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Der Strahlungsdruck auf Kreiszylinder aus beliebigem Material.

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63 1
3. Der Strahlum yed~ruck
nuf Kre4axNdnder au8 beliebdyem blaterdal;
von Gihnther l'hdlo.
(Breelouer Diseertation.)
8 1.
Einleitung.
Das Problem der Beugung ebener, elektromagnefischer,
polarisierter Wellen an Kreiszylindern ist bebandelt worden von
v. Ignatowsky'), S e i t z 2 ) und Ychaefer und Gro6mann.a)
Die vorliegende Arbeit beschaftigt sich mit dem von einer
ebenen, polarisierten , elektromagnetischen Welle auf einen
unendlich laigen Kreiszylinder ausgetibten Strahlungsdruck,
und zwar sei die elektrische Kfaft der einfallenden Welle
entweder parallel oder senkrecbt zur Zylinderachse polarisiert.
Die Dielektrizitltskonstsnte u , die Permeabilitit p und die
Leitfahigkeit r~ des Zylinders seien beliebig. Es sei bemerkt,
da6 die im folgenden abgeleitete Formel ftir den Strahlungsdruck nicht nur ftir einen, sondern far beliebig viele koaxiale
Zylinder unverandert gilt, nur sind im letzteren Falle die
Koeffizienten urn komplizierter gebnut. Der Strahlungsdruck
wird filr einen Wasserzplinder von 1 cm Radius ale Funktion
der Wellenlilnge der einfnllenden Strahlung in einem gr66eren
Interval1 numerisch berechnet, um seinen Zusammenhang mit
den Eigenschwingungen des Zylinders zu beleuchten. Im Anhang werden die Formeln ftir das dnrch zwei koaxiale Zylinder gestiirte Feld abgeleitet.
1. Teil.
Die elektrisebe Kraft 1st parallel der Zylinderaohee polarislert
(Im folgenden als j J Fall bezeiebnet).
9 2.
Dss Feld im
1)
Fslle.
Es wird ein rechtshlndiges Koordinatensystem zogrnnde
gelegt (vgl. Fig. 1). Die Achse des
00
langen Zylinders falle
1) W. v. I g n a t o w s k y , Ann. d. Phye. 18. S.496. 1905.
2) W. S e i t z , Ann. d. Phye. 16. S. 746. 1906; 19. S. 554. 1906.
3) C1. Schaefer, Archiv d. Math. u. Phys. III. Reihe. XII. Heft 4.
S. 349; C1. Schaefer U. F. QroSmsnn, Ann. d. Phys. 81. 8.4156. 1910.
G. Thilo.
532
mit der z-Achse zusamrnen, der Zylinderradius sei el. Die
einfallende ebene Welle, deren elektrische Kraft jl der z-Achee
polarisiert sei, schreite in Richtung der abnehmenden z fort.
fl
v
Richtung drr etnMenden
We//e
Raum 2
X
Y
X
Fig 1.
Die Maxwellschen Oleichungen lauten in Zylinderkoordinabn
fr, 9%
2):
4nu
r
d r (r
8,) - 7 59:
a"
2
Im vorliegendeu Falle wird B, = 0, Gq = 0, $jZ
= 0, und
es verschwinden alle Ableitungen nach z, da der Zylinder 00
lang ist. Damit gehen die Gleichungen (1) Iiber in:
1) Der Index z kann als iiberfluesig weggelaesen werden.
Der Strahlungsdruch auf Kreiszylinder aus beliebigem Material. 533
Elimination von
(3)
~p
-;c
C2@
i)
Qr
+ ~p
4npcr
und
,&, gibt:
6 @ = aaE
$;P
+ 71
a@
+1
,.r
az@
a U p
Um zu einer Integra€ion von (3) zu kommen, setze man
m
@=
(4)
einf
~ I i r n c omcp,
s
wo m eine positive, ganze Zahl ist. Dies in (3) eingesetzt gibt:
Da diese Gleichung fur jedes cp gelten mu6, mu6 jeder
einzelne Summand 0 werden, also ist, wenn
ist.
Das ist aber die B e s 8 elsche Differentialgleichung von der
Ordnung m und dem Argument k r . Sie wird gelost durch
die Besselschen Funktionen 1. und 2. Art Jrn(krjund K,,,(hr)
Das allgemeine Integral von (3) lautet also:
B = einl ~ r n l ~ , J m ( h +
r ) u r n i r n ( ~ rcos
) j mcp.
0
(7)
0
Das Innere des Zylinders werde a18 Innenraum (Raum I),
der ubrige b u m als AuBenraum (Raum 2) bezeichnet. Die
Materialkonstanten im Raume 1 seien el, p l , cl, die Koeffizienten
werden mit a', A', die elektrische Kraft mit Q, bezeichnet.
Entsprechend im Raume 2: e2, p 2 , 02, a", b", E2.l) Raum 2 sei
das Vakuum, also
12
22
&2 = pz = 1,
uZ=O,
k , = - = - * i.
Es ist also:
Q)
&El
= einl
z
r
n
(brn'J,+ a,' K,) cos vz9.
0
Fur r = 0 wird Krn( k r ) = 0 0 , da aber
bleiben mu6, so folgt anr'= 0. Also:
(&l)r=O
endlich
1 ) Die Bezeichnung der Indizea iat umgekehrt wie in der S ch a e f e r GroBmannechen Arbeit (a. a. O.),dr bei der Rehandlung zweier koaxialer Zylinder spater drei RBume auftreten.
Amden der Phydk. IV.FOlgO. 82.
86
6S4
G. Thilo.
Die elektrische Kraft Q2 setzt sich zusammen aus der
einfallenden und der vom Zylinder abgebeugten Welle, also
= Q, + Q,. Q, und Qh mussen natiirlich der Gleichnng(3)
gehorcheq. Also:
z
Q, = e ' " ' 2 m {b,,; J m
+ urnrLY,]COSm y
0
Zur Bestimmung der Koeffizienten dienen folgende Grenzbedingungen :
Die tangentialen Komponenten von Q und 8 sind bei
r = p1 stetig:
(gi)r= el = (@a), = 8 ,
9
i8,$ = c,
=
!%,,,,.
= (3,
?
oder nach (2):
(9)
Ferner mu0 fur = 00 die vom Zylinder hervorgebrachte
Sttrung verschwunden sein, d. h. es darf dort nur die einfallende Welle vorhanden sein, also :
Die Entwickelung von e i k r nach Besselschen Funktionen
entnehme ich dem Lehrbuch von Gray-Matthews.')
,i k r cos 111
=
J, ( k r ) +
$2 imJ,, ( R r)
COB
m Cp
I
Also iet
m
(@,)v=m
=e'n*{Jo(kr)+xm 2imJ,(Ar)~~~mgpl,
1
d. h.
(10)
am=
= 0 , hoe = 1, h,; = 2 in'.
6, stelit die vom Zylinder nach aul3en fortschreitende
Beugungswelle dar, b,,,a und am& miissen also so bestimmt
1) Gray and Matthews, Treatise on Beaael functione.
Formel 89.
S. 18.
Der Straltlungsdruck auf Xreiszylinder aus beliebigem Material. 535
werden, daB diese Bedingung, d. h. eben nach au6en fortschreitende (von r = 0 aus divergierende) Zylinderwellen, erfiillt ist. Ich entnehme, die Bedingungsgleichung einer Arbeit
von A. Sommerfeld.1) 1st d u + kau = 0 die Schwingungsgleichung, so lautet die Bedingungsgleichnng fur nach auBen
fortschreitende Zylinderwellen:
d 11
Setzt man B = e i ' l t . u (r,y ) in (3) ein, so ergibt sich:
= 0. Im vorliegenden Falle ist also:
+ k2
I(
a
u =
Xrn [ b 2 J, + amb K,)
cos m cp .
