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Der SCHWARZSCHILDsche Raum in synchronisierten Koordinaten.

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312
h a l a n der Phynik
1 7.
Folge
* Band 19, Haft 6/6 * 1967
Der Sc~w~lurcnimrche
Raum in synchronirierten
Koordinaten
Von H.-H. v. BOBZESZKOWSKI
Aua dem ScHwAEzscHILDechen K e n e l e m e n t in aphiiriqchen Polarkoordinaten
r
erhiilt man durch die Transformation
t' = t
+ J dr-rfi
-2m
121 Ve, =+
( f i t der Funktioneldeterminante D = det - =
0 fiir r $: 0) die
Sc!EwABZS~D-~SUIIg
in ,synchronieierten I(oordin8ten1) :
(jy=-(jf'+-2m
f (r'r :'I
wobei
f(f',t')
=f =
art*
+ p (f', t ' )
(de9
+ eing ew),
( 3)
(
;
p
i
[f' -
Die ScHwABzsomD-Fliiche r = 2m wird in den Koordinaten c', t ' , 8,
durch die Qleichung r' - t' = 3 beechrieben. Aus (3) ersieht man, daB auf der
6 c ~ w a a z s ~ - F l i i c in
h ediesen Koordinaten keine Singularititen der Metrik
4m
auftreten. - Die Flichen r'
t' = const sind fiir const <
raumartig,
-
4m
-
4m
3
lichtartig, comt > 3 zeitartig. Auf f' - t' = 0 hat die Detercomt =
3
minante g eine Nullstelle zwaiter Ordnung. Diese Ndstelle ist keine von der
Wahl des synchronisierten Koordinatemystems verursachte Singularitat, sondern eine echte Singularitiit der Invarianten des RrEbfA"schen Tensors.
313
E.-H. v. BOBZESZKOWSKI:
I)er &awaBulcmDsche h u m
In den durch ( 2 ) eingefiihrten Koordinaten ist die Fliiche r' - t' = 0 keine
Fliiche der Hyperfliichenschar (t' = const) der Gaussschen Konstruktion, d. h.
die ScHwaszsmD-SingdaritAtwird in verschiedenen Punkten des x''-Raumes
nicht simultan erreicht. Es ist nicht miiglich, ein den ganzen Bereich r' - t' > 0
iiberdeckendes synchronisiertes Koordinatensystem zu konstruieren, in dem die
SCKwAEZSCHnD-Shgdaritiit simultan erreicht wird. Dagegen lassen sich der4m
artige Koordinaten in dem Streifen zwischen r' - t' = 0 und r' - t' = - ein3
f iihren.
Betrachten wir dazu wieder (1).I m Bereich 0 < r < 2m gelten folgende
Relationen :
1
<
Bll = T
m
0,
1--
goo=-
und
g1r = 0
(1 - - ")
>O,
gaa=r2>0,
g,=rs&Pe>O
(k = 0, 2, 3 ) .
k8nnen wir hier als Zeitkoordinate und t als Raumkoordinate interpretieren.
Wir haben es im Bereich 0 < r < 2m also mit einer I h u n g der EINsTEINschen
Vakuumfeldgleichungen in ,,qussi-synchronisierten" Koordinaten zu tun. I n
diesen Koordinaten k8nnen die Uhren wegen gli = 0 synchronisiert werden;
wegen qn = gll(r) iindert sich aber simultan ihre Qanggeschwindigkeit. - Die
Fliiche Y = 0 ist eine raumartige Fliiche (8" < 0))auf der g eine Nullstelle zweiter Ordnnng hat, wiihrend die Fliiche r = 2m eine Nullfliiche ist (8" = 0), die
in die Schar geodiitisch paralleler ranmartiger ( r < 2m) bzw. zeitartiger ( r > 2m)
Hyperfliichen eingebettet ist. Auf Y = 2m beaitzt g keine Nullstelle.
Durch eine Transformation der Form F = f ( r ) laasen sich fiir 0 5 r 5 2m
synchronisierte Koordinaten einfiihren.
Die Transformation 2)
Y
+ 0 fiir r + 0 und endlich fiir r + 2m).
Die willkiirliche Konetante C in (5) kann fiir jeden Zweig der mehrdeutigen
Funktion arc sin
80
gewiihlt werden, dal3 die Fliiche r = 0 bzw.
Y
= 2m
1) Die S C E W A E Z S ~ L D kann
- J . , fiir
~ ~ r~ <
~ ~2m ah ein ,,Univernum" angetwhen werden, deeeen ,.kosmiache" Zeit durch (4) gegeben ist [s. z. B. W. RINDLEB,Phys. Rev. Lett.
15 (1966)10011.
314
Annalen der Phyeik
*
7. Folge
* Band 19, Heft 6/6 *
1967
durch die Gleichung F = 0 beschrieben wird. (Das bedeutet nur e k e Umeichung
des r-Mahtabes.)
A m ( 6 ) folgt fiir kleine r
und fur r nahe 2m
f =
- 2 f 2 m (2m - r)1/2 -+ ..., d . h . r
= 2m
- 8L
mP
+ ...
(8)
(Die Fliiche r = 2m wird nun durch F = 0 beschrieben.)
Mit (7) und (8) erhiilt man
Es ergibt eich also, daB in den synchronisierten Koordinaten F, t , 8, q einer der
2
hat,
Eigenwerte von git. auf der FlLche r = 0 einen Pol von der Ordnung 3
4
wtihrend die beiden anderen dort Nullstellen der Ordnung
besitzen. g hat
daher auf r = 0 eine Nullatelle zweiter Ordnung. - Fiir r + 2m geht dagegen
einer der Eigenwerte wie P gegen Null, wiihrend die beiden anderen nicht ,,entarten"
Die &terminante g besitzt ah o in diesen Koordinaten a d der SCHW~BZsmrmD-Fliiche r = 2m ebenfalls eine Nullstelle zweiter Ordnung. Die Nullstelle
wird dadurch hervorgerufen, daD wir auf r = 2m gI1 = -1 gefordert haben,
obwohl die Fliiche r = 2m eine Nullfliiche Lt.
Anmerkung : Die mit den EmsTmechen Vakuumfeldgleichungen vertrQlichen SingulariMten in eynchronieierten Koordinaten werden auafiihrlich in einer Arbeit behandelt,
die vom Verfaeser im ITlBtitut fiir reine Mathematik ala Diwrtation angefertigt wird.
1199 B e r l i n - A d l e r s h o f , Deutsche Akademie der Wisaenschaften zu Berlin, Institut fiir Reine Mathematik.
Bei der Redaktion eingegangen am 4. November 1966.
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