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Der optische parametrische Oszillator. II. Amplitudenfluktuationen der Strahlung bei durchlaufender Pumpwelle

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Annalen der Phgsik. 7. Folge, Band 27, Heft 1,1971, S. 82-90
J. A. Barth, Leipzig
Der optische parametrische Oszillator. II
Arnplitudenfluktuationen der Strahlung bei durchlaufender Purnpwelle
Von W, BRUNNER,
H. PAUL
und A. BAKDILLA
Mit 2 Abbildungen
Herrn Prof. Dr. G. Richter
Z
U
60.
~ Geburtstag gewidmet
Abstract
Amplitude fluctuations of the signal wave of a n optical parametric oscillator are evaluated for the case of nonresonant pumping by calculating the decrease of a random
deriation E of the signal amplitude from its stationary value during a round trip through the
(ring) resonator. From this, a damping term governing the temporal behaviour of F is
deduced which, together with a LAKCEVIN
force connected with the spontaneous decay of
pump photons into both signal and idler photons, determines the amplitude fluctuations of
the signal wave. I n addition, it is shown that the same results may be obtained from a mode
formalism for signal and idler waves taking into account the spatial variation of the pump
equations.
wave following from MAXWELL’S
1. Einleitung
I n einer vorangegangenen Arbeit [l](im folgenden als I zitiert) haben wir fur
den OPO mit resonanter Pumpwelle mit Hilfe der zeitabhdngigen Bewegungsgleichungen Photonenzahl, Schwellenenergie sowie Wirkungsgrad brechnet.
Wahrend die Untersuchung der Stabilitat sowie der Fluktuationseigenschaften der emittierten Strahlung fur den Fall, daB auch die Pumpwelle als eine
Rcsonatoreigenschwingung (Mode) aufgefaI3t werden kann, ganz ahnlich wie
heim Laser verlauft (siehe [I, a]),erfordert die starke raumliche Abhangigkeit
der Amplitude der Pumpwellc im Falle durchlaufender Pumpwelle ein modifiziertes Verfahren, mit dem wir uns im folgenden beschaftigen wollen.
Die Grundkonzeption unserer Uberlegungen bcsteht einmal darin, daIJ wir
zunachst aus der klassischen Theorie die Anderung berechnen, die eine (zufallige) Abweichung der Amplitude der Signal- und Idlerwelle von den jemeiligen
Gleichgewichtswerten bei einein Durchgang des Lichtes durch den Resonator
(fur Signal- und Idlerwelle) erfahrt, und diese Xnderung auf eine zeitliche h d e rung umrechnen. Damit erhalten wir den Dampfungsterm in der Bewegungsgleichung fur die Ainplitudenabweichung, der dann bei Berucksichtigung der
quantenmechanischen Rauschterme (die den spontanen Zerfall von Pumpquanten in zwei Quanten beriicksichtigen) die Moglichkeit gibt, die im stationaren
Betrieb sich ausbildenden Amplitudenfluktuationen der Signal- (bzw. auch der
Idler-)welle quantitativ zu bestimmen. Zum anderen ist es moglich, die Bewe-
W. BRUNNEH,
H. PAULu. A. BANUILLA:
D x optische parametrischz Oszillator. I1
83
gungsgleichungen im Modenformalismus fur den Fall durchlaufender Pumpwelle
auch naherungsweise bei Rerucksichtigung der raumlichen Abhangigkeit der
Pumpwelle direkt abzuleiten.
2. Die klassischen Bewegungsgleichiingon
Wir schreiben die elektrische Feldstarke fur die einzelnen Wellen in der Form
cFI
= c,E,(z) cos
+ @,(z))
(k,z - w,t
( j = I , 2, 3 )
(1)
mit e3 als Einheitsvektor, der die Polarisationsrichtung anzeigt. Der Index 1
beziehe sich wie bisher auf die Signal-, der Index 2 auf die Idler- und der Index 3
auf die Pumpwelle.
Die MLmwEmschenGleichungen lauten dann ([3, 4]), wenn wir naherungsweise voraussetzen, daW stets die Richtung des Wellenzahlvektors (z-Richtung)
mit der Strahlrichtung libereinstimmt,
sowie
mit
A k = k,
-
nnd
0 = Ak . x
k , - k,
+ @,(z)
-
@,(z)
- @,(z).
Die GroI3e K bezeichnet die Kopplungskonstante und ist explizit gegeben durch
K =
276
2,2
,
e . x ( ~ , )e1p2
:
= - e, . x ( q ) : e3e2
c2
wohci
x
=
%n
-=
e2 . x ( w 2 ) :e3e1
u
(positiv reell),
den Snszcptibilitatstensor bezeichnet.
