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Der Energie-Impulstensor in der von Laue-Londonschen Elektrodynamik des Supraleiters.

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Der Energie-Impulstensor in der von Laue-Londonschen
Elektrodynamik des Supraleiters
Von Gerhard U . Xchubert
M a x v. L a u e zum 7'0. Geburtstag gewidmet
InhaItsiibersicht
Die Erhaltungssatze fur Impuls und Energie der v. L a u e schen Elektrodynamik
des ruhenden Supraleiters lassen sich in eine Beziehung zwischen L o r e n t z invarianten Gro13en zusammenfassen. Es wird ein Ansatz fur die Kraftdichte im
Supraleiter gemacht, der eine Herleitung aus einem Energie-Impulstensor gestattet.
1. Einleitung
Vor einiger Zeit haben K i k o i n und G u b a r l ) bei Supraleitern einen gyromagnetischen Effekt gefunden. Eine unter den Sprungpunkt abgekuhlte Kugel
aus reinstem Blei hing an eiiiem Torsionsfaden in einem zuni Faden parallelen
homogenen Magnetfeld. Beim Umschalten des Feldes erhielt die Kugel einen
Drehimpuls. Zu seiner Berechnung setzten K i k o i n und G u b a r in der Formel
fur den E i n s t e i n - d e Haas-Effekt die Permeabilitat , ~ i= 0, wobei sie sich auf
den vollstandigen Diamagnetismus des Supraleiters beriefen. Ein solches Verfahren entspricht aber bekanntlich grundsatzlich selbst bei einfach zusammenhangenden Korpern nicht dem wahren Sachverhalt. Gegen die Theorie von
K i k o i n und G u b a r ist ferner einzuwenden, da13 der E i n s t e i n - d e Haas-Effekt
auf den magnetomechanischen Eigenschaften der atomaren magnetischen Dipole
beruht, wahrend der gyromagnetische Effekt bei Supraleitern durch die makroskopischen Abschirmstrome oerursacht wird. Meissner 2, hat daher eine Berechnung des Effektes nach der v. Laueschen Theorie durchgefuhrt und dabei
einmal auf Vorzeichen unsicherheiten bei K i k o i n und G u b a r hingewieseii und
zum anderen eine Formel abgeleitet, die fur Kugeln beliebigen Durchmessers
gilt. Dabei hat Meissner angenommen, da13 der von v. L a u e eingefuhrte Suprastromimpuls3) ebenso wirkt, wie der dem Poyntingschen Vektor entsprechende
elektromagnetische Impuls. Bekanntlich erhalt man in der gewohnlichen Elektrodynamik die Kraftdichte (Lorentz-Kraft) nur dann richtig, wenn man die zeitliche Bnderung des elektromagnetischeii Impulses von der (raumlichen) Divergenz
des Maxwellschen Spannungstensors abzieht. l e i 1 die Lorentz-Kraftdichte der
I. K. Kikoin u. S. W. G u b a r , J . Physics U.S.S.R. 3,333 (1940).
W. Meissner, Vortrag auf der internationalen Physikertagung in Zurich am 6. Juli
1948 u. Ber. Bayer. &ad. Wiss. 1948, S. 321.
3) M. v. Laue, Ann. Physik.(5) 42, 65 (1942) oder Theorie der Supraleitung, BerIin
11. Giittingen 1947, S. 82.
11*
1)
2)
164
Annalen der Physik. 6. Folge. Band 6. 1949
raumliche Anteil eines Vierervektors ist, der sich aus einem relativistisch-invarianten
Energie-Impulstensor ableiten IaSt, erhebt sich die Rage, ob auch zur Kraftdichte im
Supraleiter eiii Energie-Impulstensor existiert. DaS dies zutreffend ist, sol1 im
folgenden gezeigt werden .
2. Die v. Laueschen Gleichungen fur den ruhenden Supraleifer
Ich verwende das sog. rationelle (technische) MaSsystem, weil es fur die L o rentz-invariante Schreibweise der Elektrodynamik besonders gut geeignet ist,
mie S o m m e r f e l d besonders betont hat. Die relative Dielektrizitatskonstante
und die relative Permeabilitat des Supraleiters seieri gleich 1 gesetzt. Die GroBen
G, %, 23 und @ haben die iibliche Bedeutung. Die Dielektrizitatskonstante und
die Permeabilitat des Vakuums sind
Zwischen ihnen und der Lichtgeschwindigkeit besteht die Beziehung
1
&OPo=?.
