Abfalles in
die Abnahme in der au6eren Kante stattfindet, daS also in
diesem besonders ausgezeichneten Punkte der Meridianlinie
zugleich ein Wendepunkt vorhanden ist (vgl. in Fig. 3 die
Punkte E und K,,). Beim Verfolgen der Stirntlilche bis zu
der Stelle, welche der Innenkante Ki des Hohlzylinders entspricht, zeigen die Ordinaten beider Kurvep immer noch
rapiden, dabei schwach verzogerten Abfall.
1) Beim Hohlzylinder ergibt sich sogar eine aehr geringe Zunahme
(vgl. Tab. VIL), was offenbar auf Beobachtungsfehlern oder einer geringen
Strukturanomalie heruht.
22
0. Grotrian.
Die Kurve fur den Vollzylinder zeigt bei weiterem Fortschreiten auf der Stirnflache nach der Achse zu eine mehr
und mehr verzijgerte Abnahme von &. Fur die Achse selbst
(p = 0) ist (vgl. p. 19) 8, = 0. Aucli
__
d80 = - - d80
,dl
de
mu8 hier Null sein, d. h. die Kurve mu6 tangential in die
Abszissenachse einmiinden. Denn die Induktion 23, in unmittelbarer Nahe der Achse und der Stirnflache kann dargestellt werden durch
Da aber
%a
nicht unendlich sein kann, so muB
(2)
a
d&J
0
die Form 0
annehmen, d. h. es mu6
($$)
und ebenso
a
(%)
0
aleich Null sein.
Die Innenkante Ki scheint keinen besonders hervortretenden EinfluB auf die Kurve fur den Hohlzylinder auszuiiben,
und es mag die Lage des Punktes Ki ein wenig seitlich von
der .gestrichelten Kurve vielleicht mit Beobachtungsfehlern
zusammenhangen.
Der im Innern des Hohlzylinders ins Eisen eintretende
InduktionsfluB hat hereits bei geringem Abstande von der
Innenkante sehr kleine Werte. F u r li = 6,688, d. h. 0,840 cm
von der Innenkante entfernt, betriigt derselbe nur 0,73 Maxwell,
d. h. etwa 1/3,, des maximalen Flusses. E s ist das durchaus
in Uhereinstimmung mit fruheren vom Verf. angestellten Versuchen l), denen zufolge im Innern eines Elektromagnetrohres
bis in die Nahe der Stirnflache eine magnetische Kraftwirkung
auf eiiigefuhrtes Eisenpulver nicht erkennbar ist.
ZunBchst miigen einmal die an sich kleinen Werte auber
acht gelassen werden, die bei beiden Zylindern verschieden
v
1) 0.Grotrian, Wied. Ann. 62. p. 745-746.
1894.
Der Zisenzylinder im homogenen ,;Magnetfelde.
23
gestalteten Flachenteilen entsprechen, d. h. die beim Hohlzylinder zwischen dem Aquator des inneren Hohlraumes und
dessen Innenkante K;, beim Vollzylinder zwischen der Mitte
der Stirnflache und andererseits einem Kreise mit einem
Radius gleich dem von Xi liegen. Man erkennt dann bei Betrachtung der Fig. 3, daB die Kurve fur den Hohlzylinder unter
derjenigen des Vollzplinders verlauft, aber da6 beide Kurven
nur wenig voneinander abweichen. Ein Teil dieser Abweichungen ist moglicherweise durch Strukturverschiedenheiten
der beiden Korper zu erklaren. Die Verteilung des ganzen
Induktionsflusses bei seinem Eintritt ins Eisen wird somit
durch die innere Hohlung des Hohlzylinders nur in sekundarer
Weise beeinfluBt. Man erkennt das zudem deutlich an folgenden Zahlen. Zwischen dem Aquator des Vollzylinders und
der Kante tritt nach Tab. VI ein InduktionsfluB gleich
28,43 - 8,80 = 19,63 ein. Die entsprechende Zahl ist nach
Tab. VII fur den Hohlzylinder 26,65 - 7,82 = 18,83, also nur
etwa urn 4 Proz. von der ersteren verschieden. I n Bruchteilen des maximalen Flusses betriigt hiernach der durch die
auBere Zylinderflache eintretende Flu6 0,690 beim Vollzylinder,
0,707 beim Hohlzylinder. Der groBte Teil des ganzen Flusses
tritt also bei beiden Korpern durch die auBere Zylinderflache
ein, Fur die Stirnflachen zwischen den Radien fur Kaund Ki ist
I
Vollzylinder
e
2,505
2,005
Hohlzylinder
8 0
480 (K)
4,60 (lin. interp.)
~
0
80
2,500
2,005
782
2,99
(KJ
(xi)
~~
A&
A 8o= 4,20
= 4,83
Also auch hier findet bei Berucksichtigung der geringen
GroBe der Zahlen keine erhebliche Abweichung statt.
Formeln fur
&.,
Fiir die Berechnung der Dichte der idealen Schicht und
des Potentials der entmagnetisierenden Kraft ist die Kenntnis
des Differentialquotienten d8, / d l erforderlich. Da die Ermittelung desselben auf geometrischem Wege, d. h. durch Ziehen
von Tangenten, geringe (Jenauigkeit bietet , ist versucht, die
0.Grotriart .
24
Kurven in Fig. 3 durch Gleichungen darzustellen. Da0 dieses
fiir jede Kurve als Ganzes zu hochst umstlndlich zu be-
handelnden Ausdrucken fuhren muS, ist ohne weiteres aus
dem Verlaufe der Kurven zu erseben. Deshalb ist versucht,
fur die einzelnen Teile der Kurven, die zu dem Zweck in
geeigneter Weise zu zerlegen sind, Formeln aufzustellen.
Die Werte von 8, auf der Zylinderflache des Vollzylinders
von der Mitte desselben bis Z = 7,201, also bis nahe an die
Kante, lassen sich recht gut darstellen durch eine Formel von
der Form
(5)
8, =8, + B.logcos(a.Z),
die auch in der Form
8-Sm
e
= cos(u.4
geschrieben werden kann. I n derselben bezeichnen a,
B
und a Konstanten. Offenbar stellt 8, den maximalen Induktionsflu0 dar. Es bedeutet log den natiirlichen Logarithmus.
Eine mit der letzten Formel im Aufbau iibereinstimmende
Gleichung ist bereits von Coulomb l) zur Darstellung der
Verteilung der magnetischen Dichte auf einem gestreckten
permanenten Magneten verwendet worden.
Fur den Vollzylinder haben die Konstanten der Gleichung (5) nach meiner Berechnung die Werte
8,
= 28,428
,
B = 19,677,
a = 8' 54' 26"
= 0,15546 Radianten (Bogenma0).
Die so mittels der Gleichung (5) berechneten Werte 8,
sind in der 4.Kolumne der Tab. V I angefuhrt.
Man erkennt, da0 die Ubereinstimmung zwischen den aus
den Beobachtungen abgeleiteten und den berechneten Werten
eine sehr nahe ist. Es ist daher nicht unwahrscheinlich, daB
der Formel (5) eine tiefere Bedeutung als diejenige einer
empirischen Interpolationsformel zukommt.
1) Coulomb. Vgl. E. Mascart u. J. Joubert, 1. c. 1. Art.419.
Originalabhandlung war dem Verf. nicht zugiinglich.
Ber Eisenzylinder im homogeneit Magnetfelde.
25
Bei Benutzung der Konstanten
8, = 28,428,
A = 16,937,
a! = 9O 27' 54" = 0,16519 Rad.
la6t sich Formel (5) mit nicht ganz so guter, aber immerhin
noch annehmbarer Ubereinstimmung auf die ganze zylindrische
Flache bis zur Kante anwenden.
Bei Benutzung der Formel (5) fur die au6ere Fliiche des
Hohlzylinders bis I = 7,305 erhalten die Konstanten die Werte
8, = 26,73,
A = 15,544,
a = 9O 30' 27" = 0,16594 Rad.
Dieselben liegen, wie nach p. 23 zu erwarten ist, den
Werten der Konstanten fur den Vollzylinder nahe.
