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Der elektrische Strom in ionisierter Luft in einem ebenen Kondensator.

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& 5.
1904.
ANNALEN DER PHYSIK.
VIERTE FOLGE. BAND 13.
Der elektrdsche Strom
in 4onisCerter L w f t 4% einem ebenem Eondensator;
v o n Gzcstav M4e.
1.
1. Das, wodurch sich die elektrischen StrGme (Entladungen) in Gasen von den Str8men in Elektrolyten und Metallen so auffallig unterscheiden, ist hauptsachlich, daB sich in
den Gasen wegen der langsamen Neubildung von Ionen durch
den Strom selbst freie Ladungen anhaufen, wahrend in den
eigentlichen Leitern immer so iiberreichlich Ionen vorhanden
sind, da8 alle Ladungen, die sich etwa im Innern bilden
wollten, sofort zerstreut werden. Berechnet man den EinfluB dieser
inneren Ladungen auf das elektrische Feld, das den Strom erzeugt, so bekommt man in dem Falle plattenfarmiger paralleler
Elektroden eine auf den ersten Blick ganz einfach aussehende
Differentialgleichung (6). Aber auf diese Differentialgleichung
kann man merkwiirdigerweise, wie mir Mathematiker von Fach
bestatigt haben, von den Hilfsmitteln der modernen Analysis
nichts anwenden. Nur, wenn die von mir mit x bezeichnete
GrGBe verschwindet, kann man, was ubrigens schon J. J.
T h o m s o n bemerkt hat, die Integration auf eine Quadratur
zuriickfiihren. Will man das Feld wirklich berechnen, so mu6
man sich im allgemeinen auf Naherungsformeln beschranken.
J a auch so sind die Rechnungen noch sehr umstandlich, wie
man aus dem Folgenden sehen wird. Aus diesem Grunde sind
sie wohl auch bisher noch nicht clurchgefiihrt. Es scheint
mir aber, da8 es bei vielen Messungen doch wohl wichtig sein
mug, eine gute Grundlage zur Ausrechnung der gesuchten
Konstanten der Gasionen zu haben. Deswegen veroffentliche
ich die folgenden Berechnungen, in denen ich allerdings, um
zunachst iiberhaupt passende Ansatze fur Naherungsformeln
Annslen der Physik. IV. Folge. 13.
56
z u gewinnen, cinige Komplikationen furs: erste noch auf3er acht
gelassen liabe. Ich habe namlich angenommen :
1 . dap die OberfEichenwirkung dcr Elektroden auf die h i sierung des Cases gegen die ,,T;lume,iionisicrung" vernachlassiyt
werden koiine,
2. dap die Diffusion der Ionen vernnckliissigt werden konne,
3. dab die Wirbellewegungen des Gases (die itatiirlich eine
Aonvektion der Ionen bewirken) keinen wesentlichen hh$up auf
die Tbrteilung der freien Ladungen halen.
Die unter 1. und 2. genannten Wirkungen lie6en sich
jedenfitlls (wenn notig) ohne groBe Schwierigkeiten in die unten
gegebenen Formeln noch einfngen. Die Wirbclbewegungen
dagegen wird man wohl praktischer durch geeignete Versuchsanordnungen moglichst unschadlich zu machen suchen.
Ferner ist noch angenomnien, daB die Stromstarken so
klein sind, dap keine Ioonisierurtq durcli Ionenstop in Betracht
kommt.
Unter diesen Annalimeii erhalt man, wie schon bekannt
ist, die Differentialgleichung (6). Damit aber uber die von
mir gewahlten Bezeiclinungen und MaBeinheiten keine Unklarheit bestehen moge, will ich dicse Gleichung noch einmal kurz
herleiten.
Alle GroBen, die sich auf die Kationen oder auf die Kathode beziehen, will ich durch den Index K kennzeichnen, die
Beziehung zu den Anionen oder zur Anode sol1 dagegen durch
A angedeutet werden. So sei W K und W A der Geiialt des Gases
an positiven und negativen Ionen, ausyedruckt in Grammaquivalenten pro Kubikzentimeter. Dann geht nach den Unter,
eachnogen J. J. T h o m s o n s und anderer Forscher dieser Gehalt
dem Qase mit der Zeit verloren, wenn keine besondere ionisierende Wirkung vorhanden ist, und zwar nach dem Gesetz:
wo u eine filr das Gas charakteristische Konstante ist. Nach
den Messungen voti R. K. Mc C l u n g ' ) ist x. 13. far Luft
u = 0,98.1018, und zwar unabhangig vom Druck. (Ich habe
u umgerechnet in das in der Elektrochemie allgemein ubliche
1)
R. K. M c C l u n g , Phil. Mag.
(6)
3. p. 283.
1902.
Elekirischer Strom in ionisierter Luft etc.
859
MaSsystem, wo das Gehalt an Ionen, v, in Grammaquivdenten
gerechnet wird, wiihrend die englischen Forscher ihn meist
durch die Zahl der einzelnen wirklichen Ionen angeben.)
1st nun eine ionisierende Kraft (2. B. Rontgenstrahlen)
vorhanden, die q Grammaquivalente Ionen in jeder Sekunde
hervorbringt, so wird
-dv,- _ - d-v A
dt
dt
- q - u*vA-vK.
SchlieBlich tritt ein Gleichgewichtszustand ein, der charakterisiert ist durch die folgende, dem Dissoziationsgesetz der
eigcntlichen Blektrolyte entsprechende Gleichung :
q = a.vA.vg.
Verbindet man die Platten eines ebenen Luftkondensators,
zwischen denen eine ionisierende Wirkung tatig ist, mit einer
Elektrizitatsquelle, so gehorcht der Strom bekanntlich nur bei
niedrigen Spannungen dem Ohmschen Gesetz und strebt bei
hijheren einem Maximalwert zu, den er schliefllich konstant
beibehalt, und der dadurch charakterisiert ist, daS der Strom
in jeder Sekunde die gesamte Zahl von Ionen, die die ionisierende Wirkung in einer Sekunde erzeugt, den Platten zufiihrt.
3% sei P = 0,965.lo5 Coulomb die Aquivalentladung, ferner 2 A
der Abstand der Kondewsatorplatten in cm, J die Stromdichte in
Ampdrelqcm, dann ist dieser Maximalstrom JM:
(1)
JM= q.P.2A.
Wir bezeichnen den durch die Kationen vermittelten Strom
durch JK, den Strom der Anionen mit JA, also:
J=JK+JA.