Die Ohmsche Stromdichte sei 3 0 , die Suprastromdichte S, eo und el seien die
entsprechenden Ladungsdichten. Die v. L a u eschen Gleichungen lauten :
ca
r o t @ = = = 3 ° + s zct
+
div 5l = QO
3%
at
(1)
+ pz
(3)
(5)
FS,=Fo@
y + d i v P =O
(2)
div 23
(4)
=0
%=Po@
(7)
= cr E (Ohmsches Gesetz)
at
rot @ = ---
+
(6)
31
:
a@' div = 0
dt
a
t (A31) = Q
(Londonsche Beziehungen)
(8)
(9)
(10)
rot (Asz)= - 23
(11)
Dabei ist cr die elektrische Leitfahigkeit, uber deren Verlauf unterhalb des Sprungpunktes noch wenig bekannt ist, und VAKdie Eindringtiefe, die eine Temperaturfunktion ist, also raumlich und zeitlich veranderlich sein kann.
Aus den Grundgleichungen hat v. L a u e die Erhaltungssatze fiir Impuls und
Energie abgeleitet :
a) Irnpulssatz
1 8
Div ( G X - G ~ ) - 2
OM
[E, @] -
a
(A pzsz)= Q" @
+ [p,931-;r1sz2Grad 1
(12)
ist der Tensor der Maxwellschen Spannungen:
(w),
=
,a,B, + 0,E, - 4 (53,B) - 3 (3,
E)
(crM),y
=H,
+
B, D y E,
usw.
4, A . Sommerfeld, Vorlesungen iiber theoretische Physik, Bd. 3, Elektrodynamik.
Wiesbsden 1948.
-
G . U.Schubert :Energie-Impulstenscwin der uon Law-LondonschenElektrodynamik
165
oL ist der Tensor der Londonschen Spannungen:
(G&
(%)XY
= il3
:
- & I sa
ez e
l
usw.
= I 4,3y
s. Wegen des
Der eingangs erwahnte Suprastromimpuls ist 'I
grad ilsiehe eine weitere Arbeit von V. L a u e
b) Energiesatz :
div CE, 81
+ ;a.t3i ((G,6)+ (%, b) + il3za1= - (P,
0)- 3 sa
1
Gliedes 4
37:
*
%z*
(13)
Zur Energiedichte des elektromagnetischen Feldes tritt eine Energie des SupraBei Temperaturanderungen spielt neben der Jouleschen Warme
stromes & I
1
31
das GliedT$za eine Rolle. Dies bedarf jedoch noch weiterer vor allem experimenteller Untersuchungen.
aZa.
3. Die relativistisehe Formulierung der v. Laueschen Gleichungen
v. L a u e hat seinerzeit eine Lor e n t z -invariante Schreibweise der Gleichungen
(1) bis (11) angegeben. Um die Formeln in den rationellen Einheiten wiederzugeben, halte ich mich an die Sommerfeldsche (1. c.) Bezeichnungsweise.
f=
(
(
0
H , -H, - i c D ,
-Hz
0
Hx - i c D ,
H , -H,
0 -icD,
icDx i c D , icB,
0
1
=(Q,-iC%)
(14)
ist der Sechservektor (antisymmetrische Tensor) der Erregung.
F=
0
cB, -cB, -iE,
0
C B X -iE,
c B , -cB, 0 - i E ,
iEx iE, i E , 0
--c&
i
=(cB,-i($)
(15)
ist der Sechservektor des Feldes.
Durch die Vorschrift Fgl = Pm (k, I, m, n gerade Permutation der Indizes
1, 2, 3, 4) wird der zu F d u a l e Sechservektor defineirt.
Zwischen den Sechservektoren f und F besteht die einfache Beziehung
-
vG/To-.m 377 Q wird
Wellenwiderst,and des Vakuums genannt.
