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Der magnetische Schwellenwert in der Theorie der Supraleitung.

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Der magnetische Sch wellenwert in der Theorie der Supraleitung
F'on F . . M i i g l i c h uld R . Ronrpc
Irthnltsiibersicht
Die voii Lo ndoii aufgestellte Relation zwischen Stronidichtc uiid Yektorpotential ist iiur iiisoweit eitie Losung der Bewegungsgleichuiigeii des Plasmas,
als die kinctisctie Energie der Driftgeschwindigkeit der Elektronen veriiachliissipbsr klrin i t . Aus dieser Tatsache I a B t sich eine Abscliiitrzung des inagnetischen Schwellriiwertes bci der Snprdeitunp gelwn.
In einer vor eiiiiger Zeit. verijffentlichten Arbeit') haben die Verff. gezeipt, da13
die Phiiiioinene der Supraleitung fur verschwiiidende Teniperatureii sich rersteheli
lassen, weiiii man die Wechselwirkung der Elektronen und Ionen berucksichtigt uud
die Bewegiiiipsgleicliuiigeii dieses Elektroiieiiplasnias integriert. Dabei wurde angeiioninien, da8 die Elekfroiieiidichte ini gesarnteii Kristall praktisch konst,aut ist.
Eatiirlich ist diese . ~ 1 i n ~ ~ nicht
i i i i ~uiibedenklich und es war daher das Best,reben der
Verfasser, sich von ihr zu befreien. Aucli ergabeii sich gewisse andere Scliwierigkeiteii
fur die Deutuiig der Supraleitung, die vor alleni dariii besteheii, daB die Gesamtenergiedessupraleitenden Zustandessehr groB ist undniindestens uni den C o u l o m b schen Wechsel\rirkuiigsaiiteil zweier Elektronen iiii Gitter hoher liegt als dcr Zustand
der iiorinaleii Leit,ung. Es ist linter diesen Umstiiiiden nicht eirizusehen, wo die
Energie herkoninren soll, die notig ware, iini d e n Zustaiid der normalen Leitung
in deli Zustiind dcr Supraleitung in der Nahe des absoluten Nullpuuktes zu uberfuliren. Dies(. Scliwierigkeit. la& sich aber leicht belieben, wenn inaii v o ~ der
i Aniiahme einer Ironstantell Elektroneiidichte iiii Plasma abgeht. Es ergibt sich daiiti
cin negat,iver Betrag an poteiitiellrr Energie, drr dafiir sorgt, daIj die Gesntntcnergie des suprdeitendeii Zustandes den1 des nornial leitenden Zustandes ungefiihr gleich w i d : S O da8 es iiur gauz geriiiger Energiebetriige bedarf, unl deli supraleitciideii Zust,and in den riornial Icitenden iiljerzufuhreii und umgekehrt. Aucli
1813t, sicli zeigen, da8 die Elektroiiendichte bei den -4lkalinietallen zu klein ist.. uni
zii errcichen, da13 der snpraleitende Zustaiid eiiergetisch tiefer liegt als ini normal
leitenden Zustand. niihrend diese Moglichkeit bei allcn anderen Metallen hesteht.
So I%& sich such leicht verstehen, waruiii die Alkalin~etallekeine Supraleitung
zeipen.
Auf slle diesr Probleiiir sol1 in der folgendeii Notiz nicht eingegaiigeii werden.
Wir wollen uiis v o r b e h a h i , in einer deninachst erscheinenden Abhandluiig diesc
Prol)lciiic in1 Zusniiinienhniig zu besprechen. Ini folgendeii sol1 iiur gezeigt werden,
des Plasinas cine Xbschiitzung fur deu iliapietiwie tiits deli Bc~~egutigs~leichrii~eii
schen Rchwellenuwt~uin ill>solute1i Nullpunkt. geprben werdw kanii.
1)
F. bI3glic.h
ti.
