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Der Hohlleiter von kreisfrmigem Querschnitt mit geschichtetem dielektrischem Einsatz.

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This material is restricted in use and cannot he quoted by title or abstract for
propaganda purposes or in the popular p r e s . Quotation of titlcr and ab5tracts
in publications of purely technical or scientific nature is not prohibited.
ANNALEN D E R PHYSIK
5.FOLGE
BAND 43
HEFT 6
1943
D e r Hohlleiter von kre6sfirm6gem Querschnitt
m i t yesch6chtetem dJelektrischern Zinsatx
Vow H e r b e r t B u c h h o l x
(Mit 19 Abbildungen)
(Mitteilung aua dem Zentrallaboratoriurn fur Fernmeldetechnik der AEQl
1. Veranlassung und aweok der Arbeit
Ein Hohlleiter von kreisformigem Querschnitt, dessen metallische
Leiterwandung als vollkommen leitend angesehen werden darf und
der mit einem einheitlichen Dielektrikum mit der Dielektrizitatskonstanten E~ angefullt ist, ist bekanntlich fur den Durchgang ungedampfter elektromagnetisclier Wellen nur fur solche auf das
Vakuum E , p bezogene Wellenlangen 2. der aufgedruckten Schwingung
dnrchlassig, fur die der Radikand des Wurzelausdrucks (1,l) eine
positiv reelle Zahl ist. Dabei ist in (1,l)abgesehen von den Formelzeichen, die ohnehin iri der nachstehenden Zusammenstellung aufgezahlt sind fur eine
) 0
TM,,p-Welle . jpn mit J p ( j p n =
1 = .r
TEnp-Welle
j,,
mit Jb(jin) = 0
und also
und kFp der beiden
Wellentypen, die den Radikanden gerade zu Null machen, die oben
angegebenen Beziehungen errechnen. Man hat also in der Wahl
eines e0 > E jederzeit ein Mittel, die kritische Wcllenlange in einem
gewissen Umfang heraufzusetzen. Da nun aber jedes dielektrische
Material zugleich einen von Null verschiedenen Verlustwinkel besitzt,
so daB sich fur die kritischen Wellenlangen :.2
Annalen der Phgsik. 5. Folne. 43.
‘21
Reproduced and Distributed in the Public Interest by
THF AT Il2N PROPFRTY CUSTODTAN
3 14
A n m h der Physik. 5. Folge. Band&. 1943
so vergroJ3ert man durch diese MaBnahme gleichzeitig die Dampfung
des Hohlleiterkabels.
Die Berechnung dieser dielektrischen Komponente der Dampfung
gestaltet sich auBerst einfach, wenn an der Auffullung des Hohlleiterinneren nur ein einziges derartiges Dielektrikum beteiligt ist.
Man hat dann namlich nur notig, in dem Radikanden (l,l), der bekanntlich als Faktor von i . z in dem Exponenten
auftritt und demnach das FortpflanzungsmaB der Hohlleiterwelle
darstellt, an Stelle von E , die GrOBe E , (1 + i tg 6,) zu setzen. Fur
ein verlustbehaftetes Dielektrikum wird dadurch das FortpflanzungsmaB yo = eD+ iBD eine komplexe Zahl, und zwar erhalt man mit cc
als Wellenzahl des verlustfreien Dielektrikums
.
Da t g 6 stets nur eine kleine Zahl in der GroBenordnung von 10-4
ist, so stimmt die Wellenzahl eines verlustbehafteten Dielektrilcums
praktisch mit der eines verlustfreien Dielektrikums uberein, solange a2
geniigend gro6er als null ist. F u r die Dampfung PD ergeben sich
wegen der Kleinheit von tg 6 die folgenden Naherungsformeln: Es ist
falls
(1,3a,)
(1,3c)
(1,3d)
PD+
1
- (m)*e:>tg6,,,
j.A
1. (%)"' - tg 6, =
1
-
k, tg 6, fiir 1-t 0,
{ PD=p*f
l m
pD-+f. 1 / 1 - (%)*.
3
I j
8
fur k=:
~.
2;b
oder
(Y
a = 0,
fur 1+a u n d a a > 0.
Dabei moge an dieser Stelle noch einmal ausdrucklich darauf hingewiesen werden, daD die Wellenlange 1, der Hohlleiterwelle in
GI. (1,3a) stets verschieden ist von der aufgedruckten Vakuumwellenlange 1. Wegen 1, = 2 4 ist~ namlich im jetzigen Falle nach Gl. (1,l)
( 1 14)
A,,=a.
E.{i(&)*.+}-''*
H . Buchholz. Der Hohlkiter von kreisformigem Querschnitt m w . 315
und demnach ist fur E~ = E auch immer 1,> 1. Eine Gleichheit
beider Wellenlangen tritt bei einem E~ > E nur bei der bestimmten
Wellenlange 1 = ( 2 7 ~ b / j )(E,,/E
~ . - 1)’/1ein.
Schlielllich ergibt sich noch aus G1. (1,3a) fur das Minimum
von I D der Ausdruck (1,3e). Das Minimum der Dampfung ist dem-
nach gleich dem mit tgBo multiplizierten Wert der Dampfung PD
fur ).+a, und es wird erreicht bei einer Wellenlange, die das
1
fache der zugehorigen kritischen Wellenlange, betriigt. Der
Wert ID, fallt also bereits in den Gultigkeitsbereich der G1. (1,3a).
Dieser erstreckt sich mithin mit Ausnahme der unmittelbaren Umgebung der kritischen Wellenlange uber den ganzen DurchlaSbereich
des Hohlleiters. Im Hinblick auf die spateren Ausfuhrnngen ist
zu beachten, daf3 die GL (1,3a) auch in der Form der G1. (1,3a’)
geschrieben werden kann, wenn darin a den durch G1. (1,l) erklarten
Ausdruck bedeutet.
Selbst fur den sehr miif3igen Wert eines tgB = lo-‘ belauft
sich demnach bei einem Hohlleiter von b = 2,5 cm die minimale
dielektrische Dampfung bereits auf PD = 4 j N/km, d. h. im giinstigsten
Falle, den die TEll-Welle rerkorpert, weil fur sie j =jil = 1,84118
den kleinsten der moglichen Werte hat, auf 7,365 Nlkm. F u r ein
E ~ / E= 16 tritt diese kleinste dielektrische Dampfung bei der Vakuumwellenliinge 1. = 24,1306 cm auf. Durch die Verwendung eines den
Hohlleiter zur Ganze ausfiillenden Dielektrikums wiirde es also in
dem angegebenen Falle zwar gelingen, die kritische Wellenlange
des Hohlleiters auf 24,1306. 1/2 = 34,1259 cm heraufzusetzen. Es
eutsteht dabei aber gleichzeitig eine so betrachtliche zusatzliche
Dampfung, da6 dadurch der Vorteil einer Verminderung der kritischen
E’requenz illusorisch gemacht wird.
Dieser Sachlage gegenuber besteht aber noch die Moglichkeit,
zwischen den beiden entgegenstehenden Forderungen nach Heraufsetzung der kritischen Wellenlangc und gleichzeitiger Kleinhaltung
der Dampfung dadurch einen tragbaren Ausgleich zu schaffen, daB
man den Hohlleiter nur zu einem Teil mit dem verlustbehafteten
dielektrischen Material anfullt. Diese MaSnahme wird gegenuber
dem Fall der vollstkndigen Auffullung nicht nur die Dampfung
21 9
316
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 43. 1943
reduzieren, sondern sie wird anch die Zunahme der kritischen Wellenlange beschranken, aber es kann sich dabei insofern immer noch
ein Vorteil einstellen, als beide Anderungen in verschiedenem MaBe
erfolgen. Um eine besondere Halterung des dielektrischen Einsatzes
zu vermeiden, wird es sich dann am meisten empfehlen, dem Einsatz kreisringformige Gestalt zu geben, so daB sich dabei das Ringstuck mit seiner iiu6eren Oberflache an die innere Wandung des
Hohlleiters anlehnt. Die andere mogliche Art der Einlagerung des
Einsatzes als dielektrischer Mittelleiter hat vornehmlich theoretisches
Interesse, denn dieses Leitergebilde steht offenbar in Parallele zu
dem dielektrischen Draht im freien Raum, dessen Theorie von
H o n d r o s und D e b ye]) aufgestellt worden ist, und unterscheidet
sich hiervon nur durcli die konzentrisch zu dem Mittelleiter angeordnete metallische Hiille. Da sich die Behandlung dieses Falles
von der des ringformigen dielektrischen Einsatzes fast nur in der
numerischen Durchrechnung unterscheidet, so wird er im folgenden
mit in Betracht gezogen.
Die technisch herstellbaren dielektrischen Werkstoffe besitzen
zwar durchweg die gleiche magnetische Permeabilitiit p wie das
Vakuum. Im allgenieinen Teil der
nachstehenden Untersuchungen
werden wir jedoch in Riicksicht
auf die gro6ere Symmetrie, die
dadurch die aufzustelle2den Formeln gewinnen, zunachst stets die
Voraussetznng machen, dab mit
den beiden Dielektrizititskonstanten E,, und el in den beiden Bereichen O z r s a u n d a F r s b
von Abb. 1 auch die beiden PerAbb. 1. Die Einlsgerung
der Bezugssysteme (z,
y, z ) und (r, 9,z) meabilitatskonstanten Po und PI
in den kreiszylindriachen Hoblleiter mit verschiedene Werte haben. tfberkonzentrisch geschichtetem Dielektrikum dies wird es sich empfehlen, die
genannten vier Materialkonstanten
vorerst auch 81s verschieden von den fiir das Vakuuln geltenden
GroBen E und p anzusehen. Die metallische Wandung des Hohlleiters werde wie iiblich als vollkommen leitend betrachtet. Dann
gilt es festzustellen, unter welchen Bedingungen sich in einem derart
beschaffenen Hohlleiter eine einfarbige elektromagnetische Welle gegebener Frequenz suszubreiten vermag. Nachdem diese Bedingungen
ermittelt und alle Zusammenhange zwischen den gegebenen physikalischen nnd geometrischen Daten einerseits und den davon ab-
H . Buchholz. Der Hohlleiter von kr&sjomigem Querschnitt usw.
317
hangenden Eigenschaften der Hohlleiterwellen andererseits zutage
gefiirdert worden sind, wird dann noch die weitere Aufgabe zu losen
sein, den Ausdruck fur die gesamte Dampfiing einer Rohrwelle in
einem derartigen Hohlleiter herzuleiten.
2. Die allgemeine L6sung der Aufgabe
in Form einer gekoppelten Tht- and TEWelle
Die den dusbreitungsvorgang anregende Welle sei etwa eine
einzelne TE-Welle mit einer willkiirlichen, aber fest gegebenen Zahl
von Knotenkreisen und Knotendnrchmessern. Dann lallt sich bekanntlich das Feld dieser Welle iiber die G1. ( 2 , l 4 b) dnrch die
Angabe eines Hilfsvektors D beschreiben, der in dem Zylinder(2,l a)
Q = rot Q,
(2,l b)
g r j . $j= kz,l . D + grad div Q
nur die einzige Komponente Dz=E
koordinatensystem von Abb. 1
besitzt. Die sechs Komponenten des transversal elektrischen Feldes
dieser Welle sind durch das Gleichungssystem (2,2) gegeben,
(2,2c)
Qy=O.,
und da E der Wellengleichung geniigen muB, so lallt sich schreiben
im Raumteil 0 7 r 5 a ,
E, = A P )
(2934
(zy:
p y ) .~ , ( r w , ) .eiaz
-~
(lo,
= I/k,$
- cry)
Zueammenstallung der Formelmichen
o = 2n f dieKreisfreqnenz und die gewahnliche Frequenz der aufgedriickten
Schwingung rnit dem Zeitgesetz exp (- i o t) und i = vl--i,
a , a,, 8, die Dielektrizittitakonstante des Vakuums und der beiden
Materialien im Hohlleiter von innen nach auEen geztihlt
mit E = 1/36 R lo-" q c m ,
.
Y
=
(%)I"
der optische Brechungsindex der beiden Fdlmaterialien des
Hohlleiters,
Permeabilittitakonstte dea Vakuums und der beiden
Materialien im Hohlleiter von innen nach auBen geetihlt rnit
p = 4 n 1O-O Hlcm,
tg a,, tg J, die Verlustwinkel der beiden Fiillmaterialien des Hoblleiters,
k, k,, k, die Wellenrablen des Vakuums und der beiden Materialien im
k = 0'8 p und mit der Dimension l/cm,
Hohlleiter rnit '
p , p o , p, die
Annabn der Physik. 5. Folge. Band 43. 1943
31 8
I , A,, 1, die Wellenliingen der aufgedruckten Schwingung bezogen auf das
L:,eL,
A,,
= a
3n
usw.,
1
die suf das Vakuum bezogenen kritischen Wellenltingen einer
TE,,,- oder TM,,-Welle in c m ,
i @die tatsfichlich bcstehende IIohlleitermellenlange in cm und
das der Hohlleiterwelle zukommende FortpflanzungsmaB mit
Vskuum und die beiden Hohlleitermatericllirn mit
!
i
= --
LLT
+
C'
=
3n
--
A.
und mit @ sls Dampfung.
1st 7 reellwertig, so wird
stets das Zeichen n benutzt,
g"' = - io e die Leitftibigkeit des Vakuums gegenuber dem elektrischen
Verschiehungsstrorn in S(cm,
9'"') = i u p die Leitfahigkeit des Vnkuums gegenuber dem magneticrchen
Verachiehungsstrorn in Ohrn/cm,
w P = (k,* - a', mit p = 0 oder 1 ein imnwr wiederkehrender Wurzelausdruck
mit der Dimension l / c m . F u r k,, < n ist 3rn ( I C , , ) > 0 ,
r , 'p, z die Zylinderkoordinaten eines Raumpunktes im Iiioern des Hohlleiters gemg6 Abb. I,
a der liu6ere HegreDzungsradius dcs inneren dielektrischen Einsatzes von kreisformigem Querschnitt mi t der Dielektrizitiitskonstiinten E,, f i r alle 0 2 r 5 a in e m ,
6 der Radius des Ilohlleiters selhst in cm,
Q, &j
die elektrische und magnetiscbe Feldstiirke in Vjcm und A,'em,
r p = ~ U J zwei
,
besondere IiilfsgroBen mit p = 0 oder 1 ,
E,M di; t-Romponenten zweicr Hilfsvektoren mit der Dimension V u . A .
Die Zeiger e ugd m werden im Text durchweg dazu.verwendet, um die
Zugehorigkeit einer GrijBe zur T E - oder T M - W e l l e zu kennzeicbnen.
II,,(*),II:'IJ, In und K, entsprechen durchDie Funktionszeichen J,, Yn,
weg der Definition dieser sechs verschiedenen Zylinderfunktionen nach dem
bekannten Werk von G. N. W a t s o n .
uud im Raurnteil a 7 r 5 b
Diese beiden Ansiitze bringen bereits in der richtigen Weise
zurn Ausdruck, da6 1. E,, f u r r = 0 endlich bleiben muB, 2. @)! nach
GI. (2,2b) fur r = b verschwinden muB und 3. das reelle, vorllufig
nber noch unbekannte FortpflanzungsmaB f u r beide Medien denselben
W e r t haben mu6.
D a Ton den Konstanten -4,,(c) und A,(c' die eine als bekannt
anzusehen ist, so sind in dem Ansatz (2,s)iin ganzen nur zwei unbekannte Konstanten enthalten. 111 der Trennfliiche r = a sind
aber wegen
und Gq+ 0 insgesamt drei Bedingungen zu
erfullen. Es ist demnach gar nicht rniiglich, init dem hislierigen
Losungsansatz, der entsprechend der alleinigen Anregung des Feldes
a,,,
H . Buehholz. Der Hohlleiter wn kreisfiiMnigem Querschnitt urn. 319
durch eine TE-Welle auch nur das Auftreten einer wenn auch
zusammengesetzten, so doch gleichartigen Welle vorsieht, allen Bedingungen der Bufgabe zu genugen.
