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Die Abhngigkeit des Widerstandes von Nickelkristallen von der Richtung der spontanen Magnetisierung.

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W . D6ring. Abhungigkeit des FVidersta?zdes voi.2 Nickelkristallen usw. 259
Xach unseren heutigen Voistellungen ist ein ferroninguetisches
B1;tteri;tl bei Temperaturen unterliait des Ckiepunktes stets in
eiiizelnen 3ezirlieii s1mnta.n his z u r Syittiguug magnetisieif. Iin
p u s c h a l uiiniaguetischeni Ziistaud ist nur die Riclitung der 11%giietisierung r o n Rezirk zu Bezirk verschiecleii. Dtas Magnetfelt1
clrsht beini Magnetisieren lediglich clie Tektoren der spontaiteii
Magnetisierang iu die Feldrichtung, ohiie Anderung ihres Eetrages.
D:t sicli bei deiii ferroinagiietischen Mngiietisierungsrorgti.ng der
elektrische IYiderstazld iiiidert, niulS also der M.idei,stand yon cler
Richtuug der spout;anen Alagnetisieiulig relntiv zu den Iiiistallachsen
und zuni Stroiri n l ~ h ~ t n g e n .Das Ziel aller Uiitersucliuiigen iiber
diesen EB'ekt ist es demnach in e r s t ~ Iinie,
r
das Gesetz dieser Ahliiingigkeit x u bestimmen, intleui iiian die Widei~standsunterschiede
hei Siit,tiguug in ve1,schiedenen IZic,htungen niiBt. Erst in m e i t e r
Linie interessiert auch der T'erlauf' des Widerstmdes als b'nnlition
des Feldes oder der l~auscclialen Jlagnetisierung. M.euii nilnilich
die Abliiiugigkeit des Widerstnndes vou der Rklitung cles 6trouies
und tler Magiietisiorung helmint ist: ist der Verlnuf niit tleni Feld
berechenbar, sobald die Biclituugsce~teiluiig der Vektoren der spantanen Magnetisieruiig gegeben ist. Das ist also ein Problem wie
das der 13ereclinung der illagnet~isierun~sliurven. Der Tergleich
zwischeu Kechnung uiid Esperiment lrann als Kontrolle unserer Vorstellungen iilser cleii RIagnetisieruugs~organg lterangezojien werclen.
Unter dieseni Gesichtspiiiikt allein ist der Verlanf der KiderstanrlsYLnderung iiii Ftld von Interesse, (la priuzipiell sein Zustnudekommen
klar ist.
Der Widerstand von Eisen- n n d Niclielkristallen in1 i q p e t i s c h
gesiittigteir Zust,a,nd ist iiun in recht ltoniplizierter V-eise von der
Richtung cles Stroiiies und der Nlaguetisierung relatio z u den h i stallachsen abliiingig. Zur Uutersuchung sind cleshalh bisher stets
KristallstLtbchen benntzt worden, deren Bchsen mit einfachen
1: *
260
AnnaleTz der Phgsik. 5. Folye. Ba.rrd 32. 1938
Kristnllrichtungen iihereinstiiiimten l). K. G a n s und J. v. H a r l e m 2 )
habeii aber gezeigt, claO man aus solchen Messungen auf Grund
einfacher Symmetrieuberlegungen auf die GraWe des Widerstandes
in beliebigen Richtungen schlieDen kann.
I m folgenden soll nun gezeigt werden, daB nian dies T7erfahreii
anch nnikeliren liann, daB man &us Messungen der Widerstandsainderuugen an kiistallographisch beliebig orientierten Stiibchen die
GroBe des Effektes in einfachen Richhungen bestinirnen kann. Dies
umgekehrte Verfahren lint mancherlei praktisehe Vorteile. Denn
die fiir die Nessungen giinstigc Form sehr laiiger dunner Einkristallstii,i.bchen ist leiclit herzustellen , wenii man die kristallogra1,liische
Orientierung der Stabachse dern Zufall uberlaBt. Bei Eisen ist das
Rekristallisationsverf~~lirei~
ail Drcihten und bei Nickel das Erst.arrenlassen aus der Schmelze unter geeigneten Redingungen in sehr
diiunen Tiegeln 3, iiiit Erfolg angexvandt worden. Eine bestimmte
Kiistallrichtung der Achse kanu uiau dabei aber im allgenieinen
niclit erzielen. Bei den bisher durchgefuhrten Messungen sind die
Stiibchen stets aus groBen Kristallen herausgesiigt worden. Bei sehr
diinnen Stucken fuhrt clas leicht zu unzulassig hohen Beanspruchnngen der weiclieu Einkristalle, und auBerdeni ist eine sehr geuaue
Einhaltung cler gewunschten ltristallographischen Richtung dabei
aucli sehr schwierig.
Zm ersteii Teil clieser Arbeit soll die anznxendende Methode
zur Auswertung voii Messungen an Stabchen mit beliebiger Orientierung cler Schse erlautert werden. Sie ist f u r nlle kubisclieii
u n ganch
Krishlle anwendbar sowohl f u r die n ' i ~ e r s t a n d s ~ n ~ ~ e rnls
f ur die Magnetostrilrtion. Im zweiten Teil soll an Messuugen des
Kiderstandes von Nickelkristdlen die praktische -4nwenclbarkeit
gezeigt werden.
1. Die Symmetriefunktionen des kubischen Kristalls
und die Methode der Bestimmung ihrer Koeffizienten
I m Giiltigkeitsbereich des Ohmschen Gesetzes sind die Komponenten E , , E,, E3 cles Vektors der elektrischen Feldstarke lineare
Funktionen der Koniponenten jl, i2, j , des Vektors der Stronidichte:
1) W. L. W e h s t e r , Proc. Roy. SOC.London (A) 113. S. 196. 1927; 114,
S. 611. 1927. S. K a y a , Soc. Rep. Toh. Unir. 17. S. 1087. 1928.
2) R. G s n s u. J. v. H:lrleln, Ann. d. Phys. [5] 16. S. 516. 1932.