R. R o m p e . Ann. Pliysik (6) 1, 27 (1917).
Moglich u . Rompe: Der mugwetide SchzveUenwert in der Theorie der Supraleitung
323
Die Elektronen beschreiben wir als ein Kontinuum durch eiii Geschwindigkeitsvektorfeld b (zy z t ) . Die raumliche Dichte der Elektronen sei bezeichnet
durch die Dichtefunktion n (zy z t), die mit -e multipliziert, die elektrische Dichte Q
ergibt. n (z y z t ) setzt sich zusammen aus eineni zeitlich konstanten Anteil A, ( 5 y z )
und einem gegen'n, kleinen, zeitlich variablen Anteil. Der elektrische Stroni j geht
aus b und n, durch
j = -n,eD
(1)
hervor .
Die Bewegungsgleichungen jedes einzeluen Elektrons des Elektronenkonti* nuums lauten:
Hier ist die magiktische Feidvtiirke aus einern Vektorpotential abzuleiten, das
quellenmaoig auf b zuriickgeht. 0 x 8 ist also als klein voiu zweiten Grade in u
anzusehen. Bei konsequenter Vernachlassigung aller Glieder zweiten Grades in D
entspricht GI. (2) derjenigeu Naherung, die wir in unserer schon genannten Arbeit
zugrunde gelegt haben. E, ist die Nullpunktdenergie unseres Elektronengases als
Funktion der Elektrouendichte n. Setzen wir hierfur den Sommerfeldscheii
Wert
PO
ist, wie man leicht verifiziert, fur raumlirh konstaiites n:
1 grad p =.grad 8EO
-
a71
.
Unser Ansatz sol1 sich aber in keiner Wcise auf den Sonimerfeldschen Wert
beschranken, der ja eigentlich noch durch den Wert der Austauschenergie erganzt
werden mufltez). Wir wollen Ennicht weiter spezialisieren urid nehlnen nur an, daB
Eo Funktion lediglich von A ist.
GI. (2) formen wir nach der Rechenregel
(D grad) D = grad D? - D . rot b
folgendermaflen uni :
-
Jetzt wollen wir nur solche Striime in Betracht ziehen, fur die
div j = 0
gilt. Aus dieser Bediugungsgleichung folgt
(4)
ae = 0 und n = nu.
-.
at
Wir zeigen nun, daB fur die der Bedingung (4)genugenden Stroine die L o n d o n sche Relation
11 P2
-n,,e~=j=--'.gt
15)
c
2)
Vgl. FuBnote 9a unserer Arbeit.
324
Annalen der Physik. 6. Folge. Band 3. 1948
mit hinreichender Naherung als Integral der Bewegungsgleichung (2) angesehen
werden kann. Die Giiltigkeit der Maxwell schen Gleichungen wird dabei vorausgeset zt .
Aus (4) und (5) folgt zunachst
n, div $
=
!I- M . grad n,
beziehuiigsweibe
-.I$=
80
- %g r a d n o .
Da das Potential pl quelleniiiaI3ig init no verbunde) ist, ist cp zeitlich konstant. So
folgt
‘2[ gradn, = 0
eine Gleichung, aus dtr auf
i
grad no= 0 und d i r
t, = 0
gesclilossen werden kann.
Unter Beachtung von GI. (5) und ihreii Folgerungeii ergibt sich aus (3)
?b
--
it
e
= -i1
?I?
c
+ 1 grad [ e pl - -- -
oder
Diese Gleichung widerspricht wegen des Auftretens \’on
n,
b2 unserer Annahme,
L
da13
lediglich von nobestimmt ist. Erst, wenn
ist, ist unsere iiber pl gemachte Aiinahme richtig. D a m erhalt nian eine Bestinimungsgleichung fur die zunachst noch unbekannte Funktion no:
Diese Gleichung ergibt die T hoinas-Fermische Dichteverteilung, wenn man sich
in ihr fiir Eo nuf deli Sonimerfeldschen Wert spezialisiert..