Der einzig mogliche Ausweg aus dieser Schwierigkeit besteht
in der Annahme, da6 unter den vorliegenden Bedingungen au6er
der TE-Welle im allgemeinen auch noch eine TM-Welle i m Hohlleiter vorhanden sein wird. Nun Ia6t sich das Feld einer solchen
Welle uber die G1. (2,4a, b) durch die Angabe eines zweiten Hilfsvektors q beschreiben,
(2,4b .Q = rot ’$ ,
(2,4 a) g(e) Q = k2 ‘;p + grad div 8 ,
der ebenfalls nur eine einzige Komponente y,= M besitzt, so dab
also fur die funf von Null verschiedenen Komponenten dieses Feldes
das Gleichungssystem (2,5) gilt.
-
-
Machen wir nun hier fur den Raumteil 0 z r 5 a den einen Ansatz
(2’6 a)
M,
=
A O ( ~ J
( ::08pcp)
. ~ , , ( r w , , )e ,i a r
und fur den Raumteil a F r s b den anderen
so haben wir damit nicht bl06 erreicht, da6 M , und M , wie vordem die Gro6en E, und E, die Wellengleichung befriedigen, sondern
da6 auch der Forderung der Endlichkeit von M , fur r = 0 und
der Forderung des Verschwindens von GV und Q, f u r r = b genugt
ist, soweit zu diesen Komponenten allein das Feld der TM-Welle
beitrag6 Selbstverstiindlich mu6 in den G1. (2,6) das Fortpffanzungsma6 u dieselbe GroBe haben wie in den G1. (2,3), wenn anders ee
tiberhaupt moglich sein 6011, durch blo6e Uberlagerung der beiden
Rellenfelder (2,2) und (2,5) die Grenzbedingungen fur jedes z zu
erfullen. Dnrch die Hinzunahme der TM-Welle hat sich die Zahl
der vorerst unbekannten Konstanten von 2 auf im ganzen 4 erhoht.
Zugleich hat sich aber die Zahl der Bedingungsgleichurgen, die an
der Trennflache r = a pu erfullen sind, ihrerseits auch auf 4 erhoht.
Wir haben damit jetzt ebensoviel Unbekannte wie Bestimmungs-
Alznakn &+-Physik. 5.FoZge. BanrZ43. 1943
320
gleichungen und mithin begriindete Aussicht, mit den obigen beiden
Ansatzen die Losung der Aufgabe zu erreichen.
Von den vier Grenzbedingungen kleiden sich diejenigen. beiden
in die einfachste Form, die sich auf den stetigen Durchgang der
z-Komponenten von E und 8 beziehen. Damit namlich Gz stetig
durch die Flache T = u geht, ist das Bestehen der Gleichung
erforderlich und in Riicksicht auf den stetigen Durchgang von
mu8 gelten:
8,
Das sind die beiden Gleichungen, die die Amplituden einer und
derselben Welle in den beiden benachbarten Raumen 0 T 5 a
und a z r s b miteinander in Beziehung setzen. Sie sind offensichtlich unabhangig voneinander.
Bei der Formulierung der Vorschrift, da6 auch Gp stetig durch
die Flache T =a gehen muB, habeu wir zu beriicksichtigen, daB zu dieser
Komponente beide Wellentypen einen Beitrag liefern. Es wird also
[
= . A J ~ ) . J , ( ~ ~ J a+w , . ~ , ( c ) . ~ ; ( a w , )
0 80
Eliminiert man mittels der G1. (2,7a, b) die Koeffizienten A,(e)
und AJm) aus der GI. (2,7c), so erhalt man die folgende t h t e Beziehung zwischen den Koeffizienten
und A,W
wpl
Jp(awl)
Y,(aw,)
Jpl (aw,)
Y,'@W*)
aw,W P l azo,W
J/(bw,\
Y,'(bw1)
JJaw,)
Jd(aw0)
P o a w ,
0
"Al'c'~d"(po,pCLI;
wo,wl)
H . Buchholz. Der Hohlleiter con kreisjormigem Querschnitt usw. 321
Das ist die erste Form, auf die sich der Zusammenhang zwischen
der Amplitude A,@)der TE-Welle mit der $mplitucis A,@) der mit
ihr verkoppelten TM-Welle bringen laflt. Eliminiert man hingegen
die Koeffizienten A,,(e) und AO(R)aus der G1. (2,7d), so entsteht in
der GI. (2,Sb) eine zweite, von der ersten verschiedene Beziehung
zwischen den Amplituden Al(e)und Al(m). Beide Qleichungen niissen
natiirlich fur das Verhaltnis Al(e)/Al(m)oder f u r das Produkt A l @ .A,(”)
zu demselben Wert fiihren. Urn die Bedingung, die diese Gleichheit
erzwingt, kennenzulernen, werden im vorliegenden E’alle am besten
die beiden G1. (2,8a, b) miteinander multipliziert. I n der auf diese
Weise entstehenden G1. (2,9), aus der sich das Produkt Al(e).Al(m)
sofort heraushebt, liegt diese Bedingung vor, und zwar i n der Form
einer Beziehung fur das bisher noch unbekannte FortpflanzungsmaB a, das darin nicht bloB frei, sondern auch verborgen in den
Wurzelausdriicken zoo und w, vorkommt.
Denkt man sich vorerst aus dieser Gleichung den unbekannten
Wert von a bereits ermittelt, so sind damit fur eine bestimmte
Frequenz auch w o und w1 als bekannt anzusehen. Ging dann urspriinglich die Anregung allein etwa von einer TE-Welle aus, so
laBt sich uber die G1. (2,8a, b) auch sofort die Amplitude der mit
ihr verkoppelten T M -Welle bestimmen und umgekehrt. Eine voneinander unabhangige Existenz dieser beiden Wellentypen ist in
einem geschichteten Hohlleiter nach den obigen Gleichungen nur
mBglich, wenn sie eine axialsymmetrische Struktur haben und also
p = 0 ist. 1st z. B. A , @ von Null verschieden und damit die TE-Welle
der primar gegebene Wellenzug, so bestimmt sich nach G1. (2,Sa)
die Fortpflanzungskonstante dieser Welle gemaf3 4er G1. (2,lOa). Lh
( TEn0- Welle)
(2,10a)
do@)
(p,,, p1 ; wo, wl)= 0
fur diesen Wert von a bei der gerade vorliegenden Frequenz im
allgemeinen nicht auch gleichzeitig die Determinante dJm)von
322
Annabn der Physik. 5. Folge. Band 43. 1943
G1. (2,Sb) verschwinden wird, so muU notwendig Ill(m'= 0 sein. 1st
umgekehrt die TM-Welle das primiir Gegebeue und also A41(m)
von Null verschieden, so ist zur Bestimmung von n die G1. (2,lOb)
(3,lO b)
L I ~ ( ~ ) (E E~ ~wo,
;,
wl)= 0
(TMno-Welle)
zu benutzen, und es mub aus demselben Grunde =I1(c)=0 seiu.
Die beiden charakteristischen Determinanten A$) und A i m )lassen
sich noch in anderer Form schreiben. Vermehrt man namlich die
Elemente der ersten Spalte dieser beiden Determinanten niit den
mit i multiplizierten Elemeoten der zweiten Spalte, erweitert sodann
die Elemente der zweiten Spalte mit - 2i, indem man den
Faktor 1/2 vor die Determinante setzt, und addiert schlie0lich die
Elernente der ersten Spalte zu denen der zweiten, so sind damit
f u r A$) und A i m ) die beiden folgenden neuen Darstellungsformen
entstanden:
Sind wo und w , reelle Gro0en, weil tc > k,, k, ist, so ist auch
in G1. (2,9) jeder der darin vorkommenden Faktoren reell. Es kann
aber auch vorkommen, da0 wo oder w1 oder auch beide Wurzeln
rein positiv imaginar werden. Dann ist z. B. fiir wo = i 1 wo I
'
und d a eine ganz iihnliche Cileichung f u r die Determinante Ad") be* '!% !)= Z ~ P ',' (a* w' 1) ist, 80
Jp:
(%a. I mo I)'
(a i to, 1)'
die G1. (2,9) auch dann noch eine Beziehung zwischen rein reellen
GroBen dar. Nicht ganz so einftlch gelsogt man zu dem gleichen
Ergebnis, falls bei reellem wo die Wurzel w15 a . I wlI ist. In dieaem
steht rind rruflerdem
.
+
H. Buchholz. Der Hohlleiter von heisformigem Querschnitt usw.
323
Falle ist es am zweckmaBigsten, zunachst die zweite Spalte der
G1. (2,8) mit i zu erweitern. Fiigt man danach zu dieser Spalte
die Elemente der ersten Spalte hinzu uud geht von der Funktion H a l )
zu der Funktion K , uber, die bekanntlich f u r rein reelle Argurnente
selbst reel1 ist, so erhalt man die Darstellung:
auftreten, sind mit Hilfe der beiden letzten Gleichungen leicht zu
ubersehen, da diese Determinanten j a aus dim)und Ad') einfach
durch Streichung der letzten Spalte nnd der mittleren Zeile entstehen. Es hebeu sich mithin die Faktoren 2 i / n und 21. aus der
veranderten G1. (2,9) wieder heraus, so daB sie auch in diesem Falle
eine Beziehung zwischen rein reellen GroBen znm Ausdruck bringt.
Ehe wir uns nun mit der wirklichen Bestimmung der Wurzeln von
G1. (2,9) beschaftigen, mogen zunachst einige Sonderfalle besprochen
werden.
2,l. Die Entartungen der charakteristischen Qleichung
Die charakteristische G1: (2,9)umfaBt eine groBe Zahl besonderer
Faille, und es wird einer sehr wirksamen Priifung auf die Richtigkeit.
dieser Gleichung gleichkommen, wenn wir ihrer Auflosung zunachst
eine Betrachtung dieser Sonderfalle voranschicken. Dabei konnen
wir an dieser Stelle den bereits besprochenen Sonderfall n = 0 iibergehen, denn wir wissen schon, daB er den einzigen Fall darstellt,
bei dem unter sonst beliebigen Werten von a , b , ~ , nnd el die beiden
Wellentypen der T E- und T M-Wellen unabhangig voneinander
bestehen konnen.
a) 1st das Dielektrikum im ganzen Bereich 0 r 5 b homogen
und also E" = el und po = p l , so verschwindet die linke Seite
Annalen der Physili.
324
5 . Folge. Band 43. 1943
von (2,9), d a dann k,=k, ist. I n einem solchen Hohlleiter sind also
f iir jedes p die beiden U'ellentypen voneinander unabhiingig. Gleich-
xeitig wiid aber in diesem Falle zoo= w , . Zieht man daher in deri
beiden Determinanten d p l e f und d p ( m ) die Eleniente der dritten Spalte
von denen der ersten ab, so wird
(2,12%)
3p (potp , ; wo,w,)= - 2n
-'"fo-.
* (nW,)*
JJbWo),
und das Verschwinden dieser beiden Determinanten fiihrt daher
tatsiichlich xu den bekannten Bestimruungsgleichungen f u r die
kritische U'ellenlange einer T E - oder TM-Welle in einem mit
eiueni einheitlichen Stoff angefiillten Hohlleiter zuriick.
b) Die rechte Seite der G1. (2,s) verschwindet aber wegeu der
ersten Determinante auch f u r a=b, und d a es sich in diesem Falle
wieder urn einen Hohlleiter mit einem einzigen Dielektrikum bandelt,
so mu6 sich das gleiche Ergebnis wie unter a) einstellen. Das ist
anch in der Tat der Fall, denn f u r ein a=b werden in der Determinante A$) nach Herausnahme des Faktors m p J a w , die zweite
und dritte Spalte einander gleich, in der Determinante Ad*' werden
hingegen die erste und dritte Spalte einander gleich. Beide Determinanten nehmen dadurch wiederum die Gestalt der G1. (2,12a,b) an.
c) Fur a -+ 0 betrachtet man am besten die Falle p = 0
und p
0 je f u r sich. 1st p = 0, so besteht bekanntlich schon
im allgemeinen Falle f u r beide Wellentypen die Moglichkeit zu
einer selbstindigen Existenz. I n den iibrigbleibenden Determinanten
wird zudeni unter der obigen Annahme iiber a das ihren U'ert
bestimmende Glied das Element im Kreuzungspunkt der zweiten
Zeile mit der zweiten Spalte, iind ein Verschwinden der beiden
Determinanten wird nur moglich, wenn dieses Glied selbst verschwindet. Die eindeutige Redingung hierfur ist aber das Verschwinden
von J , (bw,) odsr J0'(bw,). 1st p z 1, so geht die rechte. Seite von
GI. (2,9) fur a --t 0 wie a-z gegen 00, die linke Seite aber wie a-'.
Nach Multiplikation mit a4 muB also die linke Seite verschwinden,
und sie t u t das, falls einer der beiden Faktoren Jp' (bw,) oder
Jp(bw,) zu Null wird. Damit sind wir auch in diesem Falle zu den
bekannten Bestimrnungsgleichungen f u r die kritische Wellenlange
eines Hohlleiters mit einheitlichem Fiillstoff xuruckgelangt.
d) Ein weiterer bemeikenswerter Fall liegt vor f u r E --t a.
Dabei verhalt sich der ianere dielektrische Leiter bekanntlich wie
ein metallischer Leiter, und wir miissen daher i n diesem Grenzfall
+
H.Buchholz. Der Hohlkitor von kreisjormigem Querschnitt usw.
325
zu den Existenzbedingungen von X E - und TM-Wellen im Innern
eines kreisringformigen Hohlleiters gelangen. Auch diese Vermutung
1
findet ihre Bestatigung. Mit E , d c o geht .n$mlich auch w o wie E’ -%
gegen unendlich. Die rechte Seite von (2,9) geht also wegen w,--c 03
ihrerseits gegen Null wie JPa(awo).I n der Determinante A,,@) bat
das relativ gro0te Glied den Faktor J , (aw,),in der Determinante A?)
hingegen den Faktor ws*‘JP”awo’ . Schafft man diese beiden Faktoren
awo
auf die rechte Seite, so geht sie gegen Null wie E , - ~ , wahrend die
linke Seite an dem Grenzubergang weiterhin nicht mehr teilnimmt.
Die TE- und TM-Wellen konnen also in der Grenze selbst unabhangig voneinnnder bestehen. Ihre kritischen Frequenzen ergeben
sich bei der TE-Welle aus der Bedingung
und bei 3er TM-Welle aus der Forderung
Dieses Ergebnis la0t sich leicht direkt bestatigen.
Id ahnlicher Weise kann fur den Grenzfall E , --t 00 der
Nachweis gefthrt werden, da0 hierfur die G1. (2,9) wiederum in die
beiden Bestimmungsgleichungen fur die kritischen Frequenzen einer
TE- und TM-Welle in einem Hohlleiter vom Radius a/cm mit dem
Dielektrikum c o y p, zerfallt.
SchlieBlich betrachten wir noch den Grenzfall b --t 03.
Erstrecken sich die Grenzen des Wellenfeldes bis ins Unendliche,
so darf die physikalisch zulassige Losung der Aufgabe auf keinen
Fall zu einem von Null verschiedencn Energiestrom ins Unendliche
oder aus dem Unendlichen fuhren. Das ist nur moglich, wenn wir
im Gegensatz zu den bisher besprochenen Fallen fur das Fortpflanzungsma0 y = ~und damit auch fur w, und w 1 komplexe Werte
zulassen. Die langs des inneren dielektrischen Leiters fortschreitenden
Wellen weisen dann eine Dampfung auf. Nach den G1. (2,3) und (2,6)
wird daher y = u eine positiv imaginare Komponente haben mussen,
und auch fur w, und w1 ist dann sicher $tt(wO, W J > 0. In den
Beziehungen (2,11a,b) fur A$) und
werden jedoch unter
dieser Bedingung die Funktionen Hz’(b w,l und H y ( bwl) exponentiell
unendlich gro0, und das gleiche gilt von dem Produkt der beiden
zweireihigen Determinanten, die auf der rechten Seite der G1. (2,9)
Annala der Physik. 5. Folge. Band 43. 1943
326
vorkommen, denn es lafit sich dafur entsprechend den1 ubergang
von G1. (2,6a) f u r dplc) zu Gl. ( 2 , l l a ) auch schreiben:
Losen wir dementsprechend die beiden drei- und zweireihigen
Determinanten der G1. (2,9) nach den Elementen der letzten Spalte
auf uncl behalten iu der entstehenden Entwicklung begen ihrer
uberragenden GrOBe allein die Glieder bei, die mit der zweiten
H a n k e l s c h e n Funktion behaftet sind, so entsteht fiir die G1. (2,9)
nacli einigen rein formalen Ilmformungcn die Darstellung (2,t-i).