3) F. L i c h t e n b e r g e r , Ann. d. Phys. [a] 15. S. 4.5. 1932.
W . Diiring. Bbhiingigkeit des TBiderstandes con Nickelkristullen ZLSW. 361
Die Komponente der Feldstarke parallel zum Stromdichte\ ektor
dividiert clurch den Netrag der Stromdichte ist der spezifische T i d e r stand Q. Sirid is1, p2, p3 die Richtungskosinusse der Stromrichtung
i, k =1
Bei nicht ferromagnetischen Stoffen sincl die zuik lionstante
Zahlen. Bei ferroinagnetischen Materialien sind sie dagegeii Funktionen der R,ichtungskosinusse ui, u2, u3 der Magnetisierung. Bei
einem kubischeii Kristall kijnnen aber wegen der Symnietrie die i u i k
tiicht ganz beliebige Funktionen cler cc; sein, sondern niiissen gewissen Symmetriebedingungeu genugen. E s darf sich ja p nicht
h d e r n , wenn ich von eineni Zustmd zu einem auderen iilsergehe,
der aus dein ersten clurcli die Anwendung einer Symnietrieoperation
des kubischen Gitters auf den Velrtor der Stronidichte und der
spontanen Magnetisierung hervorgeht. $Is Koordinatenachsen wahle
ich die tetragonalen Achsen des Kristalls. Die skmtlichen Deckoperationen des kubischen Iiristalls lasseri sich dann gewinnen durcli
Zusammensetzung der folgenden G einfachen Spiegelungen :
1. Spiegelnng an einer cler drei Iioordinatenebenen. Zwei Anordnungen des Stronidichte- und des Magnetisierungsvektors, die
z. B. spiegelbildlich in bezug auf die y-2-Ebene sind, unterscheiden
sicli nur in den Vorzeichen cler Richt,ungskosinusse a1 nnd [ j , .
Q mu8 also nnverandert bleiben, \Venn bei einem ui und dem zugehorigen Pj gleichzeitig das Vorzeichen unigekehrt wird.
2. Spiegelung an einer der Ebeneii diirch eine Koordinatenachse
und die Winkelhalbierenden zwischen den anderen beiden positiven
Halbachsen. Spiegelung an der Ebene durch die z-Achse uncl die
Rinkelhalbierende der 5 - und y -Achse bexirkt eiiie Vertauscliung
von u1 mit cc2 sowie von p1 init p,. Allgemein mu6 cleninacli p invariant sein gegeniiber irgendeiner Vertauschung der Indizes an den
u i und pi, sof'ern sie n u r bei den ui und pi in gleiclier Weise orgenommen werden.
Um die Folgerungen zu ubersehen, die sich daraus fur die t u i k
ergeben, betrachte ich spezielle Richtungen. Ich nehme zunaclist
den Stroni in der 2-Richtung an:
p1 = 1 ; p 2 = p 3 = o
Dann gilt
Q = LO1, (cc,,p,' = wl, ( C q
Annale?t der Plcysi.k. 5. Folge. BaTd 32. 1938
262
wI1(u.) 111~6 also invariant seiu pegen alle Syrilmetrieoperationen,
die /j12 unverandert lasseu. D:LS sind die unter 1. aufgefuhrten
Spiegelungen, die iiur die Vorzeichen umkehren, uud diejenige von 2.,
die die Indixes '2 uiid 3 vertauscht.
(uJ ist also eine gerade
Funktion der u i , die symnietriscti i n cc2 uud u3 ist. Zur hbkiirzung
will icli fortan den Uuchstabeii s fur die GioMe
s = cCl2cI22
+ C L 2 2 U 3 2 + U 3 f ?UcIP
henutzen. 1st yon einer speziellen Richtung u I 2 uncl s gegeben,
ist i v ege t i
a12
u2?$. CCQS = 1
dadurch die Summe
U22
u3z = 1 - d 1 2
n u d da,s Produkt
C L ~ ~=
C s
L ~ ~aI2(1
-CLl2i
SO
+
+-
ebenfalls gegeben und somit his suf eine Vertauschung aucli C L
und u32 selbst. Alle Richtungen, die das gleicha u I 2 und s haben,
unterscheideu sicli also voiieinander nur durch das Vorzeichen ihrer
Riclitun~skosiuusse uud TTertauschuugen VOLI u2 und us. Da aber
wegen der Eymmetrie alle diese Itichtungen den gleichen Wert von
xull (ui)ergeben, kaiin wll als eine eindeutige F u n l h u von cc12 uud s
alleiii aufgefaWt werden:
WI1 <
(.) = I T(ul? s)
Die Spiegelnng an derjenigen Ebene der Sorte 2, die die x-Achse
entliBlt, vertausclit ccl und cc, und niaclit aus eineni Strorn in der
2-Achse eiiien in der 9-hchse. Also mu13 'ZC:~(a,) ails ~ w l l(~5,) heyuncl u2. Somit folgt:
rorgehen clurcli Vertauschung roii
(Ui)
=
U(ccaP;s),
da s sich bei einer solchen Vertausehung nicht iinde1-t. I n dieser
'\Te,ise kann man nun weiterscldieBen, indein man noch andere spezielle Richtungen heranzieht. Man erh5lt auf diese Weise schlieWIic11,
daB (1 megen der obigen Eymnietriebedingun~en die Gestalt liaben
muB:
(1 = u (u12;s) p,2
(u22;
s) p22
( C c 3 2 ; s) p,z
(2)
11
+u
+ '2~luaJ'(~32;s)p1J30?
+2
+2
ELs
Ucgu,
v
(cc22;S)
+u
u3Y p 1 2 ; s)p2p,
p, p,.
Darin sind nur iioch mei Funktionen I: und V enthalten. Da
andererseits dieser Ausdruclr bei millkiirlicher Wahl der Funktionen
U und V allen ~ymnietrieforderungeii des liubischen Gitters geniigt,
sind weitere Folgerungen fur (1 aus der Sgnimetrie nicht zu ziehen.