Das Koordinatensystem wollen wir so wahlen, dal3 die z-Achse
senkrecht zu den Kondensatorplatten gerichtet ist. Und zwar
rechnen wir x entweder von der Anode zur Kathode hin,
also im Sinne des Stromes: x A , oder von der Kathode aus
entgegengesetzt: xK. Im folgenden wollen wir, wenn nichts
weiter bemerkt ist, x immer in dem Sinne XA gebrauchen. Es sei
ferner vi und vA' die Dichtigkeit der nur durch die Wirkung
des Stromes angehauften Ionen, das he&:
56 *
860
G. Nie.
Die Geschwindigkeiten , die die beiden Ionengatlungen bei
einer Peldstarke von 1 Volt/ Zentimeter annehmen, solZen uA und
U , heipen, und zwar gerechnet in cmlsec.
Fur Luft bei Atmosphlrendruck ist z. B. U A = 1,85 cm/sec, U K = 1,34 cmlsec.
Ferner sei E die Feldstarke, gerechnet in Volt Zentimeter, also:
JK = v X . F4".
u K . E ; J A = V, F . u A . E .
a
Im ganzen andert sich nun bei konstantem Strom und konstanter Ioxisationswirkung die Dichtigkeit der Ionen nach folgenden Gleichungen:
dvK
-
d v K .E
__
d t - q - U.vA.vK-uK*p
dx '
d VA
dv,. E
__ = q - E e v A . v K + u K ' p - - .
dt
dx
1st der Strom stationar geworden, so ist zu setzen:
dVKldt= dVA/dt = 0 ,
und wir erhalten so die bekannten Fundamentalgleichungen fir
die Theoric der Strome in Gasen:
Durch diese Gleichungen ist aber das Feld und damit der
Strom noch nicht vollstilndig bestimmt. Wir mussen noch die
Gleichung hinzufugen, die ausdruckt, dap die Bivergenzstellen
des Feldes mit den freien Xadungen identisch sind:
P.(v,-vA)
=&
dE
dx
*-*
Hier bedeutet ,&, die Dielektrizitatskonstante des Gases, die
wir gleich der des reinen Jthers ansehen kiinnen. In dem von
zns gebrauchten praktischen Mapsystem ist
& - - - - I
04n
I
'9.10"
- 0,884.
Wir nollen im folgenden den Quotienten e0/F= 0,916. lo-'$
durch den Buchstaben E bezeichnen.
(3)
Elektrischer Strom in ionisierter h f t etc.
861
Zunachst geben die beiden Gleichungen (2)durch Subtraktion
UK
*
dvK.E
dvA.E
d x +uA*---oo.
___dx
Diese Qleichung la& sich sofort integrieren :
F.(ug.v K . E + U g .V A h? = J .
(4)
J ist die Stromdichte, die also nach (4) in dem ganzen
Zwischenraum zwiechen den beiden Kondensatorplatten wie bei
jedem stationaren Strom konstant ist. Wir multiplizieren nun
die beiden Gleichungen (2) mit U A und uK und addieren:
I. ( u g + uA) - a.( ~ g +.A). ~ gYA. - u K . U A *d E . (yKd x - VA) = 0.
Wir benutzen weiter Gleichung (3), die mit (4)kombiniert
liefert :
u=-uA
d E
2
J
VK+
nnd :
VA
=
VA
= - --.&.u K + uA
u~
- (uK+uA)a
UK.
'
__-__
d x +uK + uAF . E
d E z
J 1 d E
FE d
u ~ - u A
.&.--.-
(dz)- (uK+ uA)a
+ (uE+1
52
uA)aFPE2 '
und kommen so zu der Differentialgleichung fur E :
Diese Gleichung wird sehr vie1 iibersichtlicher, wenn wir
folgende Bezeichnungen einfiihren :
(5)
862
G. M e .
Wir bekommen so:
I n dieser Gleiehung ist zu verstehen als g A , d. h. von
der Anode aus gerechnet im Sinne der Stromlinien. Die Gleichung fur & erhalten wir aus (6) einhch, wenn wir das Vorzeichen von x umkehren.
Die Bedeutung der Konstanten a ist leicht zu verstehen.
Wenn das Feld, wie es bei sehr schwachen Stromen der Fall
ist, in der Mitte eine Region hat, wo keine freien Ladungen
vorhanden sind, also d z l d g = 0 , so ist hier z = 1, 1= a.
In dieser Region stijrt der Strom das Dissoziationsgleichgewicht
nicht, es ist q = a . v a , also
Die GriiBe 3'. v .(uK + xa) ist das spezifische Leitvermogen
der ionisierten Luft, solange sie vom Strorn noch nicht verandert ist.
ES sei nun der Widerstand der ionisierten Luft xwischen
den Kondensatorplatten pro Quadratrentimeter, gerechnet in Ohm,
R genannt, dann ist:
\
a=-'
R.J
E = a l / i = ---.l/Z.
R.J
2 8
Es kommt jetzt alles darauf an, t als Funktion von zu
berechnen. Dafiir brauchen wir nur die beiden OrtiBen x
und zu kennen. Aus den schon oben angefiihrten Zahlenwerten erhalt man z. B. fur Luft:
a = 3 , ~ ; = 0,160.
Wir unterscheiden nun praktisch die beiden Falle, da6
a) der Strom nur ein kleiner Bruchteil des Maximalwertes JM
ist; b) dab er nicht mehr vie1 von Jx verschieden ist.
Schwache Strome.
2. I n der Nahe der Platte (E = 0) kann man das Integral
nach entwickeln:
der Gleichung (6) in eine Potenzreihe
_2
= co
- c1 .E + cp . gz - c g . E 3 + c 4 . g 4 - . . .
Elektrischer &om
in ionisierter Luft etc.
863
Dann ist der Koeffizient c1 durch die Anfangsbediqgung
gegeben, daB in der unmittelbaren Nachbarschaft der Platte
keine positiven Ionen vorhanden sind, da sie sofort bei ihrer
Bildung vom Strom weggefuhrt werden und bier keine Schicht
mehr vorhanden ist, aus der sie sich erganzen.
F u r = 0 haben wir also in (3) und (4) einzusetzen uK = 0 ,
und bekommen so :
("")d x ' s = o =---,F . uJa 4 . e
Rechnen wir das mit Hilfe der Formeln (5) um, so be22
kommen wir :
($)WO
= - ~.
I-!-x
Also an der Seite der Anode:
Ebenso an der Seite der Kathode:
elK=
22
--.