I n tlieser Form entspricht sie von der anderen Bezeichnungsweise
-.
1
I
(2914'
abgesehen genau der von H o n d r o s 9 angegebenen Bestimmungsgleichung fiir das Fortpflanzungsmafi einer elektromagnetischen
Welle langs eines einzelnen Drahtes.
3. Die kritiache Wellenlange der aufgedriickten Schwingung
Ebenso wie der mit Luft oder irgendeinem anderen homogenen
Uielektrikum angefiillte Hohlleiter ist auch der konzentrisch geschichtete Hohlleiter im unteren E'requenzbereich von o f u r elektromagnetische Wellen undurchliissig. Analgtisch zeigt sich dies darin,
daB das FortpflanzungsmaB (z in diesem Bereich eine positiv imaginare
Grofie ist und also eigentlich eine Dampfung vorstellt. Von anf;inglicli
grofieren R'erten bewegt sich dann
mit zuoehmender Frequenz (O
z u standig kleineren Werten hin, und a n denjenigen Stellen der
Frequenzskala, an denen irgendeine der unendlich vieleu niiiglichen
Wellenformen des Hohlleiters existenzfiihig werden, hat der zugehiirige
Wert des FortpflanzungsmaBes c( die GriiSe Sull. Beziehen wir wie
froher diese auf das Vakuum zu bezieliende Wellenlange mit i p ,
so stehen demnach bei der Frequenz w , die diesen Wellenlaogeu
entspricbt, die Wurzelausclriicke w, und 7u1 cler GI. (2,9) niit
iu
dem folgenden einfachen Zusanirnenbang:
H . Buchholz. Der HohUeiler von kreisfomigem Querschnitt usw. 327
Bei den speziell auf die Bestimmung tler Lritischen FVellenliingen
abzielenden Rechnungen tritt aber an der G1. (2,9) die neitere starke
Vereinfachung auf, (la6 hierbei die rechte Seite dieser Gleichung
w~egeii des Faktors a, den sie enthalt, f u r alle zulgssigen M'erte
von p der Null gleicb gesetzt werden muB. Machen wir daun auch
noch von der schon eingangs erwahnten Tatsache Gebrauch, daB
in praxi alle dielektrisclien \Verkstoffe die gleiche Permeabilitiit haben
wie das Vakuum, so berechnen sich demnach f u r einen Hohlleiter mit
dem Radius b cm, dessen dielektrischer Einsatz im Rereich 0 2 r 5 a
die Uielektrizitatskonstante E~ und im Rereich a z r s b die Dielektrizitltskonstante
hat, die kritischen fellenl%ngen aller Wellen-
= 0.
Jp( b k , ( n * P 1 )
Y r(bk i l n , P I )
0
Um eine anschauliche Vorstellung vou dem Charakter der Losung
dieser beideu Gleichungen zu geben, ist zuniichst in Abb. 3 unter
der Annahme, daB der Brechuugsiudex v den Wert 2 hat und das
innere Dielektrikum die Luft selbst ist, die Abhiingigkeit der
kritischen Wellenl%nge ,
?
:
;
einer 7'Eno-Relle vom Durchmesserverhgltnis a / b dargestellt worden. und zwar f u r die ersten 6 Teilwelleu. Mathematisch gesehen ist also dabei die Aufgahe zu losen,
die ersten 6 Wurzeln der G1. (3,2a) fur p=O z u bestinlinen. H a t a , b
den W e r t 1, so handelt es sich dann offenhar uni einen niit Luft
angefullten Hohlleiter. Die kritische Rellenliinge ist also in diesem
E'alle gleich 2 x b / j , ". Bei dem K e r t a/b = 0 liegt ein Hohlleiter
vor, dessen ganzes h e r e s mit einem homogenen Dielektrikum mit
328
Annabn der Physik. 5. Folge. Band 43. 1943
der Stoffkonstantea t, augefiillt ist. I n diesem Fall betragt daher
die kritische Wellenlange das ,!fade des zuerst angegebenen Rertes.
I n der Abbilduog sind diese beiden Grenzfalle besonders hervorgeholen. ,4u6erdem zeigt nun die Abb. 2, wie sich die kritische
Wellenliinge in dem dazwischenliegenden Bereich mit a / b verandert.
Die dicse Anderung beschreibenden, von links nach rechts apsteigenden Kurven weisen mit wachsender Ordnungszahl n in ihrem
oL q>
d
B&ngsS/nder:
.-
q;
Y=
0; g;
@
3
2
q;
L?;
4;
9;)
/
+f
Abb. 2. Der Gang der ersten sechs Wurzeln der GI. (3,211)fur p = 0
mit dem Verbiiltnis a/b fur den konstanten Wert 2 des Brechungsindex
Verlauf eine wie n - 1 zunehmende Zahl von Absatzen auf. I n den
Punkten, wo diese Absatze von den Kurven jbn a / b geschnitten
werden, haben sie eine zur Abszissenachse parallele Tangente, und
diese Punkte sind nicht bl06 Nullstellen von do(()tiberhaupt, sondern
zugleich Kullstellen des Elementes (2,3) in A,,@) sowie der Unterdeterminante, .die zum Element (1,3) gehort. I n Abb. 3 ist unter
den gleichen Bedingungen der Verlauf von 2jz b/l.r: mit dem Verhaltnis a ' b f u r die TM,,-Welle dargestellt.
F u r die praktischen Bediirfnisse verdienen naturlich die Gesetzrna6igkeiten, die f u r die Wellen der kleinsten Ordnung bestehen,
das groBte Interesse. Aus diesem Grunde wurde in Abb. 4 noch
+
H . Buchholz. Der Hohtleiter von kreisfbinigem Querschnitt usw. 329
Abb. 3.
Der Gang der ereten
sechswurzeln der G1. (3,2 b)
fur p = 0 mit dem Verbatnis ajb fur den konstanten
Wert2 des Brechungsindex
Abb. 4.
Die kleinste Wurzel
der G1. (3, 2a) fur p = 0
fur die kritische Frequenz
einer TE,,-Welle
Abb. 5.
Die kleinsfe Wurzel
der .Gl. (3,2b) fur p = 0
fur die kritische Frcquenz
einer TiK,i,,-Welle
Abb. 3
330
Annabn der Physik. 5. Folge. Band
43. 1943
einmal der Verlauf der kritischen Wellenlange mit dem Verhaltnis a/b
speziell fur die TE,,-Welle in einer bequemeren Ordinatenskala
dargestellt und uberdies rnit der praktisch niitzlichen Erweiterung,
da6 neben dem Wert v = 2 fur den Brechungsindex auch noch
andere Werte von v beriicksichtigt worden sind, die sowohl grO6er
als auch kleiner als 1 sind. Man beachte bei der Beurteilung der
Abbildung den in der oberen und unteren Halfte der Abbildung
verschiedenen OrdinatenrnaBstab und mache sich klar, da6 fur ein
v = ( L ~ / E ~ ) ’ / * 1 das dielektrisch dichtere Material das Ringgebiet und
fur ein v < l das Gebiet des inneren Kreises anfullt. I n denAbb.5
und 6 ist auf die gleiche Weise der Verlauf von
und
mit alb
fiir die TM,,-und TE,,-Welle dargestellt wordeo. Eine weitere
Erklarung zu diesen Abbildungen diirfte sich eriibrigen.
>
,iE)
4. Die Berechnung dee FortpflansungamsDee und der Rohrwellenlange
aue der charakterietischen Oleichung
So wichtig die Kenntnis der kritischen Wellenlange fur viele
Zwecke auch sein mag, so reicht sie gewiB nicht aus, wenn es wie
im vorliegenden Falle unser Ziel ist, den Gang der dielektrischen
Dampfung mit der Frequenz oder der Betriebswellenlange kennenzulernen, da hierzu jedenfalls auch der Zusammenhang zwischen der
Wellenzahl k der aufgedruckten Schwingung und dem Fortpfianzungsma6 a im ganzen iibrigen DurchlaBbereich des Hohlleiters bekannt
sein muS. Da a! bei allen anderen Frequenzen mit Ausnahme der
kritischen von Null verschieden ist, so ist bei der Behandlung
dieser Aufgabe die rechte Seite der GI. (2,9) im allgemeinen
nicht mehr einfach der Xu11 gleich, es sei denn, es handelt
sich gerade um eine der beiden axialsymmetrischen Wellentypen,
fur die p = 0 ist. Fiir die numerische Behandlung der Aufgabe bedeutet natilrlich das Verschwinden der rechten Gleichungsseite von (2,9) eine sehr erhebliche Erleichterung, und wir werden
ung daher im folgenden ausschlieblich rnit diesem einfacheren Fall
auseinandersetzen.
4,l. Der Zueammenhang swiechen der aufgedruckten Vakunmund der Bohrwellenlange bei der axialaymmetriechen TE,,,-Welle
Bei der Behandlung der TEno-W’ellelauft die vor uns liegende
Aufgabe auf die Auflosuug der Gleichung
do(B)
cu,,Po ; wo ,q)= 0
nach dem in den beiden Wurzelausdriicken wo und w, steckenden
unbekannten Fortpflanzungsma6 a! hinaus, wenn dabei die beiden
q17
H . Buchholz. Der Hohlleiter von kreisjormigena Querschnitt usw. 331
Wellenzahlen Lo3 und kIZ nebst den ubrigen Daten als bekannt
anzusehen sind. Um diese Aufgabe in dem richtigen Lichte zu
sehen, erinnern wir uns daran, daB nach dem Durchgang der
Frequenz durch die kritische Wellenlange a' zunlichst gewi6 nur
klein ist. Die Auflosung der Gleichnng LI,(~I=
0 ist also in diesem
Bereich unter der Voraussetzung durchzufiihren, dab wo und w1
reelle GriiUen sind.
Wir losen nun, um weiterzukommen, am besten die do@)
definierende Determinante von G1. (2,8a) nach den Elementen der
dritten Spalte auf und ordnen die entstehende Gleichung so, da6
auf der einen Seite nur die Glieder mit wo,auf der anderen Seite
nur die Glieder mit 7 5 stehen. Die aufzulosende Gleichung lautet
dann n i e folgt:
Statt dessen kann man auch die Schreibweise der G1. (4,l a') wahlen.
I
Y*(a U',)I
I #J,(b toI)
Yl (b w,)
. J* (a 7('1)
I
R i r werden jedoch der ersten Form (4,la) den Vorzng geben.
Bei weiterer Zunahme von a nird es aber auch vorkommen
konnen. da6 a' > koa oder kI2 wird. Enthalt das Ringgebiet das
optisch dichtere Medium, so wird wegen E*<
el zuerst die R u r z e l wo
positiv imaginar werden. Wir setzen dann w,= i. /w,l,
und die f u r
diesen Fall der Gleichung do(')= 0 nach Art Ton (4,l a) entsprechende
Beziehung laBt sich unmittelbar aus dieser Gleichung selbst herleiten
oder sonst aus der G1. ('411 c) auf dieselbe Weise wie G1.(4,1 a)
aus (4,Ya). F u r ein k I 2 > c c 2 > k o 2 ist also die Gleichung zu behandeln:
so ist das innere Einsatzstuck das optisch
1st andererseits E~ >
dichtere Medium, uud bei Zunahme von c 2 wird zuerst a 2> kIa werden,
wahrend es dabei kleiner als kO2ist. Dann i s t y rein positiv imaginar,
wir setzen i n diesem Falle in Analogie zu der eben verabredeten
Bezeichnungsweise w l= i. I z q I Statt der G1. (4,l a) ist danach unter
.
22'
332
Annalen
der Physik. 5. Folge. Band 43. 1943
den jetzigen Bedingungen die G1. (4,l c) aufzulosen, die ihrerseits
unmittelbar aus der G1. (2.1 1d) hervorgeht.
I,(a u',) K, (a u'l 1
(4,l C)
(amo- =
~ * J I
CZW,*J,(UW,)
-.2
U~ZC,(
-1
I
.
~
~
+&(a
~
(
b
~
~
(
~
l
fur
!
~
k2>
K l ct2
(
> k2.
~
~
~
K,(~I~~J)I
u), )A-~,(u
1
-L@lu911)
SchlieBlich ware es formal analytisch noch denkbar, daB u2
sowohl k,Z als auch kIa an GroBe iibersteigt. Dann werden beide
Abb ti. Die Kurven I dieaes Bildes atellen die linke Seite der GI.(4,la)
in Funktion von a lwoI und die Kurvei I1 die rechte Seite dieser Gleichung
in Funktion von n I w1 ! dar
Wurzeln w0 und w1 rein irnaginlr, und es ist dann ntlch den
Losungen der G1. (4,ld) zu suchen, die fast ohne jede Rechnung
aut3 der G1. (4,l c) folgt.
Da es nicht moglich ist, die vier G1. (4,l) auf rein analytischem
Wege aufzulosen, so muB die Zeichnung mit dazu herangezogen
werden. Das kann in der folgenden anschaulichen Weise [l] geschehen.
l
~
~
~
H . Buchholz. Der Hohlkiter vm kreisjormigem Querschnitt usw. 333
Uber einer gemeinsamen Abszisse werden geniaB Abb. 6, die die
Losong dieser Aufgabe f u r den besonderen Wert a,/b = 0,2 darstellt,
sowohl die Kurven f0 (a wo), die der linken Seite der G1. (4,l a, b) entsprechen, als auch die Kurven f, ( a w l ) entsprechend der rechten
Seite dieser Gleichung aufgetragen. Die voll ausgezogenen Kurven
dieses Bildes beziehen sich dabei auf den Fall reellen Argumentes,
die strichpunktierte Kurve auf den Fall rein imaginiiren Argumentes.
Fur alle Losungen der G1. (4,la) miissen nach dieser Gleichung die
beiden Ordinaten fo (a w0) und f, (a w , ) gleiche Grebe haben. Sind
dann aw,, = T,, und a w l = T , die Abszissen der beiden Schnittpunkte,
in denen eine beliebige Parallele zur Abszissenachse die beiden
Kurven f,, (a ,wo) und f, (awl) trifft, so stehen zur Berechnung der
in w,,und w1 steckenden beiden GrijBen cre und koz oder k,e bei
reellen Werten von T~ und T , die folgenden beiden Gleichungen zur
Verfiigung:
.
(4,2a) aaka- (1 -
c:
=T
1
~
( 4 2 b) a* (2.-- 1 = T~~ - 8%
el
T~
-
~-
2n
k ~= --r
,
=Vakuumwellenzahl,
2n
t l a , Q! = - =
1,
Rohrwellenzahl.
Werden auf die gleiche Weise zwei Kurven auf gleiche Ordinstenhohe miteinander verglichen, von denen entweder die eine oder die
andere zu positiv imaginiiren Argumentwerten gehort, so ist in den
G1. (1 l,2) entweder t o= i 1 ~ oder
~ 1 T, = i I T ] 1 zn setzen.
Fur die weitere Auswertung macht man sich dann a m besten
entsprechend den drei Fgllen
.
.
I. T~ und T ] beide reell,
11. r0 reell, aber T~ = i I T ] I,
111. T~ reell, aber T~ = i . IT^^ j e drei Kurvenbliitter mit der
.
Abszisse T,, oder I T ~ J und der Ordinate T ] oder I T , I zurecht, in
denen die auf den eingezeichneten K w e n liegenden Punkte mit
ihren Abszissen und Ordinaten zusammengehorige Wertepaare der T,,
und T~ darstellen. Das ist f u r den oben angegebenen speziellen
Wert von a l b = 0,2 in den Abb. 7 , 8 und 9 geschehen. Die
Beriicksichtigung des vierten Falles, bei dem gemaB G1. (4,ld)
T~ und T~ beide imaginar sind, erubrigt sich, denn aus Abb. 6
ist sofort zu ersehen, daB diese Gleichung keine eigentliche
Losung mit endlichen Werten von T~ nnd T~ besitzt, d a ihre
linke Seite stets groBer a19 Null, die rechte Seite stets kleiner
a19 Null ist. Wir beginnen die Besprechnng dieser drei Abbildungen
mit der Abb. 7.