0
Dies in (11) eingesetzt gibt:
(12) lim
fr
{ A b,b J,'
+ k ambK,' + i k b,b
J,
+ i R a,,,* 9,) = 0 ,
r=T
denn das Y fiillt wieder weg (vgl. S. 633). Bei gro6en Werten
des Arguments kann man fur J , und Km folgende aaymptotischen Werte benutzen s):
Setzt man (13) in (12) ein, so erhillt man:
in
b,b = - b
2 'rn
.
Damit wird
rn
@b=ei'ltCmanb {
u
m
K m - i- nT J _ J ~ ~ ~ m c p = ~e m
' *a ~m b Q I c o s m y ,
u
wenn
K m - - Jin
2m =
Q,
1) A. S o m m e r f e l d , Die Greeneche Funktion der Schwingmgsgleichung. Jahresbericht d& deutschen Mathemat.- Vereinigung. el.
Heft 10112. S. 309. 1912.
2) Bei Sommerfeld eteht in der Klammer i k u ; das liegt daran,
da6 dort der Zeitfaktor e - ' " ' heilt, wllbrend er bei mir ~ " " ~ i e t .
8) Vgl. Jahnke-Emde, Funktionentafeln. 1909. Meine Beeeichnungen eohlieeen eioh an Jahnke-Emde an.
-
85*
636
G. Thilo.
iet.1) Setze ich noch
(14)
bme
so wird
und
= b,"
amb= a,,,":
x m (bm"J,,,(A2 r) +
m
= eiT2
t
(16)
.7
am" Qm
(ha r)
+
&, (A, el)1cos m 'p
COB m 'p
0
'
c
m
0
I,'
Jm
(A,
QJ cos m
'p
'LI
=
C.l {b,"
J,,,(A, pl)
0
(16).
a",
m
-c
Pi
m
0
b,,,' k , J,,,'@, P I ) cos m cp
m
= x % n k , 'b," J,,,' (A2 gl)
\
+ urn" Q,'
(hz pl) 1 cos m
'p. 3,
0
1) Ee ist
Qm
d2',wo
=- in
2
,
H r die Hankelsche Zylinder-
funktion 2. Gattung iet.
2) I n den Arbeiten von v. I g n a t o w e k y und S c h a e f e r 8.8.0. ist
dieeer Ansatz fir die elektrische Kraft im AuSenraum richtig gemacht,
aber sein Zusammenhang mit der Ausstrahlungebedingung nicht auea, K,,,;dieeer Ansatz iet
geeprochen. Bei S e i t r ist angeeetzt b,Jm
also nicht richtig, da er im OD stehende Wellen liefert. I n der zweiten
Arbeit von S e i t z iet der Ansatz in b, J, + a, Q, verbessert. Auch in
einer slten Arbeit von J. J. T h o m s o n ist die falsche Loeung sngeectzt.
(Recent researches on Electricity and Magnetism. S.428.)
+
3) pa = 1.
I)er Strahlmysdruck auf Krciszylillder ails beliebigem Materid. 537
Jll
= J,
(4 el),
Xal'= Km'(ka el) uew.
Da die Gleichungen (18) far jedee 'p gelten rntiesen, Bind
die einzelnen Summanden gleich, also:
b' Jll = b" Jal + a" Qal ,
1
b'k, J1,'= b" k, J,,'+ d ' k , Q a l ' .
P1
Es folgt:
kl
J,' k 41) Jm (k,41) - k, Jm (kt 48)Jm' (k,el)
(17)
am"= 2itR
h Jm (4pi) 9,' (ks 01)
k, J-'
-P1
-.
[ki 01) Qm
(h41)
Fur m = 0 hei6t der Fsktor nicht 2im, eondern 1. Zur
numerischen Berechnung iet folgende Form bequemer:
(17a)
2 am = k,
alrr
Jm
(k, el) %' (h el) -~
kl
- J,'
P1
~
k
Jm'
el) Km(k, el)
PI
(4el) J, (k,el) - k, Jm (kl 01) Jm' (k, 0 , )
Damit ist Cia vollstilndig bestimmt.
haben kein Interesse.
+y*
Die Koeffizienten h,,,'
(1 Felde.
Unter Eigenschwingungen des Zylinders aind zu verstehen
die Eigenechwingungen dea Systems : Zylinder + umgebendee
Vakuum. Die Bedingungsgleichung erhiilt man, wenn man die
au6ere I h f t (einfallende Welle) gleich 0 setzt. Also wird
8
3. Eigenaohwingungen im
= einl +4
n a m ' ' Q mcos m 'p,
B, =einL$mb,,,'J,,,coamrp.
Die Grenzbedingungen (9) liefern :
W
(18)
t]l.6,'
I
J, ( k ,
m
el)coa m 'p = &'ma,,," &, (it, p1) COB m 9,
"
I k1$Ib,,,' J,'
P1
m
(k, pl) cos m 9 = ha
a,,,"Q,' (k, 4,) cos m 'p.
Das Sommenzeichen f d l t wieder weg. Division der
Gleichung (18) durcheinander liefert die Bedingungegleichung
fir die in den k, und ks steckenden Eigenfrequenzen:
G. Thilo.
638
Qr’
(19)
Jm (A1 ~ 1 )
(ha 81)
- 2 Jm‘ (1‘
k
P I ) Qm
(4PI)= 0.’)
(19) kann nur durch komplexe Argumente erfillb werden. Daa
bedentet aber, da6 nur gedilmpfte Eigenschwingungen existieren
ki3nnen. Die Dilmpfung ist einmal Strahlungsdimpfung, und
zweitens bei endlichem Leitvermbgcn des Zylinders Diimpfung
durch Ehtwickelung Joulescher Wilrme. Bei dielektrischen
Zylindern ist nur Strahlungsdampfung vorhanden. 1st ein komplexes k, = p + i y (und damit ein kz) gefunden, das Qleichung (19) erfUllt, so ist:
pno.
+ p + i q - - - e p 7 1 ) - 4 n ics
C9
DieeeGleichung kann nur durch ein komplexes 7~ = u f i p
e f l l t werden. rc ist dann die Frequenz und p die Dilmpfung
der Eigenschwingung. Physikalisch brauchbar iat nur die
LBeung n = rc - i p , wo p > 0 , da sonst die Amplitude unbegrenzt zunimmt. Phyeikalisch realieierbar sind ungedlimpfte
Eigenechwiogungen nur an dielektrischen Zylindern. Man kann
nhmlich die nach aui3en fortachreitende Strahlung, die die
Dilmphng verursacht, durch einen in beliebiger Entfernung den
dielektrischen Zylinder umgebenden Zylindermantel von co
groI3er Leitfahigkeit wieder zurllckwerfen. Man bekommt dann
an diesem Mantel stehende Wellen. Die Frequenzen der ungediimpften Eigenschwingungen hiingen nattirlich von der Entfernung des Mantels von der ZyJinderachae ab. Ist diese Eqt
fernnng
groi3, so erhalt man die Bedingungsgleichung fur
die ungedhmpften Eigenschwingungen, wenn man aneetzt:
W
8,= c i * f p u , , , ” K a ( k s r cos
) my,
denn diem Ansatx liefert im m etehende Wellen. Alao wird
die gesuchte Bedingungsgleichung:
(20)
‘2
Jm (‘1
41)Km’
2‘(
- PI
k, 3,’ (A1 411
‘ K (Aa p1) = O .
~11)
Dies stimmt mit dem reellen Teil von (19) tiberein, wenn
man dort reelles Argument annimmt. Da (20) ftir jedes m
1) Zu beachten iet die formale obereinetimmung von (19) mit dem
Neaner von (17).
Der Strahliingsdruck aiif Kreiszylinder aus beliebQern Material. 539
co viele Wurzeln hat und m von 0 bis
oc,
lauft, existieren
co2 viele Eigen frequenzen.
8 4. Bereohnung der mapnetisohen Feldkomponenten.