1-x
B a s honstante Glied c,,, d. h. der Wert von L = E a / a 2f'2
= 0 , lapt sich eiitfach deuten als das Yerhaltnis der Quadrate
der J'eldintensitaten unmittelbar an der Plalte und in der Mitte
des Kondensators. Urn es zu berechnen, wollen wir die Differentialgleichung (6) etwas umformen, indem wir d t l d x durch
das Symbol u ausdriicken und als Funktion yon t selbst auffassen. Es ist dann d 2 z l d x 2= d u 1 d z . u und die Gleichung
wird jetzt:
.r
(9)
1 - 2 2
_
_. t . u . -dd-uz- - . 1 4- 22 a2
21
x
2
u +-.u--Z+
2
1=o.
Wir wollen diese Gleichung mit.
multiplizieren, dann bekommeri wir :
ist.
Diese Gleichung lafit sich sofort integrieren, wenn x
Man bekommt dann:
u z = 4A2.
i,rl +
~
1
=
0
864
G. Mie.
wo C die Integrationskonstante ist. Um C zu bestimmen,
machen wir von unserer Annahme Gebrauch, dal3 wir es mit
sehwachen Stromen zu tun haben, bei denen im mittleren Feld
u = 0, z = 1 wird. Setzt man diese Werte ein, so ergibt sich
C = h(il - l), also:
u2 = 4 L s ( 2 +(A
1- 1
~
- 1) - 2
1
2 ) .
Da nun unmittelbar an der Platte ( u ) =
~
ist, und ( z ) =
~ co, so gibt (8) die Gleichung:
- c1 = - 2 11
Diese Gleichung ist schon von J. J. Thomson gefunden.
I m allgemeinen bekommen wir
und wir kijnnen hier auf der rechten Seite fiir die Funktion
u einen Naherungswert einsetzen, woil x in allen praktischen
Fallen klein gegen 1 ist, und es sich also nur um ein Korrektionsglied handelt, das an (12) anzubringen ist. Am
einfachsten ist es, die beiden Punkte u = 0, z = 1 und
u = - 2 il / ( I
x ) , z = co durch eine gerade Linie zu verbinden und zu setzen:
+
u, =
22
- -.-.
1f x
x - 1
0,-
1
Urn spater Rechenschaft geben zu kijnnen uber die dabei
gemachte Vernachlassigung wollen wir setzen:
z
.+I
- 1_
U.L
I
'
. d ~ = -
22
+ $1.
(1 f x )
z
(Go
- 1)
Elektrischer Stmrn in ionisierter h f t etc.
865
6' ist natiirlich eine Funktion von z, wir werden aber
sehen, daB ihr Wert so klein ist, daB man sie gegen 1 streichen
kaiin. Durch eine einfache Rechnung bekommt man nun
folgenden Ausdruck fur u 2 :
Wir setzen hier nun die Endwerte z = co, u = 2 a / ( l + x )
ein und verstehen auch anter 6' den entsprechenden Endwert,
dann bekommen wir folgende Gleichung :
.((1 - 1)+ co - a. c ; ~ i ) .
Da x klein ist, so ist co - il. cofln = 0 eine Annaherung an
diese exakte Gleichung. Also ist auch Ai/(i-l) eine erste
Naherung fur co und wir setzen deswegen:
co = w - 1 ) . (1 a),
wo 6 jedenfalls klein gegen 1 ist. Um den Wert 6 zu berechnen, setzen wir diesen Ausdruck fur co in die Gleichung (16)
ein und entwickeln beide Seiten in eine Potenzreihe nach 6.
Wir wollen dabei zunachst 8 / c o streichen, ferner wollen wir
alle hbheren Potenzen voii 6 streichen, so daB wir einfach
eine lineare Gleichung bekommen, die sich nun sehr leicht
ausrechnen 1aBt. Das Resultat ist folgendes :
+
Hier bedeutet co soviel wie c o d , zur Berechnung von c o g haben
wir einfach das Vorzeichen von x umzukehren. So ist for
Luft :
c = 5.845
und ferner
- I
auf der Kathodenseite
6 = 0,284
c0
=I
7,50
EK = 2,74. a
auf der Anodenseite
B = - 0,200
c, =
EA =
4,68
2,16.a
866
G. Mie.
Hier ist Ex, EA die E'eldstiirke unmittelbar an der Elektrode, a = Eo die in der Mitte des Feldes.
Damit ist die Berechnung von co erledigt.
Wir wollen nun nachweisen, da6 die Formeln (17) genau
genug sind, indem wir die Fehler taxieren, die durch die benutzten Vernachlassigungen entstehen. Zunachst lassen wir
noch s'/co weg, beriicksichtigen aber die Glieder zweiter Ordnung in J. Wir bekommen:
[(?
6.
(18)
1
7+ +) . (1
e-1
1--x
*
*
8
+ =)
-
1
__
c- 1
).a)] = - 1 .
(1 + ( rr-e
c-1
Setzt man die Werte fur Luft und zwar in die Korrektionsglieder die schon gewonnenen Naherungswerte fur 8 ein, so
ergibt sich
auf der Kathodenseite
auf der Anodenseite
8 = - 0,205
4 = 0,273
Die Werte c ~ A , cox, EA, EK andern sich dadurch nur ganz
wenig.
Um 6' zu taxieren, berechnen wir den Verlauf der Funktion u nach (15), wo wir zunachst d'/co streichen und konstruieren uns die Kurve
1 +_
1
-_
2)=2
1
.U=f;(Z)'
Ganz dasselbe fuhren wir mit der ungenauen Formel (14) aus.
Die beiden Flachen, die durch je eine dieser Kurven und die
Geraden: v = 0 und z = co begrenzt sind, verhalten sich dann
wie (1 + 8'): 1. Man kann 6' ohne vie1 Miihe durch Ausmessen
des Fliicheninhaltes bekommen.
Ich habe das fur Luft ausgefiihrt. In Pig. 1 sind die
beiden v-Kurven fur die Kathodenseite, in Fig. 2 fur die
Anodenseite gezeichnet. Beide Male ist b die ungenaue, mit
Hilfe der Formel (14) berechnete, a die genaue Kuroe. Man
sieht, daB beide Male 1 +a'> 1, also 8' positiv ist. Die Ausmessung ergiht fur die Kathodenseite d'=0,19; fur die Anodenseite 6'= 0,25. Wir haben nun in (1s) das Glied
(1 - x ) . ( c
- 1)/2x.a
Blektrischer Slrom in ionisierter Luf‘t etc.