Wir setzcn im folgenden Phasenanpassung voraus ( A k = 0) und nehmen
an, cia13 auf rllcr Begrenzungsflache z = 0 des Mediums (das den gesamten reehten
Halbraum ausfulle) die Beziehung
gilt. Danri ist die Umwandlungsrate, wie man aus ( 2 ) erkennt, fur z = 0 (also
nach Eintreten der Pumpwelle ill den Kristall) maximal, und man wird erwart e n , daW sich aus diesem Grunde die Beziehung ( 7 ) .,von selbst", d. h. ausgehend
von den zuerst spontan erzeugten Signal- und Idler-Photonen (die in dcr klassischen Rechnung nicht erfaWt werden konnen) einstellt. Aus (3) erkennt man,
daB ( 7 ) bei Phasenanpassung auch fur beliebige z-Werte gilt. Aus dem obigen
G*
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Gleichungssystem wird so, wenn wir noch zweckmaBig eine Umnormierung der
Amplituden E j in der Form
U, =
1:
C2&
Snw3
p
2
vornehmen und unter
( j = 1, 2 , 3)
E,
0-
die effekt'ive Kopplungskonstante
verstehen,
Dieses Gleichungssystem besitzt, wie man leicht nachpriift, u. a. die folgende
ErhaltungsgroDe (s. auch [3, 41)
- u?
1 = const.
(11)
Setzen wir daher voraus, da13 an der Xtelle z = 0 u1 = u2 ist, dann gilt diese
Beziehung fur alle z , und das System (10) vereinfacht sich zu
U?
1
d. h., es ergeben sich formal dieselben Gleichungen wie im Falle der Subharmonischen-Erzeugung. Die Annahme u,(0)= u2(0)ist in Obereinstimmung mit der
spater benutzten Vorstellung, da13 Abweichungen der Amplitude der Signalund Idlerwelle vom Gleichgewichtswert durch den gleichen physikalischen ProzeB, namlich den spontanen Zerfall von Photonen der Pumpwelle, bedingt sind.
(In der Tat ist die Normierung der Amplituden uj so gewahlt, da13 uj" - bis auf
einen von j unabhangigen Normierungsfaktor - die Photonenstromdichte in
z-Richtung angibt.)
Die Losung von (1 2 ) ist nach [ S ] gegeben durch
- oA,z},
u l ( z ) = A, sech jar tanh u3(0)
I
A0
ar tanh
u o
3' ) -
A0
oA,z)
mit der Abkurzung
+
(14)
A , = I / U ? ( O ) u;(o).
Wir benotigen diese Losung im folgenden fur den Fall einer endlichen Kristalllange 1 sowie unter der Annahme, da13 Signal- und Idlerwelle - bedingt durch
die entsprechenden Resonatoren - stark (im Vergleich zur Pumpwelle, die den
Kristall ohne Reflexion passieren moge) angeregt sind. Wir konnen damit die Giil-
W. BRUNNER,
H . PAULu. A. BANUILLA:
Der optische parametrische Oszillator. I1
85
tigkeit der Ungleichung
u3(0)
< A,
(15)
voraussetzen. Nehmen wir weiterhin noch an, daIj gilt
oA,Z
< I,
(16)
so konnen wir statt (13) naherungsweise schreiben
3. Der Gleichgewichtszustand
Wir betrachten eine Ring-Resonatoranordnung fur Signal- und Idlerwelle,
wie sie in Abb. 1 von I schematisch dargestellt ist.
Die in der Nahe der Kristallenden angebrachten Spiegel mogen das Reflexionsvermogen r2 (sowohl fur Signal- als auch Idlerwelle) besitzen, der dritte
Spiegel sei 100yoig reflektierend. Fur die Pumpwelle sei kein Resonator vorhanden. Zur Berechnung des stationaren Wertes von u,(O) gehen wir von der
Forderung aus, dall sich dieser Wert bei einem Umlauf durch den Resonator
(und damit auch einem Durchlauf durch das Medium) reproduziert. (Wir folgen
hier [GI.) Die Intensitat der einfallenden Pumpwelle sei konstant, d. h., u3(0)
sei ein fester Parameter. Die obige Forderung bedeutet dann unter Verwendung
von (17) mathematisch
folgt.
Da A: selbst von u,(O)abhangt, ist dies eine implizite Gleichung fur u;tat(O).