Die Kompomnten (@,)a und
findet man aus den Gleichungen (2). Da kein von der Zeit unabhiingiges Magnetfeld
vorhanden ist, kann man ohne Hinzufiigen einer Integrationskonstante direkt integriereo. Es wird:
(a,,,
(21)
(a,&= - i
m
*
+
e i * t ~ ( b m ” J m ’ ( k l ra,”Q,‘(krr))
)
COB
my,
11 Fall.
Es sol1 berechnet werden das zeitliche Mittel des-on der
8
5.
Bereohnung dee Strahlungadruukee im
einfallenden Welle auf den Zylinder ausgeilbten Strahlungsdruckes. Die graft, die von elektromagnetischer Strahlung
auf einen materiellen Karper ausgetibt wird, setzt sich zusammen aus den Maxwellschen Spannungen, die iiber eine
beliebige, den Kiirper umschIieSende Fliiche zu integrieren
sind, und aus der Anderung des elektromagnetischen Impulses
innerhalb dieser Flilche. Da im vorliegenden Falle nur daa
zeitliche Mittel des Druckes berechnet werden sol1 und ein
rein periodischer Zustand vorliegt, ist der Druck, der von der
Anderung des Impulses herriihrt, im Mittel gleich 0; die Integration tiber die Maxwellschen Spannungen gibt also das zeitliche Strahlungsdruckmittel. Als Integrationsfliiche wird ein
dem materiellen Zylinder koaxialer Zylindermantel mit dem
Radius r, wo 7‘ >
ist, gewilblt. Die Maxwellechen Spannungen sind :l)
Aus Syrnrnetriegrtinden folgt, daS nur ein Druck
11
der
1) Vgl. z. B. Abraham-Fappl, Theorie der ElektrizitCLt (Teubner, 5. A d . ) Bd. I, S. 154-155, Fomeln 149, und 8.211, Formeln 177.
2) n iet der normale Einheitevektor.
G. Thilo.
640
x-Ache resultieren kann, die 5, und Zz brauchen also nicht
berficksichtigt zu werden. 1st
x; + 5," = xn
(XKomponente der Flachenkraft auf ein .Flachenstuck von der
QroSe 1 und der Normale n), so ist die GKornponente der
Flachenkraft auf ein Zylinderstuck von der Lllnge 1:
?n
3,= SX.,,d
(T
-
= JXn,:
T
.d rp
(d Q Oberflilchenelement).
0
Im vorliegenden Falle fallt r mit n zusammen; also ist:
n,
= COB
(n,z)= COB 'p,
ng = cos (n,y) = sin
n,
= COB (n,L) =
'p,
0.
worin T die Sc-wingungsdauer bedeutet , ,.ar
Es ist:
wert von
@,SO,
I
zeitliche littel-
5,.
q=0,
&=O.
T
a,
Der Strahlungsdruck auf Kreiszylinder aus beliebigem Material. 54 1
vertauscht werden. Bezeichnen uberetrichene OroBen zeitliche
Mittelwerte fiber eine Periode, z. B.:
- X,,
bedeutet eine Kraft in Hichtung der einfallenden Welle.
s@
222
a) Berechnung von
con cp d c p .
0
Es war nach (15)
1 ) Da b,,," abwechselnd reel1 oder rein imaginllr ist, ist bei gleiebem m entweder b:) oder):6 gleich 0.
542
G. Thilo.
(Es ist gleich dem reellen Teil dieses Ausdruckes.
1st 'i?
=l
%e{ein1(al
ia,)]
9 = %e{eiflt(6, i h s ) l ,
so ist der zeitliche Mittelwert des Produktes:
+
K.8 = + { u , h,
+
+ a,b*j.
Also folgt aus (29):
s
Uas Integral cos nr rp COB p 'p coa cp d cp lil0t sich durch
partielle Integration bestimmen. Man bekommt in bekannter
Weise eine Rekursionsformel, in der das vorliegende Integral
durch sin m ip sin p 'p cos cp d cp ausgedrlickt wird. Behandelt
man das letztere Integral ebenso, 80 bekommt man schliefllich:
S
~cosrnycospcpcos'pdip
1 - ?)la - pa
- (1 - mQ
- 4m9p9
pQ)2
'OS
cp 'OS P cp sin 99
Ber Strahlungsdruck auf Kreiszylinder aus beliebigem Material. 543
Also wird:
I
Jcos
m y cospcp cos cpdy
( 1 + ms- (I -pmspa)*-
p3
4 m Q p Qcos 2 m n
.__________
I
sin 2 p 'IC
1 s t (1 - riza - pa)s- 4rnapz = 0, so iet p = f (mf 1). Fiir
diese Werte wird der Nenner von (31) Null, gleichzeitig wird
aber auch der Zilhler Null, wovon man sich durch Einsetzen
leicht iiberzengt. Man findet also den Wert des Integrals,
wenn man Zilhler und Nenner der rechten Seite von (31) nach
p differenziert und dann p m + 1 setzt. FUhrt man die
elementare Rechnung durch und wird m eine positive, game
Zahl, so findet man:
6
7
n
c o s m c p c o s ( m + l ) c p c o s c p d c p = II2- ~
Fiir m = 0 nimmt das Integral den Wert n an. Also:
IT
(32)
0
cos m sp cos (m
+ 1)y cos cp d sp
=
nfiirm=O
=+z
7c
Der Wert des Integrals
>)
m Z l
i
0
cos m sp
I
m ganze Zahl.
COB p
cp
COB
sp d y ver-
schwindet fiir ganzzahliges positives m und p also nur d a m
nicht, wennp = m + 1ist. Ferner wird der Wert unabhilngig von
m, wenn man den Fall m = 0, p = 1 ansschlieJ3L In (30)verschwindet also die rechte Seite nur f i r folgende Indexkombinationen m, p nicht: 01, 10, 12, 21, 23, 32, . . , . Die Doppelsumme reduziert sich also anf eine einfache Summe und der
Faktor Bllt weg, da z. B. A,, = A,, und also:
4, + 4,= 2 4 ,
ist usw. Also wird (50),wenn man noch den Wert des Intsgrale einsetzt:
+ ;5m
= 7rC(AoA, + B O B , ]
b e r Wert des Integrals
1
T
0
IA,Am+l
+BmBm+ll.
1
sin m (p sin p y cos y d t p wird
spater gebraucht, er m6ge gleich bier mit angegeben werden.
Man findet ebenso:
[sin
m y sin pcp
-
(34)
711
(1 -
cpdcp
+ 1)')
- ,,y- 1 PI1 p cos 2m n sin 2 p n ,
(1 - W ' ?
m2
+ 1) (p COB cp d cp
sin m cp sin (m
(35)
COB
Ofilrm=O
=
O
/?
=+,,, n
m T 1
I
m game Zahl.
-
?Ya
b) B e r e e h n u n g von j($jJsscoa rpd(p.
0
Nach (22) ist:
m
i
(@&, = - 'kp
einl C
m
(b,"Jm(R, r ) + am"gm
(ti2 r)}m *sinm rp,
V
durch Einsetzen von (27) und (28) findet man:
m B,,, sin m t p
(35)
-i
m
p m Am sin mrp
Damit wird ebenso wie friiher:
(37)
I s i n mcp sinpcp
U
COB
vdy.
Ber Sirahlungsdruck auf Krei.wylinder aus beliebigem Material. 545
Nach (35) verschwindet das Integral nur fiir p = m + 1,
bzw. m p + 1 nicht. Die Doppelsumme reduziert sich also
wieder auf eine einfache Summe, die Kombinationen 01, 10
sind Null, die Kombinationen 12, 21, 23, 32 . . . sind = + n/2,
also wird (37):
Q
.
2n
an
c) B e r e c h n u n g von
J(w
cos cpd cp.
0
Nach (21) ist:
-i e 2
W
(@Ja =
in
16 ,"
J,' (k, r )
WI
+ am" &',
(A, 791 COB m rp .
0
Wende ich wieder Gleichung (27) an und setze ich:
A,' = (b);
+ 7c p,") J,' + u,,,"K,,,',
(39)
{
B,' = (h!,?