867
zu dividieren durch (1 + S’/co), um den genauen Wert von S
zu finden, man erEa1t:
auf der Anodenseite
8 = -0,211
auf der Rrtthodenseite
d = 0,288
c0 = 7,52
cOA=
Ex == 2,745. a
EA=
4,60
2,145.a
Vergleicht man diese genauen Werte co und E mit den
nach der Formel (17) berechneten, so sieht man, daf3 die Anniiherung von (17) besser ist als die der feinsten Messungen,
die man ausfuhren kann. Da nun die Eigenschaften der ioni-
‘
I
I
r2=-- 1 - 9
c
4
=--.-
3.c;
z
(1 -
x’J)8
l
-%
c
3
d
W
2
--.- 3 . c,
.(21(1- z ) -
847
I
-5
l
I
(1
- %*)2 ’
1)
+ -.-.1
60,
I
(I
- x*J2
868
G. Mie.
Nach (a), (17), (19) ergibt sich fur Luft die Reihenentwickelung fur z auf der negativen Seite:
z = 7,52
- 8,48 .EK + 3,66. g& - 0,332 , li - 0,082 .&,
auf der positiven Seite:
~=4,60-6,135..&+3,66.~~-0,543.~~-0,166.~~.
3. Diese Darstelluug von z durch eine Potenzreihe gilt
nun jedenfalls nur ganz in der Nahe der Platten, fur einigermaflen groBe 1 mu8 sich nahezu konstant z= 1 ergeben. Urn
dies Verhalten wiederzugeben, dazu eignet sich eine Potenzreihe schlecht. Wir setzen deswegen:
z = 1 + (c,, - 1 ) . e - y ,
(20)
wo y eine Funktion von ist, die fur = 0 ebenfalls Null
wird, aber fur einigermafien groBe Werte grofle Betrage annimmt. F a r kleine Werte
kannen wir y wieder in eine
Potenzreihe entwickeln
(21)
~=a,.l+a,.l~+a~.%'+a,.E(.
Setzt man dies in (20) ein und entwickelt nun I in eine
Potenzreihe nach & so kann man durch Vergleichung mit der
ursprunglichen Potenzreihe fur z eine Anzahl Gleichungen gewinnen, aus denen sich die Koeffizienten a durch die c ausdriicken lassen. Es sind das folgende Gleichungen:
I
a4 = &.a:
- +a: aa + +a: + a, as - c, - 1
-'
c4
F u r Luft bekommt man so tluf der negativen Seite:
y = 1,30.8
+ 0,284 .ga + 0,053'7.8' - 0,0225
.E4,
auf der positiven Seite:
y = 1,70. E
+ 0,433. lj' + 0,065.%'- 0,027. E4.
Elektrischcr Strom in ionisierter Luft etc.
869
Da schon fiir 8 = 1 der Wert von e-y recht klein ist,
erkennt man, d a p man mit den ersten beiden Gliedern der
Reihe fur y immer vollig auskommt. Man hat also f u r kleine E:
80
y=u1t+aa*Ea*
4. Daraus folgt nun eine sehr einfache Darstellung von y
fur groBe l. Setzt man namlich in die Differentialgleichung (6)
fur t den Ausdruck (20) ein, so bekommt man folgende Oleichung fur y:
2%
(23) ~ " - y ' ~ +
-i-P.y'+-
22
= (co-1).e-Y.
1st nun l so grog, daf3 (c, - 1 ) . e - ~schon klein gegen 1
ist, so setzen wir in erster Naherung die rechte Seite gleich
Null und bekommen:
Diese Gleichung la& sich nach bekannten Methoden leicht
einmal integrieren. Wir wollen die beiden Wurzeln der algebraischen Gleichung:
bezeichnen mit q1 und q 2 :
11 =
%
+ 1 / 2 1 (1 - 2) +
%2
1 - %a
772
=
%
- I / 2 1 ( 1 - 2) +
7
:
,
1 - %2
Dann ist das erste Integral von (24):
Hier ist &, die Integrationskonstante.
Wenn wir nun ftr &, einen Wert annehmen wollten, der
von C in der naheren oder weiteren Nachbarschaft der positiven Platte erreicht wird, dann wiirde in etwas grijgerer Entfernung, z. B. schon fur l = & , 1, die e-Funktion in unserer
Formel sehr grog gegen 1 werden und wir wurden den Wert
bekommen y'= q 2 , also y = c q z . l. Nun ist aber laeine
negative GrbBe, es wurde also in grtigerer Entfernung, wo
+
+
870
G. Mie.
8 > Eo L nicht mehr gegen 1 naher und naher konvergieren,
sondern sich im Gegenteil davon entfernen. Dadurch ist nun
der Wert yon f o fiir unsere Zwecke genugend genau bestimmt.
E!r mug namlich so grog sein, daB er in dem ganzen Gebiet
zwischen den Platten immer gegen g uberwiegt. Die beiden
Exponentialausdrucke sind dann immer verschwindend klein
gegen 1 und wir bekommen so:
x
y’= q1 =:
+ pa ( 1 - +-.x =
%=)
1
- xe
Die UifferentiaZgleichung (23) liefert daiier bei yenugend
gropen werten von f u r y eine lineare Funktion:
x
+ 1/2 1 ( 1 1 - xe
XZ)
+
%=
Urn den Grad der Naherung dieser Formel zu prufen,
wollen wir noch eine zweite Naherung fur das Integral von (23)
berechnen, indem wir setzen:
y = b,
+ b 1 t + b,
.e-y
und nun alle Grogen von der Ordnung e - y stehen lassen,
wahrend wir die Glieder von der Ordnung e - a y und die haheren
streichen. D a m ist namlich:
y’ = b , + b , . y ’ . e - Y = b l
+b,b,.e-~,
+ 2 6 ; . 6 , . C-Y,
y” = b, . b, . y ’ .e - = b; . 6, . e- .
,1/” = b:
y
Eingesetzt in (23) ergibt das fur b, die Gleichung:
Man bekommt also :
(2 I
(26)
- 1). b, . (1 - x’)
2 A . ( 3 b , .(l
-xxe)-2x)’
wo b, nach (25) zu berechnen ist.
871
Blehtrischer Strom in ioizisierter Luft etc.
N?r habeia jetrt noch 6, zu bestimmen. Das geschieht durch
die Bedingung, daB fir einen Wert = El, der so grog ist,
daS (co - 1).e - y schon klein ist gegen 1, aber doch auch noch
klein genug, da5 man y nnch der Potenzreihe (21) berechnen
darf, und zwar nur mit den beiden ersten Gliedern, da5 fur
diesen Wert .& die beiden Entwickelungen von y selbst und
ihre ersten Ableitungen noch iibereinstimmen:
'
Q,
&
+
a2 *
g = 6,
+ 2 n B .t1 = b, .