934
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 43. 1943
Besteht der innen liegende kreiszylindrische Bereich des Hohlleiters am dem optisch dichteren Medium, so muB nach G1. (4,2a)
wegen <E~ auch etets r0> rl sein und umgekehrt. Die Gerade t o= T~
Y
3
3
2
7
0
7
2
3
-am
- r, =
5
I
o
7
Abb. 7. Die zurrammengeh6rigen Lasungswerte r0 und
f u r bla = 5
-tPW,
8
w
'ro-a
T,
der G1. ( 4 , l a)
)/&w
Abb. 8. Die euaammengeharigen LGsungswerte
T~
und I rI ] der G1. ( 4 . 1 e )
fur bla = 5
dieser Abbildung zerlegt also den fur die Zeichnung benutzten ersten
Quadranten in eindeutiger Weise in zwei voneinander getrennte
Bereiche, die den beiden Fallen E ,
E~ zugehoren. Sol1 uberdies
im Innern des Hohlleiters eine Ausbreitung in Form ungedampfter
=
H . Buchholz. Der Hohlleiter 'uon kreisformigem Querschnilt usul. 3%
elektromagnetischer Wellen moglich sein, so mu6 as>O sein. Fur
ein eo > heiSt das aber, daS nach G1. (4,2b) auch stets ro> rl ( E ~ / E , ) ' / #
-
Y
i4
Abb. 10. Die k d e r u n g der Wellenlbge l, im Hohlleiter
mit der WellenlOnge 1 der aufgedrilckten Schwingung
bei der TE,,- und TE,,-Welle
sein muS, und der Fall der Gleichheit dieser beiden Gro6en entspricht offenbar dem Zuetand bei der kritiechen Wellenlinge. Far
336
Annalen der Physik.
5. Folge. Band 43. 1943
ein E,,< el besteht die ganz ahnliche Bedingung eines r1> ro.(&o/sI)IJ~.
Die daraus fiir den Wert E ~ / E=~ 16 oder 1/16 resultierenden beiden
Grenzgeraden eind in Abb. 7 miteingezeichnet worden. Alle Kurvenpunkte zwischen dieeen beiden Geraden beziehen sich auf einen
Zustand im Sperrbereich des Hohlleiters.
Wir bleiben nun weiterhin zunachst bei dem Fall E ~ < E~ und
rerfolgen in Gedanken eine der Kurven zwischen der Grenzgeraden
t o = t l. ( E ~ / E , ) ’ / * und der Abszissenachse. Da fiir jeden Kurvenpunkt die
zngehorigen Werte von r0 und rl ohne weiteres aus der Abbildung
abgelesen werden konnen, so lassen sich aus ihnen iiber die beiden
G1. (4,2) auch sofort die entsprechenden Werte von ah und a u
oder von +?nu und 1,/2na bestimmen. Diese Gr6ben sind es, auf
die es im folgenden eigentlich ankommt. Die Art ihrer gegenseitigen
Abhangigkeit veranschaulicht die Abb. 10 (0).Diese teils graphische,
teils rechnerische Ermittlung des Zusammenhanges von Ir/2na mit
I / 2 n a findet auf Abb. 7 echeinbar ihr Ende mit dem Auftreffen der
Kurve auf die Abszissenachse. Da an dieser Stelle der bisher positiv
reelle Wert von r1 gleich Null wird; so stehen wir hier offenbar
dem Eintritt des Ereignisses gegeniiber, auf das schon vorher hingewiesen worden ist und das in dem ubergang von r1 von positiv
reellen Werten zu positiv imaginaren Werten besteht. Um den
weiteren Verlauf der Abhangigkeit des I, Ton I verfolgen zu konnen,
miissen wir daher jetzt die Abb. 8 heranziehen, die die zusammengehorigen Werte von ro und rl = i J T , ~darstellt. Auch hier hat
die Berechnung der Werte von ak und aa! aus den einzelnen
Kurvenpunkten mit Hilfe der G1. (4,2) zu erfolgen, jedoch mit dem
Unterschied, da6 in diesen Gleichungen fur t 1 2nunmehr - rIZzu
setzen ist. Der weitere Gang der Rechnungen erfiihrt danach keine
Unterbrechungen mehr. Der Punkt, in dem rl von reellen zu
imaginaren Werten umschlagt, ist auf der Kurve der Abb. 10 durch
einen kleinen Kreis hervorgehoben worden.
I n ganz ahnlicher Weise erledigt sich der Fall E~ > so. Hier
An
beginnen die Rechnungen an der Grenzgeraden r0 = r,
den Stellen, wo die zwischen dieser Geraden und der Ordinatenachse
gelegenen Kurven auf die Ordinatenachse auftreffen, geht nun ro von
positiv reellen Werten zu positiv imaginaren Werten uber und, um
weiter zu kommen, ist von nun a n die Abb. 9 zu benutzen. Dabei
mu6 gleichzeitig in den G1. (4,2! das Vorzeichen von roa in das entgegengesetzte verwandelt werden. Auch die fur diesen Fall bei dem
vorgelegten Zahlenbeispiel errechnete Abhangigkeit ,des I, von I
wnrde in die Abb. 10 eingetragen (0).An6erdem ist hierin noch der
Verlauf von I., mit I fur die beiden Grenzfillle dargestellt worden,
-
.
( E ~ / E ~ ) ’ / ¶ .
H . BuchhoZz. Der Hohlleiter con kreisjormigem Querschnitt usw. 337
die einem entweder allein rnit dem Dielektrikum E , / E = 16 (0)oder
allein mit Luft angefullten 'Dielektrikum (0)
entsprechen. Die vergleichsweise Betrachtung dieser vier Kurven der Abb. 10, die
sowohl fur die TE,,- (Kurven mit Ziffer 1) als auch fur die
TE8,- Welle (Kurven mit Ziffer 2) wiedergegeben sind, liiSt
in sehr anschaulicher Form die verschiedenen Eintliisse eines
stjindig zunehmenden Fiillfaktors auf den Verlauf von irmit A
erkennen.
Aus den vorstehenden allgemeinen Angaben heben wir noch a19
besonders bemerkenswert die Tatsache hervor, daB das Anflaufen der
in den Abb. 7-9
dargestellten Kurven auf die Abszissen- oder
Ordinatenachse steta unter einen, rechten Winkel erfolgt. Wir wollen
i n Riicksicht auf die spateren Rechmngen den Nachweis hierfiir
rtllgemein erbringen. Aus der G1. dJC'(II,
p, w,,w,)= 0 folgt znnachst
durch eine Differentiation nach den beiden Variablen wo und w 1
die Formel:
(473)
(4,3a)
(p, p, w,,wl)w
~ " ( 6 )
- 24e- . ja_".li
aw, .
Jo(aw1)
Y,(aw,) 1
J,(aw,)
Y,(aw,) 7
(4,4){ - F ( p , p + l ; 2 p + l ; l-$)+op.-.-.- J ( a w )
(IW,
1
2
a
naw,
b
*
338
Annalen der Physik. 5. Folge. Rand 43. 1943
Das fiir alle wo und w1 zu fordernde Verschwinden von d,(e) druckt
sich also im besonderen fur w1 = 0 in dem Bestehen der G1. (4,5)
aus. Dann aber gilt offenbar in der unmittelbaren Umgebung der
Stelle w1 = O fiir ein w o , das der G1. (4,5)genugt, die Entwicklung (4,3b).
Die Ableitung ado(e)/awlhat also daselbst einen endlichen, nicht
verschwindenden’ Betrag, wahrend die Ableitung ad$) /a wo nach
G1.’(4,4) dort unendlich wird. Damit ist aber auch der zweite Teil
der obigen Behauptung bewiesen.
Die Kurven der Abb. 6, die die Grundlage fur den Entwurf der
Abb. 7-10 bilden, hangen in ihrem Verlauf nur von einem einzigen
speziellen Zahlenwert ab, namlich von der Annahme uber den Wert
des Verhaltnisses a/b. Das gleiche gilt auch von dem Verlauf der
Kurven in den Abb. 7-9.
Erst bei der Berechnung des Zusammenhanges zwischen 1,1237 a wird es notwendig, weitere spezielle Zahlenangaben zu machen, und zwar sowohl uber das Verhaltnis El/&o als
auch iiber das Verhaltnis Eo/a. Die letzte Angabe wird entbehrlich,
wenn man in Abb. 10 als Abszisse statt der Vakuumwellenlange 1
die auf das Dielektrikum to bezogene Wellenlange Lo verwendet.
Demnach macht es bei den TE,,-Wellen nur wenig Mtihe, die
funktionale Abhiingigkeit zwischen L, und 1. auch fur andere Werte
aufzuzeichnen, solange dabei das Verhaltnis alb ungehdert
von
bleibt. Die Richtung, in der sich die an Abb. 6 anzubringenden
hderungen bewegen, wenn auch das Verhiiltnis a / b ein anderes
wird. laSt sich am leichtesten erkennen, indem man die GL (4,la)
unter der Annahme umschreibt, daS die beiden Argumente awO
und awl sehr groB sind, denn die asymptotischen Naherungsausdrlicke
fiir die Funktionen J und Y liefern bekanntlich auch dann noch
zahlenmaSig recht brauchbaxe Werte, wenn die Argumente nur nicht
gerade sehr klein sind. Die (31. (4,l a) ist dann naherungsweise gleichwertig der vie1 einfacheren GL (4,6), und man emieht aus ihr sofort,
(4,6)
1
.tg (awo -
-4.)
n
=- 1
*
tg (:
- 1) a w l )
daS sich mit abnehmenden Werten von b/a der gegenseitige Abstand
der von oben nach unten verlaufenden Kurvenziige I1 in Abb. 6
standig vergrolert. 1st aw, in G1. (4,6) rein imaginilr, so ist
H . Buchholz. Der Hohlleiter von kreisjormigem Querschnitt usw. 339
>
wegen lawol 1 fur Sg lawol der Wert 1 zu setzen, und die linke
Seite von (4, >) ist dann einfach dem Wert l/jaw,I gleich. So zeigt
sich dann auch an dieser Gleichung, daB die Reellwertigkeit ihrer
beiden Seiten gewahrt bleibt, wenn wo und w1 einzeln oder zugleich
rein imaginare Werte annehmen.
4,2. D e r Zusammenhang
swischen der aufgedruckten Vakuum- und der Rohrwellenlange
bei der axialsymmetrischen TMn,-Welle
Die Berechnung des FortpflanzungsmaBes w, das zu einer vorgegebenen Frequenz gehort, laBt sich bei einer axialsymmetrischen
1’M-Welle in ganz ahnlicher Weise bewerkstelligen wie bei der
axialsymmetrischen TE-Welle. Nur ist dabei eine groBere Rechenarbeit zu leisten, weil in der Determinante do@),
deren Nullstellen
in bezug auf a es aufzufinden gilt, die Koeffizienten
E~ der
Elemente der mittleren Zeile nicht mehr vor die Determinante gezogen werden konnen. Die Wurzeln der charakteristischen Gleichung
werden also schon in bezug auf wo und w1 auch von dem Verhaltnis /e0 abhangig.
Lost man die Determinante do(m)
von G1. (2,Sb) wie vordem d o ( e )
nach den Elementen der dritten Spalte auf, so steht mac, solange wo
und w1 noch beide reel1 sind, vor der Aufgabe, solche zusammengehorigen Werte von wo und w1 zu finden, die die G1. (4,7a) befriedigen.
Wird bei weiterm Anwachsen von aa wegen ko2 < kI2 zunachst die
WurzelgroBe w o positiv imaginar gleich i Iwol,so nimmt die Zinke
Seite der aufzulosenden Gleichung die Gestalt des unter (4,7 b) angeschriebenen Ausdrucks an, wahrend in dem anderen Falle, wo
wegen ko2> kl” die GroBe w1= i I w1I wird, die rechte Seite von
G1. (4,7a) eine Anderung erfahrt und nach G1. (2,lla) die Gestalt des
unter (4,7 c) angegebenen Ausdrucks erhalt.
-
-
340
Annalen der Physik. 5. Folge. Rand 43. 1943
Zwecks Auflosung der transzendenten G1. (4,7a) kann in der
gleichen Weise vorgegangen werden wie im Abschn. 4,l. Wir tragen
daher einmd iiber der Abszisse awO oder a I w, I die linke Seite der
GI. (4,7 a) auf und das andere Ma1 iiber der Abszisse a w1 oder a I lul [
die rechte Seite dieser Gleichung. Hierbei besteht nur zum Unterschied gegentiber dem zuerst beschriebenen Fall die Unbequemlichkeit, daB der Verlanf einer der beiden Kurven auch noch von dem
Abb. 11. Die Kurven I diesee Bildee etellen die linke Seite
der G1. (4713) in Funktion von a Iw,I und die Kurven II
die rechte Seite dieeer Gleicbung in Funktion von a jw, 1 dar
Verhgltnis
a b h i g t . In der Abb. 11, die diese Kurvendarstellungen wiedergibt, ist alb = 0,2 und &,/to= 1/16 gesetzt worden.
Der Fall
= 16 ist absichtlich in die Abb. 11 nicht mit aufgenommen worden, um nicht durch eine Vielzahl von Kurven die
efbersichtlichkeit der Abbildung zu erschweren. Im iibrigen ist die
hfzeichnung der Kurven in dieser Abbildung nach denselben Gesichtspunkten erfolgt wie in Abb. 6.
Die Kurven h (wo,w l ) zusammengehoriger Werte von w,,und w,,
di6 aus Abb. 11 wiederum dadurch erhalten werden, da6 man die zu
gleichen Ordinaten f w,) = f (w,)geh6renden verschiedenen Abszissen
bestimmt, sind getrennt nach den drei Fallen I, I1 und III von
Abschn. 4,l in den Abb. 12, 13 und 14 wiedergegeben. Diese Kurven
H . Buchholz. Der Hohlleiter von heisformigem Querschnitt urn. 341
wurden im Gegensatz zu Abb. 11 sowohl fur das Verhiiltnis E ~ / E , = 1/16
als auch fur das Verhtiltnis
= 16 dargestellt. Die Tatsache, daB
sie fur w,,---t 0 senkrecht auf die Ordinatenachse stoBen und
fur w1 --t 0 senkrecht auf die Abszissenachse, laat sich auch im
vorliegenden Falle durch allgemeine fjberkgungen erhhten. Fur
ein w, = 0 ist namlich diesmal
wenn hierin w1 die zu w,,= 0 gehorende Wurzel von dJm)
= 0 bedeutet. Andererseits gilt im vorliegenden Falle fur dJm)die folgende
absolut konvergente Entwicklung :
Fur w1= 0 sind also, wie das auch aus Abb. 12 hervorgeht, die
Wurzeln der Gleichung b,@)= 0 identisch mit den Wurzeln ion
der
Gleichung Jo(aw,) = 0, und fur die Funktion
gilt in der Umgebung der Stelle awl, falls aw, =jOnist, die Darstellung:
Nach GI. (4,3) ist also mit
d w , ----too.
der Tat dw0
AJm)
an Stelle von doce)fur w1= 0 in
342
Annalen der Physik. 5. Folge. Hand 43. 1943
Der physikalisch hauptsachlich interessierende Zusammenhang
zwischen I , l 2 n a und 1./2na kann nun aus den Abb. 12-14 wie
fruher mit Hilfe der G1. (4,2) ermittelt werden. Dabei bleiben auch
I
I
i!