Die hiernach berechneten Werte sind in der 6. Kolumne
der Tab. VII angefiihrt. Wie man sieht, ist auch hier die
Ubereinstimmung mit den Beobachtungswerten der 5. Kolumne
eine recht gute.
F u r Stellen am Ende des Vollzylinders ist eine Gleichung
von der Form
8, = A - B.tga!l
(6)
verwendet mit den Konstantanwerten
A = 23,397,
B = 3,2572,
a = 100 17' 9" = 0,17952 Rad.
Die nach dieser rein empirischen lnterpolationsformel berechneten 8, sind in der 5. Kolumne der Tab. V I angefuhrt
und befinden sich mit denen der 3. Kolumne ebenfalls in recht
naher Ubereinstimmung.
Fur die peripherischen Teile der Stirnflache des Vollzylinders wurde eine Gleichung von der Form
8, = A + B . g n
(7)
benutzt. Dabei ist
A = 2,3199,
B = 0,08144,
n = 4,766.
26
0.Grotrian.
Die danach berechneten Zahlen sind in der 6. Kolumne
der Tab. VI angefuhrt. Eine nahe Ubereinstimmung mit den
Zahlen der 3. Kolumne mu6 hier vorhanden sein, da nur vier
Zahlen in Frage kommen und die Formel drei Konstanten
enthalt.
F u r den zentralen Teil der Stirnflache habe ich eine
Gleichung von der Form
(8)
angewendet.
a0 = B . g a . e p e
Die Rechnung fuhrt auf die Werte
B = 0,7196,
/3 = 0,25197.
Dabei bedeutet e die Basis des naturlichen Logarithmensyst'ems.
Zu der Form der Gleichung (8) sei bemerkt, daB &, einfach proportional pa gesetzt werden muBte, wenn das Feld
der augeren und inneren Inhktionslinien auf dem in Frage
kommenden endlichen zentralen Teil der Stirnflache homogen
wiire. Dieses gilt aber nur fur Stellen in unendlicher Nahe
der Achse, und das wird auch durch die Formel dargestellt,
da hier e @ e = 1 wird.
Die nach (8) berechneten Zahlen fur .30 sind in der
7. Kolumne der Tab. V I angefuhrt. Die Ubereinstimmung mit
den Zahlen der 3. Kolumne ist im ganzen befriedigend. Bis
auf eine Abweichung von etwa 4 Proz. bei einem Wertepaare
sind die Ziffern beider Kolumnen identisch.
Fur das Ende der augeren zylindrischen Fliiche des Eisenrohres (mittlerer Teil wurde bereits oben erledigt) ist die
Formel (6) mit den Konstanten
d = 31,67,
B = 8,6171,
a = 9 O 17' 23" = 0,16214 Rad.
zur Anwendung gelangt. Die danach berechneten Zahlen befinden sich in der 7. Kolumne der Tab. VII. Die Ubereinstimmung mit den Werten der 4. Kolumne kann als hinreichend
bezeichnet werden.
Der Eisenzylinder im homogenen Magnetfelde.
27
Fur die ringfijrmige Stirnflache ist eine Gleichung von
der Formel (7)
80=A+B.~n
benutzt.
Die Konstanten haben die Werte
A = - 2,66,
B
=
o,nao,
n = 2,836.
Kolumne 8 enthalt die drei berechneten Werte. Der
Umstand, daS letztere mittels einer dreikonstantigen Formel
berechnet, uberhaupt von den aus den Beobachtungen erhaltenen Werte abweichen, erklart sich in folgender Weise.
Einmal ist zur Berechnung der Konstanten der Differentialquotient d & / d g fur die AuSenkonstante, der mit tunlichster
Sorgfalt graphisch ermittelt wurde , zugezogen. Es geschah
dieses, um fiir die letzte und die vorhergehende Formel (6)
gleichen Wert des Differentialquotienten fur die AuBenkante
zu erhalten. Ferner ist der der Innenkante entsprechende
Wert, da derselbe etwas seitlich von der 80-Kurve liegt (vgl.
Bemerkung p. 22) fur die Konstantenberechnung nicht verwendet worden, sondern der Nachbarwert fur den inneren
Hohlraum, der sich dem Kurvenzuge gut anschlieBt.
F u r die Punkte der inneren Hijhlung in der Nahe der
Enden ist eine Gleichung von der Form
a0= d + B.tg(uZJ
(9)
aufgestellt mit den Konstanten
A = - 0,72,
B = 0,3733,
cc = 1 1 O 7' 52" = 0,19427 Rad.
Die nach (9) berechneten Werte stehen in der 9. Kolumne
der Tab. VII. Die grogere Abweichung, welche die erste
Zahl 2,71 zeigt, erklart sich auch hier durch den Umstand,
dab der fur Ki gefundene Wert wie oben bei der Konstantenberechnung nicht verwendet worden ist.
Fur die inneren Punkte zwischen der Mitte bis nahe an
die Innenkante ist die Gleichung verwendet
(10)
8, = k . l , " .
0. G'rotrian.
28
Dabei ist
/I = 4,377.lo-',
72
=
9,964.
Die danach berechneten Werte sind in der letzten Kolumne
der Tab, VII angefiihrt. Die hier vorkommenden Abweichungen
erkliiren sich durch den Umstand, dal3 die aus den Beobachtungen abgeleiteten Werte von 8o auf Qrund sehr kleiner
Qrenzausschlage erhalten sind (vgl. Tab. 111)und deshalb nur
geringe Genauigkeit besitzen. Die Bedeutung dieser Zahlen
liegt hauptsachlich darin, da8 sie jedenfalls sehr klein sind.
Berechnung der idealen Schicht.
Die Dichte oo der idealen Schicht fur die Oberflache
eines Rotationskorpers, dessen Achse den Eraftlinien des erregenden homogenen Feldes parallel ist, stellt sich dar durch
den Ausdruck ll
Es bezeichnet darin :
I die von dem Aquator fur den maximalen InduktionsfiuS auf der
Meridisnkurve bis zu der betreffenden Stelle abgemessene L h g e ,
y die Ordinate des betreffenden Punktee (Radius des Parallelkreises),
x die Suszeptibilitiit,
p die Permesbilittit.
Das mit x wenig veranderliche Verhaltnis
x_
EL
--
1
1
--+4n
ist im folgenden gleich 0,07918 gesetzt. Wie man zu diesem
Werte gelangt ist, sol1 weiter unten dargelegt werden.
Aus den Interpolationsformeln .f& B0 sind die Differentialquotienten d 8 , l d l fur abgerundete Werte der Strecken I , Q
und li abgeleitet. Als Intervalle sind 0,5 cm und in der Nahe
1) 0. Grotrian, Ann. d. Pbys. 23. p. 579. 1907.
Ber Eisenzylinder im homogenen Magnetfelde.
29
der Kanten wegen des steilen Abfalles der 8,-Kurven 0,l cm
genommen. Die negativen Differentialquotienten
sind in den Tabb. VIII und IX zusammengestellt.
sind die Werte der Flachendichte 6, angegeben.
Daneben
T a b e l l e VIII.
Vollzylinder.
070
0,s
1,o
l,5
2,o
2,5
370
315
4,o
4,5
5,0
595
690
675
7,o
7,1
772
7,3
7,4
775
h- 7,527
10,032
0,0000
0,2383
0,4794
0,7865
0,9830
1,253
1,540
1,851
2,192
2,574
3,010
3,518
4,126
4,876
5,839
6,859
7,751
8,828
10,15
11,81
12,34
12,24
10,49
8,939
7,561
6,346
5,281
3,745
2,085
0,8676
0,0000
0,000000
0,001 199
0,0024 12
0,003655
0,004945
0,006302
0,007’747
0,00931 1
0,01103
0,01295
0,01514
0,01770
0,02076
0,02453
0,02938
0,03451
0,03899
0,04441
0,05108
0,05941
0,06202
0,06169
0,05510
0,04898
0,04331
0,03808
0,03328
0,03 147
0,02627
0,02186
0,018 14
0. Grotrian.
30
Tabelle IX.
Hohlzylinder.
