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Dichtematrix und Slatersumme eines Vielteilchensystems mit Wechselwirkung.

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356
Annalen der Physik
*
7. Folge
*
Band 17, Heft 7-8
*
1966
Dichternatrix und Slatersurnrne eines Vielteilchensysterns
rnit Wechselwirkung
Von H. J. HOFFMANN
und G . KELBU
Inhaltsiibersicht
Fiir eine quantenstatistische kanonische Gesamtheit wird der Dichte-Operator unter
Benutzung der Resolventenmethode nach Potenzen des Kopplungsparameters p der Teilchen-Wechselwirkung geordnet, und in der Slatersumme die Quantenkorrektur zum klassischen BoLTzuNNschen e-Faktor unter Vernachliissigung von Symmetrie-Effektenbis zum
Gliede in qa berechnet.
1. Einleitung
Fiir eine quantenstatistische kanonische Gesamtheit lautet der Dichte-Operator
e = eS(F--H),
(1)
wo
H = Ho H'
(2)
+
1
der HAMILTON-Operator, P die freie Energie und B = iT ist. Ersetzt man durch
die Gleichung
BH' = qU
(3)
mit dem dimensionslosen Kopplungsparameter q den Operator der potentiellen
Energie H' durch einen dimensionslosen Operator U mit dimensionslosen Koordinaten
1
q? = Y q
k ,
(4)
und fuhrt man ferner an Stelle des Operators Ho der kinetischen Energie einen
dimensionslosen Operator
z$d
311
T
=
k=l
(5)
mit dimensionslosen Impulsen
a
nk
=
l?k
(6)
und dimensionslosen Massenzahlen
vk
=
1
m k
ein ( m = Einheitsmasse, a = Parameter mit der Dimension einer Liinge),
wird
SO
= tl'
(8)
BH
+ qu,
HOBW~ANN
u. KELBG:Diohtematrix und Slatemumme ehe8 Vielteilohensystems
367
wobei
ein ebenfalls dimensionsloser Quantenparameter ist. Ober den Operator HI, der
die innere Wechselwirkung des Systems und den EinfluD anSerer Kriifte erfaBt,
sei lediglich vorausgesetzt, daa die Koordinatenfunktion beliebig oft differenzierbar ist. Um aus der Normierungsbedingung
8 p ( e ) = eSPSp(e-pE) = 1
(10)
die freie Energie F und die thermodynamischen Eigenschaften des Quantensystems berechnen zu konnen, muS die Spur des Operators
e-BE = e--CT-gU
(11)
bekannt sein.
KELBGund HOFFMANN
f u h h n mit Hilfe einer Rekursionsformel eine #?Entwicklung des Dichte-Operators durch und berechneten daraus die ha-Entwicklung der Slatersumme korrekt bis zum Gliede in Ice [l]. Das Resultat
stimmte mit dem Ergebnis von HABEF~LANDT
[2] iiberein, der die WIaNEBschen
Verteilungsfnnktionen benutzte. Fiir die im Kopplungsparclmeter q linearen
Glieder der Quantenkorrektur zum BoLTzMANNschen e-Faktor gelang KELBG
und HOFFXA" die Summation iiber alle Potenzen von Its, und damit in Obereinstimmung mit friiheren Arbeiten [3] fiir den Fall ekes Quantenplasmas die
Erroittlung der Quantenkorrektur zum BOLTZMANNschen e-Faktor in erster
Ordnung in den Ladungsprodukten eke,.
Hier soll nun der direkte Weg einer Entwicklung des Dichte-Operators nach
Potenzen dee Kopplungsparameters q eingeschlagen werden. Den folgenden Betrachtungen wird ein N-Teilchen-System, bestehend aus B Teilchensorten mit
den Maseen mi und den Teilchenzehlen N i
,x
C=",
)
N i= N zngrunde gelegt. Die
Koordinaten und Impulse werden von 1... 3 N durchnumeriert, ebenso die
Masaen.
