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Der gegenseitige Induktonskoeffizient von Rechtecken und Quadraten.

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410
8. Der gegercseittye ~ndukti.onskoeffl;t.dant
won
Rechtecken ~ a m dQuadratem;
von A. Eanw.
1)ie groBe Becleutung, die ,,geschlossene" Antennenformeu
B r a u n sche Rahmenantennen) fur Nmpfangsxwecke der dralitlosen Telegraphie in ihrer neuesten Entwicklung erlangt haben,.
la& den Wunsch berechtigt erscheinen, Formeln fur die Berechnung der Selbst- und gegenseitigen Induktionskoeffizieriten
derartiger Gebilde zu besitzen.
Wahrend die Rechnung fur kreisformigen Spulenquerschnitt
bereits friiher') durchgefuhrt worden ist, fehlt es an Formelii
fiir rechteckigen und quadratischen Querschnitt, der den praktischen Anordnungen fast ausschlief3lich zugrunde geltgt
worden ist.
Die Ableitung der Formel fur den gegenseitigen Induktionskoeffizienten zweier aus mehreren Windungen bestehenden derartigen Spulen setzt zunachst die Kenntnis jenes Koeffizientcn
von einfachen Rechtecken voraus, die verschieden groS siiitl,
wofur ich in der Literatur eine Formel nicht habe tirirleii
kiinnen.
Vie von N e u m a n n q und M a r t e n s 3 ) angegebenen Ausdrucke sind fiir den vorliegenden Zwecli nicht anwendbar, tl;i
sie entweder gleich grofJe, syrnmetrisch in parallelen oder vcrschieden groSe in der gleichen Ebene gelegene Rechtecke
voraussetzen.
Die beiden erwahnten Formeln werden iibrigens in dem
jetzt abzuleitenden Ausdruck, wie die Untersuchung ergelmi
wid, als spezielle Fiille enthalten sein.
--
1) R. S t r a s s e r , Ann. d. Phys. I?. S. 763. 1905; A. E s a u , Jdtr l ).
d. drahtl. Telegraphie 14. s. 271. 1919.
2) Neurnann, Allgem. Gesetze dcr reduzierten Strorne, Abh. d.
Bed. A k d . 1515.
3) F. F. Martens, Ann. tl. Pliys. 29. 8. 959. 190%
Der yegruseitige Induhtionskoeffirieat von Rechtecken
ILW.
4 11
Ableitunp der Formel.
Wir setzen voraus zwei Rechtecke mit den Seitenlangen
(1 + 2 c und b + 2 c , die in zwei parallelen Ebenen vom Ahstand d einander gegentiber liegen (vgl. Fig. I).
C
V
E
Fig. 1.
Ihr gegenseitiger Induktionskoeffizient M eetzt eich zusammen au8 zwei Teilen, von denen der eine, M,, den horizontalen, der andere, Mo, den vertikalen Seiteii seine Entstehung verdankt
M = M, + Me.
M,,ist, wenn man den gegenseitigen Induktionskoeffizienten
tier Seiten 1 und 5 mit &Ils, den von 3 und 6 mit M& be,,zeichnet, gleich der doppelten Differenz MI, - kL36:
M
A = 2(M,, - M - 3 5 ) M,, bedeutet den gegenseitigen Induktionskoeffizie~~ten
zweier parallelen Geraden von den Langen a und a + 2c und
dem Abetand h, der nach M a r t e n s eich damtellen la6t in der
Form
+so2
8, In S
o+
‘0’
- .co In so + I/h3
h
\
“16
1
FA
~-
+ 1/A2 + so2
I.
- 1//P + S0J 1
Die Q ~ l B e nso, ,Yo und h haben die folgenden
-- Bedeutungen:
t
i
=
I/c2
d2
.e, = c ; so = a + c ;
(folgt ~ I I Sdem rechtwinkligen Drcieck D N M , in dem M N = c,
D A? = d und Y N = It id).