0,0000
0,2145
0,4320
0,6556
0,8889
1,136
1,402
1,693
2,017
2,388
2,818
3,336
3,979
4,810
5,947
6,228
6,533
9,799
10,63
11,58
11 $7
795
K. 7,528
11,oi
Ki 8,022
* Mittel
au8
0,000000
0,001081
0,002178
0,003305
0,004481
0,005726
0,007066
0,008533
0,01017
0,01203
0,01421
0,01682
0,02006
0,02425
0,02998
0,03140
0,03293
0,04940
0,05359
0,05836
0,05983
0,05782
0,05580
0,05376
0,05171
0,0444
0,0354
0,0259
0,0197
0,0133
0,0117
0,0103
0,0063
0,0026
0,0012
0,00051
0,00020
10,18
9,386
8,617
7,06 *
5,63
4,ll
3,14
2,11
1,86
1,64
0,84
0,41
0,19
0,080
0,031
den nach (7) und (9) berechneten Werten.
__
’
0,011
2,o
195
1
0,003
0,0008
0,0002
0,0000
170
0,k
,
470
375
,
I
I
15,55
I
,
390
275
0,o
I
I
”
71
1‘
,
I
0,000068
0,00002
0,000005
0,000001
0,000000
1,
9,
1
1,
7,
I
9,
9,
19
Fig. 4.
In Fig. 4 iat .eine graphische Darstellung der Abhangigkeit der Flachendichte von der auf der Meridiankurve abgemessenen Lange 1 gegeben. Die ausgezogene Kurve entspricht dem Vollzylinder, die gestrichelte dem Hohlzylinder.
Letztere ist, um ein zu nahes Aneinanderriicken bzw. Zusammenfallen der Kurven zu vermeiden, in der Richtung der
Abszissenachse urn 1 om verschoben.
Die Einsicht in die beiden Tabellen und die Betrachtung
der beiden Kurven laSt folgendes erkennen. Beim Vollzylinder
wachst der Wert der Dichte von Null in der Mitte an zu-
32
0.Grotrian.
nachst relativ langsam, dann starker beschleunigt bis etwa
zum Werte 1 = 7 cm (0,5 cm von der Kante). Dieser Teil der
Kurve kann fast genau zufolge der Oleichung (5) fur 8, durch
eine Tangensformel dargestellt werden. Es folgt d a m ein
auEerst rapides Anwachsen bis zu dem fur die Kante geltenden Maximalwerte cr,, = 0,06202. Beim Fortschreiten auf der
Stirnflache von der Kante aus erfolgt zunachst ein rapider
Abfall der o-Werte bis etwa 1 = 8 cm, d. h. bis zu einem Abstande von der Kante gleich 0,5 cm (p = 2 cm). Der Abfall
wird fur I > 8 cm geringer. Die Kurve endet in dem Punkte,
welcher der Mitte der Stirnflache entspricht, mit dem Werte
o, = 0,01814. Ob das Auftreten eines Wendepunktes zwischen
l= 8 und 8,5 cm den tatsachlichen Verhaltnissen entspricht
oder auf Beobachtungsfehlern beruht , muE als offene Frage
angesehen werden.
Der Verlauf der Kurve fur den Hohlzylinder ist bis zur
Innenkante 4,j a sogar noch etwas daruber hinaus, derselbe,
wie ohne weiteres beim Betrachten der Fig. 4 erkannt wird.
Die Kurve fallt vou Ki fur die Punkte der inneren Hohlung
znnachst weiter rapide ab bis etwa I = 8,5, d. h. bis zu einem
Punkte, der etwa 0,5 cm von der Innenkante entfernt ist.
Der Abfall verzogert sich dann mehr und mehr, und die
Dichte sinkt fur Zi = 5,5 cm auf den sehr kleinen Wert
0
, = 0,0012, um weiter stetig abnehmend in der Mitte der
inneren Hohlung zu verschwinden.
Die oben besprochene Ubereinstimrnung der beiden Kurven
bis etwas uber Kihinaus besteht nicht nur qualitativ, sondern
auch quantitativ. Es IaUt sich das aus Fig. 4 ersehen und
genauer zahlenmaBig aus den Tiibb. VIII und IX erkennen.
Einige Zahlen derselben mogen hier zusammengestellt werden.
UO
r
1 (cm)
Y
Vollzylinder
Hohlzylinder
0,o
0,oo
6,O
0,02076
0,oo
0,02006
7,53
0,06202 ( K )
0,05983 (KJ Max.
0,03328
0,0444 (&)
e (cm)
2,OO
Der Bisenzylinder im homogenen Maynetfelde.
33
Die Unterschiede sind nicht betrachtlich und lassen sich
zu einem gro6en Teile durch Strukturverschiedenheiten erklaren (vgl. entsprechende Bemerkung iiber &, bei beiden
Zylindern p. 23).
Daa Potential der magnetisohen Kraft.
F u r die Berechnung des Potentials der (wahren) magnetischen Kraft gilt folgendes. l) Wenn die Verteilung der idealen
Schicht gegeben ist, so ist dadurch das induzierte Potential,
d. i. Potential der entmagnetisierenden Kraft, fdr beliebige
Stellen des Innern eines magnetisierten Eisenkarpers, hier
Rotationskiirpers, bestimmt, somit auch das Gesamtpotential,
falls das Potential des au6eren Feldes gegeben ist. Die direkte
Berechnung des induzierten Potentials fiir beliebige Punkte
bringt gro6e Schwierigkeiten mit sich, ist auch nicht erforderlich. Es geniigt bereits, die Verteilung des induzierten Potentials ,langs der Achse zu kennen. Bezeichnet man dieses
durch V#, das Potential des iiuBeren Feldes durch 5, dann
ist das Potential VEder magnetischen Kraft langs der Achse
gegeben durch
= 7f Vol
(12)
wobei auf der rechten Seite
und Vo entgegengesetzte Vorzeichen besitzen.
Das Gesamtpotential P fur eine beliebige Stelle in einem
eisernen Rotationskorper mit den Koordinaten x nnd y wird
dann dargestellt durch
+
7-
5
wobei die X-Achse mit der Rotationsachse zusammenfallt und
die Abszissen x vom Mittelpunkte des Rotationskorpers aus
abzumessen sind. Der positive Sinn der Abszissen sol1 dabei
mit dem positiven Sinn der .Kraftlinien des Spulenfeldes als
iibereinstimmend angenommen werden.
Die direkte Berechnung von 7, aus den friiher mitgeteilten Interpolationsformeln bringt bereits derartige Schwierigkeiten mit sich, dab man hiervon Abstand nehmen muf3te.
1) Vgl. hierzu unter anderem 1. c. p. 680ff.
Annalen der Physik. IV. Folge. 34.
3
34
0. Grotrian.
Der zunilchst fir den Vollzylinder eingeschlagene Weg war
folgender.
Nach p. 582 1. c. stellt sich 7,dar durch den Ausdruck
+h
(14)
Dabei ist der Xiirze wegen
+h
gesetzt.
-Lo
In der Formel bezeichnet Lo die von der Lquatorebene
fur den maximalen Flus auf der Meridiankurve bis zu ihrem
Ende abgemessene Lange, also beim Volfzylinder die halbe
L b g e desselben plus dem Radius (vgl. Fig. 5), wiihrend T den
Abstand des in der Achse gelegenen Potentialpunktes p von
dem Umfang eines beliebigen Parallelkreises T darstellt.
Fig. 5.
Es wurden nun fur abgerundete Werte I und p , die in
gleichen Intervallen aufeinander folgen, fiir einen beitimmten
&, a - -~
Potentialpunkt p die Quotienten
unter Benutzung der
Tab. VIII gebildet. Die Intervalle betragen dementsprechend
0,5cm, in der Nahe der Kante 0,l cm. Bus diesen Werten
s$%
wurden die Teile des Integrals
dZ teils nach der Simpsonschen Regel, teils als Inhalte schmaler Trapeze der FEche
D e r Eisenzylindet im homogenen Magnetfelde.
berechnet, die von der Knrve mit den Ordinaten
*
35
und
den Abszissen 1 begrenzt wird. . Bei den zentralen Regionen
der Stirnflache wurde die bekannte Formel fiir das Potential
einer ebenen schmalen ringfarmigen Schicht anf einen in der
Achse des Ringes gelegenen Punkt verwendet. Nach diesem
immerhin noch recht umstandlichen und zeitraubenden Verfahren wurde eine Anzahl von Potentialwerten f~ die Achse
ermittelt. Die fur den Vollzylinder erhaltenen Werte sind
folgende (vgl. Tab. X).