2. Entwicklnng des Dichteoperetors
Im Sinne der CATJcHYschen Integralformel gilt die Resolventendaretellung
des Operators e-flE. Da die Eigenwerte des Operators BH auf der reellen Achse
liegen, exietiert seine Resolvente
+
(#?H- ~ ) - =
l (qU
ET - z)-'
(13)
fiir alle nichtreellen z. Der Integrationsweg muD die reelle Achse umlaufen [4].
Die Resolvente (13) des Operators BH kann auf folgende Weise nach Potenzen
von q geordnet werden. In der Operator-Identitkt
wird
und
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7. Folge
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Band 17, Heft 7-8
gesetzt. Damit folgt:
(aU
+ [ T - z)-'
- ( [ T - 2)-1
=
- q(ET - z)-' U ( q U
* 1966
+ [ T - z)-'.
(17)
Durch Iteration entsteht daraus die formale Losung
(nu + [T - z)-'
m
=
2 (- q)"([T - z ) - l [ U ( l T- z)-']n.
n=O
(18)
Fuhrt man noch zur Abkurzung fiir die Resolvente des Operators [ T den Operator
R(z)= (ET - z ) - ~
(19)
ein, so entsteht aus den Gln. (13) und (18):
e-ba =
m
1
- -2$nid z e - z
2 (-n=O
q)
R [U R p .
(20)
Einsetzen des Ausdruckes
in die Operatoridentitat
e-BH
= e-qU
eqU e - q U - € T
liefert
und schlieDlich mit 1 = j - n
oder ausfiihrlich
Der erste Term in der geschweiften Klammer liefert wegen
e-eT =
1
-$dze-zR(z)
2 ni
(26)
nach Bildung der Slatersumme den BoLTzMANNschen e-Faktor. Die weiteren
Terme geben die nach dem Grade des Kopplungsparameters q geordneten Quantenkorrekturen an. Um durch Ausfuhrung der z-Integration und anschlieDende
Integration uber die Impulse zu einem expliziten Ergebnis zu gelangen, miissen
in jedem Ausdruck durch Vertauschungen alle R-Operatoren an einer Stelle
konzentriert werden. Die benotigten Kommutatoren berechnen sich wie folgt.
Es ist
RU = R(UR-']R = R(U(ET - z ) } R .
(27)
Wegen
U ( [ T - Z) = ( [ T - z ) U [ [ U , T ] = R-'U
[[U,T]
(28b
ergibt sich
[R,U ] = RU - U R = [ R [ U , T ] R .
(29
+
+
H O ~ Nu. NKELBG:Diohtemetrix und Blatemumme ekea Vielteilohensystems 369
Entaprechend folgt fiir die hijheren Kommutatoren
[R,[U,TI] = R [ U , TI - [ U , T ] R = E R [ [ U ,TI T ] R
[ R , [[U,
TI, TI] = R [ [ U ,TI, T ] - [[u,
TI, TIR = t[[[u,
TI, TI, TI
(30)
USW.
3.1. Bereehnung der Slstersumme.
Beitrag des in q linearen Terms der Entwieklnng in (25)
Zuniichst SOU die geschweifte Klammer in (25) nur bis zum linearen Term in q
beriicksichtigt werden. Bringt man darin durch fortgesetzte Vertauschungen
die R-Operatoren auf die rechte Seite, so entsteht :
+
1
e-qu-tT = - ----.
e-gU#dze-z{R
q ( U R- UR2- [ [ U , T]R3
2 nz
-E2"U, TI, T]R4--...--p[...(n)...[ U , T ] , T )...)
]
T]B"+2-...)
+ 0(q2)).
D8 nach CAUCRY
(31)
1 ..$dze-~RR;,f'= -1e - t T
2 ni
n!
(32)
gilt, wird a m (31):
e-qU-tT
= e-gU
1 - n(zl [ U , TI
1
+-~[...(n)...
(n I)!
