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Der Spannungstensor in der Wellenmechanik.

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Der Spannungstensor in der Weffenmechanik'1
Von H e r b e r t W . E'ranke
Inhal tsii bersicht
llurch Umformen dcr S c h r o d i n g e r gleichung erhalt man eine Benegungsgleichung, die sich von der N e w tonschen nur durch ein Zusatzglied
unterscheidet. Man kann sie auf eine fiktive S c h r 6 d i n g e r materie beziehen,
die unter dem EinfluS von auBeren Kraftcn strowt, aufierdem aber inneren,
von der Dichteverteilung abhiingigen Kraften unterliegt. Mit Hilfe des ihnen
zugeordneten Spannungstensors lafit sich leicht die Gultigkeit des G a u B
schen Satzes, des Flachensatzes und des Virialsatzes bemeisen.
-
Aus der S c h r o d i n g e r gleichung
2m
dy)---Uy+
fi2
folgt nach Einfiihrung der Dichte
2 i m ay ---0
fi
at
e - gemaS
,- 2.- -
y=Veeh -
(2)
einer fiktiven S c h r o d i n ge rmaterie2) die eriveiterte N e w tonsche Bewegungsgleichung
(3)
I n Anlehnung an hydrodynamischc Vorstellungen kann der Term
als Druckkraft interpretiert werden. Demnach befindet sich die S c h r o dingermaterie in einem Spannungszustand, der durch einen Tensor T i ,
beschrieben wird. Dieser Spannungstensor ist dadurch bestimmt, daB seine
Divergenz der Kraftdichte von (4)gleich sein mu13:
l ) Diese Notiz ist ein kurzer Auszug Bus dem Aufsatz ,,Ein Stromungsmodell der
Wellenmechanik", Acta Physica Hungarica, im Erscheinen.
2) G . Falk, H. Marschall, Z. Naturforsch. 413,
131 (1949).
3) W. Glaser, Zur Herleitung der Schrodingorschen Wellengloichung, Vortrag
bci der C)sterr.Physikertagungin Graz, 8. und 9. Dezember 1960; W. Glaser, Grundlagen
der Elektronenoptik, Springer Verlag, Wien 1952, 498 f.
4) K. F. Novobatzky, Ann. Physik 9, 406 (1961).
156
Annalen der Phyaik. 6 . Folge. Band 15. 1955
Wir fordern, daB Tiksymmetrisch ist, und erhalten wegen der Identitat
den Spannungstensor
.(7)
Die Form
db
m @di = - Q grad U - Div T
(8)
der Bewegungsgleichung ist gut geeignet, um die Gultigkeit einiger aligemeiner
mechanischer Prinzipien auch fur die S c h r o d i n g e r m a t e r i e nachzuweisen.
Rei der Integration von (8) verschwindet nach dem GauBschen Satz das
Integral iiber die Tensordivergenz und man kommt, direkt zum Schwerpunktsatz
do
m -dt = -grad
C:.
(9)
Setzt man in
den Ausdruck fur
p nach (8) ein und integriert
e dat
[r P ] edz = - [r e grad U + r Div TI dt,
1;
.I'
so findet man wegen
J [c Div TI dz = - J
den Flachensatz
d
- [r p ] = dt
[Tki
- Tik]
dt
=
0
(11)
(12)
~
[r grad U ] .
Zum Reweis des Virialsatzes bildet man
und erhiilt unter Beriicksichtigung von (3) durch Integration
d
-dt
(rp)=
-
2K-rgrad
Daraus wird nach (5) und durch Beachtung der Identitiit
j' (r Div T ) d t = - J Tii
dt.
(16)
Mit Hilfe des GauBschen Satzes ergibt sich nun der Virialsatz in der Form
d
--(I
at
-
w2
-__
p) = 2 I< - r grad U --grad2]/e.
m
Herrn Prof. Dr. W a l t e r G l a s e r und Herrn H e l l m u t W. H o f m a n n
danke ich fur wertvolle Anregungen und Diskussionen.
E r l a n ge n, DrausnickstraBe 150.
Bei der RediLktion eingegangen am 2. Juni 1954.
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