Ta be l l e X.
-~
3;
(em)
0,o
I
'
,o
v,
~
OU
~
~
1,3733
1,3721
1,3751
1,3705
1,3598
1,3556
1,3488
1,3431
ER ist dabei
r0 durch
790
,
792
7,4
7,527
,
0,00000
0,10874
0,21729
0,43554
0,65112
0,75372
0,77287
0,79034
0,80049
0,0000
1,3733
2,7441
5,5005
8,2230
9.5187
9,7606
9,9812
10,1094
1
2 70
490
690
V€
~~~~
0,o0000
0,00000
0,11597
0,23194
0,46388
0,69582
0,81180
0,83499
0,85818
0,87292
0,00723
0,01465
0,02834
0,04470
0,05808
0,06212
0,06784
0,07243
die Gleichnng
Pa = 5 .v0 = 0,079183. v0
P
5
berechnet. Die Zahlen unter
stellen das Potential des
Spulenfeldes (abgesehen vom Vorzeichen) dar. Es ergaben sich
dieselben durch die Gleichnng
7, =
-
@f.
z,
in welcher ,Qf = 0,11567 die Intensitiit des Spulenfeldes bei
0,Ol Amp. darstellt. Die z-Werte sind dabei im Sinne des
Spulenfeldes positiv gerechnet. Die letzte Kolumne enthiilt
unter rEdie Werte des Gesamtpotentials, dargestellt durch
die Differenz der Zahlen unter 7,. und .a'?
3*
36
0.Grotriun.
Die Kenntnis der Verteilung der Werte vou Tt langs der
Achse wurde nun unter Zuhilfenahme der Formel l)
(15)
P; = u l . z + u3 .s3+ a5 . z 5 + a, .x7.. .
in der die Konstanten u l , u 3 , u s , u, aus den Zahlen der Tab. X
zu berechnen sind, gestatten, mittels der Gleichung (13) das
Gesamtpotential fur beliebige Stellen im Eisen zu berechnen.
Dadurch wiirde ohne weiteres die Verzeichnung der NiveauAachen fur die magnetische Kraft und diejenige der zugehbrigen Kraftlinien ermbglicht.
Das ist in der Tat vom Verfasser durchgefiihrt. Der
Erfolg dieser Rechnung ist indessen nicht in seinem ganzen
Umfange ein befriedigender gewesen , so daB die Mitteilung
der Rechnungsergebnisse im einzelnen hier nicht angezeigt erscheint. Aus Griinden, die im folgenden erkennbar werden,
halte ich indessen den berechneten ersten Koeffizienten der
Gleichung (15) fur zuverlassig. Da dieser spater fur weitere
Rechnungen verwendet wurde, mag sein Wert
al = - 0,007128 = - QZ
bereits an dieser Stelle mitgeteiit werden. Es stellt @,= -a,
offenbar die magnetische Kraft im Zentrum dar.
Die in Rede stehende Rechnung ergab u. a. folgendes.
In den mittleren Regionen des Zylinders sind die Niveauflachen fur die P- Potentiale bei gleichen Intervallen der
%W erte fast genau aquidistante zur Lquatorebene parallele
Ebenen. Daraus ist zu schlieBen, daB die Kraft. und Induktionslinien in den mittleren Teilen zu einem nahezu homogenen Felde angeordnet sind. Es ist das ein Ergebnis, welches
bei einem Zylinder mit den Dimensionen wie bei dem in Rede
stehenden wohl erwartet werden kenn. Verfolgt man die auf
Grund der 7-Berechnung konstruierten Kraftlinien weiter nach
dem Ende des Zylinders hin, so ergibt sich, daf3 dieselben
1) Vgl. hierzu A. Beer, Einleitung in die Elektrostatik, die Lehre
vom Magnetismus und die Elektrodynamik p. 196. 1865. Vt muS eine
ungerade Funktion von z sein, da Umkehr des Vorzeichens von 1: such
das Vorzeichen von VEbei gleichem absoluten Werte umkehren mu&
Der Eisenzylinder im homogenen Magnetfelde.
37
bei wachsendem x sich der Achse annahern. Das ist nun ein
Ergebnis, welches in Anbetracht des Verlaufes der au0eren
Kraftlinien nicht annehmbar ist.
Die vielfach nicht nur an permanenten Magneten, sondern
auch an Elektromagneten angestellten Versuche betreffend die
Anordnung von Eisenfeile um den Magneten habe ich wiederholt. Zu dem Zweck wurde bei horizontaler Lage dee Eisenzylinders um die horizontale Meridianebene desselben ein eng
anschlie6ender Kasten aus sehr diinnem Kupferblech gelegt,
der den Zylinder rahmenartig umgab, also eine denselben umschlie6ende Rime von rechteckigem Querschnitt darstellte. I n
diese R i m e wurde Eisenfeile oder Eisenpulver hineingestiubt
und nun der Zylinder in die Mitte der horizontal gelegten
Magnetisierungsspule geschoben. Nach Erregung des Feldes
und Erschutterung der Spule zeigte, nachdem der Strom unterbrochen war, bei vorsichtiger Hervorholung des Magneten aus
der Spule, die Eisenfeile eine Anordnung, die im ganzen den
bekannten Kraftlinienbildern entspricht.
Fig. 6 stellt das charakteristische eines so erhaltenen
Bildes dar. Die iiuSeren Kraftlinien fallen in der Achse senkrecht in die Stirnflache ein,
desgleichen, soweit es die
Anordnung der Feile erkennen Itifit, senkrecht oder ___
_____________________---- Aa
sehr schwach gegen die
Aqiator
Achse konvergierend an den
Fig. 6.
Stellen der Stirnflache seitlich von der Achse bis zu einem Abstande von etwa 0,5 cm
von der Kante K. Bei weiterer Anniiherung an die Kante
wird der Verlauf an der Einfallsstelle ausgesprochen gegen die
Achse konvergierend, wobei der Einfallswinkel bestandig zunimmt. In der Kante selbst erfolgt der Einfall derartig, da6
der Winkel zwischen den Kraftlinien an der Einfallsstelle und
der Achse nahe 45O betragt. Dieser Winkel wiichst zunachst
weiter, wenn man von der Kante BUS die Zylinderflache parallel
der Achse verfolgt, und erreicht bei etwa 1 cm Abstand von K
merklich die
von goo. Bei weiterem Fortschreiten
nach der Mitte wird der betreffende Winkel kleiner, d. h. der
Einfallswinkel fur die Zylinderfliiche wilchst bestandig, um im
2-i
38
0.Grotrian.
Aquator gleich 90° zu werden. Hier verlaufen die Kraftlinien
tangential zur Zylinderflache.
Nach dem tangentialen Brechungsgesetz miissen hiernach
die inneren Kraftlinien an der Stirnfiiiche in der Nahe der
Achse nach dem Aquator zu parallel bzw. konvergierend gegen
die Achse verlaufen. Das steht aber mit dem aus den Versuchen abgeleiteten Ergebnis im Widerspruch.
Es ist fur mich hijchstwahrscheinlich, daB die oben besprochene Methode der Berechnung des Potentials fur Achsenpunkte in der Nahe der Stirnflache keine genugende Genauigkeit darbietet. Der Einflu6 der Stirnflache auf die fur
erhaltenen Werte macht sich hier wegen der kleinen Werte
von T in weitaus stiirkerem Ma60 bemerkbar als fur Punkte
in der Nahe der Aqustorebene, wie ohne weiteres erkennbar
ist und auch aus den von mir gefundenen Zahlen hervorgeht.