+
+&2"U,
TI, TI
+ ...
(33)
+
[ U , T I , T I...,
, TI+...) O(q2)Je-tT.
Der Kommutator fur einen Operator f(qkf,n&) und den Operator T leutet
;( 34)
Daraus ergibt sich, wenn man nacheinander den Operator f mit U , [U,TI,
[[U,
TI, usw. identifiziert, der allgemeine Ausdruck ftir den n-tenKommutator
[... ( n ) [U,TI, T ] , ..., TI
-.-
Zur Abkiirzung sind die Ableitungen von U nach den dimensionslosen Roordinaten qf durch Indizes gekennzeichnet :
Fiir doppelt adtretende Indites k, wird hier und im Folgenden k$, geschrieben.
SOU,unter Vernachliiesigung von Symmetrie-Effekten, mit den Ansdriicken (33)
und (36) die Spur des Operators e-oE
-
-
Bp(e-eu-€T ) = j . j M G N (q?, . .., q8N 1 e-qu - 6 1~q?,
gebildet werden, so treten bei der Berechnung der Sletersumme
S* = (q;,
..., q&le-gU-tTlqf, ..., &).
. .., qs*N)
(37)
(38)
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Ausdriicke der Form
a d . Wie in einer friiheren Arbeit [l]gezeigt wurde, sind diese Ausdriicke nur
dann von Null verschieden, wenn die Anzahl der Indizes k l , k2, ..., kn-r gerade
ist und je zwei von ihnen iibereinstimmen. Durch Entwicklung nach Impulseigenfunktionen berechnet man :
Hieraus folgen durch wiederholte Anwendung der Operation
chungen :
2
3N
k=l
a
die Gleiavk
Fiir den allgemeinen Ausdruck (39) ergibt sich :
10 fiir ungerade Zahlen ( n - I ) .
Damit folgt aus den Gln. (33), (35), (40) und (42) fiir die Slatersumme (38) ohne
Beriicksichtigung der Symmetrie-Effekte:
Fiihrt man noch durch 1 = 2 j - n fiir 1 den neuen Summationsindex j ein, und
ordnet die Reihe nach Potenzen von 6,so wird
HOFFXANN
u. KELBCJ
: Diahtemstrix und Slateraurnme eineR Vielteilohenayatema
361
Die innere Summation kann ausgefiihrt werden. Es ist
Damit wird in ubereinstimmung mit einer friiheren Arbeit [l]:
3.2. Beitrag des in q quedretiechen Terms der Eatwieklung in (26)
zur Slatersnmme
Zur Berechnung des in Q quadratischen T e r m der Entwicklung in (25) erscheint es zweckm&Big,die R-Operatoren in die Mitte zu ziehen. Es ist
1
- U = R2
+ R U R U R = ($ u - U R + R U R ) U R .
URUR
(47)
Die fortgesetzte Anwendung der Kommutatoren (29) und (30)auf die Ausdriicke
R U R und U R liefert :
($u-VR+RUR)UR
=
($ U - U R + U R 2 + 5 E n [ . . - ( n )
[ V , TI,TI,. .., TI Rn+2)
n=l
x (RU
=
1
U(TR
+ 1-1
+
-
(-
l ) l t l R z + l [ . - (.I )
R2 + Rs) U +
(- l ) l t l U ( f R'fl
+ 2 z(-1)'5"'"*..
O
D
... [ U , TI,TI,..., T I )
1=1
5 p [ . . .( n )... [ U , TI,rJ, ..., T]RnfsU
n=l
(48)
- R1+*+ R1+s [... (1) ... [ U , TI,T ] , ..., TI
)
-
r-11-1
x [... ( I )
( n ) . * . [ U , TI,TI,..., r J J P + ' + S
[ U , TI,TI,..., TI.
Jet& la& eich unter Anwendung der 01. (32) die z-Integration uber die in q quadratieohen Terme in 01. (25) euafiihren. Dee Integral iiber den 1. Term in (48)
24 h.