+4
El
1
Der Wert, fur den diese beiden Bedingungen allein genau erfUllt sein konnen , ist :
(27)
Und es ergibt sich daraus:
(28)
Entwickelung flir grol3e 5
Entwickelung fiir kleine f
zweigliedrig
neg. Y
Seite y'
POS.
Y
Scite y'
I
4,08
2,52
3,11
2,88
1
I
___
viergliedrig
-
_._
~~
4,16
2,37
2,97
1
j
1~
__-
erste Naherung zweite Nlherung
4,08
2,52
4,l 1
2,45
3,11
3,16
2,875
2,74
872
G. M e .
fiir sie nicht ungefahr dieselbe Annaherung mit unseren Formeln
erreicht wurde.
5. Wir konnen bei schwachen Stromen das Feld in den
Gasen also nach folgenden Formeln berechnen:
co = c . ( l
+ a),
d
__
c =1 A-1
a.(,-.---I - %
1
a1 =
c -2 1
22
(1
+x)
(Go
1
as
-
(1
x
+ + = ) = - 1 1,
- 1) '
-. (-
+ x ) (co - 1)
+ V21(11 - xe
22
(1
x9)
+x)
(Go
- 1)
$
7 6,=1
- --)
1
-x '
1
(b,
-
aJ
4%
l
Die beiden Entwickelungen von y treffen zusammen in
dem Punkte:
&==.
bl - a1
(30)
2%
Diese Stelle kann man als die bezeichnen, die das ungefhhr homogene Mittelfeld von dem stark variierenden Feld
in der Nahe der Platten abgrenzt.
6. Wir wollen nun gleich die Frage beantworten, wo die
Feldstarke ihr iiuperstes Minimum esreiche. Es ist das zugleich
die Stelle, wo die raumliche Dichte der elektrischen Ladungen
genau gleich Null wird.
Elektrischer Strom in ionisierter Luft etc.
873
Wir setzen also:
__
dn
- - ~ ~ . ( c o A - l ) . e- - Y A + y / k . ( c o K -
l).e
-
YK =
0
d5
!/.4
= bOA
+
hlA-g,
?/K=
bOK
JM
f n ' K ( 2 - r -6).
Es mijge nun
.z der Abstand eines Punktes von der Mittelebene des Kondensators sein, gemessen in der Richtung des
Stromes, also:
Fur den Abstand xg des Punktes, in den1 die Feldstarke
ihr Xinimum hat, yon der Mittelebene erhalten wir nun die
5- - 0,066 - 0,181 *-. J
A
JM
Der Punkt liegt also der Mitle sehr nahe, aber etwas nach der
Anode hin.
7. Urn das Potential zu berechnen, mussen wir zuerst eine
finden. I n dem mittleren Felde,
bequeme Entwickelung fiir
wo y A und y K beide sehr groS sind, gilt jedenfalls sehr genau:
1;
(32)
-
fz-=l+i(cgg-
I).e-YK++(~O~-l).e
I n der Nahe der Elektroden bekommen wir, wenn wir aus der
Potenzreihe fur z die Wurzel ausziehen:
Annalon der Physik. IV. Folge.
13.
57
G. Mie.
874
Dafur kijnnen wir auch schreibeii:
-
fF= 1 + Q(c,, - l ) . e - Y ,
3 = uo a1 . t u a . t a ,
+
Die Rurven
+
-
y = " o + ~ , t + ~ z . t 2 ,y=b,+b,t
schneiden sich in diesem Fallc in den beiden Punkten:
Sie verlaufen aber zwischen diesen beiden Schnittpunkten so
iiahe nebensinander, d2tB e3 bei er Berechnung von
keinen
merkbaren Unterschied macht, ob man die eine oder die andere
E'ormel fur y nimmt. Wir wollen als den Grenzpunkt zwischen
beiden Formeln den mittleren Punkt zwischen den beiden
Schnittpunkten nehmen :
(35)
Der Unterschied der beiden verschieden berechneten Werte
von y an dieser Stelle ist:
Setzt man die Zahlenwerte f u r Luft ein, so bekommt man
a n der Kathode:
5 = 0,825 0,89. + 0,261. E2,
+
y = - 1,32 + 2 , 5 2 . t ,
l1 = 3,12,
-
(y - j ) l = 0,59, y1 = 6,55, y1 = 5,96.
Eiektrischer Strom in ionisierter Luft etc.
Die beiden verschieden berechneten Werte von fi sind fur
1,0046 und 1,0085,
an der Siiode:
ij = 0,453 + 1,25. E 0,45. E2,
y = - 0,80 + 2,875. E ,
,& = 1,805,
(y - g)l = 0,21 , y1 = 4,40> ijl = 4919
875
,& :
+
-
1;
Die beiden verscliieden berechneten Werte von
sind:
1,012 und 1,015.
BEtide Male haben wir also an der Stelle &, wo die Abweichung beider Werte nahezu die grbgte ist, nur Unterschiede
von wenigon Promille.
Wir bilden nun, von der Anode ausgehend:
135)
Wir fiihren die Integration zunachst in dem Gebiet Bus,
wo y = cco ccl & cllz gz zu setzen ist. Zu dem Zweck fiihren
wir folgenden Ausdruck ein:
+
(38)
+
91
=
Dann ist natnlich:
G*t+ a
,
2 VG
= ___
2
'VJaB
7
.
Dadurch wird das Integral zuruckgefuhrt auf die bekannte
Funktion :
I
0
e - 7'. d r/
=
.
(71)
Fur dieso Funktion gibt es Tabellen in den Lehrbuchern
der Wahrschein1ichkeitsrechnung.l)
1) z. I3. A. b.1ey e r , Vorle3ungen uber Wahrscheinlichkeitsrechllullg
p. 545. Leipzig 1879.
51 *
876
G. Mie.
Man kann ihre Werte aber auch leicht berechnen und
zwar fur Werte von 91, die zwischen 0 und etwa 1,4 Iiegen,
aus folgender Potenzentwickelung :
(39)
Ip((r/)= q . (1 -
$)+ f. (+-
;I.(+-&).
2
21 ) + -
Fur grodere Werte 71 nach einer semikonvergenten Reihe :
Besonders zu bemerken ist der Wert ~ ( m=)vR/2.
Wir bekommen so in der Nahe der Anode:
X
wo ctl, ctz, q , lo (vgl. Formel (38)) alle fur die -4nodenseite
zu berechnen sind.