Da die game Berechnungsmethode ein Naherungsverfahren
darstellt, so mpB ich schlieBen, daB dieselbe fur kleine Abstande r keine genugende Sicherheit darbietet, um in allen
Teilen einwandfreie Ergebnisse zu liefern. Dagegen durfte
fiir griiSere Werte der r , wie sie fur die mittleren Teile der
Achse in Frage kommen, - r ist hier groBer als der Zylinderdie beschriebene Rechenradius oder mindestens ihm gleich
methode brauchbare Ergebnisse liefern. Dieses vorausgesetzt,
nehme ich an, da6 die Werte von va (vgl. Tab. X) fur nicht
zu gro6e Werte von x richtig sind. Es durfte das bis etwa
x = 4 cm mindestens zutreffen. Dafur spricht namentlich auch
die Einfachheit der Beziehung, die hier zwischen u, und x
besteht. Es ist niimlich va fast genau dem x proportional,
wie die dritte Kolumne der Tab. X mit den Quotienten ua/x
erkennen liiBt. Hieraus folgt weiter, da6 in den mittleren
Teilen des Zylinders das Feld der Kraft- und Induktionslinien ein nahezu homogenes ist. Denn da Pf sich linear
mit x andert und das Gleiche in den mittleren Partien sehr
-
Der Eisenzylinder im homogenen Magnetfelde.
39
nahezu fur va und Va gilt, iindert sich hier auch Tt nahezu
linear, d. h.
verschwinden merklich, und nach Gleichung (13) wird nahezu
P= VE nur von x , nicht von y abhangig. Die Niveauflachen
fallen somit in der Nahe der Mitte merklich mit den zur Achse
senkrechten Zylinderquerschnitten zusammen. Auf Grund der
Annahme, daB die Werte von va in Tab. X bis etwa x = 4 cm
als richtig anzusehen sind, und unter Zuhilfenahme einiger
weiteren Beziehungen ist dann von mir ein anderer Weg zur
Ermittelung der Niveauflachen und Kraftlinien eingeschlagen,
d e r weiter unten besprochen werden mag.
Zunachst SOU dargelegt werden, wie die Werte fiir x, p
und x/p erhalten sind.
Bezeichnet fur 0,Ol Amp. Erregerstrom 8, den maximalen
InduktionsfluS in der Mittelebene, S 'den Zylinderquerschnitt,
dann ist der Durchschnittswert der merklich homogen verteilten Induktion der Mittelebene
Die entsprechende mittlere magnetische Kraft ist gegeben
durch
Qm
= Qf
- @,,
wenn @, die in der Mittelebene ebenfalls nahezu homogen
verteilte entmagnetisierende Kraft darstellt.
Da
7, = -x
ist
*'as
dva - 5 . d 2 .
dx
p dx
Setzt man nun
Qn
=
;ha,
*
wobei
( :;).=o
h =-?
~
9
1) Da x im S i n e des &uEeren Feldes positiv gerechnet wird und
ea sich bei .fja und h, urn die absoluten Werte handelt, V,und a,, aber
mit zunehmendem 2: wbhst, ist das Minnszeichen auf der rechten Seite
weggelaesen.
0.Grotrian.
40
ist, so kann auch geschrieben werden
= 8/
Qrn
- :.ha.
Andererseits ist
(17)
p = - =b,
@m
oder
(1
dfn
8, -
+ 4nx)Qf -
X .
P
h, = B-.
Hieraus berechnet sich
Die Zahl fur h, ergibt sich durch folgende Uberlegung.
I n der Nahe der Mittelebene kann fh Pnnkte der Ache mit
genugender Amtiherung gesetzt werden
vU = h a . x + k . z a ,
(21)
wenn k eine gegen ha sehr kleine Konstante bezeichnet.
Mittels der Gleichung (21) und der beiden Werte von v,
fiir z = 1 und z = 2 (vgl. Tab. X) bestimmt sich
ha = 1,3746.
Nach Tab. V I ist
8,
= 28,43.
Die Lange des Zylinderradius betragt
R = 2,505 cm,
somit ist
8 = 19,714 cmz
und nach (16)
93, = 1,4420.
Da
Qf = 0,11597
ist, ergibt sich
x = 16,021,
p = 202,33,
X
P
= 0,079185.
Ber Eisenzylinder im homogenen Maynetfelde.
41
Fur einen zweiten Vollzylinder Nr. III aus gleichem
Material wie Nr. I, dessen Dimensionen auf p. 8 angegeben
sind, ergab sich durch gleiche Rechnungen, deren Einzelheiten
bier nicht angefiihrt sind,
x = 15,883,
p = 200,60,
5 = 0,079181.
P
Die Mittelwerte aus diesen Zahlen und denjenigen fiir
Zylinder I sind
x = 15,952,
p = 201,46,
'
__ = 0,079183.
P
Diese sind den weiteren Rechnungen zugrunde gelegt.
Die Werte sind in naher Ubereinstimmung mit den von anderen
Forschern ermittelten Zahlen. Es fanden u. a. bei weichem
Eisen fur die unterste Stufe der Magnetisierung
Bauerl) x = 14,5,
RosslerB) x = 17,59 als kleinsten erhaltenen Wert entsprechend p = 222 fiir ausgegliihtes
sehr weiches Schmiedeeisen,
fur kohlenstoffreiches Eisen.
Holborng x = 16
Die Losung des Problems, die Niveaufltichen und Kraftlinien im Innern des Eisenzylinders zu bestimmen, ist gegeben,
wenn die Koeffizienten ul, u 3 , u5 . . . der Gleichung (15) zahlenmll3ig ermittelt sind. Da die anfanglich eingeschlagene Methode der Bestimmung (vgl. p. 33f.) sich nur als genugend
fiir die mittleren Teile des Zylinders, als ungeniigend fiir die
Teile an den Enden erwiesen hat, ist ein anderer Weg ein1) C. Bauer, Wied. Ann. 11. p. 399. 1880. Vgl. auch Anmerkung
in J. A. Ewing, Magnetische Induktion in Eisen und verwandten Metallen, Kap. 6. p. 117.
2) G. Rossler, Elektrotechn. Zeitschr. 14. p. 134. 1893.
3) L.Holborn, Wied. Ann. 61. p. 281. 1897.
0. GrotTiun.
42
geschlagen, urn von den Koeffizienten der Reihe (15) vier,
4,a3, as, u7 zu bestimmen. Zunachst betrachte ich
U , = - 0,007128
durch die anfangliche Rechnung als gegeben.
Nach den auf p. 37 gemachten Bemerkungen mussen die
inneren Kraftlinien, die durch die Kante oder durch einen in
unmittelbarer Niihe derselben gelegenen Parallelkreis gehen,
einen Winkel von 45O mit der Achse bilden. An dieser Stelle
mussen demnach die Komponenten der magnetischen Kraft
parallel und senkrecht .zur Achse einander gleich sein. Es
mu8 demnach genau oder mit groBer Annaherung
(E)=(””)
ax
ay 1
1
sein, wobei der Index sich auf die Kante bezieht.
ist nun
- -
(I)>:
*
Nach (13)
(2.
:1%p
Berechnet man nach (15) die Ausdrucke fur die Differentialquotienten von Tc, so ergibt nach einigen Zusammenziehungen fiir Gleichung (22) die Form
a,
+ 3a, (z,~-
1
Tylz+ zlyl)
+ 5a6
(3,’-
3z1’Y,’+
+2
3
%y14
- +l
+ 7 ~ ~ x 1 ~ - ~15I 1 4 y 1 ’ + 4 ~ ~ l . Z 1 ’ .G-y16+
y
5 1 4 - 3x16y,
- -215
+ 715z 1y16) = 0.
z13y13
Setzt man der Kante entsprechend
xl = 7,527 cm, y1 = 2,505 cm,
ferner
U , = - 0,007128 = - $jz,
Y?)
43
Der Eisenzylinder inr homogenen Magnetfelde.
so wird aus der letzten die numerische Gleichung
(23) -0,007128
+ 217,118a3+
20585,0a5 + 123160.10a7=0.
Eine zweite Gleichung fur die Bestimmung der Konstanten wird erhalten, wenn man den Ausdruck fur den maximalen InduktionsfluB 8, bildet. Nach einer an anderer Stelle
gemachten Rechnungl) ist
~ , , , = n p { & z . R 2 +3 p a 3 R 4 -5 - a 5 R 6 + - - a R8
8
oder
8n
R2p
?