~
~
W .Doring. Abhangigkeit des Widerstandes von Nickelkrzstalleia usto. 263
Da uns eine atomare Theorie fur die Richtungsabhiingiglreit des
Widerstandes fehlt, kiinnen wir daher Keitere Aussagen uber U und
V nur den Experiinenten entnehnien.
Es ist jedoch verniiriftig anzunehnien. daB U und V aiialyt'ische
Funlrtioiien ihrer Srgumeute. sind. Wir wollen sie in Reihen entwickeln und rersuchen, ob wir niit einer eudlichen Bnzahl von
Gliederu bei der Anpassung an die Experinierite auskommen. I n
der Tat werden n i r spater sehen, claB nian die \\-iderst'andsmessungen
an Nickel gut darstellen kann, wenn man in 9 alle Terme streicht,,
die von hijhereni als den1 vierten Grade in ui sind. R i r wolleii
die Reihenentwicklung nicht iiir (1 selbst', sondern fur die relative
0 - 0
~~~~ir1erstands;inderung
~ - * .>''~
:insetZen. Dabei ist ,oo der niit.tlere spezi~
0
'
(
fische Widerstand in demjenigeu Zustand, in welcheni die Magnetisierungsrichtungen zu gleichen Teilen a'uf rtlle leichten Richtuugen verteilt sind. Da die relatireu \\'iderst~tndsunterschiede fur verschiedene
Magnetisierangsrichtungeu iiur klein sind, ist es gleichgiiltig, ob ich
die Mitteluug dabei iiber die JTiderstiinrle oder die Leitfiihigkeiten
ansfiihre. Rei Nic,kel, a o die S Rauiiidiagonalen die leichten Richtungeu darstellen, gilt also
e,
(3)
+ kL (2 ccl u2PI + 2
P2
+ k , (s
--
3
u g u3
+ k, (u14
p12
& p,
+2
+
p2z+ u34p 3 2 + 3 s-
u24
~ 1 al
3 /93
PI)
2
Snnalen der Pkysik. 5. Folge. Baitd 32. 1938
264
stanten k , bis k!, in dem allgemeinsten Ansatz enthalten. Sie sind
durch die Experimente zu bestimmen.
Es fallt auf, daB der Ansatz (3) eine Konstante weniger enthalt
als der entsprechende An6atz, den R. G a n s und J. v. H a r l e m benutzen. Diese Verff. haben auBer den obigen Gliedern noch den
Ansdruck a,* azBp32 + oc22 a32p12+ ct32a,2Pa2 mit einer Koiistanten
versehen hinzugefiigt. Da sie keinen systematischen X-eg zur Gewinnung dieser Entwicklungsfunktionen kannten, ist ihnen entgangen,
da8 dieser Ausdruck von den iibrigen nicht linear unabhangig ist.
Es gilt namlich:
(
~
1
~
~
+ a % 2 ~ s 2 @4-1 2
~
g
~
p
3
~
+ (a,",~ + a , 2 g +
+
- Co~,'pp,~
~ 3 2 ~ 1 2 p 2 2 )
+
a,CP32
a32P32)= (cd12a2? a 2 2 c d 2 2
+
+ a,'/?:)
a32u12).
Dadurch erlrlart sich die von den Verff. bernerkte Tatsache, daB ihre
Konstanten aus den Messungen nicht lsestimmbar waren, aber gerade
alle Kombinationen, die zur Berechnung des Kurvenverlaufes im
Feld notig waren. Durch das hier angegebene Verfahren zur Geviinnung dieser Syninietriefunktion ist solch ein Versehen auch beim
Kinzunehmen von noch weiteren Ausdriicken von vornherein ausgeschlossen.
Es bleibt nun noch zu erortern, wie man die Konstanten
k , , k,, k,, k,, k6 aus den Messungen ermitteln kann. Dabei ist zungchst zu beachten, dal3 miiglieherweise die Verteilung der Magnetisierungsrichtungen im entmagnetisierten Zustand bei den wirklichen Kristallen sich von der f u r Q,, angenommenen Verteilung
unterscheidet. Es besteht ja durchaus die Mogliclikeit, daB infolge
innerer Spannungen, die sic11 bei der Herstellung ausgebilclet haben,
eine der leichten Richtungen bevorzugt ist. Wir werden spater
sehen, da8 die darnuf zuriickzufuhrenden Abweichungen recht
erheblich sein konnen. Der spezifische TTiderstand im entmagnetisierten Zustand ist also unter Umstanden von po verschieden. I m
Nenner von C& ist dieser t'nterschied zu vernachlassigen, aber
PO
nicht im Zahler bei der kleinen DifYerenz Q - p,,. Die relative
Riderstandanderung A Rl R bei Rhgnetisierung rom entmagnetisierten
Zustand bis zur Siittigung ist demnach bei dem realen Kristall
nicht gleich
-,
sondern unterscheidet sich daron um eine AbeO
weichung 8, die von der Dlagnetisierungsrichtung unabhangig ist,
aber noch von den p, abhangen kann und von Kristall zu Kristall
verschieden ist.
W . Doring. Abhangigkeit des Widerstandes von Nickelkristnllen usto. 265
Uin diese unbekannte Abweichung 6 zu elirninieren, sollen deshalb
z u r Bestiinmuug der ki n n r Differenzen verschiedener A, RIR-Werte
in der Siittigung f u r verschiedene Magnetisierungsriclitungen bei
gleicher Stromrichtung herangezogen werden. Dann fallt d heraus.
Die Messungen wurden aii Stiibchen vorgenommen, die stets
in ihrer Langsrichtung voni NeBstrom durchflofien waren. p,, /??, P3
sind also f u r einen Kristall feste Zahleri. Die Magnetisierung
geschah parallel und senkrecht zuin Stroni. Bei longitudinaler
Magiietisierung ist das Ergebnis eine Zahl, clie relative Widerstandsiinderung zwischen eutmagnetisiertem Zustand und Sattigung,
.