-u,,,")
',J
2
7c
+ P,,'
KL, l)
1 ) Oleichungen (39) unterecheiden sich von (28) nur dadurch, daE
an Stelle der Funktionen J und K ihre Ableitungen treten.
G. Thito.
646
2n
d) Berechnung v o n
l(@,),
. (Q,&
sin cp d~ .
0
Nach (36), (40) wird:
2n
1
s($j,X. (
6s
sin cp d 'p = --2 7 k,--
ppJ{mA , A,' +
O o r n
m
n, B J -
0
jn
0
sin m y cospgp sin gpdqj.
Durch partielle Integration des unbeatimmten Integrals h d e t
man :
7
sinmcpcospcpsinqjdy = m cosmrpcosprpcoeydrp
0
(42)
2n
t
- p s s i n m y sinp 'p COB cp d y .
0
Da das vorliegende Integral in m und p nicht mehr
symmetrisch ist, milssen die Fillle p = m + 1 und m = p + 1
unterscbieden werden. Durch Beechtung von Gleichung (32)
u. (35) findet man:
112
0
(43)
m91
1 i
p
1
m + l i + ( m + l ) - = -n2-
1
j
m-1
/
0
1
I
my2
;inmrpoospgisingidcp
1 0
I
0
I
2
-
1
Durch (43) h d e t man aleo:
n
+ n
3z
27
mT--h-l)-=
2
+ -n2
Der Strahlungsdmck auf gi.eisrylindeT
aus
beliebigem Material. 547
e) B e r e c h n n n g d e s Strahlungadruckea.
.
Gleichung (26) wird durch (33), (38), (41) und (44):
La& man jetzt den Radius T der Integrationsflache oc) werden, so
verschwinden die 2. und die 4. nnd 5. Zeile, denn die Ausdrficke
A A, + usw. verschwinden einzeln wie 1 / ~ . Man iiberzeugt
sich davon leicht, indem man die asymptotischen Werte (13)
in A , . A m + l usw. einsetzt. Es wird also:
( X \,.= -,
=
I-
+
I
( A , A!
+ B, B , + .fo'
A,'
+ BmBrn+l
+
~ $ ~ { ~ m ~ l n i + l
(46)
& 4 + 1
Beachtet man Qleichung (28), eo wird:
i
+ B,' B,'j
+
xB:+ll.
AmArn+1+ BmBm+1
+p,~A+1)(",smJm+I
=(u;e;+1
+(4+1b?+
+ (4
b!k)+
1
+L G + ~ )
F;+lbE')JmG+l
P;'!?+
1) Jm
+ 1 lu, * ')
Die ersten Klammern mogen der Reihe nach mit
em,
f,,
g,, h,, j , bezeichnet werden, also:
.___-
m b("
m + l aind 0, da immer der eine Faktor 0 ist,
1) bg" 6$)+ und b'2)
denn b," ist reell oder rein imaginlir.
G. Thilo.
548
I
(474
1
Ebenso wird nach (39):
+
B ~ A A + B~ ; B ; + ~
(48)
+
+
+
em($JAJm+I
J;+IK]
fm(Jn;KR,:+l-
+
J;JA+I
+ y m
K m C + l )
hm J ; K A + 1
JA+IK~Zwischen den Besselschen Funktionen bestehen folgende
Rekursionsformeln :
1
(49)
jm
m
m
=-Jm(z)-Ja+1(z)=
Jm-~(z)-;Jm(~)i
2 na
Jm+l(z)=--- 5
Jrn(~)-J?n-1(.~)-
Dieselben Formeln gelten fur K, (z) .
SchlieBlich gilt noch:
{ Jd
(50)
Fur
K n (2)- Jm
(5)
00
Jm
(z)Km + 1 (2)
1
- Jm + l ( 4
Km
(4 = ;
Argument wird nach 49:
IJA(h2 T ) = (")
(.z) G (z)r=
Jm
+ 1 (h%r)=
+
Jm
- I ( $ r)
und
~ ~ ~ ( ~ ~ T ) = - ~ ~ + l ~
( h, -~ 1
r () ~
= +~
r ) .
Ftir 00 Argument verschwinden zwar samtliche Funktionen
J, und K,, aber -EL J, verechwindet von hoherer Ordnung
k* r
a18
+ I (ha T ) *
Jm
Beachtet man (50) und (51), so wird:
I
(52)
AmAm+1+
I
BmBm+1
+ &AL+I +
=
{2&+
=
(2fm
k, r
1
&+B'm+l
hm--mf~J,gm+,-Jm+lKmI
+
Am
- jm]
*
Und damit wird der Strahlungsdruck unabhangig von der
speziellen Wahl der Integrationsflache.
{
I - x,, 84
1
3
:
m
@*I'
Po" - z UO"p,"
+
@,'
- 2 ~o I
l
5
+ -ISk*
- - ~ m ( n c c ~ . + l p ~- naZpk++1+ c t ; + 1 b 2
+ pi,; @-- a;;,A': - p; @+
1
+1
1
1
1.
Und damit ist der Strahlungsdruck fiir den Fall, da6 die
elektrische Kraft H der Zylinderachse polarisiert ist , exekt
berechnetI)
2. Teil.
Die elektrisohe Rrvft let eenkreoht zur Zyllndermbse polarisiert.
(IFall.)
8 6. Das Feld im I Fslle.
1st die elektrische Kraft senkrecht zur Zylinderachse polarisiert, so verschwinden &, QV und @I und die Ableitungen
nach z. Gleichungen (1) reduzieren sich also:
Die Elammer ist aber gleich -
80
g ,also:
1) 1st die Amplitude der einfallenden Welle nicht = 1, eondern = A ,
iet die recbte Seite von (53) noch mit de cn'multiplizieren.
AnLnn8la~der Phplk. IV. Fob; 62.
36
I
550
G. Ttiilo.
Das ist dieeelbe Oleichung wie (31, nur claS (5 und 8 vertauscht Bind. Sstzt man wioder
spny
-C*
-
4nipn"
cy
= h2,
so wird (55) allgcmein integriert durch:
JZ
@ =c
(56)
I
'8
{ d,,,.Irn (k r )
m',-4
+ c,,, A,u ( A r )
cos m 9 .
ll
Kbenso wie beini I Fall tinclet
I
(58)
Ql=
1
@a =
el f1
illan:
q,,
d,,: J,, ( k , r) cos nt 4 ,
+
e ~ * ~ t ~ ~ ~ ~ d ~ cz&Itl(R2r)j
J r n ( i i 2cosmq.
~ )
(I
do" = 1 und d,," = 2inr ist.
Die Koeffizieriteii dm' und em'' werden durch die Orenzbedingung
\YO
{
(@J1=(),
== ( @ J r = p , '
(59)
CGql)?= e ,
bestimmt.
Es ist nach (54a) uud (56)
(@q2),
=ez
e).
= - R eirrlP(r,
.
Ich setze Gfp = C k
e i n l . P(r, y ) ,
Dam folgt
also :
(61)
(@J2
=
+ie'"'3m
fd,,,"J,'(k, r )
IJ
denn
E~
+ c,,," Q i ( h 2r)]cos m y ,
n
E
1, o2 = 0 ha = -.
Also folgt aus (59), wenn nach der bekannten Schlutl
folgerung das Summenzeichen weggelassen wird:
d' Jll = d" Ja, + c"Qt1
und
p1 (1' Jll' = d" Jzl' + c" QZ1',
h e r Struhlungsdruck nu# Kreiszyliuder aus beliebigem Material. 55 1
wenn
kl c
= 6, o - 4 n i u l
ist
E:s folgt:
oder
(62a)
2i m
=
Jm
--
(*!--LA
0 1K ' (k, el) - pI
- .
A,'
~
~
QI 4,)Km(k2q l )
PI A; (4 q , ) J m (lh P I ) - Jm (x.1 @ I ) J,' (k,41)
rr.
Fur m = 0 tritt an Stelle von 2i1n der Faktor 1.
9 7. Eigenachwingungen im
in
+T.