Wir sehen also, da13 die Gleichung (5) die gesuchte Losung der Bewegungsgleichung unseres Plasmas ist, sofern (4) erfiillt ist, und meiiii wir die noch unbekaniite Funktion no nach (7) bestimmen.
Bevor wir neitergehen, miissen noch zwei Benierkungen geniacht a r d e n . Die
erste betrifft die Bezeichnung der G1. (5) als Londonsche Relation. In der bekannten Lond onschen Gleichung steht ein riiumlich und zeitlich konstantes n,
wahreiid bei uns nonur zeitlich konstaiit ist, raumlich aber eine im Gitter des Metallkristnlles dreifach periodische Funktion ist. n, reproduziert seine Werte bei
Verschiebung der Argumente 5 y z urn Betrage von der GroBenordnung lo-*cm.
-1iiiglirh u. Rompe: Der magnetieche Schwellenzcert in der Theorie der Supraleitung
325
Daher liaiin G1. (5) keine makroskopisch unmitt.elbar beobachtbare Beziehung darstellen. Gin eine solche zu erhalten, bedarf es, wie in der Lorentzschen Elektronentheorie, des cherganges zii gemittelten GroBen. Wenn wir mit 3 den maliroikopischen Mittelwert der elekt,rischen St,ronidichte einfiihren, so wurde eigentlich erst die durrh 3littelunq ans G1. ( 5 ) folgende Gleichung
als L o n d o n sche Relation bezeichnet werden konnen.
Ferner mu13 noch gezeigt werden, daB die Bediiigung (4) zeitlich invariant ist,
sofern die Gleichungen (3)und (7) sowie die Ungleichung (6) gelten. Gleichung (3)
geht namlich unter Beachtung von (7), sowie durch Einfiihrung der gemaD ( 6 )
moglichen Vernachlassigung in 7
%[D-=YI
e l
x rot
= --D
"I
[D--a7nc
uber. Der Fall d i r j = 0 ist dann durch die simultan zu erfiillenden Gleichungen
11= 0
rot
U =0
mit
u = tl - in r 'ZL
_f_
charakterisiert. 1st nun fur t = to rot U = 0, so ist auch nach (8) U = 0, damit
auch rot = 0. Somit gilt rot U = 0 auch zum Zeitpunkt to dt usw. div j = 0
ist damit-mit der Bewegungsgleichung (3) rertraglich.
+
Nun gehen wir dazu iiber, einige Folgerungen aus der Ungleichung (6) zu ziehen.
Wenn man fur E, den Sonimerfeldschen Wert einsetzt, so findet man, wenn
inan in (6) a n Stelle des Ungleichheitszeichens das Gleichheitszeichen setzt, fur
. 0 I den Wert 108 cniisec. Daraus konnen wir zunachst schlieden, d& es gestattet
jst, wie wir es auch faten, relativistische Korrekturen zu vernachlassigen. Da
7n
%Eo
02 sehr lilein gegen
sein soll, werden wir D 1 auf Werte beschranken miissen,
dn0
d
die kleiner sind als lo7 cniisec. Danii ist offenbar garantiert, daB
l o & von ?!?
!
Z*O
2
b* weiiiger als
ausmacht.
Wir deiiken uns nun eine supraleiteiide Halbebene, a n deren Oberflache gerade
die kritische Elektronengeschwindigkeit von 10' cm/sec erreicht sein soll. Nach
iiinen fallt diese Geschwindigkeit a b nach den1 Gesetz
_- 2
D = b 0 - e ',
~3)
W. Bopp, Z. Physik 107, 623 (1937).
326
Annalen der Phylyeik. 0. Folye. Band 3. 194s
wo p die Eindringtiefe bedeutet. Voii dieser Stronianordnung riihrt genial3
4.-r
--
j
=
rot
8
eiii rnagiiet,isches Feld H,,,
her, dessen Grol3e a n der Oberflache
leicht berechnet, werden kann. Man findet fiir H,,, eine W'ert vou 104 his lo5
UauB.