Bei transversaler Magnetisierung kann die Mxgnetisie-
rungsrichtung noch in der Normalebene senkrecht Zuni Strom varriiert
werden. Eine gewisse Richtung yl, yz ,y3 in dieser Ebene bezeichnen
wir als die Nullrichtung. Die Magnetisierungsrichtung in der Normalebene ist d a m durch den Winkel y gegen diese Richtung festgelegt. Das Ergebuis der Transversaleffektsmessungen ist also eiue
als Furilrtion roil y. Da
i
R
(3) gegen einen Vorzeichenwechsel der ui invariant ist, uiuli diese
Kurve fur den Sattigungseffekt, A
)m~’
die Periode 180° haben, was von den Experimenten bestiit.igt wurde.
Zur Auswertung wurde diese Kurre einer Fourieranalyse unterworfeu:
(A;.) trans. = u , + u 1 c o s 2 y + a , c o s 4 c p + . . .
+ b , s i n 2 y + b 2 s i n 4 y +...
Da uur Differenzen zwischen verschiedenen Pattigungswerten beniitzt
n-erden sollen, stehen demnach zur Bestimmung der Konstanteii
k , his k , als Mefiergehnis die Fourierkoeffizienten a l , a,, b, ,b, . uncl
die Differenz znisclten Clem Longitudinaleffekt und dem Mittelwert
-
i
”I(”Lg.- a, zur Verfiigung. E s ist nun
anch klar, wie im Prinzip die Bestimmung vor sich zu gelien hat.
des Transversnleffektes,
~
Ich habe einfach aus dem allgemeinen Ansatz (3) dieselben GroWen
zu berechnen. Ich erhalte fur sie gewisse Ausdriicke, die die
GrijBen ki uncl die fur jeden Kristall charakteristischen R,iclitungskosinasse
und yi eiithalteii. I d e m ich die gemessenen M-erte von
pi und yi einsetzte und diesen Ausdruck dem aus den1 gemesseuen
Widerstandseffekt entnornmeneii R e r t gleichsetze, erhalte ich jedesma1 eine Gleichuug fur die k,. Sobalcl ich mehrere Kristalle messe,
erhalte ich auf diese Weise aber vie1 niehr Gleicliungen, als Konstaiiten zur Verfiigung stehen. M.egen der unvermeidlichen bIeBfehler werden sich diese im allgemeinen in gewissem Grade widersprechen. Man wird dann etwa nach der Methode der kleinsten
266
Amaalen der Ph,ysik. 5. Folge. Band 38. 1938
Quadrate cliejenige Liisung suchen, die die Gleichungeu am hesten
erfullt. Indeiii man dauii riickrviirts aus den so erhaltenen Koeffizienten
die zu erwartenden Xffekte berechnet nnd mit den tatskhlicli gemessenen vergleicht. gewiunt man eine gute Kontrolle der Messuugen.
Dns ist ein groBer T’orteil dieses Verfahrens gegeniiber demjenigen
mit einfach orientierten St&bcheu; denii h i letztereiii fillt diese
Kontrollmijgliclilieit fast gaiiz fort, da in deni theoret.ischen Susatz
i u speziellen Richtungen irnnier riele Iioeffizieiiten herausfallen.
Hierzu ist iiocli folgendes zu benierken: JI-eiin man aus dein
tlieoretischen -1nsatz ( 3 ) die Fourierkoeffizienteii des Transversaleffelctes herechnet, stellt niari fest, daJ3 die Koeffizieuten a,, b, und
allc hiiheren rerschrvindeii. Das liegt claraii! daB mir in (3) nur
Glieder init liiiclistens rierter Potenz i n u i beriicksichtigt hahen.
Es gilt, wie mau leiclit iibersieht, allgeniein, daB bei Vernachlassigung
der Gliecler niit hoherer als der (2?2)-ten Potenz in uf in deiii theoretischen Ansatz alle hiiheren Fourierkoeffizienten als a,L und b,l
fiir den Trausversaleffekt Terschwiuden. Hier ergibt sich also eine
einfache Niigliclilieit, aus den Messungen uuniittellJar zu entnehiiien:
~ ~ ~U
~ ~und 1’ gehen
wieweit ich in tler P o t e u z r e i h e i i e n t , \ \ i c l ~ lvoii
niuI3, uiii einc gute d u p s s u n g erzieleu z u lionnen. Wenn irn
Transrersalefiekt die E’ourierkoeftizieiiten a,,und b,L iiocli wesentlich siiid, niuB m a n iniiidestens noch Glieder mit der (2,n)-tenPotenz
in ui beriicksicbtigen. Da wir liier init den vierten Potenzen abbreclien wolleu, liiinnen wir eine Anpassung au die Messungeii iiur
liinsichtlich cler Koeffizienten a,, a,,b, , b, uucl der Uifferenz
(q)iong.
a, erreichen.
-
Die auderen Koeffizienten siiid im t,heo-
retischen Ansatz gleich Null. Aus den Messungen an eineiii Kristall
erhalte ich also 5 Gleichungen fiir die kj.
Es ist aber niclit, so, da13 inan alle 5 Koeffizienten aus den
Messuugen an eineni &istall bestiinmen kann. I n die Gleicliongen
fur die 4 h’oeffizieuteii a,,a,,b,, b, gelien niiinlicli nur die 3 Kombinationeii k, - k, - k5. k,
+ * k , ein. Bei transu1(3, + u, 13, + a3p, = 0 . In dem
+ 2k,
und k,
versaler Magnetisierung ist ja
Spezialfall laBt sich der Ausdraclr (3) noch erlieblich vereinfachen.
Er nimmt die Gestalt a u :
(5)
IT. Doring. Abhcmgigkeit des Widerstandes TOTLXickeIkrtstalleit u s ~267
.
Nur die clrei geiiannten Iioiistantenkombinationen sincl deiiinacli
au5 den Fourierkoeffizienten des Transversaleffektes bestimmbar.