1 Falle.
Die BedioguDgsgleichung fur Eigenschwingungen erhillt
man ebenso wie fruher ;
(63)
0Als Bedingungsgleichung fur ungediimpfte Eigenschwinguugen erliblt man:
(64)
A, 05 CJl) I,*
(A, 0 1 ) - 61 A, Jqn (4 0 1 ) 4,'(42 PJ = 0 '
da diese nur au dielektrischen Zylindern mbglich sind, also
cl = 0 ist.
~ 1 ~ 1 , ' ( ~ 1 ~ * ) ~ , 1 J, "
( ~: ,~ ( ~~ ,l )! ' ~ ) ~ ~ =
, ' ( ~ ~ ~ , )
<,,I
8 8. Berechnung den Strahlungedrnckee im
Man findet ebenso wie frtiher:
{Ex2- EY2]
11,
(66)
'
=
1
8n
--
{-
&' COB
. ~ . ..
I ) Vgl. Formel (25).
ff
I Falle.
+ 4ngzGqny - snQ2n,
f (@v)2z COS 'f
- (&q)za
COS
552
Gt. Thilo.
zeugt, ist das gleichgaltig), konnen die Formeln des
sofort auf den I Fall tibertragen werden. 1st
Crn“ = ym” + id,“
und
11
J!’alles
d”,” = d(1)
+ j dG),
m
so wird der Strahlungsdruck:
I
- x-L =--8*k,
{7ry,”80”- ny0“8,“
+ yl”-
2S0”J
3. Teil.
Nnmerisohe Reehnmgen.
Q 9. Numerische Bereohnung dee Eltrshlungedruckea auf
einen Waeeeraylinder von 1 cm Radiue im Vakuum fur den I( Fall.
Im folgenden wird der Stralilungsdruck auf einen Waeserzylinder von 1 cm Radius im Vakuum f i r den I( Fall numcrisch berechnet. Ich gehe aus von der Formel (63). Man
braucht zur Berechnung von -41 nur die Kenntnis der Koeffizienten a: = ctz ip:,;. Fur Wasser ist el = 81, pl = 1, (rl = 0 ,
also wird Formel (17 a):
+
n
2n
Da 4, = 1 cm ist, w i d k , p l = k, = =wo 1 die
A ’
c
LiLnge der einfallenden Welle iiii Vakuum ist. Ferner ist
R, =
78
C
= 9 k2 ’
k, p1 ist das groSte auftretende Argument. Die Funktionen J
treten in (l7a) von den Argumenten R, p1 und k, pI, die Funktionen K nur vom Argument & ol auf. Die Werte fur J,(x) und
Jo‘(z)= - J, (x) liegen in den E’unktionentafeln von ‘ J a h n k e E m d e bis zum Argument x = 15,5 berechnet vor. Ich konnte
also den Strahlungsdruck in dem Interval1 von 0-1,7 fur k,
(d. h. von 0-15,3 fur a,) berechnen. Die Werte fur die
Xo (A, pl) und Kl (ha el) tvurden dem gleichen Tafelwerk e n t
nommen. In diesem Intervall konnte die Reihe (55) schon bei
Der Strahlungsdruck auf 'Kreiuzylinder aus deliebigem Material. 663
m = 3 abgebrochen werden, nnd zwar genCigten diese @lieder
schon vollig bei 4 = 1,7. Bei kleinerem k, konnte schon eher
abgebrocbenwerden. Dain(63)alsIndexm+ 1auftritt, muSten die
Koeffizienten a/ &" bis a i ' / l l berechnet werden. Die Nullstellen des Zahlers von (17 a) geben die Eigenschwingungen des
Zylinders. Es wurden znniichst die Koeffizienten u" und 8''
1
+
f
fi
I0
*8
+6
*4
*2
-2
-4
-6
-8
- 70
4
Fig. 2.
1
(m = 0,l . 4) derdft ber'echnet, da6 R, = 0,05, 0,l und d a m
immer urn 0,l. wacpend bis 1,7 gesetzt wurde. Daraus wurden
annahernd die Eigenschwingungen (fiir rn = 0,l
4) berechnet und nun die Koeffizienten filr diese in unmittelbarer Nahe
der Eigenschwingungen liegenden Werte von R, berechnet. Ee
ergab sich so die Notwendigkeit, die Koeffizienten fUr m = 0 , l . 4
..
. ..
..
554
G. Thilo.
fur 50 verschiedene Wellenlangen zu berechnen. - Die nicht
in den Tafeln enthaltenen Funktionswerte der haheren Ordnungen wurden entweder mit Hilfe der Rekursionsformeln (49),
oder, wo diese Rechnungsart fur hahere Ordnungen und kleine
Argumente zu ungenau wurde, aus den Reihen fur J, und
J,’ teilweise berechnet und dazwischenliegende Argumente nus
den Kurven graphisch interpo1iePt.l) Samtliche numerischen
Rechnungen sind mit dem Rechenschieber ausgefuhrt. In
Fig. 2 ist k, Jll K2,‘ - 4 ’&t K,, als Funktion von II, aufgetragen. Mit wachsendem m nehmen die Maxima stark zu.
Deswegen lnuBte fur m = 3 und m = 4 je ein kleinerer MaBstab gewahlt werden. Die Nullstelten geben die Eigenschwingungen. .Merkwiirdig ist das Verhalten der Funktion
fur m = 0 zwischen 0,8 und 1,l. Es wird spater gezeigt
werden, da0 sich die Koeffizienten w,,” und Po’’ so verhalten,
als ob bei k, = 0,8 eine Eigenschwingung sei. In der folgenden Tabelle 1 sind die Werte von k,, die Eigenschwin.
gungen entsprechen, fiir m = 0 bis m = 4 zusammengestellt.
--
--__
/+0,09587*a)1 +0,2631*
+0,4648*
+0,6102
= +1,0709
+1,3170
+0,9621
1,4656
+1,6771
I
+
1
f0,4237
+0,7752
f1,1246
1,4743
+
I
I
+0,5706
+0,9324
1,2857
-I-1,6379
+
+0,7073
1,0825
1,4436
+
1
+
Der Strahhnplruck avf Kreiszylinder aus beliebigem Material. 566
-
aus (Ha) leicht uberzeugt. I n den Nullpunkten von h, J,l‘Kr,
k, JI,’ K,, l) fUr das betreffendc m werden abwechselnd em”= 0
und p,“ = & 4/72 (oder eben umgekehrt). Fiir m c 0 wird in
den Eigenschwingungen e,,”= 0 und &,” = 2/92 (weil &” = 1).
Man sieht dieses Verhalten der Koeffizienten in den Figg. 4,
-
ki
Jm‘
t Jm
) (X., QI)- kg Jm (4 41)J
m‘ fh 01)
2n
ala Funktiou von k, = -.
1
Fiir ?ti =: 0, 1,2,3 gilt MaSetab I
(4 ~
,,
t
nt = 4
77
,,
11
-2.0 -0.05
Fig. 3.
5 und 6. Fiir m = 3 nnd 4 ist der Verlauf der Koeffizienten
nicht gezeichnet, weil sie auBer an den Stellen der Eigenschwingungen sehr klein bleiben. Man sielit in den Figg. 4
bis 6 dwtlieh die durch (lie Eigenechwingungen des Zylinders
hervorgerufenen Schwankungen im Verlauf der Koeffizienten.
Die Stellen der Eigenschwingungen der betreffenden Ordnung
1) Also in den Eigenschwingungen der betreffenden
Ordnung.
55 6
G. l’tiilo.
Fig. 4.
I
.
’
Fig. 6.
sind durch die gestrichelten Geraden bezeichnet. In Fig. 4
sieht man, wie sich bki 0,8 die q, und Po wie in der N#hc
einer Eigenschwingung verhaltea. Ferner sieht man, wie sich
Bet Struhiwysdruck auf' d'reisrylircder aus beliebigem Jfuterinl. 557
die Koeffizienten mit wachsendem m immer weiter der Abszissenachse anschmiegen und nur in der N&he der Eigenschwingungen ein beinahe nnstetiges Anwachsen zeigen.]) In den
folgenden Tabellen werden die Wurzeln des Nenners von (1 ?a)
und die Xoeffizienten u,," und p,n" gegeben.