I
= $ja+T
3 a 3 R a - - a55 R 4 +
8
35
64
:
'I
I
a,R6
gleich der mittleren magnetischen Kraft in der Aquatorialebene. Setzt man zufolge der friiheren Angaben
8,
R
= 28,43,
=
2,50,5,
p = 201,46,
d a m ergibt sich
0,0071579 = 0,007128
oder
(24) -0,0000299
+ 4,70627 a3 - 24,6100 a5 + 135,125. a,
+ 4,70627 u3 - 24,6100 as + 135,125 a, = 0
ale eine zweite Gleichung zur Bestimmung der Konstanten
as, 0 5 7 a,.
Eine dritte Gleichung wird erhalten durch den Ausdruck
am Ende der Achse im Innern
des Eisens, also fur einen Punkt unendlich nahe der Stirncache. Bezeichnet $js die magnetische Kraft fur einen inneren
Punkt der Achse mit der Abszisse a, dann ist
fir die magnetische Kraft
Bedeutet L = 7,527 cm die halbe Lange des Zylinders,
dann ist
Q L = - ( a , + 3 a , L 2 + 5 a 5 L 4 + 7a,L6)
= 0,007128 - 169,967, a3 - 16049,3 .as - 1273005. a,,
~-
1) O . G r o t r i a n , Ann. d. Phys.
23. p.584. 1907.
0.Crotrian.
44
wenn fur a, und L die betreffenden Zahlenwerte eingesetzt
werden.
Nun ist fur die betreffende Stelle nach Qleichung (8) der
Wert der lnduktion
fiir p = 0 somit
0,7196
BL=
- 9
$jL=
L=
7z
0,0011369.
EL."
Hieraus ergibt sich die numerische Gleichung
0,0011369 = 0,007128 - 169,967 .a3- 16049,3. %- 1273005 a,
oder
(25) -0,0059911+169,967.a3+16049,3. a6+ 1273005 .a, = 0.
Aus den drei Gleichungen (23), (24) und (25) sind die
Konstanten as, a6, a, berechnet. Nach den vorstehenden
Ausfuhrungen erhalten die Konstanten der Gleichung (1 5) die
Werte
a, = - 0,7128.
as = + 0,72975.
aa = + 0,18804.
a, = + 0,13600. lo-'.
Um zu einem Bilde der Potentialverteilung im Zylinder
zu gelangen, sind unter Benutzung der gefundenen Konstanten
und der Gleichungen (13) und (15) die Potentialwerte P fur
abgerundete Abszissenwerte x sowie auch fur x = 7,527 der
Stirnflilche entsprechend berechnet, sowohl fiir die Achse als
auch fur fiinf der Achse parallele Gerade mit den Ordinateny.
Die groBte Ordinate y = 2,505 entspricht der Grenzfliiche des
Zylinders.
Die erhaltenen Zahlen sind in Tab. XI zusammengestellt.
Die Potentialwerte, negativ fiir positive x, nehmen dem absoluten Werte nach fur jedes y mit zunehmendem x zu. Die
Werte fur ein bestimmtes 2 sind dabei um so grijSer, je groSer
y ist. Somit findet auf der Seite der positiven x im algebraischen Sinne in jeder der Achse parallelen Geraden von der
45
Ber Eisenzylinder irn homogenen Magnetfelde.
Mitte nach der Stirnilache, also nach dem Nordende des Stabes
hin, und ebenso in radialer Richtung von der Achse nach der
Oberflache hin ein Abfall des Potentials statt. Der algebraisch
kleinste Wert ist somit in der Kante vorhanden. Die Tabelle
laBt weiter erkennen, dab in der Nahe des Aquators der Abfall in radialer Richtung sehr gering ist, urn so geringer, je
naher der betreffende Radius der Mitte liegt. Die Niveauflachen fallen hier also nahezu mit dem zur Achse eenkrechten
Querschnitten zusammen, d. h. das innere Feld ist hier ein
nahezu homogenes.
T a b e l l e XI.
V
y=O(qC)l
0,00000
-0,00712
y=0,5
I
~
I
y = 1,0
I
0,00000, 0,00000
-0,00712
-0,00713
-0,01422
0,02 120
-0,02794
-0,03425
-0,03972
0,04 197
- 0,04374
- 0,04429
- 0,04473
-0,04495
-
-0,03935
-0,04148
-0,03944
-0,04160
-0,04396
-0,04414
-0,04416
-0,04434
-
y = 1,5
0,00000
- 0,00715
-0,01415
- 0,02127
- 0,02808
- 0,03450
-0,04017
-0,04256
-0,04451
- 0,04514
-0,04567
- 0,04595
0,00000
0,00000
-0,00716
-0,01430
- 0,02136
-0,02826
-0,03484
- 0,04077
-0,04335
-0,04553
- 0,04627
- 0,04692
-0,04729
-0,0071 8
-0,01435
-0,02147
-0,02847
- 0,03524
-0,04150
-0,04431
0,04679
-0,04767
0,04847
-0,04893
-
In Fig. 7 sind zwei Kurven gezeichnet, welche 7 als
Funktion von x darstellen. Die eine Kurve bezieht sich auf
die Achse (y = 0), die andere auf die Qrenztlache (y= 2,505).
Letztere ist nicht vollstiindig bis zum Nullpunkt ausgezogen,
weil in dessen Niihe beide Kurven einander so nahe kommen,
da6 durch die vollstandige Verzeichnung die Deutlichkeit der
Zeichnung leiden wiirde.
Eh sind nun in geniigend groBem Ma6stabe die in Rede
stehenden Kurven, den einzelnen y der Tab. XI entsprechend,
fur alle berechneten Werte sorgfaltig verzeichnet. Entnimmt
man aue allen fiir ein bestimmtes Potential die Werte von I
46
0.Grotriaw.
und y, so erhalt man damit eine Anzahl von Koordinatenpaaren fur die Niveaulinien (Meridiane der Niveauflachen) und
kann dieselben daher verzeichnen.
Fig. 7.
Dieser Weg ist yon mir betreten worden. Dabei ist, um
fiir die einzelnen aufeinander folgenden Niveaulinien gleiche
Unterschiede des Potentials zu erhalten, die gesamte maximale
Potentialdifferenz zwischen Kante und Mitte, nach Tab. XI
gleich 0,04893 (abs.), in 21 Teile, je gleich 0,00233, geteilt.
Die Zahl 21 ist deshalb gewahlt, weil zufdlig 0,04893 durch 21
ohne Rest teilbar ist. Die Ergebnisse dieser graphischen
Koordinatenermittelung sind in Tab. XI1 zusammengestellt.
Die einzelnen Potentialwerte sind mit den Nummern 1-21
versehen, die Werte selbst befinden sich in der zweiten Kolumne,
wahrend die dritte bis achte Kolumne die Abszissenwerte x
enthiilt, die den iiber jeder Kolumne stehenden Ordinaten y
zuzuordnen sind.
Ber Eisenzylinder im homogenen Mngnetfelde.
47
Tabelle XII.
Werte von m (em)Cur y =
1I
-.-~ _
_ __
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
---
V
Nr.
0,00233
0,00466
0,00699
0,00932
0,01165
0,01398
0,01631
0,01864
0,02097
0,02330
0,02563
0,02796
0,03029
0,03262
0,03495
0,03728
0,03961
0,04194
0,04427
0,04660
-
195
230
0,32
0,65
0,98
1,30
1,64
1,96
2,30
2,62
2,96
3,30
3,64
4,OO
4,36
4,7Y
5,11
5,54
5,98
6,49
7,18
0,32
0,64
0,97
1,30
1,63
1,96
2,29
2,63
2,96
3,29
3,63
3,98
4,33
4,69
5,07
5,48
5,90
6,36
6,93
-
-
-
0,32
0,65
0,97
1,30
1,63
1,95
2,28
2,61
2,94
3,27
3,61
3,95
4,30
4,66
5,02
5,38
5,78
6,21
6,69
7,29
2,505
__ __ __ __
_
1,97
2,31
2,63
2,96
3,31
3,66
4,02
4,38
4,76
5,16
5,59
6,05
6,6B
190
~
1,96
2,29
2,63
2,96
3,31
3,66
4,Ol
4,37
4,75
5,15
5,58
6,03
6,58
7,48
-
-
0,320,64
0,97
1,29
1,62
1,94
2,27
2,60
2,92
3,25
3,58
3,91
4,25
4,60
5
fur y =
y fur
2:-
7,527
5,67
6,07
6,49
6,95
7,53
~
,
1
6,16
6,61
7,14
1 -
6,lO
6,53
7,Ol
-
Tabelle XIIa.