Fiir die Differenz des Loiigitudinaleffektes und cles Mittelmertes cles
Transversaleffektes folgt aus (3)
Dabei ist zur Abkiirzung
Lo= k ,
gesetzt.
k,
+ 2 k,
+ k, -
k , - k,
%
12
ist aus cleni Transyersaleffekt schon belraunt.
(
F u r die Anpassung der Differenzen $B),,,l,
-
uo an die hlessungen
sind also iioch zuei GriiBen vihlbar. die GroBeu Lo und L, . Mind
ihre R e r t e dadurch bestiniint, so sind ails tliesen uud dein au5 dem
TrausversaleffeIrt folgeuden GriiWen k, his k, berecheiibar.
2. Experimente und Ergebnisse
Zur Messung wnrden 8 Eiiikrista~llstabchenaus Elelrtrolytiiickel
benutzt, die nach dein T-on L i c h t e n b e r g e r angegehenen Yerfahren
hergestellt worden waren. Sie hatten einen Durchmesser vou 3 ninl
nnd eiue Liinge TOLI 7-10 cm. Sie wurden in Pertinnxlialter eingelagert, aus clenen sie auch zur Riintgeuaufnalime iiicht entfernt
zu werden brauchten. Die Kristallachse war zngleich die Drehachse
der Halter. Die Richtung y l , y 2 , j l 3 senkrecht zur Bchse wurde durcli
die Stellung eines auf den Halter aufsteckbareii Zeigers festgelegt.
Die ltristallographische Orientierung der Kristallachse uncl der Zeigerrichtung seiikrecht dazu wurdeil niittels Rijntgenstrahlen aus Laueaufuahmen :iuf Zylinderfilni bestiinnit. Das besonders dazu eutwickelte Aus~~-ertungsverfahreiigestattete eine Bestiirimung der
Richtungskosinusse [31 ,(?, , p, und yl. y2,jls mit einein Feliler von
nur t 1 . 1 OW3 und, wenn der Iiosinus nahe bei 1 lag, noch geringer,
so cla13 der Feliler in1 Winkel kleiner als 0,5O war. Eine sehr
genaue Restimrnung erwies sich alk notwendig fur die Bnwendl)arkeit des angegebenen ~nalysiervei-fahreils.
Zur JViderstandsmessung wurde der Spannungsabfall an eineni
mittleren Stiiclr der Stiibchen von 3-6 cin Lange durcli 2 Potentialkleniinen ans Silberblecli abgegriffen und koinpensiert. dis Sull-
268
Annden der Physik. 5 . Folge. Band 32. 1938
instrument diente ein Spiegelgalvanometer mit einer Spannungsempfindlichkeit von etwa 1 . lop7 VoltISkt. Die Widerstandsanclerungen worclen durch den Ausschhg des Nullinstrumentes geniessen.
Die Eichung geschnh durch Messung des Ausschlages bei Aiiderung
des MeBstromes J um einen bekaunten Betrag. L)a der Ausschlag
durch die Anderungen von R . J bestimnit ist, ruft eine prozentual
gleiche Anderung von U'iderstand oder Strom den gleichen Ausschlag
hervor. lliese Methocle der Eichung hat den Vorteil, richtig zu
bleiben, ztuch wenn beliebige, zeitlich konstante Thermokrafte irn
(:alvanometerkreis vorhanden sind. Sonst gehen diese imnier als
Fehler ein.
Bei transversaler Magnetisierung wurden die Felder in eineni Elektromagneteii erzeugt, der breite Polschuhe voii 4 x 8 cm liatte und einen
Luftspalt von 7 nim Breite. Bei 6000 Oersted transversal waren die
Kristalle stets vijllig gesattigt'. Zur Sicherheit wurde bei 8600 Oersted
gemessen. Es wurde zunachst die Kurvenform des Transrersaleffektes
gemessen, indem die Widerstandsanderling beim Herausclrehen aus der
Lage y = 0 im konstanten Feld von 8600 Oersted bestimmt wurde.
E s wurde stets der Kristall heransgedreht und wiecler zuruckgedreht
und Irontrolliert, ob der Aussch1a.g wieder zuruckgeht. Jede solche
Messung murde mehrfach miederholt. Geniessen wurde fiir alle
M'inkel in Intervallen von 5' zwischen - 140O und + 140". Wegen
der Symmetrie mu8 die Stellung 01 und 01 - 180' denselben Wert
ergeben, was innerhalb der MeBfehler auch der Fall war. Danach
wnrde die relative U'iderstnndsiinderung bei Magnetisierung Torn
entmagnetisierten Zustand bis zur Sattigung transversal in Richtung
y = 0 gemessen. Dazu wurde cler Kristalllialter aus dem Elektromagneten entfernt und cler Kristall iin longitudinalen Wechselfeld
entmagnetisiert. Das Feld irn E:lektromagneten wurde dann auf Null
gebracht, wozu wegen der Remanenz des Kerns ein lrleiner Gegenstrom nijtig war. Alsdann wurcle nach Einbringen des Kristalls
und Herstellung der Kornpensation cler L4usschlag beini Einschalten
des Magnetfeldes gemessen. Dabei wurde der MeBstrom kleiner gehalten als bei den vorigen Differenzmessungen, um eine Magnetisierung des Kristalls durch das Feld des Stromes zu vermeiclen.
Er betrug hierbei 0,25 Amp., bei den anderen Messungen etwa 1 Amp.
Ahnlich wurde auch der Longitudinalefk'ekt in einer Spule gemessen.
Dabei reichten 1000 Oersted zur Sattigang aus.
Die Ergebnisse der relativen M7iderstsnclsanderun~enin der
Siittigung bei transversaleni Feld zejgt Abb. 1. Die SattigungsweIte
des Longitudinaleffektes zejgt Tab. 1, Spalte 2. Die relativeu m'iderstandsanderungen liegen alle in der GrijBenordnung yon 1-2O/,.