. - .-
/iy =
I
I
1
f0,4282
+0,7847
f 1,1399
+1,4937
j
+0,5700
+0,9381
+0,7097
+1,0871
+I92951
+1,4490
+1,8495
1
-1
+0,8E94
+1,2293
+1,6991
+0,9?46
+1,6880
(;.
558
?%i/o.
Die Wurzeln dieser Funktion ftir die Ordnungen 0, 1, 2
fallen nahe mit den Wurzeln yon
0
J , (9 K,) K-' (A,) - 9 h, J,' (9 RJ K , (ha)
der Ordnungen 2, bzw. 3 und 4 zusammen. (Vgl. Tabelle 1.)
__ a;'
.
.
Tabelle 3.
a/ und .8,".
-
__
-
Pi'
---
__
__
-
-0,03264
-0,6310
0,3566
0,3500
-0,2288
-0,5990
0,5773
-0,5675
-0,3862
-0,6340
0,6330
-0,6270
- 0,4875
-0,5199
-0,5325
- 0,0376
- 0,3001
- 0,3058
- 0,6365
- 0,3514
- 0,5655
- 0,6165
- 0,6260
0,5775
-0,5770
+0,1402
- 0,0657
-0,3130
-0,3162
0,3052
0,1453
0,1853
0,1986
+0,3I 10
+0,0514
+0,0453
- 0,0766
1-0,2694
t0,2466
+0,2354
-
-
-
-
-
-t0,1501
-f-0 3178
+0,3180
0,002422
-0,3166
-
+0,2058
$0,0354
0,0258
0,I849
-Q,1858
-
-
.~
k,
. .-
-0,2692
0,75
0,776
0,925
0,95
0,963
1,063
1,085
1,127
1,25
1,287
1,32
1,449
1,461
1,475
1,641
1,679
0,15
0,35
-0,2754
+0,0475
.-
i
kg
___
.. . _
.
0,05
0,l
0,2
0,3
0,4
0,5
0,G
0,7
85i,o
~
1
a,"
~
~
@,"
~
-0,1582
-0.6330
0,85
1,55
1,666
0,41
0,44
0,23
T a b e l l e 4.
it,''
und .A,'.
~.
_____I_
-- 0,5600
0,4890
- 0,2068
0,712
. - - - -.
__
~~
!
L3,861.10-n' -t7,02 .lo'
+1,151*10~', $-1,211*10
, f2,526.10-'1
+1,795*10
+0,0430
-0,2322
+0,0191
-3,1597
+0,0171
-@,I467
+0,0708
,
+O,OiOR
-0,4180
+O,I565
-0,4055
1 +0,1462
-0,3432
i +0,1001
-0,6330
i +0,5G45
+0,4299
-0,6020
',
~
1,3
1,4
+0,0772
i +0,8240
I 4-0,8030
+0,3036
-0,6080
1,s
-0,6155
1,6
I +0,7095
-0,6385
l,?
+1,2120
-0,2740
0,096 +7,41 .lo-' +P,71 *lo-'
0,266
$0,9010
I -0,5800
0,45
-J-0,01900 I -0,1560
0,461 +0,01890 1 -0,1538
~
~
1
'
,
f h r Strohknysdruck auf' Krciuzylintler
ails
heliebigem .).lnterinl. 559
Tabelle 4 (Fortsetzung).
-
8"
as"
!
0,168
+0,01867
'
b,577 I $1,163*10-y,
$1,222
0,612
0,712
+0,1524
0,75
+D,1468
$0,1461
0,776
0,925 1 +0,0375
0,95
+0,2390
0,963 1 +1,268
1,063 1 +0,4400
1,085
+0,4335
1,127 I +0,4280
1,25
+0,3526
1,287
+0,0730
~
j
~
1
- .
-0,1529
$0,03846
-0,2514
-0,4135
-0,4065
-0,4060
-0,2154
-10,4970
-0,0882
-0,6055
- 0,6025
-0,6015
...
- 0,1583
- 0,6150
-0,6160
-0,6150
- 0,4721
+o,sooo
+0,8030
+0,7995
+0,2lOl
+1.272
4-4; 15 1O-G
+0,02136
+0,1398
- 0,04075
+7;27
1O-'
-0,1635
-0,3984
-0,6185
+0,7890
+l,lIl
, +0,4240
, -0,1549
$0,01911
-!-0,01911
, -0,1549
+9,79-10-8 +O,lll3
0,85
1,55
1,665
0,41
0,44
0,23
-0,2964
___
+1,252
1,32
1,449
1,461
1,475
1,641
1,679
0,15
0,35
-0,5700
- __
--
~
Tabelle 5.
a<
und
&".
@;'
- 5,065. lo-'' +2,016. lo-''
1-8,45 LOP
- 3,876. lo-" , 3.8,41 * lo-"
! -- 5,72 * lo-' ' +2,57'd.
- 0 , O I426
f 1,597. lo-'
' +0,01285
+1,300. LO-'
+.b,011$9
4-1.114.i0-~
-;3,398.10-y, +9,0B * 10-0
-t0,1227
+0,01194
-:-0,07080
+3,96 * lo-'
+0,06840
-k3,67
- 0,0690
-t3,22 *
-!-0,2100
:-0,035Uti
+0,1968
-1-0,03126
+0,1720
+0,0?371
0,5000
. ;- 0,24 26
-!-0,3754
-4,1223
+0,3?1?
, -+O,ll92
- 3,248- lo-' I +8,275. LO-"
- 2.236.10 ' -i-R.93
LO-'
- 3,2n.10-7
~
.
-
+
'
-
0,712 - 9,625. lo-'
0,75
- 0,04915
0,776 +0,6380
0,925 +0,0700
0,95 1 +0,0715
0,983 +0,0705
1,063 +0,04si;
1,085 , -t6,42 .lo"
1,127 +0,5605
1,25
+0,1989
1,287 +0,1971
k0,1970
1,32
1,449 f4,925*10-'
1,4U 1 -0,2484
1,475 -1-0,1384
1,641 +0,5758
1,679 f0,3746
-4,975.10-0
0,15
-2,19 .lo0,35
0 85 ' +0.0760
I
~
'
1
+7,280*10-'
+1,916 *
+O,6650
-1-3,85 *
+4,01 -10-3
+3,92 .10-3
+1,495.10-u
+3;235. lo-"
+0,9985
0,0318
+0,0312
f0,0313
+1,90 * lo-.'
+0,0479
f1,259
+o,1222
t0,121d
1,952.10-I
+-3,?i6 * 1054-54 * l o -
+
+
6'. Thilo.
T s b e l l e 6.
a/
und
@$If.
__
a/
_ ..
______ . -- ~_-_ P/_ ~ -.
- 2,352 * lo-'' - 5,475' 10-1
-2,38 .lo-" - 1,741 *lo-'
-9,60 .lo-" - 1,103. 10-i
- 1,821 lo-'! - 1,520. lo-'
- 1,91 .lo-" - 1,557
- 1,603 lo-' - 1,428. lo-'
+9,675- lo-'
-7,M
-2,18
+a,zri .lo-'
- i,ow.10-7 +3,74 .lo-'
- 1,191 10-6 - 3,SO .lo-'
-4,i2 .lo-5 +7,24 .lo-$
- 3,424 * lo-' +6,60
f4,28 .lo-'
1,442
~
-
-
0;776
- 6,125. lo-' - 0,02798
- 1,924.10'
+0,01665
- 8,895.10-6 +o,oioee
0,925
0,96
0,963
1,063
1,085
-3,448.10-5
- 3,406.10-'
- 3,321 *lo-"
-3,826-10-8
- 0,2521
- 1,646*10-'
- 7,67 lo-'
-7,826*10-'
- 7,536. lo-'
1,127
1,25
1,287
1,32
1,449
1,481
-5,33 .1o-a +0,0822
1,475
- 7 , ~.lo-4 4-0.03152
1,641
- 7,34 . l o - 4 4-0,03054
- 1,133.10-* 1,679
- 1,007.