Wenn D die Geschwindigkeit des Supraleiters relativ zu dem betrachteten
Koordinatensystem ist, dann ist die Vierergeschwindigkeit gegeben durch
5)
M. v. L a u e , Ann. Physik 43, 223 (1943).
166
Annalen der Physik. 6. Folge. Band 6. 1949
Daneben mussen noch die Viererleitungm betrachtet werden, deren 4. Komponente im Ruhsystem verschwindet 6, :
A092 =
1
p J+ C2 Y ( Y ,p l ) .
(19% b)
Ohhe den Begriff der Viererleitung kijnnen. dasQhmsche Gesetz und die Lon donschen Gleichungen nicht Lorentz-invariant geschrieben werden. Die v.
Laueschen Gleichungen (1) bis (11) heil3en jetzt:
Bib f
= To
+ Tt
DivP=0
(22)
%%OF*= 0
Div.P = 0
(21)
(23)
A0
(24)
Rot (A A') = -F.
(25)
(20)
=a(.,.)
4. Energie-Impulstensor
Es sol1 gezeigt werden, daIj sich Impuls- und Energiegleichung in eine Beziehung
zwischen Loren tz-invarianten GroIjen zusammenfassen lassen. Multipliziert man
$
den Energiesatz (13) mit
durch, dann bildet die rechte Seite der so entstehenden
Gleichung den zeitlichen, die rechte Xeite des Impulssatzes (12) den raumlichen
Anteil eines Vierervektors, welcher der L orentz-Kraftdichte in der gewohnlichen
= pre1= 1 !) entspricht.
Elektrodynamik
1
K=-(I'
1
O,
F ) -T (Az,.P)Grad A.
(26)
Das erste Glied ist die Lorentz-Kraft fur den 0 hmschen Strommechanismus.
Dabei ist aber das elektromagnetische Feld nicht dasselbe wie im normalleitenden
Zustand, da es durch die GI. (25) mit dem Xuprastrommechanismus gekoppelt ist.
Dieser Ansatz fiir die Kraftdichte ist gerade derjenige, den man zur Theorie des
gyromagnetischen Effektes braucht. 4 (Az,P)Grad il ist nur bei Vorgangen mit
Temperaturanderung von Null verschieden. Eine experimentelle Bestatigung fur
die Notwendigkeit dieses Gliedes liegt noch nicht vor.
Die GI. (20) und (25) gestatten nun folgende Umformung der GI. (26):
K=-(T
O,
=1 (kib f , F )
C
1
F ) -(Az,P) Grad A =
2
1
(%b
1
1
f , F ) -;
( P F )-T ( A l , P )GradA
+ (Tz,Rot (A Az))-f (Az,P ) Grad 1.
(27)
6 , Zur Bezeichntlngsweise: Temoren werden mit lateinischen Btlchstaben geschrieben, z. B. f, Vektoren mit grol3en griechischen Buchstaben z.B. PO.
Produkte: ( A , r)=
2
A , r,
n
(r,f h = 2
r n fmn
n
(f, F ) = 4 2 f m n F m n
m, n
Differentialoperationen:(Brab A),
=
an , Div r = 2 arn
ar, - arm
-, (%totr)m,
=
axm
n axn
axm
ax,
(DDio f),
=
cn af,,
.
ax,
~
C . U . Schubert :Energie-Impuktenm in der von Laue-LondonschenElektrodynamik
167
Bekanntlich (vgl. Sommerfeld 1. c.) kann man unter Verwendung von (21)
1
- (Bib f , F)= Bib TM
(28)
schreiben, wobei T M die Komponenten
=-
1
' p T
fP
T
+
1
'
9 P
2
f r , 8 F,S
r, 8
(29)
besitzt '). T M ist der Energie-Impulstensor der gewohnlichen Elektrodynamik;
dem wir in leicht verstandlicher Xymbolik die Gestalt
geben konnen. uM ist der in Abschnitt 2 aufgetretene Maxwell-Tensor. Der Tensor
.TM ist symmetrisch.
Das zweite und dritte Glied der GI. (27) lassen sich ebenfalls als Divergenz eines
Tensors darstellen :
(F,Rot (1k))
- 3 (B,P ) Grad A = Bio T L
Ticl= d p , & l 2 A f r : -1AkTi.