Phyrilr. 1. F o b , Bd. l i
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verschwindet und man erhklt
x
e-ET[.--
($1 .-.[u,TI,..., q]+ o(q3)[
1.
In diesen Ausdriicken miissen die links von e-ET stehenden Kommutatoren wie
in Gl. (35) geschrieben werden; d. h. so, daS in jedem ihrer Glieder die Impulse
auf der rechten Seite erscheinen. Entsprechend miissen in den rechts von e-ET
stehenden Kommutatoren die Impulse links stehen. Die letztere Form erhiilt
man, wenn man auf der rechten Seite von G1. (34) unter Benutzung des Kommutators
die Impulse nach links bringt :
Hieraus folgt auf die gleiche Weise wie friiher der der G1. (35) entsprechende allgemeine Ausdruck fiir den n-ten Kommutator
[... (n) [ U , TI,TI,..., TI
(52)
..-
Wird G1. (49) a d die geschilderte Weise geschrieben, so sind in allen Gliedern die
Impulsoperatoren nkund der Operator e-eT an einer Stelle konzentriert, so daS
bei Bildung der Slatersumme iiber die Impulse mittels Entwicklung nach Impulseigenfunktionen heraus integriert werden kann.
Bei der Bildung der Slatersumme mit dem Operator (49) verschwindet der
Beitrag der ersten beiden Terme im Gliede mit q2, wie im folgenden gezeigt
wird. Der Beitrag dieser Terme zur Slatersumme ist niimlich
Unter Benutzung der Ausdriicke (35) und (52) fiir die Kommutatoren, sowie der
G1. (42) wird daraus, wenn man noch durch 1 = 2 j - n statt 1 den neuen Index j
H o m m n. KELBG:Dichtemahix und Slatereurnme einee Vielteilcheneysteme 363
einfiihrt und die Reihe nach Potenzen von ordnet :
Die innere Summe uber n verschwindet. Es ist niimlich
Die erste der drei Summen ist Null. Die beiden anderen sind Darstellungen von
B-Funktionen. Damit wird
Aj = B ( j
1, j
1) - 2 B ( j
2, j
1) = 0
(56)
Somit ist gezeigt, daD von den in q quadratischen Termen der G1. (49) nur der
dritte einen Beitrag zur Slatemumme liefert. Schreibt man fiir die Slatemumme
+
so ist also
+
+
s* = s,' + qs: -+ qzs,* +
+
* * '
,
(57)
Dieser Ausdruck kann nun ebenfalls mit Hilfe der Gln. (35), (52) und (42) ausgewertet werden.
Mit (35) und (.is) wird aus (58):
X n k n + i n k n + , ' ' ' nknta-i
I q*cSN))'kn+i...kn+a-l~n+a-(+r..k'n+~
*
In (59) liefern wieder nur diejenigen Glieder einen Beitrag, in denen die Anzahl
der Faktoren nk gerede ist, d. h. in denen gilt:
n -s
+ I - t = gerade
Unter Beriicksichtigung von GI. (42) wird fur gerade Zahlen ( n - 9
24'
+ I - t ):
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Band 17, Heft 7-8
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+
Hierin bezeichnet F ( n , I, s, t ) die Summe aller (n - 8
I - t - l)! !-Ausdriicke,
die erhalten werden, wenn man in Uk,...kn-skL-s+,...k: uk,,,...
+k,,+~&+,&l...k~t,
je zwei
der (n - s I - t ) Indizes k, .-.k,
k,+l
kn+,-, einander gleichsetzt.