Y
I
I
II
43
2
7
Abb. 12. Die zusammengehorigen Lcsungswerte I , , , r1 der GI. (4,7 a)
fiir b/a = 5 und e,/e, = 1/18 (Kurve I) und el/€,, = 16 (Rurve 11)
Abb. 13. Die zusammengehtirigen Losungswerte I,, und r1 I der GI. (4,7c)
fur b/a = 5 und al/eo = 16 oder 1/16
die damaligen Bemerkungen Wort fur Wort in Geltung. Die so
entstehende funktionale gbhangigkeit des I , von I ist in Abb. 15
sowohl fur die TM,,- (Kurven rnit der Ziffer 1) als auch fiir die
TM,,-(Kurven rnit der Ziffer 2) Welle dargestellt, und zwar auch
diesmal zusammen. rnit den beiden Grenzfallen, bei denen der Hohlleiter entweder zur Ganze rnit Luft oder mit einem homogenen Dielektrikum mit der Dielektrizitatskonstanten 16 angefiillt ist.
H.Buchholz. Der Hohlbiter von kreisfhigem Querschnitt usw. 343
SchlieBlich geben wir auch noch fiir das hier behandelte Beispiel der TM,,-Welle die Grenzform der G1.(4,i'a) fur groBe Werte
von aw, und aw, an. Sie lautet
Abb. 15. Die Anderung der Wellenlbge 1, im Hohlleiter mit der Wellen.
l b g e 1 der aufgedruckten Schwingung bei der TMlo und Tdd,,-Welle
(4,lO)
-.
aw0
8
1
-
tg aw, - - = L.
(
1)
8,
UWo
Wie in Abb. 6 wird daher mit abnehmenden Werten von b / a der
gegenseitige Abstand der in Abb. 11 von oben nach unten verlaufenden Kurven standig gro8er.
344
Annabn der Physik. 5. Folge. Band 43. 1943
4,21. Ein Niiherungnauedruck f i r dae FortpflansangemaO
bei den T&ln,-Wellen fur ein e,/so
oder < l
>
Das bei dem oben besprochenen allgemeinen Auflosungsverfahren
sehr nachteilige explizite Auftreten von al/a, in den zur LiSsung
stehenden G1. (4,7 a-c) verkehrt sich in einen Vorteil, wenn a, /a,
einigermaen groS oder klein gegen 1 ist. Der durch die Natur
gegbbene gro8te Wett von &,/a betriigt 81. Er wird bekanntlich von
reinem Wasser erreicht, so daS also dieser Fall fur unsere Zwecke
ausscheidet. Es gibt jedoch neuerdings auch feste dielektrische
Stoffe rnit recht hohen relativen Dielektrizitatskonstanten, die bis zu
dem Wert 64 oder gar 80 hinaufreichen. Aus den Abb. 12 und 14
des vorigen Abschnitts, die nach den fruheren Angaben nnter der
Annahme eines al/ao = 16 oder 1/16 entworfen worden sind, geht nun
aber deutlich hervor, da8 bei der auf graphischem Wege erreichbaren
Genauigkeit sogar schon fur diesen noch nicht einmal besonders
groSen Wert von ella wenigstens die zu den drei niedrigsten Wellenformen gehorenden Kurven fur fast alle Argumente aw, oder a IwoI.
mit den auf diesen Abbildungen als Asymptoten bezeichneten Geraden
zusammenfallen. Nach Abb. 11 sind diese Asymptoten nichts anderes
als die Parallelen zur Ordinatenachse durch die Schnittpunkte der
mit I1 bezeichneten Kurven mit der Abszissenachse, das sind die
Stellen, an denen die G1. (4,lla) erfullt ist.
Der umgekehrte Fall el/ao< 1 fuhrt gemiiS Abb. 13 bei dem
Wert 1/16 fur dieses Verhiiltnis langst nicht zu einem so iibersichtlichen Grenzverhalten. Selbst bei dem Wert 1 / 6 4 w k e es noch
nicht so gut ausgepragt, denn es m a t e sicb dann bei gleicher Gtite
des Grenzverhaltens zeigen, da6 die Kurve I von Abb. 13 im wesentlichen mit der zur Ordinatenachse parallelen Geraden zusammenfiillt, die der Wurzel j& von G1. (4,llb) entspricht.
J , (aw,) = 0
Dieser Unterschied liegt im wesentlichen in der den Abb. 11-14
zugrundeliegenden Wahl des Zahlenwertes 5 fiir das Verhaltnis b/a
begrundet.
Die obigen Angaben iiber die in den beiden Grenzfallen al/ao
1
oder g 1 ma6gebenden G1. (4,ll a, b) lassen sich auch unmittelbar
aus der G1.(4,7a) ablesen. Bleiben wir zunschst bei dem Fall eo/el< 1
>
H . Buchholz. Der Hohlbiter von kreisfomiigent Querscknitt usui. 345
so ist die lirike Seite tlieser Gleichung nach Jfultiplikation niit E , / E ~
stiindig eine recht klcine GrijBe, wofern nicht U I L ' ~iu der unmittelbaren
Umgebung der Stollen ionliegt, die den Seriner J,, (air,) zum Verschwinderi bringen. Das ist im besonderen dann nicht zu hefurchten,
wenn sic.,, h e i t s irnaginiir geworderi ist. Rezeichnet ; y n ( l ,0, a , b)
Init 11 = 1 , 2 , 3 . . . eine der unendlich vielen Stelleri der G1. (4,ll a)
in beaug auf awl, die sie zu Sull machen, so. wertleu sich wegen
der Kleinheit der linken Seite von (4,: a) die wahren \\.urzeln dieser
Gleichung in der Form der GI. (412) d:irstellen lassen. Geht man
(4,12)
U U ' ~=
y,(I,O; a,!))
+ on
mit
!'n --t
o
fur 5
.-+ o
€1
riiit diescm Ausdruck fiir aic, in die G1. (4,ia) ein wid entwickelt
riach Potenzeu ron o,,, so findet Inan f u r cliese IiorrekturgroBe uach
Yerriachliissigung aller hijheren Potenzen als der ersten die folgende
Heziehurig :
n'!
.
a
(4,12a)
I,ia ! fro
I)
..
. . .-.
a ,Wo
. z, (a ZC" I)
f u r n = 1!2,3, . . .
u. ""<l,
F1
F u r die soeben irn Grenafall E ~ / E ,<< 1 durchgefuhrte Schlu6folgerung ist, es sehr wesentlich, dab es hier auf solche bei diescm
Groijenverhiiltnis von E , ) it, bestehenden N&herungslosungen der
G1. (4!7a) ankommt, die gem56 der G1. (412) in der Sachbarschaft
von y, liegen. Braucht diese nach Lage der Dinge hier notwendige
Forderung nicht erhoben zu werden, so wird man auf eiri gauz
anderes Ergebnis gefuhrt. Jst namlich a z t I hinreichend verschieden
von y,,, so wird fiir E , / E , << 1 nach (31. (4,ia) die rechte Seite dieser
Gleichung schr groB, und ihre Wurzeln miissen dann in der Siihe
von azo0 = j,, liegen, d. h. in der Sahe dcr Xullstellen cler
Furiktion J,(aw,,). Dainit h a t sich aber der Fall ergeben, auf den
bereits im letzten Absatz des dbschn. 2,1 d hingewiesen norden ist.
1st umgekehrt das Verliiiltriis F~
1, so wcrden die R'urzeln
der GI. (4,7a) in der Nahe r o n ax,= j ; , liegen, wofern niclit die
rechtsstehende Nennerdcterminante f u r diese Werte voii ax,,in der
Kiihe ihrer e i p e n Sullstellen liegt. d u c h diese Gefahr ist ini besonderen dann nicht vorhanden, wenn air, iiriaginiir ist. Wie oben
<
Annalen der Physlk. 5. Folge. .13.
23
Annalen der Physik. 5. Folge. Bald 43. 1943
346
mbge fur die wahre Rurzel der G1. (4,Ta) bei einem
1 der
Ansatz (4,13) gemacht werden. Geht man auch hier mit diesem
+
= j & fin
Ansatz in die G1. (4,Ta) ein, entwickelt iiach Potenzen von G,, und
bricht diese Entwicklung hinter dem ersten Gliede ab, so ergibt sich
in Riicksicht auf die Formel (4,Tc) die Beziehung:
(4713)
azv,
Damit haben wir wenigstens fur die charakteristische Gleichung
der TMn,,-Wellen eine explizite Darstellung ihrer Losungen gefunden, wenn auch nur unter Beschrankung auf die beiden Grenzfalle &,/+,>
1 oder
1. Wegen der Kleinheit von (1, und u,, berechnen sich dann auf Grund der G1. (4,12) und (4,13)fur das
FortpflanzungsmaS cc selbst die beiden Ausdriicke:
<
- yn2-
(4914 a)
a2uaw a2k I 2
(4914 b)
a 2 u acr a2kOa
- jd:-
2pn y,
2nnj&.
Um eine Vorstellung von der Gute der Naherungen zu geben,
die durch die G1. (4,12) und (4,13) erreicht wird, wurde in die Abb. 13
neben die voll ausgezogenen, auf dem fruher geschilderten graphischen
Wege gewonnenen Kurven zusammengehoriger Wertepaare von aw,
und awl auch die aus (4,13) hervorgehende Kurve dieser Art
eingezeichnet. Die Naherung ist darnach oberhelb von i r1 = 2
recht gut brauchbar. Bei der Bewertung der Naherung darf man
nicht aus den Augen lassen, daB es sich bei Abb. 13 um den ungunstigeren Fall handelt und der Zahlenwert des Verhaltnisses E ~ / E
noch gar nicht so beeonders groB ist. Fur den umgekehrten Fall ergibt
sich unter den vorliegenden Umstiinden ein wesentlich giinstigeres Rild.
~
4,3. Die Naherungsauedruoke fur dae FortpflansungsmaB
a
der beiden axia~eymmetriechenWellen fur ein b
<1
F u r die naherungsweise Auflosung der beiden charakteristischen
Gleichungen
= 0 und dim)
= 0 bietet sich eine weitere Moglichkeit in dem Falle dar, wo das Verhaltnis a / b nur klein ist. Um zu der
dann gultigen Naherungslosung zu &ommen, hat man lediglich notig,
die beiden charakteristischen Determinanten nrtch den Elementen der
~
H . B U C ~ L ~ Der
Q ~ ZHohlkiter
.
von kreisformigem Querschnitt usw. 347
tlritten Zeile aufzulosen und die zugehorigen Unterdeterminanten
nach l'otenzen von aza und au', zu entwickeln.
Bleibt man in dieser Entwicklung beim ersten Gliede stehen, so
gelangt man im Falle der TEno-Welle f u r die Bestimmung des
FortpflanmngsmaSes zu der Siiherungsgleichung (4,15), die f u r
a = 0 oder f u r ein E , = E ~ , wie es sein mu6, in die einfache
(4,15)
J,'(bw,)
3
-
n upulO2
32
. a2kOa. ($- 1) - Y,' (bu.,)
Gleichung J , (bu;,) = 0 ubergeht. D a die rechte Seite dieser Gleichung
wegen des kleinen R e r t e s von a selbst nur klein ist, so werden die
Wurzeln YOU (4,15) in der Niihe der Nullstelleu von J, (bw,) liegen.
Nachen wir dementsprechend den Losungsansatz bw, = $ i n + C a4,
so ergibt sich nach kurzer Rechnung f u r das FortpflanzungsmaB u
selbst die Beziehung:
.
I n genau der gleichen Weise laBt sich zeigen, da6 sich bei einer
T Mno-Welle die Auflosung der charakteristischen Gleichung dotrn)
=0
f u r geniigend kleine Werte von a auf die Auflosnng der V A' h erungsI
gleichung (4,16) reduziert. hus ihr flie6t als Kiiherungsgleichuog f u r
das FortpflanzungsmaB u selbst die Beziehung (4,16a). Auch diese
beiden Gleichungen vereinfachen sich fiir a = 0 und t, = t o in der
(4,lS)
zu erwartenden Art und Weise. A19 einen besonders auffalligen
Cnterschied zwischen den (31. (4,15a) und (4,16a) verzeichnen wir die
Tatsache, daB im ersten Falle das Korrekturglied von der Ordnung (a/b)'
und im zweiten Falle yon der Ordnung (+)a
ist. Diesen Unterschied
illustriereu in sehr anschaulicher Weise die Kurven in den Abb. 4
und 5 durch die verschiedene Xeigung, mit der aie f u r a/b t 0 i n
die Horizontale einmunden.
Die obigen SchluBfolgerungen, die zu den Niiherungsgleichungen
f u r cc2 fuhrten, werden hinfallig, wenn w,selbst sehr klein oder gar
rein imaginar ist. Sie sind nur zuiassig, wie das j a auch durch die
Wahl des Losungsmsatzes f u r bw, bereits zum Ausdruck gebracht
worden ist, wenn w, reellwertig ist. Dieser Umstand beschrankt
teilneise die Gultigkeit der obigen Niiherungsgleichungen nicht un23'
348
Annalen der PlL?/.di. 5. E'ol!y
l3(1rd 43. 1943
wesentlich. S m wenigsten ist das rioch der Fall f u r ein ti/€,,> 1, d a
danri, wie wir schon irn AbsLhn. 1,l geschen haben, die Sufldsung
der beiden charakteristischen Gleichungen iiherhaupt LU keinen
andereii als zu reellen Werten f u r w, f'uhrt. Fur ein e , i f , > 1 ist
abcr w1 nur i n dem verh~ltnismiiBig fichmalen Frequenz\)ereicli reell,
der sich nach oben hin unniittelbar a n die kritisclie Prequenz
anschlieBt.
5. Die Dampfung der axialsymmetriachen Wellen
infolge der dielektrischen Verluste
Sachdem i n den beiden voranstehenden Abschnitten gezeigt
worden ist, wie es aeuigstens bei den beiden axialsgrnmetrischen
Wellentypen g e h g t , das Fortpflanz~irigsrnaBu = 2;r 'i., aus cler charakteristischen GI. (a$) zu bestininien, wollen wir uns jetat der zaeiteii
Hs1f't.e der eiugangs formulierten Aufgahe zuwendeii und a n erster
Stelle eiiien Ausdruck f u r die dielelttrische i ) i h p f u n g einer Hohlleiterwelle herxuleiten versucben. Ziirilclist w r d e n wir bei den
darauf abzieleriden Rechnungen annehmcn, dab beidc Dielektrilta
verlustbehaftet sind, da dieses Vorgeheu die liistigen Fallunterscheidungen iibertiiissig rnacht, ohrie daB die rechnerischen Schwierigkeiten dadurch groBer werden
Kach einem schon im Abschn. 1 erfolgteri Hinweis rerlangt die
d n n a h m e eines verlustbehafteten I h l e k t r i k u m s zuniichst einmal den
E , durch die komplexen Ausdrucke
Ersatz von
+
(&] , e,) . [1 i . (tg , tg dJ] .
L)n aber be1 einein verlustbchaftcten Dielektrikuni auch rnit eirier
Diimpfung der Wellen gerechnet werden mu6, so h a t man auch das
friiher reelle FortpfianzungsmaB rc durch das komplexe Fortpflanzungsma6 ;' = uu9 + i . ( j u g z u ersetzen, wobei dann zuniichst sowoI1l C C I ) ~
als auch
uiibckanut sind. I n den G1. (2,10a, b) ist dernnach
jetzt f u r w p zu schreiben:
Pny
Kun ist ~ e g e ndes sehr ltleinen Wertes von tgOP sicherlich auch ;3,)y
eine kleine Grd3e. Solange also das Hauptglied in G1. (5,la) nicht
gerade klein und auch u , ) YOU
~ Xu11 verschieden ist. darf f u r u:p(L) in
G1. (5,l) wegen kp2 = (2;1 j.j2. €,/a bis auf GrijSen zweiter Ordnung
in tg J, gesetzt Herden:
H. Buchholz. Der Hohlleiter von kreisformigem Querschniit usw. 349
Nach diesen vorbereitenden Rechnungen wollen wir uns d a m
zunachst mit der Berechnung der Dampfung einer TiVno-Welle beschaftigen. Zu diesem Zweck gehen wir mit dem Ausdruck (5,la)
an Stelle von w o und w1 in die G1. (2,lOb) ein und entwickeln die
Determinante nach den kleinen inderungen von wiD)und cp. Damit
entsteht als Bestimmungsgleichung fur aDgund PDg bis auf Glieder
zweiter Ordnung in t g J die Beziehung (5,2), in der sich die Abco+i.co.tgOo, El+i.El.tgS1;
wu(D)+
i q 0 , wl'D)+i.q,)=
0
= A"(*)(€",
E l ; WJD), W,(D))
1
leitung nach den
nur auf die explizite als Faktoren in A J m ) auftretenden c-Werte bezieht. Aus den fruheren Angaben im Abschn. 2
ist aber bekannt, daB in G1. (5,2), es mogen nun w o und w1 rein
reell oder rein imaginar sein, die Determinante do(*i)
selbst stets
reell ist. Demnach ist in dieser Gleichung das Hauptglied das einzige
reelle Glied, wahrend alle andereu Glieder rein imaginar werden. Aus
dem Verschwinden der Gliedersumme folgt daher:
1. Unter der Voraussetzung eines genugend kleinen Wertes
yon tg Jp ist auch in einem konzentrisch geschichteten Hohlleiter, der
mit verlustbehafteten Dielektrika angefiillt ist, das FortpflanzungsmaB
einer T Mno-Wellepraktisch das gleiche wie bei Verwenduug verlustfreier Dielektrika, und es berechnet sich mithin das FortpflanzungsmaB
auch im Verlustfalle nach wie vor aus G1. (2,lOb). I n G1. (5,2) kann
daher fortm uberall aDgdurch a und damit auch w:)
durch w p
ersetzt werden.