In etwas graderer Entfernung berechnen wir 4 nach (40),
und zwar werden wir bei geniigend groBen Werten von q den
Faktor des zweiten Gliedes einfach gleich 1 setzen. Das gilt
z. B. an der Stelle El, wo der Giiltigkeitsbereich des linearen
Ausdruckes fur y beginnt. Wir fuhren noch folgende Abkiirzung ein:
Dann ergibt sich:
4
Ich betrachte die beiden wenig voneinander abweichenden
Werte y, und j 1 einfach als identisch. Setzen wir nun fur
die Werte g > & :y = b, b, .%,dann ergibt die weitere Fortsetzung der Integration:
e
+
87 7
Elehtrischer Strom in ionisierter Luft etc.
und wir bekommen nun in dem mittleren Gebiet des Feldes:
b T . d z =x
1
+ __
A . J [cA- - . e
COA-
2blA
JH
(43)
-Y*
+
‘OK-
-’K\
blK
1‘
Gehen wir weiter iiber den Punkt llKin das Gebiet der
Kathode hinein, so bekommen wir durch sehr einfache Rechnungen :
Ib-z.dx
(44)
=Z
B J
+A
JM
~
.
V G - 1
C, + CK - --.
v.2
A
e *az.
(v
(91)
- VJ(vo9] *
In dieser Formel sind (im Gegensatz zu (41)) die Gro8en
4 , uz, q, qo fur die Kathodenseite zu berechnen.
Speziell bekommen wir, wenn wir ganz bis zur Kathode
gehen, also x = 2 A , 11 = qo setzen:
24
2
0
Weil nun die Feldstarke E= R.J . fg//28, so bekommen
wir aus den Formeln (41)bis (44) die Potentiale, von der Anode
a b gerechnet, wenn wir einfach mit R J / 2 A multiplizieren.
Als die ganze elektrische Spannung zwischen den beiden
Elektroden bekommen wir:
.
(45)
wo CA und C, nach (42) zu berechnen sind.
Biese Gleichung ( 4 5 ) stellt die Abhanyigkeit zwischen Stromstarke und Spannung 6ei schwachen Strb’men dar.
F u r Luft liefert z. B. (42):
C,
= 0,68, C K = 1,40.
8 78
G. Mie.
Wenn also der Strom J k Proz. des Yattigungsstromes
ist, so betragt die Abweichung vom Ohmschen Gesetz auch
ungefhhr k Proz., d. h. der Widerstand der Luftschicht wird
um k Proz. groBer gefunden, als bei unendlich schmachem Strom.
+
8. “ir wollen annehmen, die eine Platte sei avf’ @/2,
die andere
@/2 geladen, uiid wollen uns fiagen, arb welcher
Stelle dann der b’uilpunkt des Potentials liegen wird.
-
Wir wollen bei der Berechnung die beiden Exponentialausdriicke in (43), die jedenfalls auBerst klein sind gegen CA,
vernachlassigen, und nun den so abgekurzten Ausdruck gleichsetzen mit
Wir haben damit eine einfache Gleichung flir die X-KOordinate des gesuchten Punktes und erhalten, indem wir sie
mit x1 bezeichnen :
2
Jedenfalls liegt also der Punkt sehr nahe der Mitte zwischen
beiden Platten. Wir wollen nun, wie wir es bei einem ahnlichen Problem (Formel (31)) taten, auch hier 5 von der Mitte
abrechnen und setzen Zo = zI- A. Dann haben wir:
146)
bei unendlich kleinem Strom liegt der Ntillpunkt des Potentials
genau in der Mitte.
Fiir Luft ist z. B.:
2
- = 0 , 3 6 . - .J
JM
Mit wachsender Stronistarhe ruekt der Punkt etwas nach
der Kathode hin.
Fast gesiittigte Striime.
9. Die bisherigen Formeln (besonders die fundamentale
Formel (17)) gelten nur unter der Voraussetzung, daB in der
Elektrischer Strom in ionisierter Luft etc.
87 9
mittleren Gegend, wo d z l d t = 0 ist, z den Wert 1 wenigstens
sehr nahezu erreicht.
Physikalisch bedeutet dies, daB im mittleren Felde der
lonengehalt des Gases durch den Strom noch nicht geandert
wird. Wir haben nun gesehen, dab die beiden Werte El, wie
sie aus (27) zu berechnen sind, ungefar die Grenzen angeben,
wo das fast homogene Mittelfeld an die stark variablen Randfelder angrenzt. Solange ElA + EIK 2 JM IJ, gelten deswegen
die bisher entwickelten Formeln, denn solange ist noch Raum
fiir das homogene Mittelfeld da.
F u r Luft ist tla + ElK = 3,5; also gelten die Formeln.
fur schwachen Strom noch etwa bis zur Stromstarke 5=0,57 JM.
Wollcn wir nun auch fur fast gesattigte Strome eins
Potenzreihe fur z aufstellen, so erhebt sich nun genau dieselbe
Schwierigkeit, die sich der Berechnung bei den schwachen
Stromen entgegenstellte, nufs neue : namlich das konstante
Glied co zu berechnen, und wir miissen einen Weg suchen,
um ihrer Herr zu werden.
Eine Vereinfachung des Problems ware es auch hicr,
wenn x = 0 ware. Dann muBte namlich die z-Kurve symmetrisch,
zur Mittelebene des Kondensators verlaufen, z liege sich als
Potenzreihe der folgenden Variablen darstellen:
s
Hier ist x von der Mittellinie ab zu rechnen.
1st x von Null verschieden, so mu6 noch eine ungerads
Funktion von x hinzugefiigt werden. Nun ist:
Die Koeffizienten von z2 enthalten alle den Faktor x.
880
G. Mie.
Ferner fuhren wir fur eine Reihe oft vorkommender Ausdrucke Abkiirzungen ein, wir setzen:
JM- J
-0
4 C2.a2 (49)
'
1
a1 = u 1 ,
1 2 C 2 . a g - Gu2=u,,
24 C2. u4 - 15 U, = a,,
2C2*b1--o=pob,
4C2.62-3bbl=191,
G C 2 . 6, - 5 b, = p, ,
Die Anfangsbcdingungen (vgl. Formel 8):
22
1--x
ergebcn nun nach einer gitnz einfachen Rechnung:
Wenn wir einen dieser Anfangswerte in die Differentialgleichung (6) oinsetzen, so bekommt man (wie in Formel 19)
den entsprechenden hnfangswert von d2 z / d E2 :
Nach einer einfachen Xechnung gibt das:
Wir wollen nun deiter (47) in die Differentialgleichung (6)
einsetzen, woboi wir der Kurve wegen die Ableitungen von z1
und zg nach y durch
zl",
z2') z,"
bezeichnen. Wir bekommen dann auf der linken Seite die Summe einer geraden
uiid einer ungeraden Funktion von x, die natiirlich beide einzeln
glcich Null sein miissen. Wir haben also zwei Differential-
Elektrischer Strom in ionisierter Luft etc.