Fiir S,* resultiert :
..-
+
+ + +
I t = 2% x = l * * . 0 0
n
n-s+I-t=2A
il.=l..*~
n-s=p
il. = 1
s=v
* . a
: p =1
(x - 1) :
p = 0:
- A)
(2A - 1 ) ; v = 0 ‘ ” ( X
v = 1.e. ( x - 2 )
1
(x22)
p=2A: v = O . . . ( x - A - l )
statt n, 1, s, t die neuen Indizes x , A, p, v ein, so w i d
3N
1
1
22-1 x - 2
(63)
X-A-1
+ Iz + 2)! 2
1
-
2x-qx
+
(-
1)A(21;
v=o
”) P ( x , A,p = 21, v )
1
@ ( x , A, p, v ) bezeichnet die Summe der ( 2 A - l)!!-Ausdriicke, die entstehen,
wenn man auf alle moglichen Weisen in Uk,...kpkg+l...kt+v
Ukptv+,...k.rlcv~rlcv+,..~k~~~
von
den 2 A Indizes k, . k,, kp+v+l -.. k 2 ~ +je
v zwei einander gleichsetzt. F enthiilt
Ausdriicke der Form uk,...k&+ ,... Uk1...kflm+
,...k?? .
Eine kombinatorische Uberlegung liefert fiir die Summe der ( 2 n - 1)!! Miiglichkeiten, in Rkx...km
skm+l...k,n je zwei Indizes einander gleichzusetzen, den
Ausdruck (fiir m 5 n ) :
..
151
2(;)12s-
11!!(2n-m)(2n-m-
1)...(2n-22m+2s+
1)
s=o
X (2% - 2m
29 - 1 )!
Rk,...km-, s k b-.*+,.,. k b ~ s k , . . . k ~ - , ~ ~ - s + l . . . k ~
(64)
HOF~AN
u.N
KELBQ: Dichtemetrix und Slatersumme eines Vielteilchensystems 365
Setzt man hierin
R
so erhiilt man
druck
= uk;+j.4$p+,,
S = Ughtv+
,...k
~ + ~m, = p ,
n
=
A,
nach passender Umnumerierung der Indizes von k,
@ fur p 2 A:
(65)
- -.k, den Aus.
so resultiert, wenn man wieder die Indizes auf passende Weise von k, .-.k,
durchnumeriert, der Ausdruck F fiir p 2 A:
F,,,
=
P p p !
(21 - p ) !
A!
s=o
x ukllc,...ktR_,_,dc:Lp-,8+,..k~+~-~ Uk,...k.l-p-rsk~+v-s+,...kfr
(68)
’
Nun kenn man in S,* im ersten Term in der eckigen Klammer die Summe uber p
in zwei Anteile aufspalten (p A bzw. p 2 A). Ersetzt man in der Summe fur
p 2 1 den Index p durch p* = 2 A - p, so wird
x- 1
+
2’ E”,&,
Y(x +
?)!v=l
1 = 0, p
=
I
0, Y)
.
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7. Folge
Mit den Ausdriicken
Die ersten Terme bis x
=
3 lauten:
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Band 17, Heft 7-8
*
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HOFFMANN
u. KELBQ:Dichtematrix und Slatersumme eines Vielteilohensystems
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Dieser Ausdruck stimmt mit dem Resultat einer friiheren Arbeit [l] uberein, in der nach einem Storungsverfehren die tia-Entwicklung der Slatersumme
bis zum Gliede in fie berechnet worden ist.
H e m Dr. W. EBELING
sind wir fiir anregende Diskussionen zu Dank verpflichtet.
Literaturverzeie hnis
[l] KELBG,G., u. H. J. HOFFMANY,
Ann. Physik 14 (1964) 310.
[2] HABERLANDT,
R., Physics Letters 8 (1964) 172.
[3] KELBQ,G., -Ann. Physik 12 (1963) 220; 12 (1964) 354.
[43 PRIOOOINE,
I., Non-Equilibrium Statistical Mechanics, New York 1962.
VAN HOVE,L., Physica 21 (1955) 901; 22 (1956) 343 Chen Chun-sian, Sh. exp. teor.
Pis. (USSR) 86 (1958) 1518.
Rostock, Institut fiir theoretische Physik der Universitiit.
Bei der Redaktion eingegangen am 9. Oktober 1965.
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