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Der Hodograf der Bewegung eines materiellen Punktes in der relativistischen Mechanik.

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Der Hodograf der Bewegung eines niaterielfen Punktes
in der relativistischen Mechanik
Iron M . Zciganescu
Mit 1 Abbildung
Inhal tsii bersicht
Die Hodografengleichiing wird aus den relativistischen Bewegungsgleichungen abgeleitet und zwar wird nur die zweidimensionale Bewegung hetrachtet. Diese Gleichung ist vom R i c a t t i schen Typ. Falls die Komponenten
der Kraft konstant sind, stellt der Hodograf eine h p i d i s t a n t e day.
1. Betrachten wir, im Minkowskyschen Raum, die Weltlinie eines
materiellen Punktes, der sich im physischen h u m beweqt. I n jedem Punkt
dieser Linie kann man den Vierervektor der Geschwindigkeit mit den Komponenten
dx
u . = -'
i = 1, 2, 3, 4
'
d7
definieren, wo
d t = I/dxq - dx:
-
dxg - d$
das Element der Eigenzeitl) darstellt.
Aus (1) geht hervor:
uq-u;-u;-u:=
1.
(2)
Die Komponenten der Geschwindigkeit des niateriellen Punktes in Richtung der Raumachsen Oxl, Or2, Ox3sind
Wir betrachten diese GroBen als die carthesischen Koordinaten eines
Punktes im dreidimensionalen Geschwindigkeitsrauni.
Aus (2) und (3) folgt, da13 die Metrik in diesem Rauni hyperbolisch ist2).
Der elementare Ahstand im Geschwindigkeitsraum ist durrh
do2 = duq
-+ dug + dU2, - dl$
(4)
definiert .
Das Quadrat des absoluten Wertes dcr Viererbeschleunigung betrkigt
~
Die Lichtgeschwindiglreit c sci = 1 gesetzt.
A. S o m m e r f e l d , Atombau u n d Spektrallinien, Hd. 1, F. Vieweg & Sohn,
Braunschweig 1931, S. 709; E. R o r e l , Introduction g6oniktrique B quelques theories
physiques. Gauthier-Villars 1914, pag. 61-55; 1'. A. F o c k , Die Theorie des Raumes, der
Zeit und der Gravitation. Moskau 1966, S. 68.
1)
2)
.
&f Zagcinesou: Hodograf der Bewegung eines rnateriellen Punktee
425
Aus den letzten zwei Beziehungen folgt
do = IBI dr.
Diese Gleichunp stellt die Heziehung zwiscben dcm elementaren Abstand
im Geschwindigkeitsraum und dem elementaren Abstand im Minknwskywhen Raum dar.
2. Kiinftig beschranken wir unsere Betrachtungen auf den zweidimmsionalen Geschwindigkeitsraum. Dann ist
da2 = duf
du: - dui.
(7)
+
Wenn wir nichthomogene Koordinaten vl) v2 verwenden, erhslten wir
do2 = (1 - v:) dv; + 2 v1 v2 * dv, dv, + (1 - w:) av:
-
-
(1 - v; - v:)2
Ifan kann zeigen 3,
wirtl. und zwar
)
(8)
dal3 wenn eine Variabelnsubstitution durchgefiihrt
p=
(1
%(1- v' 1-
-- %(1
22)
(9)
.-
v1- va),
+
wo pa = Vcf
t$ bedeutet, dann erhalt der elcmentare Abstand die R i e m a n n sche Form
Aus (9) folgt :
3. Nun gehen wir auf die Ableitung der Hodogpfengleichung iiber. Win
beschra,nkeii uns auf den zweidimensionalen Fall, also u3 = 0.
Die Bewegvnqsgleichiingen lauten in diesem Falle4)
wo Yi (i = 1,2) die Komponenten der Xewtonschen Kraft und m, die
masse des materiellen Punktes darstellen.
Wenn wir beachten, daB
RIh-
F. Klein, Nichteuklidische Geometrie, J. Springer, Berlin 1928, S. 296.
E. R. Neumann, Vorlesungen zur Einfiihrung in die Relativitktthheorie. G.
Fisher, Jena 1922, S. 113.
8)
4)
A n d e n der Physik.
426
7. Edge. Band 1. 1968
gehen (12) und (13) uber in
Durch Differentiation erhalten wir
dvp (1
at
Auflosung nach
digkeitsebene :
2 und 3 liefert die Bewegungsgleichungen in der CkschwiudT
Die Hodografengleichung erhalt man durch Division der beiden GI. (18):
(19)
+ i Q.
Me G1. (18) erhalten e k e symmetrischere Form in der Ebenc q = p
Wir gehen von den Gln. (11) am. Durch Differentiation erhiilt man:
Einsetzen yon (11) und (2@)in (18) liefert:
4[(4 - 9+pa)
4[(4 -pa
2- 2 p q a
=
3 [(4 -pa +
m0
+ q2) 3
- 2 p q g ] = 3 [(4 - 9 +
d?
16 gj - !
!
i
16pq
nz,
- 16 pa]
m0
Auflosung nach ;ts
dP ,
- nz,
sl6pq.
(21)
2 ergibt :
Fl
m odxP -- -T(pa!?? - 2 P q +F,
dq - F2
%;if.- -,Cpa-q?
