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Der kohrente Streustrahlungskoeffizient im Thomas-Fermischen Modell.

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Der koharente S~reustrahlungskoe
ffizient
im Thomas-Fermischen Modell
Von L. K o l o d z i e j c z yk
Mt 1 Abbildung
Inhaltsu bersich t
IE dieser Arbeit berechnen wir den Streustrahlungskoeffizienten mit Hilfe
der R o Zen t a lschen Approximation der T h o m a s - F e r mi -Funktion fiir
freie neutralc Atome.
Es ist bekannt, da13 D c b y e l ) den Streustrahlungskoeffizienten fur verschiedene Wellenllngen 1 des einfallenden Lichtes berechnet hat. Die Resultate
von D e b y e gelten nicht fur allc Wellenlangen des einfallenden Lichtes.
F r a n z 2 ) erweiterte die Resultate von D e b y c auf sehr harte Strahlungen
(3. < 0,2 A). D e b y e und F r a n z berechneten den Streustrahlungskoeffizienten im T h o m a s - F e r m i s c h e n Modell. In dieser Arbeit geben wir eine
Herechnung des Streustrahlungskoeffizienten fur jede Wellenlangc des einfallenden Lichtes. F r a n z h a t den Steustrahlungskoeffizienten fur sehr kurzwellige Strahlen analytisch mit Hilfe der Backerschen3) Entwicklung
der Thomas-Fermisc h e n Funktioc dargestellt. Wic bekannt, gilt die
Backersche Entwicklung der T h o m a s - F e r m i s c h e n Funktion nur fur kleine
x-Werte.
Fur die Ableitung des Streustrahlungskocffizienten ist der Atomformfaktor A grundlegend, welchcr im T h o m a s - F e r m i s c h e n Modell folgende
Darstellung hat
2 ist Ordnungszahl des Atoms ucd u ist durch folgende Pormel gegeben
6,9Z-'18 10-8cm
u=.--
A
0
sin -.
2
1 ist die Wellenlange des einfallenden Jichtes und 0 ist der Streuwinkel
zwischen dem einfallenden und dem gestreuten Licht.
Die T h o m a s - F c r m i s c h e Funktion des neutralen Atoms ist in der Forme1 (1) durch p(x) bezeichnet. Wie bekannt ist cp(x) durch die D.-GI. definiert
,I
p (x)= x-'/a cp"':, (x).
(3)
-
1)
2,
8)
P. De by c , Physik. Z. 31, 419 (1930).
W. Franz, Z. Physik 98, 314 (1936).
E.B. Baker, Physic. Rev. 36, 630 (1930).
L. Kolodziejczyk: Streustrahlungskoeffizient im Thomas-Fermischen Modell
55
Die Eandbedingungen fur v ( x ) sind:
v ( 0 ) = 1, 47
= 0,
v '(0) = const.
(4)
Den Formfaktor A konnen wir mit Hilfe der Thomas-Fermischen D.-GI.
und mit Hilfe der Randbedingungen (4) fur ~ ( xin) folgender Form durch
partielle Integration darstellen :
(00)
03
(
v (x)sin u x dx .
)
A (u)= Z 1- u
0
(5)
Die R o z e n talsche Approximation4) lautet wie bekannt
vPH
(2) = C,
+ C, e-pz + C3
e-"~
(6)
e-yz,
wo die Konstanten I X , p, y ; C,, C,, C3 die Werte haben
y = 4,356
(X = 0,246
/3 = 0,947
Cl = 0,255
c, = 0,581
C, = 0,164.
Setzt man
man :
vR(x)in die Formel
(5) fur den Atomformfaktor A ein, so erhalt
Der Streustrahlungskoeffizient cko h fur elastische Streuung lafit sich durch
den Atomformfaktor wie folgt ausdrucken :
Einsetzen von A nach Formel ( 7 ) in (8) liefert:
wo
Hieraus erhalt man fur den Fall I
--f
0:
Fur I --f 0 strebt O k o h mit 2 quadratisch nach Null, und fur 2 -+
asymptotisch konstant :
lim
A+ cn
Ok o h
= o,, [Ct
wird
okoh
+ CE + Ct + 2 Cl C, + 2 clc3+ 2 C , c31
= O, (C,
4)
00
+ C, + CJ2 = o,, =
S. Rozental, Z. Physik 98, 742 (1935).
e4
2nsZ2
0
= const.
(11)
56
Annalen der Physik. 7 . Folge. Band 2. 1958
Tab. 1 gibt uns die numerischen Werte von
( $ 7 ~I
U
i 1
0,057~ 0,laz
u fur einige u-Werte.
Tabelle 1
0,2 n
I 1 I
0,3n
0,193 0,2251 0,204
0,131
(i)"
0,4n
n
2n
3n
0,173
0,078
0,028
0,011
Abb. 1 stellt den Verlauf von
( a )' u
als Funktion von u dar.
Wie ersichtlich sind unsere Resultate
identisch mit den Resultaten von D e b y e
und F r a n z .
Fur h v > E, bekommt F r a n z fur
U-
($)*u
-nach Debye und Franr
(9)'" -unsere
OK N
% = 2,J . 10-5 Z".E,
hv'
OK,
wo U K N den Streustrahlungskoeffieienten
von K l e i n - N i s h i n a bedeutet. In unserem Falle haben wir
Resultate
Abb. 1
Okoh - 1 , 4 . 1 0 6 Z " * E ,
IV'
OK N
Die zwei letzten Formeln fur
(12)
(13)
*'zeigen denselben Verlauf in E,, Z, h v . Der
OIIN
Unterschied liegt nur in dem Koeffizienten, welcher in unserem Falle 1,4
lautet, wahrend der exakte Wert 2 , l .
betrkigt. Wir sehen, daD der Unterschied fur eine sehr harte St,rahlung nicht groa ist. Fur eine Strahlung mit
h v < E, ist, wie Tab. 1 und Abb. 1 zeigen, unsere Formel (9) fur ak o h gut
brauch bar.
L 6 d i (Polen), Physikalisch-Theoretisches Institut der Universitat L6di.
Bei der Redaktion eingegangen a m 20. Januar 1958.
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