2. I n einem konzentrisch geschichteten Hohlleiter mit zwei verschiedenen verlustbehafteten Dielektrika laBt sich fur alle von Null
genugend verschiedenen Werte von a, es moge dabei w p reell oder
imagink sein, die Dampfung einer T Mn0-U7ellenach der Formel (5,3)
berechnen.
1
= _.
2a
.
Nlcm
(a > 0).
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 43. 1943
350
F u r die nach den e p abgeleiteten Determinanten ist der explizite
Ausdruck leicht herzustellen. Hedeutet namlich d o ( m ) (1,3) die zu dem
Element der ersten Zeile und dritten Spalte gehijrende Unterdeterminante von do(m)
gemiiI3 der Definitionsgleichung (z,8 b), so ist
unter Benutzung eines bekannten Entwicklungssatzes wegen do(m) = 0
(2,3)= -J , (aw,)
.d J m )
(1,3).
Die boiden links stehenden Ausdrucke sind also eritgegengesetzt gleich.
Bei der Herleitung der GI. (5,3) haben n i r anfangs unter anderen
die Annahme gemacht, daB neben
auch die w p von Null verschieden sind. Xun ist fiir ein 8, < E , nacli Ahb. 15 sowieso n u r mit
einem Verschwinden von w o und im umgekehrten Ir'alle n u r mit einem
Verschwinden von w, zu rechnen. Nehnien wir aber hier bezug auf
die G1. (4,8a, b), so ist aus ihnen sofort zu ersehen, tlaB die Ausdrucke
-.
- sowohl f u r p = 0 a n der Stelle w o= 0 als auch
W P
8%
f u r p = 1 a n der Stelle w1 = 0 durchaus endlich bleiben. F u r die
Gultigkeit der G1. (5,3) ist also ehenso wie im Falle der GI. (1,3a') nur
noch wesentlich, da6 a! > 0 bleibt. Der Geltungsbereich von (5,3)
umfa6t daher bereits, den ganzen Teil der Dkmpfungskurve, der f u r
die praktische Beurteilung allein wichtig ist.
F u r t o= t 1 muB die F o r m d (5,3) selbstredend in die friihere
GI. (1,3 a') iibergehen, d a j a unter dieser Annahme das Dielektrikum
homogen ist. Das ist nun in der Tat der Fall, denn, sobald t o= 9
ist, wird &!.!!? = do(m,(s,,%'?!o&
= 0, und d a such kp2 ko2
a eP
80
-
und tg Jp = tg 8, vor das Summenzeichen gezogen werden kiinnen, so
gelangt man damit wirklich von der G1. (5,3) zu der einfachen
GI. (1,3a') zuruck.
1st nur eines der beiden Dielektrika innerhalb des Hohlleiters
verlustbehaftet, wie es bei der uns vorschwebenden Ausfuhrung der
Fall ist, so vereinfacht sich die G1. (5,3) nicht unwesentlich. 1st
z. B. allein das innere Dielektrikum verlustbehaftet und also tg J,,
0,
so wird
+
H . Buchholz. Der Hohlleiter von kreisjormigem Querschnitt usw. 351
Weist allein das &@ere Dielektrikum Verluste auf, so erhalt man
I n den G1. (5,3a, b) steht auf der linken Seite das Verhatnis
der dielektrischen Dampfung /Iyg
des Hohlleiters mit geschichtetem
Einsatz zu der Dampfung desselben Hohlleiters, wenn er zur Ganze
rnit dem betreffenden verlustbehafteten Dielektrikum allein angefiillt
ist. Wird dabei wie oben angegeben die n-te Wurzel von Jo(z)= O
benutzt, so mussen natiirlich auch fur w,,und w 1 die entsprechenden
rt-ten Wurzeln der Gleichung AJmJ =0 verwendet werden.
Die Herleitung der analogen Dampfungsformeln fur die TEnoWelle gestaltet sich wesentlich einfacher, weil in diesem Falle die
charakteristische Determinate
die Faktoren
und c0 'nicht explizite enthalt. Im ubrigen kann sie auf die gleiche Weise erfolgen.
Bei der TEno-Welle tritt mit der fruheren Bezeichnungsweise an
die Stelle der G1. (5,2) die von vornherein einfachere G1. (5,5). Auch
ihre Gultigkeit ist zunachst an die Forderung
gebunden, daB die w p und ayg+O sind. Fur ein reelles oder imaginares wiD) und ein reelles w , ( ~ ist
) in (5,5) das Hauptglied reell
und das Storungsglied rein imaginar. 1st jedoch w,(DJ rein imaginar,
so wird nach G1. (2,lld) jetzt das Hauptglied rein imaginar und
das Storungsglied rein reell. Auf jeden Fall stellt sich aber fur
die verschiedenen, fur wo und w1in Frage kommenden Wertebereiche
auch stets eine verschiedene Art der Wertigkeit von Hauptglied und
Storungsglied ein. Aus diesem Verhalten lafit sich daher auch im
vorliegenden Falle der SchlnB ziehen, da6 in einem Hohlleiter
mit verlustbehafteten Fiillstoffen das FortpflanzungsmaB aDgeiner
TE,,j-Welle von dem Verlustwinkel der betreffenden Materialien
in erster Ordnung unabhangig ist. Fur die Dampfung fuhrt die
G1. (5,5) mittels der gleichen SchluBweise, falls beide dielektrische
von Null verschiedene Verlustwinkel haben, zu der rnit demselben
Qrade der Naherung gultigen Formel (5,6). Die besonderen Formen,
352
Annalen der Plzysik. 5. Folge. Band 43. 1943
2
1
(576)
p (4 = - .1Dg
p
. ad.l':, ap
8%
=o
2a
p = o
1
__
a~,(e)
. __
WP
aw,
N/cm
( a > 0)
die sie annimmt, wenn entweder 6, oder 6, allein von Null verschieden sind, brauchen in diesem Falle wohl nicht im einzelnen angeschrieben zu werden. Der Giiltigkeitsbereich der GI. (5,6) ist
gleichfalls nur ilurch die Forderung a > 0 beschriinkt, denn fur
w,,
= 0 bleibt sowieso jedes Glied im Zahler und Nemer von
G1. (5,6) endlich, und fur w1 = 0 gilt nach Erweiterung mit w 1
dasselbe. I n den G1. (5,3) und (5,6) haben wir uns damit sowohl
fur die TM,,- als auch fur die TE,o-Welle die Moglichkeit geschaffen, fur den ganzen DurchlaBbereich eines zweifach konzentrisch
geschichteten Hohlleiters den dielektrischen Dampfungsanteil auch
zahlenmagig zu berechnen. Dabei ist allerdings Voraussetzung, daB
der Zusammenhang zwischen der aufgedriickten Frequenz und den
Wurzelausdrucken wo und wlbereits anderweitig bekannt ist. Gerade
der Auffindung dieses Zusammenhanges dienten aber fur die genannten
beiden Wellentypen die Rechnungen in den Abschnitten 4,l und 4,2.
Trotz der groBen grundsatzlichen Bedeutung, die der Dampfung
im Sperrbereich eines Hohlleiters zukommt, besteht im allgemeinen
nach einer genaueren Kenntnis dieser Dampfung kein Bediirfnis,
Neil es in der Regel zu wissen geniigt, dai3 sie in diesem Bereich
sehr groi3 ist. E s sol1 jedoch a n dieser Stelle nicht unerwahnt
bleiben, daB auch unter den vorliegenden Bedingungen diese Sperrdampfung notigenfalls berechnet werden kann, wenn auch natiirlich
nicht mit derselben Leichtigkeit wie etwa mit Hilfe der GI. (1,3d)
bei einem Hohlleiter mit einem homogenen Dielektrikum. Selbstverstandlich kommt es fur die Ermittlung der Dampfung im Sperrbereich in keiner Weise mehr auf die Verlusteigenschaften der verwendeten Dielektrika an. Wir stehen hier vielmehr dem Fall
gegeniiber, daB das FortpflanzungsmaB a rein positiv imaginar ist
und daher selbst die Rolle der Dampfung spielt. Gus diesem Grunde
konnen wir jetzt in G1. (5,l) tg 6 und aD als den Realteil von
gleich Null setzen. 3afiir darf aber in der nunmehr
(577)
wp=
{k;+";s"z
fur w p geltenden G1. (5,7) pDg nicht mehr als klein gegeniiber kp
angesehen werden, und die Berechnung des unbekannten Wertes
von mu8 nun wieder aus der Auflosung der beiden transzendenten
H.Buchholz. Der Hohlleiter
von kreisformigem Querschnitt
usw. 353
Gleichungen d,,(e)=O oder
nach w,,und w, erfolgen. Das
kann an Hand von Bild 7 und Bild 12 nach demselben graphischanalytischen Verfahren geschehen wie in den Abschnitten 4,l und
4,2 die Berechnung von a. Die den G1. (4,2a, b) entsprechenden Beziehungen haben dabei die nur wenig veranderte Form der 01.(5,s a, b)
(5,8a)
E
.
die sich einfach aus dem obergang von a zu i
erklart. Die Unterscheidung der beiden Falle E
~ hat~ auchE hier~ in derselben meise
zu erfolgen wie im Abschnitt 4,l. Besonders einfach erledigt sich
nach diesem Verfahren die Bestimmung der maximalen Dampfung
bei der Frequenz w = 0, bei der also nach den letzten beiden Gleichungen
ro = tl ist. Wir wollen jedoch hierauf nicht naher eingehen.
Die Pormeln (5,3) und (5,6) fiir die dielektrische Dampfung
konnen noch auf eine erheblich durchsichtigere Form gebracht
werden. F u r die zahlenmiiI3ige Berechnung bringt allerdings diese
Umformung keinen Vorteil mit sich. Der groBte Etfolg la& sich
damit an der G1. (5,6) erzielen. Wir gehen Ton der Tatsache aus,
daB die in (5,6) auftretenden WurzelgroBen wo und w1 an allen
Stellen des Gultigkeitsbereiches dieser Gleichung stets die G1.
d,,(e)(p,p, wo,wl)= 0 erfiillen. Mithin besteht zwischen den partiellen
Ableitungen der Determinante
nach dem wo und w,die G1.(4,3).
An Stelle der G1. (5,6) la& sich daher auch schreiben
p(e)
Dg
= i.
k12.t g b * ~ ~ * d ~ t g~ &-wk, . d~ w~1 *
2u
w 0 *d w U- w1 * d wI
Nun ist aber wegen wp2= k p 2- a2
2 . Wp.aWp
= a(W,2? = a(k,2) - a ( d )= E. .a(kz)-aiU2).
Mithin erhalt man auch
Ersetzt man hierin nach a durch 2nlh, und k durch 2n,'R, so entsteht die folgende Schlui3gleichung:
12
F u r tg a. = 0 oder tg 6,
Gleichungen :
(e)
(5,9a)
PDg
-
di
0 flieBen aus ihr die beiden besonderen
- 2 . 1t g.
a l ' { T . - - - a* i r
- 8, - a0
aa
a2
2
3,
351
Annalen der Physik. 5. Folge. B a d 43. 1943
Fullt im Falle der G1. (5,9a) das homogene Dielektrikum mit der
Dielektrizitatskonstanten E , den Hohlleiter zur Giinze aus, so ist
nach Abschn. 1
entsteht dann in der Tat die fruhere G1. (1,3a).
und fur
Bei dieser Gelegenheit mag auch noch erwiihnt werden, da6
die in den obigen Gleichungen vorkommenden beiden GroBe,n I.$
und dj.,/di in engem Zusammenharig stehen mit der Phasen- und
der Gruppengeschnindigkeit der Hohlleiterwellen. Nach G1. (2,2) ist
niimlich im vorliegenden k'alle die Phasengeschwindigkeit vph= o / u .
Wegen w = k c = 2a cji. und a = 2 z / i , ist daher
-
-7.p h
= -1,.
(5,9 4
C
i
In allen Punkten oberhalb der Geraden i r =*; von Abb. 10 ist also
die Phasengeschwindigkeit gro6er als die Lichtgeschwindigkeit. Die
-
Gruppengeschwindigkeit vg ist definitionsgema6 gleich up?,- ir $ Y p h
4
Es besteht mithin fur sie auch die Reziehung:
.
Die G1. (5,9a, b) neisen gegenuber der G1. (5,6) und ihren Abwandlungen den gro6en Vorteil auf, da6 sie fur die Berehhnung des
DiimpfungsrnaBes einei Y'E,,, -Welle i n eineru zweifach geschichteten
konzentrischen Hohlleiter eine weit anschaulichere Vorschrift geben
als jene. Die Berechnurig von i 3 wird durch sie unmittelbar an das
Kurvenbild 1 5 angeschlossen. Da sich jedoch aus einer nur graphisch
gegebenen Kurve der Zahlenwert fur die erste Ahleitung nur sehr
ungenau bestimmen liiet, so ist der Nutzen, den man aus den
G1. (6,9a, b) fur die zahlenma6ige Berechnung ziehen kann, n u r sehr
gering zu bewerten. Buch die Hoffnung, daB es vielleicht moglich
sein kiinne, mit Hilfe dieser Gleichungen zu einer Angabe fiber die
Lage des Minimums von ,YD, zu gelangen, erweist sich als trugerisch.
Dennoch durfte es nicht ohne Interesse gewesen sein, auf die Moglichkeit der lebendigeren Darstellung von B durch (5,9) hingewiesen
zu haben.
I m Abschn. 4,21 konnte insbesondere fur die charakteristische
Gleichung einer T M,,-Welle eine gut brauchbare Kiiherungslosung
in Gestalt einer expliziten Darstellung des FortpflanzungsmaBes
H . Buchhlz. Der Hohlbiter
Eon
kreisjormigem Querschnitt usw. 355
erzielt werden. wenn das Verhaltnis
oder E ~ / E ] yon K;atur aus
genugend klein ist. Selbstverstandtich ist es in diesem Falle auch
ohne weiteres moglich, einen expliziten Naherungsausdruck fiir die
Diimpfung herzuleiten. Wir wollen uns bei der Xngabe dieser
Xiihemngsformelu von vornherein auf die Xnnahme beschriinken,
daS stets nur eines der beiden Dielektrika verlustbehaftet ist.
Es sei zuniichst E ~ / E ~ <1 mit = E . I n der G1. (4,14b) ist d a m
allein E~ durch E ~(1. i tg So) zu ersetzen. D a es wegen der Kleinheit
des Korrekturgliedes 6”.i;,,in dieser Gleichung und wegen des in
noch hoherer Ordnung kleinen tg So keinen Sinn hiitte, diesen Ersatz
von E,, etwa auch noch in den den Faktor cnzusammensetaenden GrijBen
beriicksichtigen zu wollen, so ist nur eine ganz einfache Rechnung
notig, urn zu dem Ausdruck f u r die dielektrische Dampfung einer
TM,,-Welle zu gelaugen. Es wird niinilich
+ -
F u r das Minimum der Dgmpfung ergibt sich daraus unmittelbar die
einfache Beziehung:
N/cm
.