+
27
A. Esau.
412
Nach Xinfiihrung dieser Werte in die Gleichung fiir Mlfi
erlialten wir
= 21
1
Rei M,, haben wir fiir
so,
8, und
?t zu setzen:
__-_
8, = a + c ; / I = f ( b + c)2 + lt2
(folgt am dem rechtwinkligen Dreieck A J N mit deu Seiten
A J = ~AN=^ uua N J = ~ + ~ ) .
so = c ;
Ihniit wird
.-
- .- -
- l(b+ + + +
c)2
(I
c2
d2
v2c2
+ d2 I
M, eutsteht aus der vorhergehenden Formel, wenn man
untl b initeinander vertauscht:
I
b 1u (b
---+ e -+ I /(b +
.-c)"~
- -+ ~
F _____
T. 2 ) v ' _r_ _n_ +
(b + c + ] / ( a + c y + ( b + e)* +2)
l/e* + dt
3
Der gegenseilzgr! Indiiktionshoeffizient t v n RechtecRPn usw. 413
Nach Einsetzen der fur Mh und
in die Gleichung
gefundenen Ausdriicke
M = M, + 4,
crhalten wir fur den gcgenseitigen Induktionskoeffixientei~der
IJcidcn Rechtecke die allgemeine Formel
Naclidem wir die allgemeine Formel gefunden haben,
wollen wir auf dic in ihr enthaltenen speziellen Falle nalier
eingehen.
1. a 5 b ; c = o ; d > O .
Setzt man c = 0, d. h. Iiaben beide Rechtecku die gleiclien
Seitenabmessungen, so erhaIten wir fiir den gegenseitigen Tnduktionskoeffizienten den Ausdruck
AI= 4
Das ist die Neumannsche Formel.
2.
d=O; ~ 3 0 .
L Z ~ ~ A ;
Wird d = 0, so riicken die heiden Rechtecke in eine
Ebene. Der gegenseitige Induktionskoeffizient wird d a m
A. Esau.
414
3. a = I ; c.:,O; d
> 0.
Wir setzen jetzt (I = 6 uncl kommen damit zu den praKtiech wichtigen E’ormeln fur die gegeiiseitige Induktion zweier in
psrallelen Ebenen vom Abstand d einander gegenuberliegenden
Quadrate mit den Seitenlangcn a und a + c.
Es wird hierfiir
4.
a=I; c=O;
d>O.
F u r gleich groBe Quadrate in1 Abstnnd d laBt sich der
gegeriseitige Induktionskoeffizien t schreiben in der Form
Dieser Ausdruck lafit sich aus der vorhin angefuhrten
Neumannschen Formel ableiten, wenn man dort u = 6 setzt.
5. a = b ; c s o ; d = 0.
Der gegcnseitige Induktionskoeffizient zweier in cinrt.
Ebene gelegenen Quadrate, deren Abstand e ist, wird
Ucr
pgenseitiye lird~hlioiiohoef~zielrt
non ReeIrtecRen
i~1810.
4
15
Dieser Ausdruck stimmt iiberein mit dem von M a r t e n s
gefundenen.
Umgeataltung der dlgemeinen Formel.
Die soeben abgeIeiteten Formeln gelten fir beliebigc
Werte des Abstandes der Spulen und ihrer Abmeesungen.
Fiihrt man aber die Beschrankung ein, daI3 die Verhiiltnisse c / a und dla kleine Werte annehmen, was immer dann
der Fall sein wird, wenn der Abstand klein und die Abmessungen der Figuren nicht wesentlich voneinander verachieden
sind, so kann man die fur quadratischei! Windungsquerachnitt
geltende Formel (4) - und auf diese wollen wir uns im folgenden
beschriinken - noch erheblich vereinfacht werden.
Zu diesem Zweck entwickeln wir in ihr die Wnrzel- und
logarithmischen Ausdriicke nach Potenzen von eta und dla und
crhalten fur den gegenseitigen Indnktionskoeffizienten die Formel
Hiorin sind die GroBen r, s, t und u znr Abkiirxung riir
fuigen(1c Ausdriicke gesetet worclen
= 1 - 1/2 =
4(1
+ fi
- 0,043.
SpeaislfiiUe.
1. c = o ; d > U .