W .Doring. Abhangigkeit des Widerstandes von Nickelkristallen uszu. 269
1
-4
-6
Abb. 1.
Die Siittigungswerte
der relativen Widerstandsiinderung bei
transversnler Magnetisierung.
Theoretischer
Ver1:tuf bei bester
Wahl der Konstnnten
Ta be l l e 1
Die Sattigungswerte der iongitudinden Widerstandsiinderung, die Mittelwerte
des 'Transversaleffektes und die Nullpunktsa1,weichung 8
_
1
2
3
4
3
__
~
iqo,.
:z,?3..
1 . 3 ~
10-3
10-3
IS,^^. 10-3
i7,1,
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I
~
I
1
I
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10-
. 10- 3,0 . 10-
270
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 32. 1938
Der MeOfehler, beurteilt nacl; der Streuuug der einzelnen Messuugen,
kann etwa 0,03O/, b e h g e n . Abb. 2 zeigt die Perteiliing der Orientierungen der Iiristallachsen, eitrgetrageii in eiiieri Ausschnitt aus
dem Wulffclien Ne.t.x. Man sieht, claB in1 Transversa.leffelrt die
Fourierglieder niit cler Periode 90 O uni so
stiirker hervortreten, je n%her die Achse cles
Iiristalls der tetragoualen Bchse liegt,. Die
Knrveu wurcleu einer Fourieraualyse nizcli
cler R u n g e sclien Metliode unterworfen. Aus
den Kueffizienten a,,a2, b,, b, der Glieder mit
cos 2 y , cos 4 cp, sin 2 v und sin 4 y" wurden
nach der heschrielienen Xethode die GrOBen
Abb. 2
kl -
- li,, k,&+ 2 k; und
+
2
k, bestininit.
L)zl jecler Iiristall 4 Koeffizieiiten liefert, liegku voti den 8 Kristalleu
insgesarnt 32 Gleichngen vor fiir die T3estiniitlung der drei zur Anpassung zur Yerfiiguug stelienden ~~onstaiitenlionibiil~~tionen.
;Insgleichuug nacli cler Methocle der lrleinsteii Quadrate ergah
k , - k , - k , = 18,s . 10-3
k , + 2 f;, = - 1 4 3
-
k3 +
2
k,
=
-G3,0
+
10-3
&lit diesen Z;thleu wurden iimi riickw Ltrts die Tr:nisveisnle~el~tskurven berechuet, Das Ergehnis ist in den ausgezogeuen Kurvcn
iler Abb. 1 chrgestellt. Fiir clcn Mittelweit Tvurde thbei tler geniessene K e r t a, bciintxt. Es ist also niir clie Kurvenioim xu vergleichen. Der Mittelwert ist hei den t,lieorctisclieu Iiurren der
g~eiche nie bei den ille~piiii~ite!~.
Die ijl,ereinstinnii~i~l~
ist in1
griden uncl ganzen recht hefriecligeud. An einigeti Stellen treten
jedoch deutlicli
tematisclie Fehler auf. So werden z. I-:. Lei alleo
Kurven die Maxima zu spitz niid die Minima z n flach viedergegehcn, eiu Verlialten, was hauptsiiclilich iladurcli hervorgerufen wird,
cl:d3 in den tlieoretischen Kurren keine Iionipone~lten mit eos S y
und sin 8 y inehr entlialteu sincl. Bei Iiristall 8 ist ilas Fehleri der
Glieder niit cos 6 y uncl sin Ci y ebenfalls benierltbar. Diese Miingel
sind darin begrundet, daW wir irn Ansat,z die hiiheren als vierteri
Potenzeii der cci vernacliliksigt hatten. Eine Analyse bei Beriicksichtigung 7011nocli nrehr Gliederii ergab in der 'rat, daR sicli dann
clie Messungen nocli weseiitlich besser darstellen lieBen, so da8 also
auch die Bestimmung noch hiiherer Koeftizienten auf diesem M'ege
nicht aussichtslos erscheint. Es ist jedoch ZII benierken, daB hei
dem Versucb, eine Anpassung mit Beriicksichtignng von niehr Glie-
W . Doring. Abhangiykeif des T4’iderstai~desvo)i Sickclkristalleii usio. 271
dern zn erzielen! sich die Koeffizienten cler niederen Glieder gegeiiiiber eiuer Anpassung uiit weniger Gliederu ceriindern. Wenn inan
von eiuer hesten SRheriing die lioheren (;lieder streift,, ist cler Rest
lreine beste Xu‘aheiuiig mehr. Das niaclit einen Pergleicli Yerschieden
lioher Nyiherungen sehr schwierig.
Zur ~ollstiindigen Bestimniung der Koei’fizieiitcn in der angegel-reneii Siiherung ist weiterhin die Diflerenz zwischen Longitudinaleffekt und Mitteliyert des Transrersale~~lrtes
heranzuziehen. An den
unmittelbar geniessenen Werten wurde tlabei uoch eine Korrcktur
angebracht. Ir’ach E. En g l e r t 1) ist bei Ziiiiniertemperatur bei Nickel
in starken Feldern eine niit den1 E’eld linenre T~~iderstnndsabnahme
vorhanden, die auf cler Beeinflussung der spontanen Magiietisiernng
heruht. Sie ist iiii L h g s - uuil Qaerfeld gleich tind betrggt
W‘ir n ollen aiiiielimen. claB sie anch t 011 d e r Iiiistallriclitunq unabhiingig ist. Orieutierentle Xessungeu ergahen, claW (Ins angeiiiihei t
richtig ist. Xiin 1st Lei tliesen Messnngeii der Sattigiiugsn ert des
T r a i i s ~ e r ~ a l e ~ e l be1
~ t e seincr Feldstarlte t ou 8600 Oersted, also eiiier
iriueieii Yeldstarke i-on 8600 - 2 n Js = 5500 Oersted geiiiessen
worden, cler Longitudiriale~’e1~t
dngegen bei 1000 Oersted. Iitf‘olgedessei: ist (lie ,111s den Experiiiienteii entuoiniiiene Differenz
griifier als die eigeiit,licli iriteressierende GriiWe der Diflereiizen
zwischen den auf das Yeld null estrapolierten \\7erte diel3er Grii Wen.