0.15
+0,1013
-8,lO
- 2,064 lo-" - 1'62 *lo-' 0,35
- 8,576 * lo-'' -6,75 . l o 7 0,85
1,55
- 1,511*lo-' - 4,380 *
1,665
-5,56
- 2,421.
- 3,258.10-9 -8,44 -lo-' 0,41
- 6,365 * 10" +2,846.10-s 0,44
- 4,185- lo-' +?,8O . l o - 4 0,23
'-
-0,8168
-0,01071
-
-. 4,34
+6,615*10-'
+6,585*10-*
+6,605.10-'
-6,9?5*1O-*
+0,5077
+0,04575
+0,09124
$0,03118
+0,03099
+0,5510
+0,1162
*lo-* -2,948.10-4
- 4 3 7 lo-'
- 0,01549
Bi-:ht man in Formel (53) hinter m = 3 ab,
man :1)
+0,02614
f091396
80
bekommt
Setzt man darin die Werte aue den Tabb. 3-7 ein,
erhlllt man fhr - X,,
z, folgende Werte der Tab. 8.
+
80
1) b,"' = 1 , b0@)= 0, b,"' = 0, b,'*'.=
2 UBW.
2) ist ein Druck in der Fortptlanzungerichtuog der einfallen-
&,
den Welle.
Der Strahlungsdruck auf Kreiszylinder uus beliebigem Material. 56 1
Tabelle 7.
n,"
und
P/
-5,495*10-s3
- 9,325
+7,84 .lo-' -4,830. lo-:'
+8,165* lo-" - 5,245. lo-''
+1,562. lo-'
1,922 *10-''
f 1,876 *lo-''
2,772 lo-"
-2,924*10-'*
-9,585.10-"
-5,245*10-"
4,495 * lo-''
-6,075*10-'"
-9,655.10-'
- 1,710*10-'
- 1.451 *lo-'
-
1
0,461 +7,280.10-' -4,170.10-"
5,995 * lo-"
0,468 I 8,740. lo-"
0,577
+1,119*10-' -9,820*10-"
-
'+
~ _ _ _ =
-
k*
I.
'j
k,
-21, __
-
0,05 +0,1633
0,l
+1,578
0,2 , +0,4570
U,9
1,0
1,l
1,2
'
+0,1798
+0,1620
+0,1354
+0,1589
1,s
194
',b
116
197
0,096
0,206
0,45
0,461
0,468
0,577
0,6 12
0,7 12
p,".
k,
0,712
0,75
0,776
0,925
0,95
0,963
1,063
1,085
1,127
1,25
1,287
1,32
1,449
1.461
1;475
1,641
1,679
0,15
0,35
0,86
1,55
1,665
0,4 1
0,44
0,23
- 1,872*10-'
-5,401*10-6
-2,772- lo-'
-2,074*10-'
1,126*10-*
-8,435. lo-'
+5,975.
-5,960, lo-'
-6,115*10-'
-4,625*10-'
-4,420.10-'
-3,914;lO~'
-0,01780
-7,215.10-s
-4,885*10-s
- 3,198. lo-'
-e,976.10-'
6,380-lo-''
+4,080*10-'
2,5540 lo-'
- 3,262.
- 8,092*10-'
+1,878* lo-*
f4,075. lo-'
-
+
-
-2,754.
-9,125-10-'0
- 6,045*10-10
-3;381.10-'O
-1,598.10-'0
5,590. lo-"
- 2,807. lo-'
- 2,785.10-'
- 2,948*10-'
- l,688*lo-:
- 1,6889 10.'
- 1,204*10-'
- 2,492*10-'
-4,085~10-L
- 1,876-10-b
- 8,035*
-6,960~10-0
- 3,198 *
- 1,310.10-"
- 5,125*10''0
- 8,370.
-7,b25*10'~
-2,758*10-'"
1,310*
-
-
Tabelle 8.
- x,,
- XI,
+0,09335 0,75
+0,1452 0,776
0,625
+0,1294
0,95
+0,1340
0,963
+0,1434
1,063
+1,659
+0,4385
1,085
+0,3422
1,127
+0,3384
1,25
+0,3308
1,287
+0,2554
1,32
+0,2502
1,449
+0,1562
1,461
1 +0,1541
fO,l229
1
1
I
+0,1739
+0,1654
1,475
1,641
1,679
0,13
+0,1449
+O,loSl
+0,1416
+0,69 I5
$0,1663
0,36
+0,1878
fO,l476
+0,1384
+0,1331
+0,1484
+0,1557
+0,1483
+0,1368
+0,1348
0,86
+0,1950
+0,1426
+0,1179
+0,06765
+0,2002
+0,4485
1,55
1,665
0,41
444
0,23
an
~
In Fig. 7 ist der Strahlungsdruck ale Funktion von k P -igraphiech dargestellt. Die Uber der Absrissenachse gezeichneten gestrichelten Qeraden bezeichnen die Stellen der Eigen-
562
G. Thilo.
schwiugungen, diejeuigen unterhalb der Abszissenacbee die
Nullstellen von k, 3,,'J2, - k, JllJ2,' = 0, die Lilnge der Geraden bezeichnet ihre Ordnuog m. An den letztcren Nullstellen werden, wie bewieseii, die betreffenden urn''nnd @'',,
gleich 0; ist m klein, so bewirkt dieses Verhalten ein Eleinwerden des Strablungedruckes. Man sieht in Fig. 7 deutlich
den EinfiuS der Eigenschwingungen auf den Strahlungsdruck,
De I Strahlungsdruck als Funktion von k, =
I
1
I
I
I
I
I
2n
-
B. das Anwnchsen bei der 1. und 2. Eigenschwingung der
Ordnung 0 (k, = 0,09587 und k , = 0,4648) und die Verzagerung des Druckabftlllcs bei der 1. Eigenschwingung von m = 1
(k, = 0,2631). Ebenso sieht man ein deutlichee Minimum bei
/t2 = 0,4282 (1. Kullstelle von
k, Jll' J2,- h2 J,, J2,' = 0 fur
m = 0). Im weitereu Verlauf der Kurve verwischt sich der
EinfiuS dieser Nullstellen und der Eigenechwingungen mehr,
z.
DeT
Straldunysdruck auf Kreiszylinder
ails heliebigem
Material. 563
offenbar lagern sich zu vide derartige Einflusse iibereinander.
Merkwiirdig ist das Minimum bei k2 = 1,3. Es ist nicht ausgeschlossen, da6 sich bei Berechuung von nocli melir Kurvenpunkten noch mehr derartige Extrema zeigen.
#
I
10. Ergebniase.
In der vorliegenden Arbeit habe ich exakte Formeln fur
den Strahlungsdruck abgeleitet, den eine ebene, elektromagnetische Welle auf die Lihgenoinheit eines Kreiszylinders
aus beliebigem Materiel ausiibt, wenn die elektrische Kraft
a) parallel,
b) senkrecht
zur Zylinderachse polarisiert ist. Der Strahlungsdruck wurde
dann fiir einen Wasserzylinder von 1 cm Radius fur 50 verschiedene Langen der einfallenden Welle berechnet, und zwar
variierte die Wellenliluge von A = 125,6 cm bis il = 3,7 cm.
Es zeigt sich in diesem Interval1 eine starke Beeinflussung
des Strahlungsdruckes durch die Eigenschwingungen, der
Uruck wirkt in der Fortpflanzungsrichtung der einfallenden
W elle.,
Aubaug.
Im Anhang sol1 noch der experimentell wichtige Fall
behandelt werden, d t ~ 6zwei koaxiale Zylinder aus beliebigeni
Fig. 8.
Material das Feld storen. Der innerste Raum (Raum 1) habe
die Konstanten cl, pl, ol, der Zylinderring (Raum 2) c2, p,, tr?,
der AuSenraum (Raum 3) c9 = 1, ,us 1, c3 0 .