I n der Naherung A, w u,(O)
[s. (15)]ergibt sich aus (20) die explizite Darstellung
Abb.l. Wirkungsgrad 7 als Funktion der relativen Anregong oB
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mit
als Schwellenwert der Amplitude der Pumpwelle.
Mit dieser Losung ergibt sich fiir den Wirkungsgrad
7
=
(1 - r2)
(
S
j
2
,
und damit, setzen wir f u r U ; ~ " ~ ( Z ) =
Ustat( 0)
~
r2
den Ausdruck gemaR (21) ein, erhal-
ten wir
Diese Abhangigkeit ist in Abb. 1 dargestellt. Offensichtlich ergibt sich fur
oR = 2 ein Wirkungsgrad von 100% (wie schon BJORKHOLM
[7] zeigte) in u b e r einstimmung mit der Tatsache, daR u3(Z)in diesem Falle verschwindet.
4. Stabilitatsverhalten der Signal- und Idlerwelle
Zur Untersuchung des Stabilitatsverhaltens wollen wir nun das zeitliche
Abklingen einer Abweichung E der Amplitude ul(0) von ihrem Gleichgewichtswert u:tat( 0) berechnen. Analog wie bei der Untersuchung der stationaren Verhaltnisse studieren wir zu diesem Zweck die Anderung, die E bei einem Durchgang erleidet, und driicken diese Bnderung unter Beriicksichtigung der Umlaufzeit als zeitliche Ableitung aus.
Es sei also
= Uytat(0)
+
(25)
dann entsteht daraus unter Verwendung von (17) nach einem vollen Umlauf
U,(O)
E ,
wobei A entsprechend (14) gegeben ist durch
+ +
+
A -JI(ul(0)
&)2
uF(0) R3
2u1(0)F.
(27)
Wir beschranken uns auf lineare Glieder in E und berechnen daher die Ableitung
aux!).
a&
Unter Beachtung der aus (27) folgenden Relation
finden wir nach einer kleinen Rechnung das Ergebriis
Daraus berechnet sich die Anderung A E = E' - F der Abweichung vom Gleichgewichtswert bei einem Durchgang zu
\V.BRUNNER,
H. PAULu. 9.
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Hier kompensieren sich die ersten beiden Terme (wegcn r2 w 1, ul(0)
m do)
naherungsweise, und wir erhalten genahert
A& =
-o2Z2(U1(0)"t"t)2
(31)
F.
Diese Xndcrung vollzieht sich wahrend eines Umlaufs, also i n der Zeit At = L / c
(mit L als effektiver ,,Lange" des Resonators), so dalj wir schlieRlich eine zeitliche e h d e r u n g
-as_-
--2p
(ul(O)StiLt)2
2
L E,
also ein exponentielles Abklingen erhalten, wie es nicht anders zu erwarten war.
at
Damit ist der Ausgangspunkt fur eine Behandlung der durch den spontanen
Zerfall von Pump-Photonen bedingten Rauschvorgange, insbesondere also der
Amplitudenfluktuationen von Signal- bzw. Idlerwelle, erreicht.
5. Die Amplitudenfluktuationen der Strahlnng
Die oben erhaltene G1. (32) ubernehmen wir in die quantenmechanische Beschreibungl), die wir nach dem Vorbild von [a] durchfuhren. Verstehen wir
unter el die Abweichung der Amplitude des Photonen-Erzeugungsoperatorsb;
der Signalwelle vom (als c-Zahl aufgefaljten) Gleichgewichtswert rl gemalj
+
6:(t) = (rl
e l ( t ) )e l ( w l t i
(33)
mit y1 als statistisch unbestimmter (,,diffundierender") Phase, so konnen wir
nach (32) schreiben, wenn wir die fur die Amplitudenfluktuationen verantwortliche Rauschquelle berucksichtigen (fur eine Ableitung der Bewegungsgleichung
s. Abschn. G ) ,
c1 = -%el + -1-) { R T e - i ( w ~ t
VI)
+ pz(w,t
v , ) R1)
(31)
mit
= 4212 (&'It
1
(0))'z.
(35)
Hier bezeichnen RT, El die Fluktuationsoperatoren fur die Signal-Mode, die
mit dem spontanen Zerfall von Pump-Photonen i n Signal- und Idler-Photonen
sowie rnit dem Verlustmechanismus fur die Signalwelle verknupft sind. Nach
[2, 81 gilt
(36)
Hier kennzeiehnet xl wie fruher die Resonatorverluste der Signalwelle (siehe I),
und n, bezeichnet die Zahl der spontan erzengten Quanten in der Signalmode.