G,
Die Formel (5,lOa) ist mit Sicherheit giiltig, solange :- < 1 ist,
LR n
und sie ist urn so genauer, je kleiner il ist.
1st umgekehrt
1, so entsteht f u r die Dsmpfung auf die
gleiche Weise der Ausdruck
<
mit dem Minimum
Auch diese Formel ist mindestens giiltig f u r alle
2 < 1.
SchlieBlich wollen wir hier auch noch die besonderen Dampfungsformeln angeben, die in dem im Abschn. 4,3 besprochenen Qrenzfall eines kleinen Wertes von a/b gelten. U m uns dabei nicht zu
sehr in Einzelheiten zu verlieren, machen wir auch diesmal von
vornherein die Annahme, daS jeweils nur eines der beiden Dielektrika
Verluste aufweist, wahrend das andere von der Luft gebildet wird.
356
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 43. 1,943 ’
F u r die dielektrische Dampfung einer T E,,, -Welie lassen sich dann
sofort nach dem Ersatz von E,, oder
durch ( E , , , E , ) (1 + i tg r&l)
aus der G1. (4,15a) die folgenden beiden Formeln ablesen:
-
.
Hierin bedeutet a(e) den durch G1. (4,15a) gegebenen Ausdruck fur
das FortpflanzungsrnaB einer T En,-Welle im zweifach konzentrisch
geschichteten Hohlleiter.
Fur die dielcktrische Dampfung einer T Mno-Welle ergeben
sich unter den gleichen Voraussetzungen aus der G1. (4,16a) die
beiden Ausdriicke (5,13a, b), in denen a@) die aus (4,16a) bekannte
GroBe ist.
(5,13b)
/?;:= ??%.
2 a(”’]
(!?)’. 5 . l@E!!!?
el
J,’Cj,,)
Die beiden G1. (5,12b) und (5,13b) sind aus den fruher angegebenen Griinden nur so lange giiltig, als w, reel1 und groBer als Null
ist, und also 0 < a@),a(%)< k, ist. Die dielektrische Dampfung, die
ein dunner, zylindriwher Stab aus verlustbehaftetem dielektrischen
Material innerhalb eines sonst mit verlustfreiem Werkstoff angefullten
Hohlleiters verursacht, macht sich danach in dem unmittelbar auf
die kritische Frequenz folgenden Frequenzbereich bei den T E-Wellen
in weit geringerem MaBe bemerkbar als bei den TM-Wellen.
6. Die Dampfung der sxialsymmetrischen Wellen
infolge der Wiirmeverluste in der W a n d u n g
AuBer den Umelektrisierungsverlusten treten natiirlich auch in
einem Hohlleiter mit geschichtetem Dielektrikum infolge der Wandstrome noch Warmeverluste in der Wandung auf. Diese Wandstrome
verlaufen im allgemeinen teils rein axial, teils rein zirkular, und sie
hangen bekanntlich mit den Randwerten der magnetischen Feldstarke
iiber die G1. (6,la, b) zusammen. Bezeichnet dann QM die gesamte
(671a)
i, (T) = - @,(h$4,
(61b)
i, (TI
=
QZ
(b P)
H . Buchholz. Der Hohlleiter von kreisjormigem Querschnitt usw. 357
GroBe d'ieser Art Warmeverluste in Wlcm und Sz den totalen
Energiestrom in W , der in Richtung der z-Achse den Querschnitt
des Hohlleiters passiert, so berechnet sich die durch diese Warmeverluste hervorgerufene Dampfung p M der Hohlleiteraellen, wie au.
energetischen Betrachtungen €olgt, nach der .einfachen Formel:
1
-
Qw
/yM = (692)
a s, N/cm.
Beide hier berucksichtigten Arten der Dampfung konnen ohne merklichen Fehler unabhaingig voneinander berechnet werden, so daB
dann die gesamte Dampfung, die eine Hohlleiterwelle bei ihrem Lauf
durch den Hohlleiter erfiihrt, einfach der Summe der beiden Teildampfungen gleicbgesetzt werden darf.
Wir berechnen zunachst die Dampfung
einer transversal
elektrischen TE,,-Welle. Nach den G1. (2,2) haben wir es bei einer
solchen Welle allein mit einer zirkularen Wandstromung zu tun,
~
~
Mit d =
fur die die einfache G1. (6,3) besteht.
A
(el
.
eiaz
als dem
( a3-1'a
-'--
(6,3)
i,(d=
*
1
Eindringmatl inZentimeter berechnen sich die je Langeneinheit desHohlleiters durch diesen Wandstrom erzeugten Warmeverluste auf Griind
einer bekaunten Hilfsvorstellung in erster Naherung gematl der G1. (6,4).
201
i
.
.
. -4,(e)
Wlcm
F u r den in Richtuug der x-Achse flieBenden Energiestrom besteht im vorliegenden Falle die Formel (6,5), da bei einer axial-
symmetrischen T E-Welle die einzigen von Null verschiedenen Komponenten der beiden FeldgroBen von Eq, Sjr und 8, gebildet werden.
fjber die G1. (2,2) und (2,3) folgt hieraus im Hinblick auf den Uma und a =
<r & b
stand, dab in den Querschnittsbereichen 0 f r
fur @, und @, verschiedene Formeln gelten, die genauere Berechnungsvorschrift (6,5a). Die Uberstreichungen einzelner Faktoren in dieser
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 43. 1943
358
Gleichung, die wie ublich vorschreiben, da6 fur die betreffende GroBe
der konjungiert komplexe Wert zu nehmen ist, berucksichtigen das
nach Abschn. 4 durchaus mogliche Eintreten des Falles, daB wo
oder w1 aul3er reellen Werten auch rein imaginare Werte annehmen
konnen. Da nun aber in beiden Wertbereichen von wo und w1
50WOhl die Funktion wo J , (rklo) als auch gemaB dem fjbergang
yon (4,lb) zu (4,lc) die unter dem Integralzeichen von (6,6b) auf-
-
a
aew
-G.
sJ1(rw,).J, (rw0).r .d r = 4
[ J ,2(awo)-Jo(awo)J,(aw0)],
2
(6,6a) w0
0
tretende Determinante stets selbst reelle Werte haben, so durfen
die G1. (6,6a, b) fur jedes wo,w1 der angegebenen Art als gultig angesehen werden. Nach der Zusammenfassung dieser Gleichungen
zu dem Ausdruck (6,5a) kann man nun einmal Gebrauch machen
von der Beziehung (2,7b) zwischen den Koeffizienten A>) und Al(e)
End auBardem von dem Bestehen der charakteristischen G1. (2,8a).
Die erste Moglichkeit erlaubt es, den Faktor A , @ ) .A,@) vor die
Klammer zu ziehen, die zweite gestattet die Elimination der Funktionen
mit dem Argument aw,. Auf diese Weise entsteht schlieBlich im
Endergebnis fur die Dampfung einer T E,,-Welle infolge der Stromwarmeverluste in der Wandung die sowohl fur rein reelle als auch
fur rein imaginare Werte von w o oder w1 gultige Formel (6,7). Die
p;=WB1.%.
nb
kIY
(___
;:Y''
Abhangigkeit des pdl von der Ordnungszahl n kommt in dieser
Gleichung nach den Ausfuhrungen im Abschn. 4 durch die Wahl
der wo- und w,-Werte zum Ausdruck. Geht in (6,7) E,+
E~
oder a-t 0, so entartet sie, wie es sein muB, in die bekannte
einfache Reziehung fur die Dampfung pnr einer TE,,-WeUe in einem
Hohlleiter mit homogenem Dielektrikum. Der Wert w1 = 0, der ja
fur ein E , < c0 tatsachlich erreicht wird, liefert fur
nicht etwa
einen verschwindenden Betrag, wie man zunachst glauben konnte,
sondern gemal3 G1. (6,i'a) einen von Null durchaus verschiedenen
/??
H . Buchholz. Der Hohlbiter v m kreisjomnigern Querschnitt usw. 359
EL',
= 0, a
= k,
Ausdrnck, da in (6,i') fur w1 = 0 auch der Nenner verschwindet;
Den gleichfalls von Null verschiedenen Grenzwert von p t fur
w, = 0 stellt die G1. (6,i'b) dar.
Die Dampfung &) der transversal. magnetischen TM,,-Welle
wird im Gegensatz zn dem eben besprochenen Fall durch eine rein
axiale Wandstromnng verursacht, fur die die G1. (6,8) besteht. Die
j,(y)= - A2I ( m ) .
cia=
(628)
nb
W'iirmeverlnste in der Wandnng bestimmen sich mithin je Langeneinheit des Hohlleiters nach der G1. (6,9).
Da anderereeits bei einer T M,,,
-Welle die einzigen von Null
verschiedenen Komponenten des Feldes die GroBen Q,, Q, und &=
sind, so ist der Berechnung der z-Komponente des Energiestroms
durch den gesamten Querschnitt des Hohlleiters die Formel (6,lO)
oder in ausgeschriebener Form
2x b
die G1. (6,lOa) zugrunde zn legen. Nun ist in 6,lOa) die mit w1
multiplizierte Determinante in dem Integral mit den Grenzen a nnd b
w,,und es ist notigenfalls lediglich erforderlich, die darin auftretenden
Determinanten entsprechend den friiher an G1. (4,l a) vorgenommenen
Anderungen umzugestalten. Die weiteren Umformnngen der G1. (6,lOa)
lassen sich in ganz ahnlicher Weise wie im AnschluE a n die G1. (6,6 b)
mit Hilfe der G1. (2,7 a) und der charakteristischen Gleichung d 0 ( m ) = 0
bewerkstelligen. F u r die Dampfung einer T1\.lno-Welle infolge der
Stromwarmeverluste entsteht damit die sowohl f u r rein reelle als
auch fiir rein imaginare Werte von w o und W , giiltige Formel (6,lZ).
Geht in dieser Gleichung E , -t E,, oder a--to,
so reduziert
sich p M ( m ) auf den vor der geschweiften Klammer stehenden Faktqr,
und dieser entspricht, wie es sein muE, dem bekannten Ausdruck fiir die von den Warmeverlusten verursachte Dampfung einer
T M,,- Welle in einem Hohlleiter mit homogenem Dielektrikum.
Die Stellen w, = 0 und w 1 = 0 verlangen im vorliegenden Falle
keine besondere Berticksichtigung, da sich ,6M(m)daselbst durchaus
regular verhalt.
7. Die Diimpfungskurven
der beiden niedrigsten axialsymmetriachen
TE,o-Wellen
Die in den voranstehenden beiden Abschnitten hergeleiteten
Formeln mogen uns nunmehr dazu dienen, den Verlauf der durch
die dielektrischen und durch die Stromungsverluste verursachten
Dampfung auch numerisch zu berechnen. Als Wellentypus wahlen
wir die axialsymmetrische TE, o-Welle, deren elektrische Kraftlinien
konzentrische Kreisringe bilden. Nach Abschnitt 2 kann diese Wellenart unabhangig von der TMno-Welle bestehen, und fiir ihre drei
Feldkomponenten gelten danach i n den drei Raiimteilen 0 7 r 5 a
und a T 5 b die folgenden beiden Gleichungssatze:
H . Buchholz, Der HohUeiter von kreisjomigem Querschnitt usw. 361
Es ist von dem gemeinsamen Faktor exp ( i a z - i o t ) in allen
sechs Gleichungen abgesehen
im Raum a z r s b ,
im Raum O z r s a ,
Die beiden hierin vorkommenden und von der Art und der Intensitat der Anregung abhangenden Konstanten A?) und A l @ ) stehen
nach GI. (2,7 b) in dem Zusammenhang:
k
mit
wy2=
und
w12 = k 2
2
- e2
E
k2.
5 - c?2
E
- a2
= k2
.?L- 2.
Die numerische Berechnung der beiden Arten der Dampfung
wurde bei den Abb. 16 und 17 auf den Fall bezogen, dab der
innere der den Hohlleiter ausfullenden beiden Korper mit einem
b/a= 5 und einem
= E,/E=
16 das optisch dichtere Medium ist,
wahrend bei dem Entwurf der Abb. 18 und 19 die Annahme
gemacht wurde, daB der uupere hulsenformige Korper rnit einem
b/a = 1,25 und einem E J E , = E J E = 16 der optisch dichtere ist. Innerhalb dieser beiden Gruppen vou Abbildungen betrifft die erste die TEl,und die zweite die TIC,,-Welle. Fur den AuBenradius b des Hohlleiters sowie fur den Verlustwinkel 3’ und die Leitfahigkeit B wurden
stets die gleichen, in den Abbildungen selbst eingetragenen Werte zugrunde gelegt. Jede Abbildung zeigt, sofern der gewahlte MaBstab uberhaupt noch einen Unterschied in dem Verlauf der Kurven zu machen
gestattet, den Gang der beiden Dampfungskomponenten
g:?/
und p$i
mit der zur Frequenz proportionalen GroBe 2 n bjn sowohl einzeln
als auch in der Summe. Um die Moglichkeit zu einem bequemen
Vergleich zu geben, wurde noch auflerdem in jeded der vier Abbildungen
auch der Verlauf der zu der gleichen Wellenordnnng gehorenden
Dampfungskomponente PM fur einen Hohlleiter mit dem einzigen Dielekrikum Luft eingetragen. Fur einen solchen Hohlleiter stellt
diese Dampfungskomponente zugleich die gesamte Dampfung dar.
Annalen der Physik. 5. Folge. 43.
24
Annalen der Physik. 5. Folye. Band 43. 1943
362
Selbstverstandlich liegt in allen vier Fallen die dem ungefiillten
Hohlleiter entsprechende kritische Grenzfrequenz bei hoheren Werten
von 2 z b/l. als bei den.Hohlleitern mit dielektrischem Einsatz. F u r
die Ordinate, die die Dampfung in N/km angibt, wurde stets der
gleiche NaBstab benutzt.
hus den Abb. 16 uud 1 7 , die sich auf den Hohlleiter aem
optisch dichteren Medium’ im Bereich der Achse beziehen, ist
zunachst zu ersehen, daB
702
hier die Dampfung in der
a;
Hauptsache dielektrischer
Natur ist. Das magnetische
f 4
N
Feld muB demnach in diesem
k;?i
2
Fall in dem auBeren ringformigen Bereich so schwach
70
sein, daB es keine Wand8
strome von merklicher GroBe
6
zu
erzeugen vermag. Ob4
gleich also die Diimpfungskomponente Pdrs im vor2
liegenden Falle fast ganz
7
zuriicktritt, liegt trotzdem
8
im gemeinsamen DurchlaB6
bereich des gefullten und
4
ungefiillten Hohlleiters d.ie
Dampfung des erstern stets
2
wesentlich hoher als die des
70-7
letzteren. Dieses Ergebnis
Abb. 16. Die totale Dampfung
entspricht zwar nicht dem
und ihre beiden DBmpfungskomponenten
erhofften Erfolg, es enthalt
bei einer TE,,-Welle in Abhangigkeit
van der Frequenz
aber jedenfalls auch nichts
uberraschendes. Ziehen wir
jetzt aber auch noch den Verlauf der Dampfungskurven bei der
TE,,-Welle in den Kreis der Betrachtungen mit hinein, so zeigt sich
hierbei die schaerlich vorauszusehende Absonderlichkeit, dab die
Dampfungskurve nach Eintritt in den DurchlaBbereich des Hohlleiters zunachst bei der Frequenz 2nb:A = 5,6 durch ein ziemlich
scharf ansgepragtes Minimum von 3,2 N/km hindurchgeht. Darnach
steigt sie wieder ziemlich steil an, erreicht bei 2 n b / i = 7,6 ein flaches
relatives Maximum von 130 Nlkm, um sich dann nach einem anfanglichen leichten Absinken allmahlich immer mehr einer zu unendlich
groBen Dampfungswerten fuhrenden asymptotischen Kurve zu nahern.