(31)
(32)
T
Um die Richtigkeit dieser beiden Gleichungen zu beweisen, hat man lediglich
die Komponenten beider Seiten von (31) auszurechnen und zu vergleichen. Unter
Beachtung von (19b) und (23) fiihrt man alle Differentiationen und Summationen
aus. Die Rechnung ist ohne Problematik und braucht deshalb nicht wiedergegeben
zu werden.
I m Ruhsystem hat TLdie Form:
ist der (symmetrische) Londontensor (Abschnitt 2).
L
Tm4
m = 1 , 2 , 3 sind die Komponenten des v. Laueschen Suprastromimpulses,
Tf4 ist die Lon don sche Xuprastromenergiedichte. Bemerkenswert ist das
Ausfallen der GroIjen T4Lr/s(m = 1, 2,3), die,den Vektor (im Ortskoordinatenraum)
OL
der Energiestromung darstellen sollten. Dies hangt mit der Tatsache zusammen,
daIj es im Supraleiter stationare Strome gibt (Abschirmstrome, Dauerstrome),
die keiner Energiezufuhr bediirfen. Bekanntlich kommt es beim P o j . n t i n g .when Vektor auf die Divergenz an (Energiesatz) bzw. auf seine zeitliche Anderung
(Impulssatz).
Der Energie-Impulstensor der v. L a ue schen Elektrodynamik besitzt also
folgende Komponenten :
168
Annabn der Physik. 6.Folge. Band&
1949
I m Ruhsystem hat er die Gestalt:
1 7-[E,@]-icAQz3
f [E, 81 1 ; 9) + (e8) + 2”39)
uM-uL
T=(
-
i
(35)
(((5:
Der Teasor T ist unsymmetrisch, fuhrt also im allgemeinsten Fall zu Drehmomenten. DaS solche auftreten konnen, zeigt das Experiment von K i k o i n und
Gubar.
In der allgemeinen Feldmechanik leitet man Feldgleichungen aus L a g r a n g e Funktionen ah*). Dabei gilt auch fur den Drehimpuls ein Erhaltungssatz, was
symmetrische Energie-Impulstensoren liefert. Die Elektrodynamik des Xupraleiters
enthalt aber den energiedissipierenden 0 h m schen Strom. Deshalb gibt es zu den
v. Laueschen Gleichungen keine L a g r a n ge-Funktion.
Der 0 h msche Xtrom verschwindet im stationaren Zustand. Dann ist aber
ajat = 0 und der Xuprastromimpuls ist im Ruhsystem konstant; der raumliche
Teil aM--a&ist symmetrisch. Im bewegten System konnen auch hier schon Unsymmetrien auftreten, weil Geschwindigkeit und Impuls (t, und A,$ sl) nicht
dieselbe Richtung zu haben brauchen, eine Erscheinung, die auch die unrelativistische v. L a u e sche Theorie des anisotropen Supraleiters kennt ”.
Im instationaren Zustand ist der Energiestrom zwar ebenso wie i m Normalleiter durch den Poyntingschen Vektor gegeben, aber dieser unterscheidet sich
von dem Wert, der er im Normalleiter hatte, weil 6 und @ mit dem Xuprastrommechanismus gekoppelt sind . Wie sich diese Verknupfung der Strommechanismen
mittels des elektromagnetischen Peldes auswirkt, habe ich an anderer Stelle an
einem Beispiel ausgefuhrt lo).
Herrn Prof. Meissn e r danke ich herzlich fur die wohlwollende Unterstutzung,
die er mir zuteil werden lieB. Dem bayerischen Xtaatsministerium fur Unterricht
und Kultus mochte ich den verbindlichsten Dank dafiir aussprechen, daS es durch
Gewahrung cines Xtipendiums die Durchfuhrung der Arbeit ermoglichte.
vgl. etwa G. Wentzel, Quantentheorie der Wellenfelder, Wien 1943.
M. v. Laue, Naturwiss. 34, 186 (1947) und Ann. Phys. (6) 3, 31 (1948).
lo) G. U. Schnbert, Ann. Phys. (im Druck) und Vortrag auf der Miinchener
Tagung der Phys. Ges. in Bayern vom 30. 7. - 1. 8. 1949.
9,
Munchen, Laboratorium fur technische Physik der Technischen Hochschule.
(Bei der Redaktion eingegangen am 4. Juli 1949.)
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