Diese Zahl ist bei den heute erreichbaren Pumpintensitaten relativ klein im
Verhaltnis zu Eins und spielt daher gegenwartig noch keine gro13e Rolle. Beachtet man noch. da13 man die Operatoren exp {-iyl> und exp {&) formal rnit
l) Wir weisen darauf hin, daB es sich dabei (wie auch irn folgenden Abschnitt) urn
keine strenge quantenmechanische Beschreibung handelt, da im besonderen die Abweichun)
wurden, was nur fur klassische GroBen moglich
gen von uTtat(0)und u ; ~ " ~ ( O gleichgesetzt
ist. Man sollte GI. (34) sowie die spateren Gln. (61). (.52) daher genaugrnomnien als klassische
Gleichungen verstehen, wobei die GroDen R, R' als klassihche (fluktiiierende) RauschgroBen mit den Eigenschaften (36) aufzufassen sind. (Das Symbol . .) in (36) bedeutet
dann Ensemble-Mittelung.)
<.
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den GroRen R: bzw. R, zusammenziehen kann [2], da letztere schon eine statistisch fluktuierende Phase enthalten, so konnen wir G1. (34) in folgender Form
in t egrieren
t
1
e l ( t ) = /e-fi(t-i,) ( ~ : ( t ’ e)- h ” I t ’
+~ , ( t ’ )
eiwlt’}
dt’,
I
(37)
- N
woraus unter Verwendung von (36) fur die Korrelationsfunktion folgt
(el(tl) el(t2)>= (2nl
+ 1)2
e-xlt1-tzl.
(38)
Der Zusammenhang mit der Intensitatskorrelation ist dabei gegeben durch
(b;(tl) bl(t1) Q(t2) bI(t2)) - (b:(t,) bl(t1)>2 = 4% ( @ l ( t l ) @ l ( t 2 ) > >
(39)
wobei n die mittlere Photonenzahl bezeichnet (siehe [2]). Fur die Grol3e a ergibt
sich nach (32) und (21), wenn wir noch den Zusammenhang
x1 = (1 - r2) -5
(40)
L
zwischen der Verlustkonstante und der Durchlassigkeit 1 - r2 der Resonatorspiegel beachten.
a=
2X1(0R
- I),
(41)
wobei
angibt, wie weit man sich oberhalb der Schwelle befindet. Damit ergibt sich endgultig
(el(tl) el(t2)) =
~ - ~ ~ l ( ~ R - 1 ) ~ ~ ~ - & ~ .
(43)
:$:?
Dieses Resultat stimmt im wesentlichen mit dem im Falle resonanter Pumpwelle
erhaltenen iiberein.
in Schwellennahe sind somit die
Fur einen G ~ s u ~ ~ ~ - Z u sgilt
t a (e;)
n d = 1;
4
Amplitudenschwankungen groRer als im Falle maximaler Koharenz. Die aus
(43) folgende Aussage, daB fur an > 1,5 die Verteilungsfunktion fur die Photonenzahl schmaler sein sollte als bei einer PoIssoN-Verteilung, ist wohl kaum
realistisch. Tatsachlich durfte die obige Behandlung der Fluktuationen nur in
Schwellenndhe gerechtfertigt sein .
6. Die Bewegungsgleichung im Moden-Formalismus
Wir betrachten zur Ableitung der Bewegungsgleichung im Modenformalismus wie in der vorangegangenen Arbeit [I] die Wechselwirkung von N 2-Niveau-Atomen (eines Gitters ohne Inversionssymmetrie) mit zwei Eigenschwingungen (Signal- und Idlerwelle) und einer durchlaufenden Pumpwelle. Die
Pumpwelle konnen wir damit nicht nach den Eigenschwingungen eines Resonators entwickeln (zumindest ist dies nicht zweckmaBig), sondern wir haben die
raumliche Abhangigkeit der Amplitude dieser Welle beim Durchlauf durch den
Kristall (wir wollen diese Richtung wie in Abschn. 2 als z-Richtung bezeichnen)
zu beriicksichtigen, wobei der Wert der Feldstarke am Anfang des Kristalls
z = O,Ep(0),als vorgegeben zu betrachten ist.