881
gleichungen fur die beiden unbekannten Funktionen z1 und zz
und zwar:
\YO
<,
= 2 . (Cz
- T i ) . z2’-
z2
und
wo, wie vorher:
CZ = 2.(CZ-
+z;z2.
Setzt man in diese beiden Gleichungen die Reihenentwickelungen (48) mit mbestimmten Koeffizienten ein, und setzt nun
die Faktoren der einzelnen Potenzen von 17 gleich Null, so
gibt zunachst das konstante Glied, wenn man (51) und (52)
beobachtet, eine Identitat, was j a von vornherein zu erwarten
war. Die Glieder mit der ersten und der zweiten Potenz von
liefern:
(
I
I
uo.u,+4c~.10.2p~-~~=o,
a,.2p,
+ b,.u, = 0 ,
22-1
3 . a , . p 3 +22-.a,
.2p,
+ b,.u, + b, .u, = 0.
Die hijheren Potenzen liefern ahnliche Gleichungen, die
immer langer werden, je mehr der Grad der Potenz steigt.
J e mehr solche Gleichungen man nimmt, UM so genauer kann
man auch die ersten Koeffizienten, vor allem a, und b, berechnen. Wir begnugen uns mit der Naherung, die wir aus
deli vier Gleichungen (55) gewinnen konnen. Um diese Naherung zu bekommen, bedenken wir, daB mit wachsender Feldstarke die Abweichungen von der Homogenitit immer kleiner
882
G . Mie.
werden. Um so mehr nbhert sich nun aber gleichzeitig
Q = (JM- J)/JM der Null. Also mu6 a, niedrigere Potenzen
von e enthalten, als alle anderen Koeffizienten, und zwar sogar
negative, weil die Feldstiirke, und demnach auch t, schlieblich
uber alle Grenzen wachst. Es la6t sich nun leicht sehen, da8
der folgende Ansatz dieser Bedingung und zugleich den Bedingungen (5 l), (52) geniigt:
5,
a, = +yo +Z,.!)
e
+
a3 = x 3 ' p a + y 3 . Q 3 +
a,=x,.ea+
+
+
" ' 9
...,
...
x
60 = A%p
A
11,. Q2
vo ' Q 3
+ wo Q4 +
*
*
=k!r."o.l'~+-.
- @I* vo. + (1 - .
b
Q3
1
2
e)Z
*,
W0.P4+.
..,
2
b, = % ( I - ~ ) ~ . u ~ . @ + + .-(~l ~ ) 4 . v ) 0 ~ 3 + ~ ( l - ~ ~ ) 4 ...,
w0~4+.
+ v 3 .e4 + . . .,
...
Die x, y, 2,. . . u, v , w . . . sollen in diesen Formeln Zahlen
bedeuten, deren Wert nur noch von il und x abhangt, ferner
ist stets gesetzt: C = 1/(l - Q) (vgl. 49).
6, = u s . o3
b4=u4.O4+
Setzt man weiter diese Ausdriicke (56) in die Gleichungen
(55) ein, so sieht man, wenn man die einzelnen Potenzen von Q
gleich Null setzt, daB sie gerade ausreichen, um in den a alle
Glieder bis zum Grade q2 inklusive (au6er in a,, wo man nur
die beiden ersten Glieder gewinnt) in den 6 bis zu p 3 inklusive
zu berechnen, und daB man durch Hinzufiigung der folgenden
beiden Gleichungen (Faktoren von q3 in (53), (54)) gerade die
Glieder vom nachsthoheren Grade in g gewinnen miiBte, und
so fort.
Urn ganz exakt zu verfahren, mii6te man nun auch noch
beweisen, daB die so gewonnenen Reihenentwickelungen fiir
die Koeffizienten a und b konvergent sind, dann mare es aut3er
Eiektrischer Strom in ionisierter Luft etc.
883
allem Zweifel, daB man so die richtige, und zwar die einzige
Losung gewonnen h8tte. Ich habe mich hiermit nicht abgegeben, weil es mir gar zu weit zu fiihren schien, ich habe
mich aber uberzeugt, daB in dem Falle 3, = 2, x = 0 , in
welchem sich die Integration der Gleichung (6) durch Exponentialfunktionen ausfuhren IaBt, der eben beschriebene Weg
zur richtigen Losung fuhrt.
Man erhalt nach dem geschilderten Verfahren durch
ziemlich umstandliche Rechnuiigen:
v = - - . IS
la.x
__ . (4 (2 h 1) (1
350 (1 - Q)" (1 x 2 )
3 . (1 - @)* 1% x
A.
( 6 . (2 a 1) ( L - ~ ~ )
u3 =
112
1-%%
-
-
0
-
.
- g) - 3),
- 1).
Lassen wir die Glieder mit p3, die wir j a doch nur teilweise gefunden haben, einfach weg, so bekommen wir :
I
I
i
+ -.
4
e
-
1-9
(1 - Axzp )
Yi-2
ips
+ ---.--.
20
1-Q
xp
(1 - 81)
+ #. (1 -
$)2)
I).
x von der Mittelebene aus gerechnet, im Sinne des positiven
Stromes.
Bamit ist die rlufgabe uuch f u r fast gesatligten Strom geliist.
f n diesem Ausdruck fur z hat das konstante Qlied einen
geringeren Grad von Genauigkeit als die anderen, fur die wir
noch die Summanden mit g und p2 gewonnen haben, w8hrend
wir sie im konstanten Glied unbekannt lassen mufiten.
Wenn wir also nur z selbst und nicht die Ableitungen
berechnen wollen, dann nehmen wir besser folgende abgekiirzte
G. M e .
884
Formel, in der alle Glieder denselben Grad von Genauigkeit
haben :
10. Wollen wir die freien Ladungen berechnen, so haben
wir zu bilden 1I
f.. d z l d x , und wir werden zur Ausrechnung
von d z / d x die Formel (57) nehmen. Wir wollen hier speziell
nur die Stelle suchen, wo das Peld sein Minimum hat und die
fieien Ladungen also verschwinden. Wir nennen, wie oben (6.1,
die Koordinate des gesuchten Punktes xo, und finden aus
d z l d x = 0 dafiir die Gleichung:
Daraus ergibt sich in erster Naherung:
4A
-x.
Setzt man diesen Wert in die Korrektionsglieder ein, so
bekommt man leicht eioe zweite und dritte Naherung. Da x z
gegen 1 sehr klein ist, so kann man einfach rechnen:
m,=A
2 0 . (1
20 -30 p
- @)
-!