I
13:
G. Thilo.
664
9
11.
Dae Feld im 11 FaUe.
Man ksnn die Integration der Gleichungen unveriindert
~
von dem Falle eines Zylinders fibornebmen. Im b u m 1
bzw. 2, 3 seien die Konstanten a', b' bnw. a", b" und a"', b .
Allgemeines Integral war nach (1):
m
+
Q = e i n ' ~ m f b m J m ( R r ) antK,,,(k:t)jcosmq.
0
Es wird also:
00
g2= e ~ f l t ~ * ~ { b , , , " J , , , ( ka, ,r,), +" K , ( k z r > ~ ~ ~ 8 r n y ,
f h,"'Jm (ha 1,)
+ a,,,"' Qm (k, t )j cos m Q .
Bei
muB wieder wegen der AusstrahlungsbedingungQ,
filr
gesetzt werden, bei (E2 liegt kein Grund vor, die
Formel (7) zu andern. Die Grenzbedingungen lauten:
Es ist jetzt:
k1=
-
1
C'1
4niplnul.
E*
?ay
k,' = .
C'
Die Grenzbedingungen (70) liefern (in sbgekilrzter Bezeichnung):
Do. Struhhngsciruck
auf
Kreiszylirtder atis beliebigem Material. 505
Fur kleine Werte von pa - g, = d , die experimentell vorkommen, weun man z. B. diis Feld untersucht, das durch einen
in einer Rohre eingeschlossenen Fliissigkeitszylinder gestlirt
wird, findet man einen Naherungswert fiir (72), wenn man f i r
(18s Argumeut k, Be = R2 p1 + A, A nach T a y l o r entwickelt
und die hoheren Potenzen von A vernachliiseigt. Die Rechnung ist elementar, aber ziemlich umstilndlicb. Nach (50) iet:
1
--
J,'(z) K,,,(z; - J, (z) Km'(z) =
Differentiation liefert
Jm"(.)K,
- Jm(z)K,"
(3)
2'
(z) = -
-1
*
2
'
Durch Differentiation und Anwendung der Rekursioneformeln
lil6t sich zeigen, da6
J,"( Z) K,,,' (2)- J,'(z) K,"(.z) = . x'+am - rn'
28
ist. Mit diesen Formeln erhlllt man die Niiherungeformel far
kleiues A:
(7~1,( ' -22t' m
1
k J Ksi'- ki Jii'&i
k, J,l'Jal- k, JIl Ja1'
a:
+
1)
Jilt (k,'
.
41 (kl
Jll' JBI
- k3
- h JI,
in
A + 2'
41'?
Far m = 0 heiBt die linke Seite
1
a,"'
G. Thilo.
506
Hier ist fi y, = 1 angenommen. Fiir A = 0 geht (73)
natiklich in (I?&) fiber (der Index 3 ist denn durch 2 zu ersetzen). Fur einen Wasserzylindcr von 1 cm Radius ist nach
Tab. 3 far R, = 0,3 ( A 21)cm)
5
-
e
- 0,3163
(?[ =
- 0,3500.
1st dieser Wasserzylinder in einer Glaarahre von 0,l cm
Wandstiirke (4 s O,l), 80 wird nach (73), da = 6,25:
%gn‘
I
+
iflo”’ = - 1,419
=
+
(- 0,1424)’.0,09* 5,26
- 1,1723
- 1,419 - 0,000818+
+.
.0,1
+
+
Das Korrektionsglied ist also sehr klein (innerlialb der
Reclieuschiebergenttuigkeit). Man sieht, da6 die Glasrahre die
Koeftizien ten der Ordnung 0 nicht wesentlich beeinfiu6t.
$j 12.
Elgensohwingungen im
11 Falle.
Die Bedingungsgleichungen fur die Eigenschwingungen erhiilt man wieder durch Nullsetzen der iiuSeren Kraft. Man
erhiilt ftir gedampfte Eigenschwingungen:
Wie man sich leicht uberzeugen kann, gelangt man zu
der gleichen Bedingungsgleichung, wenn man das Integral auch
im Raume 2 in der Form bm”J‘ aiR”Qmansetzt. Dies mu6
ja auch der Fall sein, da sich diese beiden Anslltze im Raumep2
durch nichts unterscheiden. - Bringt man (72) auf die Form
+
. . . . , so stimmt der Nenner formal mit der linken
= 2 i m . 2222
Seite von (74) ilberein. (Vgl. Formeln 17 und 19.)
Die Bedingungsgleichung fur ungedampfte Eigenschmingungen in dem schon erlauterten Sinne hei8t:
Iler Strahbinysdruck aiif Kreisrylinder
ails
Beliebigeni Matcrinl. 567
1
I
(75)
Nach dieser E’ormel sind die Eigenschwingungen eines
Wasserzylinders vom Radius el = 1 cm in eiqem Glasrohr oon
0,5 cm Wandstilrke (pZ = 1,5 om) fur m = 0 berechnet (e2 =
6,26):Tab. 9.
T a b e l l e 9.
_____-___
j
m=o -
7=-7I
+0,8789
f 1,2288
+4,5489
Wie man sieht, tritt eine Aufspaltung der Eigenschwingungen ftir den Fall des Wasmr-Glaszylinders nicht ein. Das
merkw urdige Verhalten der Kurve eines Wasserzylinders (vgl.
S . 554 und Fig. 2) zwischen 0,8 und 1,0 zeigt ilbrigens der
Wasser- Glaszylinder nicht. Die Eigenschwingungen eines
Wasserzylinders vom Radius 1 cm sind in Tab. 1 enthaltea,
diejenigen fur einen Wasserzylinder vom Radius 1,6 cm erhalt
man daraus durch Division mit 1,5. Aus Formel (19) folgt
namlich: Kennt man die Kurve der Eigenschwingungsbedingung
fur einen Zylinder vom Radius Q’, so kann man die Kurve
auch sofort fur einen Zylinder (aus demselben Material!)
vom Radius g” zeichnen, indem man Ordinaten und Abszissen
mit p’/p” multipliziert. Ein Glaszylinder hat in dem berechneten
Interval1 (0,05 bis 1,7) nur eine Eigenschwingung, und zwar ist
sie fur den Radius 1 cm k, = 1,275, fur den Radius 1,5 cm
k , = 0,8435.
8 13. DaeBeld im I Falle.
Sind die Konstanten im Raume 1, 2, 3, bzw. c’d‘,
~’“d‘‘‘, so erhblt man wie fruher:
w
do’” 1,
dm”’ 2im:
87 *
5
P
c”d‘
568
G. lhilo. Be, Straltlunr~sdruekauf Kreistyliirrftr
vsu.
Znr Be&immung der cm”’ dienen die entsprechenden Grenzbedingungen. Es ist (vgl. S. 560):
%=
Q)
kic
an-4niu
ein‘Cm(dmJ,+amKm) cosmrp.
0
Man erhalt aus den Grenzbedingungen formal dieselben
Gleichungen wie (71) und kann daher das Resultat direkt iiberaehmen. Es is$:
h J w ‘ K * ,- 4,&,7 b,4 1 K9l’ - PI 4
: &I
Far m S O hei6t die linke Seite von (76) .wieder: 1/ca”’.
Als Eigenschwingungsbedingun@;erhiilt man schlieBlich:
(77)(
bn $2’
Q3a
- Kas Q3a’I
-PO
{PI
41’
Jai
-Pa
Jii
Jai’)
- IJm Qm’
Jir’Q,al(~,J,,Ka,’-~p,Jii’Ka,)
= 0.
(Vgl. Formel (74)). Die Bedingungsgleichung fiir uogedanipfte
Eigenschwingungen erhiilt man schliefllich, indem man in (77)
die Fanktion Q durch K ersetzt. Mit diesen Qleichungen ist
anch der IFall vollig behandelt.
(Eiogegaogeo ’21. Derember 1919.)
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