Deslialb wurde dieser t?nt.erschied als Iiorrektur bei iicltsiclitigt. Die
Anpassung dieser Difl’ereiiz a n die Messnngeii liefert die weiteren
Kollst.:tnteiikoinI)in a.t’ionen
L = Jf - h’, + 11.-k: = 1g,(j. 10-3
~
1
L1 = - 3 4
1
+ 3k, +
1 2 4
5
-~
k, 6
10-
3
Zuni Vergleicli der Genauigkeit der JYiedergabe ist in Bbb. 3
die GroBe
als Ordimte :tufgetragen iiber
+ p22p32+ p,2pp1‘
,31?/322
--
-
1) E. E n g l e r t ,
hn11.
d I’hys.
[a] 14. 8. 589.
1932.
272
Annulen der Pkysik. 5. Folge. Band 32. 1938
als Abszisse. k4 + 2 k5 ist j a aus den1 Transversaleffekt bekannt.
Die Gerade ist der theoretische Berlauf init obigen Werten von
Lo und L,,
Die Ubereinstimmung ist befriedigend, doch sind die Abweichungen teilweise noch groaer als die MeBfehler. Durch Hinzu-
nehnien noch holierer Glieder in der Entwicklung kann man auch
hier bessere Anpassung erreichen.
Bus den angegebenen Werten ergibt sich f u r die Konstanten
k, =
65,4 . 1 0 - 3
k,
2 6 , ~. 10-3
k3 = - 32 .10-3
k, = - 54 . l o - 3
kj=
20 . l o - 3
Nuumehr ist man anch in der Lsge, die Aluweichung cles Widerstandes im entinagnetisierten Zustancl yon demjenigeu bei Gleichverteilung der Magnetisierungsriclituugen auf die leichten Richtuugen
auszurechnen.
Mit obigen \17erten der Konstanten kann ich fiir jeden Kristall
“)(,
loug
berechnen uiid mit tiein geinessenen
(
--
vergleichen.
Die Differenz gibt die ~nllI)unktsabweic2iungen d, die in Tab. 1
aufgefuhrt sind. Es zeigt sich, da13 sie samtlich negativ sintl nnd
uni so grober, j e naher die Stabachse einer [Ill]-Richtung liegt.
Da6 in deni Falle, wo die Stabachse parallel [loo] liegt, lreine Abweichung von der Gleichverteilung auftritt, ist verstiindlich, denn
dann sind j a alle leicliten Richtungen in gleicher Lage relativ zu
den 2uWeren Icristallbegrenzuugen. 1st dagegen die Stabachse parallel [lll], so ist diese eiiie leiclite Richtung ausgezeichnet. Die
W .Doring. Abhangigkeit des Ij7iderstandes von Nickelkristalleia usw. 273
Messungen zeigen, daB diese im entmagnetisierten Zustand stets von
der Magnetisierung bevorzugt wird. Die Abweichungen sind immerhin
SO erheblich, daB die Anpassung a n die Messungen wesentlich
schlechter inoglich gewesen ware, wenn man die Gleichverteilung
im Ausgangszustand angenomnien hatte. Die Bevorzugung der in
der Stabachse liegenden leichten Richtung scheint im iibrigen eine
allgemeine Erscheinung zu sein. So ist z. B. bei den Magnetostriktionsmessungen a n Eiseneinkristallen von S.K a y a und T. T a k a k i ' )
in der Kurve f u r
(q),ong
als Funktion von J
bei einem [loo]-Kri-
stallstab zu beobachten, daB bis zu einer Magnetisierung von weit
iiber
1
J , die Magnetostriktion genau null bleibt, ein Verhalten, was
nur dadurch zu deuten ist, daB schon im Ausgangszustand die in
der MeBrichtung, also der Stabachse liegende [100]-Richtung bevorzugt war.
Die hier erhaltenen Ergebnisse iiber die GroBe der Konstanten k ,
bis k, seien schlieBlich noch mit den Ergebnissen von S. K a y a 2 )
verglichen. Wertet man die Messungen von S. K a y a in der beschriebenen Weise aus, so erhalt man fur die Konstanten
k, =
k, =
7c3
=
k,
=
63.10-3
29.10-3
- 36.10-3
IC, = - 5 1 . 1 0 - 3
14.10-3
Diese Zahlenwerte stimmen mit den von mir ermittelten Werten
leidlich uberein. Sie sind aber wohl nicht so genau. Denn da
S. K a y a nur an drei Kristallen mit ganz speziellen Achsenrichtungen
den Effekt geiiiessen hat, ist die innere Kontrolle bei ihm bei weitem
nicht so scharf wie bei den hier mitgeteilten Xessuugen. Bei
S. K a y a stehen zur Ermittelung der fiinf Konstanten nur sechs
Gleichungen zur Verfugung, wahrend bei mir die beste Losung von
insgesamt 40 Gleichungen erinittelt worden ist. .
Zum weiteren Vergleich wurden nun noch mit den von mir gemessenen Konstanten die Transversaleffekte in den von S. K a y a
geinessenen Richtungen berechnet. Abb. 4 zeigt den Vergleich.
Dabei ist wieder der Mittelwert der gerechneten und gemessenen
Kurven gleichgesetzt worden. Die ,lXfferenz zwischen den1 Longi1) S . K a y a u . T . T a k a k i , Anniversary Volume dedicated toProf.li.Honda,
S. 314; Sc. Rep. Toh. University 1936.
2 ) S. K a y a , a. a. 0.
Annalen der Physik. 5. Folge. 32.