W. BRCXJNER,
H. PAULu. 8.BAND ILL.^: Der optische parametrische Oszillator. 11
89
Damit entfdlt d m n im HAMILTON-Operator (I) von 1 nicht nur das a u k r e
treibende Feld FF, F p , sondern sowohl fur bi- wie auch b: und bg ist der Modenformalismus strenggenommen nicht mehr gerechtfertigt. Wegen der relativ
geringen Verluste fur Signal- (6:) sowie Idler- ( b i ) Welle konnen jedoch diese i n
ihrer Amplitude als raumlich weitgehend konstant bet,rachtet werden, so daB
hierfur der bisherige HAMILTON-Operator in guter Naherung giiltig ist, wahrend
die z-Abhangigkeit von b$ aus den MAxwELLschen Gleichungen zu bestimmen ist,
d. h., fur 6; ist keine Bewegungsgleichung, wie in I angegeben, aufzuschreiben.
Wir wollen dies vorlaufig in der Wcise beriicksichtigen, daB wir b$ durch b g ( z )
ersetzen. (Eine analoge z-Abhangigkeit gilt auch fur die bei stehender Idler- und
Signalwelle auftretende rucklaufende Pumpwelle b;(z), s. I . ) Damit sowie mit
F p + 0 folgen dann aus (1 ) in I die Bewegungsgleichungen fur Signal- und Idlerwelle nach Elimination der Atomkoordinaten sowie der hochfrequenten Zeitabhangigkeit in der Form (vgl. hierzu die Gln. (10).. . (13) in I)
& - -xx,B: c,Pf*&Bz
R;e-i"lt,
(44)
j 2+- -x,Bi $- c1/3f*&-B1 R$e-iu>pt,
(45)
wobei wir die Summation uber alle Atome (L')
naherungsweise dadurch berucksichtigt haben, daB fur B$(z)ein Mittelwert @ gesetzt wurde, der durch Vergleich mit der Losung der MAxwmLschen Gleichungen zu bestimmen ist. Die
z-Abhangigkeit von B $ ( z ) wollen wir nun naherungsweise als linear voraussetZen, wie sie auch die MAXwELLschen Gleichungen (genahert) liefern, so dalj wir
fur den Mittelwert von B3(z)
+
-
B3
+
+
1
=
7[B3(0)f f & ( z ) 1
(46)
setzen konnen. B3(0)bezeichnet dabei die Feldstarke der Pumpwelle a m Anfang
( z = 0), B3(Z)am Ende ( z = I ) des liristalls; Abb. 2.
8
/
0
/
I
,
4
/
*
/
Den Wert von B,(Z) konnen wir nun aus Abschn. 2 entnehmen. Hiernach gilt,
ozu:(o),
(47)
wobei allerdings beachtet werden muB, dalj diese Losung bereits unter der vereinfachenden Voraussetzung (7), d. h. der fur die Verstarkung giinstigsten Phasendifferenz gewonnen wurde. Daraus folgt, daIj die abzuleitende GI. (51) fur die
Berechnung von Phasenfluktuationen nicht mehr geeignet ist.
ZL3(Z)
= U3(O)
-
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Beriicksichtigen wir, daB sich uidurch
auf Bi umrechnen laBt, dann folgt aus (47), beachten wir schlieBlich noch den
Zusammenhang
(49)
(ni Brechungsindex der Welle il = i) zwischen den Kopp1ungskonstant)en c
und 16,
Diesen Ausdruck in (44) eingesetzt, liefert schlieBlich als Bewegungsgleichung bei
durchlaufender Pumpwelle, setzen wir wiederum vereinfachend xl rn x2 rn x ,
so daB wir uns auf cine der beiden Gleichungen fur die erzeugten Wellen beschranken konnen,
B:
=
-x,Bt
+-
(51)
Mit dem Ansatz (33), wobei rl die bei gestrichenen Rauschtermen erhaltene
Losung (c-Zahl) bezeichnet und el und yl die FluktuationsgroBen beziiglich
Amplitude und Phase kennzeichnen, folgt hieraus
wird, wenn wir in (52) den expliziten Ausdruck fur rl einsetzen. Das ist aber
genau GL(34) zusarnmen mit (41), so daB wir also auch mit einem ModenFormalismus die obigen Resultate reproduzieren konnen.
Literaturverzeichnis
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B e r l i n - A d l e r s h o f , Zentralinstitut fur Optik und Spektroskopie der Deutschen Akademie der Wissenschaften zu Berlin.
Bei der Redaktion eingegangen am 10. Dezember 1970
Anschr. d. Verf.: Dr. W. BRUNNER,
Dr. H. PAUL
und A. BAKDILLA
Zentralinst. f. Optik und Spektroskopie der DAW
DDR - 1199 Berlin-Adlershof, Rudower Chaussee 6
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