(22)
F
-$PQ+F,.
D i e e beiden Gleichungen lassen sich in einer einzigen zusammenfassen :
drl-
-a1 (-
pi+ i p a ) qa
+
+
wo q = p
.i p gesetat ist.
Wenn man die GrtiSe
A = Fl+iFa
1-i pa),
(23)
M.Zdgcineseu: Hodograj der
427
Bewegung eiree rnateriellen Punkles
einfiihrt, kann man die G1. ('23) auch folgendermal3en ausdrucken :
Die Bewegungsgleichung in der Gmchwindigkeitsehene ist also vom
R i c a t t i schen Typ.
Ein Reispiel:
Wenn wir Fl und Fa als konstant annebmen, ist (19) eine Jakohische
Gleichung. Die allgemeine L&ung dieser Gleichung ist s,
oder
Hier ist K eine beliebige Konstante. Nach (27) ist der Hodograf ein Kegel
schnitt. Seine Invarianten sind6):
A B
A = tl C
D E
Daraus folgt, da13 fiir K > 0,
D
E = K (F: F8)3.
F
6 > 0 ist, der Kegelschnitt also eine reelle
+
Ellipse darstellt.
Fur K < 0, ist 6 < 0; also ist der Kegelschnitt eine Hyperbel.
Fur K =; 0 artet der Kegelschnitt in ein Pam von Paralellen Bus, welche
folgenden Gleichungen geniigen :
Diese beiden Geraden stehen senkrecht auf einer dritten Geraden D,,
welche zur Gleichung gehijrt:
Man kann bestatjgen, da13 die Geraden D,,ll, durch die Punkte 1cf und N
laiifen, wo
Diese Punkte befinden sich auf dem Fundanientalkreis mit dem Radius 1;
mit den einpefiihrten Bezeichnungenla 13t sich der Kegelschnitt folgendermal3en
schreiben :
D, D3 = K Df.
(32)
s, W. W. Stepanov, Vorlesungen uber Differentialgleichungen.Moskau 1962, S. 41.
Die Gleichung des Kegelschnitteskann A v:
2 B v1 v2 C w$
2 D v1 2 E vz
g,
+ P = 0 geschrieben werden.
+
+
+
+
428
Annalen der Physik. 7. F o l p . Band 1. 1958
Der Kegelgchnitt hat also in den Punkten M , hT die Geraden DB,
D3 zu
Tangenten ’).
Aus der Parallelitat der Geraden D, und D3 folgt, da13 Dl eine der Achseii
des Kegelschnitts darstellt.
Aub Abb. 1 ist der Kegelschnitt zu ersehen. Fur K > 0, erhalt xnan eine
Ellipse, die sich zmischen den Geraden D, und D, befindet. Bei ahnehmendem K
bleibt die eine Halbachse der Ellipse
0 M konstant, wahrend die andere
Halhachse stkindig zunimmt. Fiir
K = 0 erhSlt man die beiden Geraden D, und D3. Im Falle K < 0
erhiilt man Hyperbeln.
Da nach der Relatiritiitstheorie
b stetq 2, < 1, kann allein den Ellipsen
D3
ein physikalischer Sinn zugeschrieben
werden. Wie bekannt”), stellt eine
solche Ellipse den geonietrischen Ort
der (im nichteuklidischen Sinn) gleichentfernten Punkte zur Geraden D, dar.
mrir erhalten also folgendes ErAbb. 1. Die Ellipse, die sich iui Inneren des
gebnis
absoluten Krcises befindet, stellt den Hodografen dar
Der Hodograf eines materiellen
Punktes, der &h in einer Ebene unter
der W‘irkung einer Kraft niit den konetanten Komponenten Fl, F2 bewegt,
ist eine kpidistarite zu einer Geraden durch den Ko ordinatenanfang des
Geschwindigkeitsraumes (s. oben). Diese Gerade hilde t mit der Richtunp
P
der v,-Achsc 0 vl einen Winkel a, der durch die Bezielmng tg ix = -2 gegeben ist.
’
FI
-~
T. Lalescu, Tratat de Qeometrie Analiticli. Bd. 2, Bukerest 1944, S. 48.
8 ) F. Schilling, Pseudosphiiriscahe, hyperbolisch-sphiirisohe und elliptiwh-sphlrische Grometrie. R. G. Teubner, Leipzig 1937, 6. 169.
7)
T i m i $ o a r a (Rurnanien), Facultatea de Mateniatica
Bi
Fisica.
Bpi der ltedaktion cingegangm am 11. Noveinher 1957.
Verantwortlich
f u r die Schrittleitung: Prof. Dr. G. Hic.11t el’, ~ruthrn-~.liolR~lI,rf,
Piutiuum:lllet: 6 ; f b r d e n b z e i g e n teil: V E B Georg Thieme, Auzeigenabteilung. Leipzig C 1, T h o tnarkirclihof ?O, Ruf 21 00;. 2. Z. gilt
Anzeigenpreisliate Nr. 4 ; Verlag: Johann Ambrosins Barth, Leipzig C 1. Salomonstr. 18 B,
Fernmi: 2 i 6 S l . 2 i B X U . %TAN
50GG
Printed in Qermany
Druck: Paul Diinnhanpt. EBthen (IV/5/1) L 90158
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