Durch das Hinzutreten der dielektrischen Dampfungskomponente pDg
’
H . Buckkolz. Der Hohlleifer von kreisformigem Querscknitt usw. 363
geht demnach auch in den vorliegenden Fallen sowohl der TE,,als auch der TE,,-Welle wie iiberhaupt jeder TE,o-Welle die fur
sie bei einem nur rnit Luft angefiillten Hohlleiter so charakteristische
Eigenschaft verloren, daI3 ihre Dampfung mit znnehmendcr Frequenz
stetig gegen Null geht. Bei der TE,,-Welle gibt es jedoch nach Abh. 1 7
trotzdem einen gar nicht einmal schmalen Frequenzbereich in dem
sogar die totale Dampfung
. ihrem Betrage nach noch unterhalb der
Dampfung pnr der TE,,M'elle des homogenen
Hohlleiters liegt. Dabei
gehoren allerdings diesem
Frequenzbereich nicht die
gleichen, sondern kleinere
Frequenzen an, was aber
Ton unserem Standpunkt
aus nur als erwiinscht anzusehen ist. Vergleicht
man andererseits die Dampfungskurve der TE,,Welle eines Hohlleiters
mit Einsatz mit der i n
Abb. 1 7 gestrichelt eingezeichneten Dampfungskurve der TE,,-M'elle in
einem luftgefiillten Hohlleiter von Abb. 16, so ist ihr
gegeniiber naturlich der
Hohlleiter rnit Einsatz im
70-71
I
Nachteil.
Abb. 17. Die totale Dampfung'
Von den friiheren Abund ihre beiden Diimpfungskomponenten
bei einer TE,,-Welle in Abhiingigkeit
schnitten her diirfte noch
von der Frequenz
die besondere Rolle, die
dem Verschwinden eines
der Wurzelausdrucke wo oder w, zukommt, in Erinnerung sein. Bei
m-achsenden Werten von ct geht an dieser Stelle der betreffende
Wurzelwert von rein imaginaren Werten iiber. Die Lage dieses
Punktes, die, nachdem einrnal die physikalischen und geometrischen
Daten des Hohlleiters festliegen, nur allein noch von der Frequenz
abhlingt, wurcle anf allen vier Abb. 16-19 auf der Kurve fur die
Dampfung PDg durch ein Kreuz besonders hervorgehoben. Fur die
anderen Kurven liegt sie natiirlich iiber derselben Abzisse. L)a fur
w1 = 0, a = k , ist, so entspricht dieser. Frequenz eine Hohlleiter24 *
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 43. 1943
364
welle, die sich mit der dem Mediuui k, eignen Lichtgeschwiodigkeit
fortpflanzt, und es steht daher zu erwarten, da6 in diesem Fall das
Hohlleiterfeld besonders einfacheu Gesetzen gehorcht. Das trifft
auch in der Tat zu, wie sich sogleich zeigen wird.
Da f u r w,= 0 die
auf der rechten Seite
von (7,4) stehende Deterrninante gegen den
Grenxaert - 2 / z b w,
strebt, die linke Seite
dieser Gleichung aber
auf jeden Pall endlich
bleiben mu6, so rnuB
offenbar f u r w1-- + 0 der
Amplitudenfaktor A1(0 in
der Weisc unendlich groB
werden, daB sein Produkt
6 -2,5cm
rnit w1 tlabei cndlich
bleibt, und den durch
GI. (7,5) angegebenen
U'ert annirnnit, denn
2fur w1 = 0 nird
Wo
0
7
2
3
,
5
6
7
8
=
k,Z - k i 2 .
9
Abb. 18. Die totale Diimpfung
und ihre beiden Dampfungskornpotientcn
bei eincr TE,,-Welle in Abhiirigigkeit
Y O U der Freqiienz.
[An der Absrisse mu6 steheii f , c Etstt c.'f]
Fur drei Feldkomponenten $jz, 8, und G5.,besteht dann aber nach
den G1. (7,1-3) in dem
ringformigen Bereich a 2 r 2 0 die fiilgendc cinfache GesetzniliBigkeit :
2
(i,Ga) $ j z = ( A l ~ ~ ~n b. .~1 i~i !i)- ~ (i,6b) O , p = - ( 1 1 ' + i t , ) .
b,
2
. [:--;)
Die z - Komponente des magnetischen Feldes besitzt tleinnach in
diesem Fall fiber den gnnzen Querschnitt des ringfiirmigen Bereichs
einen von r unabhiingigen IYert, wiiihrend die Komponente $jT, die
in zeitlicher Quadrstur zu $jz liegt, von der Wandung des Hohlleiters aus yon Xu11 her st%ndig zunimrnt. Zu eineni und deniselben
H . Buchh.olz. Der Hohlleiter
210%
kreisjormigem Querschnitt usw.
365
Zeitpunkt hat also die Komponente Q Z in dem Bereich a z r s b stets
die gleiche Richtung, und dasselbe gilt auch fur alle rein imaginaren
Werte vou wl, wie noch aus Abschnitt 2 bekannt ist. Demuach vollzieht sich also der bei der TE,,-Welle einmalige und bei der TE,,Welle zweimalige Richtungswechsel von @, langs
der Strecke O Z r s b fur
alle Frequenzen, die w1
zu Null oder zu einer rein
imaginaren GroBe machen,
stets innerhalb des konzeutrischen dielektrischen
Einsatzes.
Wenden wir uns nunmehr der Erorterung der
Abb. 18 und 19 zu, so fallt
sogleich als wesentlicher
Unterschied zu den ersten
beiden Abb. auf, daB bei
einem Hohlleiter mit einem
hulsenformigen, bis an die
Wandung heranreichenden
Einsntz die von den Stromwarmeverlusten in der
Abb. 19. Die totale Dampfung
Wandung
herriihrende
und ihre beiden Dampfungskomponenten
Dampfungskomponente
bei einer TE,,Welle in Abbangigkeit
wesentlich grijber ausfallt
von der Frequenz.
[An der Abszisse muB stehen f / c statt c / f ]
als bei der werst besprochenen Form des Einsatzes. Das Verhaltnis zwischen der Gesamtdiimpfung des Hohlleiters mit Einsrttz zu der Gesamtdampfung des
Hohlleiters ohne Einsatz gestaltet sich demnach hier bei der TE,,-Welle
noch bei weitem ungiinstiger als friiher. Die Abb. 18 bringt diese
sachlich deutlich zum Ausdruck. Die Abb. 19, das sich auf eine
TE,,-Welle in dern gleichen Hohlleiter mit hiilsenformigem Einsatz
bezieht wie die Abb. 18, laBtan dem Verlauf der beiden Dampfungskurven in dem an die kritische Frequenz sich auschlieBenden
Frequenzbereich die gleichen charakteristischen Einsattelungen erkennen, die a n Abb. 17 auftrsten. Das Maximum der totalen
Dampfung erreicht hier allerdings infolge des verschlechternden
Einflusses der Dampfungskomponente ,
!
I
,
, lediglich den immer noch
recht betrachtlichen W q t von 50 Nlkm, und zwar bei einer Frequenz
2%b / l = 5,05. Danach wird bei der Frequenz 2 m b/L= 6,6 ein relatives
966
Annalen der Physik. 3. Folgc. Band 4.1. 19.13
Diimpfungsmaximum im Retrage von 390 S l k m erreicht. Dem darauf
folgenden erneuten Absinken der 1)iimpfung wurde sich dann nach
dem Passieren eiiies zaeiten, im Bilde riicht mehr sichtbarcn rrlativen Minimum wiederum cine allmiihlich stiindige Zunahine der
Diimpfung zu unendlich groBen M-erten anscblie8en. 1 . k rergleichsweise auch in dieser Abb. eirigetragenen Kurven fur die totale
Diimpfung eines bloB mit Luft angefiillten Ho!illeiters lassen cry
kennen, da6 iIu rorlicgenden Falle (lessen giinstigere Dampfungswerte selbst bei Beschriinkung auf die 7'E20-Welle auch von dem
absoluten Minimum der Dampfurig eincs Hohlleiters mit hiilsenformigem Einsatz nirgends erreicht werden.
Konnte es bei der zuerst besprochcnen Ausfiihrurigsform eines
Hohlleiters mit Einsatz vorkommen, daB die WurzelgriiBe icl innrrhalb des hier interessierenden Frequenzbereiches zu Null H ird, so
kann sich jetzt das gleicbe hei der Wurzclgr66e w,,= ( k O 2 ereignen, d a unter den nunmelir vorliegentlen Umstiinden tler innere
Raumteil mit 0 7 T Za das optisch diinnere Mediuni beherbergt.
Da fur iu,=Ow, endlich bleibt und der Amplitutlenfalctor A,(c' aeder
unendlich noch null werden darf, so muB diesmal geniaW GI.(i,4)
A,(" in der Weise unendlich werden, daB dabei in der Grenze selbst
daB Produkt AJr)*wo2 endlich bleibt und den durch G1. (7,i)
w2)I:2
angegebenen Wert annimmt. Damit berechnen sich dann fur die
3 Feldkomponenten im Raum 0 z r 2 a die folgenden sehr eirifachrn
Bexiehungen: Es ist
(7,Sc)
Q,= -
k
-,
6J ,u
(3.,
Die SchluBfolgerungen, die aus diesen Gleichungen gezogen nerclen
kiinnen, entsprechen mutatis mutaridis den friiheren Remerkurigen
irn Anschlu6 a n die GI. (7,6a ...c).
Zum SchluB miichte ich nicht rerfehlen, Herr11 S. K a s m e n k o f f
fur die wertvolle Hilf'e, die er mir bei der oft reclit schwierigen
und zeitraubendenden Uerechming der Kurven erwiesen hat, a n
dieser Stelle zu danken.
8. Zusammenfassung
Das Ziel der vorliegenden Arheit bildet letzten Endes die Berechnung der totalen Diimpfung, die eine elektroniaguetische Welle
beim Durchgang durcli eiien Hohlleiter von kreisfcirniigem Quer-
H . Buchholz. Der Hohlleiter von kreisjomiigcm Querschizitt usw.
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schnitt erfiihrt, wenn der innere. kreiszylindrischc Hohlraum dieses
Leiters in konzcntrisclier Schichtung zwei untereinander verschiedenartige, in sich selbst aber homogene dielektrische Stoffe mit bekannteni
Verlustwinkel enthllt. Die Losung der Aufgabe erfordcrt bei diesem
Ziel die Herstellung des Zusammenhanges zwischen der M’ellenlange
der von au6en aufgedruckten Schwingung und der Wellenliinge der
Schwingung, die irn Rohr zustande kommt, und auBerdem die Herleiturig der Formeln, mit deren Hilfe sowohl die Diimpfung infolge
der Umelektribierungsverluste in den Dielektrika als auch die
Uampfung infolge der Stromwarmeverluste in der R a n d u n g des
IIohllciters berechnet werden kann.
Urn den e r s t e n Teil der Aufgabe zu losen, werden im Abschnitt 2 unter Berucksichtigung der Randbedingungen a n den verschiedencn Grenzfliichen die fiir die beiden T e i l r h m e im Innern
des Hohlleiters verschiedenen Wellenglcichnngen unter der Annahme
integriert, datl die entstehende Liisung eine langs der Hohlleiterachse
fortschreitende cleklromagnetische Welle darstellt. Xeben den 8Werten merden dabei im allgemeinen Teil auch die p-Werte als
Ferscliieden angesehen. Die Integration gelingt im allgemeinsten
Falle n u r d a m , v c n n von vornherein die beiden Typen der TE,,und der I’M,,-Welle als koexistent betrachtet werden. Das Vorhandenscin zweier verschiedener Dielektrika in einem Hohlleiter erzwingt also ganz von selbst eine Kopplung beider Wellentypen.
Nur bei den axialsynimetrischen Wellen mit y = 0, deren Feldkomponenten also riicht vom Azimutwinkel abhiingen, konnen die
heiden Wellentypen unabhangig voneinander bestehen. Das gesuchte FortpflanzungsmaB ct der Hohlleiterwelle. das umgekehrt
proportional mit der Rohrwellenlange ist, el scheint a19 die R u r z e l
der transzendenten G1. (‘2,9). Sie reduziert sich bei axialer Symmetrie
auf das Verschwinden einer der beiden linksstehenden Faktoren.
Die Richtigkeit dieser Gleichung wird gepruft a n den Entartungsformen, in die sie fur spezielle M-erte der geometrischen oder
physikalischen Daten iihergeht.
Die sich damn anschlieBende Auflosung der transzendenten
Gleichung wird in den Ahschnitten 3 und 4 nur fur den Fall der
axialen Symmetrie der Welle mit p = 0, aber fur beide Wellentypen
durchgefuhrt. Der Vorgang der Auflosung wird ausfuhrlicher besprochen und a n einer grd3eren Zahl von Abbildungen in seirien
einzelnen Phasen erllutert. K i r heben darunter vor allen die
Abb. 4 und 5 hervor, die fur yerschiedene Werte von ( E , / E ) ” : als Parameter die kritischen Frequenzen der TE,,-und TM,,-Welle in Abhiingigkeit von alb darstellen, und die Abb. 10 und 15. die fur einen
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Annalen der Physilc. 5. Folge. Bald 4.3. 3943
speziellen Fall den Gang der Rohrwellenlange mit der Wellenlange der
aufgedruckten Schwingung veranschaulichen. F u r einige Grenzfalle
wird auch noch am SchluI3 des Abschnitts 4 der Zusammenhang
zwischen diesen beiden Wellenliingen iri analytischer Form angegeben.
Der Abschnitt 5 bringt fur die beiden axialsymmetrischen
W’ellentypen die Aufstellung der Beziehungen (5,3) und (5,6) fur die
Dampfung der Wellen infolge der Umelektrisierungsverluste. Sie
w erden zunachst unter der Annahme hergeleitet, dab beide Dielektrika
im Hohlleiter verlustbehaftet sind. Die Formeln fur die einfacheren
Fiille ergeben sich daraus von selbst. Sie werden schlieBlich aucb
noch auf einc Form gebrdcht, die an Hand der Sbb. 10 und 15
cine wenn auch nur wenig genaue Berechnung der Dampfudg auf
graphisch analytischer Grundlage erlaubte. Fur einige Grenzfalle
lassen sich explizite Xiiherungsformeln angeben rnit cinem allerdings
nur beschrankten Geltungsbereich.
Im -4bschnitt 6 werden in den G1. (6,7) und (6,12) die entsprechenden Beziehungen fur die Dampfung d e i axialsymmetrischen
TE- und TM- Wellen infolge der Stromwarmeverluste inden Wandungen
hergeleitet. Das dabei benutzte Prinzip ist aus den Arbeiten uber
Hohlleiter mit homogenem Fullstoff hinliinglich bekannt. Die totale
Dampfung eines Hohlleiters mit dielektrischem Einsatz ergibt sich
mit ausreichender Annaherung aus der blo6en Addition der nach
dem obigen berechenbaren beiden einzelnen Diimpfungskomponenten.
Der Abschnitt 7 enthllt die Anwendung der aufgestellten Formeln auf die Berechnung der totalen Diimpfung einer TE-Welle
in einem Hohlleiter bestimmter Abmessung, wenn der dielektrische
Einsatz einmal ein dielektrischer Nittelleiter ist, das andere Ma1
eine dielektrische Hulse. Die Rechnungen erstrecken sich auf die
TE,,- und TE,,,-Welle und gipfeln in den Abb. 16...19, die die
beiden Diimpfungskomponenten sowie die totale Dampfung in Abhangigkeit von der Frequenz darstellen.
Schrifttumsverseichnis
Elektromagnetische Wellen an dielektrischen Driihten. Ann. d. Phya. [4] 32. S. 465-476. 1910.
2) D. IIondro s , Uber clektromagnetischc Drshtwellen. Ann. d. Phye.
[4] 30. S. 905, 950. 1909.
Wegen der zahlreichen Arbeiten uber Hohlleiter mag hier nur auf die
1,iteraturzusammenatellung verwiesen werden, die am SchluB der Arbeit doa
Verfassers in den Ann. d. Phya. [5] 39 S. 128. 1941 zu finden ist.
1) D. H o n d r o s und P. D e b y e ,
B e r l i n SW 29, Urbanstr. 126.
(Eingegangen 25. Juni 1943)
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querschnitt, der, einsatz, dielektrischem, mit, kreisfrmigem, geschichtetem, von, hohlleiter
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