0,37
1,74
2,50
.-
x fur y =
y fur
1;=
7,527
__
0
6,87
18, 0,04349 7,16
18, 0,04414 7,53
19, 0,04505
1g2 0,04582
20,
0,04738
20,
' 0,04815
6,81
1 6,69 I 6,53
'1
7,08 I 6,91
7,38
1
I
7,14
~
,
6,72
6,89
6,67
6,58
7,15
6,87
6,78
' 7,46
0,00
6,69
6,64
6,84
6,79
1,05
1,42
7,20
7,13
2,02
2,26
48
0.GTotTian.
Um fur das Ende des Zylinders die Niveaulinien mit genugender Sicherheit festlegen zu konnen, sind in der drittletzten und vorletzten kleinen Kolumne noch einige x-Werte
fiir y = 2,2 und y = 2,4 beigefugt, wilhrend die letzte Kolumne
einige y-Werte fur die Stirnflache (x= 7,527) enthalt, die aus
der entsprechenden (P,y)-Kurve entnommen sind.
Do in der Niihe der Stirnflache bemerkenswerte Formanderungen ‘der Niveaulinien auftreten, wurde noch fiir sieben
weitere Potentialwerte, die zwischen Nr. 18 und 19, sowie
zwischen 19 und 20 liegen, in der oben dargelegten Weise
eine Anzahl von Koordinatenpaaren ermittelt. Dieselben sind
in Tab. XIIa zusammengestellt. Die Werte liegen in gleichen
Intervallen zwischen Nr. 18, 19 und 20 mit Ausnahme von
Nr. 18,. Diesem entspricht das Potential 0,04414 am Ende
der Achse.
Die so gefundenen Ergebnisse sind in Fig. 8 geometrisch
veranschaulicht. Das die game Figur umschlieBende Rechteck stellt einen Zylinderqnadranten dar. Dabei bezeichnet die
untere Horizontale die halbe Achse, die obere die Schnittlinie
einer axialen Ebene mit der Zylinderflache, wahrend die
Vertikalen links und rechts den Schnitten zwischen der Zeichenebene und der Aquatorebene, bzw. der Stirnflache, entsprechen;
Die Niveaulinien sind durch voll ausgezogene Kurven dargestellt mit Ausnahrne der zwischen 18, 19 und 20 eingeschobenen, deren Kurven gestrichelt sind. Die den einzelnen Potentialwerten entsprechenden Nummern (vgl. erste
Kolumne der Tabb. XII, XIIa) sind neben jeder Kurve vermerkt.
Das Kurvenbild laBt folgendes erkennen.
Die Niveauflachen werden von der Achse, d a diese eine
Kraftlinie darstellt, senkrecht durchschnitten. I n der Nahe
der Mitte sind die Niveauflachen nahezu aquidistante parallele
Ebenen, die merklich mit den zur Achse senkrechten Querschnitten -zusammenfallen. Das innere Feld fur $jund b ist
hier also nahezu homogen. Beim weiteren Vorwartsschreiten
auf der Achse nach der Stirnflache zu, also nach groBeren
negativen Potentialwerten zeigt sich, daB die Niveaulinien
zunachst schwach, dann immer starker gegen die Aquatorebene geneigt sind und derselben ihre konkave Seite zukehren.
49
Annalen der Phyaik. 1V.Folge. 34.
4
50
0.Grotrian.
Der Schnitt derselben mit der auSeren Oberflache liegt dabei
der Aquatorebene nilher als der Schnitt mit der Achse.
Letzteres gilt auch fur die Kurven in der Nahe der Stirnflache.
Doch zeigt sich hier eine Anderung des Krummungssinnes.
Kurve 18,, die durch das Ende der Achse geht, ist in deren
Nilhe konkav, in der Nahe der Oberfliiche konvex gegen die
Mittelebene gekriimmt. Geht man zu gr6Seren negativen
Potentialen iiber , dann erreichen die Niveaulinien die Achse
nicht mehr , endigen dagegen in der Stirnflache. Wahrend
bei Kurve 19 noch eine ahnliche Krummung wie bei 18,
hervortritt, zeigt sich, da8 bei den folgenden Kurven nur noch
konvexe Kriimmung gegen die Mitte erkennbar wird.
Beim weiteren Verfolgen des Potentialabfalles verktirzen
sich die Kurven und riicken der Kante naher. Die Krummung
wird geringer, und die Kurven nahern sich mehr und mehr
g e r d e n Linien, die unter 45O gegen die Achse geneigt sind
(vgl. Kurve 20,). Letztere Gestalt wird, soweit die bei der
Berechnung gemachten Voraussetzungen richtig sind, a l s Grenzfall in unendlicher Nahe der Kante erreicht. In dieser selbst
sohrnmpft die Niveaulinie zu einem Punkte, die Niveaufliche
zu einem Kreise zusammen.
Nach Ermittelung der Niveauflichen kannen die Kraftlinien als orthogonale Trajektorien verzeichnet werden. Doch
ist fur diese Verzeichnung nicht allein der rechtwinkelige
Schnitt mit den Niveaulinien das einzige bestimmende Element,
sondern die Versuchsergebnisse in Verbindung mit der Rechnung gestatten auSerdem, fur jede Kraftlinie, die in irgend
einem Punkte die xquatorniveauflache durchsetzt, einen zweiten
Punkt in der den Elektromagneten begrenzenden Zylinderoder Stirnflache festzulegen.
Nach friiheren Entwickelungen l) wird die magnetische
Kraft 8, in der Aquatorebene fur einen im Abstande y, vom
Zentrum entfernt liegenden Punkt dargestellt durch den Ausdruck
Qe
=
a+
3
15
35
- 8 a5 Ye4+ 1
65 Ye6
2- a3 Ye2
.
~~
1)
0.Grotrian, Ann. d. Phys. 23. p.
584. 1907.
*
Ber Eisentylinder im homoyenen Magnetfelde.
51
Der InduktionsfluB 8,, der in der Aquatorebene eine KreisflHche vom Radius ye durchsetzt, ist somit dargestellt durch
.Y
Auf Grund dieser Formel kann Be fur verschiedene Werte
von ye berechnet werden. Diese Rechnung, fiir zehn Werte
von ye durchgeflihrt, liefert folgendes:
-
0,oo
0,25
0,50
0)75
__
.
0,0000
0,2820
1,128
2,539
'
2,OO
2,25
'
13,85
18,lO
22,92
Die Zahlen dieser Tabelle sind zur Konstruktion einer in
geniigend groBem MaBstabe ausgefiihrten Kurve mit den Abszissen ye und den Ordinaten Be verwendet. Diese Kurve und
diejenige, welche 8, als Funktion von 1 bzw. p darstellt (vgl.
Fig. 3), gestatten, fur irgend einen beliebig gewahlten Wert
des Induktionsflusses, der kleiner ist als der maximale, einerseits den Wert von ye fur die Aquatorebene, andererseits den
Wert von I (0) fiir die Oberfllche zu bestimmen. Anf diese
Weise werden zwei Punkte einer Kraftlinie ermittelt; denn sie
liegen auf dem Umfange zweier Kreise in der Aquatorebene
und in der Grenzfllche, die denselben InduktionsfluB umschniiren. Eine Anzahl solcher korrespondierender Punktepaare
ist in der folgenden Tab. XI11 zusammengestellt. Die Werte
des Induktionsflusses 3, = &, denen die Punktepaare entsprechen, sind dabei so gewahlt, daB sie in gieichen Interdes maximaIen Flusses
vallen zunehmen. Als Interval1 ist
gleich
28 43
=
20
.-L
1,421 gewlihlt.
Vor die Zahlen 8, = 8, ist
4*
52
0.Grotrian.
einer der Buchstaben a bis u gesetzt, um die Tabelle in ubersichtliche Beziehung zur Zeichnung bringen zu konnen. Die
dritte Kolumne enthalt die Werte von ye, die vierte diejenigen
von 1, die fiinfte diejenigen von p fur Kraftlinien, die durch
die Stirnflache hindurchziehen.