Die ubige Formel geht fir den Fall gleich gro6erJ im
.4bstancle ti voneinander gelegenen Quadrate iiber i n dia folgcnde
M=
Ider " +
8 a InT
oder nach Einftihrung
M = S: a In-
L
r
+ -nd + 'nd'--}
H .
Werte fiir r und u
- 0,774 d - 0,043 @I.
+
'
a
I
I)ieue F'urmcl ist von inir benutzt worden bei der Ableituug der Pormel fur den Selbstinduktionskoeffizieutcn vou
Ypulen mit quadratischem WinduDgsquerschnitt.')
2. c . _ - o ; d = O .
Liegen .die beiden Quadrate in einer Ebcne, so wird
oder anders gesclirieben
Qultigkeitsbereich der Reihenformel.
I)a bei der Reihenentwicklung alle die Glieder riicht
beriicksichtigt wurden. deren Potenxen uber die zwcite Iiinausgehen, so ist ohne weiteres klar, daS die erhaltencn E'oruielti
bei groBeren Werten der Argumente c / a und d/a virsageii
mussen.
Ihr Gultigkeitsbcreich bleibt beschriinkt, wie durch Vergleich
rriit der exakten Formel nacligewiesen wei den kann, auf Wertc
der Verhiiltnissc c i a und d / n , die unterlialb von 0,25 liogca.
Pie Abweichungen bei 0,3 betragen etwa lolo.
Verhinfachung der Berechnung.
Um die Rerechnung des gegenseitigen Jnduktionskoeffizientcn zweier in parallelen Ebenen voni Abstand rt einander
gegeniiberliegenden Quadrate und den Seitenlingen n und
n + 2 c einfacher zu gestalten (schreiben wir die allgemeinc
Oleichung 3) in der Form
.M= a S ,
WO
l + $ + A
D
- _ _ . -+?111__.-._-.
G
n
I+$+B
-;+A
-
-+B+B-
La + E
gesetzt worden ist.
I) A. Esau, Jahrb. d. drahtl. Telegrlrphie 14. S. 271. 1919.
Dcr y e y e n r e i t i p Induktionski,ff~zi~iit
uon Rechteckcn
iim.
4I7
Die Wurzelausdriicke A, B, C, D untl h' hsben dann die
folgenden Werte
Die Gr6Be 8 ist fur eine Reihe vori Wertsystemeii c/u
iind d/a nach der allgemeineii Forinrl (3) berecliuet wnrtlaii
iind kann der folgenden TaLelle eiihinmnien werrlen.
4
=
a
1
O,o
091
I
I
li
0,l
0,2
0,s
1,0
2,o
4,0
14,74
10,70
6,40
3,968
2,920
1,232
I
13,02
1,016
0,202
0,oan
12,12
9,904
6,236
3,936
2,296
1.248
1,312
1,576
2,136
2,328
1,885
1,'LOO
0,264
0,360
0,600
0.952
1,184
1,200
0,'o:N
0,056
Den Verlauf der Kurven S = f ( : ,
stehenden Figuren.
);
0,112
O120S
0,416
0,5(iY
zoigen die i~acli-
I n Fig. 2 sind die Kurveuscharen eingetragen, die sicli
ergeben, wenn man bei konstant gehaltenen Werten
S als
Funktion von dla suffaBt, xiihrentl Fig. 3 den Verlauf S = I*(+)
bei konstanten Werten dla zeigt. Man ersielit aus h e n , daB
fiir jeden Wert cln die Kurve S = f'
(3
ein Maximum besitzt,
das urn so ausgepragter ist, je kleiner d/a gewiihlt w i d Mit
wachsendem c / a wird dieses Xaxinium Ilacher und flscher und
riickt auBerdem melir und inelir nach Stellen groSerer Werlt'
des dla bin. Far Fig. 3 gilt das Entsprecliende.
418
A. Ewlu.
3
4
Fig. 2.
Fig. 3.
Berechnung dea Koppdungmkoeffhientan K.
Unter der Annahme, daB die beiden Quadrate zwei mib
einander gekoppelten Schwingungskreisen angehiiren und dall
eie die einzigeu in den Kreisen vorhondenen Selbstinduktionen
Oer gcqenseitige lnduitionskoeffiient von Rechtecken
IISW.
