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Der magnetische Schwellenwert fr Supraleitung.

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ill. 2'. Laue. Der magnetische Xchwellenwert f u r Supraleztuitg
'L~Y
Der magnetische Schwellenwert fur Suprate4tuny
Von M . u.Laue
S n dieser Stelle veroffentlichte ich kiirzlich in einer Arbeit,
die ich in1 folgenden als I anfuhre I), eine thermodynamische Theorie
des inagnetischen Einflusses auf die Supraleitung und wandte sie
unter Ruckgrift' auf L o n d o n s Elektrodynamik auf Beispiele an, in
denen die Oberflache der Supraleiter stark gekriinimt ist. Dies
niochte ich hier fortsetzen.
Nach I, (l6b) laBt sich das Problem fiir das Innere des Supraleiters durch die Differentialgleichungen
di-/Pi=O,
(1a)
div i = 0 ,
(1 b)
a=-
c i l rot i
(14
formulieren. AuBerhalb leitet sich die magnetische Feldstarke @ au
einem Potential TL,I ab, welches der Gleichung
Av=O
(2)
gehorcht. Die Verbindung beider Felder geschieht durch die Grenzbedingung der Stetigkeit von 8. AuBerdem setzen wir voraus, daB
der Strom i die Grenzflache niclit durchsetzt (was an sich moglich
ware, wenn diese an einen Nicht-supraleiter stieBe); wir fordern also
als weitere Grenzbedingung
(3
in= 0.
I n den Beispielen von I geniigten Symwetrieerwagungen, einznsehen, daB keine Kraftlinie die Grenzflache durchsetzt ; fordert
man aber Q n = = 0, so ist dadurch das a d e r e Potential fur sich
vollig bestimmt; man hat das innere Feld hinterher nur anzupassen.
In den folgenden Beispielen dringen einige Kraftlinien in den Supraleiter ein, naturIich nur auf Tiefen der GroBenordnung @-I; dann
niu6 man beide Pelder gleichzeitig ermitteln. Darauf beruht ein
gewisser Unterschied zwischen den fruheren und den jetzt zu behandelnden Fallen.
-
_-
1) M. v. L a u e , Ann. d. Phys. [5] 32. S. 71. 1938; dort findet sich die
weitere Literntar. Die Bezeichnungen behalten wir hier bei.
254
Annulen der Physil;. 5. Folge. Bund 32. 1938
Q 1. Der Kreiszylinder im transversalen homogenen Magnetfelde
I n Zylinderkoordinaten r, 79, x mit der Zylinderachse als x-Achse
machen wir fur das Potential q unter Einfuhrung der Feldstarke H ,
fur groflen Abstand vom Zylinder und einer verfiigbaren Konstanten a den Ansatz
q~ = - H,r cos
(4)
coil I9
79
+a -
Die Feldstiirke H , liegt danach in der Richtung 8 = 0. Daraus
folgt d a m :
Qi,=--=
dy,
( H , + $ ) COSQ.,
(5)
dr
Den Beziehungen (la), (1b) und (3) geniigt es, wenn wir fiirs Innere
den Ansatz
. .
t, = tg = 0 ; i, = b (iJ,(ip r)) sin 9
(7)
machen, in welchem b eine meitere verfiigbare Konstante bedeutet.
Nach (1c) folgt daraus :
(8)
19)
a,=-
diz =
ai
= cA$
=
Capb
(- i;rcigl.,)
8.
cos 8 ,
- c i p b J 1 ’ ( i p r )sin 8 .
Den Zylinderradius nennen wir R. Die Stetigkeitsforderung
fur $jrund
aufzustellen fur r = R! ergibt nach (5) und (8)
sowie nach (6) und (9) als Bestimmungsgleichungen fur a und b:
H,
(11)
Daraus folgt wegen
a
-= CAPbJ1’(ipR).
R2
I, (17):
Nach (8) und (9) hat Q7 das Vorzeichen von cos 8, das entgegengesetzte wie sin 9.. Dies entspricht der Tatsache, dafi bei 9 > $
1) Denn in den Reihen
W
m
ist jeder Koeffizient positiv und fur die erste Reihe groBer als der entsprechende der zweiten.