- (9 I - 6)pp * x .
- x o l A geht also von grofieren Werten her gegen x . Vergleicht man dies Resultat mit dem der Formel (31), so sieht
man, daB
x , / A bsi einer mittleren Stromstarke ein Maximum haben mu8.
Fur Luft ist:
XLl
2 0 . ( 1 - p)
-- - 0 , 1 6 .
'
-
- 30 p - 26 g2
Um den Verlauf der Funktion z schneller zu tibersehen,
20
wird man gut tun ihre Werte an den heiden Elelltroden selbst:
zg, z A und an der Stelle xo des Minimums: z,, zu berechnen.
Die Formel (58) ergibt:
Elektrischer Strom in ionisierter Liift etc.
885
Stellt man die Punktion z graphisch dar, so liegt die Kurve
an ihrer tiefsten Stelle xo um A/(! - 0 ) unter der qeraden Yerbindungslinie ihrer Endpunkte.
In Luft haben wir:
zo = -.($(),-'1,026
1,33).
1-Q
11. Urn das Potential zu finden, stellen wir eine Formel fur
1/Zauf7 indem wir nach der gewohnlichen Methode die Quadratwurzel nus der Reihe (58) ausziehen und gleich alle hoheren
Potenzen von Q streichen.
Wir erhalten so:
I f S
.(- 3--2c-+ -2-.-
32x
.(1 +()
x
A
3 2 x2
+
T'z))*
Wir bilden nun :
(62){ 0
1
.x.(l+,.(--To- 3 1 c s
31%
+ -.4
Ax
$2
%1* F
))*
Da E = R . J . 1 / T / 2 A 7so haben wir den Ausdruck (62)
einfach mit €2. J / 2 A zu multiplizieren, urn das Potential an
einer Stelle x, uon der Nittelebene ab gerechnet, zu finden.
Setzt man speziell x = A und x = - A , und subtrahiert, so bekommt man die gesamte Spannung zwischen den
beiden Elektroden. Wir wollen in den so gefundenen Wert
gleich fur p einsetzen: J a a - J / J H und bekommen:
+
- ---.
10
(1 -
5)).
Diese Gleichuny (63) enthaZt die Bbhangigkeit zwischen
Spannung und Etromstarke f u r fast gesattigte Strome.
J. J. T h o m s o n hat unter der Annahme, daB das elektrische Feld und die Dichtigkeit der Ionen in dem ganzen
886
G . Mie.
Raum zwischen den Kondensatorplatten konstant seien, eine
Formel l) hergeleitet, die die A bhangigkeit zwischen Spannung
und Stromstarke sowohl fiir schwache als auch fur fast gesattigte Strome wiedergeben soll. In den von mir benutzten
Zeichen lautet diese Formel:
Bei genaueren Rechnungen muB diese Formel also durch
(45) und (63) ersetzt werden.
Fur Luft gibt (63), da 4 - h / 1 0 sehr klein wird:
!€J=0,828.R.
---.
iTT1
- J/J,
12. Wir konnen nun auch, wie bei den schwachen Stromen,
berechnen, in welchem Abstande ?., von der Mittelebene das Potential Null iuird, wenn man die Platten auf entgegengesetzt gleiche
Potentiale Eadt. Die Rechnung gibt:
In erster Annaherung ist also:
Da wir nun alle Glieder mit $ gegen 1 streichen,
kominen wir mit geniigender Genauigkeit :
80
be-
Der Punkt liegt also auf der Kathodenseite, riickt aber
mit wachsender Stromstarke in die Mitte (wo er nach (46)
auch bei sehr schwachen Stromen liegt).
Fur Luft ist:
1) J. J. Thomson, Die Entlsduog der Elektrizitlt durch Gaae.
(Deutsch von Dr. P. Ewers) p. 27. Leipzig 1900.
887
Elelitriseher Strom in ionisierter J u f t etc.
Yielleicht kann man durch BeoBacAtungen an fast gesattigteii
Stromen die Beiden Gropen h , x , von denen der Charakter des
Feldes allein abhangt, direht bestimmen, du sie in die Formeln
fur sie ziemlich einfach eintreten.
Zusammenfaseung der Resultate.
13. Ich gebe nun noch eine kurze Ubersicht uber die
gewonnenen Formeln, indem ich sie fur den Spezialfall Luft
zugleich durch Kurven anschaulich mache.
\
z,74
i
I
I
I
I
I
0
zG&w&
Fig. 3.
I
I
I
I
a
0
de
0,l
0,2
4.3
0,P
0-r
0,6 0.7
0,s
<
I
03
&
Fig. 4.
Die Stromstarken gebe ich dabei an als Bruchteile der maxinialen Stromstarke, also 1/5 heiSt '/,JM.
1. Die Fig. 3 gibt fur mehrere Stromstarken den FerZuuf
der Grope
zwischen den beiden Elektroden. F u r die Strom-
1;
888
G . Mie.
stiirken
2/5, 3/5 habe ich z nach (29) berechnet fur 415nnd
nach (58), und nachtraglich die Wurzeln ausgezogen. Aus
diesen Kurven bekommt man ohne weiteres den Verlauf des
elektrischen Feldes, da j a E = R . J . fZ/2 A.
-
Fig. 5 .
2. Speziell die E n d w e r t e v G und v z a 7 l den Elehtroden und
der Minimalwert
sind in Fig. 4 als Funktionen der Stromstiirke dargestellt. F u r schwache Strome ist konstant:
fi
yZA=l/coa, IT=&, I/to=1,
fur starke ist (61) benutzt.
Blektrischer StTom i?i ionisierter h i f t etc.
889
3. Der Abstand der beiden Punkte, wo das Potential iVull
ist (ZY I- 0) und wo die freie Ladung Bull ist ( E = Minimum),
von der Mittelebene ist als Funktion der Stromstarke nach
(31), (60) und nach (46), (65) berechnet und in Fig. 5 aufgezeichnet.
4. Die Ahhangigkeit der htromstarke uon der Spannung ist
nach (45) und (63) berechnet und in Fig. 6 durch die ausgezogene Linie dargestellt. Zum Vergleich ist die Abhangigkeit,
die die Thomsonsche Formel (64) ergeben wurde, als schraffierte
Kurve eingetragen. Die gerade Linie, die diese Kurven im
Nullpunkt beriihrt, bezeichnet die Abhangigkeit, die sich ergeben wiirde, wenn rlas Ohmsche Gesetz galte.
G r e i f s w a l d , Januar 1904.
(Eingegangen 23. Januar 1904.)
Anndea der Pbysik. IV.Folge. 13.
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