4I9
sind, la6t sich ihr Koppelungskoeffizient K nu f sehr einfache
und schnelle Weise bestimmen. Der Koppelungskoeffizient ist
definiert durch die bekannte Beziehung
Setzen wir hierin 31 = a S uncl fiir die Selbstinduktionskoeffizienten L1 und L, der beiclen Quadrate, wie sich aus
meiner fruheren Arbeit iiber den gegenseitigen Induktionskocffizienten hhfig vorkommender Leiterformen I) ergibt
LI = a s ’ bzw. I d 2 = a ’ s ” ,
so wird
Die GrOBen 8, S’ und S“ lassen sich. ~ L U Sder vorhergehcuden und folgenden Tabelle fiir jedes bcliebige Wertsystem
c ; a und d/u entnehmen.
1’a b el le f ti r d i c B e r c c h n it ng d c s S e 1b s ti 11d uk t i o ti s k o e f f i z i 011 1 011
v o n Q na.dr H, t c n.
s’
(L
e
20
40
60
$0
100
200
400
ti00
1, =
=f
(1
s’
((I
=
U.
..
Is‘
C’
800
1000
20,IS
25,52
27,90
30,97
32,73
BOO0
35,23
43,76
47,OO
10000
4000
IiOOO
8000
I)FH,l~t~lrlblnesSCl)
S’
49,30
51,08
56,62
6?,16
ti5,4 I
67,70
69,49
I )it! Uerechnuiig sol1 nun fur ein bestirnmtes Heispiel
~lurchgefiihrtwerden.
Die beiden Quadrate sollen die Seiterilangen a = 100 cm
und a‘ = 300crn besitzen, ihr Drahtdurchmcsser sei 261 = 0,1 CUI.
Zu berechnen ist der Kuppelungskoeftizient fiir die Entferiiungen 10 cm und 100 cm.
Es ist also
f-=
1,
a
-ad= 0 , 1
bzw.
a’=a+2c=300cm.
1)
1,0,
a =
100cm,
2 p = 0 , 1 cm.
A. E B B U ,Jahrb. d. drahtl. Telegraphic. 16. 1920.
4'20
-4. fis6scrti.
b e t , geyeriseitiye Ir~rl~ik~ii~ltsknet~zient
HSIO.
Aus der Tabelle erhalten wir
8 = 3,936 bxw.
s' = 56,62,
S' = 65,41
2,328,
Ulltl
K=
3,936
- - -
= 3,73
1/3*5&%,(i't.65,41
bzw.
Die Koppelung in 10 cm Ehtfernung betriigt :tlso 3,73O/,,
in 1 m Entfernung 2,2O/,.
Zuaammenfassung.
Ks wird eine Formel abgeleitet fiir die Bereclinung cles
gegenseitigen Induktionskoeffizienten zweier in parallelen Ebeiien
einander gegenuberliegenden Rechtecke von ungleicher GroBe.
Die allgemeine Formel enthalt eine Reihe von speziellen
Fgllen, die unter snderem die Neumsnnsche Formel fur den
gegenseitigen Induktionskoeffizienten zweier in parallelen Ebonen
liegenden gleich groBen Rechteclte und die Formel von M a r t e n s
fiir zwei in einer Ebene liegende Quadrate ergeben. Unter
der Annahme, datl die Verhaltnisse
Abstand
und Differenz der Seitenl&ngen
kleiner sind a l s 0326,
Seitenlange
kleiuste sitenlange
wird eine fur die Rechnung sehr einfache Naherungsformel
abgeleitet. Bus berechneten Tabellen und Kurven kann man
fur jeden beliebigen Wert der obigen Verhaltnisse den zugehorigen Wert des gegenseitigen Induktionskoeffizienten entuehmen und unter Hinzunahme der fiir die Berechnung des
Selbstinduktionskoeffizienten mitgeteilten Tabelle nuf sehr einfache Weise den Koppelungskoeffizienten bestimmen.
B e r l i n , den 9. Sept. 1919.
Lsborstorium dix Ges. fur drahtloee Telegraphie ('l'elcfiinken) Berlin.
(Eingegangen 28. September 1919.)
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