18
274
Annalen der Piiysik. 5. Foige. Band 32. 1938
tudinaleffekt und dem Mittelwert des Transversaleflektes ist in Tab. 2
verglichen. Die noch vorhandenen Abweichungen sind z. T. darauf
zuriickzufuhren, daB hier in d e n zur Anpassung benutzten Ansatz (3)
nur Glieder von hochstens vierteni Grade in ai benutzt worden sind,
Yersucht man an meinen Messungen eine Anpassung mit Beriick?63t nR
R
Abb. 4
sichtiguug von mehr Gliedern, so wird auch die nbereinstimmung
der berechneten Kurven mit denen von S. K a y a merklich besser.
Tabelle 2
Differenz der Sattigungswerte der relativen Widerstandsanderung longitudinal
und dem Mittelwert transversal. Vergleich mit den errechneten Werten
Kristall
1
riooi
I
Experiment.
S. K a y a
22.9.10-3
I
Errechiet
I
19.~.10-3
Aus den obigen Konstanten lafit sich nun auch der am Polykristall zu erivartende Widerstandseffekt berechnen. F u r die relative
Widerstandsanderung zwischen Clem Zustand mit isotroper Verteilung
der Magnetisierung auf alle leichten Richtungen und dem unter dem
Winkel 9 zum Stroin bis zur Sattigung magnetisierten Zustand
findet man fur ein polykristallines Material mit regelloser Verteiluug
der Kristallite durch eine einfache Mittelung aus (3)
-@
QO
@’
-
A
+ B . cosz I‘f
W . Doring. Abhangigkeit des Widerstandes von Nickelkristallen usio. 975
wobei
und
ist. B ist die Differenz der relativen Widerstandsanderung bis zur
Sattigung longitudinal und transversal. Sie ist von E. E n g l e r t ')
an polykristallinem Nickel zu 30,5 .
ermittelt worclen, wahrend
sich aus meinen Messungen B = 25,4 l o v 3 und aus den Kayaschen
ergibt. Ob diese verhaltnisma6ig
Ergebnissen B = 25,6
schlechte fjbereinstimmung in der Ungenauigkeit der Einkristallkonstanten begrundet ist oder auf einen systematischen Unterschied
infolge der naherungsweisen Auswertung der Einkristallmessungen
hinweist, muB dahingestellt bleiben.
Es fallt auf, da6 A nicht gleich - T1B ist. Das mare der
Fall, wenn in dem f u r po gewahlten Ausgangszustand die Magnetisierung gleichma6ig auf alle Richtungen insgesamt verteilt wiire,
nicht uber alle leichten Richtungen. Wegen des Vorhandenseins cler
Konstanten k , ist der Widerstand in beiden Zustanden nicht gleich.
Bei Mittelung uber alle Richtungen cci erhalt man aus (3)
.
~
~
-~ - P
Qo
2
O - --k,=
15
+4,3.10-3
Diese Widerstandsanderung ist ziemlich groB. Bei einer Probe ails
reinem Nickel, bei der die inneren Spannungen groB gegen den EinfiuB der Kristallenergie und isotrop sind, sollte demnach durch ein
Anlassen, das die inneren Spannungen klein gegen die Kristallenergie
werden la&, eine Widerstandsabnahme von etwa 0,4
auftreten,
wenn sonst keine weitereii Ursachen fur Widerstandsanderungen
vorhanden sind.
Zusammenfassung
1. Es wird durch Symmetriebetrachtungen die allgemeine Form
der Abhangigkeit cles Widerstandes von kubischen ferromagnetischen
Kristallen von Strom- und Magnetisierungsriclung aufgestellt,. Dnrch
Reihenentwicklung und Vernachlassigung der hoheren Glieder wird
ein zur Anpassung a n die Experimente geeigneter Naherungsausdruck mit 5 verfugbaren Konstanten gewonnen. Es wird gezeigt,
wie man durch Messungen des Sattigungswertes der transversalen
und longitudinalen Widerstandsanderung an Einkristallstabchen niit
1) E. E n g l e r t , Ann. d. Phys. [5] 14. S. 559. 1932.
18"
Annalen der Pliysik. 5. Folge. Band 32. 1938
276
beliebiger kristallographischer Orientierung der Achsen die Konstanten
bestimmen kann.
2. Das Terfahren wird angewandt auf Widerstsndsmessungen
an 8 Nickelkristallen. Es wird gezeigt, dab die Anpassung mit
guter innerer obereinstimmung miiglich ist. Als Ergebnis folgt f u r
die relative Widerstaridsaucleruig f u r die Stromrichtuug P1,p3,P3
bei Magnetisierung in Itichtung a I ,a2,a3 bis zur Sattigung von dem
Zustand, wo die Magl_1etisierungseinrichtungen auf alle leichten Richtuugen gleichmafiig verteilt sind:
u
PO
=:
65,4.10-3
+268
*
(u12plz
+ a,2pP,2 + q
10- ( 2 q a2 p,/3,
+ 2 a,
p 3 2
a3 p2 p 3
7
+
P,
-
2 a3 “1
PI,
1
- 3 2 . 1 0 - 3 (s - 3-)
- 54.10-3
+ 20
s
*
(
a,4,3p,2
(2
+
u2
+
u,413,2
p1/92
+
cr34p32
+ 32s
f 2a2 a3 @12/9p, 8 3
1
- 3)
+ 2‘,
a1 a 2 2 P 3
PI)
= a 1 2 a 2 2 + a 2 ~ a 3 2a3%Q
Vorliegende Arbeit ist eiue verkurzte Wiedergabe einer Arbeit,
die als Diplomarbeit an der Technischen Hochschule Berlin am
Institut f u r theoretische Physik im Jahre 1934 ausgefuhrt wurde
und durch einige neuere theoretische Uberlegungen vervollstandigt
worden ist. Herrn Prof. Dr. R. B e c k e r bin ich fur oberlassung
der Institutsmittel sowie f u r zahlreiche Uiskussionen und sein forderndes Iiiteresse zu groBem Danke verpflichtet.
G o t t i n g e n , Institut fur theoretische Physik der Universitit.
(Eingegangen 9. Marz 1938)
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