T a b e l l e XIII.
_ _ ~
a
b
c
d
e
f
f,
9
h
i
k
1
m
n
0
1’
r
9
t
26
Be
=
Y e (cm)
8 0
1,421
2,843
4,264
5,686
7,107
8,528
8,800
9,950
11,37
12,79
14,21
15,64
17,06
18,48
19,90
21,32
22,74
24,16
25,59
27,Ol
28,43
.
_____0,56
0,79
0,97
1,12
1,25
1,37
1,39
1,48
1,58
1,68
1!77
1,86
1,94
2,02
2,lO
2,17
2,24
2,31
2,37
2,44
2,50
1 (cm)
7,53
7,42.
7,28
7,lO
6,83
6,55
6,25
5,94
5,56
5,11
4,66
4,14
3,42
2,49
0,oo
1,19
1,63
1,98
2,20
2,37
2,49
2,50 K
Unter Renutzung der in Tab. XI11 angegebenen Zahlen
fur je zwei Punkte einer Kraftlinie und unter Wahrung eines
moglichst senkrechten Schnittes mit den Niveaulinien sind mit
tunlichster Sorgfalt in Fig. 8 die Kraftlinien gestrichelt-punktiert eingezeichnet unter Beifiigung der entsprechenden Buchstaben a bis u der Tabelle.
Verfolgt man die einzelnen Kurven von der Lquatorebene
aus, so ersieht man, daB nur die mit der Achse zusammenfallende Kraftlinie in ihrem ganzen Verlaufe geradlinig ist.
Die ubrigen verlaufen von der Mittelebene aus zunachst als
Ber Eisenzylinder im honiogenen Magnetfelde.
53
nabezu parallele Gerade, krummen sich dann deutlich in
einiger Entfernung von der Mitte derart, daB sie der Achse
ihre konvexe Seite zukehren. Im ganzen tritt diese Abweichultg
vom geradlinigen verlaufe bei einem um so gr5Beren Abstande von der Mittelebene ein, je naher die betreffende Kraftlinie der Achse liegt. Abweichungen hiervon, die bei einigen
Kurven erkennbar sind , durften im wesentlichen auf Zeichenfehler zuruckzufuhren sein.
J e zwei benachbarte Kraftlinien entsprechen raumlich
einem robrenartigen Raumgebilde von veranderlicher Manteldicke und Weite. Der Mantel jeder dieser Rohren wird der
Konstruktion zufolge von demselben Induktionsflusse durchsetzt.
Verfolgt man die Reihe der einander umschlieBenden
Rbhren langs einer Niveaulinie von der Achse bzw. Stirnflache
&us nach der zylindrischen Grenzflache hin, so erkennt man,
da8 die Manteldicke der Rohreu abnimmt, abgesehen von
wenigen Ausnahmen, die auf Zeichenfehlern beruhen durften.
Es ist dabei zu beachten, daB die Manteldicke nicht etwa der
Kraftliniendichte umgekehrt proportional ist. Man erkennt
das am einfachsten beim Verfolgen des Aquatorialradius. Das
innere Feld ist hier nahe homogen, obwohl nach Tab. XI11
die radiale Dicke 0 a des innersten Rotationskorpers 0,56 cm,
die des au6ersten Rohres t u nur 0,06cm betragt. Der ringformige Querschnitt des einzelnen Rohres ist in der Mittelebene nahezu konstant. Deshalb muB die radiale Breite desselben mit zunehmender Entfernung von der Achse abnehmen.
Aus der ganzen Gestaltung der Niveauflachen und der Lage
derselben gegeneinander geht abgesehen von MiLngeln der
Zeicbnung, hervor, daB beim Verfolgen einer Kraftlinie von
der Mittelebene nach der Grenztlache des Zylinders die magnetische Kraft abnimmt , wahrend beim Verfolgen einer Niveaulinie von der Achse oder der Stirnflache nach der Zylinderfache hin eine Zunahme der magnetischen Kraft eintritt. Der
groSte Wert fiir die magnetische Kraft ist demnach in der
Mittelebene unendlich nahe der Zylinderflache, der kleinste
Wert am Ende der Achse unendlich nahe der Stirnflache vorhanden.
Die zahlenmaBige Angabe der @- oder b-Werte fur eine
groBere Anzahl von Punkten dea Quadranten diirfta zu weit
)
54
0.Grotrian.
fuhren. Es geniige, in der folgenden Tab. XIV eine Zusammenstellung der Werte der magnetischen Kraft fiir eine Anzahl
von Punkten der Aquatorebene, der A c h e sowie der Zylinderund Stirnfliiche zu geben.
T a b e l l e XIV.
8
8
~~
0,007184
0,007 166
0,007 151
0,007139
0,007131
0,007128
0,007105
0,007025
0,006848
0,006498
0,005851
0,004677
0,003807
0,002678
0,002140
0,001547
0,001139
0,007184
0,007177
0,007151
0,007083
0,006932
0,006630
0,006072
0,005698
0,005295
0,005151
0,005030
0,004974 K
0,004018
0,003098
0,002229
0,001786
0,001139
j
1
I
11
Es mag noch der mittlere Entmagnetisierungsfaktor N
fiir die Mittelebene berechne't werden. Bezeichnet man fur
diese die Mittelwerte der magnetischen Kraft, der Induktion
und Magnetisierung durch Q,, b, und 3,, dann ist
8,
= Qf
- N . 3, = Qf - N . X - Q , ,
N -- - .8r
. @m
%.@m
Nach p. 40 ist
8, = 1,442,
also
b
n
I
$jm
=
= 0,007158.
P
~
Der Eisenzylinder im homogenen Mugnetfelde.
55
Da $jf = 0,11597 (vgl. p. 7) ist, so ergibt sich
N = 0,9530.
Der Wert ist, wie erwartet werden muS, kleiner als derjenige fur ein Rotationsellipsoid von gleichem Dimensionsverhfiltnis. Letzterer berechnet sich zu
N = 1,3637.
Qegen die Versuchsergebnisse konnte der Einwand erhoben werden, da0 bei den Messungen die Vehikalkomponente
der erdmagnetischen Kraft einen konstanten InduktionsfluS im
&sen erzeugt hat, der beim Kommutieren sich zu dem durch
das Spulenfeld erzeugten addiert und davon subtrahiert, und
da6 infolge dessen die unter 8, gegebenen Werte (Tab. VI)
nicht dem Bereiche vollstandig konstanter Permeabilitiit angehoren. Ein solches sol1 fur die unterste Stufe der Magnetisierung nach Lord R a y l e i g h s Vervuchenl) vorhanden sein,
wlhrend dagegen R o s s l e r 9 zufolge sorgfaltiger Versuche nur
angenaherte, nicht genaue Proportionalitat zwischen b und cij
gefunden hat.
DaI3 die von mir ermittelten Werte von 8, dem Proportionalitatsbereiche mindestens nahe liegen miissen, erkennt
man, wenn man den mittleren Wert der magnetischen Kraft
in der Bquatorebene, allein durch die Vertikalkomponente
der erdmagnetischen Kraft hervorgerufen, berechnet. Setzt
man den Wert der letzteren fur Aachen
Q, = 0,408 Gauss,
so ergibt sich fur die Mittelebene die magnetische Kraft
8"
Qmv-
l+x.N
Hieraus berechnet sich bei Einsetzung der Zahlen fiir @,,
x und N
Q,,,,= 0,025.
1) Lord R a y l e i g h , Phil. Mag. (5) 23. p. 225. 1887.
Riiesler, Elektrotechn. Zeitachr. 14. p. 134. 1893.
2) G.
56
0.Grotrian. Ber Ethnzylinder urn.
Nach Lord R a y l e i g h s Versnchenl) liegt dieser Wert der
Proportionalitahgrenze nahe, vielleicht innerhalb derselben.
Eine merklich storende Fehlerquelle kann daher in der Wirkung
dee Erdmagnetismus wohl nicht erblickt werden.
A s c h e n , Elektrotechn. Institut, Oktober 1910.
1) L. c. Lord Bayleigh gibt fiir nicht auegegliihtes schwedisches
Eisen die Grenze zu 0,04 Gauss an.
(Eingegangen 3. November 1910.)
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