31. v. Laue. Der Tmagnetische Xchwellenwert fur Suprdeitung
gewisse Kraftlinien in den Zylinder ein-, bei 8
treten. &4uBerdem ist
($1
<
255
wieder aus-
um so kleiner, je groJ3er
p R 1);
in1
Grenzfall unendlich grokien Wertes dafur erhalten wir, wie vorauszusehen, wieder das durch die Grenzbedingung ijr= 0 f u r sich
allein bestimmte au8ere Feld. I n der Achse (r = 0) wird nach (7)
die Stromdichte Null, wahrend nach (8) und (9) die magnetische
Peldstarke endlich bleibt uud 2, die Richtung des auBeren Feldes H,
hat. Naturlich ist sie dort f u r grokie p R-Werte gartz unbetrachtlich;
in der Tat verschwindet ja b nach (12) wie @ R)'J*e-PR.
Um auf den magnetischen Schwellenwert nach I, (20) zu kommen,
berechnen wir nach (7) und (12) f u r r = R unter Berucksichtigung
von I, (17)
1
K,, = Ai22
2
(13)
=
2HOesin
(i6 R) - L
y
(- iJ1'
J,(ipR)
@R
2$
Stabilitatsbedingung f u r die Supraleitung ist, daB der Maximalwert
71
von I<,. der fur if = & - eintritt, unter dem kritischen Wert
2
1
1
[(u,- T s2)- (u,- T s l ) ] liegt, den man aus I, (10) und
I, (12) ermittelt. Der Schwellenwert fur H , ist folglich gegeben
durch die Gleichung:
HA2=
J; (ix)
d
J , (i E,),
- iJ1(is) = dx (log
'
~
und fiir grokie Werte des Arguments gilt:
(15)
J 1 (,i$)=%-- .
ex
1
1
wird. G1. (14) geht also uber in die Formel:
I) Denn fiir groWe 2 nghern sich J1'( i x )und J1(ix)dein Werte
Vgl. G1. (15).
2 ) Denn im Greuzfall s = 0 werden J,' (iz)und
Jl
(is)
7 .r
+
AT-
einander gleich.
Anmlen der Physik. 5. Folge. Band 32. 1938
256
F u r das longitudinale Feld ist nach I, (24) der Schwellenwert
bestimmt durch
I m transversalen Felde hat somit die Krummungskorrektion erster
Ordnung entgegengesetztes Vorzeichen und ist gr06er als im longitudinalen. F u r dicke Zylinder folgt aus (16) $ H g als Schmellenmert, ein wohlhekanntes Ergebnis. G1. (16) eignet sich zu experimenteller Prufung.
5 2.
Die Kugel im homogenen Magnetfelde
Nebeneinander benutzen wir rechtwinklige, im Kugelniittelpunkt
beginnende Koordinaten x, yl x, wobei die positive x-Richtung die
des homogenen Feldes weit auWerhalb darstellt, und Polarkoordinaten r , 6, y , wobei wir den Polabstand 9 r o n der positiven z-Achse
aus rechnen. Der Xugelradius heiBe R.
Entsprechend der G1. (3) machen wir fur das Potential den
Ansatz:
cos Y
7p = - HOT cos 1 9
a (1 7)
+?
1
so daB
+
( Ho+ 12-a1) cos 29,
(18)
4%=
(19)
as=-
( ~ ~ sin- 85 )
wird. Den G1. ( l b ) und (3) genugt es, wenn wir der Stromdichte
nur die eine, von y unabhangige Komponente
geben, wobei b wiederum eine verfiighare Konstante, F aber eiue
noch zu bestimmende Funktion bedeutet. Fur die Komponenten i,, i,
hei6t dies:
(21)
i,
=-
b __
B(’r) sin
P”
IF
sin
,
i, = b _
F(’y)
_ sin 6 cos q .
J
B7-
Diese beiden Komponenten (nicht iq) miissen der GI. (1 a) gehorchen. Da die Winkelfunktionen in (21) Kugelfunktionen erster
Ordnung fiind, ergibt sich fur die Funlrtion F die Differentialgleichung
Sie hat als linear nnabhiingige Losungen die Funktionen
Go[
{j
Gin_
Q
64_
e
-_
und ~
e
0
_Gin n ,
M . v. Laue. Der magnetische Schwellenwert f u r Supraleituiig
257
von denen die zweite wegen ihrer Singularitat im Nullpunlit au6er
Betracht bleibt. TVir setzen also
F ( Q )= GOT
Q
-
Gin e
-
*
9
F u r alle positive11 drgumentwerte sind F ( Q )und F’(e)positiv ’).