Urngekehrt kann iiian dieses Magnetfeld als den Erzeuger des Suprastronies ansehen, wohei der Stroiu und daniit die Driftgeschwindigkeit b der Elektronen uin so
griioer wird, je groDer das aul3ere magnetische Feld ist. Machen wir dieses Feld
groBer als I f m a seiitspricht, so wird das zugehorige m b2 nicht inehr gegen 3% zu
2
dn0
vernachlassigen sein. Es gilt d a m nicht mehr die Gleichung (5) und das Phanolneii
der Supraleit,ung niul3 verschwinden. Die GroDe H,,, verhalt sich wie der magnetische Schwelleiiwert des Experiinentes und es liegt daher nahe, ihn mit diesem zu
identif iziereii.
Zuverllssige Messungen des magnetischen Schwellniwertes fur den absoluteii
Nullpunkt liegen nicht vor, soweit uns bekannt ist,. M. v. Laue') gibt an, daB er
fur Metalle unterhalb und ungefahr bei los GaulJ liegt, fugt aber hinzu: ,, . . . fur
Metallegierungen und Verbindungen zuin Teil vie1 hoher". Danach durfte der
von uns geschatzte Wert keinesfalls auBerhalb der Diskussionsinoglichkeit liegen.
Die groBc Variationsbreite des Schwelleiiwertes mag darauf zuruckgefulirt
6Eo
werden, daB - fur die verschiedenen Metalle stark streut. Der von uns beuutzte
a?l 0
Soinnierfeldsche Wert wird sicher nur eiiie sehr rohe Annaheruiig ergeben. Es ist
ja zu beachten, daB
iiE,
67l0
eine uiitcr Unistaiiden Letrachtlich variierende Funkt,ion
der Raunikoordinateii iSt. Die Ungleichung (14) mu13 aber fur den kleinsten Wert
gelteri, den
3lY
aiiiiiiiirnt. Bei unserer Abscliat,zuiig habeii wir aber mit einem niitt%E"
leren konstanten R e r t von - gerechiiet. Die Berucksichtigung d i e m Tatsaclie
T
!
Ot1"
a110
konnte den geschatzten Wert, des inagnetischen Schwellenwertes noch uin eine
Zehnerpotenz herabdrucken. Vielleicht, lassen die Kompressibilit~tskoeffizie~iten
ein Verstandinis des unterschiedlichen Verhaltens der Metalle und Legierungen zu.
Auch mu0 itiaii bedenken, daB die hier vorgetragene Theorie eine grobe NCherung
ist, die gerade die individuellen Eigenschaften der metallisghen Leiter aul3er Acht
liilJt und daher auch uber derartige Feinheiten keine Auskunft geben kann.
Bei dcr ungenauen Kenntnis des niagnetischeu Schwellenwertes ain absoluten
Nullpunkt karin niaii natiirlich von einer uiiiiiittelbaren Bevtatigung unserer Vorstellung noch nicht sprechen. Mail n i u B inimerhin daiuit rechnen, daB der inagnetische Schwelleiiwert doch noch niit anderen Vorgangen zusaiiimeiiha~igt,die moglicherweise schon bei Driftgeschwindigkeiten eintreten, die weseutlich kleiner sind
als die von uns erniitt.elte Maxiinalgeschwindigkeit von 1 0 7 cin/sec.
__
4,
M. v. L a u e , Theorie der Supmleitung, p. 7, Springer Verlag, 1947.
B e r l i n - B u r h . Invtitut fur Festkorperforschung d e r Deutscheri Akadeniie cler
Wssenschafteii uiid B e r 1 i n , Institut fiir theoretische Physik und IT. Php.sikirlisches Institut der Universitat.
(Bei cler Rtdaktion eingegangen am 27. Juli 1948.)
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