F u r das Magnetfeld im Inneren liefert ( l c ) :
@*=-
(25)
F u r r = R mussen die rechten Seiten von (18) und (24), (19) und
(25) ubereinstimmen. Dies ergibt die Bestimmungsgleichungen f u r
die Konstanten a und b:
Folglich :
(28)
3
H C B HO
b=
F(BR)
-_
~
(PR?
-8
+BR
>O.
Man kann aus (24) und (25) wie in 8 1 auf den Eintritt von Kraft1
linien bei 19 > 7t und ihren Wiederaustritt bei 9. <
schliefien.
W-iederum verschwindet fur r = 0 die Stromdichte i, nicht aber die
Feldstiirke @; vielmehr hat diese die Richtung des auReren homogenen Magnetfeldes”, ist aber fur groi3e Werte p R ganz unbetrachtlich, da nsch (2s) sich b \vie ,9 Re-BR verhalt3).
Zur Ermittelung des Schwellenwertes berechnen wir gemaB
I, (20) fur r = R
9
go2
sin 4
I< = I h i 2 = 8
(29)
n
‘ 2 9
1
2
(%+-)
PR
[vgl. I, (17) sowie (20) uiid
(as)]. Da
weiter f u r grofie
Q
nach (23)
1) Denn ails den Reihenentwicklungen fur Oof q und Gitt 4 folgt:
00
F ( g )=
2 T/;+ezn
1
1). ((2fl
- I)!)
*
E” (0)
2) Denn fur verschwindendes q wird F (q) = 2
3 ) Vgl. auch G1. (30).
Aunalen der Physik. 5 . Foige. 32.
e
17
25s
Annalen dey Physik. 5 . Folge. Band 38. 1938
und
ist, finclet niau niitkels derselben SchluBweise wie in
als Schwellenwert fiir H,:
8 1 aus
(29)
2
Fur unendlicli groBes p R ist danach, wie lgnger bekannt, - H , der
3
Sclimrellenwert. I<oinmt /jR gegen 1 in Betracht, so erhoht er sich,
in1 Gegensatz zuiii Zylinder im transversalen Feld, bei Clem er nach
(16) niedriger wird.
Zusammen fassung
Die erste, hier d s I zitierte Arbeit untersucht das therniodynainische Gleichgewicht zwisclien der supraleitenden und der
riorniwlleitendeii Phase eines Stoffes fiir den Fall, daB h i d e beliebige Form haben und in eineni heliebigen Magiietfelde liegen.
Die Q1eichgewichtsl)eding~ing1, (10) besagt, daM tangs der gauzen
gemeinsaineii Oberfliiche die auf die Volunieneinheit bezogene Differenz der freien Energie gleich cler 1\Tormalbonipoiiente der h a f t
sein mu13, welclie das Magnetfeld auf den Supraleiter ausiibt. Piir
hinreichend dicke Kiirper nucl schwache Rriinimung cler 0 berflache
fiihrt dies zu der schon con G o r t e r und anderen nnfgestellten
Redingung; nur claB man hier sielit, claW fiberscheitnng des magnetischen Schwellenwertes anch nur an einer Stelle das Gleicligewicht zerstort.
F i e geringe Uicke oiler starke Kriimmiing deli Schwellenivert
ab%udert, zeigt dann Arbeit 1 nnter Benutzung der L o n d o n s c h e n
Elelrtrodynamik des Supraleiters in I, C+l. j%N. Diese nnd die vorliegende Arbeit wenclen das allgemeine Ergebnis an auf den zylinclrischen Leiter in1 longituclinalen unil transversalen Magnetfelcl
[Gl. I, (24) und (16)], fiir die I h g e l Gl. (311, fiir den stromfiihrenden Zylinder. [Gl. I, (2611, sowie fur eiiie zylindrische Rohrung in
einein dicken Korper [Gl. I, (as)]. Nessungen von P o n t i n s iiber
den diinnen Draht ini longitudinalen Felde passen gut zu dem
Ergebnis I, (24).
B e r l i n - Dahleiii, Kniser-\\7illielni-Institnt fiir Physik.
(Eingegangen IS.Februar 1038)
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